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Los Elementosde Integración y

Medida de Lebesgue

ELTRAB

Wiley Classics LibraryLCW

Traduccion: Univ. Edgar Tito C.Carrera de Matemáticas - U.M.S.S.

Cochabamba - Bolivia

e-mail: [email protected]

UMSS

Contenido

Contenido I

I Los Elementos de Integracion III

Capıtulo 1 1

1. Introduccion 1

Razones por la que se desarrolla la integral de Lebesgue. . . . . . . . 1

Comparaciones con la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 1

El sistema de los numeros reales extendidos . . . . . . . . . . . . . . 4

Capıtulo 2 5

2. Funciones Medibles 6

Conjuntos Medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Funciones Medibles y sus combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Funciones Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Funciones Entre Espacios Medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Capıtulo 3 18

3. Medidas 19

Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Espacios de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

i

ii CONTENIDO

µ-casi dondequiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Capıtulo 4 26

4. La Integral 27Funciones simples y sus integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27La integral de una funcion real extendida medible no negativa . . . . 28El Teorema de la Convergencia Monotona . . . . . . . . . . . . . . . 31Lema de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Capıtulo 5 40

5. Funciones Integrables 41Funciones Reales Integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Positividad y Linealidad de la Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 43El Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue . . . . . . . . 44Dependencia de un Parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Capıtulo 6 51

6. El Espacio de Lebesgue Lp 52Espacio Lineal Normado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52El Espacio Lp, 1 < p < +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55El Espacio L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Parte I

Los Elementos de Integracion

iii

1Introduccion

La teorıa de integracion tiene sus antiguas y nobles raıces en el “metodode agotamiento” que fue inventado por Eudoxo y desarrollado en gran medidapor Arquımedes para el proposito del calculo de areas y volumenes de figurasgeometricas. Mas tarde el trabajo de Newton y Leibnitz hicieron que estemetodo se convierta en una herramienta sistematica para esos calculos.

Ya que esta teorıa desarrollada, ha pasado a ser menos interesantes en apli-caciones a la geometrıa y mecanica elemental, para los cuales esta enteramenteadecuado, y mas interesados con las preguntas puramente analıticas, para loscuales la teorıa clasica de la integracion no siempre es suficiente. Es ası quematematicos de la actualidad son capaces de estar interesados en la conver-gencia de expansiones ortogonales, o en aplicaciones para las ecuaciones dife-renciales o probabilidad. Para ello la teorıa clasica de integracion que culminoen la integral de Riemann ha sido ampliamente reemplazada por la teorıa queha crecido de la labor pionera de Henri Lebesgue a comienzos de este siglo. Larazon de esto es muy simple: los poderosos teoremas de convergencia asociadoscon la teorıa de integracion de Lebesgue conduce a resultados mas generales,mas completos y mas elegantes que la integral de Riemann integral reconoce.

La definicion de Lebesgue de la integral agranda la coleccion de funcionespara las cuales la integral esta definido. Aunque por si mismo esta ampliaciones util, su principal virtud es que los teoremas relacionados con el intercambiode los lımites y la integral son validas bajo menos hipotesis estrictas que sonnecesarias para la Riemann integral.

Ya que se necesita frecuentemente hacer tales intercambios, es mas conve-niente tratar la integral de Lebesgue que la integral de Riemann integral. Paraejemplificar estas observaciones, sea (fn) la sucesion de funciones definidas

1

2 Capıtulo 1. Introduccion

para x > 0 por fn(x) =e−nx

√x

. Es facil observar que la integral de Riemann

(impropia)

In =

∫ +∞

0

e−nx

√xdx

existe y que lımn→∞

fn(x) = 0 para todo x > 0. Sin embargo, puesto que

lımx→0

fn(x) = +∞ para cada n, la convergencia de la sucesion por supuesto

no es uniforme para x > 0.Aunque se espera que el lector puede proporcionar los calculos requeridos

para mostrar lım In = 0, preferimos conseguir esta conclusion como consecuen-cia inmediata del Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue que se de-mostrara mas tarde. Como otro ejemplo, consideramos la funcion F definidospara t > 0 por la integral de Riemann (impropia)

F (t) =

∫ +∞

0x2e−tx dx.

Con un poco de esfuerzo uno puede mostrar que la F es continua y que suderivada existe y esta dada por

F ′(t) = −∫ +∞

0x3e−tx dx,

el cual se obtiene diferenciando bajo el signo de la integral. Una vez mas,esta conclusion sigue facilmente del Teorema de Convergencia Dominada deLebesgue.

En el riesgo de simplismo, vamos a tratar de indicar la diferencia crucialentre las definiciones de integral de Riemann y de Lebesgue. Recordemos queun intervalo en el conjunto R de numeros reales es un conjunto que tiene unade las siguientes cuatro formas:

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} , (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} ,[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} , (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} .

En cada uno de estos casos nos referimos a a y b como los puntos extremos

y establecemos b−a como la longitud del intervalo. Por otro lado recordemosque si E es un conjunto, entonces la funcion caracterıstica de E es lafuncion χE definido por

χE(x) =

{

1, x ∈ E,0, x /∈ E.

Una funcion-escalon es una funcion ϕ que es una combinacion lineal finitade funciones caracterısticas de intervalos; ası

ϕ =

n∑

j=1

cjχEj .

3

Si los puntos extremos del intervalo Ej son aj , bj , definimos la integral de ϕcomo:

∫

ϕ =

n∑

j=1

cj(bj − aj).

Si f es una funcion acotada definido sobre un intervalo [a, b] y si f no es tandiscontinua, entonces la integral de Riemann de f esta definido como ellımite (en cierto sentido) de las integrales de funciones-escalon que se aproxi-man a f . En particular, la integral inferior de Riemann de f puede serdefinida como el supremo de las integrales de todas las funciones-escalon ϕ talque ϕ(x) ≤ f(x) para todo x ∈ [a, b], y ϕ(x) = 0 para x /∈ [a, b].

La integral de Lebesgue puede obtenerse por un proceso similar, salvoque la coleccion de funciones escalonadas es reemplazada por una clase defunciones mas grande. De manera mas detallada, la nocion de longitud estageneralizada a una coleccion adecuada X de subconjuntos de R. Una vez hechoesto, las funciones escalonadas son sustituidas por funciones simples, queson combinaciones lineales finitas de las funciones caracterısticas de conjuntosque pertenecen a X. Si

ϕ =n∑

j=1

cjχEj

es tal funcion simple y µ(E) denota la “medida” o “longitud generalizada” delconjunto E en X, definimos la integral de ϕ como

∫

ϕ =

n∑

j=1

cj µ(Ej).

Si f es una funcion no negativa definido sobre R que esta convenientementerestringido, definiremos la integral (de Lebesgue) de f como el supremo delas integrales de todas las funciones simples ϕ tal que ϕ(x) ≤ f(x) para todox ∈ R. La integral puede ser extendida a ciertas funciones que toman ambossignos.

Aunque la generalizacion de la nocion de longitud a ciertos conjuntos deR que no necesariamente son intervalos tiene un gran interes, se observo en1915 por Maurice Frechet que las propiedades de convergencia de la integral deLebesgue son validas en considerable generalidad. En efecto, sea X cualquierconjunto en el que existe una coleccion X de subconjuntos que contenga elconjunto vacıo ∅ y X, y cerrado bajo complemento y uniones contables. Su-pongamos que existe una funcion de medida no negativa µ definida en X talque µ(∅) = 0 y que es contablemente aditiva en el sentido de que

µ

∞⋃

j=1

Ej

=

∞∑

j=1

µ(Ej)

4 Capıtulo 1. Introduccion

para cada sucesion (Ej) de conjuntos en X los cuales son disjuntos dos a dos.En este caso puede definirse una integral para una clase adecuada de funcionesreales sobre X, y esta integral posee poderosas propiedades de convergencia.

Como hemos enfatizado, estamos particularmente interesados en estos teo-remas de convergencia. Por lo tanto queremos avanzar directamente hacia ellosen este resumen, ya que es mas general y, creemos, conceptualmente mas sim-ple que los casos especiales de integracion en la recta real o en R

n. Sin embargo,se requiere que el lector temporalmente acepte el hecho de interesantes casosespeciales que son abarcados en la teorıa general. Concretamente, se requiereque acepte la afirmacion de que existe una funcion de medida contablementeaditiva que extiende la nocion de la longitud de un intervalo. La demostracionde esta afirmacion esta en el Capıtulo 9 y puede ser leıdo despues de completarel Capıtulo 3 para quienes el suspenso es demasiado grande.

En este capıtulo introductorio hemos intentado proporcionar motivaciony sentar las bases para la discusion detallada que sigue. Algunos de nuestroscomentarios aquı han sido un poco ambiguo y ninguno de ellos ha sido de-mostrado. Estos defectos seran subsanados. Sin embargo, ya que en ocasionestendremos que referirnos al sistema de numeros reales extendidos, adjuntare-mos ahora una breve descripcion de este sistema.

Frecuentemente en la teorıa de integracion es conveniente adjuntar lossımbolos −∞, +∞ al sistema de numero reales R. (Recalcamos que estossımbolos no son numeros reales.) Tambien introducimos la convencion que−∞ < x < ∞ para cualquier x ∈ R. La coleccion R que consistente del con-juntos R ∪ {−∞,∞} se llama el sistema de numero reales extendidos.

Una de las razones que deseamos para considerar R es que es convenientepara decir que la longitud de la recta real es igual a +∞. Otra razon es quefrecuentemente tomaremos el supremo (= mınima cota superior) de un con-junto de numeros reales. Sabemos que un conjunto no vacıo A de numerosreales que tiene una cota superior tambien tiene un supremo (en R). Si defi-nimos el supremo de un conjunto no vacıo que no tiene una cota superior sera+∞, entonces cada subconjunto no vacıo de R (o R) tiene un unico supremoen R. Asimismo, cada subconjunto no vacıo de R (o R) tiene un unico ınfimo(= maxima cota inferior) en R. (Algunos autores introducen los convenios queınf ∅ = +∞, sup ∅ = −∞, pero no los emplearemos.)

Si (xn) es una sucesion de numeros reales extendidos, definimos el lımite

superior y el lımite inferior de esta sucesion por

lım supxn = ınfm

(

supn≥m

xn

)

,

lım ınf xn = supm

(

ınfn≥m

xn

)

.

5

Si el lımite inferior y el lımite superior son iguales, entonces su valor se llamael lımite de la sucesion. Esta claro que este coincide con la convencion de ladefinicion cuando la sucesion y el lımite pertenecen a R.

Por ultimo, introducimos las siguientes operaciones algebraicas entre lossımbolos ±∞ y los elementos x ∈ R:

(±∞) + (±∞) = x+ (±∞) = (±∞) + x = ±∞,

(±∞)(±∞) = +∞,

(±∞)(∓∞) = −∞,

x(±∞) = (±∞)x =

±∞, si x > 0,0, si x = 0,∓∞, si x < 0.

Cabe senalar que no definimos (+∞) + (−∞) o (−∞) + (+∞), tampoco defi-nimos cocientes cuando el denominador es ±∞.

2Funciones Medibles

En el desarrollo de la integral de Lebesgue vamos a estar interesados enclases de funciones reales definidos sobre un conjuntoX. En varias aplicacionesel conjunto X puede ser el intervalo unitario I = [0, 1] que consiste de todoslos numeros reales x que satisfacen 0 ≤ x ≤ 1; puede ser ser el conjuntoN = {1, 2, 3, . . .} de numeros naturales; puede ser toda la recta real R; puedeser todo el plano; o puede ser algun otro conjunto. Puesto que el desarrollo dela integral basicamente no depende de la naturaleza del espacio X, no haremosninguna suposicion sobre sus caracterısticas especificas.

Dado el conjunto X, escogeremos una familia X de subconjuntos de X quese “comportan bien” en cierto sentido tecnico. Para ser precisos, supondremosque esa familia contiene el conjunto vacıo ∅ y todo el conjunto X, y que X seacerrado bajo complemento y uniones numerables.

2.1 Definicion (σ−algebra). Una familia X de subconjuntos de un con-junto X se llama σ−algebra (o σ−campo) si:

(i) ∅, X pertenecen a X.

(ii) Si A pertenece a X, entonces el complemento C (A) = X\A pertenecena X.

(iii) Si (An) es una sucesion de conjuntos en X, entonces la union∞⋃

n=1

An

pertenece a X.

Una par ordenado (X,X) que consiste de un conjunto X y un σ−algebra Xde subconjuntos de X se llama espacio medible . Cualquier conjunto en X sellama conjunto X−medible , pero cuando el σ−algebra X esta fijo (tal como

6

7

generalmente es el caso), el conjunto usualmente se llamara medible .El lector recordara las reglas De Morgan:

(2.1) C

(

⋃

α

Aα

)

=⋂

α

C (Aα), C

(

⋂

α

Aα

)

=⋃

α

C (Aα).

De estos se sigue que la interseccion de una sucesion de conjuntos en X tambienpertenece a X.

Ahora bien, daremos algunos ejemplos de σ−algebras de subconjuntos.

2.2 Ejemplos. (a) Sea X cualquier conjunto y sea X la familia de todos lossubconjuntos de X.

(b) Sea X la familia que consiste precisamente de dos subconjuntos de X, asaber ∅ y X.

(c) Sea X = {1, 2, 3, . . .} el conjunto N de los numeros naturales y sea X queconsiste de los subconjuntos

∅, {1, 3, 5, . . .}, {2, 4, 6, . . .}, X.

(d) Sea X un conjunto no numerable y X la coleccion de los subconjuntos queson numerables o tienen complementos numerables.

(e) Si X1 y X2 son σ−algebras de subconjuntos de X, sea X3 la intersec-cion de X1 y X2; es decir, X3 consiste de todos los subconjuntos de Xque pertenecen tanto a X1 como a X2. Es facil de comprobar que X3 esσ−algebra.

(f) Sea A una coleccion de subconjuntos no vacıos de X. Observemos queexiste un σ−algebra mas pequeno de subconjuntos de X que contienena A. Para ver esto, observe que la familia de todos los subconjuntos dede X es un σ−algebra que contiene a A y la interseccion de todas losσ−algebras que contienen a A es tambien un σ−algebra que contienea A. Este σ−algebra mas pequeno por lo general se llama σ−algebragenerado por A.

(g) Sea X el conjunto R de los numeros reales. El algebra de Borel esel σ−algebra B generado por todos los intervalos abiertos (a, b) en R.Observe que el algebra de Borel B tambien es el σ−algebra generado portodos los intervalos cerrados [a, b] en R. Cualquier conjunto en B se llamaconjunto de Borel .

(h) Sea X el conjunto R de los numeros reales extendidos. Si E es un subcon-junto de Borel de R, sea

(2.2) E1 = E ∪ {−∞}, E2 = E ∪ {+∞}, E3 = E ∪ {−∞,+∞},y sea B la coleccion de todos los conjuntosE,E1, E2, E3 tal como E cambiasobre B. Es facil comprobar que B es un σ−algebra el cual se llamaraalgebra de Borel extendido.

