Wykłady z Mechaniki Kwantowej

Marek Zrałek Zakład Teorii Pola i Cząstek Elementarnych

Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski

Katowice, 2017

Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa

Wykład dla doktorantów (2017)

Wykład 6 Długoletnie błądzenie w ciemnościach w poszukiwaniu prawdy odczuwanej, lecz nieuchwytnej, głębokie pragnienie oraz przeplatające się ze sobą okresy wiary i zwątpienia, które poprzedzają jasne i pełne zrozumienie, znane są wyłącznie tym, którzy sami ich doświadczyli

Ewolucja w czasie układów kwantowego (postulat VI)

Warunki wstępne:

Mając ρ(t0), chcemy aby ρ(t) było określone

Układy oddziaływujące z otoczeniem:

ρ(t) =f( ρ(t0), τ = t-t0, t0 ) Układy izolowane:

ρ(t) =f(ρ(t0), τ = t-t0)

Układy nieoddziaływujące z

otoczeniem

Układy izolowane,

Układy zachowawcze,

Układy odwracalne.

Czas jest ciągłym rzeczywistym parametrem – nie jest obserwablą kwantową

1) Odwzorowanie jest liniowe i ciągłe:

Końcowy operator statystyczny nie zależy od tego czy najpierw fragmenty układy poddamy ewolucji czasowej:

a potem dokonamy wymieszania: czy też najpierw wymieszamy:

i całość będzie ewoluować z czasem:

ρ1(t0 )→ ρ1(t)

Intuicyjne rozumienie ewolucji czasowej wymaga aby:

ρ2 (t0 )→ ρ2 (t)

α ρ1(t)+ β ρ2 (t)

α ρ1(t0 )+ β ρ2 (t0 )

α ρ1(t0 )+ β ρ2 (t0 )→α ρ1(t)+ β ρ2 (t)

ρ(t0 )→ ρ(t)

2) Ewolucja czasowa tworzyła czasową „półgrupę”: Operator statystyczny układu nie zależy od tego czy najpierw odczekamy chwilę τ1: a później chwilę τ2: czy też zaraz odczekamy chwilę τ = τ1 + τ2 .

ρ(t0 )→ ρ(t1 = t0 +τ1)

ρ(t1)→ ρ(t2 = t1 +τ 2 )

ρ(t0 )→ ρ(t2 = t0 +τ1 +τ 2 )

Warunki 1) oraz 2) są ogólne zawsze spełnione, także dla układów nieizolowanych

3) Dla układu izolowanego wymagamy dodatkowo aby ewolucja czasowa była zadana przez unitarny operator U(t) spełniający warunki: U(τ) jest ciągłym operatorem parametru τ.

Dla układów izolowanych istnieje operator ewolucji czasowej

+0 1 1 0 1 1 1 0

+ -1

-1

1 2 1 2

(t ) (t ) = U( ) (t )U ( ); t t ;

U ( )=U ( );U(0)= I;U ( )=U( );U( + )=U( )U( );

ρ ρ τ ρ τ ττ τ

τ ττ τ τ τ

→ = −

−

Ciągłość operatora (zależy od topologii): A(t) jest ciągłe w t = t0 gdy dla t t0 : względem topologii τ, czyli

gdy t t0 .

0A(t) A(t )φ φ→

0|| (A(t) A(t )) || 0τφ− →

Określamy generator ewolucji czasowej:

0

dU( )A =d τ

ττ =

→

U(τ1 +τ ) = U(τ1)U(τ )

dU(τ +τ1)dτ1

= dU(τ +τ1)d(τ +τ1)

d(τ +τ1)dτ1

= dU(τ1)dτ1

U(τ )

Weźmy:

Zróżniczkujmy obydwie strony po τ1

limτ1→0

.....Obliczamy granicę:

dU(τ )dτ

= AU(τ )

d 2U(τ )dτ 2 = d

dτ(AU(τ )) = A d

dτU(τ ) = A2U(τ )

Czyli: dnU(τ )dτ n = AnU(τ )

Rozwinięcie U(τ) w szereg Taylora:

Czyli:

+U ( )= Aeττ+

=

+

++

U ( ) U( )=I;dU ( ) dU( )U( )+U ( ) ;

d d

τ ττ ττ τ

τ τ

Zróżniczkujmy równość:

+A + A = 0

A więc generator A jest antyhermitowski: +A = A−

Możemy więc parametryzować:

2 nn

n

dU( ) d U( ) d U( )U( )=I+d 2!d n!dτ τ τ

τ τ ττ τ τ ττ τ τ= = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦2

20 0 0

......

