wprowadzenie do scilaba - protasowicki.pl · comp.sys.math.scilab wszystkie zamieszczone tam...
TRANSCRIPT
Wprowadzenie do Scilaba
Bruno Pinçon
Institut Elie Cartan NancyE.S.I.A.L.
Université Henri PoincaréEmail : [email protected]
Przekªad z j¦zyka francuskiego
Piotr Fulma« ski
Wydziaª MatematykiUniversytetu �ódzkiego
Email : [email protected]
Katarzyna Szulc
Institut Elie Cartan NancyUniversité Henri Poincaré
Email : [email protected]
Skrypt ten byª pocz¡ tkowo opracowany przez studentó w E.S.I.A.L. (École Supérieure d'Informatiqueet Application de Lorraine). Opisuje on niewielk¡ cze±¢ mo» liwo± ci Scilaba, w szczgó lno± ci te, któ repozwalaj¡ zastosowa¢ notacje analizy numerycznej i maª ych symulacji stochastycznych takich jak:
� operacje na macierzach i wektorach o wspóª rz¦ dnych rzeczywistych;
� programowanie w Scilabie;
� prosta gra�ka;
� niektó re funkcje dla dwó ch wymienionych powy» ej (generowanie liczb losowych, rozwiazywnieró wna« , ...). ¦nditemize Scilab umo» liwia wykonanie wielu innych operacji, w szczgó lno± ciw dziedzinie automatyki, obró bki sygnaªó w dzwiekowych, symulacji systemó w dynamicznych(za pomoc¡ scicos)... Jako » e zamierzam systematycznie uzupelnia¢ ten dokument, jestem w peªni otwarty na wszelkie uwagi, sugestie i krytyk¦ pozwalaj¡ ce mi na jego ulepszenie (ró wnie» wprzypadku bª¦ dó w ortogra�cznych), piszcie do mnie.
Maª a historia tego dokumentu:
� wersja 0.999 : mody�kacje rozdziaª u o gra�ce oraz uzupeª nienie tre± ci rozdziaª u o pro-gramowaniu; wersja relatywna do Scilab-2.7;
� wersja 0.9999 (ten dokument) : dostosowanie rozdziaª u o gra�ce do �nowej gra�ki obiektowej�Scilaba; wersja relatywna do Scilab-4.0. ¦nditemize
W wyniku dopisania kilku paragrafó w, dokument straciª na spó jno± ci. Istnieje jednakobecnie inny podr¦ cznik, któ ry jest dost¦ pny na stronie internetowej Scilaba (czytaj dalej).
¦m Podzi¦ kowania ¦ndcenter
� dla Doc Scilab, któ ry cz¦ sto pomagaª mi na forum u» ytkownikó w;
� dla Bertranda Guiheneufa, któ ry dostarczyª mi magiczn¡ �scierzk¦ � do skompilowaniaScilaba 2.3.1 pod linuxem (kompilacja pod linuxem nowszych wersji nie powoduje prob-lemó w);
� dla moich kolegó w i przyjacióª Stéphane Mottelet1, Antoine Grall, Christine Bernier-Katzentsev i Didier Schmitt;
� dla Helmuta Jarauscha, któ ry przetª umaczyª ten dokument na j¦ zyk niemiecki, i któ ryzwró ciª moj¡ uwag¦ na kilka bª edó w;
� i dla wszystkich czytelnikó w za ich wsparcie, uwagi i korekty. ¦nditemize ¦ndtitlepage
1dziekuje za ten pdf Stéphane !
2
Spis tre±ci
1 Wiadomo±ci wst¦pne 41.1 Co to jest Scilab? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Jak korzystac z tego dokumentu? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Podstawy pracy w Scilabie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Gdzie znale¹¢ informacje na temat Scilaba? . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Jaki jest statut programu Scilab? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Operacje na macierzach i wektorach 72.1 Wprowadzanie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Typowe wektory i macierze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Wyra»enia w Scilabie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Kilka podstawowych przykªadów wyra»e« macierzowych . . . . . . 112.3.2 Dziaªania na elementach macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.3 Rozwi¡zywanie ukªadów równa« liniowych . . . . . . . . . . . . . . 152.3.4 Indeksowanie, wydobywanie podmacierzy, konkatenacj macierzy i
wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Informacje na temat ±rodowiska pracy(*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Wywoªanie pomocy z linii polece« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6 Generator prostych wykresów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 Pisanie i wykonywanie skryptów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.8 Dodatkowe informacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.8.1 Skracanie instrukcji przy zapisie macierzowym . . . . . . . . . . . . 212.8.2 Pozostaªe uwagi dotycz¡ce rozwi¡zywania ukªadów równa« liniowych
(*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.8.3 Kilka prostych macierzy (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.8.4 Funkcje size i length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.9 �wiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Programowanie w Scilabie 313.1 P¦tle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 P¦tla for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.2 P¦tla while . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Instrukcja warunkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.1 Instrukcja if-then-else . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.2 Instrukcja select-case (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Inne rodzaje zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.1 �a«cuchy znaków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.2 Listy (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.3 Niektóre wyra»enia z wektorami i macierzami typu logiczego (boolen) 40
3.4 Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.1 Przekazywanie parametrów (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4.2 Wy±wietlanie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3
3.4.3 Instrukcja break . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4.4 Kilka przydatnych dla funkcji prymitywów . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Ró»ne ró»no±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5.1 Dªugo±¢ identy�katorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5.2 Priorytety operatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5.3 Rekursja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5.4 Funkcja jest te» zmienn¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5.5 Okna dialogowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5.6 Konwersja ªa«cucha znakowego do wyra»enia . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Czytanie i pisanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.6.1 Wejscie i wyj±cie w stylu Fortranu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.7 Wej±cie i wyj±cie w stylu C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.8 Uwagi zwi¡zane z szybko±ci¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.9 ¢wiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 Gra�ka 644.1 Okna gra�czne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2 Wprowadzenie do plot2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3 plot2d z argumentami opcjonalnymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4 Inne wersje plot2d: plot2d2, plot2d3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.5 Rysowanie wi¦kszej ilo±ci krzywych zªo»onych z ró»nej ilo±ci punktów . . . 724.6 Zabawa z kontekstem gra�cznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.7 Tworzenie histogramów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.8 Zapisywanie gra�ki w ró»nych formatach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.9 Prosta animacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.10 Powierzchnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.10.1 Wprowadzenie do plot3d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.10.2 Kolory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.10.3 plot3d z des facettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.10.4 Rysowanie powierzchni opisanej przy pomocy x = x(u; v), y =
y(u; v), z = z(u; v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.10.5 plot3d z interpolacj¡ kolorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.11 Krzywe w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.12 Ró»no±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5 Zastosowania i uzupeªnienia 895.1 Równania ró»niczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.1 Podstawowe u»ycie ode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.1.2 Van der Pol jeszcze raz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.1.3 Troche wi¦cej o ode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2 Generowniw liczb losowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.2.1 Funkcja rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.2.2 Funkcja grand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3 Dystrubuanty i ich odwrotno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.4 Proste symulacje stochastyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4.1 Wprowadzenie i notacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.4.2 Przedziaªy ufno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.4.3 Wykres dystrubuanty empirycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.4.4 Test �2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.4.5 Test Koªmogorowa-Smirnova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.4.6 ¢wiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6 Ciekawostki 107
4
6.1 De�niowanie wektora i macierzy �wspóªczynnik po wspóªczynniku � . . . . 1076.2 Na temat warto±ci zwracanych przez funkcj¦ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.3 Funkcja zostaªa zmidy�kowana ale... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.4 Problem z rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.5 Wektory wierszowe, wektory kolumnowe... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.6 Operator porównania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.7 Liczby zespolone a liczby rzeczywiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.8 Proste instrukcje a funkcje Scilaba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.9 Obliczanie wyra»e« logicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A Odpowiedzi do ¢wicze« z rozdziaªu 2 112
B Rozwi¡zania ¢wicze« z rozdziaªu 3 114
C Rozwi¡zania ¢wicze« z rozdziaªu 4 118
5
Rozdziaª 1
Wiadomo±ci wst¦pne
1.1 Co to jest Scilab?
Dla osób znaj¡cych juz MATLAB-a odpowied¹ jest prosta � Scilab jest jego darmowymodpowiednikiem (wi¦cej szczeguªów zwi¡zanych z tym tematem w dalszej cz¦±ci), pow-staªym1 w I.N.R.I.A. (Institut National de Recherche en Informatique et Automatique).Skªadnia, z wyj¡tkiem nielicznych polece«, jest taka sama (istotne ró»nice wyst¦puj¡w przypadku gra�ki). Osobom nie znajacym MATLABA powiem tylko, ze Scilab jestprzyst¦pnym ±rodowiskiem do wykonywania oblicze« numerycznych gdy» dysponuje onodpowiednimi metodami w tym zakresie:
� rozwiazywanie ukladów liniowych,
� wyznaczanie warto±ci wªasnych, wektoró w wªasnych,
� dekompozycja dla warto±ci osobliwych i pseldo-osobliwych,
� szybka transformacja Fouriera,
� rozwiazywanie równa« ró»niczkowych,
� algorytmy optymalizacji,
� rozwiazywanie równa« nieliniowych,
� generowanie liczb losowych,
� dla wielu niezaawansowanych zastosowa« algebry liniowej w automatyce.
Ponadto Scilab wyposa»ony jest w funkcje slu»¡ce do tworzenia gra�ki, zarówno niskopoziomowej(wielok¡ty, odczytywanie wspóªrz¦dnych poªo»enia kursora, itp.) jak i wysokopoziomowej(krzywe, powierzchnie itp.). Wprowadzony j¦zyk programowania, dzi¦ki operowaniu no-tacj¡ macierzow¡, jest prostym, ale pot¦»nym i efektywnym narz¦dziem. Wyszukiwaniebª¦dów w programach jest szybkie dzi¦ki ªatwemu operowaniu zmiennymi. W przypadku,gdy obliczenia b¦d¡ zbyt czasochªonne (j¦zyk jest interpretowany. . . ) mo»liwe jest ªatwepoª¡czenie programu Scilaba z podprogramami napisanymi w C czy FORTRAN-ie.
1.2 Jak korzystac z tego dokumentu?
W rozdziale drugim wyja±nione zostaªy podstawy pracy z Scilabem jako narzedziem doobliczen macierzowych. Wystarczy przesledzic proponowane przyklady. Sekcje oznaczonegwiazdk¡ podczas pierwszego czytania mo»na pomin¡¢. Osoby zainteresowane zagadnieni-ami dotycz¡cymi gra�ki, mog¡ przeanalizowa¢ pierwsze przykªady z rozdziaªu czwartego.Rozdziaª trzeci wyja±nia podstawy programowania w Scilabie. Zacz¡ªem pisa¢ rozdziaªpi¡ty, który przedstawia niektóre zastosowania podobnie jak rozdziaª �Ciekawostki�, któryprzedstawia najcz¦±ciej popeªniane bª¦dy przez u»ytkowników Scilaba (prze±lij mi równie»Twoje!). Ostatnim aspektem jest ±rodowisko gra�czne. Istniej¡ nieznaczne ró»nice pomi¦dzy
1Scilab wyko»ystuje du»¡ ilo±¢ funkcji pochodz¡cych z ró»nych miejsc, dostepnych czesto przez Netlib
6
±rodowiskami gra�cznymi przeznaczonymi dla Unix i Windows, polegaj¡ce na odmennymsposobie rozmieszczenia przycisków i menu. W tym dokumencie opieram si¦ na wersji Unixaczkolwiek u»ytkownicy wersji przeznaczonej dla systemu Windows nie powinni natra�¢na problemy ze znalezieniem odpowiednich opcji / przyciskow.
1.3 Podstawy pracy w Scilabie
W najprostszym przypadku, Scilab mo»e byc wykorzystywany jako �kalkulator� zdolnywykonywa¢ obliczenia na wektorach i macierzach liczb rzeczywistych i/lub zespolonych(ale tak»e na zwykªych skalarach) oraz do wizualizacji krzywych i powierzchni. W na-jprostrzych zadaniech raczej nie ma potrzeby pisania programow. Dosy¢ szybko zaczniemyjednak korzysta¢ ze skryptów (zbiorów instrukcji, polece« Scilaba) a nastepnie funkcji.Oczywi±cie niezb¦dne w takich sytuacjach staje si¦ u»ycie edytora tekstu, na przykªademacs (Unix, Windows), wordpad (Windows), vi lub vim (Unix)... Scilab posiada ak-tualnie wªasny, zintegrowany edytor (scipad), który mo»e równie» sªó»y¢ jakodebuger dla funkcji.
1.4 Gdzie znale¹¢ informacje na temat Scilaba?
W dalszej cz¦±ci dokumentu zakªada si¦, i» czytelnik dysponuje wersj¡ 4.0programu. W celu uzyskania dodatkowych informacji odsyªam do �Scilab homepage�:
http://scilabsoft.inria.fr
na której znale¹¢ mo»na ró»norodn¡ dokumentacj¦ oraz efekty pracy innychu»ytkowników.�Scilab group� wydaªa (w latach 1999 � 2001) okoªo dwudziestu artykuªów wczasopi±mie �Linux magazie�. S¡ one szczególnie polecane przez autora, gdy»poruszaj¡ wi¦kszo±¢ zagadnie« zwi¡zanych z Scilabem (wiekszo±ci z nich wtym opracowaniu nawet si¦ nie porusza). Uzyska¢ je mo»na pod adresem
http://www.saphir-control.fr/articles/
Na temat Scilaba prowadzone jest równie» forum dyskusyjne, w ramach któregoistnieje mo»liwo±¢ zadawania pyta«, dokonywania uwag, udzielania odpowiedzina wcze±niej postawione pytania, itd:
comp.sys.math.scilab
Wszystkie zamieszczone tam wiadomo±ci s¡ archiwizowane i dostepne ze stronydomowej Scilaba po wybraniu Scilab newsgroup archive.Wybieraj¡c jeden z dwóch odsyªaczy Books and Articles on Scilab lub Scilab Related
Links umieszczonych na stronie gªównej uzyskujemy dost¦p do wielu ró»nychdokumentów. W szczególnosci:
� wprowadzenie B. Ycart (Démarrer en Scilab et statistiques en Scilab);
� �Scilab Bag Of Tricks� autorstwa Lydia E. van Dijk i Christoph L. Spiel,który jest raczej przeznaczony dla osób dobrze znajacych ju» Scilaba (rozwójtej ksi¡»ki zostaª niestety brutalnie przerwany kilka lat temu);
� Travaux Pratiques sur Scilab classes par themes umo»liwia dost¦p do projektówrealizowanych przez studentøw ENPC;
� wprowadzenie do informatyki z u»yciem Scilab-a (verb+http://kiwi.emse.fr/SCILAB/+).
Oczywi±cie w zale»no±ci od potrzeb znale¹¢ mo»na wiele innych opracowa«traktuj¡cych problem w nieco odmienny ni» zamieszczony tutaj sposób.
7
1.5 Jaki jest statut programu Scilab?
Osoby dobrze znaj¡ce oprogramowanie na licencji GPL z pewno±ci¡ interesujestatut Scilaba jako programu darmowego. Oto jak na ten temat wypowiadasi¦ Doc na forum:
Scilab: is it really free?
Yes it is. Scilab is not distributed under GPL or other standard free soft-ware copyrights (because of historical reasons), but Scilab is an Open SourceSoftware and is free for academic and industrial use, without any restrictions.There are of course the usual restrictions concerning its redistribution; theonly speci�c requirement is that we ask Scilab users to send us a notice (emailis enough). For more details see Notice.ps or Notice.tex in the Scilab package.Answers to two frequently asked questions: Yes, Scilab can be included a com-mercial package (provided proper copyright notice is included). Yes, Scilab canbe placed on commercial CD's (such as various Linux distributions). Nie mniejjednak Scilab obecnie nie odpowiada kryteriom FSF czy OSI aby móc by¢ trak-towany jako �program darmowy� ze wzgl¦du na to, »e nie mo»na rozprowadz¢wersji zmody�kowanych (bez autoryzacji ze strony INRIA). Mimo to, dzi¦kiswojemu statutowi, Scilab pozostanie w przyszªo±ci programem darmowymwraz ze swoimi plikami ¹ródªowymi. Z drugiej strony zanosi si¦ na to, »e kor-sorcjum Scilab-a otrzyma licencj¦ typu GPL lub LGPL patrz CECILL, i »e ...tutu
8
Rozdziaª 2
Operacje na macierzach i wektorach
Ta cz¦±¢ daje podstawy do poznania zastosowa« Scilaba jako narz¦dzia dooperacji macierzowych.
Aby rozpocz¡¢ prac¦ ze Scilaben wystarczy wpisa¢
scilab
w terminalu1 Je±li wszystko przebiega prawidªowo, na ekranie uka»e si¦ oknoScilaba z gªównym menu zawieraj¡cym w szczególno±ci przyscisk Help, Demosa w oknie wprowadzania polece« uka»e si¦
-------------------------------------------scilab-4.0
Copyright (c) 1989-2006Consortium Scilab (INRIA, ENPC)
-------------------------------------------
Startup execution:loading initial environment
-->
gdzie --> jest znakiem zach¦ty.
2.1 Wprowadzanie macierzy
Podstawowym typem danych w Scilabie jest macierz liczb rzeczywistych lubzespolonych. Najprostszym sposobem de�niowania macierzy (wektora, skalarab¦d¡cych w istocie szczególnymi przypadkami macierzy) w ±rodowisku Scilabjest wprowadzenie z klawiatury listy elementów macierzy, stosuj¡c nast¦puj¡c¡konwencj¦:
� elementy tego samego wiersza oddzielone s¡ spacj¡ lub przecinkiem;
� lista elementów musi by¢ uj¦ta w nawias kwadratowy [];
� ka»dy wiersz, z wyj¡tkiem ostatniego, musi by¢ zako«czony ±rednikiem.
Dla przykªadu komenda:
-->A=[1 1 1;2 4 8;3 9 27]
da na wyj±ciu
1Albo klikn¡c odpowiedni¡ ikon¦.
9
A =! 1. 1. 1. !! 2. 4. 8. !! 3. 9. 27. !
i oczywiscie macierz zostanie zachowana w pami¦ci. W przypadku, gdy in-strukcja zostanie zako«czona ±rednikiem, wynik nie pojawi si¦ na ekranie.Wpiszmy na przykªad
-->b=[2 10 44 190];
aby zobaczy¢ wspóªrz¦dne wprowadzonego wektora, wystarczy napisa¢
-->b
a odpowiedzi¡ b¦dzie
b =! 2. 10. 44. 190. !
Bardzo dªuga instrukcja mo»e by¢ napisana w kilku liniach, przy czym prze-chodz¡c do nast¦pnej linii, lini¦ poprzedni¡ nale»y zako«czy¢ trzema kropkami,jak w poni»szym przykªadzie:
-->T = [ 1 0 0 0 0 0 ;...--> 1 2 0 0 0 0 ;...--> 1 2 3 0 0 0 ;...--> 1 2 3 0 0 0 ;...--> 1 2 3 4 0 0 ;...--> 1 2 3 4 5 0 ;...--> 1 2 3 4 5 6 ]
co daje
T =! 1. 0. 0. 0. 0. 0. !! 1. 2. 0. 0. 0. 0. !! 1. 2. 3. 0. 0. 0. !! 1. 2. 3. 4. 0. 0. !! 1. 2. 3. 4. 5. 0. !! 1. 2. 3. 4. 5. 6. !
W przypadku wprowadzania liczb zespolonych stosuje si¦ nast¦puj¡c¡ skªad-nie:
-->c=1 + 2*%ic =
1. + 2.i
-->Y = [ 1 + %i , -2 + 3*%i ; -1 , %i]Y =! 1. + i - 2. + 3.i !! - 1. i !
2.2 Typowe wektory i macierze
Istniej¡ funkcj¦ do konstrukcji typowych macierzy i wektorów zatem przed-stawiam tu jedn¡ z pierwszych list (jest ich wi¦cej, o których mówimy w dalszejcz¦±ci lub które mo»na znale¹¢ w Pomocy).
Macierz jednostkowa
Aby otrzyma¢ macierz jednostkow¡ o wymiarach 4 na 4 stosujemy instrukcj¦:
10
-->I=eye(4,4)I =! 1. 0. 0. 0. !! 0. 1. 0. 0. !! 0. 0. 1. 0. !! 0. 0. 0. 1. !
Argumentami funkcji eye(n,m) jest liczba wierszy (n) oraz kolumn (m) (Uwaga: je»eli n < m (odpowiednio n > m) wówczas otrzymamy macierz odwzorowa-nia wzajemnie jednoznacznego, surjekcja (odpowiednio injekcja) przestrzenikanonicznej Km na Kn.)
Macierz diagonalna, wyciecie cz¦±ci diagonalnej macierzy
Aby otrzyma¢ macierz diagonaln¡, w której elementy na gªównej przek¡tnejpochodz¡ z wcze±niej zde�niowanego wektora b wpisujemy
-->B=diag(b)B =! 2. 0. 0. 0. !! 0. 10. 0. 0. !! 0. 0. 44. 0. !! 0. 0. 0. 190. !
Uwaga: Pisz¡c b nadal mamy dost¦p do wcze±niej zde�niowanego wektora, copokazuje, »e Scilab rozró»nia wielko±¢ liter.Zastosowanie na macierzy funkcji diag pozwala uzyska¢ gªówn¡ przek¡tn¡macierzy jako wektor kolumnowy
-->b=diag(B)b =! 2. !! 10. !! 44. !! 190. !
(Funkcja ta przyjmuje tak»e drugi, opcjonalny, argument � porównaj ¢wiczenia.)
Macierze zerowa i jedynkowa
Fnkcje zeros i ones pozwalaj¡ odpowiednio stworzy¢ macierze zerowe i macierzeskªadaj¡ce si¦ z jedynkek. Podobnie jak dla funkcji eye ich argumentami s¡liczba wierszy i liczba kolumn.
-->C = ones(3,4)C =! 1. 1. 1. 1. !! 1. 1. 1. 1. !! 1. 1. 1. 1. !
Mo»na tak»e u»y¢ jako argument nazw¦ macierzy ju» zde�niowanej w ±rodowisku.W efekcie otrzymujemy macierz o takich samych wymiarach co macierz b¦d¡caargumentem
-->O = zeros(C)O =! 0. 0. 0. 0. !! 0. 0. 0. 0. !! 0. 0. 0. 0. !
11
Macierz trójk¡tna
Funcje triu i tril pozwalaj¡ otrzyma¢ macierz trójk¡tn¡ górn¡ i doln¡:
-->U = triu(C)U =! 1. 1. 1. 1. !! 0. 1. 1. 1. !! 0. 0. 1. 1. !
Macierze o elementach losowych
Funkcja rand pozwala utworzy¢ macierz o elementach peudolosowych (pochodz¡-cych z przedziaªu [0,1); mo»liwe jest tak»e u»ycie rozkªadu normalnego jak ipodanie zarodka dla generatora liczb pseudolosowych):
-->M = rand(2, 6)M =! 0.2113249 0.0002211 0.6653811 0.8497452 0.8782165 0.5608486 !! 0.7560439 0.3303271 0.6283918 0.6857310 0.0683740 0.6623569 !
n elementowy wektor o staªej ró»nicy mi¦dzy elementami
Aby wprowadzi¢ wektor (wierszowy) x o n wspóªrz¦dnych równomiernie rozmieszc-zonych pomi¦dzy x1 i xn (innymi sªowy tak aby xi+1 � xi =
xn�x1n�1 , n w¦zªów,
zatem n� 1), u»ywamy funkcji linspace.
-->x = linspace(0,1,11)x =! 0. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1. !
Instrukcj¡ analogiczn¡ pozwalaj¡c¡ utworzy¢ wektor o zadanej warto±ci pier-wszej wspóªrz¦dnej, ustalonej ró»nicy pomi¦dzy wspóªrz¦dnymi i ostatniejwspóªrz¦dnej nie wi¦kszej ni» zadana warto±¢ jest
-->y = 0:0.3:1y =! 0. 0.3 0.6 0.9 !
Skªadnia jest nast¦puj¡ca y = wartosc_poczatkowa:przyrost:wartosc_graniczna.Dok¡d pracujemy z liczbami caªkowitymi nie ma problemu z ustaleniem warto±cigranicznej odpowiadaj¡cej ostatniej skªadowej wektora.
-->i = 0:2:12i =! 0. 2. 4. 6. 8. 10. 12. !
Dla liczb rzeczywistych jest to zdecydowanie trudniejsze do okre±lenia:
(i) przyrost mo»e posiad¢ niesko«czone rozwini¦cie w reprezentacji binarnejlub jego sko«czone rozwini¦cie mo»e wybiega¢ poza zakres reprezentacjimaszynowej liczb rzeczywistych powoduj¡c ich zaokr¡glenia;
(ii) bª¦dy zaokr¡gle« numerycznych kumuluj¡ si¦ w miar¦ obliczania kolejnychskªadowych wektora.
-->xx = 0:0.05:0.60ans =! 0. 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 !
Uwaga: w zale»no±ci od komputera na jakim uruchomiony zostanie Scilabpowy»szy przykªad mo»e da¢ ró»nie wyniki, to znaczy 0:6 mo»e pojawi¢ si¦jako ostatnia skªadowa.Cz¦sto przyrost równy jest 1, mo»na go w takiej sytuacj pomin¡¢:
12
-->ind = 1:5ind =! 1. 2. 3. 4. 5. !
Wprzypadku gdy przyrost jest dodatni (ujemny) oraz wartosc_poczatkowa>wartosc_granczna(wartosc_poczatkowa<wartosc_granczna) otrzymujemy wektor bez wspóªrz¦dnych(!) nazywany w Scilabie macierz¡ pust¡ (patrz sekcja niektóre dodatkoweproste macierze):
-->i=3:-1:4i =
[]
-->i=1:0i =
[]
2.3 Wyra»enia w Scilabie
Scilab jest j¦zykiem posiadaj¡cym bardzo prost¡ skªadni¦ (patrz rozdziaª nast¦pny),w której instrukcja przypisania ma posta¢
zmienna = wyrazenie
lub pro±ciej
wyrazenie
gdzie w ostatnim przypadku warto±¢ wyrazenia jest przypisana do domy±lnejzmiennej o nazwie ans. Wyra»enia w Scilabie mog¡ by¢ tak proste (je±li chodzio zapis) jak wyra»enia skalarne w innych j¦zykach programowania, ale mog¡skªada¢ si¦ z macierzy i wektorów co cz¦sto sprawia trudno±¢ pocz¡tkujacymu»ytkownikom tego j¦zyka. Dla wyra»e« �skalarnych� mamy standardowe op-eratory +, -, * , / i ^ i najcz¦±ciej stosowane funkcje przedstawione w tabeli2
2.1.De�niuj¡c zmienn¡ (b¦d¡c¡ skalarem, wektorem, macierz¡) jej warto±¢ (warto±ci)nie musi by¢ wyra»ona przez konkretn¡ liczb¦, ale tak»e przez wyra»eniektórego warto±¢ zostanie jej przypisana.
-->M = [sin(%pi/3) sqrt(2) 5^(3/2) ; exp(-1) cosh(3.7) (1-sqrt(-3))/2]M =! 0.8660254 1.4142136 11.18034 !! 0.3678794 20.236014 0.5 - 0.8660254i !
Uwaga: Powy»szy przykªad ilustruje potencjalne niebezpiecze«stwo podczasobliczania pierwiastka kwadratowego z liczy ujemnej. Scilab rozwa»a czy mado czynienia z liczbami zespolonymi i zwraca jeden z pierwiastów jako rezultat.
2.3.1 Kilka podstawowych przykªadów wyra»e« macierzowych
Dost¦pne s¡ wszystkie proste dziaªania wykonywane na macierzach: sumadwóch macierzy, iloczyn macierzy, iloczyn skalarny i macierzowy itd. Oto kilkaprzykªadów (w których wykorzystujemy wcze±niej zde�niowane macierze). Uwaga:Tekst wyst¦pujacy w danym wierszu po znaku // oznacza dla Scilab-a komen-tarz. Nie jest interpretowany a jedynie dostarcza pewnych uwag i wyja±nie«osobie czytaj¡cej kod.
2Scilab dysponuje innymi funkcjami matematycznymi takimi jak funkcje Legendra, funkcje Bessela, funkcje eliptyczne,itd. . . oraz funkcje odnosz¡ce sie do znanych rozkªadów prawdopodobie«stwa (dystrybuanty i ich odwrotno±ci)
13
abs warto±¢ bezwzgl¦dna, moduªexp eksponentlog logarytm naturalny
log10 logarytm o podstawie 10cos cosinus (argument w radianach)sin sinus (argument w radianach)
sinc sin(x)x
tan tangente (argument w radianach)cotg cotangente (argument w radianach)acos arccosasin arcsinatan arctgcosh cosinus hiperbolicznysinh sinus hiperbolicznytanh tangens hiperbolicznyacosh argchasinh argshatanh argthsqrt pierwiastek kwadratowyfloor E(x) = (bxc) = n, n � x < n+ 1; x 2 Nceil dxe = n, n� 1 < x � n; x 2 Nint int(x) = bxc je±li x > 0 oraz = dxe dla x � 0
erf funkcja bª¦du erf(x) = 2p�
R x0 e�t2dt
erfc dopeªnienie funkcji bª¦du okre±lone przez ercf(x) = 1� erf(x) = 2p�
R +1x e�t2dt
gamma �(x) =R +10 tx�1e�tdt
lngamma ln(�(x))
dlgamma ddx ln(�(x))
Tablica 2.1: Wybrane funkcj u»ywane przez Scilaba.
-->D = A + ones(A) // napisz A aby zobaczyc wczesniejsza zawartosc macierzyD =! 2. 2. 2. !! 3. 5. 9. !! 4. 10. 28. !
-->A + M // nie mozna wykonac dzialania dodawania (niezgodnosc wymiarow): jaka jest odpowiedz Scilaba?!--error 8
inconsistent addition
-->E = A*C // C jest macierza (3,4) zlozona z elementow o wartosci 1.0E =! 3. 3. 3. 3. !! 14. 14. 14. 14. !! 39. 39. 39. 39. !
--> C*A // nie mozna wykonac mnozenia (niezgodnosc wymiarow): jaka jest odpowiedz Scilaba?!--error 10
inconsistent multiplication
--> At = A' // transpozycje otrzymuje sie stawiajac za nazwa macierzy znak apostrofu
14
At =! 1. 2. 3. !! 1. 4. 9. !! 1. 8. 27. !
--> Ac = A + %i*eye(3,3) // tworzymy macierz o elementach zespolonychAc =! 1. + i 1. 1. !! 2. 4. + i 8. !! 3. 9. 27. + i !
--> Ac_adj = Ac' // w ten sposob otrzymujemy macierz transponowana o elementach zespolonych zastapionych ich sprzezeniamiAc_adj =! 1. - i 2. 3. !! 1. 4. - i 9. !! 1. 8. 27. - i !
-->x = linspace(0,1,5)' // konstrukcja wektora kolumnowegox =! 0. !! 0.25 !! 0.5 !! 0.75 !! 1. !
-->y = (1:5)' // inny wektor kolumnowyy =! 1. !! 2. !! 3. !! 4. !! 5. !
-->p = y'*x // iloczyn skalarny wektorow x i yp =
10.
-->Pext = y*x' // otrzymujemy macierz 5x5 rzedu 1, dlaczego?Pext =! 0. 0.25 0.5 0.75 1. !! 0. 0.5 1. 1.5 2. !! 0. 0.75 1.5 2.25 3. !! 0. 1. 2. 3. 4. !! 0. 1.25 2.5 3.75 5. !
--> Pext / 0.25 // macierz mozna podzielic przez skalarans =! 0. 1. 2. 3. 4. !! 0. 2. 4. 6. 8. !! 0. 3. 6. 9. 12. !! 0. 4. 8. 12. 16. !! 0. 5. 10. 15. 20. !
15
--> A^2 // podniesienie do potegi drugiej macierzyans =! 6. 14. 36. !! 34. 90. 250. !! 102. 282. 804. !
--> [0 1 0] * ans // mozna uzyc zmiennej ans, ktora zawiera wynik ostatniego dzialania gdy nie zostal on--> // przypisany do zadnej zmiennejans =! 34. 90. 250. !
--> Pext*x - y + rand(5,2)*rand(2,5)*ones(x) + triu(Pext)*tril(Pext)*y;--> // wpisz ans aby zobaczyc wynik
Inn¡, bardzo interestuj¡c¡ cech¡ charakterystyczn¡, jest mo»liwo±¢ podaniajako argumentu dla funkcji (z tabeli 2.1) macierzy zamiast kolejnych jej ele-mentóws. Innymi sªowy wpisanie instrukcji f(A) oznacza obliczenie warto±cifunkcji f na kolejnych elementach macierzy A; otrzymamy sób macierz [f(aij)].Przykªady:
-->sqrt(A)ans =! 1. 1. 1. !! 1.4142136 2. 2.8284271 !! 1.7320508 3. 5.1961524 !
-->exp(A)ans =! 2.7182818 2.7182818 2.7182818 !! 7.3890561 54.59815 2980.958 !! 20.085537 8103.0839 5.320D+11 !
Uwaga: dla funkcji, które maj¡ sens dla macierzy (co innego dla funkcji którestosuje si¦ dla ka»dego elementu macierzy. . . ) na przyklad funkcja eksponent,nazwa funkcji jest poprzedzona liter¡ m w ten sposób aby otrzyma¢ eksponentmacierzy A wystarczy wprowadzi¢ komend¦ expm
2.3.2 Dziaªania na elementach macierzy
Aby pomno»y¢ lub podzieli¢ dwie macierze, A i B, o tych samych wymiarach,w taki spsób aby wynikiem byªa macierz, równie» o tych samych wymiarach,w której ka»dy element jest iloczynem (ilorazem) odpowiednich elementówmacierzy A i B nale»y u»yc operatorów .* lub ./. A.*B jest macierz¡ o ele-mentach [aijbij ] natomiast A./B jest macierz¡ o elementach [aij=bij ]. Podobniemo»na podnie±¢ do pot¦gi ka»dy z elementów macierzy wpisuj¡c operator .^:A.^p pozwoli otrzyma¢ macierz o wyrazach [apij ]. Rozwa»my przykªad:
-->A./Aans =! 1. 1. 1. !! 1. 1. 1. !! 1. 1. 1. !
Uwagi:
� W przypadku gdy A nie jest macierz¡ kwadratow¡ dziaªanie A^n b¦dzie
16
wykonywane na kolejnych elementach macierzy A. Zaleca si¦ jednak stosowaniezapisu A.^n poniewa» jest on bardziej czytelny.
� Je±li s jest skalarem oraz A jest macierz¡ wówczas s.^A daje macierz owyrazach saij .
2.3.3 Rozwi¡zywanie ukªadów równa« liniowych
Aby rozwi¡za¢ ukªad równa« liniowych gdzie macierz wspóªczynników jestkwadratowa, Scilab stosuje rozkªad LU z cz¦±ciow¡ zamian¡ wierszy prowadz¡c¡do rozwiazania dwóch trójk¡tnych ukªadów równa«. Jest to jednak operacjaniewidoczna dla u»ytkownika dzi¦ki wyko»ystaniu operatora \:
-->b=(1:3)' // tworzymy wektor bb =! 1. !! 2. !! 3. !
-->x=A\b // rozwiazujemy Ax=bx =! 1. !! 0. !! 0. !
-->A*x - b // sprawdzamy poprawnosc wynikuans =! 0. !! 0. !! 0. !
Aby zapami¦ta¢ ten sposób post¦powania, nale»y mie¢ na uwadze ukªad pocz¡tkowyAx = b a nast¦pnie pomno»y¢ ukªad lewostronnie przez A�1 (co oznacza podzie-lenie przez macierz A). Sposób ten daje dokªadny wynik, ale w ogólno±ci wys-t¦puj¡ bª¦dy zaokr¡glenia spowodowane arytmetyk¡ liczb zmiennoprzecinkowych.