8 Capıtulo 2. Funciones Medibles

A continuacion, consideraremos un espacio medible fijo (X,X).

2.3 Definicion (funcion medible). Una funcion f de X a R se llamaX−medible (o simplemente medible) si para cada numero real α elconjunto

(2.3) {x ∈ X : f(x) > α}

pertenece a X.

El siguiente lema muestra que se podrıa haber modificado la forma de losconjuntos en la definicion de medibilidad.

2.4 Lema. Las siguientes afirmaciones son equivalentes para una funcionf de X en R:

(a) Para cada α ∈ R, el conjunto Aα = {x ∈ X : f(x) > α} pertenece a X

(b) Para cada α ∈ R, el conjunto Bα = {x ∈ X : f(x) ≤ α} pertenece a X

(c) Para cada α ∈ R, el conjunto Cα = {x ∈ X : f(x) ≥ α} pertenece a X

(d) Para cada α ∈ R, el conjunto Dα = {x ∈ X : f(x) < α} pertenece a X

Demostracion. Puesto que Bα y Aα son complementos uno del otro, la afir-macion (a) es equivalente a la afirmacion (b). De manera similar, la afirmacion(c) y (d) son equivalentes. Si (a) se cumple, entonces Aα−1/n pertenece a Xpara cada n y puesto que

Cα =

∞⋂

n=1

Aα−1/n,

se sigue que Cα ∈ X. Por lo tanto (a) implica (c). Dado que

Aα =

∞⋃

n=1

Cα+1/n,

se sigue que (c) implica (a). �

2.5 Ejemplos. (a) Cualquier funcion constante es medible. Ya que si f(x) = cpara todo x ∈ X y si α ≥ c, entonces

{x ∈ X : f(x) > α} = ∅,

mientras que si α < c, entonces

{x ∈ X : f(x) > α} = X.

9

(b) Si E ∈ X, entonces la funcion caracterıstica χE , definido por

χE(x) =

{

1, x ∈ E,0, x /∈ E,

es medible. En efecto, {x ∈ X : χE(x) > α} es X, E o ∅.(c) Si X es el conjunto R de numeros reales, y X es el algebra de Borel B,

entonces cualquier funcion continua f de R a R es Borel medible (es decir,B−medible). En efecto, si f es continua, entonces {x ∈ R : f(x) > α} esun intervalo abierto en R y en consecuencia es la union de una sucesionde intervalos abiertos. Por lo tanto, pertenece a B.

(d) SiX = R y X = B, entonces cualquier funcion monotona es Borel medible.Al suponer que f es monotona creciente en el sentido que x ≤ x′ implicaf(x) ≤ f(x′). Entonces {x ∈ R : f(x) > α} consiste de una semi-recta quees de la forma {x ∈ R : x > a} o de la forma {x ∈ R : x ≥ a}, o es R o ∅.

Algunas combinaciones algebraicas sencillas de funciones medibles son me-dibles, tal como mostraremos ahora.

2.6 Lema. Sea f y g funciones reales medibles y sea c un numero real.Entonces las funciones

cf, f2, f + g, fg, |f |,

tambien son medibles.

Demostracion.

(a) Si c = 0, la afirmacion es trivial. Si c > 0, entonces

{x ∈ X : cf(x) > α} = {x ∈ X : f(x) > α/c} ∈ X.

El caso c < 0 se trata de manera similar.

(b) Si α < 0, entonces{

x ∈ X : (f(x))2 > α}

= X; si α ≥ 0, entonces

{

x ∈ X : (f(x))2 > α}

={

x ∈ X : f(x) >√α}

∪{

x ∈ X : f(x) < −√α}

.

(c) Por hipotesis, si r es un numero racional, entonces

Sr = {x ∈ X : f(x) > r} ∩ {x ∈ X : g(x) > α− r}

pertenece a X. Puesto que se puede comprobar facilmente que

{x ∈ X : (f + g)(x) > α} =⋃

{Sr : r racional} ,

se sigue que f + g es medible.


(d) Dado que fg =1

4[(f + g)2 − (f − g)2], se sigue de las partes (a), (b), y (c)

que fg es medible.

(e) Si α < 0, entonces {x ∈ X : |f(x)| > α} = X, mientras que si α ≥ 0, en-tonces {x ∈ X : |f(x)| > α} = {x ∈ X : f(x) > α}∪{x ∈ X : f(x) < −α} .Por lo tanto la funcion |f | es medible.

�

Si f es cualquier funcion de X a R, sea f+ y f− las funciones no negativasdefinidas en X por

(2.4) f+(x) = sup{f(x), 0}, f−(x) = sup{−f(x), 0}.La funcion f+ se llama parte positiva de f y f− se llama parte negativa

de f . Es claro que

(2.5) f = f+ − f− y |f | = f+ + f−

y de estas identidades se sigue que

(2.6) f+ =1

2(|f | + f), f− =

1

2(|f | − f).

En vista del lema precedente deducimos que f es medible si y solamente si f+

y f− son medibles.La discusion precedente es valido para funciones reales definidas sobre un

espacio medible. Sin embargo, en el tratamiento con sucesiones de funcionesmedibles se desea a menudo formar supremo, lımites, etc., y es tecnicamenteconveniente aceptar los numeros reales extendidos −∞, +∞ para ser tomadoscomo valores. En consecuencia deseamos definir medibilidad para funcionesreales extendidos y haremos esto exactamente como en la Definicion 2.3.

2.7 Definicion. Una funcion real extendido en X es X−medible en elcaso que el conjunto {x ∈ X : f(x) > α} pertenezca a X para cada numeroreal α. La coleccion de todas las funciones reales extendidos X−medibles enX se denota por M(X,X).

Observe que si f ∈M(X,X), entonces

{x ∈ X : f(x) = +∞} =∞⋂

n=1

{x ∈ X : f(x) > n} ,

{x ∈ X : f(x) = −∞} = C

[

∞⋃

n=1

{x ∈ X : f(x) > −n}]

,

de manera que ambos conjuntos pertenecen a X.El siguiente lema muchas veces es util al considerar funciones reales exten-

didos.

11

2.8 Lema. Una funcion real extendido f es medible si y solamente si losconjuntos

A = {x ∈ X : f(x) = +∞} , B = {x ∈ X : f(x) = −∞}

pertenecen a X y la funcion real f1 definida por

f1(x) =

{

f(x), si x /∈ A ∪B,0, si x ∈ A ∪B,

es medible.

Demostracion. Si f esta en M(X,X), ya se ha visto que A y B pertenecena X. Sea α ∈ R y α ≥ 0, entonces

{x ∈ X : f1(x) > α} = {x ∈ X : f(x) > α} \A.

Si α < 0, entonces

{x ∈ X : f1(x) > α} = {x ∈ X : f(x) > α} ∪B.

En consecuencia f1 es medible.Recıprocamente, si A, B ∈ X y f1 es medible, entonces

{x ∈ X : f(x) > α} = {x ∈ X : f1(x) > α} ∪A

donde α ≥ 0, y

{x ∈ X : f(x) > α} = {x ∈ X : f1(x) > α} \B

donde α < 0. Por lo tanto f es medible. �

Una consecuencia del Lema 2.6 y 2.8 es que si f esta en M(X,X), entonceslas funciones

cf, f2, |f |, f+, f−

tambien pertenecen a M(X,X).El unico comentario que se necesita hacer es que adoptamos la convencion

que 0(+∞) = 0 para que cf desaparezca identicamente cuando c = 0. Si f yg pertenecen a M(X,X), entonces la suma f + g no esta bien definida por laformula (f + g)(x) = f(x) + g(x) sobre los conjuntos

E1 = {x ∈ X : f(x) = −∞ y g(x) = +∞} ,

E2 = {x ∈ X : f(x) = +∞ y g(x) = −∞} ,de los cuales ambos pertenecen a X. No obstante, si definimos f + g igual acero sobre E1 ∪ E2 la funcion resultante sobre X es medible. Regresaremos ala medibilidad del producto fg despues del siguiente resultado.


2.9 Lema. Sea (fn) una sucesion en M(X,X) y se define las funciones

f(x) = ınf fn(x), F (x) = sup fn(x),

f∗(x) = lım ınf fn(x), F ∗(x) = lım sup fn(x).

Entonces f , F , f∗, y F ∗ pertenecen a M(X,X).

Demostracion. Observe que

{x ∈ X : f(x) ≥ α} =∞⋂

n=1

{x ∈ X : fn(x) ≥ α} ,

{x ∈ X : F (x) > α} =∞⋃

n=1

{x ∈ X : fn(x) > α} ,

de manera que f y F son medibles cuando todos los fn lo son. Puesto que

f∗(x) = supn≥1

{

ınfm≥n

fm(x)

}

,

F ∗(x) = ınfn≥1

{

supm≥n

fm(x)

}

,

la medibilidad de f∗ y F ∗ tambien esta establecido. �

2.10 Corolario. Si (fn) es una sucesion en M(X,X) que converge a fen X, entonces f esta en M(X,X).

Demostracion. En este caso f(x) = lım fn(x) = lım ınf fn(x). �

Ahora bien, retornemos a la medibilidad del producto fg cuando f , gpertenecen a M(X,X). Si n ∈ N, sea fn el “truncamiento de f” definido por

fn(x) =

f(x), si |f(x)| ≤ n,n, si f(x) > n,−n, si f(x) < −n,

Sea gn definido de manera similar. Es facil comprobar que fn y gm son medibles(vease el Ejercicio 2.K). Del Lema 2.6 se sigue que el producto fn gm esmedible. Dado que

f(x) gm(x) = lımnfn(x) gm(x), x ∈ X,

13

del Corolario 2.10 se sigue que f gm pertenece a M(X,X). Puesto que

(fg)(x) = f(x) g(x) = lımmf(x) gm(x), x ∈ X,

aplicando una vez mas el Corolario 2.10 se muestra que fg pertenece aM(X,X).

Se ha visto que el lımite de una sucesion de funciones enM(X,X) pertenecea M(X,X). Entonces probaremos que una funcion no negativa f en M(X,X)es el lımite de una sucesion monotona creciente (ϕn) en M(X,X). Mas aun, sepuede elegir cada ϕn diferente del negativo y suponer que solo es un numerofinito de valores reales.

2.11 Lema. Si f es una funcion no negativa en M(X,X), entonces existeuna sucesion (ϕn) en M(X,X) tal que

(a) 0 ≤ ϕn(x) ≤ ϕn+1(x) para x ∈ X, n ∈ N.

(b) f(x) = lımϕn(x) para cada x ∈ X, n ∈ N.

(c) Cada ϕn tiene solamente un numero finito de valores reales.

Demostracion. Sea n un numero natural fijo. Si k = 0, 1, . . . , n2n − 1, seaEkn el conjunto

Ekn ={

x ∈ X : k2−n ≤ f(x) < (k + 1)2−n}

,

y si k = n2n, sea Ekn el conjunto {x ∈ X : f(x) ≥ n} . Observemos que losconjuntos {Ekn : k = 0, 1, . . . , n2n} que son disjuntos, pertenecen a X y tieneunion igual al X. Si definimos ϕn igual a k2−n en Ekn, entonces ϕn pertenecea M(X,X). Es facil establecer que las propiedades (a), (b), (c) se cumplen. �

Funciones Complejas

Frecuentemente es importante considerar funciones complejas definidos enX y tener una idea de medibilidad para tales funciones. Observemos que si fes una funcion compleja definido en X, entonces existen dos funciones realesdeterminados unıvocamente f1, f2, tales que

f = f1 + if2.

(En efecto, f1(x) = Re f(x), f2(x) = Im f(x), para x ∈ X.) Definimos que lafuncion compleja f es medible si y solamente si sus partes real e imaginaria

f1 y f2, respectivamente, son medibles. Es facil de comprobar que las sumas,productos, y lımites de funciones complejas medibles tambien son medibles.


Funciones Entre Espacios Medibles

En la segunda parte necesitaremos la nocion de medibilidad solo para fun-ciones complejas y reales. Sin embargo en algunos trabajos uno desea definirmedibilidad para una funcion f de un espacio medible (X,X) en otro espaciomedible (Y,Y). Es este caso se dice que f es medible en caso que el conjunto

f−1(E) = {x ∈ X : f(x) ∈ E}

pertenece a X para cada conjunto E que pertenece a Y. A pesar de queesta definicion de medibilidad parece ser diferente de la Definicion 2.3, no esdifıcil probar (vease el Ejercicio 2.P) que la Definicion 2.3 es equivalente a estadefinicion en el caso que Y = R y Y = B.

Esta definicion de medibilidad muestra muy claramente la estrecha similitudentre las funciones medibles de un espacio medible y las funciones continuasde un espacio topologico.

Ejercicios

2.A. Mostrar que [a, b] =

∞⋂

n=1

(

a− 1

n, b+

1

n

)

. En consecuencia cualquier

σ−algebra de subconjuntos de R que contiene todos los intervalos abier-tos tambien contiene todos los intervalos cerrados. De manera similar,

mostrar que (a, b) =⋃∞

n=1

[

a+1

n, b− 1

n

]

, ası que cualquier σ−algebra

que contiene todos los intervalos cerrados tambien contiene todos losintervalos abiertos.

2.B. Mostrar que el algebra de Borel B tambien esta generado por la coleccionde todos los intervalos semi-abiertos (a, ] = {x ∈ R : a < x ≤ b}. Mostrarademas que B esta generado por la coleccion de todos las semi-rayas{x ∈ R : x > a}, a ∈ R

2.C. Sea (An) una succion de subconjuntos de un conjunto X. Sea E0 = ∅ ypara n ∈ N, sea

En =n⋃

k=1

Ak, Fn = An\En−1.

Mostrar que (En) es una sucesion monotona creciente de conjuntos yque (Fn) es una sucesion de conjuntos disjuntos (es decir, Fn ∩ Fm = ∅si n 6= m) tal que

∞⋃

n=1

En =

∞⋃

n=1

Fn =

∞⋃

n=1

An.

15

2.D. Sea (An) una sucesion de subconjuntos de un conjunto X. Si A consistede todo x ∈ X que pertenece a un numero infinito de los conjuntos An,mostrar que

A =∞⋂

m=1

[

∞⋃

n=m

An

]

.

Por lo general el conjunto A se llama lımite superior de los conjuntos(An) y esta denotado por lım supAn.

2.E. Sea (An) una sucesion de subconjuntos de un conjunto X. Si B consistede todo x ∈ X que pertenece a todo pero un numero finito de los sub-conjuntos An, mostrar que

B =∞⋃

m=1

[

∞⋂

n=m

An

]

.

Por lo general el conjunto B se llama el lımite inferior de los conjuntos(An) y esta denotado por lım ınf An.

