welasticplanee

8/7/2019 WElasticPlaneE

1/96


2/96

Brouillon Mcagora M9 Elasticit linaire isotrope - Elasticit plane 2

Objet du chapitre FLa recherche de solutions analytiques sur des corps de formes quelconques tridimensionnels soumis deschargements quelconques est quasiment impossible. Pour des pr-dimensionnements, on peut frquemment fades tudes bidimensionnelles. Ces gomtries sont plus faciles traiter mathmatiquement et les mcaniciens XIX et XX sicles ont laiss une abondante littrature tant au niveau des mthodes quau niveau de solution problmes particuliers. Dans cette deuxime partie du chapitre consacr l lasticit linaire, on prsente lesdiffrents cas 2D : dformation plane, dformation plane gnralise, contrainte plane, et axisymtrie. Les rsudvelopps concernent notamment des problmes de flexion, de concentration de contraintes et denveloppespaisses sous pression. Les champs de dplacements, de dformations et de contraintes obtenues sont des rfabsolues pour qualifier des approximations numriques. Les rsultats thoriques ont t confirms par des anaexprimentales.Le temps imparti ce cours tant limit, le lecteur est invit consulter les ouvrages spcialiss cits en rfre

dans la premire partie de ce chapitre d lasticit.


3/96


RsultatsThorie des enveloppes cylindriques

paisses de longueur infinie

Champ des dplacements radiaux

Champ des contraintes

( )

2 2 2 2i i e e i e e i

rr 2 2 2 2 2e i e i

2 2 2 2i i e e i e e i

2 2 2 2 2e i e i

2 2i i e e

33 rr 2 2e i

rr

p R p R p p R R R R R R r

p R p R p p R R

R R R R r

p R p R 2

R R

cte

=

= + = = +

+ =

( )

r R R

R R p p

21

r R R

R pR p2

1u

2i

2e

2i

2e

ei

2i

2e

2ee

2ii

r

+

+=

Dformation plane

[ ] [ ]

( )

11 12 11 12

12 22 12 22

33

33 11 22

0 0

0 00 0 0 0 0

= = = +

Contrainte plane

[ ] [ ]

( )

11 12 11 12

12 22 12 22

33

33 11 22

0 00 0

0 0 0 0 0

E

= =

= +

Fonction dAiryen coordonnes cartsiennes

2 2 2

11 22 122 22 1 1 2

fonction biharmonique

X X X X

= = = =


4/96


A. Coordonnes cartsiennes A.a. Dfinitions.Hypothses : Solution indpendante deX3

[ ]

= 22121211

00000

~

Tenseur des dformations

[ ]

=

33

2212

1211

0000

~

Tenseur des contraintes

Dformation plane :u3=0

33=0

[ ]

= 22121211

330000

~


[ ]

=

33

2212

1211

0000

~


Dformation plane gnralise :u3=cte 33=cte

3

33 3

S

33 dS 0 / =

33 #0 33=0 ( )133 1 22 +=


5/96


A. Coordonnes cartsiennes A.a. Dfinitions.

Hypothses : Solution indpendante deX3

[ ]

= 22121211

330000

~


[ ]0

= 22121211

00

00

~


Contrainte plane : 33=0

33=0 33#0

( ) ( )11 2233 11 22E 1

= + = + +


6/96


A. Coordonnes cartsiennes A.b. Dformation plane.

[ ]

= 22121211

000

00

~


[ ]

=33

2212

1211

0000

~


e3

e2

e1

Cylindredaxe e3

Solution

indpendante deX3

L3

Hypothses :Cylindres longs

d'axe e3 ==> u3=0et actions dans le plane1,e2

Plan e1,e2tudi


7/96Brouillon Mcagora M9 Elasticit linaire isotrope - Elasticit plane 7

A. Coordonnes cartsiennes A.b. Dformation plane.

[ ]( )

( )

=0000101

G21

112212

122211~


Loi de Hooke

[ ]( )

( )

( )+ ++

++=

2211

22221112

12112211

00

022022

~


Relations de Lam



A. Coordonnes cartsiennes A.b. Dformation plane..

0 bXX

0 bXX

22

22

1

12

12

12

1

11

=++

=+

+

quilibre des contraintes en tout point du plane1,e2

( ) ( )2

2

1

122

222

21

112

21

122

X b

X b

XXXX2

=

21

122

2

1

222

2

2

112

XX

2

XX

=+

Condition de compatibilit dans le plane1,e2

( ) ( ) ( ) ( )+

=++

+22

11

22

22112

21

22112

X b

X b

11

XX

quilibre + compatibilit



A. Coordonnes cartsiennes A.b. Dformation plane..

( ) ( )( ) 0

0XX

22112

22

2211221

22112

=+

=

++

+

quation gnrale sans second membre

01211 ==CgX222 +=

Solution particulire de l'quation avec second membre pour e2 vertical et des actions volumiques de pesanteur dans le cas d 'un domaine rectangulaire dans le plan e1,e2



