Triángulo de Pascal

Triángulo de Pascal para n=10.

En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique.1 Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.2

La construcción del triángulo está relacionada con los coeficientes binomiales según la fórmula (también llamada Regla de

Pascal). Si entonces para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n.3

El triángulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores. La versión de tres dimensiones se llama pirámide de Pascal o tetraedro de Pascal, mientras que las versiones más generales son llamadas simplex de Pascal.

Historia

Triángulo aritmético chino.

La primera representación explícita de un triángulo de coeficientes binomiales data del siglo X, en los comentarios de los Chandas Shastra, un libro antiguo indio de prosodia del sánscrito escrito por Pingala alrededor del año 200 a.C.4

Las propiedades del triángulo fueron discutidas por los matemáticos persas Al-Karaji (953–1029)5 y Omar Khayyám (1048–1131); de aquí que en Irán sea conocido como el triángulo Khayyam-Pascal o simplemente el triángulo Khayyam. Se conocían también muchos teoremas relacionados, incluyendo el teorema del binomio.

En China, este triángulo era conocido desde el siglo XI por el matemático chino Jia Xian (1010–1070). En el siglo XIII, Yang Hui (1238–1298) presenta el triángulo aritmético, equivalente al triángulo de Pascal, de aquí que en China se le llame triángulo de Yang Hui.6 7 8 9

Petrus Apianus (1495–1552) publicó el triángulo en el frontispicio de su libro sobre cálculos comerciales Rechnung10 (1527). Este es el primer registro del triángulo en Europa. En Italia, se le conoce como el triángulo de Tartaglia, en honor al algebrista italiano Niccolò Fontana Tartaglia (1500–77). También fue estudiado por Michael Stifel (1486 - 1567)11 y François Viète (1540-1603).

En el Traité du triangle arithmétique (Tratado del triángulo aritmético) publicado en 1654, Blaise Pascal reúne varios resultados ya conocidos sobre el triángulo, y los emplea para resolver problemas ligados a la teoría de la probabilidad; demuestra 19 de sus propiedades, deducidas en parte de la definición combinatoria de los coeficientes. Algunas de estas propiedades eran ya conocidas y admitidas, pero sin demostración. Para demostrarlas, Pascal pone en práctica una versión acabada de inducción matemática. Demuestra la relación entre el triángulo y la fórmula del binomio. Fue bautizado Triángulo de Pascal por Pierre Raymond de Montmort (1708) quien lo llamó: Tabla del Sr. Pascal para las combinaciones, y por Abraham de Moivre (1730) quien lo llamó: "Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM" (del latín: "Triángulo aritmético de Pascal"), que se convirtió en el nombre occidental moderno.12

Construcción del triángulo de PascalEl triángulo de Pascal se construye de la siguiente manera: se comienza en el número «1» centrado en la parte superior; después se escriben una serie de números en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados, del siguiente modo: se suman las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) se escribe debajo de dichas casillas; el proceso continúa escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3), etc. De manera general, esto se cumple así debido a la regla de Pascal, que indica que para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n. En la ilustración, en la última fila, la cifra 4 cuyas casillas situadas sobre ella corresponden a las cifras 1 y 3, se cumple que , para la cifra 6 se cumple y para la última cifra 4 ; de igual manera, se cumple propiedad para las demás filas.

Cada número en el triángulo es la suma de los dos que están situados por encima de el.

Por lo tanto, todas los cifras escritas en cada fila del triángulo, corresponden a los coeficientes del desarrollo binomial de la potencia de una suma

Vínculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton

La expresión que proporciona las potencias de una suma se denomina binomio de Newton.

(1)

En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los monomios, de manera que la relación con el triángulo de Pascal es la siguiente:

Los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n se encuentran en la línea «n + 1» del Triángulo de Pascal.

Se puede generalizar este resultado para cualquier valor de n ∈ N por inducción matemática.

Propiedades del triángulo de Pascal

Triángulo de Pascal con algunas casillas coloreadas. Se puede observar como se distribuyen los valores simétricamente alrededor del eje vertical. Los valores de las casillas de ambos lados (en amarillo, verde y rojo) tienen igual valor, debido a la propiedad de simetría . Los casillas exteriores, (en azul) tienen valor nulo y las casillas en violeta proporcionan un ejemplo de la regla de Pascal.

Cada uno de los valores de un triángulo de Pascal escritos en forma de tabla corresponden a un coeficiente de la expansión

de una potencia de sumas. Concretamente, el número en la línea n y la columna p corresponde a , o también denotado como ( por "combinación") y se dice «n sobre p», «combinación de n en p» o «coeficiente binomial n, p». Las casillas vacías corresponden a valores nulos. Usando las propiedades de los coeficientes binomiales, se pueden obtener las siguientes propiedades de cualquier triángulo de Pascal con todo rigor:

Los valores de cada fila del triángulo guardan simetría respecto al eje vertical imaginario del mismo, debido a que

Los valores correspondientes a la zona fuera del triángulo tienen valor 0, puesto que cuando p > n.

Y claro, la regla de Pascal de construcción del triángulo da la relación fundamental de los coeficientes binomiales

Una consecuencia interesante del triángulo de Pascal es que la suma de todos los valores de una fila cualquiera del triángulo es una potencia de 2. Esto es debido a que, por el teorema del binomio, la expansión de la n-potencia de (1 + 1)n = 2n es

que corresponde precisamente con la suma de todos los valores de la n-ésima fila de un triángulo de Pascal.

Otras representaciones del triángulo

Triángulo de Pascal en el escrito original de Pascal.

La ilustración al comienzo del artículo muestra el triángulo de Pascal dibujado como un triángulo equilátero. Es posible «enderezarlo» de tal forma que su dibujo quede como un triángulo rectángulo. De esta forma, a la izquierda queda una columna de números «1». La siguiente columna deja un lugar vacío en la primera fila y sigue con la sucesión de números naturales: 1, 2, 3, 4, ..., n, .... La tercera columna deja dos filas vacías y comienza con la sucesión de los números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, .... Dibujado de esta manera es fácil ver que:

Cada número en una columna cualquiera es igual a la suma parcial de los elementos de la columna anterior (a la izquierda) hasta la fila anterior en orden descendente.

La tercera columna es la sucesión de los números triangulares; la cuarta, la de los números tetraédricos; la quinta, la de los números pentaédricos, y así sucesivamente.

Generalizaciones

Ejemplo combinacional de coeficiente trinomial.

En vez de considerar las potencias de a + b, se puede considerar las del trinomio a + b + c. De esta manera, (a + b + c)n es una suma de monomios de la forma λp, q, r ·ap·bq·cr, con p, q y r positivos, p + q + r = n, y λp, q, r un número natural que se llama coeficiente trinomial.13 14 Los cálculos son similares a los del coeficiente binomial, y se dan mediante la siguiente expresión:

,

en subconjuntos de p, q y r elementos.

Pirámide de Pascal. Se han dibujado las primeras secciones a partir de la cumbre.

Estos coeficientes se pueden considerar como la analogía tridimensional del triángulo de Pascal. De hecho, a la distribución de estos coeficientes al estilo piramidad se le conoce como pirámide de Pascal; es también infinita, con secciones triangulares, y el valor en cada casilla es la suma de los valores de las tres casillas encima de ella.

En esta pirámide se observa una invariante por rotación de 120 grados alrededor de un eje vertical que pasa por el vértice. El triángulo de Pascal aparece en las tres caras de la pirámide.

De igual manera, todo esto se puede generalizar a dimensiones finitas cualquieras, pero sin la posibilidad de hacer dibujos explicativos sencillos.

Polinomio todo en unoUn polinomio todo en uno (AOP, All-in-One-Polynom) es un polinomio usado en campo finitos, especificalmente GF(2) (binario). El AOP es un 1-polinomio igualmente espaciado.

Un AOP de grado m tiene todos los términos del al con coeficientes 1, y puede escribirse:

o

o

así las raíces de polinomios todos en uno son todas raíces de la unidad.

Propiedades

Sobre GF(2) el AOP posee varias propiedades interesantes, incluyendo:

La distancia de Hamming del AOP es m + 1 El AOP es irreducible si y sólo si m + 1 es primo y 2 es una raíz primitiva módulo m + 1 El único AOP que es un polinomio primitivo es x2 + x + 1.

A pesar del hecho que la distancia de Hamming sea grande, debido a la fácil representación y otras mejorías existen implementaciones eficientes en áreas tales como teoría de códigos y en criptografía.

Sobre , el AOP es irreducible cuando m + 1 es primo p, y por ende en esos casos, el p-ésimo polinomio ciclotómico.

Método de CardanoEl método de Cardano es un método para resolver analíticamente cualquier ecuación cúbica y que apareció por primera vez en el libro Ars Magna en 1545 publicado por el matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576), aunque se dice que fue desarrollado originalmente por los matemáticos italianos Scipione del Ferro (1465-1526) y Niccolò Fontana (1500-1557), éste último apodado Tartaglia (que significa tartamudo). El método es el siguiente.

Estrategia general del métodoLa ecuación general de tercer grado

con números reales y se puede convertir en la forma normal dividiendo por y acomodando términos, con lo que queda:

Sustituyendo se elimina de la forma normal el término cuadrático y se obtiene la forma reducida:

con lo cual,

  y   

La fórmula reducida es la que se utiliza entonces para resolver por el método de Cardano, y deshaciendo la sustitución inicial , las soluciones de la ecuación original.

Resolución

Partiendo de la ecuación

se realiza una sustitución del tipo .Entonces

Para hacer la equivalencia de coeficientes con la ecuación de partida, se toman estos como:

que también es equivalente al sistema de ecuaciones y . Llegado a este punto y utilizando las fórmulas de Viète, y son las soluciones de la ecuación de segundo grado

De esta manera, se calcula el discriminante y se estudia su signo. Dependiendo de si es positivo, negativo o cero se obtendrán unas soluciones u otras.

Si Δ es positivo

La ecuación posee entonces una solución real y dos complejas. Si se establece que

La única solución real es entonces . Además, existen dos soluciones complejas conjugadas :

Si Δ es cero

La ecuación posee entonces dos soluciones reales, una simple y una doble :

Si Δ es negativo

La ecuación posee entonces tres soluciones reales. Sin embargo, es necesario hacer una incursión en los números complejos para encontrar todas las soluciones. Las soluciones son la suma de dos complejos conjugados y donde

y ; es el siguiente conjunto :

La forma real de las soluciones se obtiene escribiendo en forma trigonométrica, obteniéndose :

Aplicaciones del método de CardanoEl método de Cardano sirve para resolver cualquier ecuación cúbica que se presente en cualquier área de las Ciencias como, por ejemplo, para resolver las ecuaciones cúbicas de estado que aparecen en la termodinámica y la fisicoquímica, donde las tres raíces son válidas matemáticamente,pero sólo dos de ellas son válidas físicamente, pues la de menor magnitud, si es que se ha desarrollado la ecuación cúbica en el volumen molar, representa el volumen molar de líquido, mientras que la mayor representa el volumen molar de vapor y la raíz intermedia en magnitud no tiene significado físico. Las mismas interpretaciones se hacen si las ecuaciones se desarrollan cúbicas en el factor de compresibilidad, denotado como Z.

Función elementalEn matemáticas, una función elemental es una función construida a partir de una cantidad finita de funciones elementales fundamentales y constantes mediante operaciones racionales (adición, sustracción, multiplicación y división)y la composición de funciones. Usando exponenciales, logarítmicas, potenciales,constantes, y las funciones trigonométricas y sus inversas, todas consideradas dentro del grupo de funciones elementales fundamentales.1

Las funciones elementales son un subconjunto del conjunto de las funciones generadas a partir de las funciones especiales, mediante operaciones elementales y composición.

Lista de funciones elementales simplesHay otros autores que denominan funciones elementales fundamentales,2 que tampoco consideran a la función constante como función elemental fundamental. Hay distintos procedimientos para representar las funciones. Sin embargo, asume peculiar importancia el procedimiento de representarlas por fórmulas. Esto se ve en las que se denominan funciones elementales o bien simples, entre3 ellas:

1. Función constante: 2. Función identidad:

3. Función Cuadrática:

4. Función Cúbica: 5. Función raíz: , con x ≥ 0.6. Función Potencial: , n ∈ ℝ con n ≠ 0. Notemos que la función cuadrática, la función cúbica y la

función raíz cuadrada son casos particulares de esta función.7. Función exponencial: , x ∈ ℝ y a ∈ ℝ+.8. Función logarítmica: , x ∈ ℝ+; a ∈ ℝ+ con a ≠ 1.

Funciones trigonométricas

1. Función seno: 2. Función coseno:

3. Función tangente: , con x ≠ (2k + 1)π/2; k ∈ ℤ.

4. Función secante: , con x ≠ (2k + 1)π/2; k ∈ ℤ.5. Función cosecante: , con x ≠ kπ; k ∈ ℤ.6. Función cotangente: , con x ≠ kπ; k ∈ ℤ.

Funciones trigonométricas inversas

1. Función arcoseno: , con x ∈ [-1, 1]2. Función arcocoseno: , con x ∈ [-1, 1]3. Función arcotangente:

Generación de funciones elementales

Si las funciones anteriores se combinan, pudiendo usar, un número finito de veces, las operaciones de adición, resta, multiplicación, división y composición de funciones, se consiguen, nuevamente, funciones elementales. Ciertamente, más complicadas que las de la lista precedente4

EjemplosUn ejemplo de función elemental es el siguiente:

Esta función es elemental ya que puede obtenerse recursivamente a partir de combinaciones de funciones claramente elementales:

En el siguiente orden:

1. ,

2.

3.

4.

5.6.

Otro ejemplo curioso de función elemental es el siguiente:

El dominio de esta última función no incluye ningún número real.

Un ejemplo de una función que no es elemental es la función error:

hecho que no puede ser reconocido a simple vista a partir de la definición de la función elemental pero que se puede demostrar mediante el algoritmo de Risch.

El concepto de funciones elementales fue desarrollado por Joseph Liouville en una serie de trabajos entre 1833 y 1841. Durante la década de 1930 Joseph Fels Ritt fue pionero en el tratamiento algebraico de las funciones elementales.

Álgebra diferencialEn el contexto del álgebra diferencial se define matemáticamente una función elemental, o una función expresada en forma elemental. Un álgebra diferencial es un álgebra sobre un cuerpo con la operación adicional de derivada (versión algebraica de la diferenciación). Utilizando la operación derivación se pueden escribir nuevas ecuaciones y sus soluciones pueden ser usadas en extensiones de cuerpos del álgebra. Las funciones elementales son una extensión de las funciones racionales, se pueden añadir dos tipos de extensiones trascendentales (los logaritmos y las exponenciales).

Un cuerpo diferenciable F es un campo F0 (las funciones racionales sobre los números racionales, por ejemplo) en el que se ha definido una aplicación de diferenciación u → ∂u (donde ∂u es una nueva función, de tal manera que para dos elementos del campo F0, la operación de diferenciación es lineal:

y satisface la regla del producto:

Un elemento h es una constante si ∂h = 0. Una función u de extensión diferencial F[u] de un campo diferencial F es una función elemental sobre F si la función u

es algebraica en F, o es una exponencial, que es, ∂u = u ∂a para a ∈ F, o es un logaritmo, que es, ∂u = ∂a / a para a ∈ F.

Fórmula de De MoivreLa fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1.

Abraham De Moivre fue amigo de Newton; en 1698 éste último escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.

ObtenciónLa fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:

aplicando leyes de la exponenciación

Entonces, por la fórmula de Euler,

.

Algunos resultadosPartiendo nuevamente de la fórmula de Euler:

Si hacemos que entonces tenemos la identidad de Euler:

Es decir:

Además como tenemos estas dos igualdades:

podemos deducir lo siguiente:

Demostración por inducciónConsideramos tres casos.

Para un entero n > 0, procedemos a través de la inducción matemática. Cuando n = 1, el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo k. Eso es que asumimos:

Ahora, considerando el caso n = k + 1:

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.

Cuando n = 0 la fórmula es verdadera ya que , y (por convención) .

Cuando n < 0, consideramos un entero positivo m tal que n = −m. Por lo tanto:

Por lo tanto el teorema es verdadero para todos los valores enteros de n.

Generalización

Una representación en el plano complejo de las raíces cúbicas de 1.

La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si z y w son números complejos, entonces

es una función multivaluada mientras

no lo sea. Por lo tanto se puede asegurar que:

     es un valor de      .

AplicacionesEsta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.

Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar.

Potencia

Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:

Raíces

Para obtener las raíces de un número complejo, se aplica:

donde es un número entero que va desde hasta , que al sustituirlo en la fórmula permite obtener las raíces diferentes de .