2.F. Si (En) es una sucesion de subconjuntos de un conjunto X que es mono-tona creciente (es decir, E1 ⊆ E2 ⊆ E3 ⊆ · · · ), mostrar que

lım supEn =

∞⋃

n=1

En = lım ınf En.

2.G. Si (En) es una sucesion de subconjuntos de un conjunto X que es mono-tona decreciente (es decir, F1 ⊇ F2 ⊇ F3 ⊇ · · · ), mostrar que

lım supFn =

∞⋂

n=1

Fn = lım ınf Fn.

2.H. Si (An) es una sucesion de subconjuntos de X, mostrar que

∅ ⊆ lım ınf An ⊆ lım supAn ⊆ X.

Dar un ejemplo de una sucesion (An) tal que

lım ınf An = ∅, lım supAn = X.

Dar un ejemplo de una sucesion (An) que sea monotona creciente odecreciente, pero tal que

lım ınf An = lım supAn.

Cuando esta igualdad se cumple, el valor comun se llama el lımite de(An) y se denota por lımAn.


2.I. Dar un ejemplo de una funcion f de X a R que no es X−medible, peroque las funciones |f | y f2 sean X−medibles.

2.J. Si a, b, c son numeros reales, sea med(a, b, c) que denota el “valor inter-medio”. Mostrar que

med(a, b, c) = ınf{sup{a, b}, sup{a, c}, sup{b, c}}.

Si f1, f2, f3 son funciones X−medibles de X a R y si g esta definido parax ∈ X por

g(x) = med(f1(x), f2(x), f3(x)),

entonces g es X−medible.

2.K. Mostrar directamente (sin usar el ejercicio precedente) que si f es medibley A > 0, entonces el truncamiento fA definido por

fA(X) =

f(x), si |f(x)| ≤ AA, si f(x) > A,−A, si f(x) < −A,

es medible.

2.L. Sea f una funcion no negativa X−medible sobre X el cual esta acotado(es decir, existe una constante K tal que 0 ≤ f(x) ≤ K para todox ∈ X). Mostrar que la sucesion (ϕn) construida en el Lema 2.11converge uniformemente en X a f .

2.M. Sea f una funcion definida sobre un conjunto X con valores en un con-junto Y . Si E es cualquier subconjunto de Y , sea

f−1(E) = {x ∈ X : f(x) ∈ E} .

Mostrar que f−1(∅) = ∅, f−1(Y ) = X. Si E y F son subconjuntos de Y ,entonces

f−1(E\F ) = f−1(E)\f−1(F ).

Si {Eα} es cualquier coleccion no vacıa de subconjuntos de Y , entonces

f−1

(

⋃

α

Eα

)

=⋃

α

f−1(Eα), f−1

(

⋂

α

Eα

)

=⋂

α

f−1(Eα).

En particular se sigue que si Y es un σ−algebra de subconjuntos de Y ,entonces

{

f−1(E) : E ∈ Y}

es un σ−algebra de subconjuntos de X.

17

2.N. Sea f una funcion definida sobre un conjunto X con valores en unconjunto Y . Sea X un σ−algebra de subconjuntos de X y seaY =

{

E ⊆ Y : f−1(E) ∈ X}

. Mostrar que Y es un σ−algebra.

2.O. Sea (X,X) un espacio medible y f definido deX a Y . Sea A una coleccionde subconjuntos de Y tales que f−1(E) ∈ X para cada E ∈ A. Mostrarque f−1(F ) ∈ X para cualquier conjunto F que pertenezca al σ−algebragenerado por A. [Sugerencia: Usar el ejercicio precedente.]

2.P. Sea (X,X) un espacio medible y f una funcion real definida sobre X.Mostrar que f es X−medible si y solamente si f−1(E) ∈ X para cadaconjunto de Borel E.

2.Q. Sea (X,X) un espacio medible, f una funcion X−medible de X a R ysea ϕ una funcion continua de R a R. Mostrar que la composicion ϕ ◦ f ,definido por (ϕ ◦ f)(x) = ϕ[f(x)], es X−medible. [Sugerencia: Si ϕ escontinua, entonces ϕ−1(E) ∈ B para cada E ∈ B.]

2.R. Sea f como en el ejercicio precedente y sea ψ una funcion Borel medible.Mostrar que ψ ◦ f es X−medible.

2.S. Sea f una funcion compleja definida sobre un espacio medible (X,X).Mostrar que f es X−medible si y solamente si

{x ∈ X : a < Re f(x) < b, c < Im f(x) < d}

pertenece a X para todos los numeros reales a, b, c, d. De manera masgeneral, f es X−medible si y solamente si f−1(G) ∈ X para cada conjuntoabierto G en el plano complejo C.

2.T. Mostrar que las sumas, los productos, y lımites de funciones complejasmedibles son medibles.

2.U. Mostrar que una funcion f de X a R (o a R) es X−medible si y sola-mente si el conjunto Aα del Lema 2.4(a) pertenece a X para cada numeroracional α; o, si y solamente si el conjunto Bα del Lema 2.4(b) pertenecea X para cada numero racional α; etc.

2.V. Un a coleccion no vacıa M de subconjuntos de un conjunto X se llamauna clase monotona si, para cada sucesion monotona creciente (En)en M y cada sucesion monotona decreciente (Fn) en M, los conjuntos

∞⋃

n=1

En,∞⋂

n=1

Fn

pertenecen a M. Mostrar que un σ−algebra es una clase monotona.


Ademas, si A es una coleccion no vacıa de subconjuntos de X, entoncesexiste una clase monotona mas pequena que contiene a A. (Esta clasemonotona mas pequena se llama la clase monotona generada por A.)

2.W. Si A es una coleccion no vacıa de subconjuntos deX, entonces el σ−algebraS generado por A contiene la clase monotona M generada por A. Mostrarque la inclusion A ⊆ M ⊆ S puede ser correcta.

3Medidas

Hemos introducido la nocion de un espacio medible (X,X) que consiste deun conjuntoX y un σ−algebra X de subconjuntos deX. Ahora consideraremosciertas funciones que estan definidas en X y tienen valores reales, o realesextendidos. Estas funciones, que seran llamados “medidas” estan propuestospor nuestra idea de longitud, area, masa, etc. Por tanto, es natural que sedeban adjuntar el valor 0 para el conjunto vacıo ∅ y que deben ser aditiva sobreconjuntos disjuntos en X. (En realidad vamos a exigir que sean contablementeaditivas en el sentido que se describira a continuacion.) Ademas es convenientepermitir que las medidas tomen el valor +∞ del sistema de numeros realesextendidos.

3.1 Definicion (Medida). Una medida es una funcion real extendido µdefinido en un σ−algebra X de subconjuntos de X tal que

(i) µ(∅) = 0,

(ii) µ(E) ≥ 0 para todo E ∈ X, y

(iii) µ es contablemente aditiva en el sentido de que si (En) es cualquiersucesion disjunta a de conjuntos en X, entonces

(3.1) µ

(

∞⋃

n=1

En

)

=∞∑

n=1

µ(En).

aEsto significa que En ∩ Em = ∅ si n 6= m.

Puesto que se permite a µ tomar el valor de +∞, observamos que la formadel valor +∞ del lado derecho de la ecuacion (3.1) significa que µ(En) = +∞

19

20 Capıtulo 3. Medidas

para algun n o que la serie de terminos no negativos del lado derecho de (3.1)es divergente. Si una medida no toma el valor de +∞, decimos que es finito.De manera mas general si existe una sucesion (En) de conjuntos en X con

X =⋃

En y tal que µ(En) < +∞ para todo n, entonces decimos que µ esσ−finito.

3.2 Ejemplos. (a) Sea X cualquier conjunto no vacıo y sea X el σ−algebrade todos los subconjuntos de X. Sea µ1 definido en X por

µ1(E) = 0, para todo E ∈ X;

y sea µ2 definido por

µ2(∅) = 0, µ2(E) = +∞ si E 6= ∅.Tanto µ1 como µ2 son medidas, a pesar de que ninguno es muy interesante.Observese que µ2 no es ni finito ni σ−finito.

(b) Sea (X,X) como en (a) y sea p un elemento fijo de X. Sea µ definido paraE ∈ X por

µ(E) =

{

0, si p /∈ E,1, si p ∈ E.

Se puede ver facilmente que µ es de medida finita; esta medida se llamamedida unidad concentrada en p.

(c) Sea X = N = {1, 2, 3, . . .} y sea X el σ−algebra de todos los subconjuntosde N. Si E ∈ X, definimos µ(E) igual al numero de elementos de E si Ees un conjunto finito e igual a +∞ si E es un conjunto infinito. Entoncesµ es una medida y se llama medida de contar en N. Observese que µno es finito, pero es σ−finito.

(d) Si X = R y X = B, el algebra de Borel, entonces se mostrara en elCapıtulo 9 que existe una unica medida λ definida en B que coincide conla longitud de los intervalos abiertos. [Con esto queremos decir que si Ees un intervalo no vacıo (a, b), entonces λ(E) = b− a.] Esta unica medidausualmente se llama medida de Lebesgue( o Borel). Esta medida no esfinita, pero es σ−finita.

(e) Si X = R, X = B, y f es una funcion continua monotona creciente,entonces mostrara en el Capıtulo 9 que existe una unica medida λf definidoen B tal que si E = (a, b), entonces λf (E) = f(b)− f(a). Esta medida λf

se llama la medida de Borel-Stieltjes generado por f .

Ahora deduciremos algunos resultados simples que seran necesarios masadelante.

3.3 Lema. Sea µ una medida definida en un σ−algebra X. Si E y Fpertenecen a X y E ⊆ F , entonces µ(E) ≤ µ(F ). Si µ(E) < +∞, entoncesµ(F\E) = µ(F ) − µ(E).

21

Demostracion. Puesto que F = E ∪ (F\E) y E ∩ (F\E) = ∅, se sigue que

µ(F ) = µ(E) + µ(F\E).

Puesto que µ(F\E) ≥ 0, se sigue que µ(F ) ≥ µ(E). Si µ(E) < +∞, entoncespodemos restarlo de ambos lados de esta ecuacion. �

3.4 Lema. Sea µ una medida definida en un σ−algebra X.

(a) Si (En) es una sucesion creciente en X, entonces

(3.2) µ

(

∞⋃

n=1

En

)

= lımµ(En).

(b) Si (Fn) es una sucesion decreciente en X y si µ(F1) < +∞, entonces

(3.3) µ

(

∞⋂

n=1

Fn

)

= lımµ(Fn).

Demostracion.

(a) Si µ(En) = +∞ para algun n, entonces ambos lados de la ecuacion (3.2)son +∞. Por lo tanto podemos suponer que µ(En) < +∞ para todo n.

Sea A1 = E1 y An = En\En−1 para n > 1. Entonces (An) es una sucesiondisjunta de conjuntos en X tal que

En =

n⋃

j=1

Aj,

∞⋃

n=1

En =

∞⋃

n=1

An.

Puesto que µ es contablemente aditiva,

µ

(

∞⋃

n=1

En

)

=

∞∑

n=1

µ(An) = lım

m∑

n=1

µ(An).

Por el Lema 3.3 µ(An) = µ(En) − µ(En−1) para n > 1, entonces la seriefinita del lado derecho se reduce y

m∑

n=1

µ(An) = µ(Em).

Por lo tanto la ecuacion (3.2) esta probado.


(b) Sea En = F1\Fn, ası que (En) es una sucesion creciente de conjuntos enX. Si aplicamos la parte (a) y el Lema 3.3, deducimos que

µ

(

∞⋃

n=1

En

)

= lımµ(En) = lım[µ(F1) − µ(Fn)]

= µ(F1) − lımµ(Fn).

Puesto que

∞⋃

n=1

En = F1\∞⋂

n=1

Fn, se sigue que

µ

(

∞⋃

n=1

En

)

= µ(F1) − µ

(

∞⋂

n=1

Fn

)

.

Combinando estas dos ecuaciones, obtenemos (3.3).

�

3.5 Definicion (Espacio de Medida). Una espacio de medida es unaterna (X,X, µ) que consiste de un conjunto X, un σ−algebra X desubconjuntos de X, y una medida µ definida en X.

Hay una terminologıa que necesita ser mencionada y que sera empleadoposteriormente. Diremos que cierta proposicion se cumple µ−casi dondequiera

si existe un subconjuntoN ∈ X con µ(N) = 0 tal que la proposicion se cumplesobre el complemento de N . Por consiguiente decimos que dos funciones f, gson iguales µ−casi dondequiera o que son iguales para µ−casi todo xen el caso f(x) = g(x) cuando x /∈ N , para algun N ∈ X con µ(N) = 0. Eneste caso por lo general escribimos

f = g, µ− c.d.

De igual forma, decimos que una sucesion de funciones (fn) en X converge

µ−casi dondequiera (o converge para µ−casi todo x) si existe un con-junto N ∈ X con µ(N) = 0 tal que f(x) = lım fn(x) para x /∈ N . En este casopor lo general escribimos

f = lım fn, µ− c.d.

Por su puesto, si la medida µ se sobrentiende, decimos “casi dondequiera” enlugar de “µ−casi dondequiera.”

Hay algunos casos (por ejemplo, propuesto por la nocion de carga electrica)en los que es conveniente discutir funciones que se comportan como medidas

23

salvo que tomen valores tanto positivos como negativos. En este caso, no es tanconveniente permitir los valores de los numeros reales extendidos +∞, −∞ yaque deseamos evitar expresiones de la forma (+∞)+(−∞). Aunque es posiblemanejar “medidas con signo” que tomara uno solo de los valores +∞, −∞,vamos a limitar nuestra atencion en el caso de que ninguno de estos sımbolosesta permitido. Para indicar esta restriccion, vamos a introducir el termino“carga”, el cual no es totalmente estandar.

3.6 Definicion (Carga). Si X es un σ−algebra de subconjuntos de unconjunto X, entonces una funcion real λ definida sobre X se llama cargaen caso que λ(∅) = 0 y λ es contablemente aditiva en el sentido que si (En)es una sucesion disjunta de conjuntos en X, entonces

λ

(

∞⋃

n=1

En

)

=

∞∑

n=1

λ(En).

[Puesto que el lado izquierdo es independiente del orden y esta igualdad esnecesaria para todas esas sucesiones, la serie del lado derecho debe ser abso-lutamente convergente para todas las sucesiones disjuntas de conjuntos medi-bles.]

Es evidente que la suma y la diferencia de dos cargas es una carga. Enterminos mas generales, cualquier combinacion lineal finita de los cargas esuna carga. En el Capıtulo 5 se vera que las funciones que son integrablessobre un espacio de medida (X,X, µ) dan lugar a cargas. Mas adelante, enel Capıtulo 8, vamos a caracterizar aquellas cargas que estan generados porfunciones integrables.

Ejercicios

3.A. Si µ es una medida en X y A es un conjunto fijo en X, entonces la funcionλ, definido para E ∈ X por λ(E) = µ(A ∩E), es una medida en X.