-->R = rand(100,100); // stawiamy srednik na koncu aby uniknac zalewu ekranu liczbami
-->y = rand(100,1); // jak wyzej
-->x=R\y; // rozwiazanie ukladu Rx=y
-->norm(R*x-y) // funkcja norm pozwala obliczyc norme wektorow (macierzy)// (obliczyc mozemy dwie normy -- euklidesowa i hermitea)
ans =1.134D-13
Uwaga: Nie otrzymacie wyniku identycznego z moim je»eli funkcja rand niezostanie u»yta tak jak w powy»szym przykªadzie. . .W momencie gdy rozwi¡zanieukªadu liniowego jest w¡tpliwe, Scilab wy±wietla informacje ostrzegaj¡ce i pozwala-j¡ce podj¡¢ odpowiednie w takiej sytuacji dziaªania.
2.3.4 Indeksowanie, wydobywanie podmacierzy, konkatenacj macierzyi wektorów
Aby odniesc si¦ do konkretnego elemetnu macierzy wystarczy przy nazwiepoda¢ w nawiasie jego indeksy. Na przykªad:
17
-->A33=A(3,3)A33 =
27.
-->x_30 = x(30,1)x_30 =- 1.2935412
-->x(1,30)!--error 21
invalid index
-->x(30)ans =- 1.2935412
Uwaga: Je»eli macierz jest wektorem kolumnowym wystarczy jedynie wpisa¢numer linii, w której znajduje si¦ szukany element; analogicznie post¦pujemyw przypadku wektora wierszowego.Zalet¡ j¦zyka Scilab jest mo»liwo±¢ ªatwego wydobywanie podmacierzy z macierzywyj±ciowej.
-->A(:,2) // aby uzyskac 2 kolumne,...ans =! 1. !! 4. !! 9. !
-->A(3,:) // ... 3 wierszans =! 3. 9. 27. !
-->A(1:2,1:2) // podmacierz glowna rzedu 2ans =! 1. 1. !! 2. 4. !
Omówmy teraz ogóln¡ skªadni¦. Niech macierz A ma wymiary (n:m), niechdalej v1 = (i1; : : : ; ip) oraz v2 = (j1; : : : ; jq) oznaczaj¡ wektory (wierszowe lubkolumnowe), w których warto±ci s¡ takie, »e 1 � ik � n et 1 � jk � m, wówczasA(v1,v2) oznacza macierz o wymiarach (p; q) utworzon¡ z wyrazów macierzy Aodpowiadaj¡cych wierszom i1; i2; : : : ; ip oraz kolumnom j1; j2; : : : ; jq .
-->A([1 3],[2 3])ans =! 1. 1. !! 9. 27. !
-->A([3 1],[2 1])ans =! 9. 3. !! 1. 1. !
Wpraktyce dokonujemy prostrzych ekstrakcji, wydobywa si¦ elementy umieszc-zone w przylegaj¡cych blokach na przykªad w kolumnach lub wierszach. Wtakim przypadku u»yjemy wyra»enia i_poczatkowe:przyrost:i_koncowe w celuwygenerowania wektora wska¹ników. Natomiast aby wygenerowa¢ peªny ob-
18
szar odpowiadaj¡cy wymiarowi u»yjemy operatora : (jak wida¢ to w pier-wszym przykªadzie). Zatem aby otrzyma¢ podmacierz zªo»on¡ z 1 i 3 wierszazastosujemy
-->A(1:2:3,:) // lub inaczej A([1 3],:)ans =! 1. 1. 1. !! 3. 9. 27. !
Przejd¹my teraz do operacji konkatencaji macierzy, która umo»liwia poª¡cze-nie (ustawiaj¡c obok siebie) wiele macierzy w celu otrzymania jednej zwanejmacierz¡ blokow¡. Dla przykªadu rozwa»my nast¦puj¡c¡ macierz podzielon¡na bloki:
A =
0BB@
1 2 3 4
1 4 9 161 8 27 641 16 81 256
1CCA =
�A11 A12
A21 A22
�:
Nale»y zatem zde�niowa¢ podmacierze A11; A12; A21; A22:
-->A11=1;
-->A12=[2 3 4];
-->A21=[1;1;1];
-->A22=[4 9 16;8 27 64;16 81 256];
ostatecznie otrzymujemy macierz A powstaª¡ z poª¡czenia 4 bloków:
-->A=[A11 A12; A21 A22]A =! 1. 2. 3. 4. !! 1. 4. 9. 16. !! 1. 8. 27. 64. !! 1. 16. 81. 256. !
Z punktu widzenia syntaktyki, macierze blokowe traktowane s¡ jak zwykªeskalary (nale»y przy tym oczywi±cie pami¦ta¢ o zgodno±ci wymiarów odpowid-nich macierzy blokowych).Istnieje odr¦bna skªadnia sªu»¡ca do jenoczesnego usuni¦cia z macierzy wier-szy lub kolumn: niech v = (k1; k2; : : : ; kp b¦dzie wektorem skªadaj¡cym si¦ znumerów wierszy lub kolumn macierzy M . Polecenie M(v,:)=[] spowodujeusuni¦cie wierszy o numerach k1; k2; : : : ; kp z macierzy M , natomiast M(:,v)=[]usunie kolumny k1; k2; : : : ; kp. Ponadto je±li u jest wektorem (wierszowym lubkolumnowym), u(v)=[] usunie odpowiednie skªadowe.
Kolejno±¢ elementów macierzy
Macierze w Scilabie s¡ skªadowane kolumna za kolumn¡ i ta kolejno±¢ el-ementów wykorzystywana jest w wielu funkcjach (porównaj dla przykªadupolecenie matrix, która umo»liwia zmian¦ wymiarów macierzy). W szczegól-no±ci dla operacji wstawiania i wydobywania mo»liwe jest u»ycie domy±lnegoporz¡dku przy wykorzystaniu jednynie pojedy«czego wektora indeksów (wmiejsce dwóch, jako wska¹nik kolumn lub wierszy). Oto kilka przykªadówopartych na wcze±niej zde�niowanej macierzy A:
-->A(5)ans =
19
2.
-->A(5:9)ans =! 2. !! 4. !! 8. !! 16. !! 3. !
-->A(5:9) = -1 // spowoduje wstawienie elementu o wartosci -1A =! 1. - 1. - 1. 4. !! 1. - 1. 9. 16. !! 1. - 1. 27. 64. !! 1. - 1. 81. 256. !
2.4 Informacje na temat ±rodowiska pracy(*)
Wystarczy wpisa¢ who a otrzymamy w ten sposób nast¦puj¡ce informacje
-->whoyour variables are...
Anew A A22 A21 A12 A11 x_30 A33 xy R b Pext p Ac_adj Ac At ED cosh ind xx i linspace M U Ozeros C B I Y c T startup ierrscicos_pal home PWD TMPDIR percentlib fraclablibsoundlib xdesslib utillib tdcslib siglib s2flib roblib optlib metalibelemlib commlib polylib autolib armalib alglib mtlblib SCI %F%T %z %s %nan %inf old newstacksize $%t %f %eps %io %i %e %piusing 14875 elements out of 1000000.
and 75 variables out of 1023
� Zmienne, które zostaªy wprowadzone Anew, A,A22, A21, ...,b w porz¡dkuodwrotnym do ich wczytywania. Wªa±ciwie pierwsz¡ utworzon¡ zmienn¡byªa macierz A ale powi¦kszyli±my jej wymiar (z (3,3) do (4,4)) w przykªadzieprezentuj¡cym konkatenacj¦ macierzy. W takim przypadku zmienna pocz¡tkowazostaje zast¡piona now¡ zmienn¡. O tym istotnym fakcie powiemy jeszczeprzy okazcji omawiania programowania w Scilab-ie;
� Nazwy bibliotek Scilab-a (posiadaj¡cych rozszerzenie lib) i funkcji: cosh.To znaczy funkcje (te opisane w j¦zyku Scilab-a) oraz biblioteki traktowanes¡ przez Scilaba jak zmienne.Uwaga: Procedury w Scilabie zaprogramowane w Fortran 77 i C nazywanes¡ �prymitywami Scilaba� i nie s¡ uwa»ane za zmienne w Scilabie. Wdalszej cz¦±ci tego dokumentu u»ywa si¦ czasem przesadnie sformuªowania�prymityw� aby zaznaczy¢ funkcje Scilab-a (programów w j¦zyku Scilab),które s¡ zawarte w standardowo dost¦pnym ±rodowisku.
� Staªe prede�niowane, takie jak �, e i i epsilon maszynowy eps oraz dwieinne staªe, klasyczne w arytmetyce zmiennoprzecinkowej: nan - ang. nota number, inf � 1. Zmienne, których nazwa poprzedzona jest znakiem %
20
nie mog¡ zosta¢ usuni¦te.
� Bardzo istotna zmienna newstacksize okre±laj¡ca rozmiar stosu (to znaczyilo±¢ dost¦pnej pami¦ci).
� Na koniec wy±wietlona zostaje informacja o ilo±ci u»ytych sªów 8 bitowychw odniesieniu do ich caªkowitej (dost¦pnej) ilo±ci a nast¦pnie ilo±¢ u»ytychzmiennych w stosunku do maksymalnej dozwolonej ich ilo±ci.
Rozmiar stosu mo»na zmieni¢ za pomoc¡ polecenia stacksize(nbmots) gdzienbmots oznacza nowy po»¡dany rozmiar. Ta sama komenda bez argumentupozwala uzyska¢ rozmiar stosu mieszcz¡cy maksymaln¡ dopuszczaln¡ liczb¦zmiennych.Tak wi¦c chc¡c usun¡¢ wektor v1 ze ±rodowiska a wi¦c zwolni¢ miejsce wpami¦ci nale»y u»y¢ polecenia clear v1. Polecenie clear u»yte bez argumentuusunie wszystkie zmienne. Chc¡c natomiast usun¡c wi¦cej ni» jedn¡ zmienn¡mo»a poda¢ ich nazwy jako kolejne argumenty polecenia clear, na przykªad:clear v1 v2 v3.
2.5 Wywoªanie pomocy z linii polece«
Pomoc mo»na otrzyma¢ wybieraj¡c przycisk Help z menu okna Scilab. Pocz¡wszyod wersji 2:7 strony pomocy s¡ w formacie HTML3. Wpisuj¡c polecenie help(lub klikaj¡c na przycisk Help) pojawi si¦ strona HTML zawieraj¡ca odno±nikido wszystkich stron pomocy (Scilab Programming, Graphic Library, Utilitiesand Elementary functions,...). Klikaj¡c na wybran¡ nazw¦ otrzymuje si¦ list¦szystkich funkcji zwi¡zanych z danym tematem, do ka»dej z nich doª¡czonokrótki opis. Wybieraj¡c dan¡ funkcj¦ otrzymuje si¦ stron¦ z pytaniami doty-cz¡cymi danej funkcji. Je»eli natomiast znana jest nazwa funkcji wystarczywpisa¢ komend¦ help nazwa_funkcji w oknie Scilaba aby wej±¢ na odpowiedn¡stron¦. Polecenie apropos sªowo_kluczowe wy±wietli wszystkie strony na którychpojawia si¦ sªowo_kluczowe w nazwach funkcji lub ich opisach. Przeszukiwanieopcji mo»e okaza¢ sie niewygodne, gdy» cz¦sto wiele funkcji zgrupowanych jestpod jedn¡ nazw¡ (na przykªad jako Elementary functions mojetutu wyst¦pujebardzo du»o ró»nych funkcji, które w jakimkolwiek stopniu na t¦ nazw¦ za-sªuguj¡); nie wahaj sie zatem u»ywa¢ polecenia apropos
2.6 Generator prostych wykresów
Przypu±¢my, »e chcemy narysowa¢ wykres funkcji y = e�x sin(4x) dla x 2 [0; 2�].Mo»na zde�niowa¢ podziaª przedziaªu poprzez funkcj¦ linespace
-->x=linspace(0,2*%pi,101);
a nast¦pnie policzy¢ warto±ci funkcji dla ka»dego elementu podziaªu wykrzys-tuj¡c w tym celu instrukcj¦
-->y=exp(-x).*sin(4*x);
i ostatecznie
-->plot(x,y,'x','y','y=exp(-x)*sin(4x)')
gdzie trzy ostatnie ªa«cuchy znaków (odpowiednio: opis osi rz¦dnych i od-ci¦tych oraz nazwa wykresu) s¡ opcjonalne. Instrukcja ta pozwala narysowa¢krzyw¡ przechodz¡c¡ przez punkty, których wspóªrz¦dne okre±la wektor x naosi odci¦tych oraz y na osi rz¦dnych. Je»eli punkty ukªadaj¡ si¦ cz¦±ciowo
3Format podstawowy to XML a z niego otrzymuje si¦ HTML.
21
wzdªu» linii prostej wykres b¦dzie tym wierniejszy im wi¦kszej ilo±ci punktówu»yjemy
Rysunek 2.1: Prosty wykres.
Uwaga: Ta instrukcja jest ograniczona, zatem nie nale»y sugerowa¢ si¦ jedynietym rozwi¡zaniem. W rozdziale dotycz¡cym gra�ki wprowadza si¦ instrukcjeplot2d, która jest o wiele lepsza.
2.7 Pisanie i wykonywanie skryptów
Mo»liwe jest wpisanie ci¡gu instrukcji do pliku nazwaPliku i ich wywoªaniepoprzez komend¦
-->exec('nazwa_pliku') // lub exec nazwa_pliku
Prostsz¡ metod¡ jest wybranie pozycji File Operation znajduj¡c¡ si¦ w menuFile okna Scilab. Menu pozwala wybra¢ insteresuj¡cy nas plik (ewentual-nie w celu jego mody�kazji); aby go wykona¢ wystarczy wybra¢ Exec. Jakoprzykªad skryptu rozwa»my ponownie wykres funkcji e�x sin(4x) zadaj¡c zaka»dym razem inny rozmiar przedziaªu [a; b] i ilo±¢ podprzedzaiªów. Napiszmyzatem w pliku nazywaj¡cym si¦ na przykªad script1.sce nast¦puj¡ce instrukcje
// pierwszy skrypt
a = input(" Podaj lewy kraniec przyedzialu : ");b = input(" Podaj prawy kraniec przedzialu : ");n = input(" Podaj ilosc podprzedzialow : ");
// obliczenie odcietychx = linspace(a,b,n+1);
// obliczenie rzednychy = exp(-x).*sin(4*x);
// maly rysunekclf() //wyczyszczenie zawartosci okna graficznegoplot(x,y,"b")xtitle("x","y","y=exp(-x)*sin(4x)")
Uwaga:
� Aby odnale¹¢ si¦ w naszych plikach Scilab-a zaleca si¦ wykorzysta¢ wnazwie pliku skryptowego rozszerzenie *.sce (w przypadku gdy plik za-wiera funkcj¦, rozszerzeniem powinno by¢ *.scu).
� Pewne edytory mog¡ by¢ wyposa»one w narz¦dzia specy�czne dla edycjiw Scilabie (zobacz strona Scialba). Dla emacs istniej¡ dwa, z krórych lep-szy pochodzi od Alexandra Vigodnera, którego najnowsze wersje mo»naznale¼¢ pod adresem
http://www.geocities.com/avezunchik/scilab.html
22
2.8 Dodatkowe informacje
2.8.1 Skracanie instrukcji przy zapisie macierzowym
Wcze±niej dowiedzieli±my si¦, »e mno»enie macierzy przez skalar (podobniedzielenie macierzy przez skalar) jest zde�niowane w Scilabie. Natomiast Scilabstosuje uproszcze« mniej oczywistych, takich jak dodawanie skalara i macierzy.Wyra»enie M + s gdzie M jest macierza a s skalarem jest skrótem dla instrukcji
M + s*ones(M)
to znaczy skalar jest dodany do wszystkich elementów macierzy.Inny skrót: w wyra»eniu typu A./B (oznaczaj¡cym dzielenie �element po ele-mencie� macierzy o tych samych wymiarach), je»eli A jest skalarem wówczaswyrarzenie to jest skróconym zapisem dla instukcji :
A*ones(B)./B
otrzymuje sie macierz [a=bij ]. Takie uproszczenia pozwalaj¡ na zapis bardziejsyntetyczny w wielu przypadkach (por. ¢wiczenia). Na przykªad, je±li f jestfunkcj¡ zde�niowan¡ w ±rodowisku, x jest wektorem a s jest zmienn¡, wówczas
s./f(x)
jest wektorem tych samych wymiarów co x, w którym i-ta wspóªrz¦dna równajest s=f(xi). W ten sposób, aby wyznaczy¢ wektor o wspóªrz¦dnych 1=f(xi),u»yjemy skªadni :
1./f(x)
Taka skªadnia interpretuje 1. jako jedynk¦ i wynik nie b¦dzie wªa±ciwy. Do-brym rozwi¡zaniem aby otrzyma¢ poszukiwany wynik jest uj¦cie liczby w naw-ias lub oddzielenie liczby spacj¡ :
(1)./f(x) // lub takze 1 ./f(x) lub 1.0./f(x)
2.8.2 Pozostaªe uwagi dotycz¡ce rozwi¡zywania ukªadów równa« lin-iowych (*)
1. W przypadku gdy mamy wi¦cej wyrazów wolnych, mo»na stosowa¢ nast¦pu-j¡ce polecenie :
-->y1 = [1;0;0;0]; y2 = [1;2;3;4]; // przypadek gdy mamy 2 wyrazy wolne ( mozna ujac--> // wiecej instrukcji w jednej lini)-->X=A\[y1,y2] // konkatenacja/zlaczenie y1 i y2X =
! 4. - 0.8333333 !! - 3. 1.5 !! 1.3333333 - 0.5 !! - 0.25 0.0833333 !
Pierwsza kolumna macierzy X jest rozwi¡zaniem ukªadu równa« Ax1 = y1,natomiast druga jest rozwi¡zaniem ukªadu Ax2 = y2.
2. Wcze±niej zobaczyli±my, »e je»eli A jest macierz¡ kwadratow¡ (n,n) oraz bjest wektorem kolumnowym o n wspóªrz¦dnych (a wi¦c macierz¡ (n,1)) to:
x = A\b
da nam rozwi¡zanie ukªadu równa« liniowych postaci Ax = b. Je»eli natomi-ast macierz A oka»e sie macie»¡ osobliw¡, Scilab zwróci bª¡d. Na przykªad:
-->A=[1 2;1 2];
23
-->b=[1;1];
-->A\b!--error 19
singular matrix
Podczas gdy macierz A jest ¹le uwarunkowana (lub ewentualnie ¹le zrównowa»ona)odpowied¹ b¦dzie dostarczona ale wraz z komentarzem w postaci ostrze»e-nia zawieraj¡cym oszacowanie odwrotno±ci uwarunkowania (cond(A) = jjAjj jjA�1jj):-->A=[1 2;1 2+3*%eps];-->A\bwarningmatrix is close to singular or badly scaled.results may be inaccurate. rcond = 7.4015D-17
ans =! 1. !! 0. !
Z drugiej strony, je»eli macierz nie jest kwadratowa, ale posiada t¦ sam¡liczb¦ wirszy co wektor wyrazów wolnych, Scilab obliczy rozwi¡zanie (wpostaci wektora kolumnowego, którego liczba wspóªrz¦dnych b¦dzie równaliczbie kolumn macierzy A) nie informuj¡c u»ytkownika o bª¦dzie. W efek-cie, je»eli równanie Ax = b nie ma w ogólno±ci rozwi¡zania jednoznacznego4, mo»na zawsze wybra¢ wektor x który zwery�kuje pewne wªasno±ci (xo minimalne normie i jednocze±nie b¦d¡cy rozwi¡zaniem min jjAx � bjj).W tym przypadku takie rozwi¡zanie jest wynikiem dzieªanie innych algo-rytmów które umo»liwiaj¡ (ewentualne) otrzymanie pseªdo-rozwi¡zania5.Niedogodno±¢ jest taka, »e jes±li zostanie popeªniony bª¡d podczas de�n-iowania macierzy (na przykªad zde�niowana zaostanie dodatkowa kolumnatak, »e macierz b¦dzie miaªa wymiar (n,n+1)) bª¡d ten nie zostanie wykrytynatychmiast. Rozwa»my przykªad :
-->A(2,3)=1 // étourderieA =! 1. 2. 0. !! 1. 2. 1. !
-->A\bans =
! 0. !! 0.5 !! - 3.140D-16 !
-->A*ans - bans =1.0D-15 *
! - 0.1110223 !4niech (m;n) b¦dzie wymiarem macierzy A (gdzie n 6= m), mamy jedno rozwi¡zanie wtedy i tylko wtedy, gdy m > n,
KerA = f0g i w konsekwencji b 2 ImA ten ostatni warunek jest wyj¡tkiem je±li b jest zadane z góry w Km ; w ka»dym
innym przypadku albo nie ma »adnego rozwi¡zania albo isnieje niesko«czenie wiele rozwi¡za«5w przypadkach trudnych, tzn. takich, gdzie macierz nie ma maksymalnego rz¦du (rg(A) < min(n;m) gdzie n i m s¡
dwuwymiarowe) nale»y wyznaczy¢ rozwi¡zanie korzystaj¡c z pseªdo-odwrotnej macierzy do A (x = pinv(A)*b).
24
! - 0.1110223 !
Poza zwróceniem naszej uwagi na konsekwencje tego typu zakªuce«, powy»szyprzykªad ilustruje nast¦puj¡ce aspekty :
� x = A\y pozwala rozwi¡za¢ problem mniej kwadratowy (kiedy macierz niema maksymalnego rz¦du, nale»y lepiej u»y¢/wyko»ysta¢ x = pinv(A)*b,pseudo-inwersia zostanie obliczona poprzez dekompozycj¦ pojedynczychwarto±ci A (t¦ dekompozycj¦ mo»na otrzyma¢ za pomoc¡ instukcji svd));
� instrukcja A(2,3)=1 (bª¡d zakªucenia. . . ) jest w rzeczywisto±ci skrótemod :
A = [A,[0;1]]
to znaczy Scilab domy±la si¦, »e macierz A ma by¢ uzupeªniona (o 3kolumn¦) ale brakuje mu jednego elementu. W takim przypadku uzu-peªni je zerami.
� element na pozycji (2,2) jest równy 2+3 �m. Epsilon maszynowy (�m) ma»eby¢ zde�niowany jako bardzo du»a liczba, dla której 1 � �m = 1 w aryt-metyce zmiennoprzecinkowej6. W konsekwencji musimy mie¢ 2� 3�m > 2aby na ekranie pojawiªa si¦ 2. Wynika to z u»ytego domy±lnie formatudanych, mo»na go jednak zmody�kawa¢ u»ywaj¡c instrukcji format :
-->format('v',19)
-->A(2,2)ans =
2.0000000000000009
W ten sposób zmienimy format domy±lny format('v',10) (patrz Help abypozna¢ znaczenie argumentów).
� Rozwi¡zanie ukªadu Ax = b, które nie zostaªo przypisane »adnej konkret-niej zmniennej, jest domy±lnie nazwane ans. Zmienn¡ t¦ mo»na nast¦pniewyko»ysta¢ do obliczenia warto±ci rezydualnej Ax� b.
3. Przy u»yciu Scilaba mo»na równie» odpowiednio rozwi¡za¢ ukªad równa«postaci xA = b gdzie x i b s¡ wektorami wierszowymi, a A jest macierz¡kwadratow¡ (poprzez transpozycj¦ wracamy do ukªadu klasycznego A>x> =b>), wystarczy pomno»y¢ prawostronnie przez A�1 (odpowiednikiem tejoperacji jest prawostronne podzielenie przez macierz A) :
x = b/A
I podobnie jak poprzednio, je±li A jest macierz¡ prostok¡tn¡ (gdzie liczbakolumn jest równa liczbie wierszy wektora b), Scilab wyznaczy rozwi¡zanie.
2.8.3 Kilka prostych macierzy (*)
Suma, iloczym wspóªczynników macierzy, macierz pusta
Aby zsymowa¢ wspóªczynniki macierzy, u»ywamy funkcji sum :
-->sum(1:6) // 1:6 = [1 2 3 4 5 6] : musiemy zatem otrzymac 6*7/2 = 21 !!!!!ans =
21.
Funckja ta przyjmuje przyjmuje argument dodatkowy dla obliczenia tylkowierszy lub tylko kolumn :
6±ci±le mówi¡c wszystkie liczby rzeczywiste x takie, »e m � jxj � M mog¡ by¢ zakodowane/zapisane za pomoc¡ liczbyzmiennoprzecinkowej fl(x) nast¦puj¡co : jx� fl(x)j � �mjxj gdzie m i M s¡ odpowiednio najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ liczb¡dodatni¡ mo»liw¡ do zakodowania za pomoc¡ virgule �ottante normalisée
25
-->B = [1 2 3; 4 5 6]B =! 1. 2. 3. !! 4. 5. 6. !
-->sum(B,"r") // oblicza sume wyrazów w poszczegolnych kolumnach//otrzymujemy wektor wierszowy postacians =! 5. 7. 9. !
-->sum(B,"c") // oblicza sume wyrazow w poszczegolnych wierszach// otrzymujemy wektor kolumnowy postacians =! 6. !! 15. !
Jednym z wyj¡tkowo u»ytecznych obiektów jest �macierz pusta� któr¡ de�niujesie nast¦puj¡co :
-->C =[]C =
[]
Macierz ta ma nast¦puj¡ce wªasno±ci :[] + A = A i []*A = []. Stosuj¡c terazfunkcj¦ sum do macierzy pustej otrzymujemy naturalnie rezultat :
-->sum([])ans =
0.
wedªug matematycznej konwencji sumowania :
S =Xi2E
ui =nXi=1
ui gdy E = f1; 2; : : : ; ng
je»eli E jest zbiorem pustym wówczas S = 0 W analogiczny sposób, aby otrzy-
ma¢ iloczyn elementów macierzy, stosuje sie funkcj¦ prod :
-->prod(1:5) // otrzymujemy 5! = 120ans =
120.
-->prod(B,"r") // napisz B aby zobczyc macierz...ans =! 4. 10. 18. !
-->prod(B,"c")ans =! 6. !! 120. !
-->prod(B)ans =
720.
-->prod([])ans =
26
1.
wynik otrzymuje si± zgodnie z konwencj¡ znan¡ w matematyce :Yi2E
ui = 1; si E = ;:
Suma i iloczyn skumulowany
Funkcje cumsum i cumprod obliczaj¡ odpowiednio sum¦ i iloczyn skumiulowanymacierzy lub wektora :
-->x = 1:6x =! 1. 2. 3. 4. 5. 6. !
-->cumsum(x)ans =! 1. 3. 6. 10. 15. 21. !
-->cumprod(x)ans =! 1. 2. 6. 24. 120. 720. !
Dla macierzy kumulowanie dokonuje si± zazwyczja jedynie w porz¡dku kolum-nowym :
-->x = [1 2 3;4 5 6]x =! 1. 2. 3. !! 4. 5. 6. !
-->cumsum(x)ans =! 1. 7. 15. !! 5. 12. 21. !
Podobnie jak w przypadku funkcji sum i prod, mo»na dokonywa¢ kumulowaniawedªug wierszy i kolumn :
-->cumsum(x,"r") // suma skumulowana wedlug kolumn !ans =! 1. 2. 3. !! 5. 7. 9. !
-->cumsum(x,"c") // suma skumulowana wedlug wierszy !ans =! 1. 3. 6. !! 4. 9. 15. !
Pojawia si¦ tutaj pozorna niezgodno±¢ pomi¦dzy nazw¡ a sposobem dokony-wania oblicze« na wierszach i kolumnach7 : dla funkcji sum i prod argumentinformuje o ostatecznej formie otrzymanego wyniku (sum(x,»") pozwala otrzy-ma¢ wektor wierszowy (r jak row, ang. wiersz) a wi¦c sum¦ ka»dej kolumny)lecz
7sum, prod, cumsum, cumprod, mean, st_deviation, min, max
27
minimum i maksimum wektora i macierzy
Najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ wektora lub macierzy mo»na wyznaczy¢posªuguj¡c si¦ funkjami min i max. Ich dziaªanie jest takie jak w przypadkufunkcji sum i prod gdzie dodatkowy argument okre±la czy minimum lub mak-simum ma by¢ wyznaczone dla wiersza czy dla kolumny. Dodatkowo mo»liwejest znalezienie wska¹nika dla miejsca w któtym znajduje sie owo minimumlub maksimum. Przykªady :
-->x = rand(1,5)x =! 0.7738714 0.7888738 0.3247241 0.4342711 0.2505764 !
-->min(x)ans =
0.2505764
-->[xmin, imin] = min(x)imin =
5. // min jest osiagniete w x(5)xmin =
0.2505764
-->y = rand(2,3)y =! 0.1493971 0.475374 0.8269121 !! 0.1849924 0.1413027 0.7530783 !
-->[ymin, imin] = min(y)imin =! 2. 2. ! // min jest osiagniete dla y(2,2)ymin =
0.1413027
-->[ymin, imin] = min(y,"r") // minimum kazdej kolumnyimin =! 1. 2. 2. ! // => min to y(1,1) y(2,2) y(2,3)ymin =! 0.1493971 0.1413027 0.7530783 !
-->[ymin, imin] = min(y,"c") // minimum kazdego wierszaimin =! 1. ! // min to y(1,1)! 2. ! // y(2,2)ymin =! 0.1493971 !! 0.1413027 !
±rednia i odchylenie standardowe
Funkcje mean i st_deviation pozwalaj¡ wyznaczy¢ ±redni¡ i odchylenie standar-dowe wspóªrz¦dnych wektora lub macierzy. Formuªa u»ywana dla odchylenia
28
standardowego jest nast¦puj¡ca :
�(x) =
1
n� 1
nXi=1
(xi � �x)2
!1=2
; �x =1
n
nXi=1
xi
-->x = 1:6x =! 1. 2. 3. 4. 5. 6. !
-->mean(x)ans =
3.5
-->st_deviation(x)ans =
1.8708287
Podobnie mo»na wyznaczy¢ ±redni¡ (a tak»e odchylenie standardowe) wierszalub kolumny macierzy :
-->x = [1 2 3;4 5 6]x =! 1. 2. 3. !! 4. 5. 6. !
-->mean(x,"r") // srednia wyrazow kazdej z kolumn macierzyans =
! 2.5 3.5 4.5 !
-->mean(x,"c") // srednia kazdego z wierszyans =
! 2. !! 5. !
Przeksztaªcenie macierzy
Funkcja matrix umo»liwia takie przeksztaªcenie macierzy aby miaªa ona nowewymiary (przy zachowaniu tych samych wspóªczynników).
-->B = [1 2 3; 4 5 6]B =! 1. 2. 3. !! 4. 5. 6. !
-->B_new = matrix(B,3,2)B_new =! 1. 5. !! 4. 3. !! 2. 6. !
Jest to mo»liwe dzi¦ki temu, »e wspóªczynniki macierzy zapami¦tywane s¡kolumnowo. Jednym z zastowowa« funkcji matrix jest transpozycja wektorawierszowego na kolumnowy i odwrotnie. Nale»y zaznaczy¢, »e w ogólno±cipozwala ona tak»e przeksztaªci¢ macierz A zamieniaj¡c (wektory wierszowe ikolumnowe) na wektor kolumnowy v : v = A(:), przykªad :
29
-->A = rand(2,2)A =! 0.8782165 0.5608486 !! 0.0683740 0.6623569 !
-->v=A(:)v =! 0.8782165 !! 0.0683740 !! 0.5608486 !! 0.6623569 !
Wektory z post¦pem logarytmicznym
Czasami istnieje potrzeba operownia wektorem którego wspóªrz¦dne stanowi¡post¦p logarytmiczny (tzn. takie, »e stosunek dwuch s¡siednichc jest staªy:xi+1=xi = Cte): mo»na u»y¢ w tym przypadku funkcj¦ logspace : logspace(a,b,n):pozwalaj¡c¡ otrzyma¢ taki wektor o n wspóªrz¦dnych w którym pierwsza i os-tatnia wsóªrz¦dna s¡ odpowiednio 10a i 10b, np:
-->logspace(-2,5,8)ans =! 0.01 0.1 1. 10. 100. 1000. 10000. 100000. !
Warto±ci i wektory wªasne
Funkcja spec pozwala obliczy¢ warto±ci wªasne macierzy (kwadratowej!) :
-->A = rand(5,5)A =! 0.2113249 0.6283918 0.5608486 0.2320748 0.3076091 !! 0.7560439 0.8497452 0.6623569 0.2312237 0.9329616 !! 0.0002211 0.6857310 0.7263507 0.2164633 0.2146008 !! 0.3303271 0.8782165 0.1985144 0.8833888 0.312642 !! 0.6653811 0.0683740 0.5442573 0.6525135 0.3616361 !
-->spec(A)ans =! 2.4777836 !! - 0.0245759 + 0.5208514i !! - 0.0245759 - 0.5208514i !! 0.0696540 !! 0.5341598 !
oraz wy±wietla wyniki w postaci wektora kolumnowego (Scilab stosuje metod¦QR polegaj¡c¡ na interacyjnej dekompozycji) Schurmacierzy). Wektory wªasnemog¡ by¢ otrzymane za pomoc¡ bdiag. W ogólno±ci aby wyznaczy¢ warto±ciwªasne mo»na wyko»ysta¢ funkcj¦ gspec.
2.8.4 Funkcje size i length
size pozwala uzyska¢ informacj¦ o wymiarach macierzy (w kolejno±ci: liczbawierszy, liczba kolumn):
-->[nl,nc]=size(B) // B jest macierz\k{a} (2,3) z poprzedniego przyk\l{}adunc =
3.
30
nl =2.
-->x=5:-1:1x =! 5. 4. 3. 2. 1. !
-->size(x)ans =! 1. 5. !
natomiast length mówi o liczbie elementów macierzy (rzeczywistych lub ze-spolonych). W ten sposób dla wektora wierszowego lub kolumnowego otrzy-muje si¦ dokªadnie liczb¦ jego wspóªczynników :
-->length(x)ans =
5.
-->length(B)ans =
6.
Obie te instrukcje u»ywane s¡ po to aby pozna¢ rozmiar macierzy lub wek-tora b¦d¡cego argumentem tych funkcji. Nale»y doda¢, »e size(A,'r') (lubsize(A,1)) oraz size(A,'c') (lub size(A,2)) mówi¡ o liczbie wierszy (rows) orazkolumn (columns) macierzy A.
2.9 �wiczenia
1. Zde�niowa¢ macierz wymiaru n nast¦puj¡co (zob. szczegóªy dotycz¡cefunkcji diag za pomoc¡ Help):
A =
0BBBBBBB@
2 �1 0 � � � 0
�1 . . .. . .
. . ....
0. . .
. . .. . . 0
.... . .
. . .. . . �1
0 � � � 0 �1 2
1CCCCCCCA
2. Niech A b¦dzie macierz¡ kwadratow¡; czym b¦dzie diag(diag(A)) ?
3. Funkcja tril pozwala wydoby¢ trók¡tn¡ doln¡ cz¦±¢ macierzy (triu dlacz¦±ci trójk¡tnej górnej). Zde�niowa¢ dowoln¡ macierz kwadratow¡ A (np.za pomoc¡ rand) i skonstruowa¢ pojedyncz¡ instrukcj¡ macierz trójk¡tn¡górn¡ T tak¡, »e tij = aij dla i > j (cz¦±ci trójk¡tne górne macierzy A i T s¡jednakowe) i tak¡, »e tii = 1 (T jest diagonalnie jednostkowa).