2 n n A1U( )=I+A A +......+ A = n!

eττ τ τ τ+ 212!

[τA]= 1 [A]= [τ −1]= sek−1 = energia

A = -i H

w granicy otrzymamy τ = 0

U+ (τ ) = eτ A+

Generatorem ewolucji w czasie zachowawczego układu fizycznego jest operator gdzie H jest operatorem energii układu, czyli

Postulat VI można więc podać w postaci (w obrazie Schrödingera)

Dwie interpretacje wartości średniej:

+0( )

+0 0

A Tr(A (t)) = Tr(AU( ) (t )U ( )) =

Tr(U ( )AU( ) (t )) =Tr(A(t) (t ));tρ ρ τ ρ τ

τ τ ρ ρ

=

+A(t) = U ( )AU( )τ τ

Obserwabla (aparatura i sposób wykonania pomiaru) nie zmienia się w

czasie. W czasie zmienia się układ fizyczny, który mierzymy

Zmienia się przepis na sposób wykonania pomiaru a więc obserwabla. Stan układu

fizycznego nie ulega zmianie

gdzie

Obraz Schrödingera

Obraz Heisenberga

A = -i H

ρ(t) = e− iHt ρ(t = 0) e

iHt

A(t) = eiHt A(t = 0) e

− iHt

Ewolucja operatora statystycznego (obraz Schrödingera)

Ewolucja obserwabli (Obraz Heisenberga)

W obrazie Heisenberga---- równanie Heisengerga:

[ ]dA(t)i A(t),Hdt

=h

W obrazie Schrödingera natomiast– równanie Liouville’a:

[ ]d (t) H, (t)dt

i ρ ρ=h

Albo dla stanu czystego – równanie Schrödingera:

d (t)H (t)

dti

ψψ=h

Stała ruchu Wielkość fizyczna jest stała ruchu, gdy nie zależy od czasu

[ ]dA(t) 0 A,H 0dt

= ⇔ = , ∂A(t)

∂t= 0

u Wartość średnia w stanie stacjonarnym nie zależy od czasu:

A t = Tr(AU(t)ρ0U+ (t)) = Tr(Aρ0 ) = A t=0

Stan stacjonarny Stan nazywamy stanem stacjonarnym, gdy nie zmienia się w czasie, mamy więc:

+0 0(t) = U( ) (t )U ( ) = (t )ρ τ ρ τ ρ

u Stany stacjonarne są zawsze mieszanką stanów własnych operatora energii

U(t)ρ0U+ (t) = ρ0 U(t)ρ0 = ρ0U(t)

[H ,ρ0 ]= 0 [U(t),ρ0 ]= 0

ρ0 = ann∑ En En H En = En En ψ = eiδ En

Dla stanu czystego

0

0iHt

iH t

0+

I 0 I 0

H=H V;

U(t) = e ;

U (t) = e ;

U (t)=U(t)U (t) U(t)=U (t)U (t)

−

−

+

⇔

h

h

Ewolucja czasowa jest transformacją symetrii układu

Operatory z algebra obserwabli spełniają w każdej chwili czasu takie same relacje komutacji.

Obraz oddziaływania – obraz Diraca:

I

I

+I

0

0 I+

0

A (t) =

(

U (t

U (t)

)A

t) ( = t)

U (t);

U (t);ρρ

[Q(t), P(t)]= iI [Q(t0 ), P(t0 )]= iI

Definicja

U(t) = e− iHt

U0 (t) = e− iH0t

+ + +I 0 0 I0 0

+I

(t)

I0I I0+0

U(t) (t)U (t) U (t)U (t) (t)U (t)U (t)

U (t)

A Tr( )= Tr( )=

Tr( )=Tr(A (t) (t

A A

U (t)A U (t) (t)U (t) ))

