Facultad de Ingeniería y Arquitectura

U N I V E R S I D A D

D E

SAN MARTIN DE

PORRES

FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

Curso : Resistencia de materiales

Profesor : Raúl Guerrero

Grupo: 5

Sección: 64F

Integrantes:

- Culqui Pinedo, Jenny

- Campos Pacheco, Rosa

- Reyes Mamani, Anibal

- Tarazona Pachas, Jorge

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2015-IASISTENCIA

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ÍNDICE

1. OBJETIVOS 2

2. MATERIALES Y EQUIPOS 3

3 .DISEÑO O MONTAJE DEL EXPERIMENTO 4

3.1 GRÁFICA DEL MONTAJE DEL EXPERIMENTO 4

3.2 EXPLICACIÓN DEL MONTAJE DEL EXPERIMENTO 6

4. FUNDAMENTO TEÓRICO 7

5. PROCEDIMIENTO SEGUIDO EN EL ENSAYO 12

6. TOMA Y REGISTRO DE DATOS 14

7. CÁLCULOS 17

8. RESULTADOS Y GRÁFICAS 20

9. CONCLUSIONES 28

10. RECOMENDACIONES 29

11. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 30

1

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1.- OBJETIVOS

Identificar un sistema estáticamente indeterminado.

Calcular las reacciones y desplazamientos que experimenta la barra en los apoyos.

Analizar las deformaciones de una viga de eje recto de manera teórica y experimental.

Comparar los resultados del ensayo con los obtenidos por medio del cálculo para la determinación de la deflexión que ocurre a lo largo de la barra de acero.

Demostrar según el material de la barra la influencia del módulo de elasticidad sobre la flexión.

2

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2.- MATERIALES Y EQUIPOS

El equipo de laboratorio utilizado fue un equipo GUNT modelo WP950 que consta de un bastidor de aluminio con dos apoyos con un dinamómetro instalado respectivamente.

Una regla de acero inoxidable en la cual están dos ganchos que soportaran los apoyos.

Un reloj comparador con soporte puesto en la parte superior de la estructura del bastidor.

Una regla milimetrada

Pesas de diferentes medidas. Utilizamos de: 2.5N y 4N.

3.- DISEÑO O MONTAJE DEL EQUIPO

3

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3.1 GRAFICA DEL MONTAJE DEL EXPERIMENTO

4

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5

1.- Bastidor

2.- Apoyo

3.- Apoyo

4.- Relojes de medición

5.- Pesas de carga

6.- Correderas desplazables

7.- Barras

8.- Dinamómetros

9.- Husillo roscado

10.- Tornillo

11.- Placa de sujeción

12.- Soportes

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3.2 EXPLICACIÓN DEL MONTAJE DEL EXPERIMENTO

En el presente ensayo se trabajó con el diseño expresado en el grafico el cual fue hecho con el equipo de análisis de flexión de vigas WP 950.

El equipo para flexión de barras consta de un bastidor (1) de aluminio, estable pero liviano. En el segmento inferior se fijan los diferentes Apoyos (2, 3) con palancas de apriete. En el Segmento superior se fijan los relojes de medición (4) con soportes. Las pesas de carga (5) se colocan por medio de correderas desplazables (6) en las barras (7). Las correderas se pueden fijar. La carga se puede ajustar progresivamente por medio de pesas de 2,5 N. Los apoyos articulados (2) están equipados con dinamómetros (8). El apoyo se puede regular en altura por medio de un husillo roscado (9). Con el tornillo (10) se puede fijar el apoyo. Así se puede compensar una deformación de la barra, por medio del peso propio, o el descenso del apoyo debido a la compresión de resorte del dinamómetro.

En los sistemas indeterminados estáticamente se puede mostrar la influencia del descenso de los apoyos sobre la repartición de la carga. Las escalas de los dinamómetros (8) son girables, para que se pueda llevar a cabo una tara. En los apoyos con enclavamiento, (3) la barra (7) se tensa por medio de una placa de sujeción (11). La altura de los relojes de medición (4) se puede regular en sus soportes (12).

6

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4.- FUNDAMENTO TEÓRICO

4.1Introducción.