4. Niech X b¦dzie macierz¡ (lub wektorem) zde�niowanym w ±rodowisku.Napisa¢ instrukcj¦ pozwalaj¡c¡ obliczy¢ macierz Y (tego zamego rozmi-aru co X) w której element na pozycji (i; j) jest równy warto±ci f(Xij) wnast¦puj¡cych przypadkach :
(a) f(x) = 2x2 � 3x+ 1
(b) f(x) = j2x2 � 3x+ 1j(c) f(x) = (x� 1)(x+ 4)
(d) f(x) = 11+x2
31
5. Naszkicowa¢ wykres funkcji f(x) = sinxx dla x 2 [0; 4�] (napisa¢ skrypt).
6. Maªa ilustracja prawa wielkich liczb : obliczy¢ za pomoc¡ funkcji rand nrealizacji rozkªadu zero-jednkowego w postaci wektora x, obliczy¢ ±redni¡skumulowan¡ tego wektora, tzn. wektor �x, którego ka»da z n wspóªrz¦d-nych ma warto±¢ : �xk = 1
k
Pki=1 xi oraz naszkicowa¢ wykres ci¡gu otrzy-
manego w ten sposób. Zbada¢ jego zachowanie, zwi¦kszaj¡c warto±¢ n.
32
Rozdziaª 3
Programowanie w Scilabie
Scilab, oprócz prostych instrukcji (pozwalaj¡cych, z wyko»ystaniem instrukcjimacierzowych, na bardzo syntetyczne programowanie bliskie j¦zykowi matem-atycznemu, co najmniej macierzowemu) dysponuje prostym aczkolwiek wystar-czaj¡co kompletnym j¦zykiem programowania. Zasadnicz¡ ró»nic¡ w porów-naniu z najpopularniejszymi dzi± j¦zykami (C, C++, Pascal, . . . ) jest brakkonieczno±ci deklarowania zmiennych: w przeciwie«stwie do operacji wcze±niejwykonywanych, nie musimy w »adnymmomencie precyzowa¢ rozmiaru macierzyani jej typu (rzeczywista, zespolona, . . . ). To na interpreterze Scilaba spoczywazadanie rozpoznawania ka»dego nowego obiektu. Takie podej±cie nie jest cz¦stobrane pod uwag¦, gdy» z punktu widzenia programisty prowadzi¢ mo»e dopowstawania trudnych do wychwycenia bª¦dów. W przypadku j¦zyków takichjak Scilab (czy MATLAB) nie powoduje to problemów dzi¦ki u»ywaniu za-pisu wektorowego/macierzowego oraz gotowych prostych instrukcji, pozwala-j¡cych na znaczne zmniejszenie ilo±ci zmiennych oraz wielko±ci kodu (tutu naprzykªad instrukcje macierzowe pozwalaj¡ce unikn¡¢ maksimum p¦tli ). Inn¡zalet¡ j¦zyków programowania tego typu jest to, »e dysponoj¡ one instrukc-jami gra�cznymi (co pozwala unikn¡¢ »onglowania programem lub bibliotek¡gra�czn¡) i s¡ one interpretowane (co umo»liwia ªatwe odnalezieniebª¦dów bezpomocy debugera). Dla odmiany niedogodnym jest, »e programy napisane wScilabie s¡ wolniejsze od tych napisanych w C (ale program w C wymaga 50razy wi¦cej czasu na napisanie i dopracowanie). Z drugiej strony, w aplikac-jach gdzie ilo±¢ zmiennych jest szczególnie istotna (na przykªad macierz 1000x 1000) lepiej powróci¢ do j¦zyka kompilowanego. Istotnym punktem wpªywa-j¡cym na szybko±¢ wykonania jest konieczno±¢ stosowania maksymalnie cz¦stoinstrukcji prostych i instrukcji macierzowych (oznacza to ograniczenie do min-imum ilo±ci p¦tli)1. W efekcie Scilab odwoªuje si¦ tak»e do skompilowanychfunkcji (fortran) dzi¦ki czemu interpreter ma mniej pracy (pracuje mniej). Dlawykorzystania najlepszego z tych dwóch modeli (to znaczy szybko±ci j¦zykakompilowanego i wygody ±rodowiska takiego jak Scilab), u»ytkownik ma mo»li-wo±¢ wywoªywania podprogramów w fortranie(77) lub C.
3.1 P¦tle
W Scilabie mamy mo»liwo±¢ u»ycia jednej z dwóch petli: for oraz while.
1patrz równie»: sekcja �Kilka uwag dotycz¡cych szybko±ci
33
3.1.1 P¦tla for
P¦tla for sªu»y do powtarzania pewnego ci¡gu instrukcji; zmienna staruj¡cap¦tli przyjmuje kolejne warto±ci wektora liniowego
-->v=[1 -1 1 -1]-->y=0; for k=v, y=y+k, end
Ilo±¢ iteracji (powtórze«) okre±lona jest przez ilo±¢ skªadników wektora; w i-tej iteracji warto±¢ k jest równa v(i). Opisowo p¦tle for przedstwi¢ mo»nanast¦puj¡co
dla i := istart a» do iend z krokiem istep powtarzaj :instrukcje
koniec powtarzaj
Jako wektora mo»na u»y¢ wyra»enia i_start:i_step:i_end; je±li przyrost iStepma warto±¢ 1 to jak widzieli±my wcze±niej mo»e zosta¢ pomini¦ty. Przedstaw-iona wcze±niej jako przykªad p¦tla for mo»e zosta¢ tak»e napisana w bardziejnaturalny sposób
-->y=0; for i=1:4, y=y+v(i), end
Kilka uwag:
� Zmienna steruj¡ca mo»e tak»e przyjmowa¢ warto±ci pochodz¡ce z macierzy.W takim przypadku ilo±¢ iteracji równa jest ilo±ci kolumn macierzy, a zmi-enna steruj¡ca w i-tym przebiegu p¦tli jest równa i-tej kolumnie macierzy
-->A=rand(3,3);y=zeros(3,1); for k=A, y = y + k, end
� Dokªadna skªadnia instrukcji for wygl¡da nast¦puj¡co
for zmienna = macierz, ciag instrukcji, end
gdzie instrukcje oddzielone s¡ od siebie przecinkiem (lub ±rednikiem je±linie chcemy widzie¢ na ekranie rezultatów wykonania instrukcji). Poniewa»lista zmiennych rozdzielonych przecinkiem równowa»na jest takiej samejli±cie rozdzielonej spacjami, dlatego w skryptach lub funkcjach cz¦±ciej sto-suje si¦ wygodniejszy (bardziej czytelny) zapis:
for zmienna = macierzinstrukcja1instrukcja2...........instrukcjan
end
gdzie instrukcja mo»e ko«czy¢ si¦ ±rednikiem (b¦dzie tak zawsze jesli chcemyunikn¡¢ pojawiania si¦ rezultaów instrukcji na ekranie)2.
3.1.2 P¦tla while
P¦tla while pozwala na powtarzanie ci¡gu instrukcji tak dªugo dopóki prawdziwyjest pewnien warunek:
-->x=1 ; while x<14,x=2*x, end
Zadaj¡c warunek mo»emy wykorzysta¢ nast¦puj¡ce operatory porównania:
== równe< mniejsze> wi¦ksze<= mniejsze lub równe>= wi¦ksze lub równe
~= lub <> ró»ne
2dziaªa to jedynie dla skryptów poniewa» w funkcji, wynik dowolnej instrukcji nie jest wy±wietlany nawet je±li nie jestono zako«czona ±rednikiem ; to (domy±lne) zachowanie mo»na zmody�kowa¢ za pomoc¡ instrukcji mode
34
Scilab posiada wbudowany typ logiczny, w którym dla oznaczenia prawdy sto-suje si¦ symbole %t lub %T za± faªszu %f lub %F. Mo»na oczywi±cie zde�niowa¢macierz lub wektor zªo»ony z warto±ci logicznych. Dost¦pne s¡ nast¦puj¡ceoperatory logiczne :
& et| ou~ non
Formalna skªadnia p¦tli while przedstawia si¦ jak poni»ej
while warunek, instrukcja_1, ... ,instrukcja_N , end
lub (cz¦sto w przypadku skryptu lub funkcji):
while warunekinstrukcja_1.............instrukcja_N
end
gdzie ka»da instrukcja_k mo»e zosta¢ zako«czona ±rednikiem, warunek za± jestwyra»eniem zwracaj¡cym warto±¢ logiczn¡.
3.2 Instrukcja warunkowa
S¡ dwie instrukcje steruj¡ce przebiegiem wykonania programu: if-then-elseoraz select-case.
3.2.1 Instrukcja if-then-else
Spójrzmy na przykªad poni»ej :
-->if x>0 then, y=-x,else,y=x,end // zmienna x powinna zostac wczesniej zdefiniowana
Podobnie jak to miaªo miejsce dla instrukcji p¦tli przecinki nie s¡ znakamiobowi¡zkowymi. Jak w wi¦kszo±ci spotykaych j¦zyków programowania, wprzypadku gdy nie podejmujemy »adnego dziaªania zwi¡zanego z niespeªnie-niem warunku, mo»emy cz¦±¢ else pomina¢. W przypadku gdy cz¦±¢ elsezawiera¢ by miaªa kolejn¡ instrukcj¦ if-then-else zamiast ciagu else oraz ifmo»na u»y¢ elseif co prowadzi do ogólnego schematu tej instrukcji
if warunek1 thenciag instrukcji wykonywanychgdy spelniony jest warunek1
elseif warunek2 thenciag instrukcji wykonywanychgdy spelniony jest warunek2
...
elseif warunekN thenciag instrukcji wykonywanychgdy spelniony jest warunekN
elseciag instrukcji wykonywanychgdy nie jest spelniony zadenz warunków od 1 do N
end
35
Podobnie jak dla instrukcji while warunek jest wyra»eniem zwracaj¡cym warto±¢logiczn¡.
3.2.2 Instrukcja select-case (*)
Spójrzmy na przykªad poni»ej (prosz¦ sprawdzi¢ jego dziaªanie dla ró»nychwarto±ci zmiennej num)3
-->num = 1, select num, case 1, y = 'przypadek 1', case 2, y = 'przypadek 2',...-->else, y = 'inne przypadki ', end
który w skrypcie lub funkcji przyjmie raczej posta¢
// zakladamy, ze zmienna num zostala dobrze okreslonaselect numcase 1 y = 'przypadek 1'case 2 y = 'przypadek 2'else y = 'inne przypadki'end
Scilab sukcesywnie porównuje warto±¢ zmiennej num z mo»liwymi warto±ciamprzypadków (1, potem 2). Je±li zajdzie równo±¢, wykonywane s¡ instrukcj¦pocz¡wszy od case równego zmiennej num a» do ko«ca instrukcji select-case.Przekazanie sterowania do nieobowi¡zkowej gaª¦¹i else ma miejsce w sytuacjigdy nie powiod¡ si¦ wszystkie wcze±niejsze testy. Formalnie instrukcja taprzedstawia si¦ nast¦puj¡co
select zmienna_testjacacase wyrazenie_1
ciag instrukcji wykonywany gdyzmienna_testujaca równa jest wyrazeniu_1
...
case wyrazenieNciag instrukcji wykonywany gdyzmienna_testujaca rowna jest wyrazeniu_N
elseciag instrukcji wykonywany gdyzmienna_testujaca nie jest równa zadnemuz wyrazen od 1 do N
end
gdzie wyrazenie_i jest wyra»eniem zwracaj¡cym warto±¢, która mo»e zosta¢porównana ze zmienna_testujaca. Konstrukcja select-case równowa»na jestnast¦puj¡cej konstrukcji if-then-else
if zmienna_testujaca == wyrazenie_1 thenciag instrukcji wykonywany gdyzmienna_testujaca rowna jest wyrazeniu_1
...
elseif zmienna_testujaca = wyrazenie_N thenciag instrukcji wykonywany gdyzmienna_testujaca rowna jest wyrazeniu_N
elseciag instrukcji wykonywany gdy
3Zmienna y jest ªa«cuchem znaków � patrz kolejny rozdziaª.
36
nie jest spelniony zaden z powyzszychwarunków
end
3.3 Inne rodzaje zmiennych
Do tej pory u»ywali±my zmiennych b¦d¡cych macierzami (wektorami, skalarami)zªo»onymi z warto±ci typu rzeczywistego, zespolonego lub logicznego. Oprócznich mamy równie» do dyspozycji zmienne reprezentuj¡ce ªa«cuchy znakóworaz listy.
3.3.1 �a«cuchy znaków
Wprzykªadzie dotycz¡cym konstrukcji select-case zmienna y jest typu ªa«cuchznaków. W Scilabie ªa«cuchy znaków ograniczane s¡ za pomoc¡ znaku apos-trofu lub cudzysªowu (je±li chcemy który± z tych znaków wykorzysta¢ w takimªa«cuchu, to nale»y napisa¢ go dwukrotnie). Aby przypisa¢ zmiennej czy_to_prawdawarto±¢
Czy Scilab jest "cool" ?
nale»y napisa¢
-->czy_to_prawda = "Czy Scilab jest ""cool"" ?"
lub równowa»nie
-->czy_to_prawda = 'Czy Scilab jest ""cool"" ?'
Mo»na tak»e zde�niowa¢ macierz zªo»on¡ z ªa«cuchów znaków
-->M = ["a" "bc" "def"]M =!a bc def !
-->size(M) // w celu otrzymania wymiarów skladowychans =! 1. 3. !
-->length(M)ans =! 1. 2. 3. !
Zauwa»my, »e w tym przypadku length nie zachowuje si¦ tak samo jak dlamacierzy liczbowej. Zwraca bowiem jako wynik macierz o takim samym wymi-arze jak M, w której wspóªczynnik okre±lony przez wspóªrz¦dne (i; j) równy jestco do warto±ci ilo±ci znaków w ªa«cuchu na pozycji (i; j).Do ª¡czenia (konkatenacji) ªa«cuchów u»ywamy operatora +
-->s1 = 'abc'; s2 = 'def'; s = s1 + s2s =abcdef
podci¡g wydobywamy za± (operacja extrakcja) przy pomocy funkcji part
-->part(s,3)ans =c
-->part(s,3:4)ans =cd
37
Drugim argumentem funkcji part jest wektor okre±laj¡cy indeksy znaków jakiemamy wydoby¢ z ªa«cucha.
3.3.2 Listy (*)
Lista jest uporz¡dkowanym zbiorem obiektów Scilaba (macierzy i skalarówrzeczywistych, zespolonych czy te» zªo»onych z ª¡«cuchów znaków, warto±cilogicznych, funkcji, list, . . . ; ka»demu elementowi przypisuje si¦ numer). Dost¦pnes¡ dwa rodzaje list: �zwykªe� i �typowane�. Oto przykªad listy zwykªej :
-->L=list(rand(2,2),["To jest jekis" " lancuch..."],[%t ; %f])L =
L(1)
! 0.2113249 0.0002211 !! 0.7560439 0.3303271 !
L(2)
!To jest jakis lancuch... !
L(3)
! T !! F !
W ten oto sposób zde�niowali±my list¦, w której pierwszy element jest macierz¡o wymiarze (2; 2), drugi wektorem ªa«cuchów znakowych a trzeci wektorem oskªadnikach logicznych. Oto kilka podstawowych operacji na listach
-->M = L(1) // extrakcja (wydobycie) pierwszego skladnikaM =
! 0.2113249 0.0002211 !! 0.7560439 0.3303271 !
-->L(1)(2,2) = 100; // modyfikowanie pierwszego skladnika
-->L(1)ans =
! 0.2113249 0.0002211 !! 0.7560439 100. !
-->L(2)(4) = " znakow !"; // modyfikacja drugiego skladnika
-->L(2)ans =
!To jest jakis lancuch... znakow ! !
-->L(4)="Aby dodac czwarty skladnik"
38
L =
L(1)
! 0.2113249 0.0002211 !! 0.7560439 100. !
L(2)
!To jest jakis lancuch... znakow ! !
L(3)
! T !! F !
L(4)
Aby dodac czwarty skladnik
-->size(L) // ile elementow ma listaans =
4.
-->length(L) // idem (tutu?)ans =
4.
-->L(2) = null() // usuniecie drugiego elementuL =
L(1)
! 0.2113249 0.0002211 !! 0.7560439 100. !
L(2)
! T !! F !
L(3)
Aby dodac czwarty skladnik
-->Lbis=list(1,1:3) // definicja innej listyLbis =
39
Lbis(1)
1.
Lbis(2)
! 1. 2. 3. !
-->L(3) = Lbis // 3 skladnik L jest teraz listaL =
L(1)
! 0.2113249 0.0002211 !! 0.7560439 100. !
L(2)
! T !! F !
L(3)
L(3)(1)
1.
L(3)(2)
! 1. 2. 3. !
Przejd¹my do list typowanych. W listach tego typu pierwszy element jestªa«cuchem okre±laj¡cym typ elementów listy (tutu co pozwala zde�niowa¢nowy typ danych a nast¦pnie operatory dla tego typu), kolejne elementy mog¡by¢ dowolnymi obiektami Scilaba. Pierwszy element mo»e tak»e by¢ wek-torem zªo»onym z ªa«cuchów znaków; pierwszy okre±la typ elementów listy,pozostaªe za± mog¡ sªu»y¢ jako indeksy elementów listy (w miejsce ich nu-merów na li±cie). Rozwa»my nast¦pujacy przykªad: chcemy reprezentowa¢wielo±cian (w którym wszystkie ±ciany maj¡ identyczn¡ ilo±¢ kraw¦dzi). Wtym celu przechowujemy w macierzy wspóªrz¦dne wszystkich wierzchoªków (owymiarze (3, ilo±¢ wierzchoªków)) do której odwoªywa¢ si¦ b¦dziemy u»ywaj¡cciagu coord. Nast¦pnie de�niujemy macierz (o wymiarze (ilo±¢ wierzchoªkówna ±cian¦, ilo±¢ ±cian)) okre±laj¡c¡ zwi¡zek pomi¦dzy ±cian¡ a wierzchoªkami:dla ka»dej sciany podajemy numery wierzchoªków j¡ opisuj¡cych w kolejno±cizgodnej z reguª¡ korkoci¡gu dla zewn¦trznego wektora normalnego. Do tejlisty odwoªywa¢ si¦ b¦dziemy pisz¡c fence. Dla sze±cianu (porównaj rysunej3.1) b¦dzie to wygl¡daªo jak poni»ej
P=[ 0 0 1 1 0 0 1 1;... // wspolrzedne wierzcholkow
40
Rysunek 3.1: Numéros des sommets du cube
0 1 1 0 0 1 1 0;...0 0 0 0 1 1 1 1];
connect = [1 5 3 2 1 1;... // zaleznosci pomiedzy wierzcholkami i scianami2 8 7 6 5 4;...3 7 8 7 6 8;...4 6 4 3 2 5];
Pozostaje zde�niowa¢ list¦ typowan¡, która zawiera¢ b¦dzie wszystkie infor-macje o sze±cianie
-->Cube = tlist(["polyedre","coord","fence"],P,connect)Cube =
Cube(1)
!polyedre coord fence !
Cube(2)
! 0. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. !! 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. !! 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 1. !
Cube(3)
! 1. 5. 3. 2. 1. 1. !! 2. 8. 7. 6. 5. 4. !! 3. 7. 8. 7. 6. 8. !! 4. 6. 4. 3. 2. 5. !
W celu wskazania pewnego elementu z wykorzystniem jego numeru, mo»nawykorzysta¢ odpowiadaj¡cy jemy ªa«cuch znaków:
-->Cube.coord(:,2) // lub inaczej Cube("coord")(:,2)ans =
! 0. !! 1. !! 0. !
-->Cube.fence(:,1)ans =
! 1. !! 2. !! 3. !! 4. !
Pomijaj¡c te szczególne mo»liwo±ci, listami typowanymi manipuluje si¦ taksamo jak innymi. Ich zalet¡ jest mo»liwo±¢ samodzielnego zde�niowania (i.e.przupisania) operatorów +, -, *, / itd. na tli¢ie typu danych (porównaj przyszª¡
41
wersj¦ tej dokumentacji, albo dokumentacje zamieszczon¡ w sieci na domowejstronie Scilaba.
3.3.3 Niektóre wyra»enia z wektorami i macierzami typu logiczego (boolen)
Typ boolowski (u»ywany do reprezentacji warto±ci logicznych typu prawda ifaªsz) okazuje si¦ cz¦sto przydatny ze wzgl¦dów praktycznych podczas ma-nipuowania macierzami. Gdy porównujemy dwie macierze tego samego wymi-aru za pomoc¡ jednego z operatorów porównania (<, >, <=, >=,==, ~=) jakowynik otrzymujemy macierz o warto±ciach logicznych, równie» tego samegoformatu, której zawarto±¢ jest wynikiem porównania element po elemencieodpowiadaj¡cych sobie elementów porównywanych macierzy
-->A = rand(2,3)A =! 0.2113249 0.0002211 0.6653811 !! 0.7560439 0.3303271 0.6283918 !
-->B = rand(2,3)B =! 0.8497452 0.8782165 0.5608486 !! 0.6857310 0.0683740 0.6623569 !
-->A < Bans =! T T F !! F F T !
Je±li natomiast porównujemy macierz z liczb¡, a wi¦c A<s gdzie s jest skalaremto faktycznie dokonujemy porównania A<s*one(A)
-->A < 0.5ans =! T T F !! F T F !
Operatory logiczne równie» stosuje si¦ dla macierzy na zasadzie element poelemencie
-->b1 = [%t %f %t]b1 =! T F T !
-->b2 = [%f %f %t]b2 =! F F T !
-->b1 & b2ans =! F F T !
-->b1 | b2ans =! T F T !
-->~b1ans =
42
! F T F !
Ponadto istniej¡ dwie przydatne funkcje pozwalaj¡ce dokona¢ wektoryzacjitestu
1. Funkcja bool2s przeksztaªca macierz boolowsk¡ w macierz o takich samychwymiarach zamieniaj¡c warto±¢ logiczna prawda na 1, faªsz za± na 0
-->bool2s(b1)ans =
! 1. 0. 1. !
2. Funkcja find zwraca wspóªrz¦dne warto±ci prawda w macierzy boolowskiej
-->v = rand(1,5)v =
! 0.5664249 0.4826472 0.3321719 0.5935095 0.5015342 !
-->find(v < 0.5) // v < 0.5 daje wektor boolowskians =
! 2. 3. !
Stosowanie tych funkcji jest dosy¢ kosztowne czasowo (porównaj Kilka uwagzwi¡zanych z szybko±ci¡ wykonania). Funkcje and oraz or oznaczaj¡ce odpowied-nio iloczyn logiczny (i) oraz sum¦ logiczn¡ (lub) wszystkich elementów macierzyboolowskiej daj¡c w efekcie jedn¡ warto±¢ logiczn¡. Funkcje to mog¡ przyj-mowa¢ dodatkowy argument okre±laj¡cy czy odpowiednie dziaªanie logicznema zosta¢ wykonane na wierszach czy kolumnach macierzy.
3.4 Funkcje
W celu zde�niowania funkcji w Scilabie, najbardziej odpowiedni¡ metod¡ jestzapisanie jej w utworzonym pliku; b¦dzie mo»na do niego dopisywa¢ kolejnefunkcje grupuj¡c na przykªad te zwi¡zane z tym samym czy podobnym zagad-nieniem czy aplikacj¡. Ka»da funkcja powinna rozpoczyna¢ si¦ w nast¦puj¡cysposób
function [y1,y2,y3,...,yn]=nazwa_funkcji(x1,....,xm)
gdzie xi s¡ argumentami funkcji, natomiast yi warto±ciami przez ni¡ zwracanymi.Dalej wyst¦puje ciaªo funkcji czyli wszystkie instrukcjie niezb¦dne do wykona-nia przez funkcj¦ okre±lonego zadania. Funkcja powinna ko«czyc si¦ sªowemkluczowym endfunction. Oto pierwszy przykªad
function [y] = silnia1(n)// silnia; zakladamy, ze n jest liczba naturalnay = prod(1:n)
endfunction
Zaªó»my, »e powy»sz¡ funkcj¦ zapisali±my w pliku o nazwie silnia1.sci4. Abymo»na z niej korzysta¢ w Scilabie nale»y j¡ najpierw wczyta¢
getf("silnia1.sci") // lub inaczej exec("silnia1.sci")
Mo»na tego dokona¢ tak»e z menu File operations tak jak dla skryptów.Dopiero teraz mo»emy u»y¢ zde�niowanych w danym pliku funkcji, zarównow �samodzielnych� poleceniach jak i w skryptach czy innych funkcjach.
-->m = silnia1(5)m =
120.
4Tradycyjnie plik zawieraj¡cy funkcj¦ posiada rozszerznie .sci natomiast skrypt .sce
43
-->n1=2; n2 =3; silnia1(n2)ans =
6.
-->silnia1(n1*n2)ans =
720.
Zanim przejdziemy do kolejnych przykªadów musimy ustali¢ jeszcze pewn¡ ter-minologi¦. Argumenty wyj±ciowe (yi) oraz argumenty wej±ciowe (xi) nazywa¢b¦dziemy argumentami formalnymi. U»ywaj¡c funkcji na przykªad w skrypcieczy w innej funkcji
arg_s = silnia1(arg_e)
u»yte argumenty (argsorazarge)nazywabdzimyargumentamiefektywnymi:Itakwpierwszymprzykadzieargumentemwejciowymjeststaaowartoci5; wdrugimzmiennan2; natomiastwtrzecimwyraenien1 � n2:P rzejciepomidzyargumentamiefektywnymiiformalnymi(conazywamyrwniepotoczniezamianparametr)mosieodbywanawielesposob(porwnajnastpnyparagrafdla)tutuLacorrespondanceentreargumentseffectifsetformels(cequel0onappellecourammentpassagedesparamtres)peutsefairedediversesmanires(cfprochainparagraphepourquelquesprcisionsencequiconcerneScilab):Drugi przykªad pokazuje funkcj¦ znajduj¡c¡ pierwiastki trójmianu kwadra-towego
function [x1,x2] = trinom(a, b, c)// oblicza pierwiastki trojmianu kwadratowego postaci x^2 + b x + c = 0// a, b oraz c musza byc liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi roznymi od zeradelta = b^2 - 4*a*cx1 = (-b - sqrt(delta))/(2*a)x2 = (-b + sqrt(delta))/(2*a)
endfunction
Oto wyniki trzech prób jej u»ycia
-->[r1, r2] = trinom(1,2,1)r2 =- 1.r1 =- 1.
-->[r1, r2] = trinom(1,0,1)r2 =
ir1 =- i
-->trinom(1,0,1) // wywo\l{}anie bez tutuans =- i
Zauwa»my, »e w trzecim przypadku nie widzimy drugiego z pierwiastków. Jestto normalne zachowanie w sytuacji gdy funkcja zwraca wi¦cej ni» jedn¡ warto±¢i nie zostan¡ one przypisane do zmiennych (tak jak ma to miejsce w drugimprzypadku). W takiej sytuacji Scilab wykorzystuje domy±ln¡ zmienn¡ ans abyprzechowywa¢ wynik; ans b¦dzie przyjmowaªo kolejene zwracane warto±ci abyostatecznie przyj¡¢ warto±¢ równ¡ tej zwróconej jako ostaniej.Teraz trzeci przykªad. Nale»y rozwin¡¢ w punkcie t wielomian zapisany wbazie Newtona (Uwaga: Dla xi = 0 otrzymujemy baz¦ kanoniczn¡.)
p(t) = c1 + c2(t� x1) + c3(t� x1)(t� x2) + : : :+ cn(t� x1) : : : (t� xn�1):
U»ywaj¡c rozkªadu na czynniki pierwsze i wykonuj¡c obliczenia od prawej dolewej (tutaj dla n = 4)
p(t) = c1 + (t� x1)(c2 + (t� x2)(c3 + (t� x3)(c4)));
44
otrzymujemy algorytm Hornera
(1) p := c4
(2) p := c3 + (t� x3)p
(3) p := c2 + (t� x2)p
(4) p := c1 + (t� x1)p.
Uogólniaj¡c to na dowolne n otrzymujemy nast¦puj¡c¡ funkcj¦ Scilaba
function [p]=myhorner(t,x,c)// rozwija wielomian c(1) + c(2)*(t-x(1)) + c(3)*(t-x(1))*(t-x(2)) +// ... + c(n)*(t-x(1))*...*(t-x(n-1))// zgodnie z algorytmem Horneran=length(c)p=c(n)for k=n-1:-1:1
p=c(k)+(t-x(k))*pend
endfunction
Je±li wektory coef, xx, tt zostaªy dobrze okre±lone instrukcja
val = myhorner(tt,xx,coef)
spowoduje przypisanie do val warto±ci równej
coef1 + coef2(tt� xx1) + � � �+ coefm
m�1Yi=1
(tt� xxi)
Maªe przypomnienie: instrukcja length zwraca iloczyn dwóch wymiarów macierzydaj¡c liczb¦ elementów co w przypadku wektora (kolumnowego lub wier-szowego) równowa»ne jest jego dªugo±ci. Instrukcja ta, wraz z instrukcj¡ sizezwracaj¡c¡ ilo±¢ wierszy i ilo±¢ kolumn, pozwala zrezygnowa¢ z przekazywaniado funkcji informacji o wymiarze przekazywanych obiektów.
3.4.1 Przekazywanie parametrów (*)
Przekazywanie parametrów odbywa si¦ przez referencj¦ je±li parametr ten niejest mody�kowany przez funkcj¦, w przeciwnym przypadku przez warto±¢5.Mo»na je wyko»ysta¢ (uwzgl¦dnia¢) w celu przyspieszenia pewnych funkcji.Poni»ej przedstawiamy sztuczny, ale dobrze ilustruj¡cy zagadnienie, przykªadukazuj¡cy koszt zwi¡zany z przekazywaniem parametrów przez warto±¢.
function [w] = toto(v, k)w = 2*v(k)
endfunction
function [w] = titi(v, k)v(k) = 2*v(k)w = v(k)
endfunction
// skrypt testujacym = 200000;il_powtorzen = 2000;x = rand(m,1);
5Przez warto±¢ czyli we wn¦trzu funkcji pracujemy na kopii przekazywanego argumentu. Przez referencj¦ czyli wewn¦trzu funkcji pracujemy na oryginalnym argumecie. (przyp. tªum.)
45
timer(); for i=1:nb_rep; y = toto(x,300); end; t1=timer()/il_powtorzentimer(); for i=1:nb_rep; y = titi(x,300); end; t2=timer()/il_powtorzen
Otrzymane wyniki b¦d¡ ró»niªy si¦ w zale»no±ci od maszyny na jakiej dziaªaScilab; my otrzymali±my
t1 = 0.00002t2 = 0.00380
Wraz z zako«czeniem funkcji destrukcji ulegaj¡ wszystkie jej zmienne wewn¦trzne.
3.4.2 Wy±wietlanie funkcji
Podczas debugowania funkcji przydatna okazuje si¦ funkcja disp(v1, v2, ...)pozwalaj¡ca wy±wietli¢ warto±ci zmiennych v1, v2, . . . Nale»y mie¢ na uwadze,»e funkcja disp wyswietla warto±ci swoich argumentów w odwrotnej kolejno±ci.W celu chwilowego wstrzymania wykonania programu u»y¢ mo»na funkcjipause; po jej napotkaniu mamy mo»liwo±¢ sprawdzenia warto±ci wszystkichzde�niowanych do tej pory zmiennych. Polecenie resume powoduje wznowie-nie przebiegu oblicze«.Istnieje tak»e inny sposób wskazywania miejsca wstrzymania programu (takzwany break point, ang.) ni» dodawanie instrukcji pause
setbpt(nazwafunkcji[; numerlinii])Argumentem funkcji setbpt jest nazwafunkcji; ktramabywstrzymywanaorazopcjonalnynumerwiersza; wktrymmatonastpi(domylnwartocijest1):PonapotkaniuprzezScilabawskazanegomiejscazatrzymania; dalejwszystkoodbywasitakjakgdybyzastosowanoinstrukcjpausepoinstrukcjiwskazanejprzeznumerlinii:Punktzatrzymaniamoezostausunityprzez� delbpt(nazwafunkcji[; numerlinii]) Je±li nie zostanie wskazana »adna linia, wszystkiepunkty zatrzymania zostan¡ usuni¦te. Zde�niowane do tej pory punkty zatrzymania mo»nazobaczyc korzystaj¡c z dispbpt (). Oto przykªad zwi¡zany z wcze±niej zde�niowan¡ funcj¡trinom (patrz strona 42). Zaªó»my, »e wczytali±my uprzednio t¡ funkcj¦ czy to za pomoc¡
funkcji getf czy te» exec.
-->setbpt("trinom") // pierwszy punkt zatrzymania
-->[r1,r2] = trinom(1,2,7) // rozpoczynamy obliczenia => zatrzymanie
Stop after row 1 in function trinom :
-1->a // sprawdzamy wartosci zmiennych
a =
1.
-1->b
b =
2.
-1->dispbpt() // sprawdzamy punkty zatrzymania
breakpoints of function :trinom
1
-1->setbpt("trinom",5) // dodajemy kolejny punkt zatrzymania
-1->x1 // x1 nie zostal jeszcze zdefiniowany
x1
!--error 4
undefined variable : x1
-1->resume // wznawiamy wykonanie az do nastepnego punktu zatrzymania
Stop after row 5 in function trinom :
-1->x1 // teraz mozemy sprawdzic jaka wartosc ma x1
x1 =
- 1. - 2.4494897i
-1->x2 // x2 nie zostal jeszcze zdefiniowany (nastapi to dopiero w linii 6)
46
x2
!--error 4
undefined variable : x2
-1->dispbpt() // sprawdzamy punkty zatrzymania
breakpoints of function :trinom
1
5
-1->resume // wznawiamy wykonanie funkcji
r2 =
- 1. + 2.4494897i
r1 =
- 1. - 2.4494897i
-->delbpt("trinom") // usuwamy wszystkie punkty zatrzymania
47
3.4.3 Instrukcja break
Instrukcja break pozwala przerwa¢ obliczenia wewn¡trz p¦tli for lub while i przekaza¢sterowanie przebiegiem wykonanie do pierwszej instrukcji wyst¦puj¡cej po p¦tli.
Wykorzysta¢ j¡ mo»na do �zasymulowania� niedost¦pnej standardowo a znanej cho¢by zPascala p¦tli repeat-until czy odpowiadaj¡cej jej w j¦zyku C p¦tli do-while czy te»przerwania oblicze« w sytuacji gdy nie ma mo»liwo±ci ich dalszego kontynowania (na
przykªad zerowy pierwszy elemnent na przk¡tnej w metodzie Gaussa). Zaªó»my, »e chcemymie¢ p¦tle, w której warunek wyj±cia testowany jest na ko«cu
powtarzajciag instrukcji
dopoki spelniony jest warunek
W Scilabie mo»na zrealizowa¢ to w nast¦puj¡cy sposób
while %t // poczatek petliciag instrukcjiif warunek then, break, end
end
S¡ sytuacje gdy u»ycie instrukcji break jest bardzo naturalne i prowadzi do czytelnych izwartych rozwi¡za«. Jako przykªad rozwa»my poszukiwanie w ªa«cuchu znaków sªowaropoczynaj¡cego si¦ na zadan¡ liter¦ l. W tym celu napiszemy funkcj¦ (zwracaj¡c¡ 0 w
przypadku gdy »aden z wyrazów nie rozpoczyna si¦ od zadanej litery) u»ywaj¡c p¦tli while inie korzystaj¡c z instrukcji break
function ind = znajdz(v,l)n = max(size(v))i = 1succes = %fwhile ~succes & (i <= n)
succes = part(v(i),1) == li = i + 1
endif succes then
ind = i-1else
ind = 0end
endfunction
Wykorzystanie instrukcji break prowadzi do bardziej naturalnego rozwi¡zania
function ind = znajdz(v,l)n = max(size(v))ind = 0for i=1:n
if part(v(i),1) == l thenind = ibreak
endend
endfunction
48
Uwaga: Powy»ej zastosowano funkcj¦ size zamiast odpowiedniejszej dla macierzy zªo»onychz ªa«cuchów znaków funkcji length6 (przypominamy, »e length zwraca macierz której
warto±ci wspóªczynników okre±laj¡ ilo±¢ znaków w adpowiadaj¡cym ªa«cuchu).