A. Coordonnes cartsiennes A.c. Fonction d'Airy.Recherche d'une fonction de contrainte

satisfaisant dans tous les cas :

02211( )2 =+

04 =

0XXX

2X 42

4

21

21

2

41

4

=

++

Dfinitiond'une

fonction biharmonique

Solution ( Airy [1862])

,X21

2

22 =,

X22

2

11 =

XX=

21

2

12

-



A. Coordonnes cartsiennes A.c. Fonction d'Airy.Cas des actions de volume drivant dun potentiel w

( )2 2

11 222 22 1

2

121 2

f grad w

w wX X

X X

= = + = +

=

uuuuuuuuuurr

Exemple : gravit suivant laxee2

2

2 2

11 22 22 22 1

2

121 2

w gX

gXX X

X X

= = =

=



A. Coordonnes cartsiennes A.c. Fonction d'Airy.

Traction uniaxiale

Cisaillement pur

Flexion sans cisaillement

Poutre en porte faux

= bx22

221xcx=

6dx32=

6

xexxcx321

21 +=

Fonctions polynomiales:

( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )0xx

C1nn1n2n

C1n1mm2

C1mm1m2m

xxC

2n2

2m1

2m 2n2n2m

mn

2n2m

0m 0n

n

2

m

1mn

=+++

+++

=

=

=+

+

=

=

,

,



A. Coordonnes cartsiennes A.c. Fonction d'Airy

2X

ecXX

XeXX

0X

22

21

2

12

2122

2

11

21

2

22

+=

=

=

=

==

Les contraintes respectantles quations d'quilibre

et les conditions de compatibilitsont donc donnes par :

6XX

eXcX321

21 +=Exemple de flexion:

La fonction est biharmoniquequelles que soient les constantes c et e

0X

eXX

XeXX2

XXecX

X

0XXXXX6

XecX

X

42

4

132

3

2122

2221

12

22

21

4

41

4

31

3

21

232

21

=

=

=

+=

==

=

=

+=

Calcul du bilaplacien de



A. Coordonnes cartsiennes A.c. Fonction d'AiryQuelles actions doit-on appliquer sur un domaine planrectangulaire pour avoir un champ de contraintes dfinipar les quations prcdentes?

Actions desurfacet(-

1) ?

Actions desurface

t(1) ?Actions desurfacet(-

2) ?

Actions desurface

t(2) ?

e1

e2

E

L

h

b

Domainerectangulaire

tudi




[ ]

22

1 2

2

2

1 2

XeX X c e 0

2X

c e 0 020 0 eX X

+

= +

Tenseur descontraintes drivde la fonction d'Airy

{ }

{ } { }

22

1

22

1

2

2 2

hheX c e 0 h

c e2 8 0 08h

c e 0 0 1 0 08

0 0 0h0 0 eX2

hc e

8

( )

( ) ( )

+ + = + = =

=

=

L'existence d'une surface libre pour X2=h/2 et X2=-h/2impose une condition entre les constantes c et e :

Conditionde surface

libre




[ ]

=33

222

22221

00

00)4

hX(

2

e

0)4

hX(

2e

XeXTenseur des contraintespour le cas

des surfaces libresX2=h/2 et X2=-h/2

{ } =

=

0

)4

hX(

2e

0

0

01

00

00)4

hX(

2e

0)4

hX(

2

e0

222

33

222

222

)1(

quilibre la surface pour X1=0

{ } =

=0

4

hX

2e

eLX

0

0

1

00

004

hX

2e

04

hX

2e

eLX2

22

2

33

222

2222

1 )( )(

)(

)(

quilibre la surface pour X1=L




bhR

23 2Max

12 =

21

21

23

3

2

2h

2h2

222

2h

2h2122

R

bh

12e

12

hebR

dX4

hX

2e

bdX bR

==

==

/

/

/

/

)(

Rsultante des contraintes tangentielles suivantl'axe e2

0M

0dXX)4

hX(

2e

bdXX bM

3

2h

2h22

222

2h

2h22123

=

===

/

/

/

/

Moment rsultant des contraintestangentielles

Contraintes tangentielles aux limites

e1

e2




===2h

2h22

2h

2h2111 0dXeLX bdX bR

/

/

/

/

Rsultante des contraintes normales suivantl'axe e1

h 2 h 22

3 11 2 2 2 2h 2 h 2

3

3 2

M b X dX b eLX dX

hM eb L R L

12

/ /

/ / = =

= =

Moment rsultant des contraintes

normales

11 11=0 22

Max11 R bh

L6=

e1

e2Contraintes normales aux limites

R 2R 2

M3

e1e2


19/96



Carte de la contrainte tangentielle 12trace avec lchelle de la contrainte normale