ρ ρ

ρ ρ

=

;

Jeśli [ ]0H ,V 0;=

Układy niezachowawcze (nieodwracalne, nieizolowane)

v  Dynamika zależy od czasu

v  Operator energii zależy od czasu Ewolucja w czasie niezachowawczego układu fizycznego jest dana przez równanie Schrödingera Gdzie h(t) nazywa się operatorem Hamiltona nie musi być operatorem energii

1 n-1

2t t t'

0 0 0 0

nt t t

1 2 n 1 2 n0 0 0

1 1U(t,t )=I+ h(t')dt'+ dt' dt'' h(t')h(t'')+....i i

1+ dt dt ..... dt h(t )h(t )......h(t ) ....i

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

h h

h

U(t) = e− iHt! = e

− i(H0 +V)! = e

− iH0t! e

− iVt! = U0 (t)UI(t)

Rozwinięcie perturbacyjne;

U(t,t0 ) = I - i

!h(t')U(t',t0 )dt

0

t

∫ '

i!d ψ (t)dt

= h(t)ψ (t) ψ (t) =U(t,t0 )ψ (t0 )

= UI(t)U0 (t)

gdy [ ]h(t'),h(t'') 0= dla dowolnych chwil t’ oraz t”, wtedy (t0 = 0):

0

i dt'h(t')

U(t)= e ;

t

− ∫h

gdy natomiast: [ ]h(t'),h(t'') 0;≠ to otrzymamy:

0

i dt'h(t')

U(t)= Te ;

t

− ∫h

1 2 3 3 1 2T(h(t )h(t )h(t ))=h(t )h(t )h(t );

Iloczyn chronologiczny T jest zdefiniowany w sposób:

gdy

3 1 2t t t ≥ ≥ Przykłady: Mechanika nierelatywistyczna,

Teoria pola

Cząstki identyczne, postulat (VII)1

Przestrzeń stanów: 1 2 3 .......⊗ ⊗ ⊗ ⊗ NΗ = Η H H HW MK cząstki identyczne są nierozróżnialne --- co to oznacza matematycznie?

Weźmy wektor bazowy w H:

1 2 3 N 1 2 3 N1 2 3 N, , ,...., ........ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ= ⊗ ⊗ ⊗ ⊗

i iξ

Ale te N elementów możemy ułożyć w innej kolejności:

1 2 3 N1 2 3 N 1 2 3 N, , ,...., ........η η η ηη η η η ξ ξ ξ ξ= ⊗ ⊗ ⊗ ⊗

Identyczność cząstek à stany pierwszy i drugi są fizycznie nierozróżnialne à wszelkie pomiary wykonane w tych stanach muszą dać ten sam rezultat

1 2 3 N 1 2 3 NP , , ,...., , , ,....,ξ ξ ξ ξ η η η η=

stan Numercząstki

Grupa permutacji =

Grupa symetryczna {P} • Permutacje można złożyć z transpozycji,

• Permutacja może mieć parzystą lub nieparzystą liczbę transpozycji,

• Permutację można złożyć z dowolnej liczby transpozycji, ale zawsze jest ona parzysta lub nieparzysta.

• Jest skończenie wymiarowa ma N! elementów, •  Ma skończenie wymiarowe nieredukowalne reprezentacje unitarne, •  Istnieją dwie reprezentacje jednowymiarowe.

W przestrzeni stanów H działa reprezentacja unitarna ---- każdej permutacji N elementów odpowiada unitarny operator P działający na stany fizyczne. ξ η=P

Nie wszystkie wektory z przestrzeni stanów są dobrymi stanami opisującymi cząstki identyczne. Czysty stan fizyczny będzie opisany wektorem , który da identyczne wyniki każdego pomiaru niezależnie od tego jakiej permutacji dokonaliśmy na cząstkach. Taki wektor może różnić się od wektora najwyżej fazą:

ψ

ψP

δψ ψ= iP e

Działając dowolnym operatorem permutacji na stan N cząstek identycznych otrzymujemy ten sam stan z dokładnością do fazy.

