Wszelkie prawa zastrzeżone. Nieautoryzowane rozpowszechnianie całości lub fragmentu niniejszej publikacji w jakiejkolwiek postaci jest zabronione. Wykonywanie kopii metodą kserograficzną, fotograficzną, a także kopiowanie książki na nośniku filmowym, magnetycznym lub innym powoduje naruszenie praw autorskich niniejszej publikacji.

Wszystkie znaki występujące w tekście są zastrzeżonymi znakami firmowymi bądź towarowymi ich właścicieli.

Autor oraz Wydawnictwo HELION dołożyli wszelkich starań, by zawarte w tej książce informacje były kompletne i rzetelne. Nie biorą jednak żadnej odpowiedzialności ani za ich wykorzystanie, ani za związane z tym ewentualne naruszenie praw patentowych lub autorskich. Autor oraz Wydawnictwo HELION nie ponoszą również żadnej odpowiedzialności za ewentualne szkody wynikłe z wykorzystania informacji zawartych w książce.

Redaktor prowadzący: Tomasz Waryszak

Projekt okładki: Maciej Pasek

Materiały graficzne na okładce zostały wykorzystane za zgodą Shutterstock.

Wydawnictwo HELION ul. Kościuszki 1c, 44-100 GLIWICE tel. 32 231 22 19, 32 230 98 63 e-mail: helion@helion.pl WWW: http://helion.pl (księgarnia internetowa, katalog książek)

Drogi Czytelniku! Jeżeli chcesz ocenić tę książkę, zajrzyj pod adres http://helion.pl/user/opinie?statisMożesz tam wpisać swoje uwagi, spostrzeżenia, recenzję.

ISBN: 978-83-246-4110-9

Copyright © Helion 2012

Printed in Poland.

• Kup książkę• Poleć książkę • Oceń książkę

• Księgarnia internetowa• Lubię to! » Nasza społeczność

Spis tre�ciWprowadzenie .................................................................................. 7

Rozdzia� 1. Organizacja pracy w programie Statistica ........................................ 111.1. Interfejs programu. Zmienne i przypadki .............................................................. 11

�wiczenie 1.1.1. Wprowadzanie i zapisywanie danych ........................................ 14�wiczenie 1.1.2. Edycja danych w arkuszu .......................................................... 18�wiczenie 1.1.3. Tworzenie wyra�e� matematycznych ........................................ 24�wiczenie 1.1.4. Sortowanie danych ..................................................................... 25�wiczenie 1.1.5. Filtrowanie danych .................................................................... 27�wiczenie 1.1.6. Wzory matematyczne. Przegl�darka funkcji .............................. 28�wiczenie 1.1.7. Zarz�dzanie wynikami ............................................................... 29

1.2. Graficzna prezentacja danych w programie Statistica ........................................... 31�wiczenie 1.2.1. Wykresy rozrzutu ...................................................................... 31�wiczenie 1.2.2. Wykresy s�upkowe/kolumnowe ................................................. 35�wiczenie 1.2.3. Wykresy liniowe ........................................................................ 38�wiczenie 1.2.4. Wykres s�upkowy wielokrotny .................................................. 39�wiczenie 1.2.5. Wykres 3W sekwencyjny .......................................................... 39�wiczenie 1.2.6. Wykresy obrazkowe .................................................................. 42�wiczenie 1.2.7. Wykres liniowy .......................................................................... 45�wiczenie 1.2.8. Wykres powierzchniowy i warstwicowy ................................... 47

Rozdzia� 2. Statystyka opisowa ........................................................................ 51�wiczenie 2.1.1. Szereg rozdzielczy. Histogramy ................................................ 52�wiczenie 2.1.2. Opisowe charakterystyki rozk�adów .......................................... 57�wiczenie 2.1.3. Wykresy ramka-w�sy ................................................................ 60�wiczenie 2.1.4. Analiza wielu zmiennych niezale�nych ..................................... 64�wiczenie 2.1.5. Dane skategoryzowane .............................................................. 66Zadania .................................................................................................................. 70Testy wielokrotnego wyboru ................................................................................. 71

Rozdzia� 3. Zmienne losowe. Kalkulator prawdopodobie�stwa ........................... 73�wiczenie 3.1.1. Rozk�ad dwumianowy ............................................................... 83�wiczenie 3.1.2. Standardowy rozk�ad normalny ................................................. 85�wiczenie 3.1.3. Rozk�ad t-Studenta ..................................................................... 89�wiczenie 3.1.4. Rozk�ad chi-kwadrat .................................................................. 93�wiczenie 3.1.5. Rozk�ad �redniej z próby ........................................................... 96�wiczenie 3.1.6. Rozk�ad sumy zmiennych losowych .......................................... 97Zadania .................................................................................................................. 97Testy wielokrotnego wyboru ................................................................................. 99

4 Statystyka z programem Statistica

Rozdzia� 4. Estymacja parametryczna ............................................................. 103�wiczenie 4.1.1. Przedzia� ufno�ci dla warto�ci oczekiwanej ............................. 105�wiczenie 4.1.2. Przedzia� ufno�ci dla odchylenia standardowego ..................... 110Zadania ................................................................................................................ 111Testy wielokrotnego wyboru ............................................................................... 112

Rozdzia� 5. Testy statystyczne ....................................................................... 1155.1. Badanie normalno�ci rozk�adu zmiennych .......................................................... 118