Lh

4Max11

Max12 =

Carte de la contrainte tangentielle 12Rpartition quadratique

bh

R

2

3 2Max12 =Maxi

Zro

Carte de la contrainte normale 11Rpartition bilinaire

22Max11 R bh

L6=Maxi

MiniZro

e1e2

e1

e2

e1

e2


20/96



[ ]

( )

( )

2 22

1 2 2

222 1 2

1 heeX X X 0

E 4G 4

1he X eX X 04G 4 E

0 0 0

+ =

Tenseur des dformations infinitsimales

Loi de Hooke

( )

211133

22113333

XeX

0

= =+ ==

Casgnral

Cas trait

Hypothse de dformation plane


21/96



Dplacements

( )( )

( )

( )

( )

22 2

1 2 2 1 1 12

2 21 121 2 1 2

22 1 2 1

2 21 121 2

22 1

2 21 11 2

2 1

3 21 12

1 2 21

1

u e e XX X u X f X

X E E 2

df Xu u e h u e X(X )

X X 2G 4 X E 2 dX

df Xu e h e X(X )

X 2G 4 E 2 dX

df Xu X e e hX 2 G E 2G 4 dX

df XX e e hu X X

2 G E 2G 4 dX

u

= = +

+ = = + = + = +

= +

( )

( )

21 1

1 2 221 1

31

1 1 1 1 2

2 32 1

2 1 1 1 2

d f XeX X XX E dX

e Xf X a X a

E 6e X e X

u X a X aE 2 E 6

= =

= + +

= + + +


22/96


A. Coordonnes cartsiennes A.c. Fonction d'AiryDplacements

( )

( )

3

2 2 131

2 1 1 2 22

1

13 3 21

2 1

3 3Max 22 3

e Lu L 0 a a L

E 6e Xu a X a

u LE 6 e L0 a

X E 2e X 2L e L

u XE 6 E 2

e L R 12 Lu

E 3 E bh 3

= = = + + = =

+=

= =

Pas derotation

suivante3

Pas dedplaceme

ntsuivante2

e1

e2

R 2


23/96



= 43Contrainte plane:

+=

13

Dformation plane:

Rappels

1 2 1 2z x ix z x ix= + =

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )zzzz)iuu(G2 zzz2i2zz2

21121122

2211

=+ + =+

+ =+

Solution des dplacements

Solution descontraintes

Fonctions analytiquesMthode de Kolosoff-Muskhelishvili(1909):

( ) ( )[ ]zzz + = ReFonctiondAiry


24/96



( ) ( )( ) ( )

( )

11 22

22 11 12 2

11 12 2 2i 2

12 11 222 2

2 z z 0

A2i 2 z z z 2 z

A A2 2i 2 2 2 i 2

eA A

2 2

' '

'' ''

cos sin

sin cos

+ = + =

+ = + =

+ = =

= = =

Membrane ou massif trous soumis une pression interne p

p

( )

( )

( ) 2

z 0

Az

zA

z z

'

''

=

=

=

e1

e2

er

e


25/96



Contrainte radiale

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6

a/r

- r r

/ p

[ ]

[ ] [ ]

[ ]=

==

=

=

===

10

01a p

paA0

p

0

1

10

01aA

10

01AL22

22LA

L

2A 2A

2

2

22

2T

2

21222211

cos sin

sincoscos sin

sincos

sincos

Application de la pression interne p

pour =a

Tenseur des contraintesdans les axes polaires

Matrice de changementde base entre les axes

e1,e2 et er ,e

Contrainte

radiale

Contraintecirconfrentielle

Max

VM 3

a

p

p

= =

=

Bord du trou


26/96


A. Coordonnes cartsiennes A.c. Fonction d'AiryContrainte de von Mises

2VM

2

a3

p =

2rr

2

a p =

2

2

a p

=

Contrainte circonfrentielle

-0,97-0,82-0,66-0,50-0,34-0,180,000,180,340,500,660,81

0,97

chelles

Contrainte radiale

2rr

2

a p =


27/96



-0,97-0,82-0,66-0,50-0,34-0,180,000,180,340,500,660,810,97

chelles

Contrainte 22

222

2

a2

pcos

=

Contrainte 11

211

2

a2

pcos

=

Contrainte 12

212

2

a2

p sin

=


28/96



Massif de

1000 mm x 1000 mmTrou de 10 mm

Massif de100 mm x 100 mm

Trou de 10 mm

Contrainte de von Mises

e1

e2


29/96



( )