3.4.4 Kilka przydatnych dla funkcji prymitywów
Poza funkcjami length i size pozwalaj¡cymi otrzyma¢ wymiary przekazanych zmiennych,pause, resume, disp dzieki którym mo»emy debugowa¢ program dost¦pnych jest jeszcze
kilka u»ytecznych funkcji jak error, warning, arg czy te» type, czy typeof.
Funkcja error
Funkcja error przerywa natychmiast wykonanie funkcji wy±wietlaj¡c przy tym odpowiednikomunikat. Oto funkcja obliczaj¡ca n! i sprawdzaj¡ca, czy n 2 N
function [f] = silnia2(n)// oblicza silnie dla liczby naturalnejif (n - floor(n) ~=0) | n<0 then
error('Blad w funkcji silnia2 : argument musi byc liczba naturalna')endf = prod(1:n)
endfunction
oraz rezultaty jej wykonania
-->silnia2(3)ans =
6.
-->silnia2(0.56)
!--error 10000 Blad w funkcji silnia2 : argument musi byc liczba naturalnaat line 6 of function silnia2 called by : silnia2(0.56)
Funkcja warning
Funkcja warning pozwala wy±wietli¢ pewien komunikat ostrzegawczy, ale nie przerywawykonywanych operacji
function [f] = silnia3(n)// oblicza silnie dla liczby naturalnejif (n - floor(n) ~=0) | n<0 then
n = floor(abs(n))warning('Przekazany argument nie jest liczba naturalna: obliczenia kontynuowane dla'+sprintf("%d",n)+"!")
endf = prod(1:n)
endfunction
. . . i efekt wykonania
-->fact3(-4.6)WARNING:Przekazany argument nie jest liczba naturalna: obliczenia kontynuowane dla 4!ans =
24.6Je±li chcemy aby nasza funkcji mogªa poprawnie dziaªa¢ niezale»nie od tego czy v jest w postaci wiersza czy kolumny
nie nale»y u»ywa¢ konstrukcji size(v,'r') lub size(v,'l') ale zastosowan¡ wªa±nie max(size(v)).
49
typ zmiennej v type(v) typeof(v)
macierz zmiennych rzeczywistych lub zespolonych 1 constantmacierz boolowska 4 boolean
macierz ªa«cuchów znakowych 10 stringlista 15 list
lista typowana 16 typ listyfunkcja 13 function
Tablica 3.1:
Podobnie jak dla funkcji error tak i dla funkcji warning jedynym argumentem jest ªa«cuchznaków. W powy»szym przykªadzie u»yto operatora + do ª¡czenia ªa«cuchów, z których
jeden jest otrzymany w wyniku dziaªania funkcji sprintf pozwalaj¡cej przeksztaªci¢ liczby wodpowiadaj¡cy im ªa«cuch znaków zale»ny od wyspecy�kowanego formatu.
Funkcja type et typeof
Funkcje te pozwalaj¡ pozna¢ typ zmiennej. type zwraca warto±¢ liczbow¡ okre±laj¡c¡ typdanej, natomiast typeof ªa«cuch znaków. Tabela 3.1 zawiera odpowiednie warto±ci dla
poznanych rodzajówzmiennych. Jako przykªad wykorzystania tych funkcji podamy funkcj¦ licz¡c¡ silnie, która
posiada pewne zabezpieczenia na wypadek podania zmiennej nieodpowiedniego typu
function [f] = silnia4(n)
// funkcja silnia bardziej ,,opancerzona''
if type(n) ~= 1 then
error("Blad w funkcji silnia4: podano argument nieodpowiedniego typu...")
end
[nl,nc]=size(n)
if (nl ~= 1) | (nc ~= 1) then
error("Blad w funkcji silnia4: argument nie moze byc macierza...")
end
if (n - floor(n) ~=0) | n<0 then
n = floor(abs(n))
warning('Przekazany argument nie jest liczba naturalna: obliczenia kontynuowane dla'+sprintf("%d",n)+"!")
end
f = prod(1:n)
endfunction
Funkcja argn i opcjonalne argumety
Funkcja arg zwraca dwie liczby okre±laj¡ce ilo±¢ argumentów z jak¡ funkcj¦ wywoªano orazilo±¢ argumentów jakie zwraca. Wywoªanie przyjmuje posta¢
[lhs,rhs] = argn()
gdzie lhs (ang. left hend side) okre±la ilo±¢ zwracanych argumentów, rhs (ang. right hendside) okre±la ilo±¢ przyj¦tych efektywnie argumentów.
Poni»ej prezentujemy przykªad funkcji z jednym argumentem �klasycznym� oraz dowomaopcjonalnymi
function [y] = argopt(x, coefMult, coefAdd)
[lhs, rhs] = argn()
if rhs < 1 | rhs > 3 then
error("Nieprawidlowa ilosc argumentow")
end
50
if ~exists("coef_mult","local") then
coef_mult = 1
end
if ~exists("coef_add","local") then
coef_add = 0
end
y = coef_mult*x + coef_add
endfunction
Funkcja exists pozwala okre±li¢ czy argumentycoefmultorazcoefaddzostayokrelone7przyjejwywoaniuczynaleyprzypisaimpewnwartodomyln:Uzywajczapisuargumentformalny = argumentefektywnymonawywoywafuncjniedbajcokolejnoprzekazywanychargumentw
-->y1 = argopt(5)y1 =
5.
-->y2 = argopt(5, coef_add=10)y2 =
15.
-->y3 = argopt(5, coef_mult=2, coef_add=6)y3 =
16.
-->y4 = argopt(5, coef_add=6, coef_mult=2) // y4 powinno byc równe y3y4 =
16.
3.5 Ró»ne ró»no±ci
3.5.1 Dªugo±¢ identy�katorów
Identy�katory w Scilabie rozró»niane s¡ na podstawie pierwszych 24 liter
-->a234567890123456789012345 = 1a23456789012345678901234 =
1.
-->a234567890123456789012345a23456789012345678901234 =
1.
Oczywi±cie mo»na u»ywa¢ nazw dªu»szych, ale i tak pod uwag¦ branych jest pierwszych 24liter.
3.5.2 Priorytety operatorów
W Scilabie operatory zwi¡zane z dziaªaniami arytmetycznymi maj¡ wy»szy priorytet ni» oper-atory sªu»¡ce do porówna«. W tabeli 3.2 przedstawiono operatory arytmetyczne w kolejno±ciod najwy»szego do najni»szego priorytetu. Dla operatorów logicznych negacja (not) (�
7Dodatkowy argument local zaw¦»a zakres poszukiw« zmiennej do bie»¡cej funkcji.
51
'^ .^* .* / ./ \+ -
Tablica 3.2:
) ma wy»szy priorytet ni» i (and) (&), który z kolei ma wy»szy priorytet ni» lub (or) (|). Wczytaniu/zapisie bardziej zªo»onych wyra»e« mo»na pomóc sobie u»ywaj¡c dodatkowo naw-iasów i robi¡c spacje wokóª wyra»e«8. Wi¦cej szczegóªów mo»na znale¹¢ w Scilab Bags ofTricks.
Kilka uwag
1. Jak w wi¦kszo±ci j¦zyków, stosowanie unarnego operatora minus wymaga ostro»no±ci.Bª¦dny jest zapis
operand1 op - operand2
gdzie op jest pewnym operatorem. W takiej sytucji nale»y zastosowac nawiasy
operand1 operator (- operand2)
2. W wyra»eniach typu
operand1 op1 operand2 op2 operand3 op3 operand4
gdzie wszystkie operatory maj¡ ten sam priorytet obliczanie warto±ci wyra»enia odbywasi¦ na ogóª od lewej do prawej strony
{((operand1 op1 operand2) op2 operand3) op3 operand4}
Dla operatora pot¦gowania kolejno±¢ ta jest odwrotna; zapis a^b^c traktowany jest jaka^(b^c). Jest to zgodne z matematycznym zapisem takiego dziaªania ab
cktóre wªa±nie w
takiej kolejno±ci si¦ wykonuje.
3. Inaczej ni» w j¦zyku C obliczanie warto±ci wyra»e« boolowskich postaci a | b czy a & bpoprzedzone jest obliczeniem zarówno warto±ci wyra»enia a jak i b a dopiero potem wyko-nana zostanie na nich operacja sum czy iloczynu logicznego. St¡d te» poni»sze rozwi¡zaniewygeneruje bª¡d
while i>0 & temp < v(i)v(i+1) = v(i)i = i-1
end
przy próbie obliczenia drugiego wyra»enia (temp < v(i)) gdy» indeks wektora jest zawszeliczb¡ wi¦ksz¡ lub równ¡ 1.
3.5.3 Rekursja
O rekursji powiemy gdy funkcja b¦dzie wywoªywa¢ sam¡ siebie. Prosz¦ spojrze¢ na dwaponi»sze przykªady (s¡ to �standardowe� przykªady ilustruj¡ce rekursj¦; drugi z nich, skªad-niowo poprawny i dziaªaj¡cy, pokazuje wad¦ rozwi¡za« rekursywnych � dªugi czas oblicze« atak»e mo»liwo±¢ przepeªnienia stosu)
function f=silnia(n)
// silnia
if n <= 1 then
8Oczywi±cie nawiasy s¡ niezb¦dne je±li chcemy �zmieni¢� priorytet wyra»enia.
52
f = 1
else
f = n*silnia(n-1)
end
endfunction
function f=fib(n)
// oblicza n-ty wyraz ciagu Fibonnaciego:
// fib(0) = 1, fib(1) = 1, fib(n+2) = fib(n+1) + fib(n)
if n <= 1 then
f = 1
else
f = fib(n-1) + fib(n-2)
end
endfunction
3.5.4 Funkcja jest te» zmienn¡
Funkcja w Scilabie mo»e by¢ traktowana jak dowolna inna zmienna, w szczególno±ci mo»e sta¢si¦ ona argumentem innej funkcji. Przyjrzyjmy si¦ poni»szemu przykªadowi dwóch funkcji
function [y] = f(x)
y = sin(x).*exp(-abs(x))
endfunction
function dessine_fonction(a, b, fonction, n)
// n jest argumentem opcjonalnym o wartosci domyslnej 61
[lhs, rhs] = argn(0)
if rhs == 3 then
n = 61
end
x = linspace(a,b,n)
y = fonction(x)
plot(x,y)
endfunction
Po ich wczytaniu mo»emy wykona¢ nast¦puj¡ce polecenia
-->dessine_fonction(-2*%pi,2*%pi,f)-->dessine_fonction(-2*%pi,2*%pi,f,21)
Scilab, za pomoc¡ funkcji deff, oferuje mo»liwo±¢ bezpo±redniego de�niowania funkcji w±rodowisku (bez potrzeby zapisywania jej w pliku a nast¦pnie wczytywania przez funkcj¦ getf)
deff('[y1,y2,...]=nazwa_funkcji(x1,x2,....)',text)
gdzie text jest wektorem kolumnowym zªo»onym z ªa«cuchów znaków reprezentujacych kolejneinstrukcje
deff('[y]=f(x)','y = sin(x).*exp(-abs(x))')
Taka mo»liwo±¢ jest interesuj¡ca w wielu przypadkach.
1. W skrypcie wyko»ystujacym prost¡ funkcj¦ która musi by¢ do±¢ cz¦sto mody�kowana; wtym przypadku mo»na zde�niowa¢ funkcj¦ za pomoc¡ instrukcji deff w skrypcie, który nieprzeplata si¦ z innym plikiem, w którym funkcja jest zwycajnie zde�niowana; pocz¡wszyod wersji 2.6 mo»na de�niowa¢ funkcje w skrypcie wedlug zwycajnej skªadni,co jest praktyczniejsze ni» deff; w naszym skrypcie mo»na wiec napisa¢ funkcjena pocz¡tku tekstu:
53
// definicja funkcji wykorzystywanych w skrypciefunction....endfunctionfunction....endfunction// poczatek skryptu wlasciwego....
2. Pozwala ona na dynamczne de�niowanie pewnych partii kodu w oparciu oju» przeprowadzone dziaªania i/lub dodane nowe czy to z pliku, czy przezinterakcj¦ z u»ytkownikiem na przykªad przez okna dialogowe (patrz tak»efunkcje evstr oraz execstr).
3.5.5 Okna dialogowe
W przykªadzie z rodziaªu 2 widzieli±my wykorzystanie funkcji input pozwalaj¡cej na in-teraktywne pobranie pewnych danych od u»ytkownika. Funkcja disp pozwalaªa natomiastwyprowadzi¢ pewne informacje na ekran. W Scilabie dost¦pna jest grupa funkcji zwi¡zanychz oknami dialogowymi, menu, wyborem pliku: x_choices, x_choose, x_dialog, x_matrix,x_mdialog, x_message, xgetfile . Po szczegóªowe informacje z nimi zwi¡zane odsyªamy dopomocy (zawarte s¡ tam równie» odpowiednie przykªady).
3.5.6 Konwersja ªa«cucha znakowego do wyra»enia
Cz¦sto u»ytecznym okazuje si¦ mo»liwo±¢ ewaluacji wyra»enia podanego w postaci ªa«cuchaznaków (czyli napisu). Konwersji takiej dokona¢ mo»emy za pomoca funkcji evstr
-->c = "sqrt(3)/2"c =sqrt(3)/2
-->d = evstr(c)d =
0.8660254
W takim ªa«cuchu znaków mo»na u»ywa¢ zde�niowanych uprzenio zmiennych
-->a = 1;-->b=evstr("2 + a")b =
3.
Funkcja ta oczywi±cie mo»liwa jest tak»e do zastosowania w stosunku do macierzy zªo»onychz ªa«cuchów znaków9
-->evstr(["a" "2" ])ans =! 1. 2. !
-->evstr([" a + [1 2]" "[4 , 5]"])ans =! 2. 3. 4. 5. !
9A tak»e list, patrz help.
54
-->evstr(["""a""" """b"""]) // zamiana lancucha na lancuchans =!a b !
Istnieje tak»e funkcja, execstr, pozwalaj¡ca wykona¢ instrukc¦ Scilaba podan¡ w formieªa«cucha znaków
-->execstr("A=rand(2,2)")-->AA =! 0.2113249 0.0002211 !! 0.7560439 0.3303271 !
3.6 Czytanie i pisanie . . .
. . . z/do pliku lub okna Scilaba. Scilab posiada dwie rodziny wej±¢/wyj±¢. Powinno si¦ unika¢mieszania ze sob¡ obsªuguj¡cych je funkcji zwªaszcza gdy operacje te zwi¡zane s¡ z plikiem.
3.6.1 Wej±cie i wyj±cie w stylu Fortranu
W rozdziale drugim widzieli±my jak zapisywa¢ i odczytywa¢ macierz liczb rzeczywistych zapomoc¡ funkcji read oraz write. To samo mo»emy zrobi¢ w stosunku do wektora kolumnowegozªo»onego z ªa«cuchów znaków
-->v = ["Scilab is free";"Octave is free";"Matlab is ?"];
-->write("toto.dat",v,"(A)") // zobacz jak wyglada plik toto.dat
-->w = read("toto.dat",-1,1,"(A)")w =
!Scilab is free !! !!Octave is free !! !!Matlab is ? !
Podczas zapisu dodajemy trzeci argument okre±laj¡cy format zapisu w stylu Fortaranu. Jestnim ªa«cuch znaków, zawarty pomi¦dzy nawiasami okr¡gªymi, zawieraj¡cy jed¡ lub wi¦cejspecy�kacji zapisu (rozdzielonych przecinkiem); w przykªadzie powy»ej A oznacza, »e chcemyzapisa¢ ªa«cuch znaków. Przy odczycie drugi i trzeci argument oznaczaj¡ odpowiednio ilo±clinii (-1 oznacza czytanie do ko«ca pliku) i kolumn. W przypadku macierzy liczbowych nale»yponadto poda¢ format okre±laj¡cy precyzj¦ z jak¡ nale»y wynik zapisa¢.
Generalnie mo»liwo±ci Scilaba dotycz¡ce obsªugi plików s¡ identyczne jak dla Fortrana 77,dlatego te» mo»na szuka¢ informacji na ten temat w ksi¡»kach jemu po±wi¦conych. Poni»ejpodane zostan¡ przykªady zwi¡zane z dost¦pem sekwencyjnym do plików tekstowych.
Otwieranie pliku
Plik otwieramy za pomoc¡ funkcji file
55
[unit, [err]]=file('open', file-name ,[status])
gdzie
� file-name jest ªa«cuchem znaków okre±laj¡cym plik (ewentualnie poprzedzonym ±cie»k¡dost¦pu, je±li nie znajduje si¦ on w »adnym z katalogów b¦d¡cych w ±cie»ce przeszukiwaniaScilaba; ±cie»k¦ t¡ mo»na zmieni¢ za pomoc¡ funkcji chdir).
� status przyjmuje jedn¡ z nast¦puj¡cych warto±ci
� �new� w celu otworzenia nowego pliku; je±li plik o podanej nazwie istnieje, generowanyjest bª¡d;
� �old� w celu otworzenia ju» istniej¡cego pliku; je±li plik o podanej nazwie nie istnieje,generowany jest bª¡d;
� �unknow� je±li plik o podanej nazwie nie istnieje, to zostanie utowrzony, w przeciwnymrazie zostanie otwarty plik ju» istniej¡cy;
W przypadku braku argumentu status przyjmowana jest dla niego domy±lna warto±¢ new.
� unit jest zmienn¡ za pomoc¡ której b¦dziemy odwoªywa¢ si¦ do otwieranego pliku podczasoperacji plikowych;
� Je±li obecny b¦dzie argument err mo»liwe b¦dzie stwierdzenie czy operacja otwieraniapliku si¦ powiodªa; w przeciwnym razie Scilab generuje bª¡d. Warto±¢ równa 0 oznaczabrak b¦dów zwi¡zanych z otwieraniem pliku. W innym przypadku pisz¡c error(err)mo»na zobaczy¢ troch¦ wi¦cej szczegóªów na temat napotkanego bª¦du
-->error(240) // zakladamy, ze err=240!--error 240
File error(240) already exists or directory write access denied
U»ycie funkcji xgetfile pozwala na interaktywny wybór pliku przez przegl¡danie drzewahierarchi plików i katalogów.
Pisanie i czytanie
Zaªó»my, »e mamy otwarty plik. Je±li plik ju» istniaª, czytanie/pisanie rozpocznie si¦ odpocz¡tku (b¦dziemy mówi¢, »e wska¹nik pliku zostaª ustawiony na pocz¡tek pliku). Je±lichcemy pisa¢ na koniec pliku nale»y wcze±niej, za pomoc¡ funkcji file("last", unit),ustawi¢ wska¹nik pliku na jego koniec. Powrót na pocz¡tek mo»liwy jest po wykonaniu in-strukcji file("rewind", unit).Oto pierwszy przykªad. Chcemy zapisa¢ do pliku list¦ odcinków na pªaszczy¹nie. W tym celurozwa»amy n punktów Pi = (xi; yi) oraz m odcinków; ka»dy opisany jako jeden segment
��!PiPj
przez podanie numeru (w tablicy punktów) punktu pocz¡tkowego (tutaj i) i ko«cowego (tutajj). Poni»ej przedstawiamy format pliku
linia z tekstemnx_1 y_1
...
x_n y_nmi1 j1
...
im jm
56
W linii z tekstem mo»emy zawrze¢ pewne dodatkowe informacje zwi¡zane z plikiem. Nast¦pniepodajemy ilo±¢ punktów oraz ich wspóªrz¦dne. Dalej za± ilo±¢ odcinków i numery wierzchoªkówje tworz¡cych. Zaªó»my, »e linia z tekstem reprezentowana jest przez zmienn¡ text, punktyprzez macierz P wymiaru (n; 2), odcinki za± przez macierz connect wymiaru (m; 2). Wszystkiete informacje zostan¡ zapisane po wprowadzeniu nast¦puj¡cego ci¡gu instrukcji
write(unit,texte) // zapisanie linii z tekstemwrite(unit,size(P,1)) // zapisanie ilosci punktowwrite(unit,P) // zapisanie wspolrzednych punktowwrite(unit,size(connect,1)) // zapisanie ilosci odcinkowwrite(unit,connect) // zapisanie punktów definiujacych odcinkifile("close",unit) // zamkniecie pliku
Efekt mo»e wygl¡da¢ jak poni»ej
przypadkowy wielokat5.00000000000000.28553641680628 0.648856287356470.86075146449730 0.992319094017150.84941016510129 5.0041977781802D-020.52570608118549 0.748550658114250.99312098976225 0.410405899863695.00000000000001.0000000000000 2.00000000000002.0000000000000 3.00000000000003.0000000000000 4.00000000000004.0000000000000 5.00000000000005.0000000000000 1.0000000000000
co nie prezentuje si¦ elegancko, gdy» nie podali±my formatu w jakim nale»y dane zapisa¢. Jakwida¢ liczby caªkowite traktowane s¡ przez Scilaba jak rzeczywiste10. Ponadto tekst zostaªpoprzedzony spacj¡ (której nie byªo w text). W celu poprawienia tych niedogodno±ci, nale»ydoda¢ specy�kacj¦ okre±laj¡c¡ sposób traktowania danych
� Dla liczb caªkowitych nale»y u»y¢ Ix, gdzie x jest dodatni¡ liczb¡ okre±laj¡c¡ szeroko±¢pola.
� Dla liczb rzeczywistych nale»y u»y¢ Ex.y, gdzie x okre±la caªkowit¡ szeroko±¢ pola, y za±szeroko±¢ mantysy; wyj±cie przyjmuje wówczas posta¢ [znak]0.mantysaE[znak]wykladnik.Dla liczb zmiennopozycyjnych podwójnej prezycji otrzymamy w ten sposób zapis z 16cyframi znacz¡cymi i wykªadnikiem o warto±ciach pomi¦dzy -330 i +300 co ª¡cznie dajeszeroko±¢ okoªo 24 znaków. Tak wi¦c mo»na u»y¢ formatu E24.16 (w zale»nie od wielko±ciliczb oraz oczekiwanej formy ich prezentacji inne formaty mog¡ okaza¢ si¦ bardziej odpowied-nie).
� Dla unikni¦cia spacji na pocz¡tku tekstu nale»y u»y¢ A.
Rozwa»aj¡¢ poprzedni przykªad mo»emy uzyska¢ bardziej elegancki format zapisu (zakªadamy,»e ilo±¢ punktów jest nie wi¦ksza jak 999)
write(unit,texte,"(A)") // zapisanie linii z tekstemwrite(unit,size(P,1),"(I3)") // zapisanie ilosci punktow
10Od wersji 2.5 mamy do dyspozycji typy int8, int16 et int32; patrze Help.
57
mopen otwieranie plikumclose zamykanie pliku
mprintf, mscanf pisanie i czytanie z okna Scilabamfprintf, mfscanf pisanie i czytanie z plikumsprintf, msscanf pisanie i czytanie z ªa«cucha znaków
Tablica 3.3:
write(unit,P,"(2(X,E24.16))") // zapisanie wspolrzednych punktowwrite(unit,size(connect,1),"(I3)") // zapisanie ilosci odcinkowwrite(unit,connect,"(2(X,I3))") // zapisanie punktow definiujacych odcinkifile("close",unit) // zamkniecie pliku
(format X odpowiada za wypisanie jednego biaªego znaku, natomiast powtórzenie 2(X,E24.16)oznacza »e w tej samej lini chcemy wypisa¢ dwa pola zawieraj¡ce biªy znak, po nim za± liczb¦zmiennoprzecinkow¡ zapisan¡ na 24 znakach)
przypadkowy wielokat50.2855364168062806E+00 0.6488562873564661E+000.8607514644972980E+00 0.9923190940171480E+000.8494101651012897E+00 0.5004197778180242E-010.5257060811854899E+00 0.7485506581142545E+000.9931209897622466E+00 0.4104058998636901E+00
51 22 33 44 55 1
Aby odczyta¢ utworzony w ten sposób plik mo»na u»y¢ nast¦puj¡cej sekwencji instrukcji
texte=read(unit,1,1,"(A)") // odczytanie linii z tekstemn = read(unit,1,1) // odczytanie ilosci punktowP = read(unit,n,2) // odczytanie wspolrzednych punktowm = read(unit,1,1) // odczytanie ilosci odcinkowconnect = read(unit,m,2) // odczytanie punktow definiujacych odcinkifile("close",unit) // zamkniecie pliku
Przygl¡daj¡c si¦ podanym przykªadom, wida¢, »e zamykanie pliku odbywa si¦ za pomoc¡insrukcji file(�close�,unit).
Czytanie b¡d¹ pisanie do okna Scilaba odbywa si¦ przy pomocy, odpowiednio, funkcji unit= %io(1) et unit = %io(2). Przy wypisywaniu mo»na ró»nie» osi¡gn¡¢ lepsze efekty ni»stosuj¡c standardow¡ funkcj¦ disp (patrz przykªad w rozdziale Ciekawostki w sekcji �Prosteinstrukcje i funkcje Scilaba�, funkcja MonteCarlo).
3.7 Wej±cie i wyj±cie w stylu C
Podstawowe funkcje zwi¡zane z obsªuga plików przedstawiono w tabeli 3.3. Postaramy si¦teraz wyja±ni¢ kwestie zwi¡zane z u»yciem funkcji pisz¡cych na przykªadzie mprintf.
58
n = 17;
m = -23;
a = 0.2;
b = 1.23e-02;
c = a + %i*b;
s = "kukulka";
mprintf("\n\r n = %d, m = %d", n, m); // %d dla calkowitych
mprintf("\n\r a = %g", a); // %g dla rzeczywistych
mprintf("\n\r a = %e", a); // %e dla rzeczywistych (notacja z wykladnikiem)
mprintf("\n\r a = %24.16e", a); // okreslenie ilosci wyswietlanych cyfr
mprintf("\n\r c = %g + i %g", real(c), imag(c)); // liczba zespolona
mprintf("\n\r s = %s", s); // %s dla lancucha znakow
Zapisuj¡c powy»sze instrukcje w pliku i wywoªuj¡c je poleceniem exec("demo_mprintf.sce");jako wyj±cie powinni±my zobaczy¢
n = 17, m = -23a = 0.2a = 2.000000e-01a = 2.0000000000000001e-01c = 0.2 + i 0.0123s = kukulka
Do peªnego zrozumienia brakuje jeszcze kilka wyja±nie«
� Konstrukcja \n\r powoduje przej±cie do nowej linii (w systemie Unix wystarczy samo \n).
� %x jest dyrektyw¡ formatuj¡c¡ wyj±cie, to znaczy okre±laj¡c¡ w jaki sposób nale»y trak-towa¢ (i w konsekwencji wy±wietli¢) zmienn¡. I tak
1. %d dla liczb caªkowitych
2. %e dla liczb rzeczywistych przedstawianych w notacji naukowej (z wykªadnikiem). Wyj±-cie powinno przyjmowa¢ posta¢ [�]c0:c1:::c6e�d1d2[d3]. Dodaj¡c dwie liczby caªkowierozdzielone przecinkiem (pomi¦dzy znakiem % oraz e) pkre±lamy caªkowit¡ ilo±¢ znakówna jakich liczba zostanie zapisana oraz ilo±¢ cufr po przecinku.
3. %g powoduje wy±wietlenie liczby bez wykªadnika (je±li mie±ci si¦ ona w odpowiednimprzedziale) lub z wykªadnikiem.
4. %.3f powoduje wy±wietlenie liczby rzeczywistej bez wykªadnika zapisanej na 5 znakachi 3 cyframi po przecinku.
5. %s dla ªa«cucha znaków.
� Ka»dej dyrektywie musi odpowiada¢ jedna warto±¢, która ma zosta¢ wy±wietlona (pochodz¡caod zmiennej, wyra»enia czy te» staªej). Je±li chcemy wy±wietli¢ 4 liczby caªkowite musimypoda¢ 4 dyrektywy
mprintf("%d %d %d %d", expr1, expr2, expr3, expr4);
CiekawostkaDlaczego wy±wietlenie liczby 0:2 w formacie 24.16e wygl¡da dziwnie? Wynika to z niemo»no±cireprezentacji z odpowiedni¡ precyzj¡ liczby 0:2 w systemie dwójkowym.
59
3.8 Uwagi zwi¡zane z szybko±ci¡
Zobaczmy dwa przykªady przedstawiaj¡ce kilka znanych sposobów tutu. Zaªó»my, »e chcemyznale¹¢ (obliczy¢ tutu) macierz Vandermondea
A =
26664
1 t1 t21 : : : tn11 t2 t22 : : : tn2...
......
......
1 tm t2m : : : tnm
37775
Oto narzucaj¡cy si¦ w pierwszej chwili kod
function A=vandm1(t,n)
// obliczenie macierzy Vandermonde A=[a(i,j)] 1<= i <= m
// 1<= j <= n+1
// gdzie a(i,j) = ti^(j-1)
// t musi byc wektorem kolumnowym o m skladowych
m=size(t,'r')
for i = 1:m
for j = 1:n+1
A(i,j) = t(i)^(j-1)
end
end
endfunction
Poniewa» w Scilabie a priori nie deklaruje si¦ rozmiaru macierzy ani innych obiektów dlategonie ma potrzeby informowania funkcji, »e nasza macierz A jest wymiaru (m;n+ 1). W miar¦jak post¦puj¡ obliczenia Scilab musi upora¢ si¦ ze zmianami w macierzy A wynikaj¡cymi zezwi¦kszania jej wymiaru (dla i = 1 A jest wektorem liniowym o j skªadowych, dla i > 1 A jestmacierz¡ wymiaru (i; n+ 1), mamy wi¦c n+m� 1 zmian wymiaru macierzy A co oczywi±ciezwi¡zane jest z potrzeb¡ po±wi¦cenia na to pewnej ilo±ci czasu, tym wi¦kszej im wi¦ksza jestmacierz). Problem ten mo»na obej±¢ wykorzystuj¡c pseudo-deklaracj¦ zeros(m,n+1)
function A=vandm2(t,n)
// identycznie jak w vandm2 oprocz pseudo-deklaracji dla A
m=size(t,'r')
A = zeros(m,n+1) // pseudo-deklaracja
for i = 1:m
for j = 1:n+1
A(i,j) = t(i)^(j-1)
end
end
endfunction
Tym oto sposobem pozbywamy si¦ tego problemu i zyskujemy cenny czas, który mo»naspo»ytkowa¢ efektywniej. :
-->t = linspace(0,1,1000)';-->timer(); A = vandm1(t,200); timer()ans =
6.04
-->timer(); A = vandm2(t,200); timer()ans =
1.26
Mo»na próbowa¢ zoptymalizowa¢ ten kod stosuj¡c przy inicjalizacji macierzy A instrukcj¦ones(m,n+1) (unikamy wtedy obliczania pierwszej kolumny ), wykonuj¡c jedynie mno»enieaij = aij�1� ti (to natomiast pozwala unikn¡¢ oblicze« zwi¡zanych z pot¦gowaniem) widzimyodwracaj¡c dwie p¦tle, ale co± zyskujemy. Lepsze rezultaty mo»na osi¡gn¡¢ zauwa»aj¡c, »ekonstrukcja macierzy A umo»liwia wykorzystanie instrukcji wektorowych
60
function A=vandm5(t,n)
// dobra metoda: uzycie zapisu macierzowego
m=size(t,'r')
A=ones(m,n+1)
for i=1:n
A(:,i+1)=t.^i
end
endfunction
function A=vandm6(t,n)
// wskaznik na vandm5 z malym ulepszeniem
m=size(t,'r')
A=ones(m,n+1)
for i=1:n
A(:,i+1)=A(:,i).*t
end
endfunction
Prowadzi to do znacznego poprawienia szybko±ci oblicze«
-->timer(); A = vandm5(t,200); timer()ans =
0.05
-->timer(); A = vandm6(t,200); timer()ans =
0.02
Oto drugi przykªad: zadanie polega na rozwini¦ciu funkcji �kapelusz� (patrz rysunek 3.2) wwielu punktach (liczby rzeczywiste ustawione w wektor lub macierz):
�(t) =
8>><>>:
0 si t � at�ab�a si a � t � bc�tc�b si b � t � c
0 si t � c
Chc¡c zde�niowa¢ t¡ funkcj¦ �w kawaªkach� rozwijanie w punkcie wymaga¢ bedzie dodatkowych
Rysunek 3.2: Funkcja �kapelusz�
testów. Gdy obliczenia b¦d¡ dotyczy¢ wielu punktów dobrze by byªo zastanowi¢ si¦ nad mo»li-wo±i¡ �wektoryzacji� oblicze«. Pierwszy kod realizuj¡cy postawione zadanie mógªby wygl¡da¢nast¦puj¡co
function [y]=phi1(t,a,b,c)
// rozwija funkcje ,,kapelusz'' (z parametrami a, b oraz c) na wektorze
// (czytaj macierzy) t w sensie ,,element po elemencie''
// a,b oraz c musza spelniac zaleznosc a < b < c
[n,m] = size(t)
y = zeros(t)
for j=1:m, for i=1:n
if t(i,j) > a then
if t(i,j) < b then
y(i,j) = (t(i,j) - a)/(b - a)
elseif t(i,j) < c then
y(i,j) = (c - t(i,j))/(c - b)
61
end
end
end, end
endfunction
daj¡c w efekcie
-->a = -0.2 ; b=0 ; c=0.15;-->t = rand(200000,1)-0.5;-->timer(); y1 = phi1(t,a,b,c); timer()ans =
2.46
Kolejna próba, w której wykorzystujemy funkcj¦ bool2s konwertuj¡c¡ macierz boolowsk¡ domacierzy liczb rzeczywistych wedªug schematu: prawda przechodzi w 1, faªsz przechodzi w 0
function [y]=phi2(t,a,b,c)
// rozwija funkcje ,,kapelusz'' (z parametrami a, b oraz c) na wektorze
// (czytaj macierzy) t w sensie ,,element po elemencie''
// a,b oraz c musza spelniac zaleznosc a < b < c
Indicatrice_a_b = bool2s( (a < t) & (t <= b) )
Indicatrice_b_c = bool2s( (b < t) & (t < c ) )
y = Indicatrice_a_b .* (t - a)/(b - a) + Indicatrice_b_c .* (c - t)/(c - b)
endfunction
function [y]=phi3(t,a,b,c)
// jak phi2 z niewielka optymalizacja
t_le_b = ( t <= b )
Indicatrice_a_b = bool2s( (a < t) & t_le_b )
Indicatrice_b_c = bool2s( ~t_le_b & (t < c) )
y = Indicatrice_a_b .* (t - a)/(b - a) + Indicatrice_b_c .* (c - t)/(c - b)
endfunction
okazuje si¦ lepszym rozwi¡zaniem
-->timer(); y2 = phi2(t,a,b,c); timer()ans =
0.12
-->timer(); y3 = phi3(t,a,b,c); timer()ans =
0.12
-->timer(); y4 = phi4(t,a,b,c); timer() // patrz dalej na definicje phi4ans =
0.1
Uwagi
� Niewielka optymalizacja w phi2 nie przyniosªa »adnych zysków (jak miaªo to natomiastmiejsce dla poprzedniej wersji Scilaba uruchomionej na innej maszynie);
� Kod phi4 korzysta z funkcji find, która jest bez w¡tpienia bardziej naturalna i prostszaw u»yciu: dla wektora boolowskiego b zwraca ona wektor i zªo»ony z indeksów takich, »eb(i)=%t (pusty gdy wszystkie warto±ci s¡ faªszem). Przykªad
-->x = rand(1,6)x =
! 0.8497452 0.6857310 0.8782165 0.0683740 0.5608486 0.6623569 !
62
-->ind = find( 0.3<x & x<0.7 )ind =
! 2. 5. 6. !
Dla macierzy boolowskiej A otrzymujemy tak¡ sam¡ list¦ je±li przyjmiemy, »e macierz jest�du»ym� wektorem gdzie elementy uªo»one s¡ �kolumna po kolumnie�. St¡d korzystaj¡c zdrugiego argumentu mo»na uzyska¢ list¦ z indeksami kolumn i wierszy w których speªnionyjest warunek
-->A = rand(2,2)A =
! 0.7263507 0.5442573 !! 0.1985144 0.2320748 !
