X районный конкурс творческих исследовательских работ

Исследовательская работа на тему:

«Геометрическое решение негеометрических задач».

Работу выполнила: Чечулина Любовь

Николаевна ученица 11 класса

Устьянцевской СОШ Руководитель:

Шпилевская Оксана Алексеевна

учитель высшей категории

Устьянцевской СОШ.

2014г

Когда эти науки (алгебра и геометрия) объединились, они энергично поддержали друг друга и быстро зашагали к совершенству.

Ж. Л. Лагранж

Гипотеза: лишь небольшой класс задач решается определенным геометрическим методом.

Цель : овладеть способами решения алгебраических задач геометрическими методами.

Задачи:1. Используя различные источники, выявить алгебраические задачи, решаемые

геометрическими методами:• классифицировать найденные примеры;• рассмотреть способы решения геометрическими методами задач в

тригонометрии;• рассмотреть геометрические методы решения задач, содержащих

иррациональность, • рассмотреть геометрические методы решения систем,• рассмотреть векторный метод решения задач.2.Рассмотреть достоинства и недостатки данного метода.

Системы уравнений и их геометрическое решение

• Задача 1. Для положительных x,y и z, не вычисляя их значений из системы уравнений

•

, определите величину x y + 2 y z + 3x z.

Решение: =

•

• Так как площадь треугольника ABC равна 6, то

x y +2y z +3x z= 24 .

Ответ. 24 .

Задача 2. Решите систему уравнений

.

• Решение Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис.2) и катетами и . Сумма катетов треугольника равна 5, а гипотенуза . Если обозначить катеты традиционно буквам a и b, то получим a +b=5 и . Отсюда следует, что ab=6.Значит, катет треугольника ABC имеют длины 2 и 3. Но ≠ 2, так как . Итак,

=2. Тогда │x│=2 и │y│=3. Ответ. (2; 3), (-2; 3) , (-2; -3), (2; -3).

Задача 3.

𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 = 3

Решите систему уравнений x+ y+ z=13

𝑥𝑧 + 𝑦𝑥 + 𝑧𝑦 = 3

Решение. Рассмотрим ненулевые векторы 𝑎Ԧ (x ;y ; z), 𝑏ሬԦ ቀ 1𝑦 ; 1𝑧; 1𝑥ቁ, 𝑐Ԧ ( 1𝑧 ; 1𝑥 ; 1𝑦 ), 𝑑Ԧ ( 1; 1; 1).

Тогда из первого уравнения следует 𝑎Ԧ∗ 𝑑Ԧ= 3, а из третьего – 𝑎Ԧ∗ 𝑐Ԧ= 3. Так как 𝑎Ԧ∗ 𝑏ሬԦ= 𝑎Ԧ∗ 𝑐Ԧ,то 𝑏ሬԦ= 𝑐Ԧ,т.е.𝑦= 𝑧= 𝑥;

𝑎Ԧ∗ 𝑏ሬԦ= 𝑎Ԧ∗ 𝑑Ԧ,то 𝑏ሬԦ= 𝑑Ԧ,т.е.𝑦= 𝑧= 𝑥= 1 𝑎 ሬሬሬԦ∗ 𝑐Ԧ= 𝑎Ԧ∗𝑑Ԧ,то сԦ= 𝑑Ԧ,т.е.𝑧= 𝑥= 𝑦= 1∗. Ответ. ( 1; 1; 1).

Тригонометрия геометрическая и негеометрическая

В 8 классе задача не потребует много времени на ее решение.

Задача 1. Вычислите tq . Решение. В 10 классе ученики, используя одну из теорем сложения, могут выполнить задание примерно так : tq =

tq ( .

Задача 3. Вычислите Ф =

Выберем D BC и E AB так, чтобы AD=DE=BE в равнобедренном треугольнике ABC(AB = BC) с углом при

вершине B, равны . Тогда ∟EDB= ,

∟AED=∟EAD= , ∟BAC=∟BCA= ,

∟DAC= и ∟ADC== Если BE=1, то :

из ∆ BDE BD= 2 ; из ∆ ADE AE= 2 ;

из ∆ CAD CD=2

Значит, 2 2 .

Ответ.

Квадратные иррациональности

Задача1. Найдите наименьшее значение функции

f(x)= + . Решение. Рассмотрим на рисунке 4.1 ∆ ACD (AC=2, CD=x, ∟ACD= ) и ∆ BCD( BC=3, CD=x, ∟BCD= ).

Из ∆ ACD по теореме Пифагора AD= , а из

∆BCD теореме косинусов DB= . min f(x)= min(AB+DB)=AB. Из ∆ ABC по теореме косинусов AB=

=

Ответ. .

Задача 3. Найдите наименьшее значение функции f(x; y; z), если

f(x ;y ;z)=и x+ y+z =8 Решение: Так как длина ломаной ABCD не меньше 10, то min f ( x; y ; z) =10, если x+ y+ z=8. Ответ.10

Обратные тригонометрические функции или аркусы

Задача 1.

Вычислите arctq1+arctq 2 + arctq 3.

Решение:

Ответ. π.

Задача3. Вычислите cos (2 arctq 2).

Подсчитав АM, получаем cos( 2 arctq 2) = - .

Ответ. - .

Выводы:

• При решении некоторых задач геометрическими методами наблюдается явно выраженная экономия сил, энергии, а главное времени;

• Чертеж помогает расширить задачу – поставить и решить общие вопросы, глубже проникнуть в существо задачи, оценить реальность результата и промежуточных действий;

• Чтобы решить алгебраическую задачу геометрическим методом необходимо иметь навык и «видение» геометрической интерпретации задачи, что, на мой взгляд, и является самым сложным в данном методе;

• Во многих разделах алгебры существуют классы задач, решаемых геометрическими методами;

• Чтобы решить задачу геометрическими методами необходимо иметь мощную базу знаний по геометрии, т.к. в решении используются: метод площадей, векторная геометрия, свойства геометрических фигур, геометрические неравенства и т.п.