ψ

1,2,3 3,1,2

P13P12 1,2,3 = P13 2,1,3 = 3,1,2n=2

n=4

Permutacja 3 elementów – grupa S3 (składa się z 6 składników)

(2,1,3), (1,3,2), (3,2,1)

(2,3,1), (3,1,2), (1,2,3)

n=1

n=2

P23P12P23P12 1,2,3 = P23P12P23 2,1,3 = P23P12 2,3,1 = P23 3,2,1 = 3,1,2

P12P13 1,2,3 = P12 3,2,1 = 2,3,1

Permutacje nie komutują

Rząd grupy skończonej, r = ilość elementów grupy r(S3) = 6

E = 11

22

33

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A = 11

23

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

B = 13

22

31

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

C = 12

21

33

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

D = 13

21

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

F = 12

23

31

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

AB = 11

23

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

. 13

22

31

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 1

321

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= D

Mnożenie elementów:

E A B C D FE E A B C D FA A E D F B CB B F E D C AC C D F E A BD D C A B F EF F B C A E D

Przykład:

AB = 11

23

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

. 13

31

22

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 1

321

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= D

Reprezentacja grupy, zbiór macierzy

A→ M (A); B→ M (B);......Które spełniają mnożenie grupowe:

M (A) ⋅M (B) = M (D)A ⋅B = D

Wymiar macierzy M = Wymiar reprezentacji

Twierdzenie (bez dowodu): Wszystkie reprezentacje nieredukowalne o wymiarach spełniają relacje:

A→M1(A) 0

0 M 2 (A)

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

Reprezentacja nieredukowalna nie można macierzy reprezentacji zapisać w postaci:

→

l1,l2,...(li

i∑ )2 = h (rząd grupy)

S3, h=6

l = 1, l = 2, l = 3, l = 4, l = 5,....

l1 = 1; l2 = 1; l3 = 2

S4, h = 24 l1 = 1; l2 = 1; l3 = 2; l3 = 3; l3 = 3;

S5, h=120 2 x1 + 3x4 + 1x9 + 0 x16 + 1x25 + 2x36=120

2 x1 + 2x4 + 1x9 + 3x25 + 3x36 + 3x49 + 2x64 + 3x 81 S6, h=720

DiagramyYOUNGA

Diagramy i tablice Younga wywodzą się z grupy permutacji ale ich stosowanie jest znacznie szersze. Ponownie określimy operatory symetryzacji i antysymetryzacji

Si k = (1+Pi k )Dla dwóch cząstek:

A123 = 1−P12 −P13 −P23 +P13P12 +P12P13

S123 = 1+P12 +P13 +P23 +P13P12 +P12P13Dla trzech czastek:

Dla trzech cząstek mamy sześć różnych stanów:

Φ1 = S123 123

Φ3 = A13S12 123 = (1−P13)(1+P12) 123 = (1−P13 +P12 −P13P12) 123 =

123 − 321 + 213 − 231

Φ2 = A123 123

1,2 + 2,1

1,2 − 2,1Ai k = (1−Pi k )

Φ5 = A23S12 123 = (1−P23 +P12 −P23P12) 123 = 123 − 132 + 213 − 312

Φ6 = A23S13 123 = (1−P23 +P13 −P23P13) 123 = 123 − 132 + 321 − 231

Φ4 = A12S13 123 = (1−P12 +P13 −P12P13) 123 = 123 − 213 + 321 − 312

W rzeczywistości istnieją tylko 4 niezależne stany;

1) Całkowicie symetryczny:

2) Całkowicie antysymetryczny:

3) I dwa z symetrią mieszaną, n.p. oraz

Φ1

Φ2

Φ3

Φ4Φ5Stany , są związane transformacją podobieństwa z czterema

wymienionymi

Odpowiada to trzem różnym diagramom Younga:

całkowicie symetryczny całkowicie antysymetryczny symetria mieszana

Φ4

1 2 3

1 23

2

31 32

A123 S123 A13S12 A12S13

Φ2 = A123 123

Φ1 = S123 123 A12S13 123A13S12 123

α1

'

α1

α2

OgólnadefinicjadlagrupySn

(λ1,λ2,λ3,.....,λn)

Takich, że , oraz

λii = 1

n

∑ = n λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 ≥ ..... ≥ λn.