Como se vio en el tema de flexión simétrica y asimétrica, una viga sometida a un momento, presentara esfuerzos longitudinales, que tenderán a comprimir y tensionar la viga, de acuerdo a su ubicación respecto al eje neutro (figura 1.1).

Recuperado de: Hibbeler R.(2011) “Mecánica de Materiales 8ed.” (Pág. 570).Al tener una viga cargada, esta sufrirá esfuerzos y deflexiones, a lo largo de su eje longitudinal, y al nuevo eje curvo, se le llamara “curva elástica” (figura 1.2)

Recuperado de: Hibbeler R. (2011) “Mecánica de Materiales 8ed.” (Pág. 569).Muchas veces es de mucha ayuda dibujar la curva elástica, para así poder guiarse y comprobar el signo de los valores obtenidos por el cálculo de la deflexión.

4.2Ecuación de la curva elástica.

7

Figura 1.1

Figura 1.2

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En el capítulo de flexiones en vigas, se obtuvo la fórmula de la curvatura en la viga ocasionada por cargas transversales y/o momentos a en un plano vertical a la sección de la viga, la cual es la siguiente:

Dónde: ρ=Radio decurvatura ,M (x )=Momento flectorE=Módulo deYoung.I=Momento de inercia de la sección

Sin embargo, sabemos por cálculo que la curvatura de una curva se expresa matemáticamente de la siguiente manera:

La primera derivada en esta ocasión es normalmente pequeña, y al elevarla al cuadrado mucho más, es por ende que se aproxima el denominador a la unida, y se obtiene la fórmula para el cálculo de la flecha o deflexión.

Con esta ecuación diferencial de segundo grado, es posible hallar por medio de integraciones sucesivas la flecha y su derivada, que en este caso es la pendiente de la misma la cual por ser pequeña, se aproxima al ángulo formado con la horizontal (figura 1.3).

8

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Recuperado de: Beer F., Russell E., DeWolf J. & Mazurek D. (2009) “Mecánica de Materiales 5ed.” (Pág. 534).

Integrando sucesivamente la ecuación de la ecuación diferencial, se obtienen las fórmulas para el ángulo y la flecha, las cuales son las siguientes:

Notamos que aparecen constantes indeterminadas, estas se pueden hallar usando los apoyos y/o empotramientos de la viga, los cuales generan condiciones de frontera para poder determinar las constantes, las condiciones para distintitos apoyos se muestran en la figura 1.4.

9

Figura 1.3

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Recuperado de: Beer F., Russell E., DeWolf J. & Mazurek D. (2009) “Mecánica de Materiales 5ed.” (Pág. 534).

Se entiende entonces que lo que se necesita para hallar la deflexión en una viga es lo siguiente: El módulo de Young (depende del material de la viga), El momento de Inercia de la sección (depende de las dimensiones de la viga), El momento en cada punto de la viga (depende de la distribución de cargas y el tipo de apoyo en la viga).

4.3Funciones de Singularidad.

Como se mencionó, se necesita del Momento flector a lo largo de la viga para calcular la flecha y su ángulo; esto se puede realizar dibujando el diagrama de Cortante y de Momento flector, en el cual se determinan por medio de cortes a lo largo de la viga, el cortante y luego el momento flector. Sin embargo un método más rápido, es el método de uso de Funciones de Singularidad, estas nos indican desde que punto empieza actuar una Fuerza, Carga Distribuida y Momento, a continuación se presenta una tabla resumen, de las funciones a usar:

10

Figura 1.4

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TABLA N°11. Funciones de Singularidad para Carga, Cortante y Momento de diferentes tipos de Carga.

Recuperado de: Hibbeler R.(2011) “Mecánica de Materiales 8ed.” (Pág. 594).

11

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5. PROCEDIMIENTO SEGUIDO EN EL ENSAYO

5.1 Preparación del ensayo

Para la realización del presente ensayo, como primer paso se reguló la altura de los apoyos articulados por medio de un huesillo roscado, luego fijamos los apoyos con las palancas de apriete. El apoyo B y E se colocaron a 100mm y 760mm del inicia de la barra de 1m. Posteriormente se procedió a tarar los dinamómetros y ubicar el reloj (flecha) en cero en los apoyos, girando los relojes de medición para tarar los dinamómetros en los puntos B y E.