3.B. Si µ1, . . . , µn son medidas en X y a1, . . . , an son numeros reales no nega-tivos, entonces la funcion λ, definida para E ∈ X por

λ(E) =

n∑

j=1

aj µj(E),

es una medida en X.

3.C. Si (µn) es una sucesion de medidas en X con µn(X) = 1 y si λ estadefinido por

λ(E) =

∞∑

n=1

2−nµn(E), E ∈ X,


entonces λ es una medida en X y λ(X) = 1.

3.D. Sea X = N y sea X el σ−algebra de todos los subconjuntos de N. Si (an)es una sucesion de numeros reales no negativos y si definimos µ por

µ(∅) = 0; µ(E) =∑

n∈E

an, E 6= ∅;

entonces µ es una medida en X. Recıprocamente, cada medida en X seobtiene de esta manera para alguna sucesion (an) en R

+.

3.E. Sea X un conjunto no numerable y sea X la familia de todos los subcon-juntos de X. Se define µ sobre E ∈ X exigiendo que µ(E) = 0, si E esnumerable, y µ(E) = +∞, si E es no numerable. Mostrar que µ es unamedida en X

3.F. Sea X = N y sea X la familia de todos los subconjuntos de N. Si E esfinito, sea µ(E) = 0; si E es infinito, sea µ(E) = +∞. ¿µ es una medidaen X?.

3.G. Si X y X son como en el Ejercicio 3.F, sea λ(E) = +∞ para todo E ∈ X.¿λ es una medida?

3.H. Mostrar que el Lema 3.4(b) puede dejar de ser verdad si la condicion definitud µ(F1) < +∞ no se toma en cuenta.

3.I. Sea (X,X, µ) un espacio de medida y sea (En) una sucesion en X.Mostrar que

µ(lım ınf En) ≤ lım ınf µ(En).

[Vease el Ejercicio 2.E.]

3.J. Usando la notacion del Ejercicio 2.D, mostrar que

lım supµ(En) ≤ µ(lım supEn)

cuando µ(

⋃

En

)

< +∞. Mostrar que esta igualdad puede no cumplirse

si µ(

⋃

En

)

= +∞.

3.K. Sea (X,X, µ) un espacio de medida y sea Z = {E ∈ X : µ(E) = 0}.¿Z es un σ−algebra? Mostrar que si E ∈ Z y F ∈ X, entonces E∩F ∈ Z.

Ademas, si En pertenece a Z para n ∈ N, entonces⋃

En ∈ Z.

3.L. Sea X,X, µ,Z como en el Ejercicio 3.K y sea X′ la familia de todos lossubconjuntos de X de la forma

(E ∪ Z1)\Z2, E ∈ X,

25

donde Z1 y Z2 son subconjuntos arbitrarios de conjuntos que pertenecena Z. Mostrar que un conjunto esta en X′ si y solamente si tiene la formaE∪Z donde E ∈ X y Z es un subconjunto de un conjunto de Z. Mostrarque la coleccion X′ forma un σ−algebra de conjuntos en X. El σ−algebraX′ se llama complecion de X (con respecto a µ).

3.M. Con la notacion del Ejercicio 3.L, sea µ′ definido en X′ por

µ′(E ∪ Z) = µ(E),

donde E ∈ X y Z es un subconjunto de un conjunto en Z. Mostrar queµ′ esta bien definido y es una medida en X′ que coincide con µ en X. Lamedida µ′ se llama complecion de µ.

3.N. Sea (X,X, µ) una espacio de medida y sea (X,X′, µ) su complecion en elsentido del Ejercicio 3.M. Supongamos que f es una funcion X′−mediblede X a R. Mostrar que existe una funcion X−medible g de X a R que esigual a f µ−casi dondequiera. [Sugerencia: Para cada numero racionalr, sea Ar = {x : f(x) > r} y escribir Ar = Er ∪ Zr donde Er ∈ X yZr es un subconjunto de un conjunto en Z. Sea Z un conjunto en Z que

contiene a⋃

Zr, y definir g(x) = f(x) para x /∈ Z, y g(x) = 0 para

x ∈ Z. Mostrar que g es X−medible, usar el Ejercicio 2.U. ]

3.O. Mostrar que el Lema 3.4 se cumple si µ es una carga en X.

3.P. Si µ es una carga en X, sea π definido para E ∈ X por

π(E) = sup {µ(A) : A ⊆ E, A ∈ X} .

Mostrar que π es una medida en X. [Sugerencia: Si π(E) <∞ y ǫ > 0,sea Fn ∈ X tal que Fn ⊆ En y π(En) ≤ µ(Fn) + 2−nǫ.]

3.Q. Si µ es una carga en X, sea ν definido para E ∈ X por

ν(E) = sup

n∑

j=1

|µ(Aj)|,

donde el supremo se toma sobre toda coleccion disjunta finita {Aj} en

X con E =

n⋃

j=1

Aj . Mostrar que ν es una medida en X. (Esta medida se

llama la variacion de µ.)

3.R. Sea λ que denota la medida de Lebesgue definida en el algebra de BorelB de R [vease el Ejemplo 3.2(d)].


(a) Si E consiste de un solo punto, entonces E ∈ B y λ(E) = 0

(b) Si E es numerable, entonces E ∈ B y λ(E) = 0.

(c) El intervalo abierto (a, b), los intervalos semi-abiertos (a, b], [a, b), yel intervalo cerrado [a, b] tienen todos la medida de Lebesgue b− a.

3.S. Si λ denota la medida Lebesgue y E es un subconjunto abierto de R,entonces λ(E) > 0 si y solamente si E es no vacıo. Mostrar que si K esun subconjunto compacto de R, entonces λ(K) < +∞.

3.T. Mostrar que la medida de Lebesgue del conjunto de Cantor (vease laReferencia [1], p. 52) es cero.

3.U. Cambiando la construccion del conjunto de Cantor, obtener un conjuntode medida de Lebesgue positivo que contenga intervalos abiertos novacıos.

3.V. Supongase que E es un subconjunto de un conjuntoN ∈ X con µ(N) = 0pero que E /∈ X. La sucesion (fn), fn = 0, converge µ−casi dondequieraa χE. En consecuencia, el lımite casi dondequiera de una sucesion defunciones medibles pueden no ser medible.

4La Integral

En este capıtulo introduciremos la integral primero para funciones mediblessimples no negativos y luego para funciones reales extendidos no negativosarbitrarios. El principal resultado es el celebre Teorema de la ConvergenciaMonotona, que es una herramienta fundamental para todo lo que sigue.

A lo largo de este capıtulo consideraremos una espacio de medida (X,X, µ).Denotaremos la coleccion de todas las funciones X−medibles de X a R porM = M(X,X) y la coleccion de todas las funciones X−medibles no negativosde X a R por M+ = M+(X,X). Vamos a definir la integral de cualquierfuncion en M+ con respecto a la medida µ. Con el proposito de hacerlo en-contraremos conveniente introducir el concepto de una funcion simple. Esto esconveniente para exigir que las funciones simples tengan valores en R en lugarde valores en R.

4.1 Definicion (funcion simple). Una funcion real es simple si solo tieneun numero finito de valores.

Una funcion medible simple ϕ puede estar representando en la forma

(4.1) ϕ =

n∑

j=1

aj χEj ,

donde aj ∈ R y χEj es la funcion caracterıstica de un conjunto Ej en X.Entre estas representaciones de ϕ existe un unica representacion estandar

caracterizado por el hecho de que los aj son distintos y los Ej son subconjuntos

disjuntos no vacıos de X y tales que X =

n⋃

j=1

Ej . (Por supuesto, si no exigimos

que los aj sean distintos, o que los conjuntos Ej sean disjuntos, entonces una

27

28 Capıtulo 4. La Integral

simple funcion tiene muchas representaciones como una combinacion lineal delas funciones caracterısticas.)

4.2 Definicion. Si ϕ es una funcion simple en M+(X,X) con la repre-sentacion estandar (4.1), definimos la integral de ϕ respecto a µ como elnumero real extendido

(4.2)

∫

ϕdµ =

n∑

j=1

aj µ(Ej).

En la expresion (4.2) empleamos el convenio que 0(+∞) = 0 ası la integralde la funcion identicamente 0 es igual a 0 si el espacio tiene medida finita oinfinita. Cabe senalar que el valor de la integral de una funcion simple en M+

esta bien definido (aunque puede ser +∞) ya que todos los aj , son no negativos,y ası no encontramos sentido a expresiones tales como (+∞) − (+∞).

Vamos a necesitar las siguientes propiedades elementales de la integral.

4.3 Lema. (a) Si ϕ y ψ son funciones simples en M+(X,X) y c ≥ 0,entonces

∫

cϕ dµ = c

∫

ϕdµ,

∫

(ϕ+ ψ) dµ =

∫

ϕdµ +

∫

ψ dµ.

(b) Si λ esta definido para E en X por

λ(E) =

∫

ϕχE dµ,

entonces λ es una medida en X.

Demostracion. Si c = 0, entonces cϕ desaparece identicamente y la igualdadse cumple. Si c > 0, entonces cϕ esta en M+ con representacion estandar

cϕ =n∑

j=1

c aj χEj ,

cuando ϕ tiene la representacion estandar (4.1). Por lo tanto∫

cϕ dµ =

n∑

j=1

aj µ(Ej) = c

n∑

j=1

aj µ(Ej) = c

∫

ϕdµ.

Sea ϕ y ψ que tienen representaciones estandares

ϕ =

n∑

j=1

aj χEj , ψ =

m∑

k=1

bk χFk,

29

entonces ϕ+ ψ tienen una representacion

ϕ+ ψ =n∑

j=1

m∑

k=1

(aj + bk)χEj∩Fk.

Sin embargo, esta representacion ϕ + ψ tiene una combinacion lineal de fun-ciones caracterısticas de los conjuntos disjuntos Ej ∩ Fk no es necesariamentela representacion estandar para ϕ + ψ, ya que los valores aj + bk pueden noser distintos. Sea ch, h = 1, . . . , p, los numeros que son distintos en el conjun-to {aj + bk : j = 1, . . . , n; k = 1, . . . ,m} y sea Gh la union de todos aquellosconjuntos Ej ∩ Fk 6= ∅ tal que aj + bk = ck. Por lo tanto

µ(Gh) =∑

(h)

µ(Ej ∩ Fk),

donde la notacion indica la sumatoria sobre todos los j, k tales que aj+bk = ch.Puesto que la representacion estandar de ϕ+ ψ esta dado por

ϕ+ ψ =

p∑

h=1

ch χGh,

encontramos que

∫

(ϕ+ ψ) dµ =

p∑

h=1

µ(Gh)

=

p∑

h=1

∑

(p)

ch µ(Ej ∩ Fk)

=

p∑

h=1

∑

(h)

(aj + bk)µ(Ej ∩ Fk)

=

n∑

j=1

m∑

k=1

(aj + bk)µ(Ej ∩ Fk)

=

n∑

j=1

m∑

k=1

aj µ(Ej + Fk) +

n∑

j=1

m∑

k=1

bk µ(Ej ∩ Fk).

Ya que X es la union de ambas familias disjuntas {Ej} y {Fk}, entonces

µ(Ej) =

m∑

k=1

µ(Ej ∩ Fk), µ(Fk) =

n∑

j=1

µ(Ej ∩ Fk).


Empleamos esta observacion (y cambiamos el orden de la sumatoria en elsegundo termino) para obtener relacion deseada

∫

(ϕ+ ψ) dµ =

n∑

j=1

aj µ(Ej) +

m∑

k=1

bk µ(Fk)

=

∫

(ϕ) dµ +

∫

(ψ) dµ.

Para establecer la parte (b), observemos que

ϕχE =

n∑

j=1

aj χEj∩E.

En consecuencia, de lo que hemos demostrado se sigue por induccion que

λ(E) =

∫

ϕχE dµ =

n∑

j=1

aj

∫

χEj∩E dµ =

n∑

j=1

aj µ(Ej ∩E).

Dado que la aplicacion E → µ(Ej ∩ E es una medida (vease el Ejercicio 3.A)hemos expresado λ como una combinacion lineal de medidas en X. Se sigue(vease el Ejercicio 3.B) que λ tambien es una medida en X. �

Ahora estamos preparados para introducir la integral de una funcion arbi-traria en M+. Observe que no se exige que el valor de la integral sea finito.

4.4 Definicion. Si f pertenece a M+(X,X), definimos la integral de fcon respecto a µ como el numero real extendido

(4.3)

∫

f dµ = sup

∫

ϕ, dµ,

donde el supremo esta extendido sobre todas funciones simples ϕ enM+(X,X) que satisfacen 0 ≤ ϕ(x) ≤ f(x) para todo x ∈ X. Si f pertenecea M+(X,X) y E pertenece a X, entonces fχE

pertenece a M+(X,X) ydefinimos la integral de f sobre E con respecto a µ como el numeroreal extendido

(4.4)

∫

Ef dµ =

∫

fχE, dµ.

Primero mostraremos que la integral es monotona tanto con respecto alintegrando como al conjunto sobre el cual la integral esta extendido.

31

4.5 Lema. (a) Si f y g pertenecen a M+(X,X) y f ≤ g, entonces

(4.5)

∫

f dµ ≤∫

g dµ.

(b) Si f pertenece a M+(X,X), si E, F pertenecen a X, y si E ⊆ F ,entonces

∫

Ef dµ ≤

∫

Fg dµ.

Demostracion.

(a) Si ϕ es una funcion simple en M+ tal que 0 ≤ ϕ ≤ f , entonces 0 ≤ ϕ ≤ g.Por lo tanto (4.5) se cumple.

(b) Puesto que fχE≤ fχF

, la parte (b) sigue a partir de (a).

�

Ahora estamos preparados para establecer un resultado importante graciasa B. Levi. Este teorema proporciona la clave para las propiedades fundamen-tales de convergencia de la integral de Lebesgue.

4.6 Teorema de la Convergencia Monotona. Si (fn) es una sucesionmonotona creciente de funciones en M+(X,X) que converge a f , entonces

(4.6)

∫

f dµ = lım

∫

fn dµ.

Demostracion. De acuerdo al Corolario 2.10, la funcion f es medible. Puestoque fn ≤ fn+1 ≤ f , se sigue del Lema 4.5(a) que

∫

fn dµ ≤∫

fn+1 dµ ≤∫

f dµ

para todo n ∈ N. Por lo tanto tenemos que

lım

∫

fn dµ ≤∫

f dµ.

Para establecer desigualdad opuesta, sea α un numero real que satisface0 < α < 1 y sea ϕ una funcion medible simple que satisface 0 ≤ ϕ ≤ f . Sea

An = {x ∈ X : fn(x) ≥ αϕ(x)}


ası que An ∈ X, An ⊆ An+1, y⋃

An. Segun el Lema 4.5,

(4.7)

∫

An

αϕdµ ≤∫

An

fn dµ ≤∫

fn dµ.