λ1

λ2

λ3 λ4……………

1

Wprowadzamy n liczb całkowitych:

Aλ

kolumny∑

Sλ

wiersze∑

2) Wszystkie n liczb pojawia się w kwadratach, ulokowanych tak, że ----- w każdym wierszu liczby rosną od lewej do prawej, ----- w każdej kolumnie liczby rosną z góry do dołu, liczba różnych możliwych ustawień dla danego diagramu Younga daje wymiar reprezentacji

Konstrukcjareprezentacjinieredukowalnych,ichwymiarorazbaza

1)  Każdy możliwy kształt diagramu odpowiada różnym nieredukowalnym reprezentacją, np. dla S4:

12 12

1 2 34 1 2 4

3 ( ) dim = 3

+ + 32 + 32 + 22 = 24

12

3 4{ }

Stany fizyczne tworzą jednowymiarowe podprzestrzenie w przestrzeni stanów --- jednowymiarowe podprzestrzenie reprezentacji grupy symetrycznej. Wiemy, że grupa ta ma dwie nierównoważne reprezentacje jednowymiarowe: Reprezentacja symetryczna Reprezentacja antysymetryczna ψ ψ= −P ( 1) ;p

ψ ψ=P ;

Istnieją więc dwie jednowymiarowe podprzestrzenie grupy symetrycznej:

ψ ψ ψ= ∈ =N+H { H ; P }

ψ ψ ψ= ∈ = −N-H { H ; P ( 1) }p

Podprzestrzeń symetryczna

Podprzestrzeń antysymetryczna

Stany cząstek identycznych mogą należeć albo do podprzestrzeni symetrycznej albo podprzestrzeni antysymetrycznej

LiczbainwersjiwpermutacjiP

Postulat (VII)1 Każdy stan fizycznych układu N identycznych cząstek tworzy podprzestrzeń jednowymiarową grupy permutacji SN – symetryczną dla cząstek o spinie całkowitym (BOZONY), a antysymetryczną dla cząstek o spinie połówkowym (FERMIONY). Zasada Pauliego dla fermionów wynika z tego postulatu.

Unormowane stany N cząstek identycznych:

ξ ξ ξ ξ− = ∑ p1 2 N

P

1 (- 1) P , , .......N !

ξ ξ ξ ξ+ = ∑ 1 2 NP

1 P , , .......N !

Dla bozonów:

Dla fermionów:

S123 = 1+P12 +P13 +P23 +P13P12 +P12P13

A123 = 1−P12 −P13 −P23 +P13P12 +P12P13

A13S12 = 1−P13 +P12 −P13P12

A12S13 = 1−P12 +P13 −P12P13

A23S12 = 1−P23 +P12 −P23P12

A23S13 = 1−P23 +P13 −P23P13

34

Dziękuję za uwagę

Wybrane informacje o reprezentacjach

grup

Zbiór elementów a,b,c,….. Tworzy grupę G, jeżeli 1. Jest zdefiniowany iloczyn dowolnych dwóch elementów grupy G, który także należy do G: 2. Iloczyn elementów spełnia warunek łączności: 3. W grupie G istnieje element jednostkowy „e”, taki, że dla dowolnego : 4.Dla dowolnego elementu istnieje element odwrotny a-1,

taki, że,

a ∈G, b ∈G ⇒ ab = c ∈G.

(ab)c = a(bc).

a ∈G

aa−1 = a−1a = e.

ae = ea =a a ∈G

Reprezentacja grup

1. Definicja Reprezentacji grupy,

2. Definicja Reprezentacji Równoważnych,

3. Definicja Charakteru Grupy,

4. Definicja Reprezentacji Unitarnych,

5. Definicja Reprezentacji Redukowalnych i Nie-

redukowalnych

6. Definicja Sumy prostej macierzy,

7. Definicja Nieredukowalnej, Niezmienniczej Podprzestrzeni,

8. Definicja iloczynu prostego (iloczynu Kroneckera) macierzy

1. Definicja Reprezentacji grup

g ∈ G

g→ A(g) ∈A(G)

Jeżeli każdemu elementowi g z grupy G można przypisać operator (macierz po wybraniu bazy) i ta odpowiedniość jest homomorficzna (lub izomorficzna), wtedy mówimy, że zbiór operatorów A(G) tworzy reprezentację grupy G

Przypomnieć

Operatory w liniowej przestrzeni Baza wektorów Macierzowa reprezentacja operatorów Zmiana bazy dla operatorów

m = Um, mm=1

p

∑ mDwa układy wektorów bazy:

A→ m A m' = Am, m'

Macierzowa reprezentacja operatora A w bazie : m

Macierzowa reprezentacja operatora A w bazie : m

Jaka jest relacja pomiędzy macierzami w dwóch bazach?