-->[il,ic]=find(A<0.5)ic = ! 1. 2. !il = ! 2. 2. !
Spójrzmy teraz na kod funkcji phi4
function [y]=phi4(t,a,b,c)
// uzycie funkcji find jest bardziej naturalne
t_le_b = ( t <= b )
indices_a_b = find( a<t & t_le_b )
indices_b_c = find( ~t_le_b & t<c )
y = zeros(t)
y(indices_a_b) = (t(indices_a_b) - a)/(b - a)
y(indices_b_c) = (c - t(indices_b_c))/(c - b)
endfunction
Wniosek: je±li obliczenia trwaj¡ za dªugo, spróbujmy dokona¢ �wektoryzacji�. Je±li taka oper-acja nie jest mo»liwa lub niewystarczaj¡ca, nie pozostaje nic innego jak napisanie istotnychfragmentów w C lub Fortranie 77.
3.9 �wiczenia
1. Napisz funkcj¦ rozwi¡zuj¡c¡ ukªad równa« liniowych z górn¡ macierz¡ trójk¡tn¡. U»yjfunkcji size pozwalaj¡cej uzyska¢ wymiary macierzy
[n,m]=size(A)
Za pierwszym razem napisz �klasyczny� algorytm wykorzystuj¡c dwie p¦tle. Nast¦pniespróbuj zast¡pi¢ p¦tle instrukcj¡ macierzow¡. W celu przetestowania swojej funkcji mo»nawygenerowa¢ macierz zªo»on¡ z elementów pseudo-losowych i wydoby¢ z niej macierztrójk¡tn¡ poleceniem
A=triu(rand(4,4))
2. Rozwi¡zanie ukªadu równa« ró»niczkowych pierwszego rz¦du
dx
dt(t) = Ax(t); x(0) = x0 2 Rn; x(t) 2 Rn; A 2Mnn(R)
uzyska¢ mo»na wykorzystuj¡c eksponent macierzy (patrz kurs analizy, rok pierwszy).
x(t) = eAtx0
Poniewa» Scilab posiada funkcj¦ licz¡c¡ eksponent macierzy (expm) pozostaje jeszcze kilkarzeczy do zrobienia. Chcemy otrzyma¢ rozwi¡zanie dla t 2 [0; T ]. W tym celu mo»na
63
znale¹¢ liczb¦ n wystarczaj¡co du»¡ na tym przedziale tk = k�t, �t = T=n oraz wykorzysta¢wªasno±ci exponent w celu uproszczenia oblcze«
x(tk) = eAk�tx0 = ek(A�t)x0 = (eA�t)kx0 = eA�tx(tk�1)
Zatem wystarczy obliczy¢ exponentel macierzy A�t, nast¦pnie wykona¢ nmno»e« macierzywektorowych aby otrzyma¢ x(t1); x(t2); : : : ; x(tn). Napisz skrypt rozwi¡zuj¡cy równanieró»niczkowe postaci (oscylacje z amortyzacj¡)
x00 + �x0 + kx = 0; przyjmuj¡c na przykªad � = 0:1; k = 1; x(0) = x0(0) = 1
które przyjmuje oczywi±cie posta¢ ukªadu dwóch równa« pierwszego rz¦du. Na zako«cze-nie mo»na zobrazowa¢ zmiany x jako funkcj¦ czasu a nast¦pnie trajektorj¦ w przestrzeni fa-zowej. Pomi¦dzy oknami gra�cznymi mo»na przechodzi¢ za pomoc¡ funkcji xset("window",window-number)
--> //koniec obiczen--> xset(``window'',0) // wybor okna o numerze 0--> instrukcje dla pierwszego rysunku (który pokaze sie w oknie 0)--> xset(``window'',1) // wybor okna o numerze 1--> instrukcje dla drugiego rysunku (który pokaze sie w oknie 1)
3. Napisz funkcj¦ [i,info]=intervalle_de(t,x) dla okre±lenia przedziaªu i takiego, »e xi �t � xi+1 za pomoc¡ metody dychotomii (skªadowe wektora x s¡ takie »e xi < xi+1). Gdyt =2 [x1; xn] zmienna boolowska info powinna przyjmowa¢ warto±¢ równ¡ %f (oraz %t wprzeciwnym razie).
4. Napisz funkcj¦ myhorner tak aby mogªa dziaªa¢ w przypadku gdy argument t jest macierz¡(funkcja powinna zwraca¢ macierz p (takiego samego wymiaru jak t) gdzie ka»dy wspóªczyn-nik (i; j) odpowiada rozwini¦ciu wielomianu t(i,j)).
5. Napisz funkcj¦ [y] = sygnal_fourier(t,T,cs), która zwraca szereg Fouriera wykorzys-tuj¡c funkcje
f1(t; T ) = 1; f2(t; T ) = sin(2�t
Tt); f3(t; T ) = cos(
2�t
T); f4(t; T ) = sin(
4�t
T); f5(t; T ) = cos(
4�t
T); � � �
zamiast funkcji eksponenet. T jest parametrem (okres), sygnaª za± opisywany jest przezprzez wektor cs zªo»ony ze wspóªczynników w bazach f1; f2; f3; � � � Ilo±¢ funkcji uzyska¢mo»na dzi¦ki instrukcji length zastosowanej do cs. Zaleca si¦ wykorzystanie funkcji po-mocniczej [y]=f(t,T,k) obliczaj¡cej fk(t; T ). Wszystko to powinno pozwala¢ na stosowaniedla wektora czy macierzy instants t co pozwoli na ªatwe zobrazowanie sygnaªu
--> T = 1 // okres--> t = linspace(0,T,101) // momenty ...--> cs = [0.1 1 0.2 0 0 0.1] // sygnal ze skladowa ciagla--> // fundamentalna, bez harmonicznej 1 (okres 2T) ale z harmoniczna 2--> [y] = sygnal_fourier(t,T,cs); // obliczenie sygnalu--> plot(t,y) // wykres
6. Oto funkcja licz¡ca iloczyn wektorowy dwóch wektorów
function [v]=prod_vect(v1,v2)// iloczyn wektorowy v = v1 /\ v2v(1) = v1(2)*v2(3) - v1(3)*v2(2)v(2) = v1(3)*v2(1) - v1(1)*v2(3)v(3) = v1(1)*v2(2) - v1(2)*v2(1)
endfunction
64
Dokonaj wektoryzacji tego kodu w taki sposób aby obliczac w (tej) jednej funkcji function [v]=prod_vect_v(v1,v2)produkt wektorowy vi = vi1 ^ vi2 gdzie vi, vi1 i vi2 oznaczaj¡ i-t¡ kolumn¦ macierzy (3,n)zawierajacej te wektory.
7. Spotkanie : Pan A i Pani B zamierzaj¡ spotka¢ si¦ mi¦dzy godzin¡ 17:00 a 18:00. Ka»de znich przyb¦dzie niezale»nie od drugiego pomi¦dzy [17; 18]. Pani B b¦dzie czeka¢ 5 minutzanim odejdzie, Pan A � 10 minut.
(a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e si¦ spotkaj¡? (odp. 67/288)
(b) Znajd¹ (przybli»one) wyniki przez symulacj¦: napisz funkcj¦ [p] = rdv(m) zwracaj¡c¡prawdopodobie«stwo empiryczne spotkania przy m próbach.
(c) Przetestuj dziaªanie swojej funkcji dla coraz wi¦kszych warto±ci m.
65
Rozdziaª 4
Gra�ka
W zakresie tworzenia gra�ki Scilab posiada wiele mo»liwo±ci zarówno je±li bra¢ pod uwag¦ op-eracje niskopoziomowe jak te» bardziej zlo»one funkcje pozwalaj¡ce operowa¢ skomplikowanymiobiektami. W dalszym ci¡gu zostanie wyja±niona jedynie maªa cz¦±¢ dost¦pnych mo»liwo±ci.Uwaga: Dla osób znaj¡cych instrukcje gra�czne MATLABA Stephane Mottelet napisaªa (tutuczy napisal) bibliotek¦ funkcji gra�cznych wywoªywanych w stylu MATLABA; dost¦pna jestona pod adresem
http://www.dma.utc.fr/~mottelet/scilab/
4.1 Okna gra�czne
Wywoªanie instrukcji gra�cznej takiej jak plot czy plot3d powoduje umieszczenie rysowanegoobrazu w oknie ra�cznym o numerze 0. Wywoªanie funkcji gra�cznej powoduje na ogóª pow-stanie nowego obrazu na ju» istniej¡cym, st¡d potrzeba uprzedniego wymazania zawarto±ciokna przy pomocy funkcji xbasc(). Wymazania zawarto±ci okna mo»na tak»e dokona¢ wybier-aj¡c z menu File opcj¦ clear. Manipulowanie oknami mo»liwe jest dzieki nast¦puj¡cymfunkcjom
xset("window",num) okno o numerze num staje si¦ oknem bie»¡cym;je±li »adne okno nie istniaªo to zostanie utworzone
xselect() uaktywnia bie»¡ce okno;je±li »adne okno nie istniaªo to zostanie utworzone
xbasc([num]) wymazuje zawarto±¢ okna o numerze num ;je±li zostanie pomini¦ty numer to wymazana zostaniezawarto±¢ bie»¡cego okna
xdel([num]) powoduje zamkni¦cie okna o numerze num ;je±li zostanie pomini¦ty numer to zamkni¦te zostaniebie»¡ce okno
Jako generaln¡ zasad¦ mo»na przyj¡¢, »e po wybraniu bie»¡cego okna (przez xset("window",num))za pomoca instrukcji xset("nom",a1,a2,...) mo»emy dokonywa¢ zmian w parametrachzwi¡zanych z oknem. nom okre±la nazw¦ parametru, który chcemy zmieni¢ jak na przykªadthickness gdy chcemy dostosowa¢ grybo±¢ strzaªek czy colormap gdy chcemy zmieni¢ u»y-wan¡ palet¦ kolorów. Za nazw¡ podajemy jeden lub wi¦cej argumentów wmaganych do ustaw-ienia nowej warto±ci parmetru. Zbiór tych parametrów nazywany jest kontekstem gra�cznym;ka»de okno posiada swój taki kontekst. W celu zdobycia wi¦kszej ilo±¢ informacji na tematparametów (których jest caªkiem poka�ny zbiór) odsyªsamy do Help-u i tematu GraphicLibrary. W wi¦kszo±ci sytuacji mog¡ one by¢ zmieniane interaktywnie przez menu gra�czne,ukazuj¡ce si¦ po wydaniu polecenia xset(). (Uwaga: W tym menu dost¦pne jest równie»
66
podokno opisuj¡ce kolory; nie jest jenak mo»liwe wprowadzanie zmian do tego» opisu. Rodz-ina funkcji [a1,a2,...]=xget('nazwa') pozwala otrzyma¢ parametry zwi¡zane z pewnymkontekstem gra�cznym.
4.2 Wprowadzenie do plot2
Wcze±nie mieli±my ju» do czynienia z prosta instrukcj¡ plot. Je±li jednak zamierzamy wykre±licwi¦cej krzywych lepiej stosowa¢ funkcj¦ plot2d. Najpro±ciej mo»na j¡ u»y¢ jak to pokazanoponi»ej
x=linspace(-1,1,61)'; // odci\k{e}te (wektor kolumnowy)y = x.^2; // rz\k{e}dne (równie\.z wektor kolumnowy)plot2d(x,y) // --> il lui faut des vecteurs colonnes ! tutu
Doªó»my teraz inn¡ krzyw¡ . . .
ybis = 1 - x.^2;plot2d(x,ybis)xtitle("Krzywe...") // dodajemy tytu\l{}
. . . i jeszcze jedn¡, która tutu jest w innej skali1 ni» poprzednie
yter = 2*y;plot2d(x,yter)
Zauwa»my, »e Scilab przeskalowaª okno tak aby zmie±ciªa si¦ w nim trzecia krzywa, ale tak»eodrysowaª dwie poprzednie krzywe w nowej skali (wydaje si¦ to naturalne, ale mechanizm tennie byª obecny a» do wersji 2.6 wprowadzaj¡c czesto w bªad). Mo»liwe jest wykre±lenie tychtrzech krzywych za jednym razem
xbasc() // aby wyczy\'scic obszar rysowaniaplot2d(x,[y ybis yter]) // konkatenacja macierzyxtitle("Krzywe...","x","y") // tytu\l{} i nazwy dla obu osi
Otrzymujemy w ten sposób wykres podobny do tego przedstawionego na rysunku 4.1. W
Rysunek 4.1: Les fonctions x2, 1� x2 et 2x2
celu jednoczesnego wykre±lenia kilku krzywych, instrukcja przyjmuje posta¢ plot2d(Mx,My)gdzie Mx oraz My s¡ macierzami o identycznym wymiarze, ilo±¢ kolumn nc jest równa ilo±cikrzywych a i-ta krzywa jest otrzymywana na podstawie wektorów Mx(:,i) (odci¦te) i My(:,i)(rz¦dne). W sytuacji gdy wektor odci¦tych jest taki sam dla wszystkich krzywych (jak wnaszym przypadku), mo»na poda¢ go jeden raz zamiast powtarza¢ nc razy (plot2d(x,My)zamiast plot2d([x x .. x],My)).
4.3 plot2d z argumentami opcjonalnymi
Ogólna skªadnia przedstawia si¦ nast¦puj¡co
plot2d(Mx,My <,opt_arg>*)
gdzie <,opt_arg>* oznacza opcjonalny ci¡g dodatkowych argumentów postaci2
1Pod poj¦ciem skali rozumiemy tutaj obszar w jakim zostanie wykre±lona krzywa oraz ewentualne dodatkowe cechy.2argumentFormalny = argumentEfektywny
67
sªowoKluczowe=warto±¢
podanych w dowolnej kolejno±ci. Poka»emy podstawowe epcje przy pomocy kilku przykªadów
1. Wybór koloru i de�niowanie legendyW poprzednim przykªadzie mo»na byªo zaobser-wowa¢, »e Scilab wykre±liª 3 krzywe przy u»yciu 3 ró»nych (pierwszych) kolorów okre±lonchw domy±lnej palecie kolorów
1 czarny 5 czerwony 23 �oletowy2 niebieski 6 �oªkowo-ró»owy 26 br¡zowy3 jasno-zielony 13 ciemno-zielony 29 ró»owy4 cyan 16 jasno-niebieski tutu 32 jaune orangé
Instrukcja xset() pozwala na ich zmian¦ 3. Celem wybrania koloru u»ywamy zapisustyl=vect, gdzie vect jest wektorem liniowym zawieraj¡cym numery kolorów dla ka»dejkrzywej. Legend¦ otrzymujemy pisz¡c leg=str, gdzie str jest ªañcuchem znaków postacileg1@leg2@... w którym legi jest podpisem dla i-tej krzywej. Oto przykªad (porówajrysunek (4.2)) :
x = linspace(0,15,200)';y = besselj(1:5,x);xbasc()plot2d(x, y, style=[2 3 4 5 6], leg="J1@J2@J3@J4@J5")xtitle("Funkcje Bessela J1, J2,...","x","y")
Poniewa» kolejno±¢ argumentów opcjonalnych nie jest istotna równie dobrze mo»na napisa¢
plot2d(x, y, leg="J1@J2@J3@J4@J5", style=[2 3 4 5 6])
Rysunek 4.2: Wybrany styl i legenda
2. Wkresy zawieraj¡ce symbole Czasami, gdy wa»ne jest wyra�ne wskazanie punktówprzez które wykres przechodzi, przydatne mog¡ okaza¢ si¦ znaczniki tutu. Mo»emy wybra¢jeden z kilku rodzajów zancznika przedstawionych poni»ej
styl 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9symbol � + � � � } 4 5 |
Dla przykªadu spróbujmy (porównaj rysunek (4.3)) :
x = linspace(0,2*%pi,40)';y = sin(x);yp = sin(x) + 0.1*rand(x,"normal");xbasc()plot2d(x, [yp y], style=[-2 2], leg="y=sin(x)+perturbation@y=sin(x)")
Rysunek 4.3: dessin en trait plain et avec des symboles non reliés tutu
3. Okre±lanie skali Oto przykªad gdzie niezb¦dne jest narzucenie skali izometrycznej tutubowiem chcemy narysowa¢ okr¡g (patrz rysunek (4.4)). Dodatkowy parametr b¦dziepostaci frameflag=val, gdzie val powinna przyj¡¢ warto±¢ 4 aby otrzyma¢ skale izome-tryczn¡ (dobran¡ na podstawie warto±ci minimalnej i naksymalnej)
3tutu
68
t = linspace(0,2*%pi,60)';x1 = 2*cos(t); y1 = sin(t); // elipsax2 = cos(t); y2 = y1; // okr\k{a}gx3 = linspace(-2,2,60)'; y3 = erf(x3); // funkcja b\l{}\k{e}dulegenda = "elipsa@okr\k{a}g@funkcja b\l{}\k{e}du"plot2d([x1 x2 x3],[y1 y2 y3],style=[1 2 3], frameflag=4, leg=legenda)xtitle("Znowu krzywe...","x","y")
Rysunek 4.4: Elipsa, okr¡g i funkcja bª¦du
W pewnych przypadkach frameflag towarzyszy¢ powinien parametr rect. Je±li na przykªadchcemy samodzielnie okre±li¢ obszar rysowania (zwalniaj¡c z tego punkcj¦ plot2d tutu)musimy napisa¢ rect = [xmin; ymin; xmax; ymax] w poª¡czeniu z frameflag=1 jak w przykªadzieponi»ej
x = linspace(-5,5,200)';y = 1 ./(1 + x.^2);xbasc()plot2d(x, y, frameflag=1, rect=[-6,0,6,1.1])xtitle("Funkcja Rungego tutu")
Oto wszystkie mo»liwe warto±ci dla frameflag
frameflag=0 u»ycie wcze±niej zde�niowanej skali (lub domy±lnej)frameflag=1 skala zadana przez kwadratframeflag=2 skala obliczona jako maksimum i minimum z Mx i Myframeflag=3 échelle isométrique calculée en fonction de rect tutuframeflag=4 skala izometryczna obliczona jako maksimum i minimum z Mx et Myframeflag=5 identycznie 1 ale z ewntualnym dostosowaniem graduation tutuframeflag=6 identycznie 2 mais avec adaptation eventuelle pour la graduationframeflag=7 identycznie 1 ale wcze±niejsze krzywe s¡ odrysowywaneframeflag=8 identycznie 2 ale wcze±niejsze krzywe s¡ odrysowywane
Uwaga: W przypadkach 4 i 5 mo»e zaj±¢ (ewentualna) mody�kacja obszaru rysowania wtaki sposób aby stopniowanie (tutu) (które jest zawsze tutu) tutu (tak zwane tutu).
4. Precyzowanie umieszczenis osi Rozmieszczenie osi mo»emy okre±la¢ pisz¡c axesflag=val.W kolenym przykªadzie (patrz rysunek (4.5)) val ma warto±¢ 5 co powoduje, »e osieprzetna si¦ wpunkcie (0; 0)4 bez tutu boite englobante :
x = linspace(-14,14,300)';y = sinc(x);xbasc()plot2d(x, y, style=2, axesflag=5)xtitle("Funkcja sinc")
Rysunek 4.5: Umieszczenie osi otrzymane dla axesflag=5
Oto tabela podaj¡ca wszytkie mo»liwo±ci:
4Gdy punkt (0; 0) jest we wn¦trzu obszaru rysowania.
69
axesflag=0 bez pudeªka, osi oraz jednostekaxesflag=1 z pudeªkiem, osiami i jednostkami (x na dole, y po lewej)axesflag=2 z pudelkiem, ale bez osi i jednostekaxesflag=3 z pudeªkiem, osiami i jednostkami (x na dole, y po lewej)axesflag=4 bez pudeªka, ale z osiami i jednostkami (punkt przeci¦cia w ±rodku)axesflag=5 bez pudeªka, ale z osiami i jednostkami (punkt przeci¦cia dla x = 0 i y = 0)
5. Skala logarytmiczna Odpowiedni parametr jest postaci logflag=str, gdzie str jestªañcuchem zªo»onym z dówch znaków � pierwszy dotyczy osi OX, drugi OY i ka»dy przyj-muje warto±¢ n (nie logarytmiczna) lub l (logarytmiczna).
x = logspace(0,4,200)';y = 1 ./x;xbasc()subplot(1,2,1)plot2d(x, y, style=2, logflag= "ln")xtitle("logflag=""ln""")subplot(1,2,2)plot2d(x, y, style=2, logflag= "ll")xtitle("logflag=""ll""")
Rysunek 4.6: Wykorzystanie parametru logflag
Przykªad ten pokazuje tak»e jak przy pomocy funkcji subplot(m,n,num) w jednym oknieumie±ci¢ kilka (niezale»nych) wykresów. Parametr m informuje o podziale okna w pionie nam równych cz¦±ci, n decyduje o podziale w poziomie num jest natomiast kolejnym numeremokna spo±ród m � n okien. Okna numerowane s¡ od lewej do prawej i od góry do doªupoczynaj¡c od numeru 1. St¡d okno na pozycji (i; j) ma numer5 n � (i � 1) + j. Nicnie stoi na przeszkodzie aby mody�kowa¢ siatk¦ tutu celem dobranie najbardziej namodpowiadaj¡cego ukªadu wykresów. Na przykªad
xbasc()subplot(1,2,1)titlepage("po lewej")subplot(3,2,2)titlepage(["po prawej";"powy\.zej"])subplot(3,2,4)titlepage(["po prawej";"w centrum"])subplot(3,2,6)titlepage(["po prawej";"poni\.zej"])xselect()
tutu okna w pionie na dwie cz¦±ci (lew¡ i praw¡), okna po prawej podzielono w poziomie natrzy cz¦sci. Funkcj¦ subplot mo»na rozumie¢ jako dyrektyw¦ pozwalaj¡c¡ wybra¢ pewienpodobszar okna gra�cznego.
6. Sªowo kluczowe strf Pozwala ono zast¡pi¢ zarazem frameflag i axesflag oraz, zewzgl¦du na kompatybilno±¢ z wcze±niejszymi wersjami plot2d zawiera tak»e �ag¦ okre±la-j¡c¡ czy ma ono zastosowanie do legendy, czy nie tutu. Podawana warto±¢ skªada si¦ ztrzech znaków xyz, gdzie
x równe 0 (nie ma legendy) lub 1 (legenda tworzona jest przez podanie leg=val) ;
5A nie m� (i� 1) + j jak napisane jest w pomocy!
70
y cyfra od 0 do 9, odpowiadaj¡ca warto±ci podawanej w frame�ag ;
z cyfra od 0 do 5, odpowiadaj¡ca warto±ci podawanej w axes�ag.
En fait il faut savoir l'utiliser car les séquences optionnelles de nombreuses primitives dedessin ne disposent pas encore des mots clés frameflag i axesflag tutu. Dodatkowo jestto bardzo praktyczne je±li chcemy doda¢ nowy wykres do ju» istniej¡cego bez zmienia-nia skali i ramki co mo»na osi¡gna¢ pisz¡c strf="000" (unikaj¡c w ten sposób pisaniaframeflag=0, axesflag=0).
4.4 Inne wersje plot2d: plot2d2, plot2d3
Zasadniczo u»ywa si¦ ich jak plot2d taka sama skªadnia, takie same argumenty opcjonalne.
1. plot2d2 tutu pozwala narysowa¢ funkcj¦ w oparciu o skalary: w miejsce wykresu prostegoodcinka wprowadzamy punkty (xi; yi) et (xi+1; yi+1), plot2d2 odcinek poziomy (od (xi; yi)do (xi+1; yi)) a nast¦pnie odcinek pionowy (od (xi+1; yi) do (xi+1; yi+1)). Oto przykªad(porównaj rysunek (4.7)):
n = 10;x = (0:n)';y = x;xbasc()plot2d2(x,y, style=2, frameflag=5, rect=[0,-1,n+1,n+1])xtitle("plot2d2")
Rysunek 4.7: Wykorzystanie plot2d2
2. plot2d3 Rysuje diagram tutu batonow: dla ka»dego punktu (xi; yi) plot2d3 rysuje jedensegment pionowy od (xi; 0) do (xi; yi) (porównaj rysunek (4.8)) :
n = 6;x = (0:n)';y = binomial(0.5,n)';xbasc()plot2d3(x,y, style=2, frameflag=5, rect=[-1,0,n+1,0.32])xtitle("Prawdopodobienstwo dla prawa binomialnego tutu B(6,1/2)")
Rysunek 4.8: Wykorzystanie plot2d3
4.5 Rysowanie wi¦kszej ilo±ci krzywych zªo»onych z ró»nej ilo±cipunktów
Za pomoc¡ plot2d i jego wariantów nie mo»na narysowa¢ za jednym razem wi¦kszej ilo±cikrzywych, które nie s¡ dyskretyzowane na takiej samej ilo±ci przedziaªów (i chyba takichsamych przedziaªów tutu) co poci¡ga za soba konieczno±¢ kilkakrotnego u»ycia tej funkcji. Odwersji 2.6 mo»na oby¢ si¦ bez podawania skali bez obawy o przykre niespodzianki, poniewa»domy±lnie (frameflag=8) wcze±niejsze krzywe s¡ odrysowywane w przypadku zmiany skali.Dlatego je±li kto± chce opanowa¢ skal¦ (chodzi tutaj chyba o to aby nie byla ona zmieniana
71
automatycznie tutu), musi to zrobic przy pierwszym wywoªaniu a dla nast¦pnych u»ywa¢frameflag=06. Oto odpowiedni przykªad (porównaj rysunek (4.9))
x1 = linspace(0,1,61)';x2 = linspace(0,1,31)';x3 = linspace(0.1,0.9,12)';y1 = x1.*(1-x1).*cos(2*%pi*x1);y2 = x2.*(1-x2);y3 = x3.*(1-x3) + 0.1*(rand(x3)-0.5); // identyczne jak y2, ale z zaburzeniemymin = min([y1 ; y2 ; y3]); ymax = max([y1 ; y2 ; y3]);dy = (ymax - ymin)*0.05; // aby doda\'c margines tuturect = [0,ymin - dy,1,ymax+dy]; // okno wykresuxbasc() // wyczyszczenie poprzednich wykresówplot2d(x1, y1, style=1, frameflag=5, rect=rect) // 1-sze wywo\l{}anie, które ustali skal\k{e}plot2d(x2, y2, style=2, frameflag=0) // 2-ie i 3-ie wywo\l{}anie;plot2d(x3, y3, style=-1,frameflag=0) // u\.zywamy poprzedniej skalixtitle("Krzywe...","x","y")
Uwaga: Wypróuj ten przykªad pisz¡c frameflag=1 w miejsce frameflag=5. Nie mo»na mie¢
Rysunek 4.9: Jeszcze krzywe...
osobnej legendy dla ka»dej krzywej niemniej jest to mo»liwe do osi¡gni¦cia przy pomocyniewielkiej ilo±ci progamowania.
4.6 Zabawa z kontekstem gra�cznym
moze lepiej �praca�? :))) Je±li wyprobowali±my poprzednie przykªady bez w¡tpienia i z ochot¡b¦dziemy chcieli mody�kowa¢ niekóre rzeczy jak rozmiar symboli, rozmiar czy styl u»tegofontu lub te» grubo±¢ strzaªek.
1. Fonty : Aby zmieni¢ font nale»y u»y¢ poni»szego wywoªania
xset("font",font_id,fontsize_id)
gdzie font_id i fontsize_id s¡ liczbami caªkowitymi odpowiadaj¡cymi odpowiednio zrodzaj i wielko±¢ wybranego fontu. Bie»¡cy font mo»na otrzyma¢ pisz¡c
f=xget("font")
gdzie f jest wektorem, f(1) opisuje rodzaj fontu a f(2) jego wielko±¢. Mo»na pros-tozmienia¢/uzyska¢ wielko±¢ za pomoc¡ xset("font size",size_id) i fontsize_id = xget("font size").Oto te, które s¡ teraz dost¦pne
Nazwa fontu Courier Symbol Times Times-Italic Times-Bold Times-Bold-Italic
Identy�kator 0 1 2 3 4 5
Wielko±¢ 8 pts 10 pts 12 pts 14 pts 18 pts 24 pts
Identy�kator 0 1 2 3 4 5
Uwagi:
� Courier est à chasse �xe tutu;
� font Symbol pozwala na u»ycie liter greckich (p odpowiada �, a � �, etc...);
6Metoda ta jest konieczna je±li u»ywamy skali iso-metrycznej.
72
� Times jest fontem domy±lnym a jego domy±lny rozmiar to 10 punktów.
2. rozmiar symboli: zmieniamy poleceniem
xset("mark size",marksize_id)
bie»¡cy otrzymujemy natomiast pisz¡c
marksize_id = xget("mark size")
gdzie podobnie jak dla fontów rozmiar okre±lamy za pomoca cyfr od 0 do 5; 0 jest wielko±ci¡domy±ln¡.
3. grubo±¢ linii: zmieniamy / otrzymujemy pisz¡c
xset("thickness",thickness_id)thickness_id = xget("thickness")
Grubo±¢ jest wielko±ci¡ dodatni¡ odpowiadaj¡c¡ liczbie pikseli (na grubo±¢) jak¡ ma mie¢krzywa. Dokonuj¡c zmiany grubo±ci kre±lonych linii wpªywamy tak»e, czy tego chcemyczy nie, na grubo±¢ kre±lonej ramki i skali na osiach. Wyj±ciem w takiej sytuacji jestdwukrotne tworzenie rysunku. Za pierwszym razem pomijamy ramk¦ i skal¦ (axesflag=0).Nast¦pnie powracamy do normalnej grubo±ci i nie zmieniaj¡c skali widocznego obszaru(frameflag=0) rysujemy co± poza nim (na przykªad krzyw¡ zredukowana do jednegopunktu (�1;�1)):
xset("thickness", 3)plot2d(x, y, axesflag=0, ...)xset("thickness", 1)plot2d(-%inf, -%inf, frameflag=0, ...)
Zatem drugie wywoªanie sªu»y jedynie do narysowania ramki i skali.
4.7 Tworzenie histogramów
Odpowiednia do tego celu funkcja scilaba nazywa si¦ histplot a jej wywoªanie jest nast¦puj¡ce
histplot(n, X, <,opt_arg>*)
gdzie
� n jest albo liczb¡ caªkowit¡ albo wektorem liniowym (w którym ni < ni+1):
1. w przypadku gdy n jest wektorem liniowym dane dzielone s¡ na k klas Ci = [ni; ni+1[(wektor n ma wi¦c k + 1 skªadowych);
2. w przypadku gdy n jest liczb¡ caªkowit¡, dane dzielone s¡ na n równoodlegªych klas
C1 = [c1; c2]; Ci =]ci; ci+1]; i = 2; :::; n; avec
8<:
c1 = min(X); cn+1 = max(X)ci+1 = ci +�C�C = (cn+1 � c1)=n
� X wektor (liniowy lub kolumnowy) z danymi;
� <,opt_arg>* ci¡g opcjonalnych argumentów jak dla plot2d z dodatkow¡ kombinacj¡ nor-malization = val gdzie val jest staª¡ (zmienn¡ lub wyra»eniem) boolowskim (domy±lnietrue). Kiedy histogram jest znormalizowany, tutu son intégrale vaut 1 et approche donc unedensité (dans le cas contraire, la valeur d'une plage correspond au nombre de composantesde X tombant dans cette plage). Plus précisemment, la plage de l'histogramme corre-spondant à l'intervalle Ci vaut donc (m étant le nombre de données, et �Ci = ni+1 � ni): (
card fXj2Cigm�Ci
si normalization = vrai
card fXj 2 Cig si normalization = faux
73
Poni»ej przedstawiamy maªy przykªad, tutu toujours avec la loi normale (patrz rysunek (4.10)):
X = rand(100000,1,"normal"); classes = linspace(-5,5,21);histplot(classes,X)// tutu on lui superpose le tracé de la densité de N(0,1)x = linspace(-5,5,60)'; y = exp(-x.^2/2)/sqrt(2*%pi);plot2d(x,y, style=2, frameflag=0, axesflag=0)
Rysunek 4.10: Histogram próbki liczb losowych wybranych z rozkªadem N(0; 1) tutu
4.8 Zapisywanie gra�ki w ró»nych formatach
W celu zachowanie utworzonego rysunku wybieramy z menu File okna gra�cznego opcj¦Export a nast¦pnie wybieramy po»¡dany format. tutu - sprawdzi¢ to Wi¦kszo±¢ z nich opierasi¦ na postscripcie... . Pocz¡wszy od wersji 2.5 mamy tak»e mo»liwo±¢ eksportu gra�ki dopliku typu gif.
4.9 Prosta animacja
Realizacja animacji przy pomocy Scilaba jest do±¢ prosta, jako »e pozwala on na podwójnebuforowanie dzi¦ki czemu unikamy efektu migotania, gdy» wykres tworzony jest �w ukryciu�i dopiero potem pokazywany. Mamy do wyboru dwa �drivery� maj¡ce wpªyw na tworzeniewykresu na ekranie7
� Rec, który powoduje, »e wszystkie operacje gra�czne zwi¡zane s¡ z oknem; jest to domy±lnydrvier;
� X11, tutu qui se contente simplement d'a�cher les graphiques (il est alors imposible de�zoomer�).
Do celów tworzenia animacji najcz¦sciej odpowiedni b¦dzie ten ostatni; wybieramy go pisz¡cdriver("X11") (w celu powrócenia do drivera domy±lnego piszemy driver(�ec")).Przy podwójnym buforowaniu ka»dy kolejny obraz tworzony jest najpierw w pami¦ci (powstajewówczas tak zwana pixmapa) a dopiero pó�niej przenoszony na ekran. Oto prosty schematpost¦powania przy tworzeniu animacji
driver("X11") // tutu pas d'enregistrement des opérations graphiques
xset("pixmap",1) // przej\'scie do trybu podwójnego buforowania
........... // ewentualne instrukcje ustalaj\k{a}ce skal\k{e}
for i=1:nb_dessins
xset("wwpc") // wyczyszczenie pixmapy
.......
....... // tworzenie i-tego rysunku
.......
xset("wshow") // przeniesienie rysunku na ekran
end
xset("pixmap",0) // powrót do bezpo\'sredniego tworzenia rysunków na ekranie
driver("Rec") // przej\'scie do domy\'slego drivera
7Oprócz �driverów� pozwalaj¡cych tworzy¢ rysunki jako postscript, fig czy gif.
74
Uwaga: W powy»szym post¦powaniu czyszczenie caªego obszaru rysowania przy pomocyxset("wwpc")nie czynno±ci¡ wymagan¡. Zamiast tego mo»na u»y¢ na przykªad funkcji xclea,co uchroni nas przed ka»dorazowym odrysowywaniem tych obszarów rysunku, które si¦ niezmieniaj¡. Aby tutu u»y¢ technik maskowania nale»y za pomoc¡ wywoªanie xset('alufunction',num)zmieni¢ funkcj¦ steruj¡c¡ wy±wietlaniem (gdzie num to liczba caªkowita zwi¡zana z wybran¡funkcj¡); patrz Help i przykªady.