Puesto que la sucesion (An) es monotona creciente y tiene como union X, sesigue del Lema 4.3(b) y 3.4(a) que

∫

ϕdµ = lım

∫

An

ϕdµ.

En consecuencia, al tomar el lımite en (4.7) con respecto a n, obtenemos

α

∫

ϕdµ ≤ lım

∫

fn dµ.

y puesto que ϕ es una funcion arbitraria simple enM+ que satisface 0 ≤ ϕ ≤ f ,concluimos que

∫

f dµ = supϕ

∫

ϕdµ ≤ lım

∫

fn dµ.

Si combinamos esto con la desigualdad opuesta, obtenemos (4.6). �

Remarca. Se observa que no se ha supuesto que uno de los lados de (4.6) esfinita. De hecho, la sucesion (

∫

fn dµ) es una sucesion monotona creciente denumeros reales extendidos y ası que siempre tiene un lımite en R, pero quizano en R.

Ahora vamos a deducir algunos consecuencias del Teorema de ConvergenciaMonotona.

4.7 Corolario. (a) Si f pertenece a M+ y c ≥ 0, entonces c f pertenecea M+ y

∫

c f dµ = c

∫

f dµ.

(b) Si f, g pertenecen a M+, entonces f + g pertenece a M+ y

∫

(f + g) dµ =

∫

f dµ+

∫

g dµ.

Demostracion.

(a) Si c = 0 el resultado es inmediato. Si c > 0, sea (ϕn) una sucesion mono-tona creciente de funciones simples enM+ que converge a f enX. (vease elLema 2.11). Entonces (cϕn) es una sucesion monotona que converge a c f .

33

Si aplicamos el Lema 4.3(a) y el Teorema de la Convergencia Monotona,obtenemos

∫

c f dµ = lım

∫

cϕ dµ

= c lım

∫

ϕn dµ = c

∫

f dµ.

(b) Si (ϕ) y (ψ) son sucesiones monotonas crecientes de funciones simples queconvergen a f y g, respectivamente, entonces (ϕ + ψn) es una sucesionmonotona creciente que converge a f + g. Por tanto del Lema 4.3(a) y elTeorema de la Convergencia Monotona se sigue que

∫

(f + g) dµ = lım

∫

(ϕn + ψn) dµ

= lım

∫

ϕn dµ + lım

∫

ψn dµ

=

∫

f dµ+

∫

g dµ.

�

El siguiente rebultado, consecuencia del Teorema de la Convergencia Mono-tona, es un resultado muy importante que nos posibilita el manejo de suce-siones de funciones que no son monotonas.

4.8 Lema de Fatou. Si (fn) pertenece a M+(X,X), entonces

(4.8)

∫

(lım ınf fn) dµ ≤ lım

∫ ∫

fn dµ.

Demostracion. Sea gm = ınf{fm, fm+1, . . .} para que gm ≤ fn siempre quem ≤ n. Por lo tanto

∫

gm dµ ≤∫

fn dµ, m ≤ n,

ası que∫

gm dµ ≤ lım ınf

∫

fn dµ.

Puesto que la sucesion (gm) es creciente y converge a lım ınf fn, el Teorema dela Convergencia Monotona implica que

∫

(lım ınf fn) dµ = lım

∫

gm dµ

≤ lım ınf

∫

fn dµ.

�


Se vera en un ejercicio que el Lema de Fatou puede no cumplirse si nosuponemos que fm ≥ 0.

4.9 Corolario. Si f pertenece a M+ y λ esta definido en X por

(4.9) λ(E) =

∫

Ef dµ,

entonces λ es una medida.

Demostracion. Puesto que f ≥ 0 se deduce que λ(E) ≥ 0. Si E = ∅,entonces fχE

tiene a cero en todas partes ası que λ(∅) = 0. Para ver que λ escontablemente aditiva, sea (En) una sucesion disjunta de conjuntos en X conunion E y sea fn definido por

fn =

n∑

k=1

fχEk.

Del Corolario 4.7(b) y por induccion se sigue que

∫

fn dµ =n∑

k=1

∫

fχEkdµ =

n∑

k=1

λ(Ek).

Ya que que (fn) es una sucesion creciente en M+ que converge a fχE, el

Teorema de la Convergencia Monotona implica que

λ(E) =

∫

fχEdµ = lım

∫

fn dµ =∞∑

k=1

λ(Ek).

�

4.10 Corolario. Supongase que f pertenece a M+. Entonces f(x) = 0µ−casi dondequiera en X si y solamente si

(4.10)

∫

f dµ = 0.

Demostracion. Si la ecuacion (4.10) se cumple, sea

En =

{

x ∈ X : f(x) >1

n

}

,

ası que f ≥(

1

n

)

χEn , de lo cual

0 =

∫

f dµ ≥ 1

nµ(Em) ≥ 0.

35

Se deduce que µ(En) = 0; por lo tanto el conjunto

{x ∈ X : f(x) > 0} =∞⋃

n=1

En

tambien tiene medida 0.Recıprocamente, sea f(x) = 0 µ−casi dondequiera. Si

E = {x ∈ X : f(x) > 0} ,

entonces µ(E) = 0. Sea fn = nχE. Dado que f ≤ lım ınf fn, del Lema de Fatouse deduce que

0 ≤∫

f dµ ≤ lım ınf

∫

fn dµ = 0.

�

4.11 Corolario. Supongase que f pertenece a M+, y defina λ en X porla ecuacion (4.9). Entonces la medida λ es absolutamente continua conrespecto a µ en el sentido que si E ∈ X y µ(E) = 0, entonces λ(E) = 0.

Demostracion. Si µ(E) = 0 para algun E ∈ X, entonces fχEtiende a cero

µ−casi dondequiera. Por el corolario 4.10, tenemos

λ(E) =

∫

fχEdµ = 0.

�

Ahora bien, mostraremos que el Teorema de la Convergencia Monotonase cumple si la convergencia en X es reemplazado por la convergencia casidondequiera.

4.12 Corolario. Si (fn) es una sucesion monotona creciente de funcionesen M+(X,X) que converge µ−casi dondequiera en X a una funcion f enM+, entonces

∫

f dµ = lım

∫

fn dµ.

Demostracion. Sea N ∈ X tal que µ(N) = 0 y (fn) que converge a f en todode M = X\N . Entonces (fnχM

) converge a fχMen X, entonces el Teorema

de la Convergencia Monotona implica que

∫

fχMdµ = lım

∫

fnχMdµ.


Puesto que µ(N) = 0, las funciones fχNy fnχN

tiene a cero µ−casi donde-quiera. Del Corolario 4.10 se deduce que

∫

fχNdµ = 0,

∫

fnχNdµ = 0.

Ya que f = fχM+ fχN

y fn = fnχM+ fnχN

, se deduce que

∫

f dµ =

∫

fχMdµ = lım

∫

fnχMdµ = lım

∫

fn dµ.

�

4.13 Corolario. Sea (gn) una sucesion en M+, entonces

∫

(

∞∑

n=1

gn

)

dµ =

∞∑

n=1

(∫

gn dµ

)

.

Demostracion. Sea fn = g1 + · · · + gn, y luego aplicar el Teorema de laConvergencia Monotona. �

Ejercicios

4.A. Si la funcion simple ϕ enM+(X,X) tiene la (no necesariamente estandar)representacion

ϕ =n∑

k=1

bkχFk,

donde bk ∈ R y Fk ∈ X, mostrar que

∫

ϕdµ =

m∑

k=1

bk µ(Fk).

4.B. La suma, multiplo escalar, y producto de funciones simples son funcionessimples. [En otras palabras, las funciones simples en M(X,X) forman unsubespacio vectorial de M(X,X), cerrado bajo productos.]

4.C. Si ϕ1 y ϕ2 son funciones simples en M(X,X), entonces

ψ = sup{ϕ1, ϕ2}, ω = ınf{ϕ1, ϕ2}

tambien son funciones simples en M(X,X).

37

4.D. Si f ∈M+ y c > 0, entonces la aplicacion ϕ→ ψ = cϕ es una aplicacioninyectiva entre funciones simples ϕ ∈M+ con ϕ ≤ f y funciones simplesψ ∈ M+ con ψ ≤ c f . Usar esta observacion para dar una demostraciondiferente del Corolario 4.7(a).

4.E. Sea f, g ∈ M+, sea ω ∈ M+ una funcion simple tal que ω ≤ f + g y

sea ϕn(x) = sup{(m

n

)

ω(x) : para 0 ≤ m ≤ n con(m

n

)

ω(x) ≤ f(x)}

.

Tambien sea ψn(x) = sup

{(

1 − 1

n

)

ω(x) − ϕn(x) , 0

}

. Mostrar que(

1 − 1

n

)

ω ≤ ϕn + ψn y ϕ ≤ f , ψ ≤ g.

4.F. Emplear el Ejercicio 4.E para establecer el Corolario 4.7(b) sin usar elTeorema de la Convergencia Monotona.

4.G. Sea X = N, sea X todos los subconjuntos de N, y sea µ la medida decontar en X. Si f es una funcion no negativa sobre N, entonces f ∈M+(X,X) y

∫

f dµ =∞∑

n=1

f(n).

4.H. SeaX = R, X = B, y sea λ la medida de Lebesgue sobre B. Si fn = χ[0,n],entonces la sucesion es monotona creciente a f = χ[0,+∞). A pesar de quelas funciones estan uniformemente acotados por 1 y las integrales de losfn son todos finitos, tenemos

∫

f dλ = +∞.

¿Tiene validez el Teorema de la Convergencia Monotona?

4.I. Sea X = R, X = B, y sea λ la medida de Lebesgue en X. Si fn =(

1

n

)

χ[n,+∞), entonces la sucesion (fn) es monotona decreciente y con-

verge uniformemente a f = 0, pero

0 =

∫

f dλ 6= lım

∫

fn dλ = +∞.

(Por lo tanto no existe la existe la correspondencia al Teorema de laConvergencia Monotona para sucesiones decrecientes en M+.)

4.J. (a) Sea fn =

(

1

n

)

χ[0,n], f = 0. Mostrar que la sucesion (fn) converge

uniformemente a f , pero que∫

f dλ 6= lım

∫

fn dλ.


¿Por que esto no contradice el Teorema de la Convergencia Mono-tona? ¿Tiene validez el Lema de Fatou?

(b) Sea gn = nχ[1/n,2/n], g = 0. Mostrar que

∫

g dλ 6= lım

∫

gn dλ.

¿La sucesion (gn) converge uniformemente a g? ¿Tiene validez elTeorema de la convergencia Monotona? ¿Tiene validez el Lema deFatou?

4.K. Si (X,X, µ) es un espacio medible finito, y si (fn) es una sucesion defunciones reales en M+(X,X) que converge uniformemente a una funcionf , entonces f pertenece a M+(X,X), y

∫

f dµ = lım

∫

fn dµ.

4.L. Sea X un intervalo cerrado finito en R, sea X la coleccion de conjuntosde Borel en X, y sea λ la medida de Lebesgue en X. Si f es una funcioncontinua no negativa sobre X, mostrar que

∫

f dλ =

∫ b

af(x) dx,

donde el lado derecho denota la integral de Riemann de f . [Sugerencia:Primero establecer esta igualdad para una funcion escalonada , es de-cir, una combinacion lineal de funciones caracterısticas de intervalos.]

4.M. Sea X = [0,+∞), sea X los subconjuntos de Borel de X, y sea λ lamedida de Lebesgue en X. si f es una funcion continua no negativasobre X, mostrar que

∫

f dλ = lımb→+∞

∫ b

0f(x) dx.

Por lo tanto, si f es una funcion continua no negativa, la integral deLebesgue y la integral impropia de Riemann coinciden.

[Los siguientes tres ejercicios tratan de la integracion de funciones queno pertenecen a M+. Pueden omitirse hasta que se haya leıdo el proximocapıtulo. Sin embargo, los incluimos aquı porque ilustran las restriccionesexigidas por el Lema de Fatou.]

39

4.N. Si fn =

(−1

n

)

χ[0,n], entonces la sucesion f(n) converge uniformemente

a f = 0 en [0,∞). Sin embargo,

∫

fn dλ = −1 mientras que

∫

f dλ, ası

lım ınf

∫

fn dλ = −1 < 0 =

∫

f dλ.

Por lo tanto el Lema 4.8 de Fatou puede no cumplirse a no ser que f ≥ 0,incluso teniendo la de convergencia uniforme.

4.O. El Lema de Fatou tiene una extension a un caso donde los fn toman

valores no negativos. Sea h en M+(X,X) y supongase que

∫

hdµ < +∞.

Si (fn) es una sucesion en M(X,X) y si −h ≤ fn, entonces

∫

(lım ınf fn) dµ ≤ lım ınf

∫

fn dµ.

4.P. ¿Por que el Ejercicio 4.O tiene validez para el Ejercicio 4.N?

4.Q. Si f ∈M+(X,X) y∫

f dµ < +∞,

µ {x ∈ X : f(x) = +∞} = 0. [Sugerencia: SiEn = {x ∈ X : f(x) ≥ n},entonces nχEn ≤ f .]

4.R. Si f ∈M+(X,X) y∫

f dµ < +∞,

entonces el conjunto N = {x ∈ X : f(x) > 0} es σ−finito (es decir, ex-

iste una sucesion (Fn) en X tal que N ⊆⋃

Fn y µ(Fn) < +∞).

4.S. Si f ∈M+(X,X) y∫

f dµ < +∞,

entonces para cualquier ǫ > 0 existe un conjunto E ∈ X tal que µ(E) <+∞ y

∫

f dµ ≤∫

Ef dµ+ ǫ.

4.T. Supongase que (fn) ⊂ M+(X,X), tal que converge (fn) converge f , yque

∫

f dµ = lım

∫

fn dµ < +∞.


Demostrar que∫

Ef dµ = lım

∫

Efn dµ

para cada E ∈ X.

4.U. Mostrar que la conclusion del Ejercicio 4.T puede no cumplirse si se quitala condicion

lım

∫

fn dµ < +∞.

5Funciones Integrables

En la Definicion 4.4 hemos definimos la integral de cada funcion en M+ =M+(X,X) con respecto a una medida µ y se permitio que esta integral sea+∞. En este capıtulo vamos a discutir la integracion de funciones mediblesque pueden tener valores reales tanto positivos como negativos. Para haceresto es mas conveniente exigir que los valores de las funciones y la integralsean numeros reales finitos.

5.1 Definicion (funciones integrables). La coleccion L = L(X,X, µ) defunciones integrables (o sumables) consiste de todas las funciones realesX−medibles f definidos sobre X, tal que tanto las partes negativas y positi-vas f+, f−, de f tengan integrales con respecto a µ. En este caso, definimosla integral de f con respecto a µ como

(5.1)

∫

f dµ =

∫

f+ dµ −∫

f− dµ.