( )

T

T3

Az z4 z

B Cz z

2 z z'

= +

= + +

Membrane troue soumise une traction uniforme T

er

e1

e2

a

T T


30/96



( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

T T2 3

2i 2iT T2 2

T T3 2 4

11 22

2i 2i11 22 T T2 2 2

22 11 12

A A Az z z z 2

4 z 4 z z

A Az e z e4 4

B C B Cz z z 3

2 z z 2 z z2 z z 4 z

A A A2 e 2 e 4 2

2i 2 z z

' ''

' '

' ''

' ' Re '

cos

'' ''

= + = =

= = = + + =

+ = + =

+ = = + = + ( )

T22 11 12 3 2 4

4i 2i 4i22 11 12 T2 2 4

22 11 T2 2 4

12 2 2 4

z

A B C2i 2 2 z 3

z 2 z zA B C

2i 4 e 2 e 6 e

A B C4 4 2 2 6 4

A B C2 4 4 2 2 6 4

cos cos cos

sin sin sin

+ =

+ =

=

= + +

Application de la mthode de Kolosoff-Muskhelishvili


31/96



[ ]

[ ] [ ]

T T11 2 2 2 4

T T22 2 2 2 4

12 2 2 4

Trr r 11 12

r 12 22

A A B C2 2 2 4 2 3 4

2 2A A B C

2 2 2 4 2 3 42 2

A B C2 4 2 3 4

L

L L

cos cos cos cos

cos cos cos cos

sin sin sin

cos sin sin cos

= + + + = +

= + +

= =

Matrice dechangement

de base

Composantesdans la base

polaire

Composantesdans la basecartsienne

Terme N1 Terme N2 Terme N3 Terme N4 Terme N5 Terme N6

[ ] [ ]

[ ] [ ]

TT T

TT T

1 0 1 0L L

0 1 0 12 2

1 0 2 2L L

0 1 2 22 2

cos sin

sin cos

= =

Changement de base des termes

N1


N2

d d


32/96



[ ] [ ]T4 44 4 2 23C 3C

L L4 4 2 2

cos sin cos sin

sin cos sin cos =

Changement de base des termes N5


N3 et 4

Changement de base des termes N6

[ ] [ ]

[ ] [ ]

T

2 2

T

2

2

2 2 1 0B BL L

2 2 0 1

2 4 42AL L4 2 4

2 2 22A2 0

cos sin

sin cos

cos cos sin

sin cos cos

cos sin

sin

= +

=

T Trr 2 4 2

T T2 4

Tr 4 2

B C A3 4 2

2 2B C

2 3 22 2

C A3 2 2

2

cos

cos cos

sin

= + + +

= = +

Composantesdes contraintes

dans la base polaire

A C d i A i d Ai


33/96



2 2 4

T11 2 2 4

2 4 2T

22 2 4 2

a a a2 3 2 2 4 3 4

2

a a a2 4 6 4 2

2

cos cos cos

cos cos cos

= + =

4T2T

24T

r

24T

2T

rr

a2Ceta2BA

02aA2

aC32

02aA4

aC32a

B2

===

=

+=

=

+++=

sin

cos

Conditions auxlimites au bord du

trou

T T

e1

e2 er

a

A C d i A F i d'Ai


34/96



Contraintes 11 pour = /2

0

0,5

11,5

2

2,5

3

3,5

0 1 2 3 4 5 6

a/r

T ( ) ( ) b

a21Max T11 +=

e1

e2 er

a

TT

A C d i A F i d'Ai


35/96


A. Coordonnes cartsiennes A.c. Fonction d'AiryContrainte radiale

Contrainte circonfrentielle Contrainte de cisaillement r

Contrainte de Von Mises

-3,18-2,65-2,12-1,59-1,06-0,530,000,531,061,592,122,65

3,18

chelles

A C d i A F i d'Ai


36/96


A. Coordonnes cartsiennes A.c. Fonction d'AiryContrainte 11

Contrainte 22 Contrainte 12


-3,18-2,65-2,12-1,59-1,06-0,530,000,531,061,592,122,65

3,18

chelles

A C d t i A F ti d'Ai


37/96



Plaque de1000 mm x 1000 mm

Trou de 10 mm


e1

e2

Plaque de100 mm x 100 mm

Trou de 10 mm

A C d t i A d C t i t l


38/96


A. Coordonnes cartsiennes A.d. Contraintes planes

L3L1

L2

Hypothses : L3


39/96


A. Coordonnes cartsiennes A.d. Contraintes planes

Mthode identique au cas de la dformation plane

pour combiner les quations d'quilibre et la conditionde compatibilit avec un second membre diffrent:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

