wichtige optische elemente und instrumente optik i (lindlein)/02 - instrumente... · geometrische...
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126+1Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Wichtige optische Elemente und Instrumente:
Diffraktive optische Elemente/Linsen
126+2Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Diffraktive optische Elemente
Wirkungsweisen einiger optischer ElementeRefraktive Optik Diffraktive Optik
Brechung an Grenzfläche
Brechung in GRadienten INdex
Medium
Beugung an (lokal) periodischen Strukturen
Beugung an binärem
Gitter
n n1 2
n( )r
126+3Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Diffraktive optische Elemente
Prinzip eines Beugungsgitters (hier: Amplitudengitter)
Konstruktive Interferenz, falls optische Weglängendifferenz (OPD) zwischen äquivalenten Strahlen benachbarter Perioden ganzzahliges Vielfaches m der Wellenlänge ist:
m
m
sin'sin
sin'sin
�
� �’
� �sin
� �sin ’
126+4Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Diffraktive optische ElementeZusammenhang Phase und optische Weglänge:
Trifft ein Strahl auf eine strukturierte Oberfläche mit einem Dielektrikum mit Brechzahl n (z.B. Quarzglas) auf der einen Seite und Luft auf der anderen Seite, so gilt für die Phasenverzögerung bei einer lokalen Höhe h (bzw. z) des Dielektrikums:
hn 12OPD2
Selbstverständlich gilt diese Gleichung nur für den Fall, dass der einfallende Strahl fast senkrecht auf die lokale Grenzfläche trifft, so dass man annimmt, dass der Strahl seine Richtung nicht ändert.
n1 n2
z
x,y
OPD=(n -n )z(x,y)1 2
126+5Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Diffraktive optische Elemente
h n= /(2( -1))
Beziehung zwischen diffraktiven und refraktiven Strukturen
h n= /( -1)
RefraktivesElement
Geblaztes (=kontinuierliches) diffraktives Element
Binäres diffraktives Element
h n= /( -1)Anmerkung: Eine geblazte Linse, deren Stufenhöhe h>>/(n-1) ist, ergibt eine Fresnel-Linse. Im Grenzfall sind die einzelnen „Zähne“ dann lokale Prismen.
126+6Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Diffraktive optische Elemente
a) b)
c) d)
�h
�h�h
Verschiedene Arten von diffraktiven optischen Elementen
Amplitudengitter Binäres Phasengitter h=/(2(n-1))
Mehrstufiges Phasengitter h=(N-1)/(N(n-1))
Geblaztes Phasengitter h=/(n-1)
Maximal je 1/2=10.1% in ±1. Ordnung(bei 25% in 0. Ordnung)
Maximal je 4/2=40.5% in ±1. Ordnung(bei 0% in 0. Ordnung)
Theoretisch bis zu 100% in 1. Ordnung (in Praxis selbst bei Entspiegelungweniger)
Symmetrie zwischen +1. und -1. Ordnung gebrochen. Je nach Stufenzahl zwischen 40.5% und 100% in 1. Ordnung
: Wellenlänge, n: Brechzahl des Gitters, N: Anzahl der Stufen
126+7Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Diffraktive optische Elemente
’ sin
sin ’
Unterschied Amplitudengitter -Phasengitter:Positive Interferenz der Wellen, falls:
m
m
sin'sin
sin'sin
’ sin
sin ’
Bei binären Phasengittern interferiert auch der rote Strahl positiv, da er wegen der Stufe mit /2 Gangunterschied wieder in Phase ist (für m=1;3;5;…):
2
122
OPD mm
126+8Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Diffraktive optische Elemente
Bei einem binären Phasengitter interferieren also für ungerades m„doppelt so viele Strahlen“ wie bei einem Amplitudengitter positiv.
Die Amplitude der Welle in den ungeraden Ordnungen wird doppelt so groß. Die Intensität dieser Ordnungen wird bei einem Phasengitter 4x so groß wie bei einem Amplitudengitter!
Anmerkung: Die Energieerhaltung ist natürlich erfüllt, denn beim Amplitudengitter werden 50% der Energie absorbiert und 25% sind in der nullten Beugungsordnung (bei unserem Phasengitter ist dagegen kein Licht in der 0. Ordnung, da dort negative Interferenz auftritt). Beim binären Phasengitter ist 4x so viel Energie für die ungeraden Beugungsordnungen vorhanden.
126+9Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Diffraktive optische ElementeAnschauliche Berechnung der Beugungseffizienz m der einzelnen Ordnungen m bei einem binären Phasengitter mit Tastverhältnis 1:1 (d.h. Stegbreite = Grabenbreite) und Tiefe, die eine optische Weglängendifferenz von /2 zwischen Steg und Graben erzeugt: 0=0: destruktive Interferenz zwischen Licht von Steg und Graben bei Tiefemit /2 opt. Weglängendifferenz (OPD)
2n=0 (n=1,2,3,): alle geraden Ordnungen (ungleich m=0) fallen aus, daOPD innerhalb von Steg und Graben zwischen Anfang und Ende je ganzzahliges Vielfaches von schon vollständige Auslöschung innerhalb von Steg und Graben
1: innerhalb von Steg und Graben OPD zwischen Anfang und Ende nur /2 Amplituden addieren sich konstruktiv maximale Effizienz
3=1/9: innerhalb von Steg und Graben OPD zwischen Anfang und Ende 3/2 Amplituden addieren sich nur in einem drittel des Bereiches konstruktiv, Rest löscht sich aus Effizienz nur 1/9 verglichen zu 1. Ordnung (Intensität proportional zu Amplitudenquadrat !).
Analog: 5=1/25 bzw. allgemein (2n+1)=1/(2n+1)2 für n=1,2,3,…
’ sin
sin ’
126+10Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Diffraktive optische Elemente
Effizienzen eines binären Phasengitters mit Tastverhältnis 1:1 und idealer Tiefe:Summe der Effizienzen aller Ordnungen muss 1 sein wegen Energieerhaltung
...
016.0451
045.0431
405.0418
2112
12
225
223
21
2
1
8/
021
2
n n
126+11Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Diffraktive optische Elemente
N Effizienz
2 40.5%
4 81.1%
8 95.0%
16 98.7%
32 99.7%
Maximale Beugungseffizienz in 1. Ordnung für mehrstufiges Phasengitter mit N Stufen(berechnet in skalarer Näherung)
Ideale Gesamttiefe:
Identische Höhe und Breite aller Stufen.
Senkrechter Lichteinfall.
Fresnel Reflektionsverluste vernachlässigt.
1
1
nNNd
126+12Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Diffraktive optische ElementeDiffraktive Linse: Wir betrachten im Folgenden zuerst wieder nur die Meridionalebene und kleine Winkel.
Lokale Gitterfrequenz sei proportional zu lateraler Koordinate x:
cxx
x
1:
cxmmm
'sin'sin Winkelkleine
Gleichung ist analog zu paraxialer Gleichung für die Strahlablenkung an einer Linse mit Brennweite f‘, wenn gilt:
cmfcm
f 1'
'1
Aus Gittergleichung folgt dann für kleine Winkel:
126+13Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Diffraktive optische Elemente
Insbesondere ist für eine diffraktive Linse das Produkt aus Brennweite und Wellenlänge konstant:
00 '' ff
452.3nm 3.656nm 486.1
nm 6.587'/1'/1
'/1
CF
d
CF
dd ff
fV
Die Abbe-Zahl einer diffraktiven Linse ist deshalb:
• Die Abbe-Zahl einer diffraktiven Linse ist also immer konstant, unabhängig vom Material bzw. dem genauen Typ der Linse.
• Die Abbe-Zahl einer diffraktiven Linse ist negativ, d.h. ihre Dispersion hat umgekehrtes Vorzeichen wie die von Glas. Der Betrag ist sehr klein, d.h. starke Dispersion!
126+14Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Diffraktive optische ElementePhasenfunktion eines diffraktiven optischen Elementes (DOE):Die Phasenfunktion eines DOEs beschreibt, an welchen Stellen sich die lokalen Gitterlinien befinden, d.h. an welchen Stellen die Phase relativ um jeweils 2 zu- oder abnimmt.
yxyx
yx ,21
,1,
000mit rrrrr rrrr
Zusammenhang zwischen der Phasenfunktion und der lokalen Gitterfrequenz , wobei x und y die Koordinaten in der (lokalen) Ebene des DOEs sind:
22
y
xr
126+15Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Diffraktive optische Elemente
Zusammenhang Höhenprofil h und Phasenfunktion :
Geblaztes DOE:
2mod,
12, yx
nyxh
Mehrstufiges Phasen-DOE mit N Stufen:
NyxN
nNyxh mod
2,floor
1,
: Wellenlänge im Vakuum, n: Brechzahl des DOEs, wobei außen Luft sei.
x mod a: Modulo-Funktion= Rest bzgl. einer Division von x durch a.
floor: Funktion, die die nächst kleinere ganze Zahl zurückgibt.
126+16Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Diffraktive optische Elemente
Einfache Beispiele einiger wichtiger Phasenfunktionen:
Lineares Gitter: byaxyx 2,22 ba Gitterfrequenz konstant:
Fresnel-Zonen-Linse in paraxialer (parabolischer) Näherung: 222, yxayx
Gitterfrequenz:
amcmf
yxayx
211'
2, 22
126+17Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Diffraktive optische Elemente
Berechnung der Phasenfunktion eines DOE unter Ausnutzung des holographischen Prinzips:
Sind die Phase in der auf das DOE einfallenden Wellenfront und die Phase out der gewünschten Wellenfront bekannt, so ergibt sich die Phasenfunktion des Hologramms in der Ordnung m zu:
mm inout
inout
126+18Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Diffraktive optische Elemente
g b
rObjectpoint
Imagepoint
DOE
Beispiel: Linse, die einen axialen Punkt im Abstand g vor der Linse auf einen axialen Punkt im Abstand b hinter der Linse im nicht-paraxialen Bereich abbilden soll.
22221
22
222
2
2
rgrbrb
rg m
out
in
Paraxiale Näherung ergibt unter Vernachlässigung einer konstanten Phase -2(g+b)/ eine parabolische Funktion:
gbar
gb11
2111 2
126+19Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Diffraktive optische ElementeRay tracing Gleichung für lokale Gitter: Plausibilitätsbetrachtung analog zum Brechungsgesetz (multipliziert mit 2/
1211
22
1122220 kNkNanNanNananN
Interpretation: Die Komponente des k-Vektors senkrecht zu N (i.e. parallel zur Grenzfläche) ist invariant vor und hinter der Grenzfläche.
Erweiterung auf diffraktive optische Elemente mit lokalem Gittervektor K mit |K|=2/wobei K in der Grenzfläche liegt, also K·N=0: ganzzahliges Vielfaches m von K muss zur Komponente von k1 senkrecht zu N addiert werden:
KNmkNkN 12
126+20Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Diffraktive optische ElementeFalls k1, N und K in gemeinsamer Ebene liegen und N senkrecht zu K, ergibt der Betrag der Gleichung die normale Gittergleichung:
mnnmnn
112211
22 sinsin2sin2sin2
Allgemeine Gleichung aufgelöst nach a2 ray tracing am DOE:
02 2
12
1212
K
nma
nnaNKNmkNkN
NGannmG
nm
nnNa
nnNaNNa
nnG
nma
nna
12
2
1
2
2
2
2
121
2
2
111
2
1
21
2
12 21sign
2
21
2
11
2
12 21 Gn
mannNa
nn
1 und 0;21: mit
21
2
12
21
2
12 GNGKGNG
nma
nnaNG
nma
nna
126+21Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Diffraktive optische Elemente
recrecrecrec
rec
recrec
ananNmananN
kkNmkNkN
,1,1,2,21122
,1,212
Ein Spezialfall eines DOE ist ein Holographisch optisches Element (HOE), bei dem der Gittervektor durch die Interferenz zweier Wellen mit lokalen k-Vektoren k1,rec und k2,rec bei der Wellenlänge rec erzeugt wird.
DOE
HOE
Lens
Lens
HOE
spatialfilter
Aufnahme Rekonstruktion
Dann lautet die Gleichung für lokale Beugung am HOE:
126+22Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Der aplanatische Meniskus
126+23Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Der aplanatische Meniskus
i
n
n’
O
QP
P’
i’ i’i
Die aplanatischen Punkte einer Kugel:Behauptung: Eine Kugel mit Radius R und Brechzahl n‘ (schattiert in Grafik) kann alle Punkte auf der äußeren (gestrichelten) Kugel mit Radius n‘R/n (n: Brechzahl des umgebenden Mediums, n<n‘) aberrationsfrei, aber leider nurvirtuell, auf die innere (gepunktete) Kugel mit Radius nR/n‘ abbilden.
Betrachte Strahl einer konvergenten Kugelwelle mit Fokuspunkt P. Laut Behauptung muss er nach der Brechung an der Kugel mit Radius R im Punkt Q die lokale optische Achse, gegeben durch die Verbindungslinie OP, im Punkt P‘ auf der gepunkteten Kugel schneiden.
Zu zeigen ist, dass dies gerade dann der Fall ist, wenn für die Brechung das Brechungsgesetz nsini=n‘sini‘ gilt.
126+24Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Der aplanatische Meniskus
i
n
n’
O
QP
P’
i’ i’i
Laut Behauptung gilt:OQOP''
''OPOQ
R
Rnn
nn
RnnR
Da die beiden Dreiecke QOP‘ und POQ den gemeinsamen Winkel QOP‘ bzw. QOP haben und das Verhältnis der daran angrenzenden Seiten in beiden Dreiecken identisch ist, müssen die Dreiecke ähnlich sein.
Es muss, wie schon in der Grafik eingezeichnet, gelten: Winkel QP‘O ist identisch zum Einfallswinkel i, Winkel QPO ist identisch zum Brechungswinkel i‘.
(q.e.d.) 'sin'sin'
OQOP
'sinsin
QPOsinPQOsin inin
nn
ii
Aus dem Sinussatz im Dreieck POQ folgt (das Verhältnis der Sinusse zweier Winkel ist gleich dem Verhältnis der jeweils gegenüberliegenden Seitenlängen):
126+25Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Der aplanatische MeniskusDer bisher betrachtete Strahl sei nun der Randstrahl eines Strahlbündels, der somit zusammen mit der lokalen optischen Achse die numerische Apertur festlegt.
Aus unseren bisherigen Überlegungen folgt dann für das Verhältnis der Sinusse der Aperturwinkel bzw. ‘ des einfallenden konvergenten Strahlbündels bzw. des gebrochenen Strahlbündels:
n
nii ''sin
sinQPOsin
OQP'sinsin
'sin
Der Sinus des Aperturwinkels ‘ des gebrochenen Strahlbündels erhöht sich also um das Verhältnis n‘/n gegenüber dem Sinus des Aperturwinkels des einfallenden Strahlbündels.
126+26Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der aplanatische Meniskus
n’n n
O��’
PP’
Beim aplanatischen Meniskus wird nun die sphärische Rückfläche konzentrisch um den Fokuspunkt P‘ gelegt.
Es tritt also keine Richtungsänderung durch Brechung an der Rückfläche mehr auf und insgesamt erhöht der aplanatische Meniskus deshalb die numerische Apertur des einfallenden konvergenten Strahlbündels um den Faktor n‘/n.
Umgekehrt kann also durch eine Abfolge mehrerer aplanatischer Menisken die hohe numerische Apertur einer von einem Objektpunkt ausgehenden Kugelwelle erniedrigt werden ohne Aberrationen einzuführen. Für off-axisObjektpunkte treten zwar Aberrationen auf, diese sind aber gering.
126+27Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der aplanatische MeniskusMaximal mit einem aplanatischen Meniskus erreichbare numerische Apertur:Der zum Punkt P laufende Randstrahl des einfallenden Strahlbündels tangiert im Grenzfall des maximalen Aperturwinkels gerade die Kugelfläche (> Halbkugel !), die die Vorderseite des aplanatischen Meniskus bildet, im Punkt Q.
Das Dreieck OQP ist dann rechtwinklig am Schnittpunkt Q und es gilt:
1sin''sin
''sin
nn
nn
RnnR
Im Prinzip ist also eine numerische Apertur von bis zu 1.0 in Luft erreichbar. Der Grenzfall ist in der Praxis aber äußerst problematisch, da die Fläche hochgradig entspiegelt sein müsste (streifender Einfall hohe Reflexion) und die Herstellung einer Kugelfläche mit „größer Halbkugel“ auch schwierig ist.
��‘
n n‘
n‘R n/
R
Q
PO P‘
126+28Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der aplanatische MeniskusRaytracing Simulation eines aplanatischen Meniskus mit sin‘=0.996, d.h. ‘=84.9o: außen Luft, Linsenmaterial SF10 (n‘=1.723 bei =633 nm), R=100 mm nR/n‘=58.04 mm, n‘R/n=172.3 mm; Krümmungsradius Rückfläche: 50 mm
-200 -100 0 100 200
-200 -100 0 100 200
-150
-100
-50
0
50
100
150
-150
-100
-50
0
50
100
150
Distances in mm, horizontal z-axis, vertical x-axis
Seitenansicht Spotdiagramm
126+29Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der aplanatische MeniskusRaytracing Simulation eines aplanatischen Meniskus mit sin‘=0.996, d.h. ‘=84.9o: außen Luft, Linsenmaterial BK7 (n‘=1.515 bei =633 nm), R=100 mm nR/n‘=66.003 mm, n‘R/n=151.5 mm; Krümmungsradius Rückfläche: 50 mm
Seitenansicht Spotdiagramm
-200 -100 0 100 200
-200 -100 0 100 200
-150
-100
-50
0
50
100
150
-150
-100
-50
0
50
100
150
Distances in mm, horizontal z-axis, vertical x-axis
Auch mit weniger stark brechendem Material ist also eine NA=1.0 erreichbar!
126+30Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die achromatische Linse = Achromat
126+31Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der Achromat
Definition: Eine achromatische Linse (kurz: Achromat) hat für zwei verschiedene Wellenlängen die gleiche Brennweite. Sie besteht typischerweise aus zwei miteinander verkitteten Einzellinsen. Ihre „Nominalbrennweite“ hat sie aber bei einer dritten Wellenlänge, die normalerweise zwischen den anderen beiden Wellenlängen liegt.Als Wellenlängen mit gleicher Brennweite wählt man für Anwendungen im Sichtbaren Spektrallinien am Rand des sichtbaren Bereichs: F=486.1 nm (blaue Linie des atomaren Wasserstoffs) und C=656.3 nm (rote Linie des atomarenWasserstoffs). Die Wellenlänge mit Nominalbrennweite ist d=587.6 nm (gelbe Helium-Linie).
Analog gibt es noch eine apochromatische Linse (kurz: Apochromat), die für drei verschiedene Wellenlängen gleiche Brennweite hat. Dazu müssen mindestens drei Einzellinsen verwendet werden.
126+32Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der AchromatPrinzip eines Achromats anhand zweier dünner Linsen, die unmittelbar hintereinander stehen (Idealisierung):Einzellinse: Brennweite f‘i, Brechzahl ni, Krümmungsradien Ri,1 und Ri,2, i=1,2. Brennweite der Linsenkombination f‘, Linsen seien in Luft.
Paraxiale Matrix der Linsenkombination:
21
2112
12
'1
'1
'1
1'
101
1'
1'
101
1'
101
1'
101
fff
fffff
MMM
Wellenlängenabhängigkeit der Brechkraft einer Einzellinse:
iiii
ii
CnRR
nf
1:111'1
2,1,
126+33Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der Achromat
Achromasie-Bedingung liefert:
222111
22112211
2121
1111
'1
'1
'1
'1
CnnCnn
CnCnCnCn
ffff
CFCF
CCFF
CCFF
Die nur von den Krümmungsradien abhängigen konstanten Terme Ci können durch die Brennweiten bei der mittleren Wellenlänge d ausgedrückt werden:
dddd
dd
CF
dd
CF fVfVfn
nnfn
nn
2,21,1
22
22
11
11 '''1'1
V1,d und V2,d sind die Abbe-Zahlen der beiden Linsenmaterialien.
126+34Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Kurze Diskussion der Achromasie-Bedingung:für einen Achromat mit positiver Gesamtbrechkraft f‘>0.
1. Fall: Rein refraktiver Achromat aus zwei refraktiven Linsen.Abbe-Zahlen von Materialien sind immer positiv eine der Linsen muss eine Zerstreuungslinse sein.Da ein stark dispersives Material (Flintglas wie z.B. SF10) eine kleine Abbe-Zahl hat, muss die Brennweite der Linse aus diesem Material betragsmäßig größer sein bzw. die Brechkraft (inverse Brennweite) kleiner als bei der zweiten Linse aus dem schwach dispersiven Material (Kronglas wie z.B. BK7) Für positive Gesamtbrechkraft muss die Kronglaslinse eine Sammellinse und die Flintglaslinse eine Zerstreuungslinse sein.
2. Fall: Achromat aus einer refraktiven und einer diffraktiven Linse (Hybrid-Achromat)Abbe-Zahl einer diffraktiven Linse ist immer negativ und betragsmäßig sehr klein: Vd=-3.452 Sowohl die refraktive als auch diffraktive Linse sind Sammellinsen. Die diffraktiveLinse hat aber eine sehr große Brennweite bzw. sehr kleine „Brechkraft“.
Der Achromat dddd fVfV 2,21,1 ''
126+35Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der Achromat
crown glass flintglass
a) b)
Praktische Realisierung eines refraktiven und eines hybriden Achromats mit positiver Gesamtbrechkraft
126+36Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der Achromat
Anmerkungen:
Ein refraktiver Achromat aus zwei verkitteten Linsen hat drei Krümmungsradien, von denen nur zwei durch die Achromasie-Bedingung festgelegt sind. Ein Krümmungsradius kann also frei gewählt werden, was in der Praxis normalerweise dafür benutzt wird, um die Sinus-Bedingung zu erfüllen.
Beim hybriden Achromaten kann die Sinus-Bedingung nicht so leicht erfüllt werden, aber dafür kann die diffraktive Linse (freie Wahl der „nicht-parabolischen“ Terme der Phasenfunktion möglich) z.B. die sphärische Aberration (bei einer Wellenlänge, z.B. d) korrigieren.
126+37Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der AchromatDesign eines Achromaten bei gegebener Brennweite f‘(d):
d
ddd
d
ddd
dd
d
ddd
d
d
dddd
VV
ffVV
ff
fVV
ffVV
f
fVfVfff
,2
,12
,1
,21
2,2
,1
11,1
,2
2
2,21,121
1'' bzw. 1''
''1 bzw.
''1
'' und '
1'
1'
1
Beispiele:1. Refraktiver Achromat aus BK7 (V1,d=64.17) und SF10 (V2,d=28.41)
dddd ffff '259.1' und '557.0' 21
2. Hybrider Achromat aus BK7 (V1,d=64.17) und DOE (V2,d=-3.452) '588.19' und '054.1' 21 dddd ffff
3. Hybrider Achromat aus SF10 (V1,d=28.41) und DOE (V2,d=-3.452) dddd ffff '230.9' und '122.1' 21
126+38Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
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Der AchromatRestliche Wellenlängen-Abhängigkeit der auf f‘(d) normierten Brennweite f‘:
21
21
21
'1
'1
'1
'1
''
'1
'1
'1 und
2,1mit 1'1 :Linse
ff
ffff
fff
iCnf
dd
d
iii
1
111
11
''
11
''1
2
1
,1
,221
,1
,21
12
1
,1
,22
1,1
,2
2
d
d
d
d
d
dd
d
d
d
d
d
dd
d
d
nn
VV
nn
VV
n
ff
Cnn
VV
C
fVV
f
Für refraktiven Achromaten folgt dann:
126+39Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der Achromat
d
d
d
dDOE
d
dDOEd
d nV
Vn
VV
n
ff
11
11
''
1
,1
,1
,1
,1
Analog folgt für hybriden Achromaten (Linse 1 sei refraktiv und Linse 2 diffraktiv):
DOEdDOEdDOE
iii
Cff
iCnf
:''
1 :DOE
2,1mit 1'1 :Linse
Ersetze n2()-1 durch bzw. V2,d durch VDOE,d:
Bei einer einzelnen refraktiven Linse ist die Wellenlängen-Abhängigkeit zum Vergleich:
1
1''
nn
ff d
d
126+40Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der Achromat
�/nm
f’f’/
d
Lens (SF10)
Lens (BK7)
Achromaticdoublet(BK7+SF10)
0.99
1.01
1
0.98
500 550 600 650
Wellenlängenabhängigkeit eines Achromats (refraktiv) bzw. einer Einzellinse
126+41Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der Achromat
1
�/nm
f’f’/
d
refractive achromat(BK7+SF10)
hybrid achromat(BK7+DOE)
hybrid achromat(SF10+DOE)
1.001
0.999
0.998
0.997
0.996500 550 600 650
Wellenlängenabhängigkeit verschiedener Achromat-Typen
126+42Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Kurzer Einschub zur Auflösung einer Linse oder eines Spiegels
126+43Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Auflösungsvermögen einer Linse oder eines SpiegelsExkurs in Wellenoptik: Intensitätsverteilung I() (Airy-Verteilung) des Bildes eines -entfernten Objektes in Brennebene eines Spiegels oder einer Linse mit kreisförmiger Apertur (Durchmesser D, Brennweite f‘, : radiale Koordinate in Brennebene, Wellenlänge Intensität der einfallenden ebenen Welle I0):
ist die entsprechende Winkel-Koordinate /f‘
Erste Nullstelle der Airy-Verteilung bei: DD 22.122.1ˆ
-3 -2 -1 0 1 2 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
�̂
^[2
J(
)/(
)]1
��
��
2^
Df
DJf
DII'
ˆmit ˆ
ˆ2'4
ˆ2
1
22
0
D
f‘��
� ��=f‘
126+44Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Auflösungsvermögen einer Linse oder eines SpiegelsAuflösungsvermögen für zwei Punkte nach Rayleigh:Maximum der Intensität des einen Punktes fällt mit dem ersten Minimum der Intensität des zweiten Punktes zusammen.
-0.01 -0.006 -0.002 0 0.002 0.006 0.01
x-axis (mm)
Inte
nsity
(no
rma
lize
d)
00
.10
.20
.30
.40
.50
.60
.70
.80
.91
DD 22.1
Gleiches gilt auch, wenn die Lichtquelle (inkohärent) aus einem schmalen Spalt besteht, dessen Licht kollimiert wird!
=/D =1.22 /D
126+45Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der Spektrograph
126+46Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der Spektrograph
Ein Spektrograph ist ein optisches Instrument, mit dem einfallendes Licht in seine verschiedenen Wellenlängen-Komponenten zerlegt werden kann.
Selektiert man am Ausgang des Spektrographen einen schmalen Wellenlängenbereich, so spricht man von einem Monochromator.
Eng verwandt mit einem Spektrographen ist auch das Spektrometer, das zur Vermessung des Spektrums verwendet wird und dafür typischerweise einen Spektrographen verwendet.
126+47Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der SpektrographDer Prismen-Spektrograph: Zerlegung des Lichts mit Hilfe eines Prismas
Generell besteht ein Spektrograph aus einer spalt- oder punktförmigen Lichtquelle, einer Linse zur Kollimation, einem dispersiven Element und einer zweiten Linse zur Abbildung der spalt-/punktförmigen Lichtquelle auf einen Detektor.
� �‘i i‘
�
DD‘
L/2
126+48Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der Spektrograph
� �‘i i‘
�
DD‘
L/2
Ableitung der spektralen Auflösung (Brechzahl ndes Prismas, außen Luft/Vakuum):
'180'9090'sin'sinsinsin
iiiiinin
ooo
sincossinsin
sincossin1sinsincoscossinsin'sin22
2
n
ininininin
dd
sinsin
d'd'cos
22
nnn
Wichtigster Fall in der Praxis: Symmetrischer Strahlengang, d.h. =‘:
2sin
2/cos222/cos2/sin2
cos12sinsin
sinsincoscos21sinsinsincos1sin
2
2222222
nnnnn
126+49Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der SpektrographNatürlich gilt dann (wie vorausgesetzt):
2sin2/sin12/cos22/sin2/cos2/sin2
sincossinsin'sin
2222
22
nnnn
n
dd
2sin1
2sin2
'
dd
2sin1
2sin2
d'd
dd
2sin2
dd
sinsin
d'd'cos
22
2222
n
n
n
n
nnnn
ACHTUNG: Zur Ableitung der Dispersionsformel muss die vorige Gleichung verwendet werden, da der symmetrische Strahlengang streng nur für eine Wellenlänge möglich ist und man ansonsten die Dispersion bei Brechung an der ersten Grenzfläche des Prismas vernachlässigen würde!
126+50Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der Spektrograph
� �‘i i‘
�
DD‘
L/2
Spektrale Auflösung / wird durch Beugung begrenzt, wenn Spalt genügend klein ist (≤f‘/D):
Linse mit Brennweite f‘ und Durchmesser D hat Winkelauflösung von Beugung=/D:
dd
2sin1
2sin2
dd
2sin1
2sin2
2222
n
nDn
nD
phSpektrograBeugung
Alternative Gleichung für spektrale Auflösung (gültig für symmetrischen Strahlengang), die oft verwendet wird:
dd
dd2/sin'2
dd
'cos2/sin2 nLnDnD
Dabei ist L die Basislänge des Prismas unter der Annahme, dass das Prisma voll ausgeleuchtet ist.
126+51Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der Spektrograph
� �’
�D
D’
Der Gitter-Spektrograph: Zerlegung des Lichts mit Hilfe eines Beugungsgitters
Ableitung der spektralen Auflösung (Periode des Gitters, Beugungsordnung m, außen Luft/Vakuum):
NmmDmD
Dmmm Beugung
''cos
'cos'
d'd'cossin'sin
Spalt sei wieder genügend klein (≤f‘/D), wobei f‘ die Brennweite der beiden Linsen ist.
Hierbei ist N die Anzahl der ausgeleuchteten Perioden des Gitters.
126+52Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der SpektrographVergleich Prismen- und Gitter-Spektrograph für praxisnahe Werte:60o-Prisma aus SF10 (=60o), Schwerpunktswellenlänge =550 nm: n=1.734, dn/d=-0.000161 nm-1, ausgeleuchteter Durchmesser der Linse D=20 mm.
Beugungsgitter mit symmetrischem Strahlengang für =-45o Einfallswinkel (m=1):
nm 38922
212
sin'sin45'
o
m
727002' :Gitter
6460dd
4/1dd
2sin1
2sin2
:Prisma
1
222
DDN
nnDn
nD
m
Gitter-Spektrograph hat also ca. 10x höhere spektrale Auflösung
126+53Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Der Spektrograph
Für noch höher auflösende Spektrometer werden spezielle auf der Wellenoptik basierende Instrumente eingesetzt.
Fabry-Perot-Spektrometer (Vielstrahlinterferenz) oder Echelle-Spektrometer erreichen bis zu /=108
Dazu muss aber praktisch immer ein normaler Gitter- oder Prismen-Spektrograph vorgeschaltet werden, um nur noch einen kleinen Spektralbereich zu haben.
126+54Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die Kamera
126+55Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die Kamera
diaphragm lens
photosensitivedevice
Eine Kamera wird zur Aufnahme des (invertierten) Bildes einesObjektes benutzt. Sie besteht aus folgenden Komponenten:• Linse (Linsensystem!) oder Spiegel mit Brennweite f‘• Blende (= Aperturblende = kann Fassung Linse/Spiegel sein)• Detektor (z.B. Film, CCD-Chip, …)
Meist ist die Brennweite f‘ sehr viel kleiner als der Abstand des Objektes |dO|. Bildweite dI
''
111 '
fdfdd I
fd
OI
O
126+56Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die KameraDie Größe x des Bildes auf dem Kamera-Detektor wird also im wesentlichen durch die Winkelausdehnung des Objektes bestimmt und das Bild ist ungefähr in der Brennebene der Linse:
'fx
Beispiel: Kleinbild-Kamera mit f‘=50 mm
1. Aufnahme eines Menschen mit 5 m Abstand (dO=-5 m) von der Kamera und einer Größe von 1.75 m.
mm 68.17
mm 51.50'
''
111:gleichungAbbildungsmit Exakt
mm 5.17'35.0575.1
O
I
O
OI
OI
ddx
fdfdd
fdd
fx
Näherungsformel ergibt also nur ca. 1% Fehler.
126+57Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die Kamera
2. Bild des Mondes aufgenommen mit einer normalen Kleinbild-Kamera mit Brennweite f‘=50 mm:
Mond: ≈0.5o mm 44.0' fx
Auf einem Dia-Film mit 24 mm x 36 mm Größe wäre der Mond also winzig und man könnte kaum Details erkennen (Auflösung z.B. 200 Linien/mm ca. 100 Pixel im Durchmesser)
Zur Beobachtung von astronomischen Objekten mit kleiner Winkelausdehnung braucht man lange Brennweiten.
Astronomische Kamera mit langbrennweitigem Spiegel. In der Astronomie wird diese oft auch einfach als astronomisches Teleskop bezeichnet.
126+58Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die KameraDie Schärfentiefe:
Eine ideale Linse ohne Aberrationen bildet ein Objekt „beugungsbegrenzt“ ab, d.h. die Auflösung wird nur durch die Wellennatur des Lichts bestimmt.
Allerdings kann immer nur eine Ebene wirklich scharf abgebildet werden.
In einer realen Kamera ist die Auflösung des Detektors oft aber schlechter als die beugungsbegrenzte Auflösung.
Auch Objekte in Ebenen mit verschiedener Tiefe können „scharf“im Sinne der begrenzten Auflösung des Detektors abgebildet werden, solange ein Bildpunkt nicht größer als ein Detektorpixel ist (Detektorpixel = kleinstes noch unterscheidbares Bildelement).
126+59Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die Kamera
p
dIdO
D
ideal objectplane
detectorplane
dO,F dI,F
dO,N dI,N
Schärfentiefe (= Abstand zwischen den noch scharf abgebildeten Ebenen):Durchmesser p der Detektorpixel, Brennweite f‘ der Kamera, Durchmesser D der BlendeObjekt- bzw. Bildweite dO bzw. dI der exakt scharf abgebildeten EbeneObjekt- bzw. Bildweite dO,N bzw. dI,N der näher an der Kamera liegenden Ebene, die noch scharf abgebildet wird.Objekt- bzw. Bildweite dO,F bzw. dI,F der weiter von der Kamera entfernt liegenden Ebene, die noch scharf abgebildet wird.
126+60Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die KameraBlendenzahl/Öffnungszahl f# (f number):
Dff '#
Zusammenhang Blendenzahl - numerische Apertur im Bildraum NAI:Gilt nur für weit entfernte Objekte, so dass das Bild ungefähr in der Brennebene der Linse ist.
#21
'2sinNA
fn
fDnn IIIII
In der Praxis meist nI=1.0 (Luft) NAI=1/(2f#)Es gibt aber auch optische Systeme, bei denen nI≠1.0, wie z.B. im menschlichen Auge!
Blendenzahl bestimmt die Belichtungszeit t, da die auf den Detektor fallende Lichtenergie E proportional zur Fläche der Aperturblende ist (Konstante a).
22
22 #
'#' f
afEt
fftaDtaE
126+61Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die KameraAbleitung Schärfentiefe für unter-schiedliche Brechzahlen nO bzw. nI in Objekt- und Bildraum:
FOIO
FOIFI
I
FO
O
FI
I
NOIO
NOINI
I
NO
O
NI
I
OIO
OII
I
O
O
I
I
dnfndfn
dfn
dn
dn
dnfndfn
dfn
dn
dn
dnfndfnd
fn
dn
dn
,
,,
,,
,
,,
,,
''
'
''
'
''
'
Laut Strahlensatz (siehe Abbildung) gilt:
'11''
''
11''
'
,
,
,,,,
,,,,
fndn
Dp
d
dnfnDpfn
dfnd
fndn
Dp
d
dnfnDpfn
dfnd
dDpdd
ddp
dD
dDpdd
ddp
dD
O
OI
O
OIOO
OOFO
O
OI
O
OIOO
OONO
FIFIIFIIFI
NIINIININI
p
dIdO
D
IdealeObjektebene
Detektor-ebene
dO,FdO,F dI,FdI,F
dO,NdO,N dI,NdI,N
126+62Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die KameraAbbildungsmaßstab für den Fall, dass die Kamera-Linse (in Praxis = Objektiv) die Sinus-Bedingung erfüllt ( Eintritts- und Austrittspupille sind Sphären um Objekt- bzw. Bildpunkt):
OI
IO
II
OO
II
OO
O
I
dndn
dDndDn
nn
xx
2/2/
sinsin
'11
'1
' fndn
fndn
dndn
fn
dn
dn
O
OI
O
OI
IO
OII
O
O
I
I
'#11
'#11
,
,
ffp
d
Dp
dd
ffp
d
Dp
dd
OOFO
OONO
Aus Abbildungsgleichung folgt:
Für Kamera ist f‘ positiv und negativ (reales invertiertes Bild, da |dO|>f‘ und dO<0). Der Nenner der Gleichung für dO,F kann also Null werden.
#'1'1'
01
, fpf
nfn
pD
nfnd
Dp
Dp
I
O
I
OCO
126+63Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die Kamera
Wenn die Kamera auf die „kritische Objektweite“ dO,C scharf gestellt wird, geht |dO,F| gegen unendlich und alle Objekte ab dem Abstand |dO,N|=|dO,C|/2 werden scharf (im Sinn der begrenzten Auflösung des Detektors) abgebildet.
#'1'1' d.h. 01 , fp
fn
fnpD
nfnd
Dp
I
O
I
OCO
FO
COCONO
d
d
Dp
dd
,
,,, 21
Deutung der letzten Gleichung:
Anmerkung: Auch wenn die Kamera auf weiter entfernte Objekte mit Abstand >|dO,C| scharf gestellt wird (d.h. || wird kleiner), werden alle weiter entfernten Objekte scharf abgebildet, da dO,F dann sogar formal positiv wird (wegen 1+p/(D)<0). D.h. sogar virtuelle, durch ein vorgeschaltetes Abbildungssystem erzeugte, Objekte könnten noch scharf abgebildet werden.
126+64Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die KameraBeispiel: f‘=50 mm, nO=nI=1, p=11 µm (CCD-Kamera mit großem Dynamikbereich)
1. minimale Blendenzahl f#=2.8
m 6.402
m 2.81#'1' ,
,,
NO
NOI
OCO
dd
fpf
nfnd
2. Blendenzahl f#=16
m 1.72
m 3.14#'1' ,
,,
NO
NOI
OCO
dd
fpf
nfnd
Aber Vorsicht: Ab dieser Blendenzahl begrenzt die Beugung, die bei der Ableitung der Schärfentiefe nicht berücksichtigt wurde, die Auflösung:
nm) 550 nlänge(für Welle µm 7.10#22.1NA
61.0 pfrAiry
126+65Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die KameraSchärfentiefe für nahe Objekte, so dass dO,F endlich ist:
'11 : wurde verwendetrechts wobei
'#1
111
#2
'#1
'#2
'#1
'#1
22,,
fndn
ffp
fpnn
ffpf
fpd
ffp
d
ffp
dddd
O
OI
I
OO
OOFONO
Für die kritische Distanz (pf#/(f‘)=1) würde der Nenner also wieder Null und dunendlich. Für nähere Objekte (d.h. || wird größer) ist der Nenner natürlich endlich und es gilt näherungsweise:
221#2111#2
'#1
111
#2#'
fpnnfp
nn
ffp
fpnndfpf
I
O
I
O
I
O
126+66Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die KameraBeispiel für Schärfentiefe bei nahem Objekt:
CCD-Kamera mit f‘=50 mm, Linse in Luft, Pixelgröße p=11 µm.
Die Blendenzahl sei f#=10 und das Objekt befinde sich in 1 m Abstand, d.h. dO=-1 m
Abbildungsmaßstab folgt aus Abbildungsgleichung: 05263.0'
11
fndn
O
OI
mm 746.83
'#1
111
#2 2
ffp
fpnnd
I
O
Exakte Gleichung für die Schärfentiefe liefert:
Näherungsformel für die Schärfentiefe liefert:
mm 600.831#2111#2 2
fp
nnfp
nnd
I
O
I
O
Der relative Fehler der Näherungsformel ist also nur ca. 0.2% und die Schärfentiefe beträgt 8.4 cm bei einer idealen Objektebene in 1 m Abstand. Objekte außerhalb der Schärfentiefe werden unscharf abgebildet.
126+67Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die KameraDetektor-Typen:
Früher wurden photographische Filme eingesetzt: analog sowohl hinsichtlich der räumlichen Auflösung (es gibt keine Pixel) als auch der Anzahl an Graustufen.
CCD oder CMOS-Sensoren: digitale elektronische Detektoren, sowohl räumlich digital (es gibt klar definierte Pixel) als auch bezüglich der Anzahl an Graustufen (Analog-Digital-Wandler erzeugt ein digitales Signal).
CCD/CMOS-Sensoren liefern direkt ein elektronisches digitales Signal, das verarbeitet werden kann. Filme dagegen liefern kein elektronisch direkt auswertbares Signal, können dafür aber (nach der Entwicklung und evtl. Umkopierung) ohne Hilfsmittel betrachtet werden.
126+68Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die Kamera
Vergleich Film CCD/CMOS-Sensor
Bis zu ≥ 90%5-10 %Quantenausbeute
Räumlich digital (Pixel), Intensität digital (DA-Wandler)
Räumlich analog, Intensität analog
Digital/Analog
Bis zu 16 MPixelPixel nicht vorhanden. Aber: 150 lp/mm bei 36 mm x 24 mm Format ca. 74 MPixel
Anzahl Pixel
Pixelabstand 1.7 µm -20 µm Max. 300 lp/mm
> 1000 lp/mm (s/w), gängig 40-150 lp/mm(Farbe)
Auflösungsvermögen in lp/mm(=Linienpaare/mm)
CCD/CMOSFilm
126+69Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die KameraPrinzip CCD: CCD=Charge-coupled deviceNobelpreis für Physik 2009: Willard Boyle und George E. Smith
„Eimerketten-Prinzip“
Ladungsverschiebungs-Varianten von CCDs
Alles Bildmaterial aus Wikipedia
Lichtempfindlich ist nur ein Teil jedes Pixels höhere Lichtausbeute möglich durch je eine Mikrolinse pro Pixel.
126+70Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die Kamera
Signal-Rausch-Verhältnis SNR (signal-to-noise) eines CCD-Chips:Jedes Pixel kann je nach Größe nur eine Maximalzahl N an durch einfallende Photonen erzeugten Elektronen speichern. Das Rauschen in der Anzahl der Elektronen liegt typischerweise bei .
Das SNR ist also:
N
NN
NSNR
Die maximale Anzahl N an speicherbaren Elektronen pro Pixel hängt von der Größe, d.h. Fläche, des Pixels ab. Bei einer Kantenlänge d jedes Pixels gilt also:
dNdN SNR2
Ein CCD-Chip mit 20 µm großen Pixeln hat also beispielsweise ein mehr als 10-fach größeres Signal-Rausch-Verhältnis als ein Chip mit nur 1.7 µm großen Pixeln!
126+71Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die KameraAnmerkungen zur Pixelgröße:Generell sollte man sich klar machen, dass neben dem geringeren Signal-Rausch-Verhältnis immer kleinere Pixel auch sonst wenig sinnvoll sind, da der Informationsgehalt des Bildes ab einer bestimmten Größe nicht mehr zunimmt.Beugungsbedingte Größe der Airy-Disc (Radius):
Bei einer Wellenlänge von =0.5 µm wäre der Radius eines Punktbildes also schon durch Beugungseffekte ab einer Blendenzahl von 2.8 größer als 1.7 µm.
Pixel mit Durchmesser <1.7 µm können nur noch für Blendenzahlen <2.8 eingesetzt werden, wenn man die volle Auflösung haben möchte. Geringe Schärfentiefe und relativ hohe Anforderungen an das Objektiv bezüglich Aberrationskorrektur wegen des großen Feldwinkels und der kleinen Blendenzahl.
#22.1'22.1'61.0NA
61.0Luftin
fD
fr
frAperturApertur
Airy
126+72Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die KameraFarb-Kameras:CCD-Chip basierend auf Silizium-Technologie (Standard) besteht letztendlich aus einem Array von Silizium-Photodioden + weiterer Elektronik. Sensitiv für Photonen mit Energie Eph > Bandlücke von Si (EBandlücke=1.1 eV) Wellenlänge :
µm 127.1J 10602.11.1
ms 10998.2Js 10626.619
-1834
BandlückeBandlückeph E
hcEhchE
Si-Photodiode: Strom/einfallende Leistung als Funktion der Wellenlänge
CCD-Kamera mit IR-durchlässiger Optik ohne IR-Filter ist bis ins nahe IR sensitiv und liefert „nur Grauwerte“.
Quelle: Wikipedia
126+73Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Die KameraFarb-Kameras(2):Farb-Kamera hat in der Regel ein Array von Farbfiltern vor dem Chip Verschiedene Pixel für verschiedene Wellenlängenbereiche sensitiv
Quelle: Wikipedia
Bayer-Farbfilter: Array mit je einem roten, zwei grünen und einem blauen Pixel (RGB)
Warum kann man mit nur drei Wellenlängen (bzw. genauer Wellenlängenbereichen) wie beim RGB-Verfahren alle sichtbaren Farben erzeugen bzw. detektieren?
Der Grund liegt natürlich in der Physiologie unseres Auges: Wir haben genau drei Farbrezeptoren (S-,M- und L-Zapfen): siehe menschliches Auge
126+74Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das menschliche Auge
126+75Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Anmerkung:Maßeinheit für Brechkraft (=1/Brennweite): 1 Dioptrie = 1 dpt = 1 m-1
Das menschliche Auge
Quelle: Zeiss
Aufbau des menschlichen Auges(gleiches Prinzip bei allen Wirbeltieraugen):
Analogie zu einer Kamera:
• Iris = Blende (Durchmesser 2 mm - 8 mm)
• Hornhaut + Augenlinse = Linse
• Netzhaut = Detektor (schärfstes Sehen in der Netzhautgrube=Sehgrube)
126+76Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das menschliche AugeDie „Kamera-Linse“ des Auges:Hauptanteil der Brechung findet an der Hornhaut (Cornea) statt (Übergang Luft –Hornhaut: Brechzahldifferenz n=nHornhaut-nLuft=0.376): ca. 43 dpt
Augenlinse (Kristalllinse) besteht aus unterschiedlichen Schichten mit Brechzahlen zwischen 1.386 und 1.406 eingebettet in Kammerwasser bzw. Glaskörper mit je nGlaskörper=1.336 n≤0.07Brechkraft der Linse für entspanntes Auge (Ferne): ca. 19-20 dptBei Akkomodation (zusätzliche Brechkraft für nahe Objekte): max. 14 dpt zusätzlich
Gesamtbrechkraft Auge:Ferne: 59 dpt (endlicher Abstand Hornhaut zu Linse kleiner als Summe der Einzelbrechkräfte von Hornhaut und Augenlinse)
mm 9.16''dpt 59
''
nf
fn Achtung: Das Auge ist ein Immersionssystem
mit n‘=nGlaskörper=1.336. f‘/n‘ ist deshalb die effektive Brennweite bezogen auf Luft.
126+77Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das menschliche AugeAkkomodation: Fähigkeit des Auges auf unterschiedliche Entfernungen scharf zu stellen.
Scharfstellung auf nahes Objekt Ziliarmuskel (Ringmuskel) wird angespannt Ziliarbänder werden entspannt und die elastische Augenlinse versucht möglichst Tröpfchenform anzunehmen stärkere Krümmung = höhere Brechkraft
Ziliarmuskel entspannt Ziliarmuskel angespannt
Deutliche Sehweite: 25 cm Augenlinse muss zusätzlich 4 dpt Brechkraft liefern
dpt 41''
''
''
'''
'''
1
12
2
1
O
n
O
OI
I
ddn
fn
fn
fn
fn
dn
dn
fn
dnObjekt in Ferne dO-
Objekt im Abstand der deutlichen Sehweite dO=-25 cm
126+78Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das menschliche AugeBei einer zusätzlichen Brechkraft der Augenlinse von 14 dpt (nur in der Jugend) können also noch Objekte im Abstand |dO|=1/14 dpt=7.1 cm scharf gesehen werden.
Mit zunehmendem Alter „verkalkt“ die Augenlinse, d.h. ihre Elastizität nimmt ab und deshalb auch ihre Fähigkeit zur Tröpfchenform zusätzliche Brechkraft nimmt ab bis zum „Endstadium“ der zusätzlichen Brechkraft Null.
Ab Akkomodationsfähigkeit kleiner als 4 dpt benötigt man eine Lesebrille (im Volksmund „ist der Arm nicht mehr lange genug“ um das Buch weit genug entfernt zu halten). Fachausdruck Presbyopie (Alterssichtigkeit)
Diese „natürlichen Alterungsprozesse“ dürfen nicht mit einer angeborenen Fehlsichtigkeit (Ametropie) verwechselt werden, bei der der Augapfel zu kurz (Weitsichtigkeit) oder zu lang (Kurzsichtigkeit) ist. Korrektur der Weitsichtigkeit mit Sammellinse bzw. der Kurzsichtigkeit mit Zerstreuungslinse.
126+79Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das menschliche AugeAuflösungsvermögen des menschlichen Auges:Unter optimalen Bedingungen können zwei Objekte mit einem Winkelabstand von =30‘‘ noch unterschieden werden (bei normalsichtigen Augen im Durchschnitt bei 1‘ Winkelabstand). Abstand x der Bildpunkte auf der Netzhaut ist dann:
µm 5.2mm 9.1660180
5.0''''
nffx
Abstand der „Pixel“ des Auges (= Abstand der Rezeptoren) muss <2.5 µm sein, damit eine Verminderung der Intensität im Punktbild zweier Objektpunkte noch erkennbar ist. Laut Literatur beträgt der Abstand der Rezeptoren (Zapfen) im Zentrum der Sehgrube (Ort des schärfsten Sehens) ca. 1.5-2 µm.Bis Pupillendurchmesser (Irisblende) von ca. 3 mm ist das Auge beugungsbegrenzt: Pupillenradius r=1.5 mm numerische Apertur NA=n‘sin‘=n‘r/f‘=1.5 mm/16.9 mm=0.089 Radius der Airy-Disc für Wellenlänge 550 nm: rAiry=0.61 /NA=3.8 µmDies wäre sogar größer als der oben berechnete Bildpunktabstand bei optimaler Auflösung, allerdings war dies nur eine Abschätzung, da sowohl etwas kleiner als auch r etwas größer sein können: =450 nm, r=2 mm rAiry=2.3 µm.
126+80Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das menschliche Auge
Irisblende kann Durchmesser zwischen 2 mm (bei sehr hellem Licht) und 8 mm (bei Dämmerung/Dunkelheit) haben. Mit zunehmendem Pupillendurchmesser (z.B. in der Nacht) verringern Aberrationen (sphärische Aberration wächst mit NA4) das Auflösungsvermögen.
Diese Rechnung zeigt auf jeden Fall, dass das menschliche Auge im Lauf der Evolution zu einem erstaunlichen optischen Instrument optimiert wurde, das an den physikalisch möglichen Grenzen funktioniert.
Einen wesentlichen Teil unseres „Seh-Apparats“ bildet selbstverständlich die Verarbeitung der Informationen im Gehirn, wobei schon in der Netzhaut (Retina), dem Detektor unseres Auges, eine komplexe Vorverarbeitung durch entsprechende Verschaltung der Nervenzellen (Neuronen) stattfindet. Da dieses System an das Überleben im Alltag eines Primaten angepasst ist, kommt es unter gewissen Umständen zu optischen Täuschungen.Das Auge macht auch ständig bewusste und unbewusste Augenbewegungen um ein Objekt „abzuscannen“, da wir nur in einem sehr schmalen Bereich (ca. 1o) wirklich scharf sehen.
126+81Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das menschliche AugeFarbwahrnehmung:Das menschliche Auge hat unterschiedliche Rezeptoren:Stäbchen: keine Farbempfindlichkeit, d.h. nur Schwarz-Weiß-Sehen, aber extrem empfindlich (bis zu einzelne Photonen sichtbar) Nachtsehen (skotopischesSehen) erfolgt mit Stäbchen. Häufigkeit auf der Netzhaut nimmt vom Zentrum zum Rand hin zu (ca. 120 Millionen insgesamt) Mensch sieht bei Dämmerung in der Peripherie besser.
Zapfen: Farbrezeptoren durch drei Zapfen-Typen: S-Zapfen (blau), M-Zapfen (grün) und L-Zapfen (rot).Zapfen benötigen mindestens 200 Photonen für ein zuverlässiges Signal Zapfen nur bei Tageslicht aktiv (photopisches Sehen), bei geringer Helligkeit wie nachts „abgeschaltet“, d.h. keine Farbwahrnehmung.Häufigkeit nimmt vom Zentrum der Netzhaut zum Rand hin ab. Höchste Dichte in der fovea centralis=Sehgrube (ca. 6 Millionen insgesamt auf der menschlichen Netzhaut, davon ca. 200 000 in der Sehgrube mit ca. 1.5 mm Durchmesser).
126+82Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das menschliche AugeVerteilung der Zapfen (blau) und Stäbchen (rot) auf der Netzhaut: In Sehgrube praktisch nur Zapfen, größte Dichte der Stäbchen auf Ring mit 17o
Winkelabstand relativ zur optischen Achse.Da im Zentrum der Sehgrube (fast) keine Stäbchen vorhanden sind und bei Dunkelheit die Zapfen nicht mehr funktionieren, kann man bei Dunkelheit nur unscharf sehen und z.B. kaum einen Text lesen.Der blinde Fleck (Austrittspunkt des Sehnervs) ist weiß gezeichnet (rechts von der Sehgrube).
Quelle: http://www.dma.ufg.ac.at/app/link/Grundlagen:Allgemeine/module/16457?step=2
126+83Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das menschliche AugeFarbwahrnehmung(2):
Quelle: Wikipedia
Wellenlängen-Abhängigkeit der Empfindlichkeit der verschiedenen Rezeptoren im menschlichen Auge (für jeden Rezeptor getrennt normiert)
S,M,L: Zapfen-Typen
R: Stäbchen (engl. rods)
126+84Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das menschliche Auge
Quelle: Wikipedia
Farbwahrnehmung(3):Relative Empfindlichkeit der verschiedenen Zapfen bzw. der Gesamtheit der Zapfen in der Sehgrube im menschlichen Auge
S,M,L: Zapfen-Typen
Z: Sehgrube
Maximale Empfindlichkeit des Auges bei 555 nm (Tagessehen) bzw. 498 nm (Nachtsehen) ist also gut an das Strahlungsmaximum unserer Sonne bei ca. 500 nm angepasst!
126+85Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das menschliche AugeRot-Grün-Sehschwäche bzw. totale Farbenblindheit:Bei Rot-Grün-Sehschwäche (bis zu 9% der Männer und 0.8% der Frauen) kann man Rot und Grün nicht unterscheiden, da anstelle der M- und L-Zapfen nur eine Sorte vorliegt.Fehlen die Zapfen vollständig (recht selten) kann man nur noch mit Hilfe der Stäbchen Grautöne wahrnehmen und ist meist extrem behindert (Stäbchen am Tag geblendet, in Sehgrube meist nur geringe Stäbchendichte und Sehschärfe).
Que
lle: W
ikip
edia
Nachweis der Rot-Grün-SehschwächeSimulation der Rot-Grün-Sehschwäche (Mitte) bzw. totaler Farbenblindheit (rechts) für Normalsichtigen
126+86Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das menschliche AugeDer RGB-Farbraum:Durch additive Mischung unterschiedlicher Intensitäten von nur drei Grundfarben (rot, grün und blau), die in etwa an die Absorptionsmaxima der drei Zapfen-Typen angepasst sind, lassen sich alle Farbtöne für das menschliche Auge erzeugen, da das Auge eben nur über das Verhältnis der Anregung der drei Zapfen-Typen Farben erkennen kann.
Wenn wir auf einem Computer-Bildschirm z.B. gelbes Licht sehen, so wurde dort nicht etwa wirklich monochromatisches Licht mit einer Wellenlänge emittiert, die wir als gelb empfinden, sondern es wurde durch die Mischung von rotem und grünem Licht erzeugt.
Diese Eigenschaft unseres Farbwahrnehmungs-Systems mit den drei Zapfen-Typen ermöglicht also erst die technische Darstellung aller Farben.
In der Drucktechnik muss man natürlich die subtraktive Farbmischung verwenden, bei der aus weißem Licht (= Mischung aller Farben) entsprechende Farben herausgefiltert werden.
126+87Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das menschliche AugeAnmerkung zur Farbwahrnehmung anderer Tiere:
Manche Tiere haben bis zu 4 Farb-Rezeptoren (Vögel, Fische). Manche Tiere wie Vögel, (manche) Fische und Schmetterlinge sehen im Ultravioletten bei unter 400 nm.
Die meisten Säugetiere (Ausnahme Primaten wie z.B. der Mensch) haben nur 2 Farb-Rezeptoren.
Mensch Biene Fisch (Plötze)Quelle: http://www.sinnesphysiologie.de/komplex/farbe.htm
126+88Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das Teleskop
126+89Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das Teleskop
u1 u1’ u2 u2’
u1u1’
f1’
-f =f2 2’
u2 u2’
F ’=F1 2
f2
f1’
F ’=F1 2
(a)
(b)
Definition:Ein Teleskop ist ein System aus zwei Linsen (oder Spiegeln), bei dem der bildseitige Brennpunkt der ersten Linse (Objektiv) mit dem objektseitigen Brennpunkt der zweiten Linse (Okular) zusammenfällt.
Es gibt zwei unterschiedliche Arten: a) Kepler-Teleskop (astronomisches
Fernrohr) aus zwei Sammellinsen
b) Galilei-Teleskop (terrestrisches Fernrohr, holländisches Fernrohr) aus einer Sammel- und einer Zerstreuungslinse
126+90Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das TeleskopParaxiale Matrix eines Teleskops:Bildseitige Brennweite f1‘ der ersten Linse bzw. f2‘ der zweiten Linse, je in Luft.
Laut Definition gilt für Abstand d zwischen bildseitiger Hauptebene der ersten Linse und objektseitiger Hauptebene der zweiten Linse:
''' 2121 ffffd
''0
''''
'1
'''1
'1
'1
1'
101
101
1'
101
2
1
211
2
22121
1
12 ff
ffff
fd
ffd
ff
dfd
f
d
fM
Die Brechkraft (Koeffizient -C) ist also bei einem Teleskop Null bzw. die Brennweite ist unendlich (daher auch der Name afokales System für ein Teleskop)!Trotzdem kann ein Teleskop aber zur Abbildung von Objekten verwendet werden!
M: Matrix des Teleskops von objektseitiger Hauptebene U1 der ersten Linse bis zur bildseitigen Hauptebene U2‘ der zweiten Linse.
126+91Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das TeleskopTeleskop als Aufweitungssystem und Abbildungssystem für weit entfernte ObjekteBetrachte einfallende ebene Welle unter Winkel relativ zur optischen Achse paraxiales Strahlenbündel wird durch zwei Strahlen der Höhe x1 bzw. x2 vor dem Teleskop und dem Winkel repräsentiert.Die Strahlvektoren unmittelbar hinter dem Teleskop sind dann:
1'''
'''':'
'''
'''''
2,1mit
''
''''
''
1
212
1
212
2
1
2
121
2
1
211
2
xxx
ffxx
ffxxx
ff
ff
i
ff
ffxff
xx
i
ii
i
i
i
i M
Die Winkelvergrößerung ist also betragsmäßig gleich dem Verhältnis der Brennweiten f1‘/f2‘.
Eine einfallende ebene Welle mit Durchmesser xwird um den Faktor –f2‘/f1‘==1/ aufgeweitet (oder komprimiert).
126+92Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das Teleskop
Für |f1‘|>|f2‘| wird die Winkelvergrößerung also betragsmäßig größer als eins und das entfernte Objekt erscheint unter einem vergrößerten Winkel, d.h. auch größer.
Bei einem Kepler-Teleskop gilt f1‘>0 und f2‘>0 <0, d.h. das Bild steht auf dem Kopf. Bei astronomischen Objekten ist dies kein Problem, bei terrestrischen Objekten ist es aber störend, so dass man ein Bildumkehrungs-System benutzen muss (z.B. nachgeschaltetes Kepler-Teleskop mit zwei identischen Linsen).
Bei einem vergrößernden Galilei-Teleskop gilt f1‘>0 und f2‘<0 >0, d.h. das Bild steht aufrecht.
126+93Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das TeleskopAbbildung endlich weit entfernter Objekte mit einem Teleskop
u1 u1’ u2 u2’
f1’
-f =f2 2’
F ’=F1 2
Objectplane
Imageplane
d1
d2
Das Objekt befinde sich in der Entfernung d1vor der objektseitigen Hauptebene der ersten Linse (d1>0, wenn Objekt links der ersten Linse ist). Das Bild ist dann in der Entfernung d2 hinter der bildseitigen Hauptebene der zweiten Linse, wobei es reell ist, wenn d2>0 gilt. Matrix M‘ von Objekt- zu Bildebene ist:
''0
''
''''
''
101
''0
''''
101
'
2
1
2
12
1
2121
1
2
1
2
1
211
2
2
ff
ffd
ffdff
ff
d
ff
ffff
dM
Für Abbildung muss der „B-Koeffizient“ Null sein:
21
22
11
22
222
12
1
2121 '
''''0
''
''''
ffd
fffd
ffd
ffdff
126+94Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das TeleskopUm also ein reelles Bild (d.h. d2≥0) eines reellen Objektes (d1≥0) zu erzeugen, muss gelten:
0'
1'
10'
''0''
'''
211
2
21
121
22
11
22
22 ff
dfff
ffd
fffd
Da bei einem Galilei-Fernrohr die Sammellinse immer die betragsmäßig größere Brennweite haben muss (siehe später), kann ein Galilei-Fernrohr kein reelles Bild eines reellen Objektes liefern. Das Kepler-Teleskop liefert dagegen ein reelles Bild solange 0≤d1≤f1‘+(f1‘)2/f2‘ gilt.
Im Fall der teleskopischen Abbildung gilt für den lateralen Abbildungsmaßstab :
'''
1
20
ffA
xBAx
xx B
Der Abbildungsmaßstab hängt also nur vom Verhältnis der Brennweiten ab und nicht von der Lage des Objektes. Wenn sich in der gemeinsamen Brennebene des Teleskops (nur Kepler) noch die Aperturblende befindet, ist das System telezentrisch.
126+95Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das TeleskopWichtiges teleskopisches Abbildungssystem: Das 4f-SystemEin wichtiger Spezialfall eines teleskopischen Abbildungssystems ist das sogenannte 4f-System, bei dem beide Linsen die gleiche Brennweite f1‘=f2‘=f‘>0 besitzen.
1''
'2'2''
'''
1
2
21121
22
11
22
22
ff
fdddfffd
fffd
Bei einem 4f-System (Gesamtlänge 4f‘) ist also die Summe der Abstände des Objektes und des Bildes von den Linsen konstant bzw. man kann das Teleskop axial verschieben, ohne dass sich paraxial etwas an der Abbildungssituation ändert (bei einem realen System ändern sich natürlich eventuelle Aberrationen!). Das Bild hat die gleiche Größe wie das Objekt, steht aber auf dem Kopf.
4f-Systeme werden z.B. verwendet, um ein nicht direkt zugängliches Zwischenbild reell abzubilden und damit zugänglich zu machen.
126+96Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das Teleskop(a) Infinite distant objects
(b) Finite distant objects
aperturestop field
stop
fieldstop
aperturestop
vignettedimage point
Apertur- und Feldblende eines teleskopischen Abbildungssystems (Kepler-Teleskop)Bei unendlich weit entfernten Objekten ist in der Regel die Apertur der ersten Linse die Aperturblende. Die Feldblende bringt man sinnvollerweise in der gemeinsamen Brennebene des (Kepler-)Teleskops an.
Bei einem Objekt in der vorderen Brennebene der ersten Linse ist die Apertur der ersten Linse die Feldblende, während eine Blende in der gemeinsamen Brennebene des Teleskops zur Aperturblende wird. Es tritt allerdings Vignettierung am Rand des Feldes auf.
126+97Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das TeleskopBerechnung der Austrittspupille bei Kepler- und Galilei-Teleskopfür entfernte Objekte und den Fall, dass die Apertur des Objektivs mit Durchmesser D die Aperturblende ist.Eintrittspupille fällt dann mit der Apertur des Objektivs zusammen und die Austrittspupille ist das Bild davon abgebildet durch das Okular mit Brennweite f2‘.Die Objektweite dO und Bildweite dI der Abbildung lauten also:
1
''
'''
'''
''
''''
111
''
1
2
21
1
212
2
''
1
212
2
21
21
ff
fff
fff
dd
ff
fffdfdd
ffd
O
IupilleAustrittsp
ff
IOI
O
Die Bildweite der Austrittspupille ist also ungefähr gleich der Brennweite des Okulars und der Durchmesser der Austrittspupille ist D/||.
126+98Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das TeleskopAnmerkungen zum Kepler-Teleskop:Kepler-Teleskop zur vergrößerten Abbildung ferner Objekte besteht aus dem Objektiv (erste Linse) und dem Okular (zweite Linse), die beide Sammellinsen sind. In der hinteren Brennebene des Objektivs entsteht ein reelles Bild des Objekts und hinter dem Okular ergibt sich wiederum ein Bild im Unendlichen, aber mit vergrößertem Sehwinkel, da f1‘>f2‘.Die Aperturblende des Kepler-Teleskops ist die Apertur des Objektivs mit Durchmesser D, solange die Apertur des Okulars groß genug ist. Wegen des deutlich geringeren Strahlquerschnitts am Okular (für ||>>1) muss die Apertur des Okulars allerdings absolut gesehen nicht sehr groß sein. Eintrittspupille des Teleskops = Apertur des Objektivs Austrittspupille als Bild der Aperturblende liegt nahe der hinteren Brennebene
des Okulars wegen f1‘>>f2‘ und hat einen Durchmesser D/||. Die Pupille des Auges kann mit der Austrittspupille zur Deckung gebracht
werden, so dass alles Licht, das das Objektiv trifft, auch auf die Netzhaut fällt, falls Durchmesser DAuge der Augenpupille DAuge>D/||.
126+99Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das TeleskopAnmerkungen zum Galilei-Teleskop:Generell muss beim Galilei-Teleskop die Sammellinse die betragsmäßig größere Brennweite als die Zerstreuungslinse haben wegen:
''''0'0' :Fall 2.''''0'0' :Fall 1.
''0''221121
1122212121 ffffff
ffffffffffd
Vorteile sind: Die kompakte Baulänge von |f1‘|-|f2‘| verglichen mit |f1‘|+|f2‘| beim Kepler-Teleskop.Das aufrecht stehende Bild eines entfernten Objektes.
Großer Nachteil ist (nur der Fall der Sammellinse als Objektiv wird betrachtet):Die Austrittspupille als Bild der Apertur des Objektivs abgebildet mit dem Okular liegt vor dem Okular, da dI≈f2‘<0. Die Augenpupille kann deshalb nicht an den Ort der Austrittspupille gebracht werden und man hat einen „Schlüsselloch-Effekt“, der das Feld stark einschränkt. Es sind in der Praxis auch nur Winkelvergrößerungen von 2-5 sinnvoll.Sinnvolle Anwendungen: Strahlaufweitung, Opernglas
126+100Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Teleskope in der Astronomie
126+101Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Teleskope in der AstronomieTeleskope in der Astronomie (=„astronomisches Teleskop“):Begriffsklärung: Ein modernes Teleskop in der Astronomie bildet mit Hilfe einer Linse, eines Spiegels oder auch eines ganzen optischen Systems (Objektiv) ein reelles Bild eines unendlich weit entfernten Objekts auf einem Detektor (CCD, fotografischer Film). Die Apertur des Objektivs ist meist auch gleichzeitig die Aperturblende.Laut unserer Definition ist ein modernes astronomisches Teleskop also streng genommen eine Kamera.
Ein astronomisches Hobby-Teleskop hat dagegen keinen unmittelbaren Detektor sondern stattdessen ein Okular zur visuellen Beobachtung, so dass Objektiv und Okular zusammen ein Kepler-Teleskop bilden.
Die astronomische Kamera bezeichnet in der Astronomie einfach ein normales modernes astronomisches Teleskop mit großem Feldwinkel, das keine direkte visuelle Beobachtung mit dem Auge zulässt. (Anmerkung: professionelle astronomische Teleskope lassen allerdings praktisch nie mehr eine direkte visuelle Beobachtung mit dem Auge zu.)
126+102Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Teleskope in der AstronomieLinsen-Teleskope (sogenannte Refraktoren) werden heutzutage nur noch selten in der Astronomie eingesetzt, da Linsen mit großen Durchmessern (und deshalb großer Dicke) sehr massiv und teuer sind. In der Praxis verwendet man deshalb fast nur noch Spiegel-Teleskope.
Beliebte Bauweisen (heutzutage besonders in der Hobby-Astronomie) sind das Newton-Teleskop (auch Newton Reflektor genannt) und das Cassegrain-Teleskopbzw. das Schmidt-Cassegrain-Teleskop.
Eine verbesserte Version des Cassegrain-Teleskops ist das Ritchey-Chrétien-Cassegrain-Teleskop, das auch bei sehr großen Teleskopen verwendet wird:• Hubble-Space-Teleskop (Primärspiegel mit 2.4 m Durchmesser und effektiver
Brennweite von 57.6 m)• Very Large Telescope (VLT) der ESO in Chile (vier baugleiche zusammen
geschaltete Teleskope mit je 8.2 m Primärspiegeldurchmesser und effektiver Brennweite von 108.8 m)
126+103Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Kategorien:• Ellipse mit Spezialfall Kreis
(Kreis Flächennormale der Ebene parallel zur Kegelachse, Ellipse Winkel zwischen Flächennormale der Ebene und Kegelachse kleiner als Kegelwinkel)
• Parabel ( Ebene parallel zum Kegelmantel)
• Hyperbel (Winkel zwischen Flächennormale der Ebene und Kegelachse größer als Kegelwinkel) Quelle: Wikipedia
Einschub: KegelschnitteKegelschnitte entstehen beim Schnitt eines (unendlichen) (Doppel-)Kreiskegels mit einer Ebene.
Teleskope in der Astronomie
126+104Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Brennpunkte eines KegelschnittsKegelschnitte sind durch zwei sogenannte Brennpunkte definiert. Ellipse und Parabel: Die Summe der Abstände von den beiden Brennpunkten ist für alle Punkte der Ellipse/Parabel identisch. Bei der Parabel ist allerdings einer der Brennpunkte im Unendlichen.Hyperbel: Die Differenz der Abstände von den beiden Brennpunkten ist für alle Punkte der Hyperbel identisch.
Quelle: Wikipedia
Teleskope in der Astronomie
126+105Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Dreht man den Kegelschnitt um seine Symmetrieachse, so entstehen:
• Rotationsellipsoid (Spezialfall Kugel),
• Rotationsparaboloid
• Rotationshyperboloid
Als Spiegel haben diese Körper die Eigenschaft, dass alle Lichtstrahlen, die vom einen Brennpunkt ausgehen und am Spiegel reflektiert wurden, im anderen Brennpunkt fokussieren (für Ellipsoid und Paraboloid) oder von ihm ausgehen zu scheinen (für Hyperboloid).
ACHTUNG: Die Brennpunkte des Kegelschnitts haben im Allgemeinen nichts mit den optischen Brennpunkten des Spiegels im Sinn der paraxialen Optik zu tun.
Teleskope in der Astronomie
126+106Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Zusammenhang mit der in der Optik üblichen Asphärenformel:Konische Konstante K, Scheitelkrümmung C=1/R (R: Scheitelkrümmungsradius), radiale Koordinate r, axiale Koordinate z
11111111
1111
11122222
220
122
2
rCKCzKCzKrCK
CKrCK
rCKCrrz
C
K
11011 2
22
br
azKK
11011 2
22
br
azKK
1. Fall: Ellipsoid
111;
111
KR
CKb
KR
CKa
2. Fall: Hyperboloid
Halbachsen a und b:
Scheitel sind jeweils bei z=0 (oder z=2a)
Teleskope in der Astronomie
126+107Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Ellipsoid: Entfernung e zwischen Brennpunkt und Scheitel
K
KR
KR
KR
KRe
baaebaeabeaa
11111
2
2
2
222222
Hyperboloid: Entfernung e zwischen Brennpunkt und Scheitel (ohne Beweis)
KK
R
KR
KR
KR
KR
KR
KRbaae
11
111111
2
2
22
2
222
Achtung: Für K ist nur der Wertebereich -1<K0 zugelassen. Kurven mit K>0 sind keine Ellipsoide mit aberrationsfreier Abbildung zwischen den Brennpunkten!
D.h. gleiche Abhängigkeit wie bei Ellipsoid!
Teleskope in der Astronomie
ab
z
r
F1 F2
e
126+108Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Für Ellipsoid und Hyperboloid (und im Grenzfall auch für Paraboloid) gilt also für die Entfernung e zwischen Brennpunkt und Scheitel:
KR
KKKR
K
KRKK
ReK
1111
1
111 2
0wegen
Dabei sind für K nur Werte K0 zugelassen, da Kurven mit K>0 kein Ellipsoid ergeben, dessen Symmetrieachse (=Drehachse) parallel zur Verbindungslinie zwischen den beiden Brennpunkten ist!K>0 große Halbachse der Ellipse in Richtung der Koordinate r, Drehung der Ellipse erfolgt aber um die z-Achse Keine aberrationsfreie Abbildung zwischen den beiden Brennpunkten!
Teleskope in der Astronomie
126+109Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Grenzfall Paraboloid: K -1 bzw. -K +1
2/1/1/
1
1
RKRKR
KRe
K
Der eine Brennpunkt liegt also, wie schon früher gesagt, im Unendlichen. Der andere Brennpunkt liegt im Abstand R/2 vom Scheitel.
Für einen konkaven Parabolspiegel (R<0), ist aber die bildseitige Brennweite f‘: f‘=-R/2=|R|/2.
Der bildseitige Brennpunkt der paraxialen Optik und der eine „Brennpunkt“der Parabel im Sinn der Kegelschnitte fallen also zusammen.
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
RAYTRACE Copyright © 2006 University Erlangen-Nuremberg
Distances in mm, horizontal z-axis, vertical x-axis
r
z
f’
Teleskope in der Astronomie
126+110Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das Newton-Teleskop (ursprünglich von Sir Isaac Newton entwickelt)Sphärischer oder parabolischer Primär-Spiegel (Parabolspiegel keine sphärische Aberration)
Quelle: Wikipedia
Planer Fang-Spiegel unter 45o, um das Licht seitlich unter 90o aus dem Tubus heraus auf das Okular zu lenken
Teleskope in der Astronomie
126+111Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das Cassegrain-TeleskopKonkav-parabolischer Primärspiegel und konvex-hyperbolischer Sekundärspiegel, wobei der optische Brennpunkt des Primärspiegels mit dem einen Kegelschnitt-Brennpunkt des hyperbolischen Sekundärspiegels übereinstimmt, so dass das Licht zum zweiten Kegelschnitt-Brennpunkt des Sekundärspiegels gelenkt wird keine sphärische Aberration, aber lange Brennweite trotz kurzer Baulänge.
Quelle: Wikipedia
Teleskope in der Astronomie
Licht wird durch ein Loch im Primärspiegel auf das Okular geführt, falls Fokus hinter dem Primärspiegel (für visuelle Beobachtung), oder es befindet sich direkt ein Detektor im Fokus, falls dieser vor dem Primärspiegel liegt.
126+112Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Einschub: Kombination zweier Spiegel (Primär- und Sekundärspiegel) als Objektiv:Anwendung der paraxialen geometrischen Optik mit „aufgefaltetem Strahlengang“:Brennweiten f‘1 und f‘2 der beiden Spiegel im Abstand d. Matrix M vom Scheitel des ersten zum Scheitel des zweiten Spiegels.
dfffff
ffd
fff
fd
ffd
ff
dfd
fd
f
'2
'1
'2
'1
'2
'1
'2
'1
'2
'2
'1
'2
'1
'1
'1
'2
'11'
1
111
1
1/101
101
1/101
M
Teleskope in der Astronomie
Anmerkung: Die Brennweiten der Spiegel hängen mit den Scheitelkrümmungs-radien unabhängig vom Kegelschnitt-Typ gemäß f‘1,2=-R1,2/2 zusammen! Der konische Parameter K bestimmt dann die exakte Lage der Kegelschnitt-Brennpunkte und damit mögliche Aberrationen.
126+113Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Für unendlich weit entferntes Objekt liegt der Fokuspunkt im Abstand dI vom Sekundärspiegel, wobei gilt:
x
fd
ffd
ff
fdddd
ffd
ffd
fd
xdxI
III
'2
'2
'1
'2
'1
'2
'2
'1
'2
'1
'1
111
111
101
''
M
Im Fokus muss die Strahlhöhe x‘ unabhängig von der Strahlhöhe x der einfallenden (parallelen) Strahlen sein, so dass also das Matrixelement A der Gesamtmatrix Null ist:
dff
fdfd
ffd
ffd
fdAxBAxx
I
I
'2
'1
'2
'1
'2
'1
'2
'1
'1
0111 von unabhängig'
Teleskope in der Astronomie
126+114Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Teleskope in der AstronomieAbstand d muss in der Praxis deutlich größer als 0.5*f‘1 sein, damit die Abschattung des Primärspiegels durch den Sekundärspiegel nicht zu groß wird.
Beispiel eines Cassegrain-Designs: f‘1=2000 mm, f‘2=-700 mm, d=1500 mm
mm 7000mm 200
mm 700-mm 2000'
mm 1750mm 200
mm 700-mm 500
'2
'1
'2
'1
'2
'1
'2
'1
dfffff
dfffdfdI
Für dieses Cassegrain-Teleskop liegt der optische Fokus also nur 250 mm hinter dem Primärspiegel bzw. die Baulänge vom Sekundärspiegel (der am nächsten zum Objekt ist) zum Fokus ist nur dI=1750 mm, während die effektive Brennweite f‘=7000 mm beträgt! Kompakter Bau
Hätte man nur einen einzigen Spiegel, so müsste die Baulänge gleich f‘ sein.
d
dI
126+115Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Teleskope in der Astronomie• Konische Konstante des Primärspiegels (=Parabolspiegel) ist K=-1. Konische
Konstante des Sekundärspiegels (=hyperbolischer Spiegel) ergibt sich daraus, dass der erste Brennpunkt des Hyperboloids mit dem Brennpunkt des Primärspiegels übereinstimmen muss. e=f‘1-d=500 mm
514
50014001
1
eRK
KRe
24.32581
59
5141 KKK
d
dIeDa –K>1 für Hyperboloid, kann nur der Term mit dem „+“-Zeichen eine Lösung ergeben:
Zur Überprüfung: Die zweite Lösung ergibt
IdK
Re
mm -17505/91
mm 14001
Negatives Vorzeichen deutet an, dass zweiter Brennpunkt auf anderer Seite des Spiegels als erster Brennpunkt ist.
• Krümmungsradius R des Sekundärspiegels ergibt sich aus f‘2: R=-2f‘2=1400 mm
126+116Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Teleskope in der AstronomieRay tracing Simulation des Beispiels: D=0.5 m, f‘=7 m, =0.5 µm
-1500 -1000 -500 0
-1500 -1000 -500 0
-600
-400
-200
0
200
400
600
-600
-400
-200
0
200
400
600
Distances in mm, horizontal z-axis, vertical x-axis
-1500 -1000 -500 0
-1500 -1000 -500 0
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
Distances in mm, horizontal z-axis, vertical x-axis
Spotdiagramme von
Objektpunkten
Auf Achse
0.1o
off-axis
Maßstabsgerecht
Zoom
20 µm10-8 µm! D.h. in Praxis beugungsbegrenzt
126+117Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das Schmidt-Cassegrain-TeleskopAm Eingang wird eine asphärische Phasenplatte (Glasplatte) zur Korrektur der sphärischen Aberration des sphärischen Primär-Spiegels angebracht. Ein konvexer (hyperbolischer) Sekundärspiegel lenkt dann das Licht durch ein Loch im Primärspiegel auf das Okular bzw. Detektor.
Quelle: Wikipedia
Die Schmidt-KameraNur für photographische Zwecke ist die Schmidt-Kamera geeignet, bei der eine asphärischeGlasplatte mit Blende im Krümmungsmittelpunkt eines sphärischen Spiegels dessen sphärische Aberration korrigiert. Der Detektor muss sich im Tubus befinden, wobei Bildfeldwölbung auftritt. Durch das kugelsymmetrische Design sind Coma und Astigmatismus weitgehend korrigiert!
Teleskope in der Astronomie
126+118Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das Ritchey-Chrétien-Cassegrain-TeleskopKombination zweier spezieller hyperbolischer Spiegel, die eine komafreie Abbildung ermöglichen. Bildfeld ist allerdings nach wie vor gekrümmt und muss anderweitig korrigiert werden.
Quelle: Wikipedia
Teleskope in der Astronomie
126+119Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
(Winkel-)Auflösungsvermögen eines (Spiegel-)TeleskopsWie schon mehrfach erwähnt wurde, begrenzt die Beugung die Auflösung eines Teleskops, vorausgesetzt das Teleskop hat keine Aberrationen.
Bei einem Durchmesser D des Primärspiegels (=Eintrittspupille) und der Wellenlänge beträgt der Winkel zwischen zwei punktförmigen, (unendlich) weit entfernten Objekten, die gerade noch aufgelöst werden können:
Dk
Die Konstante k kann in der Praxis gleich eins gesetzt werden. Für eine Kreisapertur (ohne Obskuration) gilt k=1.22. Bei einer Ringapertur wie beim Newton- oder Cassegrain-Teleskop ist k leicht verschieden davon, je nachdem wie groß der innere Ring ist.
Um eine aberrationsfreie Abbildung zu erhalten, müssen bei erdgebundenen Teleskopen aber Luftturbulenzen und Verbiegungen des Spiegels durch das Eigengewicht korrigiert werden. Adaptive und aktive Optik nötig (z.B. beim VLT)
Teleskope in der Astronomie
126+120Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Zusammenhang Winkel-Auflösungsvermögen, Spiegeldurchmesser, Brennweite eines (Spiegel-)TeleskopsGroße Brennweite f‘ des Spiegelsystems bedeutet auch eine große laterale Vergrößerung:(Objekt mit Winkelgröße , laterale Größe x des Objekts auf dem Detektor)
Dffx
DDk ''
Teleskope in der Astronomie
Durchmesser D des Primärspiegels (=Eintrittspupille), Wellenlänge Winkel zwischen zwei punktförmigen, (unendlich) weit entfernten Objekten, die gerade noch aufgelöst werden können, und entsprechende Größe x auf Detektor:
'fx
Maximal sinnvolle laterale Vergrößerung ergibt sich daraus, dass die Pixel des Detektors einen Abstand xPixel von ca. 0.5*x haben (damit Intensitätsabnahme zwischen zwei auflösbaren Objektpunkten noch messbar ist):
PixelPixel xDfD
fxx
2''2
126+121Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Für typischen CCD-Detektor mit hoher Intensitätsauflösung ( große Pixel), wie in Astronomie üblich, ist xPixel=10 µm bis xPixel=25 µm.
Die maximal sinnvolle Blendenzahl f# ergibt sich dann in etwa zu (=0.5 µm):
Teleskope in der Astronomie
100402'#2'
Pixel
Pixelx
DffxDf
In der Praxis wählt man die Blendenzahl meist etwas kleiner (ca. 13-50), da die Auflösung des Teleskops durch andere Faktoren etwas schlechter ist bzw. die Wellenlänge größer (IR), etc. Auch die nötige kompakte Bauweise der Riesenteleskope begrenzt die Brennweite.
Feldwinkel Feld:Der Durchmesser xCCD des Detektors (= Anzahl NCCD der Pixel pro Zeile * xPixel) bestimmt mit der Brennweite f‘ den Feldwinkel:
'' fxN
fx PixelCCDCCD
Feld
z.B. f‘=100 m, NCCD=8000, xPixel=20 µm Feld=0.1o
126+122Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Teleskope in der AstronomieAstronomische Kameras mit großen Feldwinkeln bis ca. 12o müssen also deutlich kleinere Brennweiten haben, da die Detektoren nicht viel größer werden können. Die resultierende Winkelauflösung der Kameras ist nicht so hoch wie sie laut der Beugungsbegrenzung sein könnte.
Beispiel: Kepler Teleskop = Schmidt-Kamera zur Beobachtung von Exo-Planeten, Spiegel-Durchmesser ca. 1 m, Brennweite auch ca. 1 m, 42 CCD-Chips mit je 2200x1024 Pixel (Pixel-Größe ca. 25 µm)
Quelle: NASA
126+123Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Durch unterschiedliche Brechzahlen (wegen unterschiedlichem lokalen Luftdruck) auf dem Weg des Lichts durch die untersten 15 km der Atmosphäre (Troposphäre) sind die optischen Weglängen verschiedener Strahlen in der Spiegelebene unterschiedlich Winkelauflösung eines Teleskops am Erdboden ist auf ca. 1 Bogensekunde begrenzt!
Auflösungsbegrenzung durch Luftturbulenzen
Dies wäre der Durchmesser eines einfachen Hobby-Teleskops und professionelle Teleskope für die Astronomie mit Spiegeldurchmessern von mehr als D=5 m wären von der Winkelauflösung um ca. einen Faktor 50 schlechter als durch die Beugung vorgegeben! Moderne Teleskope werden auf hohen Bergen installiert wegen der dünneren Atmosphäre.Weitere Korrektur durch deformierbare Spiegel nötig.
mm 100105''1nm500
1
6
k
kDD
k
Teleskope in der Astronomie
126+124Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Adaptive Optik zur Korrektur von atmosphärischen Turbulenzen
Quelle: Wikipedia
Korrektur der Luftturbulenzen durch deformierbaren Spiegel.
Regelgeschwindigkeit muss bei ca. 100 Hz liegen, um die atmosphärischen Schwankungen auszugleichen. Typischerweise wird der kleinere Sekundärspiegel oder ein weiterer (ebener) Spiegel deformiert.
Messung der Wellenaberrationen mit Shack-Hartmann-Sensor meist anhand eines fernen Leitsterns (=ideale Punktlichtquelle).
Aktive Optik funktioniert nach gleichem Prinzip, korrigiert aber nur Verformungen des Spiegels aufgrund der Bewegung. Die Messung erfolgt deshalb auch nur ca. jede Minute.
Teleskope in der Astronomie
126+125Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Shack-Hartmann-Sensor zur Messung von Wellenfront-Deformationen
• Laterale Spotauslenkungen hängen von lokaler Steigung der Wellenfront ab
• Interpretation als lokale Ableitungen der Wellenfront (W: optische Weglänge):
deformierteWellenfront
lokaleOpt. Achsen
y
xlokaleKoordinaten
'
'
fyW
fxW
y
x
Mikrolinsenarray mit Brennweite f‘ vor einem Detektor (CCD-Kamera)
Integration liefert die Wellenfront
Teleskope in der Astronomie
126+126Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das Mikroskop
126+127Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das MikroskopUm kleine nahe Objekte vergrößert abzubilden, gibt es mehrereMöglichkeiten:• Die Lupe• Das visuelle Mikroskop zum direkten Betrachten mit dem Auge• Das Inspektions-Mikroskop mit elektronischem Detektor• Weitere Möglichkeiten, die hier aber nicht behandelt werden:
• Laser-Scanning-Mikroskop oder konfokales Mikroskop: in beiden Fällen wird ein Objekt Punkt für Punkt abgerastert
• Dunkelfeld-, Polarisations- oder Phasenkontrast-Mikroskop: spezielle wellenoptische Eigenschaften werden ausgenutzt
Je nach Beleuchtungsart unterscheidet man auch Auflicht- und Durchlicht-Mikroskope
126+128Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das MikroskopDie Lupe:
Die Größe eines Objektes auf unsererNetzhaut hängt vom Sehwinkel O ab, unter dem das Objekt erscheint.
Um so näher das Objekt am Auge ist, desto größer erscheint es.
Aber das Auge hat eine minimale Entfernung, auf die es scharf stellen kann. Zum entspannten Betrachten ist dies die sogenannte deutliche Sehweite dS=25 cm
Eine Sammellinse direkt vor dem Auge, die Lupe, kann ein vergrößertes virtuelles Bild im Abstand |dI|=dS vor dem Auge erzeugen.
Anmerkung: Man kann eine Lupe auch so benutzen, dass sie nicht direkt vor dem Auge ist. Diesen Fall betrachten wir hier aber nicht.
dO,2
xO �O,2AugexO
dO,1
�O,1
Hauptebenedes Auges
126+129Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das MikroskopDa das menschliche Auge nur in Luft scharfe Bilder liefert, gilt im Bildraum der Lupe n‘=1.
Abbildungsgleichung für Brechzahl n zwischen Objekt und Lupe (wenn auch meist n=1):
'11fd
nd OI
f‘: Brennweite der Lupe
Wegen Vorzeichen-Definition sind sowohl dO als auch dI = -dS negativ.
Für den lateralen Abbildungsmaßstab gilt:
r Fall)(paraxiale ' wobei'
1'
11'
nnnfd
fd
ddn
dd
xx
O
In
OISI
O
I
OO
II
O
I
Grafik für n=n‘
Beispiel: Lupe mit f‘=5 cm =1+25/5=6
Anm.: In der Praxis ist eine gute Lupe ein achromatisches mehrlinsiges System.
F
dI
dO
xI
xO
� �I O=Auge
Objekt
Lupe
126+130Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das MikroskopEinsatzgrenze der Lupe: Für starke Vergrößerung muss die Brennweite f‘ sehr klein sein und deshalb das Objekt sehr nahe an die Lupe und damit auch ans Auge gebracht werden. Vergrößerung der Lupe ist begrenzt.
Ausweg: zweistufige Abbildung im Mikroskop zur visuellen Betrachtung:• Mikro-Objektiv erzeugt reelles vergrößertes Zwischenbild des Objekts mit
Abbildungsmaßstab 1<0 und |1|>>1 (in Praxis |1| zwischen etwa 5 und 100).• Dieses Bild wird mit einer Lupe (hier genannt: Okular) nochmals um den Faktor 2>1 (|2| zwischen etwa 5 und 20) vergrößert, so dass ein stark vergrößertes virtuelles Bild im Abstand der deutlichen Sehweite vor dem Auge erzeugt wird.
Der resultierende laterale Abbildungs-maßstab ist das Produkt der beiden Abbildungsmaßstäbe 1 und 2:
10mit 21 F1 F’1
Mikro-ObjektivOkular
F2
Objekt ReellesZwischenbild
Virtuelles Bild
126+131Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das MikroskopAnmerkungen:• Das Mikro-Objektiv muss achromatisch sein, eine hohe numerische Apertur und
ein großes aberrationsfreies Feld haben. Kompliziertes System aus vielen Linsen nötig. Sinus-Bedingung muss erfüllt sein Coma korrigiert.
• Oftmals sind moderne Mikro-Objektive auf „unendlich korrigiert“, d.h. das Objekt befindet sich exakt in der vorderen Brennebene und hinter dem Objektiv entsteht für jeden Objektpunkt eine (geneigte) ebene Welle. Das reelle Zwischenbild wird mit einer zusätzlichen, sogenannten Tubus-Linse erzeugt, deren Brennweite gleich der Tubuslänge (oft 160 mm) ist.Vorteil dieser Konfiguration ist, dass der Abstand zwischen Mikro-Objektiv und Tubuslinse weitgehend beliebig sein kann und dort nur ebene Wellen vorhanden sind, die beim Durchgang durch Planplatten, wie z.B. in einem Strahlteiler, keine zusätzlichen Aberrationen erzeugen.
• Bei biologischen Objekten befindet sich zwischen Objekt und Mikro-Objektiv oft ein Deckglas. Die Aberrationen beim Durchgang der Kugelwelle vom Objekt durch das Deckglas müssen dann im Design des Mikro-Objektivs korrigiert werden.
126+132Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das MikroskopAuflösungsgrenze des Mikroskops (für inkohärentes Licht):Zwei Objektpunkte mit lateralem Abstand x können, wenn sie inkohärentzueinander strahlen, gerade dann noch aufgelöst werden, wenn gilt:
sinNA nkkx
: Wellenlänge im Vakuum n: Brechzahl zwischen Objekt und Mikro-Objektiv: (halber) Aperturwinkel des Mikro-Objektivsk: Konstante, die bei einer Kreisapertur normalerweise 0.61 ist, die aber je nach Beleuchtung und Detektor (z.B. bei Nichtlinearität oder Schwellenempfindlichkeit) auch etwas kleiner oder größer sein kann.
-0.01 -0.006 -0.002 0 0.002 0.006 0.01
x-axis (mm)
Inte
nsity
(no
rma
lize
d)
00
.10
.20
.30
.40
.50
.60
.70
.80
.91
x
126+133Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das Mikroskop
Alternative Betrachtungsweise zur Auflösungsgrenze, indem ein periodisches Objekt (Linien-Gitter) der Periodenlänge pbetrachtet und mit einer ebenen Welle beleuchtet wird.
Damit das Gitter gerade noch abgebildet wird, müssen mindestens die 0. Beugungsordnung und eine der ersten Beugungsordnungen vom Objektiv übertragen werden.
p
�
�’1
p
�’1m=0
m=1
m=-1
m=0
m=1
m=-1
NAsinsin'sin 1
n
pnp
n
Bei schräger Beleuchtung (unteres Bild) kann man das gleiche Gitter schon bei kleinerem Aperturwinkel gerade noch abbilden.
Bei achsenparalleler Einstrahlung (oberes Bild) muss dann für den Beugungswinkel ‘1 in erster Beugungsordnung gelten (: Aperturwinkel des Mikro-Objektivs, n: Brechzahl vor Objektiv):
Abbe‘sche Theorie des Mikroskops (für kohärentes Licht):
126+134Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das MikroskopSinnvolle maximale Vergrößerung eines visuellen Mikroskops:Um die für ein visuelles Mikroskop sinnvolle maximale Vergrößerung || zu berechnen, muss man zuerst die Auflösung des Auges kennen.Bei der Besprechung des menschlichen Auges hatten wir gesehen, dass dieses unter optimalen Bedingungen zwei Objekte mit Sehwinkel-Abstand von =30‘‘noch unterscheiden kann. Unter normalen Bedingungen und „entspanntem“ Sehen sollte man also zwei Objekte im Abstand der deutlichen Sehweite mit =2‘ noch gut unterscheiden können. Der laterale Abstand xAuge der auflösbaren Punkte ist dann:
mm 15.060180
2mm 250
SAuge dx
Der Abstand x zweier Punkte des Objekts unter dem Mikroskop, die bedingt durch Beugung gerade noch aufgelöst werden können, sollte also auf die Größe xAugevergrößert werden, so dass für den Abbildungsmaßstab || gilt:
500NA nm 500
61.0 1,NA
k
AugeAuge
kx
xx Stärkere Vergrößerungen als ca. 500-1000
machen also in der Praxis keinen Sinn!
126+135Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das MikroskopDas Inspektions-Mikroskop mit elektronischem Detektor:In der Praxis sieht man heutzutage oft nicht direkt durch ein Mikroskop, sondern nimmt das Bild mit einem CCD-Chip auf und schaut es auf einem Bildschirm an.
Auf dem CCD-Chip muss ein reelles Bild vorhanden sein. Das Okular entfällt.
Sinnvolle maximale Vergrößerung || liegt dann vor, wenn der Intensitätsabfall zwischen zwei gerade noch auflösbaren Objektpunkten auf dem CCD-Chip sichtbar ist. Für Pixelabstand d muss gelten:
kdkxd NA2
NA22
Für sichtbares Licht (=500 nm), Objekt in Luft (d.h. n=1) und sin=1 (maximaler Wert) folgt dann für k=0.61 und Pixelabstand d=10 µm: ||=66
Abstand d der CCD-Pixel typischerweise 5 µm d 20 µm (bzw. d=25 µm für licht-schwache astronomische Anwendungen). Beim Mikroskop eher 5 µm d 10 µm.
Das reelle Bild kann mit einem hochaperturigen Mikro-Objektiv erzeugt werden.
126+136Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das MikroskopUV-Mikroskope mit Wasser-Immersion:Höchste Auflösung mit „Licht“-Mikroskop Reduktion der Wellenlänge und Erhöhung der numerischen Apertur durch Immersionsflüssigkeit zwischen Objekt und Mikro-Objektiv. Systeme zur Inspektion von Masken für ICs: =248 nm und NA1.25 (Brechzahl Wasser im UV n1.38). Damit erhält man (für k=0.61): x=120 nm
2002
x
d
Möchte man den Intensitätsabfall zwischen zwei gerade noch auflösbaren Objekt-punkten also auf einem CCD-Pixel (d=12 µm) detektieren, muss die Vergrößerung betragen:
Es gibt mittlerweile Mikro-Objektive mit direkter 200-facher Vergrößerung. Auch eine zweistufige reelle Abbildung ist möglich, wobei das zweite Abbildungssystem nur eine sehr geringe numerische Apertur haben muss, da diese ja durch die erste Abbildung mit Abbildungsmaßstab 1 stark verringert wird: NABild=NAObjekt/||
Quelle: Leica, http://www.dgao-proceedings.de/download/106/106_a28.pdf
126+137Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Das MikroskopVergleich Teleskop und Mikroskop:
OrtsauflösungWinkelauflösungAuflösung
Laterale Vergrößerung =x‘/xWinkelvergrößerung =‘/Prinzip
Soll nahe sehr kleine Objekte vergrößert abbilden.
Soll (unendlich) weit entfernte (meist sehr große) Objekte vergrößert abbilden.
Zweck
MikroskopTeleskop
DkT
sinNA n
kkx MM
: Winkel, unter dem das Objekt erscheint, ‘: Winkel, unter dem das Bild erscheint, x, x‘: laterale Objekt- bzw. Bildgröße, : Wellenlänge im Vakuum, D: Aperturdurchmesser, n: Brechzahl zwischen Objekt und Objektiv, : (halber) Aperturwinkel, f‘: Brennweite des Objektivs
MT kkfxf
D 2'und'2
sin Zusammenhang zwischen den Größen:
kT=1.22 für Kreisapertur
kM=0.61 für Kreisapertur
126+138Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Anwendung optischer Methoden in der Astronomie: Detektion
erdähnlicher Planeten um andere Sterne
126+139Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Detektion erdähnlicher PlanetenIm Folgenden sollen Verfahren zum Auffinden erdähnlicher Planeten um andere Sterne diskutiert werden.
Was hat dies mit technischer Optik zu tun?Letztendlich stammt die gesamte Information, die wir in der Astronomie von fernen Sternen und Sternsystemen bisher haben, von elektromagnetischer Strahlung (Detektionsverfahren für Gravitationswellen und Neutrinos sind erst in der Entwicklung und würden bei der Suche nach Exoplaneten kaum helfen).
Davon wiederum hat das Spektrum vom fernen Infrarot bis zum nahen Ultraviolett, in dem optische Methoden zum Einsatz kommen,den wichtigsten Anteil.
Verfahren der technischen Optik in Kombination mit anderen physikalischen Verfahren kommen zum Einsatz.
126+140Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Detektion erdähnlicher Planeten
Methode 1: Periodische Doppler-Verschiebung der Spektrallinien des Sterns aufgrund der Rotation um den gemeinsamen Schwerpunkt (Radialgeschwindigkeits-Methode)
Mit dieser Methode wurden schon mehrere Riesenplaneten mit sehr kleinen Bahnradien nachgewiesen. Momentane „Standardmethode“.
Könnte mit diesem Verfahren auch ein erdähnlicher Planet in einem unserem Sonnensystem ähnlichen Planetensystem nachgewiesen werden?
Als Modellsystem betrachten wir für alle Methoden unser eigenes Sonnensystem und unsere Erde und versuchen abzuschätzen, ob wir die Erde aus vielen Lichtjahren Entfernung nachweisen könnten.
126+141Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Detektion erdähnlicher PlanetenVerwendete Größen: Erdmasse mE=5.974.1024 kg, Sonnenmasse MS=1.989.1030 kg, Abstand Erde-Sonne r=1 AE=149.6.106 km, Abstand Sonne vom gemeinsamen Schwerpunkt rS, Abstand Erde vom gemeinsamen Schwerpunkt rE.
Kreisbahn wird angenommen!