Si E pertenece a X, definimos

∫

Ef dµ =

∫

Ef+ dµ −

∫

Ef− dµ.

A pesar de que la integral de f esta definido como la diferencia de lasintegrales de f+, f−, es facil comprobar que si f = f1 − f2 donde f1, f2 sonfunciones medibles no negativas cualesquiera con integrales finitas, entonces

∫

f dµ =

∫

f1 dµ−∫

f2 dµ.

En efecto, puesto que f+ − f− = f = f1 − f2, se sigue que f+ + f2 = f1 + f−.

41

42 Capıtulo 5. Funciones Integrables

Si aplicamos el corolario 4.7(b), deducimos que∫

f+ dµ+

∫

f2 dµ =

∫

f1 dµ+

∫

f− dµ.

Puesto que todos estos terminos son finitos, obtenemos∫

f dµ =

∫

f+ dµ −∫

f− dµ =

∫

f1 dµ−∫

f2 dµ.

5.2 Lema. Si f pertenece a L y λ esta definido de X a R por

(5.2) λ(E) =

∫

Ef dµ,

entonces λ es una carga.

Demostracion. Dado que f+ y f− pertenecen a M+, el Corolario 4.9 implicaque las funciones λ+ y λ−, definida por

λ+(E) =

∫

Ef+ dµ, λ−(E) =

∫

Ef− dµ,

son medidas sobre X; estas medidas son finitas puesto que f ∈ L. Puesto queλ = λ+ − λ−, se sigue que λ es una carga. �

La funcion λ definida en (5.2) se llama frecuentemente integral indefinida de f(con respecto a µ). Puesto que λ es una carga, si (En) es una sucesion disjuntaen X con union E, entonces

∫

Ef dµ =

∞∑

n=1

∫

En

f dµ.

Nos referimos a esta relacion diciendo que la integral indefinida de una funcionde en L es contablemente aditiva.

El siguiente resultado, se conoce a veces como la propiedad de integrabilidadabsoluta de la integral de Lebesgue. El lector recordara que, aunque el valorabsoluto de una funcion integrable (propia) de Riemann es Riemann integrable,esto puede no ser el caso de una funcion que tiene una integral impropiade Riemann (por ejemplo, si se considera f(x) = x−1 senx en el intervalo1 ≤ x ≤ +∞).

5.3 Teorema. Una funcion medible f pertenece a L si y solo si |f |pertenece a L. En este caso

(5.3)

∣

∣

∣

∣

∫

f dµ

∣

∣

∣

∣

≤∫

|f | dµ.

43

Demostracion. Por definicion f pertenece a L si y solo si f+ y f− pertenecena M+ y tienen integrales finitas. Puesto que |f |+ = f+ + f− y |f |− = 0, laafirmacion sigue del Lema 4.5(a) y el Corolario 4.7(b). Ademas,

∣

∣

∣

∣

∫

f dµ

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∫

f+ dµ−∫

f− dµ

∣

∣

∣

∣

≤∫

f+ dµ+

∫

f− dµ =

∫

|f | dµ.

�

5.4 Corolario. Si f es medible, g es integrable, y |f | ≤ |g|, entonces f esintegrable, y

∫

|f |, dµ ≤∫

|g| dµ.

Demostracion. Esto se deduce del Lema 4.5(a) y el Teorema5.3. �

Ahora vamos a demostrar que la integral es lineal en el espacio de L en elsiguiente sentido.

5.5 Teorema. Una multiplicacion por una constante αf y un suma f + gde funciones en L pertenece a L y

∫

αf dµ = α

∫

f dµ,

∫

(f + g) dµ =

∫

f dµ+

∫

g dµ.

Demostracion. Si α = 0, entonces αf = 0 en todas partes ası que∫

αf dµ = 0 = α

∫

f dµ.

Si α > 0, entonces (αf)+ = αf+ y (αf)− = αf−, de donde∫

αf dµ =

∫

αf+, dµ−∫

αf− dµ

= α

{∫

f+ dµ−∫

f− dµ

}

= α

∫

f dµ.

El caso α < 0 se trata de manera similar.Si f y g pertenecen a L, entonces |f | y |g| pertenecen a L. Puesto que

|f + g| ≤ |f |+ |f | se sigue de los Corolarios 4.7 y 5.4 que f + g pertenece a L.Para establecer la relacion deseada, se observa que

f + g = (f+ + g+) − (f− + g−).


Puesto que f+ + g+ y f− + g− son funciones integrables no negativas, de laobservacion que hizo despues de la definicion 5.1 se sigue que

∫

(f + g) dµ =

∫

(f+ + g+), dµ−∫

(f− + g−), dµ.

Si aplicamos el Corolario 4.7(b) y reordenamos los terminos, obtenemos∫

(f + g), dµ =

∫

f+, dµ−∫

f−, dµ+

∫

g+, dµ−∫

g−, dµ

=

∫

f, dµ+

∫

g, dµ.

�

Ahora bien, vamos a establecer el teorema de convergencia mas importantepara las funciones integrables.

5.6 Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue. Sea (fn)una sucesion de funciones integrables que converge casi en todas partes auna funcion real medible f . Si existe una funcion integrable g tal que |fn| ≤ gpara todo n, entonces f es integrable y

(5.4)

∫

f dµ = lım

∫

fn dµ.

Demostracion. Redefiniendo las funciones fn, f sobre un con medida 0 pode-mos suponer que la convergencia se da en todo X. Se sigue del Corolario 5.4que f es integrable. Puesto que g + fn ≥ 0, podemos aplicar el Lema deFatou 4.8 y el Teorema 5.5 para obtener

∫

g dµ+

∫

f dµ =

∫

(g + f), dµ ≤ lım ınf

∫

(g + fn), dµ

= lım ınf

(∫

g, dµ+

∫

fn, dµ

)

=

∫

g dµ + lım ınf

∫

fn dµ.

Por lo tanto, se sigue que

(5.5)

∫

f dµ ≤ lım ınf

∫

fn dµ.

Dado que g − fn ≥ 0, otra aplicacion del Lema de Fatou y el Teorema 5.5producen

∫

g dµ−∫

f dµ =

∫

(g − f), dµ ≤ lım ınf

∫

(g − fn), dµ

=

∫

g dµ − lım sup

∫

fn dµ,

45

de lo cual se sigue que

(5.6) lım sup

∫

fn dµ ≤ f dµ.

Combinamos (5.5) y (5.6) para deducir que

∫

f, dµ = lım

∫

fn dµ.

�

Dependencia de un Parametro

Con frecuencia es necesario considerar integrales donde el integrando de-pende de un parametro real. Ahora bien, vamos a demostrar como el Teoremade la Convergencia Dominada de Lebesgue puede ser utilizado en este sentido.

Para el resto de este capıtulo vamos f denotara una funcion definida deX × [a, b] a R y se supondra que la funcion x → f(x, t) es X−medible paracada t ∈ [a, b]. Las hipotesis adicionales seran enunciadas de manera explıcita.

5.7 Corolario. Supongamos que para algun t0 en [a, b]

(5.7) f(x, t0) = lımt→t0

f(x, t)

para cada x ∈ X, y que existe una funcion integrable g en X, tal que|f(x, t)| ≤ g(x). Entonces

∫

f(x, t0) dµ(x) = lımt→t0

∫

f(x, t) dµ(x).

Demostracion. Sea (tn) una sucesion en [a, b] que converge a t0, y luegoaplicar el Teorema de la Convergencia dominada para la sucesion (fn) definidapor fn(x) = f(x, tn) para x ∈ X. �

5.8 Corolario. Si la funcion t → f(x, t) es continua sobre [a, b] para cadax ∈ X, y si existe una funcion integrable g sobre X tal que |f(x, t)| ≤ g(x),entonces la funcion F definida por

(5.8) F (t) =

∫

f(x, t) dµ(x)

es continua para t en [a, b].


Demostracion. Esto es una consecuencia inmediata del Corolario 5.7. �

5.9 Corolario. Supongase que para algun t0 ∈ [a, b], la funcion x →f(x, t) es integrable sobre X, que

∂f

∂texiste sobre X × [a, b], y que existe

una funcion integrable g sobre X tal que

∣

∣

∣

∣

∂f

∂t(x, t)

∣

∣

∣

∣

≤ g(x).

Entonces la funcion F definida en el Corolario 5.8 es diferenciable sobre[a, b] y

∂F

∂t(t) =

d

dt

∫

f(x, t) dµ(x) =

∫

∂f

∂t(x, t) dµ(x).

Demostracion. Sea t cualquier punto de [a, b]. Si (tn) es una sucesion en[a, b] que converge a t con tn 6= t, entonces

∂f

∂t(x, t) = lım

f(x, tn) − f(x, t)

tn − t, x ∈ X.

En consecuencia, la funcion x→ ∂f

∂t(x, t) es medible.

Si x ∈ X y t ∈ [a, b], podemos aplicar el Teorema del Valor Medio (veaseReferencia [1], pagina 210) para deducir la existencia de un s1 entre t0 y t talque

t(x, t) − f(x, t0) = (t− t0)∂f

∂t(x, s1).

Por lo tanto tenemos

|f(x, t)| ≤ |f(x, t0)| + |t− t0| g(x),

lo cual muestra que la funcion x → f(x, t) es integrable para cada t en [a, b].Por tanto, si tn 6= t, entonces

F (tn) − F (t)

tn − t=

∫

f(x, tn) − f(x, t)

tn − tdµ(x).

Puesto que este integrando esta dominado por g(x), podemos aplicar el Teore-ma de la Convergencia Dominada para obtener la afirmacion de la conclusion.

�

47

5.10 Corolario. Bajo las hipotesis del Corolario 5.8,

∫ b

aF (t) dt =

∫ b

a

[∫

f(x, t) dµ(x)

]

dt

=

∫ [∫ b

af(x, t) dt

]

dµ(x),

donde las integrales con respecto a t son integrales de Riemann.

Demostracion. Recordemos que si ϕ es continua sobre [a, b] entonces

d

dt

∫ t

aϕ(s) ds = ϕ(t), a ≤ t ≤ b.

Sea h definida sobre X × [a, b] por

h(x, t) =

∫ t

af(x, s) ds.

De esto se sigue que∂h

∂t(x, t) = f(x, t). Puesto que esta integral de Riemann

existe, es el lımite de una sucesion de sumas de Riemann; por tanto el mapeox → h(x, t) es medible para cada t. Ademas, puesto que |f(x, t)| ≤ g(x), de-ducimos que |h(x, t)| ≤ g(x)(b−a), ası que la funcion x→ h(x, t) es integrablepara cada t ∈ [a, b]. Sea H definido sobre [a, b] por

H(t) =

∫

h(x, t) dµ(x);

del Corolario 5.9 se sigue que

∂H

∂t(t) =

∫

∂h

∂t(x, t) dµ(x) =

∫

f(x, t) dµ(x) = F (t).

Por lo tanto tenemos∫ b

aF (t) dt = H(b) −H(a)

=

∫

[h(x, b) − h(x, a)] dµ(x),

=

∫[∫ b

af(x, t) dt

]

dµ(x).

�

El intercambio del orden de las integrales (de Lebesgue) sera considerado enel Capıtulo 10.


Ejercicios

5.A. Si f ∈ L(X,X, µ) y a > 0, mostrar que el conjunto {x ∈ X : |f(x)| ≥ a}tiene medida finita. Ademas, el conjunto {x ∈ X : f(x) 6= 0} tiene me-dida σ−finita (i.e., es la union de una sucesion medible de conjuntos conmedida finita).

5.B. Si f es una funcion real X−medible y si f(x) = 0 para x ∈ X µ−casi entodas partes, entonces f ∈ L(X,X, µ) y

∫

f dµ = 0.

5.C. Si f ∈ L(X,X, µ) y g es una funcion real X−medible tal que f(x) = g(x)casi en todas partes sobre X, entonces g ∈ L(X,X, µ) y

∫

f dµ =

∫

g dµ.

5.D. Si f ∈ L(X,X, µ) y ǫ > 0, entonces existe una funcion simple medible ϕtal que

∫

|f − ϕ| dµ < ǫ.

5.E. Si f ∈ L y g es una funcion medible acotada, entonces el producto fgtambien pertenece a L.

5.F. Si f pertenece a L, entonces no significa que f2 pertenece a L.

5.G. Supongase que f esta en L(X,X, µ) y que su integral indefinida es

λ(E) =

∫

Ef dµ, E ∈ X.

Mostrar que λ(E) ≥ 0 para E ∈ X si y solamente si f(x) ≥ 0 para x ∈ Xcasi en todas partes. Ademas, λ(E) = 0 para todo E si y solamente sif(x) = 0 para x ∈ X casi en todas partes.

5.H. Supongase que f1 y f2 estan en L(X,X, µ) y sea λ1 y λ2 sus integralesindefinidas. Mostrar que λ1(E) = λ2(E) para todo E ∈ X si y solamentesi f1(x) = f2(x) para x ∈ X casi en todas partes.

5.I. Si f es una funcion compleja sobre X tal que Re f e Im f pertenecen aL(X,X, µ), decimos que f es integrable y se define

ınf f dµ =

∫

Re f dµ+ i

∫

Im f dµ.

49

Sea f una funcion compleja medible. Mostrar que f es integrable si ysolamente si |f | es integrable, en cuyo caso

∣

∣

∣

∣

∫

f dµ

∣

∣

∣

∣

∫

|f | dµ.

[Sugerencia: Si

∫

f dµ = r eiθ con r, θ real, considerar g(x) = eiθf(x).]

5.J. Sea (fn) una sucesion de funciones complejas medibles que converge a f .Si existe una funcion integrable g tal que |fn| ≤ g, mostrar que

∫

f dµ = lım

∫

fn dµ.

5.K. Sea X = N, sea X todo los subconjuntos de N, y sea µ la medida decontar sobre X. Mostrar que f pertenece a L(X,X, µ) si y solamente si

la serie∑

f(n) es absolutamente convergente, en cuyo caso

∫

f dµ =

∞∑

n=1

f(n).

5.L. Si (fn) es una sucesion en L(X,X, µ) que converge uniformemente sobreX a una funcion f , y si µ(X) < +∞, entonces

∫

f dµ = lım

∫

fn dµ.

5.M. Mostrar que la conclusion del Ejercicio 5.L puede no cumplirse si no secumple la hipotesis µ(X) < +∞.

5.N. Sea fn = nχ[0,1/n], donde X = R, X = B, y µ es la medida de Lebesgue.

Mostrar que la condicion |fn| ≤ no puede quitarse en el Teorema deConvergencia Dominada de Lebesgue.

5.O. Si fn ∈ L(X,X, µ), y si

∞∑

n=1

∫

|fn| dµ < +∞,

entonces la serie∑

fn(x) converge casi en todas partes a la funcion f

en L(X,X, µ). Ademas,

∫

f dµ =

∞∑

n=1

∫

fn dµ.