Poni»ej przedstawiony zostanie przykªad animacji: poruszaj¡cy si¦ ±rodek ci¦»ko±ci prostok¡ta(o dªugo±ci L i szeroko±ci l) po okr¦gu o promieniu r i ±rodku w punkcie (0; 0); prostok¡tdodatkowo obraca si¦ wokóª swojego ±rodka ci¦»ko±ci. tutu Il y a certain un nombre de détailsqui se gre�ent autour du canevas général exposé ci-avant :
� l'ordre plot2d sert uniquement à régler l'échelle (isométrique) pour les dessins ;
� xset("background",1) impose la couleur 1 (du noir dans la carte des couleurs par défaut)comme couleur d'arrière plan, mais il est recommandé d'exécuter l'instruction xbasr()pour mettre e�ectivement à jour la couleur du fond ;
� le dessin consiste à appeler la fonction xfpoly suivi de xpoly pour dessiner le bord (avecici 3 pixels ce qui est obtenu avec xset("thickness",3)) ; à chaque fois on change lacouleur à utiliser avec xset(¢olor",num) ;
� l'instruction xset("default") repositionne le contexte graphique de la fen¦tre à desvaleurs par défaut ; ainsi la variable pixmap reprend la valeur 0, thickness la valeur1, background sa valeur par défaut, etc...
n = 4000;
L = 0.6; l = 0.3; r = 0.7;
nb_tours = 4;
t = linspace(0,nb_tours*2*%pi,n)';
xg = r*cos(t); yg = r*sin(t);
xy = [-L/2 L/2 L/2 -L/2;... // 4 punkty graniczne
-l/2 -l/2 l/2 l/2];
xselect()
driver("X11")
xset("pixmap",1)
plot2d(\%inf,\%inf, frameflag=3, rect=[-1,-1,1,1], axesflag=0)
xset("background",1); // czarne t\l{}o
xbasr() // tutu utile pour la mise a jour du background
xset("thickness",3) // zwi\k{e}kszenie grubo\'sci kre\'slonych linii (3 pixele)
xset("font",2,4)
for i=1:n
xset("wwpc")
theta = 3*t(i);
xyr = [cos(theta) -sin(theta);...
sin(theta) cos(theta)]*xy;
xset("color",2)
xfpoly(xyr(1,:)+xg(i), xyr(2,:)+yg(i))
xset("color",5)
xpoly(xyr(1,:)+xg(i), xyr(2,:)+yg(i),"lines",1)
xset("color",32)
xtitle("Animation simple")
xset("wshow") // przeniesienie pixmapy na ekran
end
driver("Rec") // powrot do domy\'slnego drivera
xset("default") // przywrócenie domy\'slnego kontekstu graficznego
75
4.10 Powierzchnie
Podstawow¡ funkcj¡ pozwalaj¡c¡ na tworzenie wykresów powierzchni jest plot3d8. Przypreprezentacji powierzchni za pomoca facettes tutu mamy mo»liwo±¢ okre±lenia innego kolorudla ka»dej z nich. Od wersji 2.6 mo»na tak»e, zarówno dla fscettes trójk¡tnych jak i kwadra-towych okre±li¢ kolor dla ka»dego z wierzchoªków, przez co rendu tutu otrzymywane jest przezinterpolacj¦ kolorów okre±lonych w wierzchoªkach.
4.10.1 Wprowadzenie do plot3d
Gdy powierzchnia opisane jest przez równanie typu z = f(x; y), szczególnie ªatwo mo»naj¡ narysowa¢ je±li argumenty s¡ z obszaru prostok¡tnego. Jako przykªad rozwa»my funkcj¦f(x; y) = cos(x)cos(y) dla (x; y) 2 [0; 2�]� [0; 2�] :
x=linspace(0,2*\%pi,31); // dyskretyzacja zmiennej x (a tak\.ze y : b\k{e}dzie to samo)z=cos(x)'*cos(x); // zbiór warto\'sci zmiennej z : macierz z(i,j) = f(x(i),y(j))plot3d(x,x,z) // rysunek
Rysunek 4.11: Funkcja z = cos(x)cos(y)
W efekcie otrzymamy co± podobnego do rysunku (4.11)9. W najbardziej ogólnej formie funkcjiplot3d lub plot3d1 u»ywamy pisz¡c
plot3d(x,y,z <,opt_arg>*)plot3d1(x,y,z <,opt_arg>*)
gdzie dla plot2d, <,opt_arg>* ozancza ci¡g argumentów opcjonalnych, opt_arg przyjmujeform¦ sªowo_kluczowe=warto±¢. W najprostszym przypadku, x i y s¡ wektorami liniowymi((1; nx) i (1; ny)) odpowiadaj¡cymi dyskretyzacji zmiennej x oraz y, natomiast z jest macierz¡(nx; ny) tak¡, »e zi;j jest �wysoko±ci¡� w punkcie (xi; yj).
Opcjonalne argumenty to:
1. theta=val_theta i alpha=val_alpha to dwa k¡ty (w stopniach) okre±laj¡ce punkt widzeniawe wspóªrz¦dnych sferycznych (je±li O jest ±rodkiem pudeªka englobante tutu, Oc kierunk-iem patrzenia kamery, wówczas � = kt(Oz;Oc) i � = kt(0x;Oc0) gdzie Oc0 jest rzutem Ocna pªaszczyzn¦ Oxy);
2. leg=val_leg pozwala okre±li¢ nazw¦ dla ka»ej z osi (na przykªad leg="x@y@z"), argumentefektywny val_leg jest ªañcuchem znakowym, w którym @ stanowi separator pomi¦dzynazwami;
3. flag=val_�ag gdzie val_�ag jest wektorem o trzech skªadowych [mode type box] pozwala-j¡cym okre±li¢:
(a) parametr mode zwi¡zany jest z rysunkiem faces tutu i siatki:
i. dla mode > 0, faces niewidoczne s¡ usuwane10, siatka pozostaje widoczna;
ii. dla mode = 0, otrzymujemy tutu un rendu (fr. �l de fer, ang. wireframe) de lasurface;
iii. dla mode < 0, faces niewidoczne s¡ usuwane a siatka nie jest rysowana.
8plot3d1 u»ywana analogicznie pozwala uzale»ni¢ warto±¢ koloru od warto±ci przyjmowanej na osi OZ.9Dokªadnie rzecz bior¡c rysunek ten przedstawia efekt u»ycia funkcji plot3d1 gdzie na potrzeby publikacji zamiast
kolorów u»yto odcieni szaro±ci a tak»e ustawiono troch¦ inny punkt widzenia.10tutu actuellement c'est l'algorithme du peintre qui est utilisé, c-a-d qu'un tri des facettes est e�ectué et les plus éloignées
de l'observateur sont dessinées en premier.
76
Dodatnio okre±lona strona face tutu (patrz dalej) b¦dzie malowana z wykorzystaniemkoloru numer mode za± strona przeciwna przy u»yciu koloru, który mo»emy okre±li¢instrukcj¡ xset("hidden3d",colorid) (domy±lnie jest to 4 kolor z palety).
(b) parametr type pozwala okre±li¢ skal¦:
type otrzymana skala0 u»ycie poprzedniej skali (tutu ou par défaut)1 skala wraz z ebox2 skala otrzymana w oparciu o minimum i maximum zmiennych tutu3 jak 1 ale skala jest izometryczna4 jak 2 ale skala jest izometryczna5 variante de 36 variante de 4
(c) parametr box kontroluje tutu le pourtour du graphe :
box otrzymany efekt0 juste le dessin de la surface2 osie pod powierzchnia s¡ rysowane3 jak dla 2 z dodatkowym tutu la boite englobante4 jak dla 3 z dodatkowym tutu la graduation des axes
4. ebox=val_ebox pozwala okre±li¢ tutu la boite englobante, val_ebox jest wektorem o 6skªadowych [xmin; xmax; ymin; ymax; zmin; zmax].
Oto maªy przykªad, w którym u»ywa si¦ prawie wszystkich parametrów plot3d. Jest to prostaanimacja pozwalaj¡ca lepiej zrozumie¢ zmiane punktu widzenia przy pomocy parametrówtheta i alpha. W skrypcie tym u»ywamy flag=[2 4 4], co oznacza
� mode = 2 powierzchnia b¦dzie rysowana (jej dodatno okre±lona strona) kolorem 2 orazb¦dzie widoczna siatka;
� type = 4 zostanie u»yta skala izometryczna obliczona na podstawie danych (jest torównowa»ne wyborowi type = 3 z parametrem ebox przyjmuj¡cym warto±ci równe mini-mum i maksimum danych);
� box = 4 rysunek b¦dzie zawieraª pudeªko tutu boite oraz stopniowanie et des graduations.
x=linspace(-%pi,%pi,31);
z=sin(x)'*sin(x);
n = 200;
theta = linspace(30,390,n); // pe\l{}ny obrót
alpha = [linspace(60,0,n/2) linspace(0,80,n/2)]; // od góry
// do do\l{}u
xselect()
xset("pixmap",1) // aktywowanie podwójnego buforowania
driver("X11")
// zmieniamy parametr theta
for i=1:n
xset("wwpc") // wyczyszczenie bie\.z\k{a}cego bufora
plot3d(x,x,z,theta=theta(i),alpha=alpha(1),leg="x@y@z",flag=[2 4 4])
xtitle("zmiany punktu widzenia przy pomocy parametru theta")
xset("wshow")
end
// zmieniamy parametr alpha
for i=1:n
xset("wwpc") // wyczyszczenie bie\.z\k{a}cego bufora
plot3d(x,x,z,theta=theta(n),alpha=alpha(i),leg="x@y@z",flag=[2 4 4])
xtitle("zmiany punktu widzenia przy pomocy parametru alpha")
77
xset("wshow")
end
xset("pixmap",0)
driver("Rec")
4.10.2 Kolory
Powró¢my jeszcze na chwilk¦ do ostatniego przykªadu i zamiast plot3d napiszmy plot3d1uzale»niaj¡c tym samym kolory od warto±ci zmiennej z. Narysowana powierzchnia powinnaprzypomina¢ w tym momencie mozaike gdy» wykorzystywana plaeta kolorów domy±lnie niejest �ci¡gªa�.Paleta kolorów jest macierz¡ o wymiarze (nb_couleurs,3), gdzie i-ta linia de�niuje intensy-wno±ci skªadowej czerwonej (warto±¢ zawarta w przedziale od 0 do 1), zielonej i niebieskiejdla i-tego koloru. Maj¡c tak¡ macierz, któr¡ nazwiemy C, polecenie xset(¢olormap",C)pozwala j¡ wczyta¢ (zaªadowa¢) do kontekstu gra�cznego bie»¡cego okna gra�cznego. Funkcje,hotcolormap oraz greycolormap dostarczaj¡ mapy ze stopniow¡ zmian¡ kolorów11. Maªauwaga: je±li dokonujemy zmiany palety kolorów po narysowaniu jakiego± rysunku, zmiany nieb¦d¡ widoczne natychmiast (jest to zachowania normalne); wystarczy zmieni¢ rozmiar oknalub tutu d'envoyer l'ordre xbasr(numero_fenetre). Oto nowy przykªad
x = linspace(0,2*%pi,31);z = cos(x)'*cos(x);C = hotcolormap(32); // hot colormap z 32 koloramixset("colormap",C)xset("hidden3d",30) // wybór koloru 30 do rysowania po ujemnie okre\'slonej stroniexbasc()plot3d1(x,x,z, flag=[1 4 4]) // spróbuj tak\.ze z flag=[-1 4 4]
Uwaga : w plot3d1, wykorzystuje si¦ jedynie znak parametru mode (je±li mode � 0 siatkazostanie narysowana, nie zostanie za± gdy mode < 0).
4.10.3 plot3d z des facettes
Chc¡c u»y¢ tej funkcji w jak najogólniejszej postaci nale»y poda¢ opis powierzchni uwzgl¦dnia-j¡c pojedyñczy tutu facettes. Okre±lany jest on przy pomocy 3 macierzy xf, yf, zf o wymi-arze (nb_sommets_par_face, nb_faces), gdzie xf(j,i),yf(j,i),zf(j,i) s¡ wspóªrz¦dnymij-tego wierzchoªka i-tego tutu facette. Poza tymi zmianami dalsze u»ycie jest takie samo jakw poprzednich przykªadach:
plot3d(xf,yf,zf <,opt_arg>*)
Orientacja tutu facettes jest odmienna od zwyczajowo przyj¦tej (patrz rysunek (4.12).
Rysunek 4.12: orientacja tut facettes w Scilab-ie
W celu zde�nowania kolorów dla ka»dego facette, trzeci argument musi by¢ list¡ : list(zf,colors)gdzie colors jest wektorem o rozmiarze nb_faces, colors(i) okre±lan numer (w palecie)koloru i-tego tutu facette.Jak w pierwszym przykªadzie, narysujemy ±ciany trój±cianu z rysunku (4.13), dla którego:
P1 =
24 0
00
35 ; P2 =
24 1
00
35 ; P3 =
24 0
10
35 ; P4 =
24 0
01
35 ;
11Patrz tak»e sekcja Contributions na stronie Scilab.
78
Rysunek 4.13: Trój±cian
gdzie de�nicja ±cian jest nast¦pujaca (w ten sposób otrzymujemy ±ciany zewn¦trzne z orientacj¡dodatni¡ dla Scilab-a):
f1 = (P1; P2; P3); f2 = (P2; P4; P3); f3 = (P1; P3; P4); f4 = (P1; P4; P2)
Napiszmy wi¦c:
// f1 f2 f3 f4xf = [ 0 1 0 0;
1 0 0 0;0 0 0 1];
yf = [ 0 0 0 0;0 0 1 0;1 1 0 0];
zf = [ 0 0 0 0;0 1 0 1;0 0 1 0]; // tutu ouf !
xbasc()plot3d(xf,yf,list(zf,2:5), flag=[1 4 4], leg="x@y@z",alpha=30, theta=230)xselect()
Otrzymany efekt powinien przypomina¢ rysunek 4.14. Mo»na zauwa»y¢, »e plot3d u»ywaprostej tutu projection orthographique et non une projection perspective plus réaliste.
Rysunek 4.14: Trój±cian narysowany w Scilab-ie.
Na bie»¡ce potrzeby, obliczenia tutu des facettes, mog¡ by¢ efektywniejsze dzi¦ki funkcjom:
� eval3dp i nf3d dla powierzchni zde�niowanych przy pomocy x = x(u; v); y = y(u; v); z =z(u; v) (patrz 4.10.4) ;
� genfac3d dla powierzchni de�niowanych przy pomocy z = f(x; y) (przykªad pokazany jesttroch¦ dalej (4.10.5)).
Je±li powierzchnia (wielo±cian) zde�niowana jest w taki sam sposób jak trój±cian z przykªadunie mo»na jego narysowa¢ bezpo±rednio przy u»yciu plot3d. W celu otrzymania opisu oczeki-wanego przez Scilab-a mo»na wykorzysta¢ funkcj¦ podobn¡ do przedstawionej poni»ej:
function [xf,yf,zf] = facettes_polyedre(P)// tutu transforme la structure Polyedre de l'exemple// sur les tlist en description de facettes pour// visualisation avec plot3d[ns, nf] = size(P.face) // ns: ilo\'s\'c wierzcho\l{}ków tworz\k{a}cych \'scian\k{e}
// nf: ilo\'s\'c \'scianxf=zeros(P.face); yf=zeros(P.face); zf=zeros(P.face)for j=1:ns
num = connect(ns+1-j,:) // dla odwrócenia orientacjixf(j,:) = P.coord(1, num)yf(j,:) = P.coord(2, num)
79
zf(j,:) = P.coord(3, num)end
endfunction
Maj¡c tak okre±lon¡ funkcj¦, rysunek wielo±cianu otrzymamy pisz¡c
[xf,yf,zf] = facettes_polyedre(Cube);plot3d(xf,yf,list(zf,2:7), flag=[1 4 0],theta=50,alpha=60)
4.10.4 Rysowanie powierzchni opisanej przy pomocy x = x(u; v), y = y(u; v),z = z(u; v)
Odpowied�: wzi¡¢ dyskretyzacj¦ dziedziny parametrów obliczy¢ tutu les facettes przy pomocyfunkcji (eval3dp). Ze wzgl¦dów wydajno±ciowych, funkcja okre±laj¡ca parametry powierzchnipowinna by¢ napisana �wektorowo�. Je±li (u1; u2; : : : ; um) i (v1; v2; : : : ; vn) stanowi¡ dyskre-tyzacj¦ dziedziny parametrów, funkcja powinna by¢ wywoªywana jednokrotnie z dwoma �du»ymi�wektorami rozmiaru m� n:
U = (u1; u2; : : : ; um| {z }1
; u1; u2; : : : ; um| {z }2
; : : : : : : ; u1; u2; : : : ; um| {z }n
)
V = (v1; v1; : : : ; v1| {z }m fois v1
; v2; v2; : : : ; v2| {z }m fois v2
; : : : : : : ; vn; vn; : : : ; vn| {z }m fois vn
)
W oparciu o te dwa wektory, funkcja powinna tworzy¢ 3 wektory X;Y et Z wymiaru m � ntakie, »e:
Xk = x(Uk; Vk); Yk = y(Uk; Vk); Zk = z(Uk; Vk)
Oto kilka przykªadów parametryzacji powierzchni, tutu écrite12 de façon à pouvoir ¦tre utiliséeavec eval3dp :
function [x,y,z] = tore(theta, phi)// tutu paramétrisation classique d'un tore de rayons R et r et d'axe OzR = 1; r = 0.2x = (R + r*cos(phi)).*cos(theta)y = (R + r*cos(phi)).*sin(theta)z = r*sin(phi)
endfunction
function [x,y,z] = helice_torique(theta, phi)// tutu paramétrisation d'une helice toriqueR = 1; r = 0.3x = (R + r*cos(phi)).*cos(theta)y = (R + r*cos(phi)).*sin(theta)z = r*sin(phi) + 0.5*theta
endfunction
function [x,y,z] = moebius(theta, rho)// wst\k{e}ga Moëbius-aR = 1;x = (R + rho.*sin(theta/2)).*cos(theta)y = (R + rho.*sin(theta/2)).*sin(theta)z = rho.*cos(theta/2)
endfunction12Piszemy je w naturalny sposób, pami¦taj¡c aby zamiast * i / napisa¢ .* i ./ i wszystko powinno dziaªa¢!
80
function [x,y,z] = tore_bossele(theta, phi)// tutu paramétrisation d'un tore dont le petit rayon r est variable avec thetaR = 1; r = 0.2*(1+ 0.4*sin(8*theta))x = (R + r.*cos(phi)).*cos(theta)y = (R + r.*cos(phi)).*sin(theta)z = r.*sin(phi)
endfunction
Oto przykªad wykorzystuj¡cy ostatni¡ powierzchni¦:
// skrypt rysuj\k{a}cy powierzchni\k{e} opisan\k{a} za pomoc\k{a} równania parametrycznegotheta = linspace(0, 2*%pi, 160);phi = linspace(0, -2*%pi, 20);[xf, yf, zf] = eval3dp(tore_bossele, theta, phi); // tutu calcul des facettesxbasc()plot3d1(xf,yf,zf)xselect()
Je±li chcemy u»y¢ kolorów a nie otrzymujemy ich na rysunku, spowodowane jest to niewªa±-ciw¡ orientacj¡; wystarczy odwróci¢ kierunek jednego z wektorów stanowi¡cego dyskretyzacj¦dziedziny.
Rysunek 4.15: Un tore bosselé... tutu
tutu Funkcja nf3d jest lekko podobna do eval3dp, ale maj¡c dyskretyzacj¦ u i v trzebazde�niowa¢ soit-m¦me des matrices X;Y; Z tak¡, »e:
Xi;j = x(ui; vj)Yi;j = y(ui; vj)Zi;j = z(ui; vj)
et vos facettes s'obtiennent alors avec [xf,yf,zf] = nf3d(X,Y,Z). Jako przykªad rozwa»mywst¦g¦ Moëbius-a dé�nit juste avant :
nt = 120;
nr = 10;
rho = linspace(-0.5,0.5,nr);
theta = linspace(0,2*%pi,nt);
R = 1;
X = (R + rho'*sin(theta/2)).*(ones(nr,1)*cos(theta));
Y = (R + rho'*sin(theta/2)).*(ones(nr,1)*sin(theta));
Z = rho'*cos(theta/2);
[xf,yf,zf] = nf3d(X,Y,Z);
xbasc()
plot3d(xf,yf,zf, flag=[2 4 6], alpha=60, theta=50)
xselect()
Uwaga: w celu otrzymania pawidªowej macierzy nale»aªo u»y¢ funkcji ones, tutu ce qui nerend pas le code très clair: funkcja eval3dp jest ªatwiejsza w u»yciu!
Rysunek 4.16: Wst¦ga Moëbius-a
81
4.10.5 plot3d z interpolacj¡ kolorów
Od wersji 2.6 , mo»liwe jest okre±lenie koloru dla ka»dego wierzchoªka tutu d'une facette.Wystarczy okte±li¢ macierz colors takiego samego wymiaru jak xf, yf, zf daj¡c¡ opiska»dego facette, to znaczy tak¡, »e colors(i,j) jest kolorem zwi¡zanym z i-tym wierzchoªkiemj-tego face, i poª¡czy¢ z trzecim argumentem (zf) w list¦:
plot3d(xf,yf,list(zf,colors) <,opt_arg>*)
Oto przykªad pocz¡tkowy plot3d bez rysowania siatki:
� tutu une couleur par face pour le dessin de gauche,
� tutu une couleur par sommet pour celui de droite.
Aby obliczy¢ wartosci kolorów, wykorzystano pomcnicz¡ funkcj¦ wi¡»¡c¡ w sposób liniowywarto±ci na karcie gra�cznej tutu!!!. (u»yto funkcji dsearch dost¦pnej od wersji 2.7 ale mo»naªatwo tutu vous en passer). Zauwa»y¢ tak»e b¦dzie mo»na wykorzytanie funkcji genfac3dpozwalaj¡cej na obliczenie tutu les facettes.
// przyk\l{}ad wykorzystania plot3d z interpolacj\k{a} kolorów
function [col] = associe_couleur(val)
// przypisanie koloru dla ka\.zdej z warto\'sci z val tutu przypsanie do warto\'sci?!!!
n1 = 1 // numer 1-ego koloru
n2 = xget("lastpattern") // numer ostatniego koloru
nb_col = n2 - n1 + 1
classes = linspace(min(val),max(val),nb_col)
col = dsearch(val, classes)
endfunction
x=linspace(0,2*\%pi,31);
z=cos(x)'*cos(x);
[xf,yf,zf] = genfac3d(x,x,z);
xset("colormap",graycolormap(64))
zmeanf = mean(zf,"r");
zcolf = associe_couleur(zmeanf);
zcols = associe_couleur(zf);
xbasc()
xset("font",6,2) // font 6 (helvetica) tutu n'est disponible
// que dans la version cvs de scilab
subplot(1,2,1)
plot3d(xf,yf,list(zf,zcolf), flag=[-1 4 4])
xtitle("Jeden kolor na tutu face")
subplot(1,2,2)
plot3d(xf,yf,list(zf,zcols), flag=[-1 4 4])
xtitle("Jeden kolor na wierzcho\l{}ek")
xselect()
Rysunek 4.17: Z i bez interpolacji kolorów.
4.11 Krzywe w przestrzeni
Podstawow¡ funkcj¡ pozwalaj¡c¡ rysowa¢ krzywe w przestrzeni jest param3d. Oto klasycznyprzykªad tutu de l'hélice:
82
t = linspace(0,4*\%pi,100);x = cos(t); y = sin(t) ; z = t;param3d(x,y,z) // ewentualne wymazanie okna graficznego za pomoc\k{a} xbasc()
tutu mais comme cette dernière ne permet que d'a�chier une seule courbe nous allons nousconcentrer sur param3d1 qui permet de faire plus de choses. Oto jej skªadnia:
param3d1(x,y,z <,opt_arg>*)param3d1(x,y,list(z,colors) <,opt_arg>*)
Macierze x, y et z musz¡ by¢ tego samego wymiaru (np,nc) a ilo±¢ krzywych (nc) jestokre±ªona przez ilo±¢ kolumn (jak dla plot2d). Parametry opcjonalne s¡ takie same jak dlafnkcji plot3d, modulo le fait que flag tutu ne ne comporte pas de paramètre mode.colors jest wektorem okre±laj¡cym styl dla ka»dej krzywej (dokªadnie jak plot2d), to znaczygdy colors(i) jest warto±ci¡ caªkowit¡ dodatni¡, i-ta krzywa rysowana jest i-tym kolorem zbie»¡cej palety kolorów (tutu ou avec di�érents pointillés sur un terminal noir et blanc); je±liza± zawarta jest pomi¦dzy -9 i 0, otrzymujemy rysnek zªo»ony z punktów (tutu non reliés)zaznaczonych odpowiednim symbolem. Oto przykªad, który powinien doprowadzi¢ nas dorysunku (4.18):
t = linspace(0,4*\%pi,100)';
x1 = cos(t); y1 = sin(t) ; z1 = 0.1*t; // spirala
x2 = x1 + 0.1*(1-rand(x1));
y2 = y1 + 0.1*(1-rand(y1));
z2 = z1 + 0.1*(1-rand(z1));
xbasc();
xset("font",2,3)
param3d1([x1 x2],[y1 y2],list([z1 z2], [1,-9]), flag=[4 4])
xset("font",4,4)
xtitle("Spirala z per\l{}ami")
Rysunek 4.18: Krzywa i punkty w przestrzeni.
Jak dla plot2d funkcj¦ t¡ nale»y wywoªa¢ kilkakrotnie je±li ró»ne krzywe nie maj¡ takiej samejilo±ci punktówon. Oto skrypt, wyja±niaj¡cy jak utworzy¢ dwie grupy punktów ze ró»nymiznakami i kolorami:
n = 50; // ilo\'s\'c punktów
P = rand(n,3); // losowanie punktów
// tutu on impose les dimensions de la boite englobante
ebox = [0 1 0 1 0 1];
// rozdzielenie punktów na dwie grupy aby pokaza\'c jak przypisa\'c
// ró\.zne symbole i kolory do punktów
m = 30;
P1 = P(1:m,:) ; P2 = P(m+1:n,:);
// rysunek
xbasc()
// pierwsza grupa punktów
xset("color",2) // tutu du bleu avec la carte par defaut niebieski w domy\'slnej palecie (?!)
param3d1(P1(:,1),P1(:,2),list(P1(:,3), -9), alpha=60, theta=30,...
leg="x@y@z", flag=[3 4], ebox=ebox)
// tutu flag=[3 4] : 3 -> echelle iso se basant sur ebox
// tutu 4 -> boite + graduation
// druga grupa punktów
xset("color",5) // tutu du rouge avec la carte par defaut
param3d1(P2(:,1),P2(:,2),list(P2(:,3), -5), flag=[0 0])
83
// tutu -5 pour des triangles inverses
// tutu [0 0] : echelle fixée et cadre dessiné avec l'appel précédent
xset("color",1) // aby ustawi\'c czarny jako bie\.z\k{a}cy kolor
xtitle("Punkty...")
xselect()
4.12 Ró»no±ci
Istnieje jeszcze wiele prymitywów gra�cznych:
1. contour2d i contour pozwalaj¡ rysowa¢ linie poziomicowe dla funkcji z = f(x; y) okre±lonejna prostok¡cie;
2. grayplot i Sgrayplot pozwalaj¡ reprezentowa¢ warto±ci funkcji tutu qui permettent dereprésenter les valeurs d'une telle fonction en utilisant des couleurs ;
3. fec odgrywaja tak¡ sam¡ rol¦ jak dwie poprzednie dla funkcji okre±lonej tutu est dé�niesur une triangulation plane ;
4. champ pozwala okre±li¢ pole wektorowe w 2D ;
5. tutu wiele funkcji wywoªywanych w tym rozdziale dopuszcza ró»ne parametry aby tworzy¢wykresy funkcji bardziej bezpo±rednio si on fournit une fonction scilab comme argument(le nom de ces fonctions commence par un f fplot2d, fcontour2d, fplot3d, fplot3d1,fchamp,...).
Aby zda¢ sobie spraw¦ z mo»liwo±ci13 wystarczy przejrze¢ tutu rubrique (dziaª,sekcja (?!))Graphic Library pomocy. Od wersji 2.7 istnieje nowy model gra�czny �zorientowany obiektowo�pozwalaj¡cy mody�kowa¢ wªa±ciwo±ci gra�ki po ujrzeniu rysunku. Domy±lnie nie jest onaktywny, ale je±li kto± chce poeksperymentowa¢ nale»y wyda¢ polecenie:
set("figure_style","new")
przed utworzeniem rysunku. Jako »e ten nowy tryb jest w trakcie rozwijania zalecane jestu»wanie wersji tutu cvs de scilab.
Biblioteka Enrico Ségré, któr¡ mo»na tutu �±ci¡gn¡¢� z jego strony:
http://www.weizmann.ac.il/~fesegre/
tutu complète celle de Scilab et contient takze funkcje pozwalaj¡ce upro±ci¢ tutu certainestaches.
13tutu attention risque de noyade !
84
Rozdziaª 5
Zastosowania i uzupeªnienia
Rozdziaª ten przedstawia metody rozwi¡zywania w Scilabie pewnych typów problemów analizynumerycznej (aktualnie równa« ró»niczkowych...) oraz dostarcza uzupeªnie«/dodatkowychinformacji niezb¦dnych podczas projektowania prostych symulacji stochastycznych.
5.1 Równania ró»niczkowe
Scilab dysponuje pot¦»nym interfejsem dla rozwi¡zywania numerycznego (w sposób przy-bli»ony) równa« ró»niczkowych przy zastosowaniu prostej instrucji ode. Rozwa»my zatemnast¦puj¡ce równanie ró»niczkowe z warunkiem pocz¡tkowym :�
u0 = f(t; u)u(t0) = u0
gdzie u(t) jest wektorem w Rn, f jest funkcj¡ R � Rn �! R
n, oraz u0 2 Rn. Zakªadamywarunki brzegowe dla których rozwi¡zanie istnieje i jest jednoznaczne a» do okresu T .
5.1.1 Podstawowe u»ycie ode
Zde�niujmy funkcj f jako funkcj¦ Scilaba w nast¦puj¡cyj sposób :
function [f] = moja_funkcja(t,u)//tutaj kod definiujacy f jako funkcje t i u.
endfunction
Rmq : Podobnie, je±li równanie jest niezale»ne, nale»y mimo wszystko doprowadzi¢ równaniedo postaci w której mamy funkcj¦ zale»ne od zmiennej t. Oto przykªad kodu dla równaniaVan der Pola :
y00 = c(1� y2)y0 � y
kªad¡c u1(t) = y(t) oraz u2(t) = y0(t) przeksztaªcamy je do ukªadu dwóch równa« ró»niczkowychpierwaszego rz¦du :
d
dt
�u1(t)u2(t)
�=
�u2(t)c(1� u21(t))u2(t)� u1(t)
�function [f] = VanDerPol(t,u)// drugi skladnik dla rownania Van der Pol (c = 0.4)f(1) = u(2)f(2) = 0.4*(1 - u(1)^2)*u(2) - u(1)
endfunction
Nast¦pnie wywoªujemy ode aby rozwi¡za¢ równanie (ukªad równa«) wzgl¦dem t0 w T , wychodz¡cod u0 (wektor kolumnowy) i chc¡c otrzyma¢ rozwi¡zanie w chwili t(1) = t0; t(2); :::; t(m) =T , wpiszemy instrukcj¦ :
85
t = linspace(t0,T,m);[U] = ode(u0,t0,t,moja_funkcja)
Otrzymamy w ten sposób �macierz� U o wymiarach (n;m), w której U(i,j) jest rozwi¡zaniemcz¦±ciowym ui(t(j)) (i-ta skªadowa w chwili t(j)). Uwaga : Liczba skªadowych branychdla t (czyli momenty w których otrzymuje si¦ rozwi¡zanie) nie maj¡ nic wspólnego z pre-cyzj¡ oblicze«. Liczba skªadników jakie przyjmujemy dla t (momenty, dla których obliczamyrozwi¡zanie) nie ma wpªywu na precyzj¦ obliczen. Dokªadno±¢ oblicze« jest determinowanaprzez inne parametry (maj¡ce warto±ci domy±lne). Z drugiej strony, oprócz ode istnieje wieleinnych algorytmów, które daj¡ si¦ zastosowa¢ do ró»nych sytuacji. Aby wybra¢ odpowiedni¡metod¦ nale»y doda¢ odpowiedni parametr w trakcie wywoªania (patrz Help). Domy±lnie (tzn.bez wybierania explicite jednej metody) stosowana jest metoda Adamsa predykcji, natomiastw przypadku gdy Scilab okre±li równanie jako �raide (sztywne)1� algorytm zostaje zmienionyna metod¦ Gear-a.
Oto kompletny przykªad dla równania Van der Pola. W tym przypadku przestrze« stanówjest pªaska, mo»na zatem otrzyma¢ obraz dynamiki rysuj¡c pole wektorowe w prostok¡cie[xmin; xmax]� [ymin; ymax] za pomoc¡ instrukcji gra�cznej fchamp w nast¦puj¡cy sposób:
fchamp(moja_funkcja,t,x,y)
gdzie mojafunkcjaoznaczanazwfunkcjiScilababdcskadnikiempoprawejstronierwnaniarnicz-kowego; tjestmomentemwktrymchcemynaszkicowapole(wprzypadkucigymrwnaniamoemyprzyjdowolnwartonp:0)orazxiyswektoramiwierszowymionxinywsprzdnychwyznaczacymipunktysiatkinaktrejznajdujsikirunkiwyznaczajcepolewektorowe:
// 1/ kreslimy pole wektorowe odpowiadajace rownaniu Van der Pola
n = 30;
delta = 5
x = linspace(-delta,delta,n); // tutaj y = x
xbasc()
fchamp(VanDerPol,0,x,x)
xselect()
// 2/ rozwiazujemy rownanie rozniczkowe
m = 500 ; T = 30 ;
t = linspace(0,T,m); // moment w ktorym znajduje sie rozwiazanie
u0 = [-2.5 ; 2.5]; // warunek poczatkowy
[u] = ode(u0, 0, t, VanDerPol);
plot2d(u(1,:)',u(2,:)',2,"000")
5.1.2 Van der Pol jeszcze raz
W tej cz¦±ci zwrócimy nasz¡ uwag¦ na mo»liwo±ci gra�czne Scilaba pozwalan¡ce otrzyma¢wiele »¡danych trajektorii bez ponownego uruchamiania skryptu z inn¡ warto±ci¡ argumentuu0. U»yjemy równie» skal¦ izometryczn¡ dla rysunków. Po wy±wietleniu pola wektorowego,ka»dy warunek pocz¡tkowy b¦dzie zadany poprzez klikni¦cie lewym przyciskiem myszy2; po-jawi si¦ wówczas punkt na »¡danej pozycji pocz¡tkowej. Jest to mo»liwe dzi¦ki funkcji xclick,której skªadnia jest nast¦puj¡ca :
[c_i,c_x,c_y]=xclick();
Jak wida¢, Scilab dyspinuje odpowiednimi procedurami, które umo»liwiaj¡ miedzy innymireagowanie na tzw �zdarzenia gra�czne� jak �klikni¦cie mysz¡�. Kiedy takie zdarzenia mamiejsce, nast¦puje automatczna lokalizacja pozycji punktu (w bie»¡cej skali) poprzez przyp-isanie jego wsp󪻦dnych do zmiennych c_x oraz c_y. Trzeci argument, czyli c_i oznaczaodpowiedni klawisz myszy zgodnie z poni»sz¡ tabelk¡ :
1równanie jest �raide� w przypadku gdy (mniej lub bardziej) ª¡czy si¦ z metodami jednoznacznymi2jak sugerowano w jednym z artykuªów dotycz¡cych Scilaba, zamieszczonym w �Linux Magazine�
86
warto±¢ dla c_i klawisz0 lewy1 ±rodkowy2 prawy
W skrypcie wyko»ystano klikni¦cie na lewy klawisz myszy jako ten, wyznaczaj¡cy punktpocz¡tkowy dla p¦ku zdarze«.