�wiczenie 5.1.1. Testy normalno�ci rozk�adu ..................................................... 120�wiczenie 5.1.2. Wykresy normalno�ci .............................................................. 125

5.2. Testy jednorodno�ci wariancji ............................................................................. 126�wiczenie 5.2.1. Test F ....................................................................................... 126�wiczenie 5.2.2. Test Levene’a .......................................................................... 128�wiczenie 5.2.3. Test Browna-Forsythe’a .......................................................... 130

5.3. Testy t-Studenta .................................................................................................. 131�wiczenie 5.3.1. Test t dla pojedynczej próby .................................................... 139�wiczenie 5.3.2. Test t dla dwóch prób niezale�nych ......................................... 141�wiczenie 5.3.3. Testy istotno�ci ró�nic dla dwóch prób zale�nych ................... 148�wiczenie 5.3.4. Inne testy istotno�ci ................................................................. 149

5.4. Testy nieparametryczne dla prób niezale�nych ................................................... 151�wiczenie 5.4.1. Test U Manna-Whitneya .......................................................... 152�wiczenie 5.4.2. Test serii Walda-Wolfowitza ................................................... 154

5.5. Testy nieparametryczne dla prób zale�nych ........................................................ 156�wiczenie 5.5.1. Test znaków ............................................................................. 156�wiczenie 5.5.2. Test kolejno�ci par Wilcoxona ................................................. 157Zadania ................................................................................................................ 158Testy wielokrotnego wyboru ............................................................................... 159

Rozdzia� 6. Porównanie wielu �rednich ........................................................... 165�wiczenie 6.1.1. ANOVA jednoczynnikowa. Przekroje, prosta ANOVA .......... 166�wiczenie 6.1.2. ANOVA jednoczynnikowa. Modu� ANOVA .......................... 173�wiczenie 6.1.3. Wielokrotne porównania .......................................................... 177�wiczenie 6.1.4. ANOVA efektów g�ównych .................................................... 181�wiczenie 6.1.5. ANOVA dla uk�adów czynnikowych ...................................... 183�wiczenie 6.1.6. Porównania zaplanowane ........................................................ 186�wiczenie 6.1.7. Test Kruskala-Wallisa i test mediany ...................................... 195�wiczenie 6.1.8. Uk�ady z powtarzanymi pomiarami ......................................... 197Zadania ................................................................................................................ 205Testy wielokrotnego wyboru ............................................................................... 206

Rozdzia� 7. Analiza zmiennych jako�ciowych ................................................... 209�wiczenie 7.1.1. Test McNemary ....................................................................... 209�wiczenie 7.1.2. Test Q Cochrana ...................................................................... 211�wiczenie 7.1.3. Tabele wielodzielcze. Test niezale�no�ci �2 ............................ 213

Rozdzia� 8. Analiza wspó�zale�no�ci mi�dzy zmiennymi .................................... 2178.1. Regresja liniowa .................................................................................................. 217

�wiczenie 8.1.1. Badanie korelacji ..................................................................... 219�wiczenie 8.1.2. Regresja liniowa ...................................................................... 221

8.2. Regresja wieloraka .............................................................................................. 229�wiczenie 8.2.1. Liniowy model regresji wielorakiej ......................................... 231�wiczenie 8.2.2. Predykcja zmiennej zale�nej .................................................... 243�wiczenie 8.2.3. Regresja krokowa .................................................................... 244

Spis tre�ci 5

8.3. Linearyzowana regresja nieliniowa ..................................................................... 250�wiczenie 8.3.1. Logarytmiczna funkcja regresji ............................................... 251�wiczenie 8.3.2. Wyk�adnicza funkcja regresji .................................................. 257�wiczenie 8.3.3. Hiperboliczna funkcja regresji ................................................. 259�wiczenie 8.3.4. Aproksymacja wielomianem drugiego stopnia ........................ 263

8.4. Estymacja nieliniowa .......................................................................................... 266�wiczenie 8.4.1. Funkcja u�ytkownika ............................................................... 266�wiczenie 8.4.2. Regresja logistyczna ................................................................ 271Zadania ................................................................................................................ 277Testy wielokrotnego wyboru ............................................................................... 278

Rozdzia� 9. Szeregi czasowe. Metody prognozowania ...................................... 281�wiczenie 9.1.1. Prognozowanie metod� �redniej ruchomej .............................. 284�wiczenie 9.1.2. Wyg�adzanie wyk�adnicze ....................................................... 295�wiczenie 9.1.3. Model Holta ............................................................................. 301�wiczenie 9.1.4. Model trendu liniowego ........................................................... 308�wiczenie 9.1.5. Metoda wska�ników. Dekompozycja sezonowa (Census 1) .... 312�wiczenie 9.1.6. Model ARIMA dla pojedynczego szeregu ............................... 326Zadania ................................................................................................................ 333Testy wielokrotnego wyboru ............................................................................... 334

Odpowiedzi do testów .................................................................. 337

Bibliografia .................................................................................. 339

Skorowidz .................................................................................... 341

6 Statystyka z programem Statistica

Rozdzia� 4.

Estymacja parametryczna

G�ównym zadaniem bada� statystycznych jest wnioskowanie o ca�ej populacji gene-ralnej na podstawie wyników uzyskanych w próbie losowej. Dzia� statystyki zajmuj�cysi tym zagadnieniem jest nazywany wnioskowaniem statystycznym.