+=++

+2

2

1

122

22112

21

22112

X b

X b1

XX

[ ]

[ ]

[ ] [ ]+

=1122

112212

122211

E000E

1G2

0G2E1

~

Dformations infinitsimales

Loi de Hooke

B C d l i B F ti dAi


40/96


B. Coordonnes polaires B.a. Fonction dAiry

+

+

+

+=

+

+=

2

2

22

2

2

2

22

24

2

2

22

22

r 1

r r 1

r r 1

r r 1

r

r 1

r r 1

r Fonctio

ndAiry

Bilaplacien

( )

2

rr 2 2

2

2

2

r 2

3r 3

33 33 rr

1 1w

r r r

wr

1 1r r r 0

0 ou

= + + = +

= = = = = +

ContrainteradialeContrainte

circonfrentielle

Contraintedecisaillement

Contrainteaxiale

Contrainte

plane

Contrainte axialeDformation

plane

( )grad w =br uuuuvActions volumiques

drivant dun potentiel

B Coordonnes polaires B a Fonction dAiry


41/96


B. Coordonnes polaires B.a.Fonction dAiry

( )

( )4

1cd

41a b

0c 0d

11

11

00

=

=

==

'

'

[ ]

= ++

++

++++

+++

+

+++

+++

+++++=

2n 2nnn

n2nn

nn

2nnn

n2nn

nn

113

1

113

1

110

20

20

200

r dr c

r dr c

nr br a

r br a

r r dr c

r d

r r br

ar b

r 2c

r 2a

ar d

r r cr br a

sin

cos

sinln

cosln

cos sin

lnln

' '

' '

' '

' '

'

Fonction de contrainte en coordonnes polaires

B Coordonnes polaires B b Problme de Flamant


42/96


B. Coordonnes polaires B.b. Problme de Flamantar sin = Fonction

dAiry

e1

E

Surface du demi-plan

e3

e2

(r)

2

rr 2 2

2

2

2

r 2

33

1 1 2a

r r r r

0r

1 10

r r r 2a

r

cos

cos

= + =

= = = =

=

Contrainte

radialeContrainte

circonfrentielle

Contraintede

cisaillement

P(r, )er

r Vecteur

contrainte

B Coordonnes polaires B b Problme de Flamant


43/96


B. Coordonnes polaires B.b. Problme de Flamant

Densitlinique

de forcepL

1 1a L pL

pa

= =

=

R e eur ur ur

Evaluation de a

Rsultante

( )2

r

2

2 22

1 22 2

2 2

1 22 2

1

Lrd

2a 2aLrd Lrdr r

2 22aL 2aL

2 4 4

a L

/

/

/ /

/ /

/ /

/ /

cos cos sin

sin cos

=

= + = + +

=

R

R e e

R e e

R e

ur r

ur ur uur

ur ur uur

ur ur

P(r, )e3

e1 (r)er

r

E

lment desurface

lment desurface

B Coordonnes polaires B b Problme de Flaman


44/96


B. Coordonnes polaires B.b. Problme de Flaman

quation dun cerclede rayon R et Centr en

x1=R en coordonnescartsiennes

( )R 21

r 1

R xR x

r xr x

cter a2

222

21

2

1

rr

=== =

==

cos sincos

cos

quation dun cerclede rayon R et Centr en

x1=R en coordonnes polaires

rr =2 Max =cteisochromatiques

Max rr

r

0

0 2

= = =

Isocission maxi

P(r, )e3

e1 (r )

er

r

E

L



45/96


B. Coordonnes polaires B.b. Problme de FlamanContrainte de von Mises Contrainte radiale

-1,39-1,16-0,92-0,69

-0,46-0,230,000,230,460,690,921,161,39

chelles


Contrainte nulle

Contrainte de cisaillement rt

Contrainte nulle



46/96


B. Coordonnes polaires B.b. Problme de FlamanContrainte de von Mises Contrainte 11

Contrainte de cisaillement 12Contrainte 22

-1,39-1,16-0,92-0,69

-0,46-0,230,000,230,460,690,921,161,39

chelles

B Coordonnes polaires B c Membrane troue


47/96


B. Coordonnes polaires B.c. Membrane troue

( )

( )( ) +=+++=

++++=

2Dr 2Cr 6Br 6A2F2Er 2Cr 6Br 12A2

F2Er 2Dr 4Cr 6A2

242r

242

224rr

sincos

cos

Champ des contraintes dans le disquede rayon intrieur a et de rayon extrieur b

( ) 2242 Fr r E2DCr Br Ar +++++= lncos

e1

e2 er

a

b



48/96



Pour des rayons polaires r >> a, la distribution descontraintes est approche par :