Schwerpunktsbedingung:SSEE rMrm
r
rE
rS
Erde
Sonne
Schwerpunkt
rmM
mrrm
mMrrmMr
rmM
MrrM
mMrMmrr
rrr
ES
ESS
E
ESSS
E
S
ES
SEE
S
ESE
S
EE
SE
126+142Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Detektion erdähnlicher PlanetenZentrifugalkraft = Gravitationskraft
rmM
Gmr
MGmrm
mMMr
MGmr
M
rmMGM
rMGm
rMmMm
rMGm
rm
ESES
SES
E
ESSSE
S
SS
ESSE
SEE
S
ESESE
E
EE
vvv
vvv
22
2
2
22
2
2
vE: Bahngeschwindigkeit des Planeten um Schwerpunkt; vS: Bahngeschwindigkeit des Sterns um SchwerpunktGravitationskonstante G=6.67.10-11 m3.kg-1.s-2
Umlaufzeit T (selbstverständlich für Stern und Planet gleich):
Erde)(für Tage 3.3652
22v
3
ES
ESS
ES
SEEEE
mMGrT
rmMGMr
mMM
Tr
Tr
126+143Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Detektion erdähnlicher PlanetenOptischer Dopplereffekt:
cosv1
cosv1cosv1
v10
1/v0
1/v2
2
0 ccc
c cc
: Frequenz des dopplerverschobenen Lichts, 0: Frequenz bei ruhendem Objekt, v: Betrag der Relativ-Geschwindigkeit zwischen Objekt und Beobachter, c: Lichtgeschwindigkeit, : Winkel zwischen Beobachtungsrichtung und Bewegungsrichtung des Objekts: =0 Objekt entfernt sich (Rotverschiebung), = Objekt nähert sich (Blauverschiebung)
Doppler-Verschiebung ist also maximal, wenn die Bahnebene des Systems parallel zur Beobachtungsrichtung ist. Die Stärke nimmt aber nur Kosinus-förmig ab, wenn dies nicht der Fall ist. In ersterem Fall ist /0 während eines vollen Umlaufs:
cv2
0
126+144Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Detektion erdähnlicher Planeten
Einfluss der Erde auf die Sonne:mE=5.974.1024 kg, rE=1 AE
10S
0S 1062v2
sm 089.0v
EES
E
EESE rmM
Gc
mcrmM
Gm
Bisher minimal messbare Geschwindigkeit ca. 1 m/s Zu klein für Messung!
Abschätzung Doppler-Verschiebung in unserem Sonnensystem: Bahngeschwindigkeit vS um Schwerpunkt bzw. maximale Doppler-Verschiebung der Sonne (Bahnebene || Beobachtungsrichtung) aufgrund des Einflusses von Jupiter: mJ=1.899.1027 kg, MS=1.989.1030 kg, rJ=5.204 AE, c=2.998.108 m s-1
8
0
103.8v2sm 5.12v
crmMGm S
JJSJS
Anschaulicher Vergleich: 100 m Weltklasse-Sprinter erreicht in etwa diese Geschwindigkeit. Man müsste also die Spektralverschiebung einer Spektrallampe messen können, die er beim Sprint mit sich trägt.
126+145Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Detektion erdähnlicher PlanetenMethode 2: Verdunkelung des Sterns aufgrund der Passage eines Planeten zwischen Stern und Beobachter (Transit-Methode)
Mit dieser Methode wurden auch schon einige Riesenplaneten nachgewiesen.
Voraussetzung: Die Bahnebene des Planeten muss fast parallel zurBeobachtungsrichtung sein. Die Spitze des Bahnebenen-Normalenvektors muss also auf der Einheitskugel auf einem Ring senkrecht zur Beobachtungsrichtung liegen, dessen Winkeldicke durch das Verhältnis DS/r gegeben ist (DS: Durchmesser des Sterns (=Sonne), r: Bahnradius des Planeten (=Erde)).
%5.0005.0km 106.1492
km 1039.124
/26
6
rDrDW SS
Wahrscheinlichkeit W, dass dies der Fall ist:
126+146Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Detektion erdähnlicher PlanetenRelative Reduktion der Helligkeit I/I0 des Sterns beim Durchzug des Planeten hängt vom Flächenverhältnis beider Himmelskörper ab (Durchmesser Stern DS, Durchmesser Planet DE), ist aber unabhängig vom Abstand zum Beobachter:
km) 1027.1mit Erde(für %01.010km) 101.38mit Jupiter (für %110
2/2/
44
52
2
2
2
2
0 E
J
S
E
S
E
DD
DD
DD
II
Dauer t des Vorbeizugs des Planeten am Stern bei zentralem Vorbeizug, d.h. Bahnebene exakt parallel zur Beobachtungsrichtung (T: Umlaufdauer des Planeten um den Stern, r: Bahnradius):
Erde)(für h 13h 24365km 106.1492
km 1039.12 6
6
T
rDt S
Natürliche Schwankung der Helligkeit der Sonne 0.1% Helligkeitsreduktion bei Durchzug eines erdähnlichen Planeten kaum vom natürlichen „Rauschen“unterscheidbar. Beobachtung müsste auf jeden Fall ständig und über mehrere Umläufe/Jahre erfolgen, damit ein periodisches Signal aus dem Rauschen gefiltert werden könnte! Nur vom Weltall aus möglich wegen Helligkeitsschwankung durch Atmosphäre!
126+147Geometrische und Technische Optik N. Lindlein
Institut für Optik, Information undPhotonik
Detektion erdähnlicher PlanetenMethode 3: Direkte Beobachtung des Planeten.Winkelauflösungsvermögen eines Teleskops mit Spiegeldurchmesser D bei der Wellenlänge :
D
Bei Beobachtung aus d=10 Lichtjahren Entfernung und =500 nm müsste dann für den Spiegeldurchmesser gelten (r: Bahnradius):
m 0.32m 105.0m10149.6
m 1046.910
m 105.0m 10149.6
m 10336002436510
69
15
69
8
rdD
dr
D
Hubble-Weltraum-Teleskop mit D=2.4 m wäre also ausreichend?ACHTUNG!!! Gleichung für Auflösungsvermögen gilt nur für zwei gleich helle Punkte!
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Detektion erdähnlicher PlanetenExkurs in Wellenoptik: Intensitätsverteilung I() (Airy-Verteilung) des Bildes eines -entfernten Objektes in Brennebene eines Teleskops mit kreisförmiger Apertur (Durchmesser D, Brennweite f‘, : radiale Koordinate in Brennebene, Wellenlänge Intensität der einfallenden ebenen Welle I0):
: entsprechende Winkel-Koordinate
Erste Nullstelle der Airy-Verteilung bei:
DD 22.122.1ˆ
-3 -2 -1 0 1 2 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
�̂
^[2
J(
)/(
)]1
��
��
2^
Df
DJf
DII'
ˆmit ˆ
ˆ2'4
ˆ2
1
22
0
Asymptotisches Verhalten für :̂
3
2ˆ
ˆ4/3ˆcos8
0ˆ
II
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Detektion erdähnlicher PlanetenAuflösungsvermögen für zwei Punkte nach Rayleigh:Maximum der Intensität des einen Punktes fällt mit dem ersten Minimum der Intensität des zweiten Punktes zusammen.Hierbei werden aber zwei gleich helle Punkte angenommen!
-0.01 -0.006 -0.002 0 0.002 0.006 0.01
x-axis (mm)
Inte
nsity
(norm
aliz
ed)
00.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
DD 22.1
Im Fall eines Sterns und eines Planeten sind die Intensitäten aber extrem unterschiedlich, so dass das Intensitäts-Maximum des Planetenbildes selbst von weit außen liegenden Nebenmaxima höherer Ordnung des Sternbildes überstrahlt wird.
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Detektion erdähnlicher PlanetenÜberblick über nötige Spiegeldurchmesser bzw. erreichbare Auflösung bei Beobachtung einiger Objekte in Astronomie oder Alltag:Erdbeobachtung mit Satellit: Entfernung ca. d=300 km, Spiegeldurchmesser ca. D=3 m, Wellenlänge =0.5 µm Auflösung x (in Praxis wegen Einfluss der Atmosphäre geringer):
cm 5D
ddx Autonummern bzw. Gesichter nicht erkennbar!
Beobachtung des Mondes von der Erde aus: Entfernung d=384 000 km, Spiegeldurchmesser zur Zeit maximal D=10 m, Wellenlänge =0.5 µm Auflösung x (in Praxis wegen Einfluss der Atmosphäre geringer):
m 20D
ddx Überreste von Apollo-Mondlandungen (x<5 m) nicht sichtbar!
Sonnennächster Stern Alpha Centauri A: d=4.34 Lichtjahre=4.11.1016 m, =0.5 µm, Durchmesser des Sterns D centauri1.22.DS=1.7.109 m nötiger Spiegel-Ø
m 12,
centauriD
dD Selbst sonnennächster Stern ist heutzutage noch nicht auflösbar, d.h. alle Sterne sind punktförmige Lichtquellen
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Detektion erdähnlicher PlanetenIntensitätsverhältnis Planeten- zu Sternbild im VIS am Beispiel Erde:Gesamte von der Sonne emittierte Strahlungsleistung PS: Solarkonstante E0=1367 W/m2 * Kugeloberfläche mit Erdbahnradius rE=1 AE
W108.34 260
2 ErP ES
Gesamte von der Erde direkt rückgestreute Strahlungsleistung PE (d.h. ohne Änderung der Spektralzusammensetzung): Solarkonstante E0=1367 W/m2 * Scheibe mit Erddurchmesser DE=12700 km * Albedo =0.367 der Erde (Verhältnis gestreute zu einfallende Leistung im VIS)
W104.62/ 160
2 EDP EE
Unter der Annahme, dass die direkt gestreute Strahlung nur in einen Halbraum emittiert wird, ist das Intensitätsverhältnis IE/IS zwischen Erde und Sonne im VIS, wenn man sie von einem entfernten Sternsystem aus beobachtet, also:
102
103.34
22
E
E
S
E
S
E
rD
PP
II
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Detektion erdähnlicher PlanetenWahre Verhältnisse bei Beobachtung der Erde aus 10 Lichtjahren Entfernung:Durchmesser des Spiegels D=10 m, Wellenlänge =0.5 µm, rE=1 AE, IE/IS=3.3.10-10, d=10 Lichtjahre=9.46.1016 m Winkelabstand zwischen Erde und Sonne:
6106.1 drE
Das Hauptmaximum der Airy-Disc der Erde liegt deshalb relativ zum Hauptmaximum der Airy-Disc der Sonne in der Bildebene des Teleskops bei der normierten Radial-Koordinate:
6.31ˆ
D
Aus asymptotischem Verhalten der Airy-Verteilung der Sonne folgt für die Intensität des nächstgelegenen Nebenmaximums relativ zum Hauptmaximum:
46
10
634
2
10106.2103.3
0/ˆ0/0
ˆ0
106.2ˆ
80ˆ
175.0ˆcos
SS
SE
S
E
S
S
IIII
II
II
Das Bild der Erde wäre
relativ zum „Störlicht“ der Sonne also immer noch um den Faktor 10000 dunkler!
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Detektion erdähnlicher PlanetenAbschätzung der Strahlungsleistung PTele in Teleskop mit Spiegeldurchmesser D für Beobachtung der Erde aus einer großen Entfernung d:
Beispiel: D=10 m, d=10 Lichtjahre Pro Sekunde fallen gerade ca. 200 Photonen in den Spiegel, der den derzeit maximal herstellbaren Durchmesser hat.
W10Lichtjahr/
m/82
2/ 1622
2
2
dD
dDP
dDPP E
ETele
Machen wir weiter die stark vereinfachende Annahme, dass all diese Strahlung in Form von Photonen der Wellenlänge =0.5 µm vorliegt, entspräche dies einer einfallenden Photonenrate N/t (Anzahl Photonen pro Zeit) von:
s/200Lichtjahr/
m/2
dD
hcP
hP
tN Tele
Photon
Tele
Selbst von Alpha Centauri aus mit d=4.34 Lichtjahre wären es nur ca. 1000 Photonen/s. In der Praxis beobachtet man nur in einem gewissen Spektralbereich noch deutlich weniger Photonen.
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Detektion erdähnlicher PlanetenVerbesserte Beobachtung von Planeten im IR (Beispiel Erde):Planeten absorbieren den größten Teil der einfallenden Sonnenstrahlung und geben die Energie wieder als IR-Strahlung ab.Auf der Erde werden (1-)=63.3% der einfallenden Sonnenstrahlung mit Maximum bei 500 nm Wellenlänge (Effektiv-Temperatur Sonne TS=5778 K) absorbiert und dann als Infrarot-Strahlung abgestrahlt. Die effektive Temperatur TE der Erde lässt sich damit aus der Energie-Bilanz und dem Stefan-Boltzmann-Gesetz berechnen:
Laut Wienschem Verschiebungsgesetz liegt das Strahlungsmaximum der Erde unter Annahme eines schwarzen Körpers deshalb bei der Wellenlänge:
K 24841
KmW 1067.5mit
241
2
4 0
4284
22
0
ET
TDPDEP
E
EE
gAbstrahlunE
absorbiert
µm 7.11K µm 2898
EE T
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Detektion erdähnlicher Planetenhttp://upload.w
ikimedia.org/w
ikipedia/comm
ons/0/0e/BlackbodySpectrum
_loglog_150dpi_de.png
Aus dem Planckschen Strahlungsgesetz für schwarze Strahler lässt sich dann ermitteln, wie viel Strahlung PE,IR die Erde bzw. PS,IR die Sonne in einem schmalen Spektralbereich bei E=11.7 µm emittieren bzw. wie groß das Verhältnis dort ist:
dd
1exp
12dd, 5
2
A
kThc
hcATM
72
2
2
,
, 104.11/exp1/exp
,,
2/42/4
EE
SE
S
E
SE
EE
S
E
IRS
IRE
kThckThc
DD
TMTM
DD
PP
Im IR ist das Helligkeitsverhältnis Erde/Sonne also um fast einen Faktor 500 größer als im VIS und der Photonenfluss ist auch deutlich größer! Aber die Auflösung ist deutlich geringer (wegen größer), so dass der nötige Spiegeldurchmesser entsprechend größer wäre!
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Detektion erdähnlicher PlanetenMögliche Verbesserungen zur direkten Beobachtung erdähnlicher Planeten:„Koronograph“: Durch eine Blende wird das direkt vom Stern kommende Licht absorbiert, während das schräg kommende Licht außerhalb der Achse auf den Detektor fällt. Bei Planeten um Sterne müsste die Blende aber sehr weit weg sein.
„Nulling“-Interferometrie: Durch eine Maske soll das Sternenlicht auf der Achse negativ interferieren, während das außeraxiale Licht des Planeten nicht beeinflusst wird. Komplizierte wellenoptische Berechnung.
Mehrere Spiegel werden in einer Reihe interferometrisch zu einem Teleskop der Länge L gekoppelt, das zumindest in einer Richtung die Auflösung eines Spiegels mit scheinbarem Durchmesser L hat. Auswertung muss auch wellenoptisch erfolgen.
Natürlich sollten all diese Teleskope im Weltall platziert werden oder eine aufwändige adaptive Optik besitzen, um die Auflösungsreduktion durch Turbulenzen der Atmosphäre zu vermeiden.