Estymacja to dzia� wnioskowania statystycznego, który zajmuje si szacowaniem warto-�ci parametrów oraz postaci rozk�adu w populacji generalnej na podstawie obserwacjiuzyskanych w próbie losowej. Metody znajdowania nieznanych warto�ci parametrówrozk�adu okre�la estymacja parametryczna. Wnioskowaniem o postaci rozk�aduw populacji generalnej zajmuje si estymacja nieparametryczna. Punktem wyj�cio-wym w estymacji jest wylosowanie z populacji n-elementowej próby i wyznaczenie najej podstawie warto�ci estymatora nieznanego parametru. Estymatorem parametru 1rozk�adu populacji generalnej jest funkcja wyznaczona na podstawie próby losowej,s�u��ca do oceny warto�ci tego parametru. Teoria estymacji zajmuje si konstruowaniemestymatorów maj�cych okre�lone w�a�ciwo�ci, takie jak nieobci��ono�, zgodno�,efektywno� i dostateczno�. Wicej o metodach wyznaczania takich estymatorówmo�na znale� w pozycjach [4, 21, 27, 30]. Zgodnym, nieobci��onym i najefektyw-niejszym estymatorem warto�ci oczekiwanej populacji jest warto� �rednia x z próby

losowej wyra�ona wzorem ��

�n

iix

nx

1

1 . Zgodnym i nieobci��onym estymatorem warian-

cji populacji +2 jest wariancja z próby prostej wyra�ona wzorem

��

�n

ii xx

ns

1

22 )(1

1 .

Estymacja parametryczna mo�e by punktowa lub przedzia�owa. W estymacji punk-towej za parametr populacji przyjmuje si warto� estymatora otrzyman� z danej,n-elementowej próby losowej. Estymacja punktowa nie daje oszacowania nieznanegoparametru 1 rozk�adu populacji. Prawdopodobie�stwo, �e estymator przyjmie warto�równ� warto�ci szacowanego parametru, jest równe 0. Z tego wynika, �e przy stosowa-niu estymacji punktowej prawdopodobie�stwo pope�nienia b�du w ocenie parametrupopulacji jest równe 1.

104 Statystyka z programem Statistica

B��d oceny parametru populacji 1 za pomoc� jego estymatora Q nie powinien prze-kracza odpowiednio ma�ej warto�ci # z przyjtym du�ym prawdopodobie�stwem 1–/,czyli musi by spe�nione równanie: /#1 �� 1)( QP . Przedzia� liczbowy (Q–#,Q+#), który z okre�lonym z góry, du�ym (bliskim jedno�ci) prawdopodobie�stwembdzie zawiera� nieznan� warto� parametru zbiorowo�ci generalnej, jest nazywanyprzedzia�em ufno�ci, a prawdopodobie�stwo 1–/ — wspó�czynnikiem ufno�ci. Dowyznaczenia warto�ci # potrzebna jest znajomo� rozk�adu estymatora Q. Procedurawyznaczania przedzia�u ufno�ci jest nazywana estymacj� przedzia�ow�.

Przedzia� ufno�ci to losowy przedzia� wyznaczony za pomoc� rozk�adu estymatora,maj�cy t w�asno�, �e z du�ym, z góry zadanym prawdopodobie�stwem pokrywa war-to� szacowanego parametru. Zapisujemy go zwykle w postaci: P(a < 1 < b) = 1–/.Liczby a i b s� nazywane doln� i górn� granic� przedzia�u ufno�ci. Wspó�czynnikufno�ci 1–/ jest miar� zaufania do prawid�owego szacunku. Najcz�ciej ma on warto�0,99, 0,95 lub 0,90.

Przedzia� ufno�ci dla warto�ci oczekiwanej E(X) populacji o rozk�adzie normalnymN(m, +) jest wyznaczany wed�ug wzoru:

/++// �$$%

&''(

)��� 1

nuxm

nuxP ,

gdzie u/ jest tak� warto�ci� w standardowym rozk�adzie, �e pole pod krzyw� gsto�ciw przedziale (–u/, u/) wynosi 1–/, a pole pod krzyw� gsto�ci na prawo od u/ i nalewo od –u/ wynosi po //2. Z tego wynika, �e u/ mo�na wyznaczy z relacji:

)2/(1)( // �- u , gdzie - jest dystrybuant� standardowego rozk�adu normalnego.

D�ugo� przedzia�u ufno�ci zale�y od warto�ci �redniej, obliczonej na podstawie próby,przyjtego wspó�czynnika ufno�ci 1–/, liczebno�ci próby oraz wariancji +. Aby zatemoszacowa przedzia� ufno�ci z jak najmniejszym b�dem, nale�y dok�adnie okre�liwarto� �redni�.

Przedzia� ufno�ci dla warto�ci oczekiwanej dla ma�ych prób oblicza si wed�ug wzoru:

/// �$$%

&''(

)

���

111 n

stxmnstxP ,

gdzie t� warto� zmiennej losowej t-Studenta dla n–1 stopni swobody wyznaczanaz relacji: /// ��� 1)( tttP .

Im warto� wspó�czynnika ufno�ci jest wiksza, tym szerszy jest przedzia� ufno�ci,a wic mniejsza dok�adno� estymacji parametru. D�ugo� przedzia�u ufno�ci jest miar�precyzji estymacji przedzia�owej. Szeroki przedzia� ufno�ci oznacza mo�liwo� du�ychodchyle� warto�ci z próby od warto�ci rzeczywistych, czyli warto�ci oczekiwanychz populacji. Im krótszy jest przedzia� ufno�ci, tym dok�adniej obliczony przez nas esty-mator przybli�a warto� oczekiwan� populacji, czyli tym precyzyjniejsza jest estymacja

Rozdzia� 4. � Estymacja parametryczna 105

przedzia�owa. B�dy przybli�e� pope�niane przy szacowaniu �redniej malej� wraz zezwikszaniem liczebno�ci próby. Jednym z zada� estymacji jest wyznaczenie minimal-nej liczebno�ci próby tak, by oszacowa przedzia� ufno�ci z jak najmniejszym b�dem.Zbyt ma�a próba mo�e prowadzi do fa�szywych wniosków o populacji generalnej.Aby zwikszy dok�adno� estymacji, nale�y tak�e poprawi dok�adno� pomiarów.

Przedzia�y ufno�ci s� wyznaczane dla warto�ci oczekiwanej, wariancji, odchylenia stan-dardowego i wska�nika struktury. Wyznacza si je z rozk�adów odpowiednich statystykbd�cych estymatorami tych parametrów.

�wiczenie 4.1.1. Przedzia� ufno�cidla warto�ci oczekiwanej

Przyk�ad 34. Przedzia� ufno�ci dla �redniej(warto�ci oczekiwanej m = E(X)) dla du�ych prób

Dokonano 52 pomiarów zanieczyszczenia gleby o�owiem (w mg/kg suchej masy gleby),otrzymane wyniki zapisano w tabeli.

59 60 62 58 59 61 65 67 65 65 62 62 65 67 69 64 65 66 67 64 64 66 68 64 63 64

67 69 62 64 67 68 69 61 62 69 66 69 63 65 60 60 65 63 70 68 67 71 61 64 63 66

Zak�adaj�c, �e rozk�ad wyników pomiarów jest rozk�adem normalnym, wyznacz prze-dzia� ufno�ci ze wspó�czynnikiem ufno�ci 0,95 dla warto�ci �redniej.

Dane

Wspó�czynnik ufno�ci 1–/ = 0,95. Zmienn� jest zanieczyszczenie gleby o�owiem.

Rozwi�zanie

� Wybierz z menu Plik/Nowy. W oknie Utwórz nowy dokument wprowad�:Liczba zmiennych: 1, Liczba przypadków: 52.

� Wprowad� dane z tabeli.

� Zapisz arkusz w pliku o�ów.sta.

� Poniewa� próba jest du�a, mo�na przyj�, �e + = s. Przedzia� ufno�ci dladu�ych prób obliczany jest wed�ug wzoru:

/++// �$$%

&''(

)��� 1

nuXm

nuXP .

Dane jest 1–/ = 0,95, czyli / = 0,05. u/ nale�y wyznaczy z relacji -(u/) = 1–(//2),gdzie - jest dystrybuant� standardowego rozk�adu normalnego.

Po podstawieniu -(u/) = 1–(//2) = 0,975.

106 Statystyka z programem Statistica

� Uruchom kalkulator prawdopodobie�stwa. Wybierz Rozk�ad Z (Normalny).

� Wprowad� p = 0,975 (rysunek 4.1). Kliknij przycisk Oblicz. Program obliczau/ wy�wietlane w polu X, czyli u/ = 1,96.

Rysunek 4.1.Okno Kalkulatorprawdopodobie�stwa

� Aby wyznaczy warto� �redni� i odchylenie standardowe, kliknij lewymprzyciskiem nazw zmiennej, wybierz Statystyki bloku danych/Kolumny/rednia,a nastpnie Odchylenie standardowe.

� Program wy�wietla wyniki 13,3,615,64 �� +x .

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy przedzia� ufno�ci (63,7, 65,5).

Rozwi�zanie z programem Statistica

I sposób� Wybierz z menu: Statystyka/Statystyki podstawowe i tabele/Statystyki opisowe.

� Kliknij przycisk Zmienne i jako zmienn� wprowad� O�ów.

� Aby wy�wietli przedzia�y ufno�ci, kliknij zak�adk Wi�cej i zaznacz parametry:rednia, Przedz. ufn. �redniej. W polu Przedzia� [%] podany jest wspó�czynnikufno�ci równy 95% (rysunek 4.2).

� Kliknij przycisk Statystyki lub Podsumowanie. Program wy�wietla arkuszwynikowy w postaci tabeli (rysunek 4.3).

Odpowied

Przedzia� ufno�ci (w programie Statistica: (Ufno��–95%) = 63,7; (Ufno��+95%) = 65,5)ma posta (63,7, 65,5).

II sposób

Przedzia� ufno�ci jest wy�wietlany na wykresie rednia i b��dy.� Wybierz z menu: Wykresy/Wykresy �rednia i b��dy.

� Zdefiniuj zmienn� O�ów.

Rozdzia� 4. � Estymacja parametryczna 107

Rysunek 4.2.Okno wyborustatystyk opisowych

Rysunek 4.3. Arkusz z wynikami oblicze� (Ufno��–95%, Ufno��+95% to granice przedzia�u ufno�cidla wspó�czynnika 1–/ = 0,95)

� Wspó�czynnik ufno�ci jest wy�wietlany w polu Prawdopodob. (domy�lnawarto� tego wspó�czynnika wynosi 0,95) (rysunek 4.4). Kliknij OK.

Rysunek 4.4. Okno tworzenia wykresów �redniej i przedzia�ów ufno�ci

108 Statystyka z programem Statistica

� Program tworzy wykres �redniej i przedzia�ów ufno�ci dla tej �redniej(rysunek 4.5).

�rednia i przedzia�y ufno�ci

63,6

63,8

64,0

64,2

64,4

64,6

64,8

65,0

65,2

65,4

65,6

O�ó

w

�rednia = 64,6154 �rednia±0,95 Przedz. ufn.

= (63,7434, 65,4874)

Rysunek 4.5. Wykres �redniej i przedzia�ów ufno�ci dla tej �redniej

Odpowied

Przedzia� ufno�ci jest wy�wietlany na wykresie. Z prawdopodobie�stwem 0,95 mo�natwierdzi, �e �rednie zanieczyszczenie gleby o�owiem zawiera si w przedziale (63,7,65,5) mg/kg suchej masy.

Przyk�ad 35. Przedzia� ufno�ci dla �redniej dla ma�ych prób

Dokonano 12 pomiarów zanieczyszczenia gleby o�owiem (w mg/kg suchej masy gleby),otrzymane wyniki zapisano w tabeli.

54 60 65 55 70 68 67 59 61 64 63 68

Zak�adaj�c, �e rozk�ad zmiennej, czyli zanieczyszczenia gleby o�owiem, jest rozk�a-dem normalnym, i przyjmuj�c wspó�czynnik ufno�ci 0,95, wyznacz przedzia� ufno�cidla �redniej warto�ci zanieczyszczenia gleby o�owiem.

Dane

1–� �0234530n0�067

Rozdzia� 4. � Estymacja parametryczna 109

Rozwi�zanie

Przedzia� ufno�ci dla ma�ych prób oblicza si wed�ug wzoru:

/// �$$%

&''(

)

���

111 n

stXmnstXP ,

gdzie t/ warto� zmiennej losowej t-Studenta dla n–1 stopni swobody jest wyznaczanatak, �e spe�niona jest relacja /// ��� 1)( tttP 8

� Wybierz z menu Plik/Nowy. W oknie Utwórz nowy dokument wprowad�:Liczba zmiennych: 1, Liczba przypadków: 12.

� Wprowad� dane z tabeli i zachowaj w pliku zanieczyszczenie o�owiem.sta.

� Wybierz z menu: Statystyka/Statystyki podstawowe i tabele/Statystyki opisowe.

� Kliknij przycisk Zmienne i jako zmienn� wprowad� O�ów.

� Kliknij zak�adk Wi�cej i zaznacz pola wyboru: �rednia, Przedz. ufn. �redniej.

� Pole edycji Przedzia� zawiera domy�lny wspó�czynnik ufno�ci (0,95) podawanyw procentach.

Program wy�wietla tabel z przedzia�ami ufno�ci (rysunek 4.6).

Rysunek 4.6. Arkusz z wynikami oblicze�

� Wybierz z menu: Wykresy/Wykresy �rednia i b��dy.

� Zdefiniuj zmienn� O�ów.

� Wspó�czynnik ufno�ci jest wy�wietlany w polu Prawdopodob. (domy�lna warto�tego wspó�czynnika wynosi 0,95). Kliknij OK.

� Program tworzy wykres �redniej i wy�wietla na wykresie przedzia�y ufno�cidla tej �redniej (rysunek 4.7).

Odpowied

Z prawdopodobie�stwem 0,95 mo�na twierdzi, �e zanieczyszczenie o�owiem zawierasi w przedziale (59,6 mg/kg, 66,1 mg/kg).

110 Statystyka z programem Statistica

�rednia i przedzia�y ufno�ci

59

60

61

62

63

64

65

66

67

O�ó

w

�rednia = 62,8333 �rednia±0,95 Przedz. ufn.

= (59,5504, 66,1162)

Rysunek 4.7. Wykres �redniej i przedzia�ów ufno�ci

�wiczenie 4.1.2. Przedzia� ufno�cidla odchylenia standardowego

Przyk�ad 36. Przedzia� ufno�ci dla odchylenia standardowego

Przyjmuj�c wspó�czynnik ufno�ci 0,98, wyznacz przedzia�y ufno�ci dla odchylenia stan-dardowego dla danych z poprzedniego przyk�adu (plik zanieczyszczenie o�owiem.sta).

Sposób wykonania

� Otwórz plik zanieczyszczenie o�owiem.sta.

� Wybierz z menu: Statystyka/Statystyki podstawowe i tabele/Statystyki opisowe.

� Kliknij przycisk Zmienne i jako zmienn� wprowad� O�ów.

� Kliknij zak�adk Wi�cej i zaznacz pola wyboru: Odchylenie standardowe, PUdla odch. std. (rysunek 4.8).

� Pole edycji Przedzia� zawiera wspó�czynnik ufno�ci podawany w procentach.Wprowad� 98.

� Program tworzy arkusz z wynikami (rysunek 4.9).

Rozdzia� 4. � Estymacja parametryczna 111

Rysunek 4.8.Okno wyborustatystyk opisowych

Rysunek 4.9. Arkusz z wynikami statystyk opisowych

Odpowied

Otrzymany przedzia� (3,4, 9,8) z prawdopodobie�stwem 0,98 pokrywa odchylenie stan-dardowe zanieczyszczenia gleby o�owiem.

Przy zmniejszaniu warto�ci wspó�czynnika ufno�ci maleje d�ugo� przedzia�u ufno�ci.

Mo�na sprawdzi, �e przedzia� (3,7, 8,8) z prawdopodobie�stwem 0,95 pokrywa war-to� odchylenia standardowego.

ZadaniaZadanie 1.

Przeprowadzono badanie st�enia azotynów NNO2 (mg/l) w wodzie na dwóch odcinkach rzeki.Wyniki pomiarów zawiera tabela.

Odcinek 1 12 16 14 15 13 17 13 13 15 14 16 12

Odcinek 2 11 9 13 15 12 13 11 10 15 13 14 12

Wyznacz przedzia�y ufno�ci dla �redniej dla ka�dej grupy. Porównaj wyniki w grupach.

112 Statystyka z programem Statistica

Zadanie 2.

W celu ustalenia stopnia krystaliczno�ci pewnego polimeru przeprowadzono pomiary tego para-metru dla 10 próbek i otrzymano wyniki (w %): 61, 57, 63, 62, 59, 60, 58, 62, 59, 61. Zbuduj prze-dzia�y ufno�ci, które z prawdopodobie�stwem 98% pokryj� �redni� warto� tego parametru.

Zadanie 3.

W celu ustalenia temperatury topnienia pewnego polimeru przeprowadzono pomiary tego para-metru dla o�miu próbek. Otrzymano (w °C): 220, 225, 223, 226, 224, 225, 223, 221. Przy zadanymwspó�czynniku ufno�ci 0,99 wyznacz przedzia� ufno�ci dla temperatury topnienia.

Zadanie 4.

W celu ustalenia st�enia ozonu wystpuj�cego przy powierzchni Ziemi przeprowadzono pomiaryi otrzymano wyniki (w ppb): 61, 57, 63, 62, 59. Przyjmuj�c wspó�czynnik ufno�ci 0,98:� Zbuduj przedzia� ufno�ci, który z prawdopodobie�stwem 98% pokryje �redni� warto�

tego parametru.� Wyznacz przedzia� ufno�ci dla odchylenia standardowego st�enia ozonu.

Zadanie 5.

Dok�adny pomiar odczynu pH dla oznaczenia stanu surowych �cieków jest wa�ny przy stero-waniu dozowaniem chemikaliów w procesie neutralizacji. Wykonano 60 pomiarów tego para-

metru i otrzymano: 9,7�x (°pH) oraz odchylenie standardowe 0,8.

Zbuduj przedzia�, który z prawdopodobie�stwem 0,99 pokryje pH �cieków.

Zadanie 6.

Biologiczne zapotrzebowanie tlenu Q (mg O2/l) okre�la wska�nik BZT5. Wykonano 12 pomiarówtego wska�nika i otrzymano wyniki widoczne w tabeli.

BZT5 41 39 42 40 38 43 39 44 37 40 39 38

Przyjmuj�c wspó�czynnik ufno�ci 0,95, zbuduj przedzia� ufno�ci dla nieznanej �redniej wska�-nika BZT5.

Testy wielokrotnego wyboru 1. Estymacja parametryczna

a) dotyczy szacowania warto�ci parametrów rozk�adu populacji generalnej.

b) polega na oszacowaniu nieznanego rozk�adu zmiennej losowej.

c) polega na szacowaniu warto�ci lub przedzia�u pokrywaj�cego z pewnymprawdopodobie�stwem parametr populacji generalnej.

2. Zmienna losowa X populacji generalnej ma rozk�ad normalny o nieznanej warto�ci �redniejoraz nieznanym odchyleniu standardowym. Z populacji pobrano ma�� prób�.

a) Przedzia� ufno�ci dla wariancji wyznaczonej na podstawie tej próby jest oparty na rozk�adziechi-kwadrat.

b) Przedzia� ufno�ci dla odchylenia standardowego zmiennej losowej X jest oparty na rozk�adzieF Snedecora.

c) Przedzia� ufno�ci dla warto�ci �redniej wyznaczonej na podstawie tej próby jest opartyna rozk�adzie t-Studenta o n–1 stopniach swobody.

Rozdzia� 4. � Estymacja parametryczna 113

3. Losowy przedzia� wyznaczony za pomoc� rozk�adu estymatora, maj�cy t� w�asno��, �e z du�ym,z góry zadanym prawdopodobie�stwem pokrywa warto�� szacowanego parametru,jest nazywany

a) przedzia�em dopuszczalnym.

b) przedzia�em ufno�ci.

c) przedzia�em krytycznym.

4. Wspó�czynnik ufno�ci to

a) prawdopodobie�stwo odrzucenia prawdziwej hipotezy zerowej.

b) z góry zadane du�e prawdopodobie�stwo równe 1–/.

c) z góry zadane ma�e prawdopodobie�stwo równe /.

5. Wyznaczono przedzia� ufno�ci dla warto�ci �redniej, przyjmuj�c warto�� wspó�czynnika ufno�ci0,95. Oznacza to, �e

a) / = 0,95.

b) 1–/ = 0,95.

c) wyznaczony przedzia� z ufno�ci� 0,05 pokrywa nieznan� warto�� �redniej.

6. Aby zwi�kszy� precyzj� estymacji przedzia�owej, nale�y

a) zwi�kszy� liczebno�� próby.

b) zwi�kszy� wspó�czynnik ufno�ci.

c) zmniejszy� wspó�czynnik ufno�ci.

7. Wybierz poprawne stwierdzenia.

a) Im wy�sza jest warto�� wspó�czynnika ufno�ci, tym szerszy jest przedzia� ufno�ci.

b) Im ni�sza jest warto�� wspó�czynnika ufno�ci, tym szerszy jest przedzia� ufno�ci.

c) D�ugo�� przedzia�u ufno�ci nie zale�y od wspó�czynnika ufno�ci.

114 Statystyka z programem Statistica

Skorowidz.spf, 14.sta, 14.stw, 14

Aaddytywny, model, 284analiza

kontrastów, 186, 189, 190log-liniowa, 213zmiennych jako�ciowych, 209

analiza wariancji, 165dwuczynnikowa, 181jednoczynnikowa, 165, 166, 190

ANOVA, 165, 169, 174dla uk�adów czynnikowych, 165, 183efektów g�ównych, 165, 181jednoczynnikowa, 165, 166, 167, 168, 173modu�, 173za�o�enia testów, 167

ARIMA, model, 326, 327arkusz, 13, 14Arkusz, zak�adka, 14

Bbadanie statystyczne, 51b��d drugiego rodzaju, 115b��d pierwszego rodzaju, 115b��d standardowy, 81

Ccechy statystyczne, 51Census 1, 312, 319centralne twierdzenie graniczne, 80czynnik pomiarów powtarzanych, 197

Ddane

edycja, 18filtrowanie, 27graficzna prezentacja, 31skategoryzowane, 66sortowanie, 25, 26wprowadzanie, 14, 15zapisywanie, 14, 17

decyle, 78dekompozycja sezonowa, 312, 319dokument, tworzenie, 14, 15dominanta, 58Durbina-Watsona, statystyka, 231dystrybuanta, 77

zmiennej losowej ci�g�ej, 77zmiennej losowej skokowej, 77

Eestymacja, 103

nieliniowa, 266nieparametryczna, 103parametryczna, 103przedzia�owa, 104punktowa, 103

estymator, 103Eta-kwadrat cz�stkowe, 176ex ante, 282ex post, 282

Fformu�y matematyczne, tworzenie, 24funkcja

gsto�ci rozk�adu prawdopodobie�stwa, 76prawdopodobie�stwa, 76rozk�adu prawdopodobie�stwa, 76

funkcje matematyczne, definiowanie, 28

342 Statystyka z programem Statistica

Hheteroscedantyczno�, 235hipoteza, 115

alternatywna, 115zerowa, 115

histogram, 52, 54Holta, model, 282, 301homoscedantyczno�, 235

Iiloczyn zdarze�, 74interfejs graficzny, 11

Jjednostki statystyczne, 51

KKalkulator prawdopodobie�stwa, 82, 86, 89klucz sortowania, 25kod braku danych, 24kolumna

zaznaczanie, 18zmiana szeroko�ci, 18

komórkiformatowanie, 20, 21kopiowanie zawarto�ci, 20przenoszenie zawarto�ci, 19wype�nianie seri� danych, 23, 24zaznaczanie, 18

kontrast, 186korelacja, 217

badanie, 219cz�stkowa, 230semicz�stkowa, 230

korelogram, 326kurtoza, 59kwantyl, 78

rzdu p, 78kwartyl, 78

dolny, 58górny, 58pierwszy, 58trzeci, 58

Llogit, 271, 272

Mmatematyczne formu�y, tworzenie, 24mediana, 58, 78metoda

�redniej ruchomej, 284wska�ników, 312

miaryasymetrii, 58, 59koncentracji, 58, 59po�o�enia, 57, 58rozproszenia, 58

moc testu, 117mocne prawo wielkich liczb, 78moda, 58model

addytywny, 284ARIMA, 326, 327Holta, 282, 301multiplikatywny, 284trendu liniowego, 308Wintersa, 282

multiplikatywny, model, 284

Nniecentralno�, 176

Oobserwacja statystyczna, 51obserwacje odstaj�ce, 80odchylenie wiartkowe, 58odchylenie standardowe, 58okno

ANOVA, 165, 168, 178, 197edytora wykresu, 34Inne testy istotno�ci, 149Kalkulator prawdopodobie�stwa, 82, 84, 86,

90, 91, 151klasycznej dekompozycji sezonowej, 320Kryteria autofiltra, 27podstawowe, 11, 12Przegl�darka funkcji, 29raportu, 30Solver, 296sortowania, 26testu t dla pojedynczej próby, 140tworzenia wykresów, 33tworzenie nowego dokumentu, 15wyboru statystyk nieparametrycznych, 152wyboru statystyk opisowych, 60wyboru testu, 137wyboru typu rozk�adu, 119wykresy sekwencyjne 3W, 41

Skorowidz 343

Ppopulacja generalna, 51porównywanie zaplanowane, 186poziom istotno�ci, 115prawdopodobie�stwo

ca�kowite, 75definicja, 74warunkowe, 75

prawo wielkich liczb Bernoulliego, 75precyzja estymacji przedzia�owej, 104predykatory jako�ciowe, 165prezentowanie danych, 31prognoza dopuszczalna, 283prognoza wygas�a, 282prognozowanie, 281, 282

b�dy, 283metod� �redniej ruchomej, 284, 285model Holta, 282, 301model trendu liniowego, 308model Wintersa, 282wyg�adzanie wyk�adnicze, 295, 301

próba, 51liczebno�, 51losowa, 51losowa prosta, 75reprezentatywna, 51

próbka, 51przedzia�y ufno�ci, 104, 105

dla odchylenia standardowego, 110dla warto�ci oczekiwanej, 105

Przegl�darka funkcji, 28, 29przestrze� zdarze� elementarnych, 73przypadki

dodawanie, 18, 19formatowanie nazw, 21, 23selekcja, 24

punktyekstremalne, 62odstaj�ce, 62, 125

Rraport, 30

tworzenie, 30zapisywanie, 30

regresja, 217cz�stkowe wspó�czynniki, 229hiperboliczna, 259krokowa, 244, 245liniowa, 217, 221logarytmiczna, 251, 252logistyczna, 271nieliniowa, 250wielokrotna, 229

wieloraka, 229, 231, 238wyk�adnicza, 257

regu�a trzech sigm, 80reszty, 218

analiza, 237warunki, 218

rozk�adasymetryczny, 59bimodalny, 52chi-kwadrat, 82, 93dwumianowy, 78, 83empiryczny, 52F Fishera, 82jednomodalny, 52normalny, 79, 85opisowe charakterystyki, 57Poissona, 79siod�owy, 52sumy zmiennych losowych, 97symetryczny, 59�redniej z próby, 96t-Studenta, 81, 89zmiennej losowej, 75

rozstp, 58kwartylowy, 58

ró�nica zdarze�, 74

Ssferyczno�, 198skoroszyty, 14s�abe prawo wielkich liczb, 78standardowy rozk�ad normalny, 79, 85standaryzacja zmiennej, 39, 79Statistica, 7, 9statystyka matematyczna, 73statystyka opisowa, 51, 52, 57, 59, 73STR, format, 30suma zdarze�, 73symetria po��czona, 198szereg czasowy, 281, 282szereg rozdzielczy, 52

dla cechy ci�g�ej, 55dla cechy dyskretnej, 52

��rednie, porównywanie, 165, 177

Ttabele

kontyngencji, 213liczno�ci, 52wielodzielcze, 213

344 Statystyka z programem Statistica

tekst, formatowanie, 21testy istotno�ci, 115testy statystyczne, 115

�2, 118, 120Browna-Forsythe'a, 130, 169C Cochrana-Coxa, 132Duncana, 177, 178Dunnetta, 180F, 126, 127, 128jednorodno�ci wariancji, 126kolejno�ci par Wilcoxona, 157Ko�mogorowa-Smirnowa, 118, 119, 120, 122,

123, 151Kruskala-Wallisa, 195Levene'a, 128, 129, 169Lillieforsa, 119, 122Mauchleya, 198McNemary, 209, 210, 211Newmana i Keulsa, 177, 178nieparametryczne, 115, 117, 118, 151, 156niezale�no�ci �2, 213NIR, 178normalno�ci rozk�adu, 120parametryczne, 115, 117Q Cochrana, 211, 212, 213Scheffégo, 177schemat weryfikacji, 116test mediany, 195test znaków, 156t-Studenta, 118, 131, 132, 137Tukeya, 177U Manna-Whitneya, 132, 151, 152W Shapiro-Wilka, 119, 122Walda-Wolfowitza, 132, 151, 154zasady, 116

Wwariancja, 58warto�

modalna, 58oczekiwana, 77�rednia, 58

widok klasyczny, 11, 12wielokrotne porównywania, 177wiersz, zaznaczanie, 18Wintersa, model, 282wnioskowanie statystyczne, 103wspó�czynnik

determinacji, 218Fi, 215kontyngencji C-Pearsona, 215korelacji liniowej, 217sko�no�ci, 59

ufno�ci, 104V Craméra, 215zmienno�ci, 58

wst��ka, 11, 12wyg�adzanie wyk�adnicze, 295, 301wykresy, 31

3W sekwencyjne, 39, 40, 41interakcji, 172liniowe, 38, 45, 46normalno�ci, 125obracanie, 41obrazkowe, 42, 43, 47powierzchniowe, 47, 48, 49, 50ramka-w�sy, 60, 61, 62rozrzutu, 31, 32skategoryzowane, 66s�upkowe wielokrotne, 39s�upkowe/kolumnowe, 35, 37, 40Twarze Chernoffa, 42, 43, 44, 47warstwicowe, 47, 48, 49zmiana ustawie�, 34

wyniki oblicze�, zarz�dzanie, 29, 30wyra�enia matematyczne, tworzenie, 24wzory matematyczne, 28

Zzakresy, zaznaczanie, 20zbiorowo�, 51zdarzenia elementarne, 73zdarzenia niemo�liwe, 73zdarzenia niezale�ne, 75zdarzenia pewne, 73zdarzenia przeciwne, 73zdarzenia sprzyjaj�ce, 74zdarzenie losowe, 73zmienna losowa, 75

badanie normalno�ci rozk�adu, 118ci�g�a, 75rozk�ad, 75skokowa (dyskretna), 75

zmienne, 51dodawanie, 18, 19formatowanie nazw, 23grupuj�ce, 165niezale�ne, analiza, 64specyfikacja, 16specyfikacja za pomoc� wyra�e�

matematycznych, 25standaryzacja, 39, 79zale�ne, 165, 243

http://program-partnerski.helion.pl