Luego, se seleccionó 2 cargas distintas de 4N y 2.5N, las cuales fueron colocadas en los ganchos con posiciones de 180 mm y 500 mm respectivamente del apoyo B. Finalmente se procede a realizar las mediciones de la deflexión en cada tramo de la viga.

12

B E

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5.2 Realización de ensayo

La medición de la deflexión se realizó por tramos de 20 mm. Seguidamente, se leyó el descenso en el reloj de medición y se anotó el valor.

La lectura de la deflexión en cada tramo se realizó de manera minuciosa y cuidadosa, debido a que los valores a causa de cualquier golpe o movimiento son muy variantes.

La medición en los puntos donde se ubicaba la carga se hizo de manera aproximada ya que el reloj no podía ser ubicado exactamente en el tramo correspondiente.

13

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6. TOMA Y REGISTRO DE DATOS

Se registraron los siguientes valores de deformación a lo largo de la viga de forma.

TRAMO

Distancia (mm)

DEFORMACIÓN

EXPERIMENTAL

AB

0 0.8mm20 0.65mm40 0.49mm60 0.33mm80 0.15mm

100 -0.02mm APOYO B

BC

120 -0.17mm140 -0.42mm160 -0.59mm180 -0.78mm200 -0.96mm220 -1.12mm240 -1.24mm260 -1.39mm

280 -1.54mmCARGA 2.5N

CD

300 -1.64mm

320 -1.72mm

340 -1.79mm

360 -1.85mm

380 -1.88mm

400 -1.91mm

420 -1.92mm

440 -1.9mm

460 -1.87mm

480 -1.84mm

500 -1.77mm

14

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520 -1.7mm

540 -1.61mm

560 -1.5mm

580 -1.39mm

600 -1.2mm CARGA 4N

DE

620 -1.06mm

640 -0.96mm

660 -0.8mm

680 -0.66mm

700 -0.49mm

720 -0.34mm

740 -0.07mm

760 -0.01mm APOYO E

EF

780 0.12mm

800 0.24mm

820 0.38mm840 0.49mm860 0.62mm880 0.73mm900 0.81mm920 0.94mm940 0.96mm960 1.03mm980 1.06mm

1000 1.04mm

DEFORMACIÓN EXPERIMENTAL

15

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-2.5mm

-2mm

-1.5mm

-1mm

-0.5mm

0mm

0.5mm

1mm

1.5mm

0.8mm0.65mm

0.49mm0.33mm

0.15mm-0.02mm

-0.17mm

-0.42mm-0.59mm

-0.78mm

-0.96mm-1.12mm

-1.24mm-1.39mm

-1.54mm-1.64mm

-1.72mm-1.79mm-1.85mm-1.88mm-1.91mm-1.92mm-1.9mm-1.87mm-1.84mm

-1.77mm-1.7mm

-1.61mm-1.5mm

-1.39mm

-1.2mm-1.06mm

-0.96mm-0.8mm

-0.66mm-0.49mm

-0.34mm

-0.07mm-0.01mm0.12mm

0.24mm0.38mm

0.49mm0.62mm

0.73mm0.81mm

0.94mm0.96mm1.03mm1.06mm1.04mm

Deformación Experimental

16

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7. CÁLCULOS

Hallando las reacciones en B y E

∑MB= 0: -2.5 (180) – 4 (500) + RE (660) = 0

RE= 3.71212121212121 N

∑Fy = 0: RB = RE – 4 N – 2.5N

RB= 2.78787878787879 N

A continuación el diagrama de fuerzas cortante y el diagrama de momentos

flectores.

17

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Determinamos las ecuaciones para hallar las deflexiones y momentos en cada

punto de la barra de acero. Tomando como origen el extremo izquierdo, se calcula

la ecuación de singularidad para los momentos en la viga.

Mx=Rc<x−100>+ℜ<x−760>−2.5<x−280>−4<x−600>¿

EId2 yd x2

=Mx

EId2 yd x2

=Mx=Rb<x−100>+ℜ<x−760>−2.5< x−280>−4<x−600>¿

EIdydx

=Rb2

¿ x−100>¿2+ ℜ2

¿x−760>¿2−2.52

¿x−280>¿2−42¿ x−600>¿2+C1¿¿¿¿

18

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EI y=Rc6

¿ x−100>¿3+ ℜ6

¿ x−760>¿3−2.56

¿ x−280>¿3−46

¿x−600>¿3+C 1x+C2¿¿¿¿

Para el cálculo de las constantes se sabe que la flecha en los apoyos es igual a 0, entonces:

Condiciones de borde o frontera:

Para x=100mm Yc=0 (α)

Para x=760mm Ye=0 (β)

(α) en

EI y=Rb6

¿ x−100>¿3+ℜ6

¿ x−760>¿3−2.56

¿ x−280>¿3−46

¿ x−600>¿3+C1 x+C 2¿¿¿¿

Se obtiene:

100C1+C2=0 ….(1)

(β) en

EI y=Rb6

¿ x−100>¿3+ℜ6

¿ x−760>¿3−2.56

¿ x−280>¿3−46

¿ x−600>¿3+C1 x+C 2¿¿¿¿

Se obtiene:

Rb6

∗(760−100 )3−( 2.56 )∗(760−280 )3−( 46 )∗(760−600 )3+760C1−100C=0 ---(2)

(1) Y (2)

Entonces:

Luego las ecuaciones serian:

EI∗θ=Rb2

∗¿ x−100>¿2−(1.25 )∗¿ x−280>¿2−(2)∗¿x−600>¿2+ ℜ2∗¿ x−760>¿2−128444.44 ¿¿¿¿

19

C1= -128444.44

C2= 12844444.4

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EI∗y= Rb6

∗¿ x−100>¿3−( 1.253 )∗¿ x−280>¿3−( 23 )∗¿ x−600>¿3+ℜ6

∗¿ x−760>¿3−128444.44∗x+12844444.4¿¿¿¿

Para el presente experimento se utilizó una barra con las siguientes características

CARACTERÍSTICAS DE LA BARRAMaterial: Alto Ancho Largo

Acero 4mm 20mm 1000mmEac 210000 N/mm2 Ix 107 mm4

Observación: El módulo de elasticidad usado es el que fue indicado en la guía.

8.- RESULTADOS OBTENIDOS

Utilizando las ecuaciones halladas se obtienen los siguientes valores de deformación a lo largo de la viga.

TRAMOS

Distancia (mm)

DEFORMACIÓN TEÓRICA

(mm)

AB

0 0.5716263720 0.4573010940 0.3429758260 0.2286505580 0.11432527

100 0 APOYO B

BC

120 -0.11415985140 -0.22732712160 -0.33850926180 -0.44671369200 -0.55094784220 -0.65021915240 -0.74353504260 -0.82990295

280-0.9083303

CARGA 2.5N

CD 300 -0.97797288

20

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320 -1.03857983340 -1.09004868360 -1.13227693380 -1.16516208400 -1.18860164420 -1.20249311440 -1.20673401460 -1.20122183480 -1.18585409500 -1.16052829520 -1.12514194540 -1.07959254560 -1.02377761580 -0.95759464

600 -0.88094114 CARGA 4 N

DE

620 -0.79395198640 -0.69771143660 -0.59354111680 -0.48276265700 -0.36669768720 -0.24666784740 -0.12399473

760 0 APOYO E

EF

780 0.12399528800 0.24666894820 0.36669934840 0.48276485860 0.59354386880 0.69771473900 0.79395584920 0.88094555940 0.95736224960 1.02188429980 1.073190061000 1.10995792

DEFORMACION TEÓRICA

21

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-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.571626366018890.457301092815112

0.3429758196113340.228650546407556

0.1143252732037780

-0.114159845000966-0.227327120785065

-0.338509258135426-0.446713687835183

-0.550947840667467-0.650219147415409

-0.743535038862142-0.829902945790796

-0.908330298984505-0.977972875169137-1.03857983484152-1.09004868444121-1.13227693040777-1.16516207918077-1.18860163719977-1.20249311090433-1.20673400673401-1.20122183112837-1.18585409052699-1.16052829136941-1.12514194009521-1.07959254314394-1.02377760695518

-0.957594637968469-0.880941142623386

-0.793951980867869-0.697711426683389

-0.593541107559799-0.48276265098695

-0.366697684454694-0.246667835452882

-0.1239947314713660

0.1239952821494890.246668936809124

0.3666993364890570.482764853699433

0.5935438609504040.697714730752115

0.7939558356147150.880945548048353

0.9573622405631751.021884285669331.073190055876971.10995792369624

Deformación Teórica

COMPARACIÓN DE GRÁFICAS

TRAMO

Distancia (mm)

DEFORMACIÓN

EXPERIMENTAL

DEFORMACIÓN TEÓRICA

AB

0 0.8mm 0.5716263720 0.65mm 0.4573010940 0.49mm 0.3429758260 0.33mm 0.2286505580 0.15mm 0.11432527

100 -0.02mm 0 APOYO B

BC

120 -0.17mm -0.11415985140 -0.42mm -0.22732712160 -0.59mm -0.33850926180 -0.78mm -0.44671369200 -0.96mm -0.55094784

22

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220 -1.12mm -0.65021915240 -1.24mm -0.74353504260 -1.39mm -0.82990295

280 -1.54mm-0.9083303

CARGA 2.5N

CD

300 -1.64mm -0.97797288320 -1.72mm -1.03857983340 -1.79mm -1.09004868360 -1.85mm -1.13227693380 -1.88mm -1.16516208400 -1.91mm -1.18860164420 -1.92mm -1.20249311440 -1.9mm -1.20673401460 -1.87mm -1.20122183480 -1.84mm -1.18585409500 -1.77mm -1.16052829520 -1.7mm -1.12514194540 -1.61mm -1.07959254560 -1.5mm -1.02377761580 -1.39mm -0.95759464

600 -1.2mm -0.88094114 CARGA 4N

DE

620 -1.06mm -0.79395198640 -0.96mm -0.69771143660 -0.8mm -0.59354111680 -0.66mm -0.48276265700 -0.49mm -0.36669768720 -0.34mm -0.24666784740 -0.07mm -0.12399473

760 -0.01mm 0 APOYO E

EF

780 0.12mm 0.12399528800 0.24mm 0.24666894820 0.38mm 0.36669934840 0.49mm 0.48276485860 0.62mm 0.59354386880 0.73mm 0.69771473900 0.81mm 0.79395584920 0.94mm 0.88094555940 0.96mm 0.95736224960 1.03mm 1.02188429

23

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980 1.06mm 1.073190061000 1.04mm 1.10995792

0 60120

180240

300360

420480

540600

660720

780840

900960

-2.5mm

-2mm

-1.5mm

-1mm

-0.5mm

0mm

0.5mm

1mm

1.5mm

Comparación de Gráficas

DEFORMACIÓN EXPERIMENTALDEFORMACIÓN TEÓRICA

ANÁLISIS DEL ÁNGULO Y CÁLCULO DE LA FLECHA MÁXIMA

TRAMOSDistancia

(mm)ÁNGULO TEÓRICO

AB0 -0.00571626420 -0.00571626440 -0.005716264

24

ÁNGULO CONSTANTE, FUERA DE LOS APOYOS, DEBIDO A LA AUSENCIA

DE CARGAS EN ESTA ZONA

Facultad de Ingeniería y Arquitectura

60 -0.00571626480 -0.005716264

100 -0.005716264 APOYOB

BC

120 -0.005691449140 -0.005617007160 -0.005492936180 -0.005319236200 -0.005095908220 -0.004822951240 -0.004500366260 -0.004128153

280-0.003706311

CARGA 2.5N

CD

300 -0.003257093320 -0.002802749340 -0.002343282360 -0.001878689380 -0.001408972400 -0.00093413420 -0.000454163 ZONA440 3.09279E-05 CRÍTICA460 0.000521144480 0.001016484500 0.00151695520 0.00202254540 0.002533254560 0.003049094580 0.003570057

600 0.004096146 CARGA 4 N

DE

620 0.004591756640 0.005021285660 0.005384733680 0.005682099700 0.005913384720 0.006078587740 0.006177709

760 0.00621075 APOYO E

EF780 0.00621075800 0.00621075

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Facultad de Ingeniería y Arquitectura

820 0.00621075840 0.00621075860 0.00621075880 0.00621075900 0.00621075920 0.00621075940 0.00621075960 0.00621075980 0.00621075

1000 0.00621075

Nos damos cuenta que la flecha máxima se encuentra ubicada para un:

420 <= X <= 440

Usando la función BUSCAR OBJETIVO, obtenemos los siguientes valores:

GRÁFICA DEL ÁNGULO DE LA CURVA ELASTICA

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ÁNGULO CONSTANTE DEBIDO A LA AUSENCIA

DE CARGAS EN ESTA ZONA.

Xmáx = 438.7311404 mm

Ymáx = -1.20675363 mm

Facultad de Ingeniería y Arquitectura

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

-0.00571626366018889

-0.00571626366018889

-0.00571626366018889

-0.00571626366018889

-0.00571626366018889

-0.00571626366018889

-0.00569144942976719

-0.00561700673850207

-0.00549293558639353

-0.00531923597344158

-0.00509590789964622

-0.00482295136500744

-0.00450036636952525

-0.00412815291319964

-0.00370631099603062

-0.00325709250942896

-0.00280274934480542

-0.00234328150216001

-0.00187868898149272

-0.00140897178280356

-0.00093412990609252

3

-0.00045416335135961

3

3.09278813951713E-050.00052114379217183

0.001016484380970360.00151694964779077

0.002022539592633050.00253325421549721

0.003049093516383240.00357005749529114

0.004096146152220920.00459175646091534

0.005021285395117170.005384732954826410.005682099140043070.005913383950767130.006078587386998610.006177709448737490.006210750135983780.006210750135983780.006210750135983780.006210750135983780.006210750135983780.006210750135983780.006210750135983780.006210750135983780.006210750135983780.006210750135983780.006210750135983780.006210750135983780.00621075013598378

ÁNGULO TEÓRICO

9.- CONCLUSIONES

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El presente experimento es de suma importancia para observar el

comportamiento de los materiales, en este caso de una viga, respecto a

cargas externas.

Tras la realización de este laboratorio hemos podido observar que los valores medidos experimentalmente se aproximan mucho a los valores teóricos, la diferencia depende de la precisión del instrumento y de la calibración del mismo.

Se concluye en base a los datos del ensayo experimental, los obtenidos

teóricamente y la respectiva comparación de estos mediante la gráfica, que

los valores de las deflexiones teóricas son inferiores hasta el apoyo E (de

izquierda a derecha) luego toman valores superiores a los experimentales

generando una menor curvatura que la experimental.

La diferencia entre los valores teóricos y experimentales también se debe a

la constante carga de la viga a lo largo de estos años, algunas se

encuentran deformadas plásticamente debido a esfuerzos residuales,

Para el modelo de cargas usada se observa teóricamente que para

posiciones fuera de los apoyos la curva elástica se comporta como una

recta con una pendiente definida y constante, esto se debe a la ausencia de

cargas en esa zona

Para esta disposición de cargas los datos mostraban la posición de la

flecha máxima, sin embargo para otro tipo de distribuciones se pueden

tener más de una zona crítica en donde el ángulo cambie de signo, y se

tenga por ende más de una flecha máxima

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10.- RECOMENDACIONES

Al momento de realizar las medidas en cada tramo con el reloj, se debe

tener cuidado, ya que el sistema es muy sensible al movimiento fortuito, en

consecuencia podría afectar los resultados de los cálculos.

Tarar de forma adecuada los dinámetros y los relojes de medición.

Después se procede a tarar con el mismo valor de la flecha roja en el reloj

de medición en cada soporte.

Se sugiere a los encargados del laboratorio que adquieran pernos nuevos

(algunos no ajustan de manera adecuado porque están desgastados) y

también nuevas barras.

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11.- BIBLIOGRAFÍA

http://www.mater.upm.es/docencia/materiales/resistencia/rm_archivos/

apuntes_vigas.pdf

http://ocw.bib.upct.es/pluginfile.php/5478/mod_resource/content/1/T9-flexion-pura-

desviada_v1.pdf

http://www.ing.una.py/pdf/mecanica1/Clase%208%20-%20Flexion%20Pura

%20V250505.pdf

http://www.gunt.de/static/s3630_1.php?p1=&p2=&pN =;;

Hibbeler R. “Mecánica de Materiales 8ed.” Prentice Hall, Impreso en

México.

Beer F., Russell E., DeWolf J. & Mazurek D. (2009) “Mecánica de

Materiales 5ed.” Mc Graw Hill, Impreso en México.

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