Na koniec nadano ka»dej z wyrysowanych trajektorii inny kolor (tablica couleur pozwalawybra¢ jeden z dost¦pnych kolorów). Aby otrzyma¢ skal¦ izometryczn¡ u»yjemy fchamp do-daj¡c opcjonalny argument jak dla plot2d (nale»y u»y¢ strf=wartosc_strf jako »e parametryframe�ag i axes�ag nie s¡ akceptowane). Ostatni aspekt : aby zaznaczy¢ punkt pocz¡tkowyobrysowano go maªym kóªkiem, natomiast aby pokaza¢ wszystkie mo»liwo±ci okna gra�cznegowyko»ystano sze±cienny ukªad wspóªrz¦dnych. Ostatnia uwaga : podczas gdy jest wy±wiet-lone pole wektorowe, mo»na maksymalizowa¢ okno gra�czne! Klikaj¡c dwukrotnie otrzymanorysunek (5.1) wszystkie trajektorie zbiegaj¡ do jednej sfery, czego sie spodziewamy, z puktuwidzenia teoretycznego dla tego równania
// 1/ wykres pola wektorowego dla rownania Van der Pola
n = 30;
delta_x = 6
delta_y = 4
x = linspace(-delta_x,delta_x,n);
y = linspace(-delta_y,delta_y,n);
xbasc()
fchamp(VanDerPol,0,x,y, strf="041")
xselect()
// 2/ rozwiazanie rownania rozniczkowego
m = 500 ; T = 30 ;
t = linspace(0,T,m);
couleurs = [21 2 3 4 5 6 19 28 32 9 13 22 18 21 12 30 27] // 17 kolorow
num = -1
while %t
[c_i,c_x,c_y]=xclick();
if c_i == 0 then
plot2d(c_x, c_y, style=-9, strf="000") // male o aby zaznaczyc C.I.
u0 = [c_x;c_y];
[u] = ode(u0, 0, t, VanDerPol);
num = modulo(num+1,length(couleurs));
plot2d(u(1,:)',u(2,:)', style=couleurs(num+1), strf="000")
elseif c_i == 2 then
break
end
end
Rysunek 5.1: Niektóre trajektorie w przestrzeni fazowej dla równania Van der Pol-a
5.1.3 Troche wi¦cej o ode
W tym drugim przykªadzie u»yjemy funkcji ode z drugim czªonem, który przyjmuje dodatkowyparametr oraz ustalimy sami tolerancj¦ dla kroku czasowego podczas rozwi¡zywania. Oto
87
nasze nowe równanie ró»niczkowe (Równanie Brusselator) :�du1dt = 2� (6 + �)u1 + u21x2du2dt = (5 + �)u1 � u21u2
które przyjmuje jako punkt krytyczny Pstat = (2; (5 + �)=2). Poniewa» warto±ci parametru� zmieniaj¡ si¦ z ujemnej na dodatni¡, punkt stacjonarny zmienia swój charakter (jest staªylub zmienny, wchodz¡c, dla � = 0 w zjawisko rozgaª¦zienia Hopf). Interesuj¡ nas trajektorie zwarunkiemi pocz¡tkowymi z s¡siedztwa tego punktu. Oto funkcja licz¡ca to równanie :
function [f] = Brusselator(t,u,eps)//f(1) = 2 - (6+eps)*u(1) + u(1)^2*u(2)f(2) = (5+eps)*u(1) - u(1)^2*u(2)
endfunction
Aby �poda¢� parametr, zast¡pimy w wywoªaniu ode nazw¦ funkcji (tutaj Brusselator) przezuporz¡dkowan¡ list¦ zawieraj¡c¡ nazw¦ funkcji oraz jej parametry :
[x] = ode(x0,t0,t,list(moja_funkcja, par1, par2, ...))
W naszym przypadku :
[x] = ode(x0,t0,t,list(Brusselator, eps))
a nast¦pnie zastosujemy fchamp aby narysowa¢ pole.
Aby ustali¢ zakres tolerancji dla bª¦du lokalnego rozwi¡zania u»yjemy dodatkowych parametrówrtol oraz atol zaraz po nazwie funckji (lub listy zawieraj¡cej t¦ funkcj¦ wraz z jej parame-trami. W ka»dym kroku czasowym, tk�1 ! tk = tk�1 + �tk, obliczane jest oszacowaniebª¦du lokalnego e (tzn. bª¦du dla kroku czasowego wychodz¡c z warunku pocz¡tkowegov(tk�1) = U(tk�1)) :
e(tk) ' U(tk)� Z tk
tk�1
f(t; v(t))dt+ U(tk�1)
!
(drugi skªadnik jest rozwi¡zaniem dokªadnym zale»nym od rozwi¡zania mumerycznego U(tk�1)otrzymanego w poprzednim kroku) a nast¦pnie sprawdza czy zawiera si¦ on w zakresie toler-ancji formuowane za pomoc¡ dwóch parametrów rtol et atol :
toli = rtoli � jUi(tk)j+ atoli; 1 � i � n
w przypadku gdy dane s¡ dwa wektory dªugo±ci n dla tych praramertów, oraz:
toli = rtol � jUi(tk)j+ atol; 1 � i � n
gdy dane s¡ skalary. Je»eli jei(tk)j � toli dla wszystkich skªadowych tk, krok jest akceptowanya nast¦pnie obliczony zostaje nowy krok czasowy w taki sposób, »e kryterium naªo»one naprzyszªy bª¡d b¦dzie miaªo pewne szanse na zrealizowanie si¦. W przeciwnym razie, ponowniecaªkuje si¦ pocz¡wszy od t(k�1) przyjmuj¡c nowy, nieco mniejszy krok czasowy (obliczony wgzasady, »e przyszªy test bª¦du lokalnego b¦dzie równie» speªniony z silnym prawdopodobie«st-wem). Metody tego typu oprócz zmiennych post¦pu czasowgo, manipuluj¡ równie» kolejno±ci¡równa« w celu otrzymania dobrej wydajno±ci informacji... Domy±lnie stosowanymi warto±ci-ami s¡ rtol = 10�5 i atol = 10�7(za wyj¡tkiem typów wybieraj¡cych metod¦ Runge Kutta).Wa»na uwaga : caªkowanie mo»e cz¦sto sie nie powi¹¢...
Poni»ej przedstawiamy przykªadowy skrypt, w którym punkty krytyczne oznaczono maªymi,czarnymi kwadratami (otrzymano je przy pomocy prostej funkcji gra�cznej xfrect) :
88
// Brusselator
eps = -4
P_stat = [2 ; (5+eps)/2];
// granice dla wykresu pola wektorowego
delta_x = 6; delta_y = 4;
x_min = P_stat(1) - delta_x; x_max = P_stat(1) + delta_x;
y_min = P_stat(2) - delta_y; y_max = P_stat(2) + delta_y;
n = 20;
x = linspace(x_min, x_max, n);
y = linspace(y_min, y_max, n);
// 1/ wykres pola wektorowego
xbasc()
fchamp(list(Brusselator,eps),0,x,y, strf="041")
xfrect(P_stat(1)-0.08,P_stat(2)+0.08,0.16,0.16) // dla zaznaczenia punktow krytycznych
xselect()
// 2/ rozwiazanie rownania rozniczkowego
m = 500 ; T = 5 ;
rtol = 1.d-09; atol = 1.d-10; // zakres tolerancji bledu
t = linspace(0,T,m);
couleurs = [21 2 3 4 5 6 19 28 32 9 13 22 18 21 12 30 27]
num = -1
while %t
[c_i,c_x,c_y]=xclick();
if c_i == 0 then
plot2d(c_x, c_y, style=-9, strf="000") // male o aby zanaczyc C.I.
u0 = [c_x;c_y];
[u] = ode(u0, 0, t, rtol, atol, list(Brusselator,eps));
num = modulo(num+1,length(couleurs));
plot2d(u(1,:)',u(2,:)', style=couleurs(num+1), strf="000")
elseif c_i == 2 then
break
end
end
Rysunek 5.2: Niektóre trajektorie w polu fazowym dla Brusselatora (� = �4)
5.2 Generownie liczb losowych
5.2.1 Funkcja rand
Do tej pory funkcja ta sªu»yªa nam gªównie do wypeªniania liczbami losowymi naszych macierzyi wektorów... Funkcja ta u»ywa liniowego generatora nast¦puj¡co3 :
Xn+1 = f(Xn) = (aXn + c) mod m; n � 0; gdzie
8<:
m = 231
a = 843314861c = 453816693
Jej okres jest z pewno±ci¡ równy m (oznacza to, »e f jest permutacj¡ cykliczn¡ na przedziale[0;m�1].) Zauwa»my, »e wszystkie generatory liczb losowych w komputerze s¡ ci¡gami ideal-nie zdterminowanymi, które wygladaj¡ jak losowe (dla dobrych generatorów) wedªóg pewnejliczby testów statystycznych. Aby przeksztaªci¢ je do liczb rzeczywistych z przedziaªu [0; 1),
3Wedªug tego, co autor rozumiaª ogl¡dan¡c kod
89
dzieli si¦ otrzyman¡ dan¡ przezm (i otrzymuje si¦ generator liczb rzeczywistych, który w przy-bli»eniu speªnia rozkªad jednostajny na [0; 1)). Skªadnik pocz¡tkowy szeregu jest cz¦sto zwanyinicjatorem i przyjmuje domy±lnie warto±¢ X0 = 0. Zatem pierwsze wywoªanie rand(pierwszyotrzymany wspóªczynnik je±li wypeªniamy macierz lub wektor) jest zawsze :
u1 = 453816693=231 � 0:2113249
Istnieje mo»liwo±¢ zmiany, w dowolnym momencie inicjatora za pomoc¡ instrukcji :
rand("seed",inicjator)
gdzie inicjator jest zawarty w przedziale [0;m � 1]. Cz¦sto istnieje potrzeba zainicjowaniaszeregu poprzez wybór inicjatora mniej lub bardziej przypadkowo (sytuacja taka, aby nie mie¢tej samej liczby za ka»dym razem), mo»emy chcie¢ na przykªad otrzyma¢ losowo dat¦ lubgodzin¦. Scilab dysponuje funkcj¡ getdate która generuje wektor zªo»ony z 9 elementów.W±ród nich s¡:
� drugi oznacza miesi¡c (1-12),
� szósty, dzie« miesi¡ca (1-31),
� siódmy, godzin¦ (0-23),
� ósmy, minuty (0-59),
� i dziewi¡ty, sekundy (0-61 ?).
Aby otrzyma¢ inicjator mo»na na przykªad dodawa¢ powy»sze elementy mi¦dzy sob¡ :
v = getdate()rand("seed", sum(v([2 6 7 8 9])))
Zwró¢my uwag¦ równie» na mo»liwo±¢ zast¡pienia bierz¡cego inicjatora przez :
germe = rand("seed")
Pocz¡wszy od rozkªadu jednostajnego na [0; 1), mo»na otrzyma¢ inne rozkªady a funkcja randdostarcza dostateczny interface pozwalaj¡cy otrzyma¢ rozkªad normalny (±rednia 0 i wariancja1). Aby przej±¢ od jednego do drugiego, stosuje sie nast¦puj¡c¡ skªadnie :
rand("normal") // aby otrzymac rozklad normalnyrand("uniform") // aby powrocic do rozkladu jednostajnego
Domy±lnie generator przyjmuje rozkªad jednostajny ale jest rozs¡dnie w ka»dej symulacji up-ewni¢ sie czy rand daje oczekiwany wynik u»ywaj¡c jedn¡ w tych instrukcji. Mo»na zraszt¡sprawdzi¢ aktualny rozk¡ad za pomoc¡ :
loi=rand("info") // jeden z rozkladow: "jednostajny" lub "normalny"
Ponowne wywoªanie rand mo»e przyj¡¢ nast¦puj¡ce formy :
1. A = rand(n,m) uzupeªnia macierz A (n,m) liczbami losowymi ;
2. je±li B jest macierz¡ ju» zde�niowan¡ o wymiarach (n;m) to A = rand(B) daje ten samefekt (pozwala unikn¡¢ poszukiwania wymiarów macierzy B) ;
3. wreszcie, u = rand() daje pojedyncz¡ liczb¦ losow¡.
Do dwóch pierwszych metod mo»na doda¢ argument aby wskaza¢ dodatkowo rozkªad : A =rand(n,m,loi), A = rand(B,loi), gdzie loi jest jednym z dwóch ªa«cuchów �normal� lub�uniform�.
90
Wybrane zastosowania z u»yciem funkcji rand
Pocz¡wszy od rozkªadu jednostajnego, w prosty sposób mo»na otrzyma¢ macierz (n,m) liczbwdªug :
1. rozkªad jednostajny na [a; b] :
X = a + (b-a)*rand(n,m)
2. rozkªad jednostajny na liczbach caªkowitych z przedziaªu [n1; n2] :
X = floor(n1 + (n2+1-n1)*rand(n,m))
(losujemy nast¦puj¡ce liczby rzeczywiste rozkªadu jednostajnego na przedziele rzeczy-wistym [n1;n2 + 1) a nast¦pnie bierzemy ich cz¦±¢ caªkowit¡).
Symulacja pojedynczej próby Bernulliego z prawdopodobie«stwem sukcesu p :
succes = rand() < p
otrzymujemy dzi¦ki prostej metodzie4 symuluj¡cej rozkªad dwumianowy B(N; p) :
X = sum(bool2s(rand(1,N) < p))
(bool2s przekstaªca sukcesy w 1 i nie sumuje ich w funkcji sum). Z uwagi na fakt, »e wykony-wanie iteracji przez Scilaba jest do±c wolne, mo»na otrzyma¢ bezpo±rednio wektor (kolumnowy)skªadaj¡cy si¦ z m realizacji tego rozkªadu :
X = sum(bool2s(rand(m,N) < p),"c")
ale ko»ystne b¦dzie u»ycie funkcji grand, która u»ywa metod¦ bardziej ambitn¡. Z drugiejstrony, je±li u»ywacie tego sposobu5, jest bardziej przej»y±cie aby kodowa¢ go jako funkcj¦ Scil-aba. A oto prosta funkcja symuluj¡ce rozkªad geometryczny (ilo±¢ prób Bernulliego potrzeb-nych aby otrzyma¢ sukces)6 :
function [X] = G(p)// rozklad geometrycznyX = 1while rand() > p // porazka
X = X+1end
endfunction
Wreszcie, w nawi¡zaniu do rokªadu NormalnegoN (0; 1), otrzymamy rozkªad NormalnyN (�; �2)(±rednia � i odchylenie standardowe �) za pomoc¡ :
rand("normal")X = mu + sigma*rand(n,m) // aby otrzymac macierz (n,m) tych liczb// lub przy uzyciu pojedynczej instrukcji : X = mu + sigma*rand(n,m,"normal")
5.2.2 Funkcja grand
W skomplikowanych symulacjach wyko»ystuj¡cych wiele liczb losowych klasyczna funkcja randz jej okresem rz¦du 231(' 2:147 109) mo»e okaza¢ si¦ troch¦ za ciasna. Jest zatem wskazaneu»ycie grand która równie» umo»liwia symulacj¦ wszystkich klasycznych rozkªadów. grandu»ywa sie prawie w taki sam sposób co rand, tzn. »e mo»na u»y¢ jednej z dwóch nast¦puj¡cychskªadni (oczywi±cie dla drugiej macierz A musi by¢ zde�niowana w momencie jaj wywoªania) :
4ale bardzo efektywnej dla du»ych N !5w ogólno±ci u»ywa¢ b¦dziemy funkcji grand pozwala otrzyma¢ wiekszo±¢ klasycznych rozkªadów6ta funkcja jest bardziej efektywna dla maªych p.
91
grand(n,m,loi, [p1, p2, ...])grand(A,loi, [p1, p2, ...])
où loi oznacza ªa«cuch znaków precyzuj¡cy rozkªad po którym nas¦puj¡ ewentualnie jegoparametry. Kilka przykªadów (aby otrzyma¢ prób¦ n realizacji, pod postaci¡ wektora kolum-nowego) :
1. rozkªad jednostajny na liczbach caªkowitych z du»ego przedziaªu [0;m[ :
X = grand(n,1,"lgi")
gdzie m zale»y od generatora bazy (domy±lnie m = 232) ;
2. rozkªad jednostajny na liczbach caªkowitych z przedziaªu [k1; k2] :
X = grand(n,1,"uin",k1,k2)
(musi by¢ speªniony warunek aby k2� k1 � 2147483561 bo w przeciwnym wypadku prob-lem ten jest sygnalizowany jako bª¡d);
3. dla rozkªadu jednostajnego na przedziale [0; 1) :
X = grand(n,1,"def")
4. dla rozkªadu jednostajnego na przedziaªe [a; b) :
X = grand(n,1,"unf",a,b)
5. dla rozkªadu dwumianowego B(N; p) :
X = grand(n,1,"bin",N,p)
6. dla rozkªadu geometrycznego G(p) :
X = grand(n,1,"geom",p)
7. dla rozkªadu Poissona ze ±redni¡ � :
X = grand(n,1,"poi",mu)
8. dla rozkªadu wykªadniczego ze ±redni¡ � :
X = grand(n,1,"exp",lambda)
9. dla rozkªadu normalnego ze ±redni¡ � i odchyleniem standardowym � :
X = grand(n,1,"nor",mu,sigma)
Inne przykªady mo»na znale¹¢ na stronach pomocy.
Pocz¡wszy od wersji 2.7 grand jest wyposarzony w ró»ne generatory bazowe (ktore generuj¡liczby wedªug rozkªadu lgi). Domy±lnie grand u»ywa MensenneTwister, który ma giganty-czny okres rz¦du 219937 oraz istnieje we wszystkoch 6 generatorach7.
Aby operowa¢ tymi generatorami, mo»na u»y¢ nast¦puj¡cych instrukcji:
nom_gen = grand("getgen") zwraca (nazw¦) bierz¡cego generatoragrand(±etgen",nom_gen) generator nom_gen staje si¦ bierz¡cym generatoremetat = grand("getsd") zwraca stan wewn¦trzny bierz¡cego generatoragrand(±etsd",e1,e2,..) ustawia wewn¦trzny stan bierz¡cego generatora
7"mt"
,"kiss", ¢lcg4", ¢lcg2", "fsultra", i "urand", ten ostatni b¦d¡cy poprostu generatorem rand.
92
Wymiar stanu wewn¦trznego ka»dego generatora zale»y od jego typu: od jednej wchodz¡cejdla urand do 624 wchodz¡cych plus index dla Mersenne Twister8. Je»eli chcecie wykona¢ponownie t¦ sam¡ symulacj¦, musicie zna¢ stan wewn¦trzny (z przed symulacji) u»ywanegogeneratora oraz go zapisac w taki lub inny sposób. Przykªad:
grand("setgen","kiss") // kiss staje sie generatorem bierzacym
e = [1 2 3 4]; // stan jaki chce palowyc na kiss
// (musi miec 4 wejsciowe)
grand("setsd",e(1),e(2),e(3),e(4)); // zrobione!
grand("getsd") // musi zwrocic wektor e
X = grand(10,1,"def"); // 10 liczb
s1 = sum(X);
X = grand(10,1,"def"); // znowu 10 liczb
s2 = sum(X);
s1 == s2 // ogolnie s1 bedzie sie roznic od s2
grand("setsd",e(1),e(2),e(3),e(4)); // powrot do stanu pierwotnego
X = grand(10,1,"def"); // znowu 10 liczb
s3 = sum(X);
s1 == s3 // s1 musi byc rowne s3
5.3 Dystrubuanty i ich odwrotno±ci
Dystrybuanty s¡ cz¦sto u»ywane przy testach statystycznych (�2r , ...) poniewa» pozwalaj¡ naobliczenia, niech :
1. dystrybuanta w 1 lub kilku punktach ;
2. jej odwrotno±¢ w 1 lub kilku punktach ;
3. jeden z parametrów rozkªadu jest dany przez pozostaªe i par¦ (x; F (x)) ;
W Helpie, dystrybuanty mo»na znale�¢ pod hasªem �Cumulative Distribution Functions...�,wszystkie te funkcje poprzedzone s¡ skrótem cdf. Przykªadowo dla rozkªadu NormalnegoN (�; �2), funkcja która nas interesuje nosi nazw¦ cdfnor i jej skªadnia jest nast¦puj¡ca :
1. [P,Q]=cdfnor("PQ",X,mu,sigma) aby otrzyma¢ P = F�;�(X) i Q = 1 � P , X, mu orazsigma mog¡ by¢ wektorami (o tych zamych wymiarach) i wówczas otrzymuje sie dla P i Qwektor za pomoc¡ Pi = F�i;�i(Xi) ;
2. [X]=cdfnor("X",mu,sigma,P,Q) aby otrzyma¢ X = F�1�;�(P ) (podobnie jak poprzednioargumentami mog¡ by¢ wektory o tych zamych wymiarach i wówczas otrzymuje si¦ Xi =F�1�i;�i(Pi) ;
3. [mu]=cdfnor("Mean",sigma,P,Q,X) aby otrzyma¢ ±redni¡ ;
4. i ostatecznie [sigma]=cdfnor("Std",P,Q,X,mu) aby dosta¢ odchylenie standardowe.
Dwie ostatnie skªadnie funkcjonuj¡ tak»e gdy argumentami s¡ wektory o jednakowych wymi-arach.
Uwagi :
� mo»liwo±¢ jednoczesnej pracy z p oraz q = 1�p pozwala uzyska¢ precyzj¦ w obszarze gdziep jest bliskie 0 lub 1. Dla p bliskiego 0 funkcja wyko»ystuje warto±¢ p, natomiast dla pbliskiego 1 funkcja wyko»ystuje warto±¢ q ;
� ªa«cuch znaków pozwalaj¡cy otrzyma¢ funkcj¦ odwrotn¡ nie zawsze ma posta¢ "X"...zobacznie na odpowiednich stronach pomocy.
8procedura inicjuj¡ca wraz z pojedy«czym wej±ciem istnieje nie mniej jednak dla tego generatora.
93
5.4 Proste symulacje stochastyczne
5.4.1 Wprowadzenie i notacja
Cz¦sto symulacja polega przede wszystkim na otrzymaniu wektora :
xm = (x1; ::::; xm)
którego skªadowe s¡ rozumiane jako realizacje niezale»nych zmiennych losowych i podobnierozkªad X1; X2; ::::; Xm (b¦dziemy oznacza¢ przez X zmienn¡ losow¡ generuj¡c¡ ten samrozkªad). W praktyce wektor xm otrzymuje sie bezpo±rednio lub po±rednio za pomoc¡ funkcjirand lub grand9.
W przypadku próby xm poszukujemy zbli»onych charakterystyk jej rozkªadu takich jak warto±¢oczekiwana, odchylenie standardowe, dystrybuanta (lub funkcja g¦sto±ci) lub te» gdy stawiamyhipotez¦ dotycz¡c¡ rozkªadu, aby okre±li¢ jej parametry, albo, gdy parametry s¡ ju» znane,wery�kowa¢ za pomoc¡ testów statystycznych, »e nasza próba jest (mo»liwie) dobrze reprezen-tatywn¡ zmienn¡ losow¡ która pod¡»a efektywnie za rozkªadem itd... <-???????????????????????????Dla przypadków, które nas interesuj¡, znane s¡ przewa»nie dokªadne wyniki teoretyczne, asymulacja sªu»y jedynie do zilustrowania wniosków, twierdze« (lgn?, TCL =? CTG, itd...),dziaªania metody lub algorytmu, ...
5.4.2 Przedziaªy ufno±ci
Niekiedy o empirycznej warto±ci oczekiwanej otrzymanej z naszej próby (w Scilabie : x_bar_m= mean(xm)) chcieliby±my powiedzie¢, »e mie±ci si¦ w pewnym przedziale. Ponadto chcieliby±myzna¢ ów przedziaª aby móc zapisa¢, »¦ :
E[X] 2 Ic z prawdopodobie«stwem 1� �
gdzie najcz¦±ciej � = 0:05 lub 0:01 (przedziaªy ufno±ci odpowiednio 95% i 99%). W celuwyznaczenia tych przedziaªów za punkt wyj±cia posªu»y na C.T.G.. Je±li przyjmiemy :
�Xm =1
m
mXi=1
Xi
za zmienn¡ losow¡ dla warto±ci ±redniej (gdzie �xm jest pojedyncz¡ realizacj¡), wówczas prowowielkich liczb mówi nam, »e �Xm jest �zbie»ne� do E[X] i na mocy C.T.G (przy pewnychzaªo»eniach...) mamy :
limm!+1P (a <
pm( �Xm � E[X])
�� b) =
1p2�
Z b
ae�t
2=2dt
(przyjmuje si¦, »e V ar[X] = �2). Dla dostatecznie du»ych m przyjmuje si¦, »e :
P (a <
pm( �Xm � E[X])
�� b) � 1p
2�
Z b
ae�t
2=2dt
Je»eli chcemy aby przedziaª ufno±ci byª �symetryczny� :
1p2�
Z a
�ae�t
2=2dt = FN(0;1)(a)� FN(0;1)(�a) = 2FN(0;1)(a)� 1 = 1� �
9w wi¦kszo±ci przypadków próba statystyczna dotyczy miar �zycznych (temperatura, ci±nienie,...), biometrycznych(wzrost,waga), sonda»y, itd... otrzymane dane s¡ zbierane w plikach (lub bazach danych); pewne programy (jak R) pro-ponuj¡ dla nich ukªad danych (dla których studenci b¦d¡ mogli robi¢ r¦cznie !) niestety Scilab nie dysponuje tak¡ mo»li-wo±ci¡; niemniej przypadków gdzie u»ywamy takich symulacji jest równie wiele, na przykªad aby przestudiowa¢ zachowaniepewnych systemów wej±ciowych (lub zakªuce«) losowych lub podobnie aby rozwi¡za¢ problemy czysto deterministyczne aledla których metody analizy numerycznej s¡ zbyt skomplikowane lub niemo»liwe do zaimplementowania<-??? .
94
wówczas :a� = F�1N(0;1)(1�
�
2) albo � F�1N(0;1)(
�
2)
co zapisuje si¦ w scilabie :
a_alpha = cdfnor("X", 0, 1, 1-alpha/2, alpha/2)
Otrzymujemy ostatecznie10 :
E[X] 2 [�xm � a��pm; �xm +
a��pm]
z prawdopodobie«stwem 1� � (je»eli przybli»enie granicy jest poprawne...).
Problem pojawia si¦ w momencie gdy nieznane jest odchylenie standardowe... Wyko»ystujesi¦ wówczas etymator :
Sm =
vuut 1
m� 1
mXi=1
(Xi � �Xm)2
Zast¦puj¡c odchylenie standardowe � przez sm (gdzie sm jest pojedyncz¡ realizacj¡ Sm), otrzy-mujemy przedziaª ufno±ci, który przyjmujemy równie» dla warto±ci empirycznej.
Szczególne przypadki :
1. je±li Xi ma rozkªad normalny N(�; �2) wówczas :
pm
�Xm � �
Sm� t(m� 1)
gdzie t(k) ma rozkªad Studenta o k stopniach swobody. w tym przypadku wszelkiepoprzednie przybli»enia trac¡ moc (przybli»enie granicy i przybli»enie odchylenia stan-dardowego) oraz otrzymuje sie :
� 2 [�xm � a�smpm
; �xm +a�smpm
] avec probabilité 1� �
gdzie sm jest empirycznym odchyleniem stndardowym z próby (sm = st_deviation(xm)w scilabie) gdzie a� jest warto±ci¡ krytyczn¡ rozkªadu Studenta :
a� = F�1t(m�1)(1��
2)
otrzyman¡ w scilacie11przez :
a_alpha = cdft("T", m-1, 1-alpha/2, alpha/2)
2. w momencie gdy wariancja wyra»a si¦ przez funkj¦ warto±ci oczekiwanej (Bernouilli, Pois-son, wykªadniczy,...) mo»na pzsªu»y¢ die przybli»eniem odchylenia standardowego i otrzy-muje si¦ przedziaª ufno±ci poprzez rozwi¡zanie odpowiedniej nierówno±ci.
5.4.3 Wykres dystrubuanty empirycznej
Dystrybuant¡ zmienne losowej X nazywamy funkcj¦ :
F (x) = Probabilité que X � x
10dla przedziaªu z 95%, mamy a� ' 1:96 cz¦sto zast¦powane przez 2.11zobacz na odpowiednich stronach pomocy : wªa±ciwie funkcje cdf nie maj¡ regularnej/uniwersalnej skªadni i "X" nie
musi by¢ zawsze oznaczeniem pozwalaj¡cym otrzyma¢ funkcj¦ odwrotn¡ do dystybuanty, tutaj jest to "T" !
95
Dystrybuanta empiryczna pochodz¡ca z próby xm jest de�niowana jako :
Fxm(x) = cardfxi <= xg=m
Jest to funkcja schodkowa, któr¡ liczy si¦ ªatwo je±li posortujemy wektor xm w porz¡dku rosn¡-cym (mamy wi¦c Fxm(x) = i=m dla xi � x < xi+1). Standardowym algorytmem sortuj¡cymw scilabie jest funkcja sort która sortuje malej¡co12. Aby posortowa¢ wektor xm w porz¡dkurosn¡cym u»yjemy :
xm = - sort(-xm)
£atwym sposobem narysowania wykresu jest funkcja plot2d2. Oto przykªadowy kod :
dystrybuanta_empiryczna(xm)// wykres dystrybuanty (empirycznej)// na próbie xmm = length(xm)xm = - sort(-xm(:))ym = (1:m)'/mplot2d2(xm, ym, leg="dystrybuanta empiryczna")
endfunction
Zwró¢my uwag¦ na zapis : xm(:), który jest analogiczny do zapisywania wektora wierszowego.
A teraz przykªad dla rozkªadu normalnego N (0; 1) :
m = 100;xm = grand(m,1,"nor",0,1);xbasc()dystrybuanta_empiryczna(xm); // wykres fct dystrybuanty empirycznej// dane dla wykresu dystrybuanty "dokladnej"x = linspace(-4,4,100)';y = cdfnor("PQ", x, zeros(x), ones(x));plot2d(x, y, style=2) // nanosimy krzywa na pierwszy wykresxtitle("Dystrybyanty dokladna i empiryczna")
który daje nast¦puj¡cy wykres (5.3).
Rysunek 5.3: Systrybuanta dokªadna i empiryczna rozkªadu normalnego
5.4.4 Test �2
Niech xm = (x1; :::; xm) b¦dzie nasz¡ prób¡ dla dalszej analizy. Niech b¦dzie dana hipoteza H: �zmienne losowe postaci (X1; :::; Xm) maj¡ rozkªad L�. Chcemy wiedzie¢ czy hipoteza jestprawdziwa czy nie. Dla naszej próby mo»na bez w¡tpienia obliczy¢ statystyki elementarne(±redni¡ i odchylenie standardowe empiryczne) i je»eli s¡ one dostatecznie bliskie warto±cioczekiwanej oraz odchyleniu standardowemu rozkªadu L, mo»na wówczas zastosowa¢ teststatystyczny. Test �2 stosuje si¦ dla rozkªadów dyskretnych o sko«czonej liczbie warto±ci.Na przykªad zakªadaj¡c, »e rozkªad L jest zadany przez f(vi; pi); 1 � i � ng. Test polega naobliczeniu wielko±ci :
y =
Pni=1(oi �mpi)
2
mpi
12zobacz tak»e funkcj¦ gsort, która robi wi¦cej rzeczy
96
gdzie oi jest liczb¡ realizacji xj równych vi i na przyrównaniu otrzymanej wielko±ci y dowarto±ci progowej y�, test b¦dzie pozytywny13 je±li y � y�.
Je»eli do rówanania na y wstawiwy w miejsce próby x1; :::; xm, zmienne losowe X1; :::; Xm wten sposób zde�niujemy14 zmienn¡ losow¡ Y , któr¡ mo»na przybli»a¢ (dla dostatecznie du»ychm) rozkªadem �2 o n� 1 stopniach swobody. Warto±¢ progow¡ otrzymujemy przez :
y� = F�1�2n�1
(1� �)
przy � = 0:05 lub � = 0:01. W Scilabie warto±¢ t¦ otrzymamy poprzez :
y_progowe = cdfchi("X", n-1, 1-alpha, alpha)
Aby obliczy¢ cz¦sto±¢ oi za pomoc¡ Scilaba mo»emy u»y¢ nast¦puj¡cej metody :
occ = zeros(n,1);for i=1:n
occ(i) = sum(bool2s(xm == v(i))); // albo length(find(xm==v(i)))endif sum(occ) ~= m then, error("b\l{}\k{a}d oblicze\'n"), end
I aby otrzyma¢ wielko±¢ y mo»na napisa¢ (stosuj¡c zapis wktorowy15) :
y = sum( (occ - m*p).^2 ./ (m*p) )
pod warunkiem, »e p (wektor przwdopodobie«stw rozkªadu L), b¦dzie tych samych wymiarówco occ (tutaj wektor kolumnowy ??????????).
Uwagi :
� przybli»anie rozkªadem �2 jest wa»ne gdy m jest dostatecznie du»e... »adamy cz¦stompmin > 5 (pmin = mini pi) jako minimalny warunek zastosowania tego testu; w tensposób mo»ecie wery�kowa¢ to zaªo»enie i napisa¢ wiadomo±¢ aby uprzedzi¢ u»ytkownikaje»eli nie jest speªnione.
� mo»na ªatwo pogrupowa¢ te obliczenia w funkcji;
� dla rozkªadu ci¡gªego test mo»e si¦ stosowa¢ grupuj¡c wielko±ci na przedziaªy, na przykªaddla rozkªadu U[0;1], stosuje si¦ n równomiernie rozªo»onych przedziaªów; podobnie dlarozkªadu dyskretnego o niesko«czonej liczbie wielko±ci, mo»na pogrupowa¢ je w kolejkirozkªadu; podobn¡ procedur¦ mo»na zastosowa¢ dla roskªadów sko«czonych dla którychwarynek zastosowania testu nie jest speªniony.
� je»eli testujecie rozkªad w którym pewne parametry zostaªy wcze±niej obliczone na pod-stawie danych, nale»y okre±li¢ liczb¦ stopni swobody dla rozkªadu �2 ; na przykªad je±lispodziewamy si¦ rozkªaduB(n�1; p) i u»yjemy p = �xm=(n�1) wówczas �nieprzekraczaln¡� warto±-ci¡ progow¡ dla testowanej hipotezy zerowej b¦dzie y� = F�1
�2n�2(1 � �) a nie y� =
F�1�2n�1
(1� �).
5.4.5 Test Koªmogorowa-Smirnova
Niech X b¦dzie rzeczywist¡ zmienn¡ losow¡ dla której dystrybuanta rozkªadu jest funkcj¡ci¡gª¡ F oraz X1, X2,..., Xm, m niezale»nych zmiennych losowych. Dla realizacji Xi (mówimywektor xm = (x1; ::::; xm)), mo»na skonstruowa¢ dystrybuant¦ empiryczn¡ która przy (m !+1) d¡zy do dystrybuanty teoretycznej. Test KS polega na okre±leniu ró»nicy pomi¦dzy
13z intuicyjnego punktu widzenia je»eli hipoteza jest dobra oczekujemy, »e oi nie odbiega zbytnio od mpi, zatem je»elihipoteza jest faªszywa oczekujemy »e otrzymamy wysok¡ warto±¢ y, sk¡d odrzucimy hipotez¦ dla y > y�...
14poprzez zmienn¡ losow¡ wektorow¡ O = (O1; :::; On) maj¡c¡ rozkªad wielomianowy<-?????15¢wiczenie: przeksztaª¢ t¦ instrukcj¦ wektorow¡ aby zrozumie¢ jak (i dlaczego) dziaªa.
97
dystrybuant¡ teoretyczn¡ i empiryczn¡ (otrzyman¡ na podstawie naszej próby (x1; ::::; xm))w nast¦puj¡cy sposób :
km =pm sup�1<x<+1
jF (x)� Fxm(x)j
i na porównaniu jej z wielko±ci¡ �dopuszczaln¡�. Je»eli zast¡pimy nasz¡ realizac¦ przez odpowied-nie zmienne losowe, wówczas km staje si¦ równie» zmienn¡ losow¡ (któr¡ zapisujemy jako Km).Zgodnie z teori¡ jej dystrybuanta jej rozkªadu jest nast¦puj¡ca :
limm!+1P (Km � x) = H(x) = 1� 2
+1Xj=1
(�1)j�1e�2j2x2
Jak przy te±cie �2, je»eli rozwa»ana hipoteza jest faªszywa, otrzymane warto±ci km b¦d¡ du»ei odrzycimy t¦ hipoteze gdy:
km > H�1(1� �)
z � = 0:05 lub 0:01 na przykªad. Je±li u»ywamy przybli»enia H(x) ' 1 � 2e�2x2 wówczasnieprzekraczalna warto±¢ progowa jest :
kseuil =
r1
2ln(
2
�)
Obliczenie km nie sprawia problemu je»eli posortuje si¦ wektor (x1; x2; : : : ; xm). Sortowaniwb¦dzie efektywne gdy zwrócimy uwag¦ ne fakt aby :
supx2[xi;xi+1[
Fxm(x)� F (x) =i
m� F (xi); et sup
x2[xi;xi+1[F (x)� Fxm(x) = F (xi+1)� i
m
dwie nast¦pne wielko±ci mo»na ªatwo policzy¢ :
k+m =pm sup�1<x<+1
(Fxm(x)� F (x)) =pm max
1�j�m(j
m� F (xj))
k�m =pm sup�1<x<+1
(F (x)� Fxm(x)) =pm max
1�j�m(F (xj)� j � 1
m)
i otrzymujemy w ten sposób km = max(k+m; k�m).