Aby zachować ortonormalność wektorów bazy macierze transformacji muszą być

unitarne:

U+= U-1

Am, m' = Um, m*

m' =1

p

∑m=1

p

∑ m A m' Um', m' =

A→ m A m' = Am, m'

Am, m' ⇔ A

m, m'

= Um, m+

m' =1

p

∑m=1

p

∑ Am, m' Um', m' = U+AU( )m, m'

Czyli: A = U+A U

Macierze w naszych dwóch reprezentacjach są połączone unitarną transformacją podobieństwa

2) Definicja reprezentacji równoważnych

Dwie macierzowa reprezentacje są równoważne, jeżeli dla każdego elementy grupy są połączone transformacją podobieństwa:

{A} ≈ {A}

A(g) = U+A(g) U

g ∈G

3) Definicja charakteru grupy

Charakter każdego elementy grupy jest określony jako ślad macierzy A(g): Charakter = Tr(A(g))

Charakter elementu grupy g nie zmienia się przy zmianie bazy reprezentacji, a więc charakteryzuje sam element g grupy: Równoważne reprezentacje mają ten sam zbiór charakterów.

Tr A(g)( )= Tr U+A(g) U( ) = Tr A(g)( )

Komentarz

4) Definicja reprezentacji unitarnej

Reprezentacja, w której wszystkie macierze A(g) są unitarne nazywa się reprezentacją unitarną

Można udowodnić, że dla grup skończonych oraz dla ciągłych zwartych grup Liego, jakakolwiek reprezentacja grupy może, odpowiednią transformacją podobieństwa, być przetransformowana w reprezentację unitarną. Istnieje więc taka macierz C, że dla każdego elementu grupy , jest unitarne. Dla nieskończenie wymiarowych grup oraz grup niezwartych, reprezentacje nie są unitarne.

g ∈G C−1A(g)C

5) Definicja reprezentacji nieredukowalnej

Załóżmy, że mamy n wymiarową reprezentację . Jeśli dla wszystkich elementów grupy istnieje taka jedna macierz C, że Gdzie oraz są macierzami kwadratowymi oraz takimi, że , wtedy mówimy, że reprezentacja A(g) jest redukowalna. Jeżeli taki rozkład nie jest możliwy to reprezentację nazywamy nieredukowalną.

A(g)g ∈G

D(1)(g) = (n1 × n1)D(2)(g) = (n2 × n2 ) n = n1+ n2

D(1)(g)

C−1A(g)C = D(1)(g) 0

0 D(2)(g)

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

D(2)(g)

6) Definicja sumy prostej macierzy

A ⊕ B ≡ A 0

0 B⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ (n1 × n1)⊕ (n2 × n2) = (n1 + n2)× (n1 + n2)

D(g) = D(1)(g) 0

0 D(2)(g)

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

Twierdzenie

Jeżeli oraz są dwiema reprezentacjami grupy G wtedy

jest także reprezentacją. Oraz odwrotnie, jeżeli jest reprezentacją, to

także macierze oraz tworzą reprezentację.

D(1)(g) D(2)(g)

D(g)D(1)(g) D(2)(g)

Można łatwo udowodnić, że (A1 ⊕ B1) ⋅(A2 ⊕ B2) = A1 ⋅A2 ⊕ B1 ⋅B2

D(g1) D(g2) =D(1)(g1) 0

0 D(2)(g1)

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

D(1)(g2) 0

0 D(2)(g2)

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

=D(1)(g1)D

(1)(g2) 0

0 D(2)(g1)D(2)(g2)

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

D(1)(g1g2) 0

0 D(2)(g1g2)

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟= D(g1g2)

Dowód:

D(g) = D(1)(g)⊕D(2)(g)⊕⋅⋅⋅ ⋅ ⋅D(k )(g)

D(g) = D(1)(g)⊕D(2)(g)⊕⋅⋅⋅ ⋅ ⋅D(k)(g)

Komentarze Proces

jest nazywany dodawaniem reprezentacji.