=+=+=

2A2

F22A2

F22A2

r

r

rr

sin

cos

cos

( )( )( ) =

++=++++=

2Dr 2Cr 6A2

F2Er 2Cr 6A2

F2Er 2Dr 4Cr 6A2

24r

24

224rr

sin

cos

cosPour b tendant vers linfini et des contraintes finies B=0

e2 er

a

b

e1



49/96



e1

e2 er

a

b

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

T

L

2A 2 2F 2A 2L L

2A 2 2A 2 2F

2A 2F 0

0 2A 2F

cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

= + + + = +

Contraintes dansles axes e1,e2

Matrice dechangement

de base



50/96



Traction Te1

11 T T

22 T

2A 2F A 4

2A 2F 0 F 4

/

/

= + = =

= + = =

Traction suivant laxee1

e1

e2 er

a

b

T T



51/96



T

2

T

4

24Tr

24Trr

2a

D 4a

C

0Dr 2Cr 621

0Da4Ca621

==

==

=+=

e1

e2 er

a

b

T

2

T2

rr

2a

E

02Ea

=

=+= /

Bord du trou =surface libre



52/96



( ) 2Max00

TT

T =

( )4Max

0

0

TT

T =

( )

( )

2 4 2T T

rr 2 4 2

2 4T T

2 4

4 2

Tr 4 2

11 T

T

a a a1 1 3 4 2

2 r 2 r r

a a1 1 3 2

2 r 2 r

a a1 3 2 22 r r

a 0 a 32

Max 3

cos

cos

sin

, ,

= + + = + +

= +

= = =

e1

e2 er

a

T

Rsultatfinal

C Axisymtrie C a Hypothses


53/96


C. Axisymtrie C.a. Hypothses

+= 33r r uu eeu

Dplacement

axial

Dplacement

radial

u =0

Dplacementcirconfrentiel

Hypothses:gomtrie,

conditions aux limites

et chargementindpendants de

e3

e2e1

Mer

e

u3

ur

C Axisymtrie C b quilibre interne


54/96


C. Axisymtrie C.b. quilibre interne

[ ]

+

+

=

3

3

3

r 3

r

3

r 3r

x

u0x

u

r

u

2

1

0r

u0

xu

r u

21

0r u

~


quations d'quilibre en tout point du volume

( )0 b

x

0 br 1

r

3r

3r

r rr

rr

=+

=++

x333 +

x3r3

+

C. Axisymtrie C.c.Enveloppes paisses


55/96


C. Axisymtrie C.c. Enveloppes paissesEnveloppes cylindriques parois paisses

en dformation plane suivant e3 : u3=0

M

er

eL3

R iR e

L3>R ee3

e2

e1

= r r u eu Une seulecomposantede dplacement



56/96



en dformation plane suivant e3

[ ]

=0000r

u0

00r u

~ r

r


Dformationcirconfrentielle

Dformationradiale

[ ]

+

+ ++

+

=

r u

r u00

0r u2r

ur u0

00r u2r

ur

u

r r

r r r

r r r

~

Tenseur des contraintesContrainte

radialeContrainte

circonfrentielle

Contrainte axiale



57/96


C. Axisymtrie C.c. Enveloppes paisses

[ ] 0 br u

r u

r 1

r u2 r 2

r r 2

r 2

=+

++

( )+

=2

bdr r ud

r 1

dr d r r

Enveloppes cylindriques parois paissesen dformation plane suivant e3

( ) 0 br 1

r r rr rr =++

quation d'quilibre dans le volume



58/96



en dformation plane suivant e3Dplacement radial

( ) 0=dr r ud

r 1

dr d r

r BAr ur +=

quation sans second membre

[ ] +

=000

0

r

BA0

00r BA

2

2

~

Tenseur des dformations infinitsimales



59/96


C. sy t e C.c. ve oppes pa ssesEnveloppes cylindriques parois paisses


[ ]

++

=A200

0r BA2A20

00r BA2A2

2

2

~


( )rr 2A =+ + Indpenda

ntde r

Remarque



60/96


y pp pEnveloppes cylindriques parois paisses

en dformation plane suivant e3Conditions aux limites

quilibre sur lasurface externe

peer

e

n

e1

pe

pe pe

pe

pe

pe

pe

=

0

0 p

te

e

Dans

er ,e

pi pi pi pi

pi

er

e

ne1=

00

pt

ii

Dans

er ,e

quilibre sur lasurface externe



61/96



en dformation plane suivant e3quilibre sur la surface externe de l'enveloppe cylindrique

++

+

001

A200

0R BA2A20

00R BA2A2

2e

2e

=te

++

001

A200

0R BA2A20

00R

BA2A2

2i

2

i

=ti

quilibre sur la surface interne de l'enveloppe cylindrique



62/96




( ) 2i

2e

e2ei

2i

R R pR pR A2

=+( ) 2i

2e

2i

2eei

R R R R p pB2

=

Calcul des constantes A et B

Contraintes : Formules de Lam (1852)