5.4.6 ¢wiczenia
Czy to sprawka kostki ?
Rzucamy 200 razy symetryczn¡ kost¡ do gry, do±wiadczenie jest nast¦puj¡ce : rzucamy tylerazy a» wypadnie 1 (ale nie wi¦cej ni» 10 rzutów). Otrzymali±my nast¦puj¡ce wyniki :
liczba rzutów 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 � 11
ilo±¢ do±wiadcze« 36 25 26 27 12 12 8 7 8 9 30
na przykªad 36 razy jedynka pojawiªa sie w pierwszym rzycie, 25 razy jedynka pojawiªa sie wdrugim »ucie, itd...
Wykona¢ test �2 aby udzieli¢ odpowiedzi na postawione pytanie.
98
Urna Polya
Losujemy N razy z urny Polya zawieraj¡cej pocz¡tkowo r kul czerwonych i v kul zielonych.Ka»de losowanie polega na wyci¡gni¦ciu jednej kuli i jej odªo»eniu spowrotem do urny wraz zc kulami tego samego koloru. Przez Xk oznaczamy stosunek kul zielonych po k losowaniachdo sumy kul, Vk oznacza ilo±¢ kul zielonych :
X0 =v
v + r; V0 = v:
Je»eli v = r = c = 1, wynik b¦dzie nast¦puj¡cy :
1. E(XN ) = E(X0) = X0 = 1=2 ;
2. XN ma rozkªad normalny na zbiorze f 1N+2 ; :::::;
N+1N+2g ;
3. dla N ! +1, XN jest zbie»ne do rozkªadu jednostajnego na przedziale [0; 1).
Wyko»ystacie symulacj¦ aby zilustrowa¢ dwa pierwsze wyniki.
1. Aby przeprowadzi¢ ró»ne symulacje, mo»na napisa¢ funkcj¦ zale»n¡ od parametru N iktóra wykonuje N kolejnych losowa«. Funkcja ta zwraca wi¦c XN i VN :
function [XN, VN] = Urna_Polya(N)
// symulacja N losowan z "Urny Polya" :
VN = 1 ; V_plus_R = 2 ; XN = 0.5
for i=1:N
u = rand() // losowanie jednej kuli
V_plus_R = V_plus_R + 1 // zwieksza ilosc kul
if (u <= XN) then // wylosowalislmy kule zielona : mamy XN prawdopodobienstwo
// wylosowania kuli zielonej (1 - XN dla kuli czerwonej)
VN = VN + 1
end
XN = VN / V_plus_R // aktualizujemy stosunek kul zielonych
end
endfunction
niestety skuteczne wykonanie statystyk wymaga wielokrotnego wywoªania tej funkcji, azatem, z uwagi na stosunkowo powolne wykonywanie iteracji przez Scilab, nale»y na-posa¢ funkcj¦ wykonuj¡c¡ m procesów �równolegªych� . Mo»na u»y¢ funkcji find abynaprawi¢????? urny z których losujemy kule zielone.
2. Napisa¢ skrypt znajduj¡cy poprzez symulac¦ warto±¢ oczekiwan¡ (wraz z jej przedzieªemufno±ci).
3. Rozwin¡¢ poprzedni skrypt testuj¡c hipotez¦ H dotycz¡c¡ rozkªadu zmiennej losowej XN
�H : XN ma rozkªad jednostajny na zbiorze f 1N+2 ; :::::;
N+1N+2g� za pomoc¡ testu �2.
4. Porówna¢ wyniki gra�cznie, na przykªad rysuj¡c na jednym rysunku dystrybuant¦ em-piryczn¡ i teoretyczn¡, lub te» narysowa¢ wykres funkcji g¦sto±ci rozkªadu �2 dla otrzy-manych wielko±ci przez ten test, wielko±ci progowe zaznaczy¢ liniami pionowymi.
Most ?????
Proces stochastyczny (w którym U oznacza rozkªad jednostajny na przedziale [0; 1]) :
Xn(t) =1pn
nXi=1
(1fUi�tg � t)
jest taki, »e dla ustalonego t 2]0; 1[ mamy :
limn!+1Xn(t) = Y (t) � N (0; t(1� t))
99
Chcemy zilustrowa¢ wyniki za pomoc¡ symulacji.
Schemat pracy :
1. Napisa¢ funkcj¦ Scilaba function [X] = pont_brownien(t,n) pozwalaj¡c¡ otrzyma¢ re-alizacj¦ Xn(t) ; w ci¡gu wywoªamy t¦ funkcj¦ m razy z warto±ci¡ n dostatecznie du»ym16
nale»y zatem napisa¢ j¡ bez u»ycia pentli.
2. Napisa¢ sktypt scilaba wyko»ystuj¡c t¦ symulacj¦ mostu Brownien : wykona¢ m symulacjiXn(t) (z du»ym n) i przedstawi¢ gra�cznie zachowanie rozkªadu (rysuj¡c jego dystrybuant¦empiryczn¡ i nakªadaj¡c na ni¡ dystrybuant¦ teoretyczn¡ Y (t)) a nast¦pnie zastosowa¢test Koªmogorowa-Smirnova. Mo»na umie±ci¢ poprzedni¡ funkcj¦ na pocz¡tku skryptuaby pracowa¢ tylko z jednym plikiem.
Uwaga : nie jest ªatwo dobra¢ odpowiednie wielko±ci dlam i n : kiedym wierzy ...?????????????.......gdzietest si¦ nie powiódª poniewa» uznaª, »e n nie jest dostatecznie du»e (poniewa» rozkªad nor-malny otrzymuje si¦ z granicy gdy n! +1), nale»y zatem zwi¦kszy¢ n... Dla t = 0:3, mo»eciena przykªad przetestowa¢ z n = 1000 i m = 200; 500; 1000, i test daje dobre wyniki (»adkood»uca hipotez¦ zerow¡) ale dla m = 10000 test jest prawie zawsze negatywny. Je»eli zwi¦k-szymy n (na przykªad do n = 10000 ale obliczenia zaczynaj¡ by¢ nieco dªu»sze na komputerzePC wykonanym w 2003) wówczas test ponownie staje si¦ �normalnie� pozytywny.
16aby przybli»y¢ Y (t) !
100
Rozdziaª 6
Ciekawostki
W tej cz¦±ci przedstawiono/przytoczono przegl¡d niektórych bª¦dów cz¦sto spotykanych wScilabie...
6.1 De�niowanie wektora i macierzy �wspóªczynnik po wspóªczyn-niku�
Ten bª¡d jest jednym z najcz¦strzych. Rozwa»my nast¦puj¡cy skrypt :
K = 100 // jedyny parametr w tym skrypciefor k=1:K
x(k) = cosy(k) = cos innego
endplot(x,y)
Je»eli uruchomimy ten skrypt po raz pierwszy, zostan¡ zde�niowane dwa wektory x i y. Po-jawia si¦ jeden maªy bª¡d poniewa» w ka»dej iteracji Scilab rede�niuje rozmiary tych wektorów(nie wie, »e ich wymiarem ko«cowym b¦dzie (K,1)). Zauwa»my równie», »e domy±lnie stworzywektor kolumnowy. Podczas drugiero wywoªania (zmieniaj¡c parametr K...) wektory x i y s¡znane i takie, »e k jest mniejsze od 100 (pocz¡tkowa wielko±¢ parametru K) zatem zmienianes¡ rówenie» ich wspóªrz¦dne. W konsekwencji je»eli nowa warto±¢ K jest taka, »e :
� K < 100 wówczas nasze wektory x i y maj¡ zawsze 100 wspóªrz¦dnych (zmody�kowanejest tylko K pierwszych) a wykres nie pokazuje tego co oczekujemy ;
� K > 100 nie pojawia si¦ »aden problem (za wyj¡tkiem tego, »e rozmiar wektora jest zaka»dym razem aktualizowany pocz¡wszy od 101 iteracji)
Najlepszym sposobem jest zde�niowanie wektorów x i y za pomoc¡ inicjalizacji ich rodzaju :
x = zeros(K,1) ; y = zeros(K,1)
w ten sposób uniknie si¦ wszelkich bª¦dów. Nasz skrypt zatem przyjmie posta¢ :
K = 100 // jedyny parametr w tym skrypciex = zeros(K,1); y = zeros(K,1);for k=1:K
x(k) = cosy(k) = cos innego
endplot(x,y)
101
6.2 Na temat warto±ci zwracanych przez funkcj¦
Zaªó»my, »e mamy zaimplementowan¡ funkcj¦ w Scilabie zwracaj¡c¡ dwa argumenty, naprzykªad :
function [x1,x2] = resol(a,b,c)
// rozwi\k{a}zanie równania kwadratowego a x^2 + b x + c = 0
// formu\l{}ad poprawiona dla wi\k{e}kszo\'sci metod numerycznych
// (w celu unikni\k{e}cia odejmowania dwóch s\k{a}siednich liczb)
if (a == 0) then
error(" nie rozwa\.zamy przypadku gdy a=0 !")
else
delta = b^2 - 4*a*c
if (delta < 0) then
error(" nie rozwa\.zamy przypadku gdy delta < 0 ")
else
if (b < 0) then
x1 = (-b + sqrt(delta))/(2*a) ; x2 = c/(a*x1)
else
x2 = (-b - sqrt(delta))/(2*a) ; x1 = c/(a*x2)
end
end
end
endfunction
W ogólnym przypadku je»eli wywoªamy funkcj¦ w Scilabie w nast¦puj¡cy sposób :
-->resol(1.e-08, 0.8, 1.e-08)ans =
- 1.250D-08
jej wynik jest przypisany zmiennej ans. Ale zmienna ta jest pojedyncz¡ liczb¡, a funkcjazwraca dwie warto±ci z których tylko pierwsza jast przypisana zmienne ans. Aby zobaczy¢drug¡ warto±¢ u»yjemy skªadni :
-->[x1,x2] = resol(1.e-08, 0.8, 1.e-08)x2 =
- 80000000.x1 =
- 1.250D-08
Inna, niebezpieczniejsza puªapka jest nast¦puj¡ca. Zaªó»my, »e znamy precyzj¦ z jak¡ dziaªata formuªa (w stosunku do precyzji dziaªania formóª klasycznych). Aby dobra¢ warto±ci a i c(na przykªad a = c = 10�k przyjmuj¡c ró»ne warot±ci k) obliczymy wszystkie pierwiastki dlakolejnych parametrów równania i ustawimy je jako dwa wektory sªu»ce do pó�niejszej analizy.Najprostrzy schemat jest nast¦puj¡cy :
b = 0.8;kmax = 20;k = 1:kmax;x1 = zeros(kmax,1); x2=zeros(kmax,1);for i = 1:kmax
a = 10^(-k(i)); // c = a[x1(i), x2(i)] = resol(a, b, a); // BLAD !
end
Taka skªadnia nie zadziaªa (jedynie w przypadku gdy funkcja zwraca jedn¡ warto±¢). Nale»ywykona¢ to w dwóch krokach :
102
[rac1, rac2] = resol(a, b, a);x1(i) = rac1; x2(i) = rac2;
Uwaga : Problem ten jest rozwi¡zany w wercjach rozwijaj¡cych (cvs) dla Scilaba.
6.3 Funkcja zostaªa zmidy�kowana ale...
wszystko dziaªa tak jak przed mody�kacj¡ ! By¢ mo»e zapomnieli±cie zapisa¢ zmiany w waszymedytorze albo, co jest bardziej prawdopodobne, zapomnieli±cie zaªadowa¢ plik zawieraj¡cyfunkcj¦ w Scilabie za pomoc¡ instrukcji getf (lub exec) ! Jedna maªa wskazówka : instrukcjagetf (lub exec) jest z pewno¡ci¡ zapisana niedaleko w historii komend, wystarczy zatem zapomoc¡ strzaªki " odszuka¢ t¦ instrukcj¦.
6.4 Problem z rand
Domy±lnie funkcja rand dostarcza liczby losowe wedªug rozkªadu jednostajnego na przedziale[0; 1[, mo»na jednak otrzyma¢ rozkªad normalny N (0; 1) za pomoc¡ : rand(«ormal"). Chc¡cpowróci¢ do rozkªadu jednostajnego nale»y wpisa¢ instrukcj¦ rand("uniform"). Aby unikn¡¢tego problemu najlepiej pami¦ta¢ aby ka»de wywoªanie funkcji rand. precyzowaªo rozkªadktóry nas aktualnie interesuje (patrz poprzedni rozdziaª).
6.5 Wektory wierszowe, wektory kolumnowe...
W kontek±cie macierzowym ich posta¢ jest sprecyzowana, ale dla innych zastosowa« nie zawszes¡ one rozrózniane i stosuje sie funkcj¦ która dziaªa w obydwu przypadkach. Aby przyspieszy¢obliczenia dobrze jest odwoªa¢ si¦ do skªakni macierzowej i wybra¢ jedn¡ lub drug¡ form¦wektora. Mo»na wyko»ysta¢ funkcj¦ matrix w nast¦puj¡cy sposób :
x = matrix(x,1,length(x)) // aby otrzyma\'c wektor wierszowyx = matrix(x,length(x),1) // aby otrzyma\'c wektor kolumnowy
Chc¡c otrzyma¢ w prosty sposób wektor kolumnowy mo»na wyko±ysta¢ instrukcj¦ :
x = x(:)
6.6 Operator porównania
W pewnyc przypadkach Scilab akceptuje symbol = jako operator porównania :
-->2 = 1Warning: obsolete use of = instead of ==
!ans =F
ale lepiej jest zawsze u»ywa¢ symbolu ==.
6.7 Liczby zespolone a liczby rzeczywiste
Scilab jest tak skonstruowany aby traktowa¢ liczby rzeczywiste w taki sam sposób jak liczbyzespolone ! Jest to calkiem praktyczne ale mo»e niekiedy by¢ przyczyn¡ niespodzianek, naprzykªad podczas szacowania funkcji rzeczywistej poza jej dziedzin¡ (na przykªad
px i log(x)
103
dla x < 0, acos(x) i asin(x) dla x =2 [�1; 1], acosh(x) dla x < 1) ) poniewa» Scilab zwracawówczas oszacowanie cz¦±ci zespolonej tej funkcji. Aby dowiedzie¢ si¦ czy dziaªamy na zmi-ennej zespolonej czy rzeczywistej nale»y u»y¢ funkcji isreal :
-->x = 1x =
1.
-->isreal(x)ans =T
-->c = 1 + %ic =
1. + i
-->isreal(c)ans =F
-->c = 1 + 0*%ic =
1.
-->isreal(c)ans =F
6.8 Proste instrukcje a funkcje Scilaba
W niniejszym opracowaniu cz¦stu stosuje sie zamiennie terminów prosta instrukcja i funkcjaaby wskaza¢ �procedury� dost¦pne w bie»¡cej werksji Scilaba. Istnieje jednak fundamentalnaró»nica pomi¦dzy prost¡ instrukcj¡ która jest kodowana w fortranie 77 lub w C a funkcj¡(zwan¡ równie» makro) która jest kodowana w j¦zyku Scilaba : funkcja jest wówcz¡s rozu-miana jako zmienna Scilaba, i dzi¦ki temu mo»na j¡ u»y¢ jako argumentu dla inne funkcji.Pocz¡wszy od wersji 2.7, proste instrukcje bywaj¡ zmiennymi w Scilabie (fptr). Niemniejjednak przysparzaj¡ wiele problemów (aktualnie rozwi¡zanych w rozwini¦ciach).Oto przykªad problemu jaki mo»na spotka¢ : funkcja nast¦puj¡ca pozwalaj¡ca przybli»a¢ zbiórprzy zastosowaniu metody Monte Carlo :
function [im,sm]=MonteCarlo(a,b,f,m)
// /b
// przybli\.zenie | f(x) dx przy zastosowaniu metody Monte Carlo
// /a
// zwracane jest równie\.z empiryczne odchylenie standardowe
xm = grand(m,1,"unf",a,b)
ym = f(xm)
im = (b-a)*mean(ym)
sm = (b-a)*st_deviation(ym)
endfunction
Jako argument f oczekuje si¦ funkcji Scilaba ale ten kod powienien równie» dziaªa¢ dla funkcjimatematycznych które nale»¡ do prostych instrukcji Scilaba1 poniewa» s¡ one teraz rozwa»ane
1na przykªad sin, exp i wiele innych.
104
jako zmienne. Niemniej jednak test z u»yciem prostej instrukcji exp nie powiedzie si¦ :
-->[I,sigma]=MonteCarlo(0,1,exp,10000) // bug !
Wywoªuj¡c funkcj¦ MonteCarlo za pomoc¡ getf z opcj¡ nie kompilowania :
-->getf("MonteCarlo.sci","n")
bª¡d ten [bug] (skorygowany w aktualnym cvs) b¦dzie wówczas omini¦ty.
6.9 Obliczanie wyra»e« logicznych
W przeciwie«stwie do j¦zyka C, obliczenie warto±ci logicznej wyra»e« :
a lub ba i b
poprzedzone jest wyliczeniem warto±ci logicznej a i b, dopiero potem zostanie wykonana nanich operacja sumy czy iloczynu logicznego (Priorytety operatorów zamieszczono w rozdziale�Programowanie�).
105
Dodatek A
Odpowiedzi do ¢wicze« z rozdziaªu 2
1. --> n = 5 // dla ustalenia warto\'sci n...--> A = 2*eye(n,n) - diag(ones(n-1,1),1) - diag(ones(n-1,1),-1)
Szybszym sposobem jest u»ycie funkcji toeplitz :
-->n=5; // pour fixer une valeur a n...
-->toeplitz([2 -1 zeros(1,n-2)])
2. Je»eli A jest macierz¡ (n; n), diag(A) zwróci wektor kolumnowy zawieraj¡cy elementydiagonalne macierzy A (a zatem otrzymamy wektor kolumnowy o wymiarze n).tt diag(diag(A)) zwróci macierz kwadratow¡ diagonaln¡ o wymiarze n, w której elementydiagonalne b¦d¡ takie jak w macierzy wyj±ciowej.
3. Oto jedna z mo»liwo±ci :
--> A = rand(5,5)--> T = tril(A) - diag(diag(A)) + eye(A)
4.(a) --> Y = 2*X.^2 - 3*X + ones(X)--> Y = 2*X.^2 - 3*X + 1 // wyko\.zystuj\k{a}c zapis skrócony--> Y = 1 + X.*(-3 + 2*X) // oraz schemat Hornera
(b) --> Y = abs(1 + X.*(-3 + 2*X))
(c) --> Y = (X - 1).*(X + 4) // wyko\.zystuj\k{a}c zapis skrócony
(d) --> Y = ones(X)./(ones(X) + X.^2)--> Y = (1)./(1 + X.^2) // z skrótami
5. Oto skrypt :
n = 101; // dyskretyzacjax = linspace(0,4*%pi,n);y = [1 , sin(x(2:n))./x(2:n)]; // aby zapobiec dzieleniu przez zero...plot(x,y,"x","y","y=sin(x)/x")
6. Mo»liwe rozwi¡zanie (dla ró»nych warto±ci n) :
n = 2000;x = rand(1,n);xbar = cumsum(x)./(1:n);
106
plot(1:n, xbar, "n","xbar", ..."ilustracja lgn : xbar(n) -> 0.5 qd n -> + oo")
107
Dodatek B
Rozwi¡zania ¢wicze« z rozdziaªu 3
1. Klasyczny algorytm wyko»ystu¡cy dwie p¦tle :
function [x] = sol_tri_sup1(U,b)//// rozwi\k{a}zanie Ux = b gdzie U jest macierz\k{a} trójk\k{a}tn\k{a} górn\k{a}//[n,m] = size(U)// kilka wyj\k{a}tków ....if n ~= m then
error(' Macierz nie jest kwadratowa')end[p,q] = size(b)if p ~= m then
error(' Wyraz wolny ma nieprawid\l{}owy wymiar')end// pocz\k{a}tek algorytmux = zeros(b) // rezerwuje miejsce dla xfor i = n:-1:1
suma = b(i,:)for j = i+1:n
suma = suma - U(i,j)*x(j,:)endif U(i,i) ~= 0 then
x(i,:) = suma/U(i,i)else
error(' Macierz jest nieodwracalna')end
endendfunction
A oto wersja wykorzystuj¡ca pojedy«cz¡ p¦tl¦
function [x] = sol_tri_sup2(U,b)////[n,m] = size(U)// niektóre wyj\k{a}tki ....if n ~= m then
error(' Macierz nie jest kwadratowa')end
108
[p,q] = size(b)if p ~= m then
error(' Wektor wyrazów wolnych ma z\l{}y wymiar)end// pocz\k{a}tek algorytmux = zeros(b) // rezerwuje miejsce dla xfor i = n:-1:1
suma = b(i,:) - U(i,i+1:n)*x(i+1:n,:) // zobacz komentarz ko\'ncowyif U(i,i) ~= 0 then
x(i,:) = suma/U(i,i)else
error(' Nie mo\.zna odwróci\'c macierzy')end
endendfunction
Komentarz : w pierwszej iteracji (dla i = n) macierze U(i,i+1:n) et x(i+1:n,:) s¡ puste.Odpowiadaj¡ one obiektom zde�niowanym w Scilabie (macierz pusta), które oznaczone s¡przez []. Dodawanie macierzy pustej jest zde�niowane i daje : A = A + []. Zatem wpierwszej iteracji mamy suma = b(n,:) + [] to znaczy suma = b(n,:).
2. //// skrypt rozwiazujacy x" + alpha*x' + k*x = 0//// Aby przeksztalcic rownanie do postaci ukladu rownan pierwszego rzedu// kladziemy : X(1,t) = x(t) i X(2,t) = x'(t)//// Otrzymujemy wowczas : X'(t) = A X(t) z : A = [0 1;-k -alpha]//k = 1;alpha = 0.1;T = 20; // moment koncowyn = 100; // dyskretyzacja czasowa : przedzial [0,T] zostanie
// podzielony na n przedzialowt = linspace(0,T,n+1); // momenty czasowe : X(:,i) bedzie korespondowal z X(:,t(i))dt = T/n; // zmiana czasuA = [0 1;-k -alpha];X = zeros(2,n+1);X(:,1) = [1;1]; // warunki poczatkoweM = expm(A*dt); // oblicza exponent A dt
// obliczeniafor i=2:n+1X(:,i) = M*X(:,i-1);
end
// wyswitlenie rezultatówxset("window",0)xbasc()xselect()plot(t,X(1,:),'czas','pozycja','Courbe x(t)')xset("window",1)xbasc()xselect()
109
plot(X(1,:),X(2,:),'pozycja','predkosc','Trajektoria w przestrzeni stanow')
3. function [i,info]=przedzial(t,x)// poszukuje dychotomii przedzialu i takiej, ze: x(i)<= t <= x(i+1)// jezeli t nie jest z przedzialu [x(1),x(n)] zwraca info = %fn=length(x)if t < x(1) | t > x(n) then
info = %fi = 0 // kladziemy wartosc domyslna
elseinfo = %ti_dolne=1i_gorne=nwhile i_gorne - i_dolne > 1
itest = floor((i_gorne + i_dolne)/2 )if ( t >= x(itest) ) then, i_dolne= itest, else, i_gorne=itest, end
endi=i_dolne
endendfunction
4. function [p]=myhorner(t,x,c)// rozwiniecie wielomianu c(1) + c(2)*(t-x(1)) + c(3)*(t-x(1))*(t-x(2)) + ...// algorytmem Hornera// t jest wektorem (lub macierza) momentów czasun=length(c)p=c(n)*ones(t)for k=n-1:-1:1
p=c(k)+(t-x(k)).*pend
endfunction
5. Rozwini¦cie w szereg Fouriera :
function [y]=signal_fourier(t,T,cs)
// ta funkcja zwraca T-okresowy sygnal// t : wektor momentow dla których obliczmy// sygnal y ( y(i) odpowiadaj\k{a}cy t(i) )// T : okres sygnalu// cs : jest wektorem ktory wskazuje amplitude kazdej funkcji f(i,t,T)
l=length(cs)y=zeros(t)for j=1:l
y=y + cs(j)*f(j,t,T)end
endfunction
function [y]=f(i,t,T)
// wielomiany trygonometryczne dla sygna\l{}u o okresie T :
// jesli i jest parzyste : f(i)(t)=sin(2*pi*k*t/T) (z k=i/2)// jesli i jest nieparzyste : f(i)(t)=cos(2*pi*k*t/T) (z k=floor(i/2))
110
// stad w szczególnosci f(1)(t)=1 jest traktowany ponizej// jako przypadek szczegolny i niezbyt wa\.zny// t jest wektorem mamentów czasowych
if i==1 theny=ones(t)
elsek=floor(i/2)if modulo(i,2)==0 then
y=sin(2*%pi*k*t/T)else
y=cos(2*%pi*k*t/T)end
endendfunction
6. Spotkanie : niech TA i TB b¦d¡ momentami przybycia Pana A i Pani B. S¡ to dwie zmi-enne losowe niezale»ne o rozkªadzie U([17; 18]) a spotkanie ma miejsce jezeli [TA; TA +1=6][ [TB; TB+1=12] 6= ;. Doswiadczenie spotkania odpowiada realizacji zmienne losowejwektorowej R = (TA; TB) która, zgodnie z hipotezami, ma rozkªad zero-jedynkowy nakwadracie [17; 18] � [17; 18]. Prawdopodobie«stwo spotkania wyznacza sie wi¦c w opar-ciu o zale»no±¢ pomi¦dzy powie»chni¡ obszaru (odpowiadaj¡c¡ pojedynczemu spotkaniu)zde�niowan¡ jako: 8<
:TA � TB + 1=12TB � TA + 1=6TA; TB 2 [17; 18]
oraz powie»chni¡ kwadratow¡ (1), przez co otrzymuje sie p = 67=288. Aby obliczy¢to prawdopodobie«stwo, mo»na przyj¡¢ ze spotkanie powinno miec miejsce pomi¦dzypoªódniem a godzin¡ pierwsz¡. Poprzez symulacj¦ otrzymuje sie m do±wiadcze« a praw-dopodobie«stwo empiryczne jest liczb¡ przypadków w których spotkanie ma miejce podzielon¡przez m. A oto rozwi¡zanie :
function [p] = rdv(m)tA = rand(m,1)tB = rand(m,1)spotkanie = tA+1/6 > tB & tB+1/12 > tA;p = sum(bool2s(spotkanie))/m
endfunction
mo»na tak»e wyko»ysta¢ funkcje grand opisan¡ w rozdziale dotycz¡cym zastosowa« :
function [p] = rdv(m)tA = grand(m,1,"unf",17,18)tB = grand(m,1,"unf",17,18)spotkanie = tA+1/6 > tB & tB+1/12 > tA;p = sum(bool2s(spotkanie))/m
endfunction
111
Dodatek C
Rozwi¡zania ¢wicze« z rozdziaªu 4
Czy to sprawka kostki?
Je»eli przez J oznaczymy zmienn¡ losow¡ b¦d¡c¡ wynikiem do±wiadczenia, wówczas J marozkªad geometryczny G(p) gdzie p = 1=6 przy zaªo»eniu, »e kostka jest symetryczna. Wten sposób mo»emy okre±li¢ prawdopodobie«stwo poszczególnych zmiennych losowych jako(przymujemy q = 1� p = 5=6) :
P (J = 1) = p; P (J = 2) = qp; P (J = 3) = q2p; ::::; P (J = 10) = q9p; P (J > 10) = q10
W drugiej cz¦±ci tabeli podano cz¦sto±¢ wyst¦powania poszczególnych zmiennych losowych, cow skrypcie zapiszemy nast¦puj¡co :
occ= [36 ; 25 ; 26 ; 27 ; 12 ; 12 ; 8 ; 7 ; 8 ; 9 ; 30];
p = 1/6; q = 5/6;
pr = [p*q.^(0:9) , q^10]';
y = sum( (occ - m*pr).^2 ./ (m*pr) );
y_progowy = cdfchi("X", 10, 0.95, 0.05);
mprintf("\n\r Test dla :")
mprintf("\n\r y = %g, et y_progowy (95 \%) = %g", y, y_progowy)
mprintf("\n\r 200*min(pr) = %g", 200*min(pr))
Otrzmujemy y = 7:73915 gdy yseuil = 18:307, zatem kostka wydaje si¦ by¢ prawidªowa.Niemniej jednak mamy 200�min(pr) ' 6:5 co jest znacznie poni»ej warunku pozwalaj¡cegozastosowa¢ test (nale»aªoby wykona¢ jeszcze kilka dodatkowych do±wiadcze«).
Urna Polya
Funkcja scilaba
function [XN, VN] = Urna_Polya_rownolegla(N,m)
VN = ones(m,1) ; V_plus_R = 2 ; XN = 0.5*ones(m,1)
for i=1:N
u = grand(m,1,"de"f) // losowanie jednej kuli
V_plus_R = V_plus_R + 1 // dodaje kule
ind = find(u <= XN) // znajduje numer urny z której
// wylosowano kule zielona
VN(ind) = VN(ind) + 1 // zwiekszamy liczbe kul zielonych w tej urnie
XN = VN / V_plus_R // aktualizujemy proporcje kul zielonych
end
endfunction
Skrypt Scilaba
// symulacja polya :
112
N = 10;
m = 5000;
[XN, VN] = Urna_Polya_rownolegla(N,m);
// 1/ obliczenie wartosci oczekiwanej i przedzialu ufnosci
EN = mean(XN); // wartosc oczekiwana empiryczna
sigma = st_deviation(XN); // odchylenie standardowe empiryczne
delta = 2*sigma/sqrt(m); // zaokraglenie dla przedzialu empirycznego (2 dla 1.9599..)
mprintf("\n\r E teoretyczne = 0.5");
mprintf("\n\r E oszacowane = %g",EN);
mprintf("\n\r Przedzial (empiryczny) ufnosci przy 95\% : [%g,%g]",EN-delta,EN+delta);
// 2/ test chi2
alpha = 0.05;
p = 1/(N+1); // prawdopodobienstwo kazdego wyniku (rozklad jednostajny)
occ = zeros(N+1,1);
for i=1:N+1
occ(i) = sum(bool2s(XN == i/(N+2)));
end
if sum(occ) ~= m then, error(" Problem..."), end // mala poprawka
Y = sum( (occ - m*p).^2 / (m*p) );
Y_seuil = cdfchi("X",N,1-alpha,alpha);
mprintf("\n\r Test chi 2 : ")
mprintf("\n\r ----------- ")
mprintf("\n\r wielkosc otrzymana w tescie : %g", Y);
mprintf("\n\r wielkosc progowa : %g", Y_progowe);
if (Y > Y_progowe) then
mprintf("\n\r Wniosek : Hipoteza odrzucona !")
else
mprintf("\n\r Wniosek : Hipoteza nie odrzucona !")
end
// 3/ ilustracja graficzna
function [d] = gestosc_chi2(X,N)
d = X.^(N/2 - 1).*exp(-X/2)/(2^(N/2)*gamma(N/2))
endfunction
czestosc = occ/m;
ymax = max([czestosc ; p]); rect = [0 0 1 ymax*1.05];
xbasc(); xset("font",2,2)
subplot(2,1,1)
plot2d3((1:N+1)'/(N+2), czestosc, style=2 , ...
frameflag=1, rect=rect, nax=[0 N+2 0 1])
plot2d((1:N+1)'/(N+2),p*ones(N+1,1), style=-2, strf="000")
xtitle("Czestosci empiryczne (kreski pionowe) i prawdopodobienstwa teoretyczne (krzy\.zyki)")
subplot(2,1,2)
// rysujemy g\k{e}sto\'s\'c chi2 ???a N ddl
X = linspace(0,1.1*max([Y_seuil Y]),50)';
D = densite_chi2(X,N);
plot2d(X,D, style=1, leg="densite chi2", axesflag=2)
// kreski pionowe dla Y
plot2d3(Y, densite_chi2(Y,N), style=2, strf="000")
xstring(Y,-0.01, "Y")
// kreski pionowe dla Yseuil
plot2d3(Y_seuil, densite_chi2(Y_seuil,N), style=5, strf="000")
xstring(Y_seuil,-0.01, "Yseuil")
xtitle("Pozycja Y w odniesieniu do warto\'sci Yseuil")
Poni»ej przedstawiono rezultaty otrzymane dla N = 10 et m = 5000 (patrz wykres (C.1)) :
E dok\l{}adne = 0.5
113
E oszacowane = 0.4959167
Przedzia\l{} ufno\'sci dla 95% : [0.4884901,0.5033433]
Test du chi 2 :
--------------
warto\'s\'c otrzymana w te\'scie : 8.3176
warto\'s\'c progowa : 18.307038
Wniosek : Hipoteza nie odrzucona !
Rysunek C.1: Ilustracja dla testu �2 urny Polya...
Most ?brownien?
Funkcja
function [X] = most_brownien(t,n)
X = sum(bool2s(grand(n,1,"def") <= t) - t)/sqrt(n)
endfunction
Skrypt
Skrypt ten wykonujem symulacji zmiennej losowejXn(t), przedstawia wykres funkcji rozkªaduempirycznego, nakªadaj¡c na niego wykres funkcji rozkªadu oczekiwanego (dla n = +1) iwreszcie oblicza test KS :
t = 0.3;
sigma = sqrt(t*(1-t)); // oczekiwane odchylenie standardowe
n = 4000; // n "du\.ze"
m = 2000; // licczba symulacji
X = zeros(m,1); // zainicjowanie wektora realizacji
for k=1:m
X(k) = most_brownien(t,n); // p\k{e}tla licz\k{a}ca kolejne realizacje
end
// wykres funkcji rozk\l{}adu empirycznego
X = - sort(-X); // tri
prcum = (1:m)'/m;
xbasc()
plot2d2(X, prcum)
x = linspace(min(X),max(X),60)'; // odci\k{e}te i
[P,Q]=cdfnor("PQ",x,0*ones(x),sigma*ones(x)); // rz\k{e}dne dla funkcji dok\l{}adenj
plot2d(x,P,style=2, strf="000") // rzutujemy je na wykres pocz\k{a}tkowy
// zastosowanie testu KS
alpha = 0.05;
FX = cdfnor("PQ",X,0*ones(X),sigma*ones(X));
Dplus = max( (1:m)'/m - FX );
Dminus = max( FX - (0:m-1)'/m );
Km = sqrt(m)*max([Dplus ; Dminus]);
K_progowe = sqrt(0.5*log(2/alpha));
// prezentacja wyników
//
mprintf("\n\r Test KS : ")
mprintf("\n\r -------- ")
114
mprintf("\n\r warto\'s\'c otrzymana w te\'scie : %g", Km);
mprintf("\n\r warto\'s\'c progowa : %g",K_seuil);
if (Km > K_progowe) then
mprintf("\n\r Wniosek : Hipoteza odrzycona !")
else
mprintf("\n\r Wniosek : Hipoteza nie odrzucona !")
end
Oto rezultaty otrzymane dla n = 1000 i m = 4000 :
Test KS :--------warto\'s\'c otrzymana w te\'sci : 1.1204036warto\'s\'c progowa : 1.2212382Wniosek : Hipoteza nie odrzucona !
115