D(i)(g)Jeżeli są reprezentacjami nieredukowalnymi, powyższa procedura nosi nazwą

rozkładu reprezentacji redukowalnej na sumę prostą reprezentacji nieredukowalnych.

Jeżeli w sumie , wszystkie reprezentacje są różne, wtedy mówimy, że reprezentacja jest prosto redukowalna. D

(i)(g) D(g)

7) Definicja nieredukowalnych podprzestrzeni niezmienniczych

Jeżeli, działając elementami grupy G na dowolne wektory w podprzestrzeni M liniowej przestrzeni L, otrzymujemy wektory nalężące do M, to mówimy że podprzestrzeń M jest niezmiennicza względem grupy G. Jeżeli poza tym w M nie ma mniejszej niezmienniczej podprzestrzeni, to M jest nieredukowalną podprzestrzenią niezmienniczą

8) Definicja iloczynu prostego (Kroneckera) macierzy

A ⊗ B = C Ci k, j l = Ai j Bk l

Elementy o tym samym (i,j) oznaczają wiersze, o tym samym (k,l) kolumny, obowiązuje porządek leksykograficzny.

Przykład

A =a11 a12

a21 a22

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

B =b11 b12

b21 b22

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

Jeżeli oraz wtedy:

A ⊗ B = a11B a12B

a21B a22B

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

a11b11 a11b12 a12b11 a12b12

a11b21 a11b22 a12b21 a12b22

a21b11 a21b12 a22b11 a22b12

a21b21 a21b22 a22b21 a22b22

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

Dla iloczynu prostego mamy:

(A1 ⊗ B1) ⋅(A2 ⊗ B2) = (A1 ⋅A2 ⊗ B1 ⋅B2)

Twierdzenie

Iloczyn prosty macierzy tworzy reprezentacji grupy G tworzy inną reprezentację tej samej grupy:

D(g1) ⋅D(g2) = (D(1)(g1)⊗ D(2)(g1)) ⋅(D(1)(g2)⊗ D(2)(g2)) =

= (D(1)(g1) ⋅D(1)(g2))⊗ (D(2)(g1) ⋅D

(2)(g2)) = (D(1)(g1g2)⊗D(2)(g1g2)) = D(g1g2)

D(1)(g)⊗ D(2)(g) = D(g) ≡ D(1)×(2)(g)

Dowód:

((A1 ⊗ B1) ⋅(A2 ⊗ B2))i k, m n = (C1)i k, j l(C2)j l, m n

j, l∑ = (A1)i j(B1)k l{ } (A2)j m(B2)l n{ }

j, l∑ =

Dowód:

= (A1)i j

j∑ (A2)j m

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟(B1)k l

l∑ (B2)l n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= (A1 ⋅A2)i m(B1 ⋅B2)k n = (A1 ⋅A2 ⊗ B1 ⋅B2)i k,m n

Twierdzenie (bez dowodu) Dla grupy skończonej lub prostej i zwartej jakakolwiek reprezentacja może być rozłożona na sumę prostą reprezentacji nieredukowalnych,

D(1)×(2)×⋅⋅⋅⋅×(k )(g) = aii∑ Di

(χ )(g)ai = 0,1,2,.., oznaczają jak wiele razy reprezentacja nieredukowalna pojawia się w sumie. Jeżeli ai = 0 lub 1 dla wszystkich i, reprezentacja jest prosto redukowalna Taki rozkład nazywa się szeregiem Clebscha – Gordana

Di(χ )

Charakter iloczynu prostego dwóch reprezentacji jest równy iloczynowi charakterów każdej reprezentacji.

χ (1)×(2)(g)= D(1)(g)⊗D(2)(g)( )

i k, i ki,k∑ =

= D(1)(g)( )

i , i i∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

D(2)(g)( )k , k

k∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= χ (1)(g) χ (2)(g)

Twierdzenie

Dowód: