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Capítulo 3Flexão
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Flexão provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de compressão do outro lado.
3.1 – Revisão
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3.2 – A fórmula da flexão
O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro.
I
My
σ = tensão normal no membroM = momento internoI = momento de inérciay = distância perpendicular do eixo neutro
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Quando desenvolvemos a fórmula da flexão, impusemos a condição de que aárea da seção transversal fosse simétrica em torno de um eixo perpendicularao eixo neutro e também que o momento interno resultante M agisse aolongo do eixo neutro.
Agora veremos como fica a fórmula da
flexão para uma viga com momento
interno resultante que aja em
qualquer direção.
3.3 – Flexão Reta ou Normal
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3.4 – Flexão Oblíqua
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Podemos expressar a tensão normal resultante em qualquer ponto na seção transversal, em termos gerais, como:
y
y
z
z
I
zM
I
yM
σ = tensão normal no ponto
y, z = coordenadas do ponto medidas em relação a x, y, z
My, Mz = componentes do momento interno resultante direcionados ao
longo dos eixos y e z
Iy, Iz = momentos principais de inércia calculados em torno dos eixos
y e z
Momento aplicado arbitrariamente
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O ângulo α do eixo neutro pode ser determinado aplicando σ = 0. Temos:
IMPORTANTE: utilizar um sistema x, y e z orientado
pela regra da mão direita.
Ângulo 𝜭 – sentido do +z para +y até encontrar o M
Ângulo α – sentido do +z para +y até encontrar LN
ou seja horário positivo, anti-horário negativo.
Orientação do eixo neutro
yz
z y
M zM y0
I I
yz
z y
M zM y
I I
y z
z y
M I zy
M I
z
y
y Msen I
z Mcos I
z
y
y tg I
z I
z
y
Itg tg
I
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Exemplo 1 -
A seção transversal retangular mostrada na figura abaixo está sujeita a um momento fletor M=12kNm. Determine a tensão normal desenvolvida em cada canto da seção.
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Vemos que os eixos y e z representam os eixos principais de inércia, uma vez que são os eixos de simetria para a seção transversal. O momento decomposto em suas componentes y e z, onde:
Os momentos de inércia em torno dos eixos y e z são:
4(12 ) 9,60
5
3(12 ) 7,20
5
y
z
M kNm kNm
M kNm kNm
3 3 4
3 3 4
10,2 0,4 1,067 10
12
10,4 0,2 0,267 10
12
z
y
I m
I m
yz
z y
M zM y
I I
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Tensão de flexão:
33
3 4 3 4
9,60 10 0,17,2 10 0,2
1,067 10 0,267 10
2,25 MPa
yz
z y
B
B
M zM y
I I
Nm mNm m
m m
33
3 4 3 4
9,60 10 0,17,2 10 0,2
1,067 10 0,267 10
4,95 MPa
C
C
Nm mNm m
m m
33
3 4 3 4
9,60 10 0,17,2 10 ( 0,2)
1,067 10 0,267 10
2,25 MPa
D
D
Nm mNm m
m m
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33
3 4 3 4
9,60 10 0,17,2 10 ( 0,2)
1,067 10 0,267 10
4,95 MPa
E
E
Nm mNm m
m m
2,25 4,95
(0,2 )
0,45 2,25 4,95
0,0625
MPa MPa
z m z
z z
z m
Orientação do eixo neutro: alocalização do z do eixo neutro NApode ser determinada por cálculoproporcional. Ao longo da borda BC,exige-se:
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3 4
3 4
tg tg
1,067 10tg tg(-53,1°)
0,267 10
79,4
306,9
z
y
I
I
m
m
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Exemplo 2 -
Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15 kNm. Determine a tensão normal máxima na viga.
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Ambas as componentes do momento são positivas. Temos
kNm 50,730sen15
kNm 99,1230cos15
z
y
M
M
Para propriedades da seção, temos
m 0890,02,003,004,01,0
2,003,0115,004,01,005,0
A
Azz
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Pelo teorema dos eixos paralelos, , os principais momentos da inércia são:
4623
23
4633
m 1092,13089,0115,003,02,003,02,012
1
05,0089,004,01,01,004,012
1
m 1053,202,003,012
104,01,0
12
1
y
z
I
I
2AdII
A maior tensão de tração ocorre em B e a maior tensão de compressão ocorreem C.
3 3
6 6
7,5 10 0,1 12,99 10 0,041
20,53 10 13,92 10
74,8 MPa
yz
z y
B
B
M zM y
I I
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6,68
60tg1092,13
1053,20tg
6
6
6 6
7,5 0,02 12,99 0,089 90,3 MPa
20,53 10 13,92 10C C
tg -300
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1)O momento fletor é aplicado à viga com a seção transversal indicada nafigura. Determine o valor das tensões normais de flexão nos pontos A, B eD. Respostas:
Exercício de fixação
100,1 , 24,93 e 100,1A B DMPa MPa MPa
yz
z y
M zM y
I I
![Page 18: wp.ufpel.edu.br£o... · 2016. 10. 31. · Title: Slide 1 Author: Pinguim Created Date: 10/30/2016 10:30:43 PM](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060805/608a8a6937a26b014a471b56/html5/thumbnails/18.jpg)
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3.5 – Cargas combinadas-Flexão + carga axial
Uma viga de madeira servindo de suporte a um tablado, em uma estrutura sobre um rio. A viga sofre flexão normal ou reta. Se essa estrutura suporta o empuxo lateral do terreno, sofre compressão.
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Exemplo de flexão oblíqua composta: mesa de quatro pés.
Analisando um dos pés, vemos que chegam duas traves (vigas) e são pregadas. Cada trave transporta ao pé da mesa um momento fletor. A soma dos dois momentos gera um momento fletor oblíquo.
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Uma força de 15.000 N é aplicada à borda do elemento. Despreze o peso do elemento e determine o estado de tensão nos pontos B e C.
Exemplo 3-
15000 50 750000zM
Para equilíbrio na seção, é preciso haver uma força axial de 15000N agindo no centroide e um momento fletor de 750.000 N∙mm em torno do eixo z. My
é nulo.
C
B
y
z
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3
3
15.000 750.00050
1100 4040 100
12
3,75 MPa 11,25 MPa= -15MPa
15.000 750.000( 50 )
1100 4040 100
12
3,75 MPa+11,25 MPa= 7,5MPa
C
C
B
B
N Nmmmm
mm mmmm mm
N Nmmmm
mm mmmm mm
Para equilíbrio na seção, é preciso haver uma força axial de 15000N agindo no centroide e um momento fletor de 750.000 N∙mm em torno do eixo z. My
é nulo.
yzx
z y
MMPy z
A I I
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Elementos de material em B e C estão submetidos as tensões normais:
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O bloco retangular de peso desprezível está sujeito a uma força vertical de 40 kN aplicada em seu canto. Determine a distribuição da tensão normal que age sobre uma seção que passa por ABCD.
Exemplo 4-
40 0,2 8
40 0,4 16
z y
y z
M Pe kN m kNm
M Pe kN m kNm
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Para a distribuição uniforme da tensão normal temos
3 3
40 8 160,2 0,4
0,8 0,4 0,8 0,4 0,4 0,8
12 12
125 kPa+375kPa+375kPa=625kPa
125 kPa-375kPa+375kPa=-125kPa
125 kPa-375kPa-375kPa=-875kPa
125 kPa+375kPa-375k
yzx
z y
A
A
B
C
D
MMPy z
A I I
kN kNm kNmm m
m m m m m m
Pa=-125kPa
0,2 z= 0,4
0,2 z= 0,4
0,2 z=+0,4
0,2 z=+0,4
A y m m
B y m m
C y m m
D y m m
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2) O bloco está sujeito às duas cargas mostradas abaixo. Calcule astensões normais que agem na seção transversal no corte a-a nos pontos Ae B. Respostas:
Exercício de fixação
25 75A Bpsi e psi
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Exercício de fixação - extraUma edificação é composta por três pavimentos, cada um formado por
uma laje de concreto de 4x6m, com 15cm de espessura, suportanto umacarga uniformemente distribuída de 1,5kN/m2. Cada laje está apoiada emvigas de contorno com seção de 12x28cm, as quais se apoiam em quatropilares de 20x30cm nas extreminades da edificação. Calcule as máximastensões normais no pilar.
γ=25kN/m3
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Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadasvigas compostas.
A fórmula da flexão foi desenvolvida para vigas de material homogêneo.Entretanto vamos modificar a seção transversal da viga em uma seçãofeita de um único material e utilizar a fórmula.
3.6- Vigas Compostas
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Se um momento for aplicado a essa viga, então, como ocorre a um materialhomogêneo, a área total da seção transversal permanecerá plana após aflexão, e por consequência, as deformações normais variarão linearmentede zero no eixo neutro a máxima no material mais afastado desse eixo.
O método consiste em transformar a viga em outra feita de um ÚNICOmaterial.
Método da seção transformada
1
2
E
E
![Page 31: wp.ufpel.edu.br£o... · 2016. 10. 31. · Title: Slide 1 Author: Pinguim Created Date: 10/30/2016 10:30:43 PM](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060805/608a8a6937a26b014a471b56/html5/thumbnails/31.jpg)
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A altura da viga deve permanecer a mesma para preservar a distribuiçãode deformações.
1
2
En
E
1 + rígido 2 – rígido - Regra: numerador o material que será substituído!
O fator de transformação é uma razão entre os módulos dos diferentesmateriais que compõem a viga.
2
1
'E
nE
![Page 32: wp.ufpel.edu.br£o... · 2016. 10. 31. · Title: Slide 1 Author: Pinguim Created Date: 10/30/2016 10:30:43 PM](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060805/608a8a6937a26b014a471b56/html5/thumbnails/32.jpg)
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Uma vez determinada a tensão da seção transformada, ela deve sermultiplicada pelo fator de transformação para obter a tensão na vigaverdadeira.
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Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de açolocalizada em sua parte inferior. Ela tem a área de seção transversal mostradana figura abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 2 kNm, determinea tensão normal nos pontos B e C. Considere Emad = 12 GPa e Eaço = 200 GPa.
Exemplo 5 -
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Transformaremos a seção em outra feita inteiramente de aço, substituindo a madeira.
aço mad 0,06 150 9 mmb nb mm
A localização do centroide (eixo neutro) é
m 03638,015,0009,015,002,0
15,0009,0095,0150,002,001,0
A
Ayy
A seção transformada é mostrada na figura ao lado.
mad
aço
120,06
200
En
E
![Page 35: wp.ufpel.edu.br£o... · 2016. 10. 31. · Title: Slide 1 Author: Pinguim Created Date: 10/30/2016 10:30:43 PM](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060805/608a8a6937a26b014a471b56/html5/thumbnails/35.jpg)
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Portanto, o momento de inércia em torno do eixo neutro é
3 2
3 2
6 4
10,15 0,02 0,15 0,02 0,03638 0,01
12
1 0,009 0,15 0,009 0,15 0,095 0,03638
12
9,358 10 m
LNI
Aplicando a fórmula da flexão, a tensão normal em B’ e C é
' 6
6
2 0,17 0,0363828,6 MPa
9,358 10
2 0,036387,78 MPa
9,358 10
B
C C
My
I
A tensão normal na madeira em B é . ' 0,06 28,56 1,71 MPaB B Bn
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3) Uma barra constituída de aço e latão tem seção indicada abaixo.Determinar a máxima tensão no aço e no latão quando a barra fica sujeitaà flexão pura com o momento M=2kNm. Respostas em módulo:
Exercício de fixação
200 , 100aço latE GPa E GPa
aço máx500MPa
lat máx250MPa
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4) A fim de reforçar a viga de aço, colocou-se entre seus flanges umatábua de carvalho como mostra a figura abaixo. Se a tensão normaladmissível do aço é e da madeira , qualmomento fletor máximo que a viga pode suportar, com e sem o reforço?Omomento de inércia da viga de aço é , e sua área da seçãotransversal é .
Respostas: sem reforço M=116kip.in
com reforço M=172kip.in
Exercício de fixação
24adm açoksi 3adm mad
ksi
3 329 10 , 1,6 10aço madE ksi E ksi
420,3zI in28,79A in
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5) Duas barras de latão são unidas firmemente a duas barras de alumínio,formando a seção composta mostrada. Usando os dados abaixo, determinar omaior momento fletor permissível, quando a viga é encurvada em torno de umeixo horizontal.
Respostas: M=3,08kNm
Exercício de fixação
160adm latMPa 100adm alum
MPa
70alumE GPa
105latE GPa
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Vigas de concreto armado
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A viga de concreto armado tem a área de seção transversal como mostra a figura abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 60 kN∙m, determine a tensão normal em cada uma das hastes de reforço de aço e a tensão normal máxima no concreto. Considere Eaço = 200 GPa e Econc = 25 GPa.
Exemplo 6 -
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A área total de aço é
22
aço mm 9825,122 A
Exige-se que o centroide se encontre no eixo neutro.
2
3
3
aço mm 856.79821025
10200' nAA
2
0
'300 ' 7.856 400 ' 0
2
' 52,37 ' 20.949,33 0 ' 120,9 mm
' 173,3mm
yA
hh h
h h h
h
3
aço
3conc
200 10En 8
E 25 10
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O momento de inércia da seção transformada, calculado em torno do eixo neutro, é
3 22
z
6 4z
300 120,9 120,9I 300 120,9 7.856 400 120,9
12 2
I 788,67 10 mm
Aplicando a fórmula da flexão à seção transformada, a tensão normal máxima no concreto é
6
conc 6 4máx
conc máx
60 10 120,9
788,67 10
9,20 MPa
z
z
Nmm mmM y
I mm
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aço conc
aço
' 8 21,23
169,84 MPa
n
A tensão normal em cada uma das duas hastes é, portanto,
6
conc 6 4
60 10 400 120,9' 21,23 MPa
788,67 10
Nmm mm
mm
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6) Uma laje de concreto tem barras de aço de 16mm de diâmetro a cada150mm, colocadas a 20mm acima da face inferior da laje. Os módulos deelasticidade são 21GPa para o concreto e de 210GPa para o aço. Sabendo-se que um momento fletor de 4kNm está aplicado à cada 30cm de largurada laje, determinar: (a) a máxima tensão no concreto; (b) a tensão no aço.
Respostas:
Exercício de fixação
conc máx( ) 7,7a MPa
aço( ) 114,8b MPa
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7) A viga de concreto armado está reforçada por duas barras de aço. Se oesforço de tração admissível para o aço for e o esforçode compressão admissível para o concreto , qual momentomáximo M poderá ser aplicado à seção? Supor que o concreto não suportaesforço de tração.
Resposta: M=1168,8kip.in
Exercício de fixação
40adm açoksi
3adm concksi
3 329 10 , 3,8 10aço concE ksi E ksi