2i

2e

2ee

2ii

33

2

2e

2i

2i2e

ei2i2e

2ee

2ii

2

2e

2i

2i

2e

ei2i

2e

2ee

2ii

rr

R R R pR p2

r R R

R R p p

R R R pR p

r R R

R R p p

R R R pR p

=

+

=

=



63/96




Cylindre paroi paisse

-1,5

-1

-0,5

00,5

1

1,5

2

75 100 125 150 175 200 225

Rayon en mm

C o n

t r a i n

t e n o r m

e

/sqq/p

(srr+sqq)/p

szz( rr + )/p zz

rr /p / p



64/96


y pp p

chelles


er

e3

Contrainte radiale

er

e3 Contrainte circonfrentielle

er

e3

C. Axisymtrie C.d. Enveloppesminces


65/96


mincesEnveloppes cylindriques parois minces


e3

e1

e2

R

e

L3

e


66/96


y pp

pi

quilibre du demi tube( )ei2R p L pL 2e =

Rsultante desactionsexternes

Rsultantedes

actionsinternes

Enveloppes cylindriques parois mincesen dformation plane suivant e3

[ ] ( )( )

=

eR p p00

0eR p p0

002 p p

ei

ei

ei

~

Amplification

de la pression

C. Axisymtrie C.e. Exercice n1 : Disque en rotatio


67/96


y q

( )+ = 28 r u32

r

Solution particulire del'quation avec second membre

Solution gnrale de l'quation avecsecond membre pour un disque plein

( )+

28r 32

Ar ur +=

Corps de rvolution en rotation uniforme

( ) + = 2r dr r udr 1dr d2

r

quation avec second membre Acclration

centrifuge

e3

e2

e1

C. Axisymtrie C.e. Exercice n1 : Disque en rotatio


68/96


Corps de rvolution en rotation uniforme

( )+

=

+==

+==

28C

Cr Ar

u

Cr 3Ar

u

2

2r

2r rr

Composantes des dformations

( ) ( )( ) ( )

2rr

22

22

rr

CR 32

A0R r

Cr A2Cr 4A2

Cr 3A2Cr 4A2

++===

+++=+++=

Composantes des contraintes

C. Axisymtrie C.f. Exercice n2 : Frettage dun arbr


69/96


suu ad =R uR uR aadd =+=+

R u R u ad


70/96


r R uu

R uAuu R r en

R r pour r Au

aR a

r

aR aa

R ar

aar

=

===

=R

Champ des dplacements :

a

0 R u

33R

rr === Champ des dformations :

( )

R u2

R u2

aR

33

aR rr

=

+==

Champ des contraintes :

( )R rr

aR 2

R u +=

Contrainteradialesur larbre pour

r=R



71/96


( )

++=

2R

2R

R R R u

2e

2

22e

R rr

dR

Dplacement de l'alsage ( r=R) :

Champ des dplacements :

( )

r 1

R R

R R

2

r R R

R

2u

22e

22e

R rr

22e

2R

rr r

+=

R

Re



72/96


Condition de serrage :

( )( )

( ) f 2e

22e

2

R

rr

2e

22eR

rr

pR

s

R

R R

12

E

R s

R

R R

22

=

=

++=

Contrainte radiale pour r =R :

suu aR dR =

R

Re

pf

pf

Contrainte circonfrentielle pour r =R :

22e

2R rr

R 33 R R

R 2

=

Contrainte axiale :

22e

22eR

rr R

R R

R R

+

=

C. Axisymtrie C.f. Exercice n2 : Frettage dun arb


73/96


aa

dd

sTR

sT

R

= =

Refroidissement

de l'arbre

Montage thermique : est le coefficient de dilatation thermique

de chaque matriau

Chauffagede

l'alsage

( )( )

( )( )

sR 2

R R u

sR 2

R R u

2e

2e

2dR

2e

22ea

R

+++=

+=

Dplacements en fonction du serrage

Emmanchement forc



74/96


( )[ ]

( )( )

( )[ ]

( ) 214e

42

2VM

2e

21424e

VM

21424e22

e

R rr

VM

R

R

421

43

R s

1E

R s

R

R 21R 3

22

R 21R 3R R

/

/

/

+

=

+++=

+

=


( )( )

R s

1E

R s

24

R R

R 2

2MAX

MAX

R rr 22

e

2eMAX

=

++=

=Contrainte de Tresca

Emmanchement forc

C. Axisymtrie C.g. Exercice n3 : Frettage de deux envelopp


75/96


R u R u 1e2i


76/96


Champ des dplacementsdans lenveloppe interne :