5.P. Sea fn ∈ L(X,X, µ), y supongase que (fn) converge a una funcion f .Mostrar que si

lım

∫

|fn − f | dµ = 0, entonces

∫

|f | dµ = lım

∫

|fn| dµ.

5.Q. Si t > 0, entonces∫ +∞

0e−tx dx =

1

t.

Ademas, si t ≥ a > 0, entonces e−tx ≤ e−ax. Usar esto y el Ejercicio 4.Mpara justificar la diferenciacion bajo el signo de la integral y obtener laformula

∫ +∞

0xne−x dx = n!

5.R. Supongase que f esta definido sobre X × [a, b] a R y que la funcionx → f(t, x) es X−medible para cada t ∈ [a, b]. Supongase que paraalgun t0 y t1 en [a, b] la funcion x → f(x, t0) es integrable sobre X, que∂f

∂t(x, t1) existe, y que existe una funcion integrable g sobre X tal que

∣

∣

∣

∣

f(x, t) − f(x, t1)

t− t1

∣

∣

∣

∣

≥ g(x)

para x ∈ X, y t ∈ [a, b], t 6= t1. Entonces

[

d

dt

∫

f(x, t) dµ(x)

]

t=t1

=

∫

∂f

∂t(x, t1) dµ(x).

5.S. Supongase que la funcion x→ f(x, t) es X−medible para cada t ∈ R, y lafuncion t→ f(x, t) es continua sobre R para cada x ∈ X. Ademas, supon-gase que existen funciones integrables g, h sobreX tal que |f(x, t)| ≤ g(x)y tal que la integral impropia de Riemann

∫ +∞

−∞

|f(x, t)| dt ≤ h(x).

Mostrar que

∫ +∞

−∞

[∫

f(x, t) dµ(x)

]

dt =

∫[∫ +∞

−∞

f(x, t) dt

]

dµ(x),

donde las integrales con respecto a t son integrales impropias de Riemann.

51

5.T. Sea f una funcion X−medible de X a R. Para n ∈ N, sea (fn) la sucesionde truncaciones de f (vease el Ejercicio 2.K). Si f es integrable conrespecto a µ, entonces

∫

f dµ = lım

∫

fn dµ.

Recıprocamente, si

sup

∫

|fn| dµ < +∞,

entonces f es integrable.

6El Espacio de Lebesgue Lp

A menudo es util exigir la estructura de un espacio de Banach sobre el con-junto de todas las funciones integrables sobre un espacio de medida (X,X, µ).Ademas, vamos a introducir los espacios Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, que se producen confrecuencia en analisis. Aparte de la importancia intrınseca de estos espacios,aquı se los analiza en parte para indicar las aplicaciones de algunos de losresultados en las secciones anteriores.

6.1 Definicion (norma, semi-norma, espacio lineal normado). Si V es unespacio lineal (=vectorial) real, entonces una funcion real N sobre V sellama norma para V en el caso que se satisfaga

(i) N(v) ≥ 0 para todo v ∈ V ;

(ii) N(v) = 0 si y solamente si v = 0;

(iii) N(αv) = |α|N(v) para todo v ∈ V y real α;

(iv) N(u+ v) ≥ N(u) +N(v) para todo u, v ∈ V .

Si se quita la condicion (ii), la funcion N se llama semi-norma o seudo-norma para V . Un espacio lineal normado es un espacio lineal V juntocon una norma para V .

6.2 Ejemplos. (a) La funcion valor absoluto produce una norma para losnumeros reales.

(b) El espacio lineal Rn de las n−tuplas de numeros reales puede ser normado

52

53

definiendo

N1(u1, . . . , un) = |u1| + · · · + |un|,Np(u1, . . . , un) = {|u1|p + · · · + |un|p}1/p, p ≥ 1,

N∞(u1, . . . , un) = sup{|u1|, . . . , |un|}.

Es facil verificar que N1 y N∞ son normas y que Np satisface (i), (ii), (iii).Una consecuencia de la desigualdad de Minkowski, el cual sera probadoposteriormente, es que Np satisface (iv).

(c) El espacio lineal l1 de todas las sucesiones reales u = (un) tal que N1(u) =∑

|un| < +∞ es un espacio lineal normado bajo N1. De manera similar,

si 1 ≤ p < ∞, la coleccion lp de todas las sucesiones tal que Np(u) ={

∑

|un|p}1/p

< +∞ es normado por Np.

(d) La coleccion B(X) de todas las funciones reales acotadas sobre X es nor-mado por

N(f) = sup {|f(x)| : x ∈ X} .En particular, el espacio lineal de las funciones continuas sobre X = [a, b]es normado.

En todos los ejemplos anteriores se han adecuado normas sobre un espaciolineal. Tambien existen semi-normas sobre un espacio lineal que son de interes.Los siguientes son algunos ejemplos.

6.3 Ejemplos. (a) Sobre el espacio Rn, consideramos la semi-norma

N0(u1, . . . , un) = sup {|u2|, . . . , |un|} .

Aquı N0(u1, . . . , un) = 0 si y solamente si u2 = · · · = un = 0.

(b) Sobre el espacio lineal C[0, 1] de funciones continuas sobre [0, 1] a R, defi-nimos la semi-norma

N0(f) = sup

{

|f(x)| : 0 ≤ x ≤ 1

2

}

.

Aquı N0(f) = 0 si y solamente si f(x) desaparece para 0 ≤ x ≤ 1

2.

(c) Sobre el espacio lineal de funciones sobre [a, b] a R que tienen derivadascontinuas, consideremos la semi-norma

N0(f) = sup{

|f ′(x)| : a ≤ x ≤ b}

.

Aquı N0(f) = 0 si y solamente si f es constante en [a, b].

54 Capıtulo 6. El Espacio de Lebesgue Lp

6.4 Definicion. Sea (X,X, µ) un espacio de medida. Si f pertenece aL(X,X, µ), definimos

Nµ(f) =

∫

|f | dµ.

Se probara que Nµ es una semi-norma sobre el espacio L(X,X, µ).

6.5 Lema. El espacio L(X,X, µ) es un espacio lineal bajo las operacionesdefinidas por

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = αf(x), x ∈ X,

y Nµ es una semi-norma sobre L(X,X, µ). Ademas, Nµ(f) = 0 si y sola-mente si f(x) = 0 para x ∈ X µ−casi en todas partes.

Demostracion. Ya se vio en el Teorema 5.5 que L = L(X,X, µ) es un espaciolineal bajo las operaciones indicadas. Es evidente que Nµ(f) ≥ 0 para f ∈ L,y que

Nµ(αf) =

∫

|αf | dµ = |α|Nµ(f).

Por otra parte, de la desigualdad triangular se deduce que

Nµ(f + g) =

∫

|f + g| dµ ≤∫

(|f | + |g|) dµ

=

∫

|f | dµ+

∫

|g| dµ = Nµ(f) +Nµ(g).

Por lo tanto Nµ es un semi-norma en L, y del Corolario 4.10 se sigue queNµ(f) = 0 si y solamente si f(x) = 0 para casi todos los x. �

Con el fin de hacer que L(X,X, µ) sea un espacio lineal normado, vamosa identificar dos funciones que son iguales casi en todas partes; es decir, queutilizaremos clases de equivalencia de funciones en lugar de funciones.

6.6 Definicion (µ−equivalencia, espacio de Lebesgue). Dos funciones enL = L(X,X, µ) se llaman µ−equivalentes si son iguales µ−casi en todaspartes. La clase de equivalencia determinada por f en L a menudoesta denotado por [f ] y consiste del conjunto de todas las funciones en Lque son µ−equivalentes a f . El espacio de Lebesgue L1 = L1(X,X, µ)consiste de todas las clases µ−equivalentes en L. Si [f ] pertenece a L1,definimos su norma por

(6.1) ‖[f ]‖1 =

∫

|f | dµ.

55

6.7 Teorema. El espacio de Lebesgue L1(X,X, µ) es un espacio linealnormado.

Demostracion. Se entiende, por supuesto, que las operaciones de vectoresen L1 estan definidas por

α[f ] = [αf ], [f ] + [g] = [f + g],

y que el elemento cero de L1 es [0]. Vamos a comprobar solamente que laecuacion (6.1) da una norma sobre L1. Ciertamente ‖[f ]‖1 ≥ 0 y ‖[0]‖1 = 0.Por otra parte, si ‖[f ]‖1 = 0 entonces

∫

|f |, dµ = 0,

ası que f(x) = 0 para µ−casi todos los x. Por lo tanto [f ] = [0]. Por ulti-mo, se puede ver facilmente que se cumplen las propiedades (iii) e (iv) de laDefinicion 6.1. Por consiguiente ‖ ‖1 produce una norma en L1 �

Siempre se debe recordar que los elementos de la L1 son en realidad clasesde equivalencia de funciones en L. Sin embargo, es conveniente y costumbreconsiderar estos elementos como las funciones mismas, haremos esto posteri-ormente. Ası pues, se hara referencia a la clase de equivalencia [f ] refiriendose”al elemento f de L1,” y escribiremos ‖f‖1 en lugar de ‖[f ]‖1.

El Espacio Lp, 1 ≤ p < +∞Ahora queremos considerar una familia de espacios lineales normados rela-

cionados de las clases de equivalencia de funciones medibles.

6.6 Definicion (µ−equivalencia). Si 1 ≤ p < ∞, el espacio Lp =Lp(X,X, µ) consiste de todas las µ−clases de equivalencia funciones realesX−medibles f para los que |f |p tiene integral finita con respecto a µ so-bre X. Dos funciones son µ−equivalentes si son iguales µ−casi en todaspartes. Establecemos

(6.3) ‖f‖p =

{∫

|f |p dµ}1/p

.

Si p = 1, esto se reduce a la norma introducida con anterioridad en elespacio L1 de las clases de equivalencia de funciones integrables. Vamos ademostrar posteriormente que si 1 ≤ p < ∞, entonces Lp es un espacio linealnormado bajo (6.3), y es completo bajo esta norma; de este modo Lp es unespacio de Banach. Se entiende que las operaciones vectoriales entre las clases


de equivalencia en Lp estan definidas punto a punto: la suma de las clases deequivalencia que contienen f y g es la clase de equivalencia que contiene f + gy lo mismo para el producto cf .

En el caso especial donde µ es la medida de contar sobre todos los sub-conjuntos de N, los espacios−Lp pueden ser identificados con la sucesion deespacios lp del Ejemplo 6.2(c). En este caso, cada clase de equivalencia con-tiene un elemento. Con frecuencia esto ayuda a esclarecer las interpretacionesde las afirmaciones acerca de los espacios−Lp mas generales considerando algomas simple los espacios−lp.

Con el proposito de establecer que (6.3) produce una norma en Lp, nece-sitaremos la siguiente desigualdad basica.

6.9 Desigualdad de Holder. Sea f ∈ Lp y g ∈ Lq donde p > 1 y1

p+

1

q= 1. Entonces fg ∈ L1 y ‖fg‖1 ≤ ‖f‖p‖g‖q .

Demostracion. Sea α un numero real que cumplan 0 < α < 1, y considere-mos la funcion ϕ definida para t ≥ 0 por

ϕ(t) = αt− tα.

Es facil comprobar que ϕ′(t) < 0 para 0 < t < 1 y ϕ′(t) > 0 para t > 1.Del Teorema del Valor Medio del calculo se deduce que ϕ(t) ≥ ϕ(l) y queϕ(t) = ϕ(l), si y solamente si t = 1. Por lo tanto tenemos que

tα ≤ αt+ (1 − α), t ≥ 0.

Si a y b son no negativos, y si tomamos t =a

by se multiplicamos por b,

obtenemos la desigualdad

aαb1−α ≤ αa+ (1 − α)b,

donde la igualdad se cumple si y solamente si a = b.

Ahora bien, sea p y q que satisfacen 1 < p <∞ y1

p+

1

q= 1 y tomamos α =

1

p. De esto se deduce que si A, B son numeros reales no negativos cualesquiera,

entonces

(6.4) AB ≤ Ap

p+Bq

q.

y que la igualdad se cumple si y solamente si Ap = Bq.

57

Supongamos que f ∈ Lp y g ∈ Lq, y que ‖f‖p 6= 0 y ‖g‖q 6= 0. El producto

fg es medible y (6.4) con A =|f(x)|‖f‖p

y B =|g(x)|‖g‖q

implican que

|f(x)g(x)|‖f‖p‖g‖q

≤ |f(x)|pp‖f‖p

p+

|g(x)|qq‖g‖q

q.

Puesto que ambos terminos de la derecha son integrables, del Corolario 5.4y el Teorema 5.5 se deduce que fg es integrable. Por otra parte, integrandoobtenemos

‖fg‖1

‖f‖p‖g‖q≤ 1

p+

1

q= 1.

que es la desigualdad de Holder. �

La Desigualdad de Holder implica que el producto de una funcion en Lp,y una funcion en Lq es integrable cuando p > 1 y q satisfacen la relacion1

p+

1

q= 1 o, equivalentemente, cuando p+q = pq. Dos numeros que satisfacen

esta relacion se llaman indices conjugados. Cabe senalar que p = 2 es elunico ındice auto-conjugado. Ası, el producto de dos funciones en L2 esintegrable.

6.10 Desigualdad de Cauchy-Bunyakovskiı-Schwarz. Si f y gpertenecen a L2, entonces fg es integrable y

(6.5)

∣

∣

∣

∣

∫

fg dµ

∣

∣

∣

∣

≤∫

|fg| dµ ≤ ‖f‖2‖g‖2.

6.1 Desigualdad de Minkowski. Si f y h pertenecen a Lp, p ≥ 1,entonces f + g pertenece a Lp y

(6.6) ‖f + h‖p ≤ ‖f‖p + ‖h‖p.

Demostracion. El caso p = 1 ya ha sido tratado, por lo que suponemos quep > 1. La suma f + h es evidentemente medible. Puesto que

|f + h|p ≤ [2 sup{|f |, |h|}]p ≤ 2p{|f |p + |h|p}

del Corolario 5.4 y el Teorema 5.5 se deduce que f + h ∈ Lp. Por otra parte,

(6.7) ‖f + h‖p = |f + h| |f + h|p−1 ≤ |f | |f + h|p−1 + |h| |f + h|p−1.

Dado que f + h ∈ Lp, entonces |f + h|p ∈ L1; ya que p = (p− 1)q se sigue que|f + h|p−1 ∈ Lq. Por lo tanto, podemos aplicar la Desigualdad de Holder para


deducir que

∫

|f | |f + h|p−1 dµ ≤ ‖f‖p

{∫

|f + h|(p−1)q dµ

}1/q

= ‖f‖p‖f + h‖p/qp .

Si tratamos el segundo termino de la derecha en (6.6) del mismo modo, obten-emos

‖f + h‖pp ≤ ‖f‖p‖f + h‖p/q

p + ‖h‖p‖f + h‖p/qp

= {‖f‖p + ‖h‖p}‖f + h‖p/qp .

Si A = ‖f + h‖p = 0, entonces la ecuacion (6.6) es trivial. Si A 6= 0, podemos

dividir la desigualdad anterior por un Ap/q; ya que p − p

q= 1, obtenemos la

Desigualdad de Minkowski. �

Se ve facilmente que el espacio Lp es un espacio lineal y que la formula de(6.3) define una norma sobre Lp. La unica cosa no trivial que debe ser com-probado aquı es la desigualdad 6.1(iv) y esta es la Desigualdad de Minkowski.Ahora mostraremos que Lp es completo bajo esta norma en el siguiente sentido.

6.12 Definicion (sucesion de Cauchy, Completitud). Una sucesion (fn) enLp es una sucesion de Cauchy en Lp si para cada numero positivo ǫ existeM(ǫ) tal que si m,n ≥ M(ǫ), entonces ‖fm − fn‖p < ǫ. Una sucesion (fn)en Lp es convergente a f en Lp si para cada numero positivo ǫ existe N(ǫ)tal que si n ≥ N(ǫ), entonces ‖f − fn‖p < ǫ. Un espacio lineal normadoes completo si cada sucesion de Cauchy converge a algun elemento delespacio.

6.13 Lema. Si la sucesion (fn) converge a f en Lp, entonces es una suce-sion de Cauchy.

Demostracion. Si m, n ≥ N(ǫ/2), entonces

‖f − fm‖p <ǫ

2, ‖f − fn‖p <

ǫ

2.

Por lo tanto tenemos

‖fm − fn‖p ≤ ‖fm − f‖p + ‖f − fn‖p < ǫ

�

59

Ahora vamos a demostrar que toda sucesion de Cauchy en Lp convergeen Lp a un elemento. Este resultado es a veces se llama el Teorema de Riesz-Fischer.

6.14 Teorema de Completitud. Si 1 ≤ p < ∞, entonces el espacio Lp

es un espacio lineal normado completo bajo la norma

‖f‖p =

{∫

|f |p dµ}1/p

.

Demostracion. Se ha afirmado que Lp es un espacio lineal normado. Paraestablecer la completitud de Lp, sea (fn) una sucesion de Cauchy relativo a lanorma ‖ ‖p. Por lo tanto, si ǫ > 0 existe M(ǫ) tal que si m, n ≥M(ǫ), entonces

(6.8)

∫

|fn − fm|p dµ = ‖fm − fn‖pp < ǫp.

Existe una subsucesion (gk) de (fn) tal que ‖gk+1 − gk‖p < 2−k para k ∈ N.Definimos g por

(6.9) g(x) = |g1(x)| +∞∑

k=1

|gk+1(x) − gk(x)|,

de modo que g esta en M+(X,X). Por el Lema de Fatou, tenemos que

∫

|g|p dµ ≤ lım ınfn→∞

∫

{

‖g1‖p +n∑

k=1

|gk+1 − gk|}p

dµ.

Tomando la raız p−esima de ambos lados y aplicando la Desigualdad deMinkowski obtenemos

{∫

|g|p dµ}1/p

≤ lım ınfn→∞

{

‖g1‖p +

n∑

k=1

‖gk+1 − gk‖p

}

≤ ‖g1‖p + 1.

Por lo tanto, si E = {x ∈ X : g(x) < +∞}, entonces E ∈ X y µ(X \ E) = 0.Por consiguiente, la serie en (6.9) converge casi en todas partes y gχE pertenecea Lp. Definimos ahora f sobre X por

f(x) = g1(x) +

∞∑

k=1

{gk+1 − gk}, x ∈ E

= 0, x /∈ E.


Puesto que |gk| ≤ |g1| +

k−1∑

j=1

|gj+1 − gj | ≤ g y ya que (gk) converge en casi

todas partes a f , el Teorema de la Convergencia Dominada 5.6 implica quef ∈ Lp. Dado que |f −gk|p ≤ 2pgp, del Teorema de la Convergencia Dominadadeducimos que 0 = lım ‖f − gn‖p, de modo que (gk) converge en Lp a f .

En vista de (6.8), si m ≥M(ǫ) y k es suficientemente grande, entonces

∫

|fm − gk|p < ǫp.

Aplicando el Lema de Fatou para concluir que

∫

|fm − f |p dµ ≤ lım ınfk→∞

∫

|fm − gk|p dµ ≤ ǫp,

siempre que m ≥ M(ǫ). Esto demuestra que la sucesion (fn) converge a f enla norma de Lp. �

Un espacio lineal normado completo usualmente se llama un espacio de

Banach. Ası que, el teorema anterior, podrıa ser formulado: el espacio Lp esun espacio de Banach bajo la norma dada en (6.3).

El Espacio L∞

Ahora vamos a introducir un espacio que esta relacionado con los espacios-Lp.

6.15 Definicion (L∞, funcion esencialmente acotado). El espacio L∞ =L∞(X,X, µ) que consiste de todos las clases de equivalencia funciones realesX−medibles que estan acotados casi en todas partes, dos funciones sonequivalentes cuando son iguales µ−casi en todas partes. Si f ∈ L∞ y ∈ Xcon µ(N) = 0, definimos

S(N) = sup {|f(x)| : x /∈ N}

y

(6.10) ‖f‖∞ = ınf {S(N) : N ∈ X, µ(N) = 0} .

Un elemento de L∞ se llama funcion esencialmente acotado.

Se sigue que si f ∈ L∞, entonces |f(x)| ≤ ‖f‖∞ para casi todo x (veaseel Ejercicio 6.T). Por otra parte, si A < ‖f‖∞, entonces existe un conjunto Econ medida positiva tal que |f(x)| ≥ A para x ∈ E. Tambien es claro que lanorma en (6.10) esta bien definido en L∞.

61

6.16 Teorema. El espacio L∞ es un espacio lineal normado completo bajola norma dada por la formula (6.10).

Demostracion. Es evidente que L∞ es un espacio lineal y que ‖f‖∞ ≥ 0,‖0‖∞ = 0, y ‖αf‖∞ = |α| ‖f‖∞. Si ‖f‖∞ = 0 entonces existe una conjuntoNk ∈ X con µ(Nk) = 0 tal que |f(x)| ≤ 1/k para x /∈ Nk. Si ponemos

N =∞⋃

k=1

Nk, entonces N ∈ X, µ(N) = 0, y |f(x)| = 0 para x /∈ N . Por lo

tanto, f(x) = 0 para casi todos los x.

Si f, g ∈ L∞, existen conjuntos N1, N2 en X con µ(N1) = µ(N2) = 0 talque

f(x) ≤ ‖f‖∞ para x /∈ N1,

g(x) ≤ ‖g‖∞ para x /∈ N2,

Por lo tanto, |f(x) + g(x)| ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞ para x /∈ (N1 ∪N2), de lo cual sededuce que ‖f + g‖∞ ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞.

Solo queda mostrar que L∞ es completo. Sea (fn) una sucesion de Cauchyen L∞, y sea M un conjunto en X con µ(M) = 0, tal que |fn(x)| ≤ ‖fn‖∞para x /∈ M , n = 1, 2, . . . y tambien tal que |fn(x) − fm(x)| ≤ ‖fn − fm‖∞para todo x /∈M , n, m = 1, 2, . . .. Entonces la sucesion (fn) es uniformementeconvergente en X \M , y haciendo

f(x) =

{

lım fn(x), x /∈M0, x ∈M.

Se sigue que f es medible, y es facil ver que ‖fn − f‖∞ → 0. Por lo tantoL∞ es completo. �

Ejercicios

6.A. Sea C[0, 1] el espacio lineal de funciones continuas de [0, 1] a R. DefinimosN0 para f en C[0, 1] por N0(f) = |f(0)|. Mostrar que N0 es una semi-norma sobre C[0, 1].

6.B. Sea C[0, 1] definido como antes, y N1 definido para f en C[0, 1] comola integral de Riemann de |f | sobre [0, 1]. Mostrar que N1 define unasemi-norma sobre C[0, 1]. Si fn esta definido para n ≥ 1 como: igual a0 para 0 ≤ x ≤ (1 − 1/n)/2; igual a 1 para 1

2 ≤ x ≤ 1; y lineal para(1 − 1/n)/2 ≤ x ≤ 1

2 , Mostrar que (fn) es una sucesion de Cauchy, peroque no converge con respecto a N1 a un elemento de C[0, 1].


6.C. Sea N una norma sobre un espacio lineal V y sea d definido para u, v ∈ Vpor d(u, v) = N(u− v). Mostrar que d es una metrica sobre V ; es decir,(i) d(u, v) ≥ 0 para todo u, v ∈ V ; (ii) d(u, v) = 0 si y solamente si u = v;(iii) d(u, v) = d(v, u); (iv) d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w, v).

6.D. Si f ∈ L1(X,X, µ) y sea ǫ > 0, entonces existe una funcion simple ϕX−medible tal que ‖f − ϕ‖1 < ǫ. Extender esto a Lp, 1 ≤ p < ∞. ¿Esverdad para L∞?

6.E. Si f ∈ Lp, 1 ≤ p < ∞, y si E = {x ∈ X : |f(x)| 6= 0} , entonces E esσ−finito.

6.F. Si f ∈ Lp y si En = {x ∈ X : |f(x)| ≥ n} , entonces µ(En) → 0 cuandon→ ∞.

6.G. Sea X = N, y sea µ la medida de contar sobre N. Si f esta definido sobreN por f(n) = 1/n, entonces f no pertenece a L1, pero si pertenece aLp para 1 ≤ p < ∞. [Alternativamente, sea X = R, X = B, y sea µ lamedida de Lebesgue y se define g(x) = 0 para x < 1 y g(x) = 1/x parax ≥ 1.]

6.H. Sea X = N, y sea λ la medida sobre N que tiene medida 1/n2 en elpunto n. (Mas precisamente λ(E) =

∑{

1/n2 : n ∈ E}

.) Mostrar queλ(X) < +∞. Sea f definido sobre X por f(n) =

√n. Mostrar que f ∈ Lp

si y solamente si 1 ≤ p < 2. [Para un ejemplo similar, sea X = (0, 1) conla medida de Lebesgue, y considerar g(x) = 1/

√x.]

6.I. Modificar el Ejercicio 6.H para obtener una funcion sobre un espacio demedida finita que pertenezca a Lp si y solamente si 1 ≤ p < p0.

6.J. Sea (X,X, µ) un espacio de medida finita. Si f es X−medible, sea En ={x ∈ X : (n− 1) ≤ |f(x)| < n}. Mostrar que f ∈ L1 si y solamente si

∞∑

n=1

nµ(En) < +∞.

De manera general, f ∈ Lp para 1 ≤ p <∞, si y solamente si

∞∑

n=1

npµ(En) < +∞.

6.K. Si (X,X, µ) es un espacio de medida finita y f ∈ Lp, entonces f ∈ Lr

para 1 ≤ r ≤ p. [Sugerencia: Usar el Ejercicio 6.J o la desigualdad

63

|f |r ≤ 1 + |f |p.] Aplicar la desigualdad de Holder para |f |r en Lp/r yg = 1 para obtener la desigualdad

‖f‖r ≤ ‖f‖pµ(X)s,

donde s = (1/r)−(1/p). Por lo tanto, si µ(X) = 1, entonces ‖f‖r ≤ ‖f‖p.

6.L. Supongase que X = N y mu es la medida de contar sobre N. Si f ∈ Lp,entonces f ∈ Ls con 1 ≤ p ≤ s <∞, y ‖f‖s ≤ ‖f‖p.

6.M. Sea X = (0,∞), sea µ la medida de Lebesgue sobre X, y sea f(x) =x−1/2(1 + | log x|)−1. Entonces f ∈ Lp si y solamente si p = 2.

6.N. Sea (X,X, µ) cualquier espacio de medida y sea f que pertenece tanto aLp1 y Lp2, con 1 ≤ p1 < p2 < ∞. Demostrar que f ∈ Lp para cualquiervalor de p tal que p1 ≤ p ≤ p2.

6.O. Sea 1 < p < ∞, y sea (1/p) + (1/q) = 1. De la desigualdad de Holder sesigue que si f ∈ Lp, entonces

∣

∣

∣

∣

∫

fg dµ

∣

∣

∣

∣

≤ ‖f‖p

para todo g ∈ Lq tal que ‖g‖q ≤ 1. Si f 6= 0, se define g0 sobre Xpor g0(x) = c[signof(x)]|f(x)|p−1, donde c = (‖f‖p)

−p/q. Mostrar queg0 ∈ Lq, que ‖g0‖q = 1, y que

∣

∣

∣

∣

∫

fg0 dµ

∣

∣

∣

∣

= ‖f‖p.

6.P. Sea f ∈ Lp(X,X, µ), 1 ≤ p < ∞, y sea ǫ > 0. Mostrar que existe unconjunto Eǫ ∈ X con µ(Eǫ) < +∞ tal que si F ∈ X y F ∩ Eǫ = ∅,entonces ‖fχF ‖p < ǫ.

6.Q. Sea fn ∈ Lp(X,X, µ), 1 ≤ p <∞, y sea βn definido para E ∈ X por

βn(E) =

{∫

E|fn|p dµ

}1/p

.

Mostrar que |βn(E) − βm(E)| ≤ ‖fn − fm‖p. Por tanto, si (fn) es unasucesion de Cauchy en Lp, entonces lımβn(E) existe para cada E ∈ X.

6.R. Sea fn, βb como en el Ejercicio 6.Q. Si (fn) es una sucesion de Cauchy yǫ > 0, entonces existe un conjunto Eǫ ∈ X con µ(Eǫ) < +∞ tal que siF ∈ X y F ∩ Eǫ = ∅, entonces βn(F ) < ǫ para todo n ∈ N.


6.S. Sea fn, βn como en el Ejercicio 6.R, supongase que (fn) es una suce-sion de Cauchy. Si ǫ > 0, entonces existe δ(ǫ) > 0 tal que si E ∈ X yµ(E) < δ(ǫ), entones βn(E) < ǫ para todo n ∈ N. [Sugerencia: Usar elCorolario 4.11.]

6.T. Si f ∈ L∞(X,X, µ), entonces |f(x)| ≤ ‖f‖∞ para casi todo x. Ademas,si A < ‖f‖∞, entonces existe un conjunto E ∈ X con µ(E) > 0 tal que|f(x)| > A para todo x ∈ E.

6.U. Si f ∈ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, y g ∈ L∞, entonces el producto fg ∈ Lp y‖fg‖p ≤ ‖f‖p‖g‖∞.

6.V. El espacio L∞(X,X, µ) esta contenido en L1(X,X, µ) si y solamente siµ(X) <∞. Si µ(X) = 1 y f ∈ L∞, entonces

‖f‖∞ = lımp→∞

‖f‖p.

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