( )

( )

( )( )

( )

2 2i f 1i

1 2 21i

2 2i 1i f

1 2 21i

11 1

2 2 21 i f i 1i f 1i

1e 2 2 2 21i 1i

p p R R B2 R R

1 p R p R A

2 R R

u A r B r

p pR p R p R RR u R u2 R R 2 R R

/

= = +

= +

= = + +

R

pf

pi

Champ des contraintes dans lenveloppe interne:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 21 2 i f i 1i f 1i

rr 1 1 2 2 2 2 21i 1i

2 2 2 21 2 i f i 1i f 1i

1 1 2 2 2 2 21i 1i

p p p R p R R R 2 A 2 B r

R R r R R


R R r R R

/

/

= + = = + + = +



77/96


Champ des dplacements danslenveloppe externe :

( )

( )( )

( )( ) ( )( )

2 2

f e 2e2 2 22e

2 2f e 2e

2 2 22e

22 2

2 22 f e 2e

2i 2 22e

2f e 2e

2 22e

p pR R B 2 R R

1 p R p R A

2 R R

u A r B r

R p R p R u R u2 R R

p p RR 2 R R

/

= = +

= +

= = + +

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 22 2 f ef e 2e 2e

rr 2 2 2 2 2 2 22e 2e

2 2 2 22 2 f ef e 2e 2e

2 2 2 2 2 2 22e 2e


R R r R R


R R r R R

/

/

= + = = + + = +

Champ des contraintes dans lenveloppe externe :

R

R2 e

pf

pe

pe



78/96


Condition de serrage :

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( )( )( )

2i 1e

2 2 2i f i 1i f 1i

1e 2 2 2 21i 1i

3 2

f i 1i2i 2 2 2 2

1i 1i

22e

e 2 22e

2 2 2 2 21i 2e 1i

f i2 2 2 2 22e 1i 1i

u u s

p pR p R p R RR u

2 R R 2 R R

1 p R 1 p RR u2 R R 2 R R

R p

R R

R R R R R p p

R R R R R

s2

2 R

== + +

= + + +

= +

+ + +

Contributionde la pression

externe

Contributionde la pression

interne

Contributiondu serrage

Dplacement radial delenveloppe interne pour

r=R

Dplacement radial delenveloppe externe pour

r=R



79/96


Expression rduite de la pression de frettage :

( )

( ) ( )( )

( )

( )

( )

2e 2

1i 1

2

2e 22

2 2 21 2 1

f i2 2 22 1 1

2

R k R R k R

12 2 1

k p k 1

1 k k 1 k p p

k k 1 k

E s

R 2 1

==

+ = + = +

+



80/96


( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 21 2 1

f i2 2 2 22 1 1

5f i

5f i

1 k k 1 k E s p p

R k k 1 k 2 1

1 0 64 1 44 1 0 64 s p p 101 44 0 64 1 0 64 R

s p 0 198 1 7777p 10

R

, , , , , ,

, ,

= +

= + = +

Pression defrettage

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 21 i f

i 1 f 1 i f rr i f 2 2 2 21 1

2 2 2 21 i f i 1 f 1 i f

i f 2 2 2 21 1

1 i f 33

p p p k p R k 0 64p p R 1 777 p p1 k r 1 k 0 36 r

p p p k p R k 0 64p p R 1 777 p p

1 k r 1 k 0 36 r

0 64p p0 18

, , ,

, ,

,

, ,

= =

= + = + =

Contraintes dans lenveloppe interne

( )

( )

( )

2 2 22 f 2

rr f f 2 2 2 22 2

2 2 22 f 2

f f 2 2 2 22 2

233 f

p R k R p p 2 2727 1 4545

k 1 r k 1 r

p R k R p p 2 2727 1 4545

k 1 r k 1 r

4 5454p

, ,

, ,

,

= = = + = +

=

Contraintes dans lenveloppe externe



81/96


-120

-100

-80

-60

-40

-20

080 90 100 110 120

Rayon des enveloppes en mm

C o n

t r a

i n t e r a d

i a l e e n

M p a

Serrage=0 Serrage=0,025 Serrage=0,05 Serrage=0,1

50

100

150

200

250

300

350

80 90 100 110 120


C o n

t r a

i n t e

c i r c o n

f r e n

t i e

l l e

e n

M p a




82/96


Rservoir de gaz sous pression :

Enveloppe interne Enveloppe externe

Interface

Rayon externe R 2e=120 mmRayoninterne

R 2e=80 mm

pi=100 Mpa

100

150

200

250

300

350

80 90 100 110 120


C o n

t r a

i n t e d e v o n

M i s e s e n

M p a


C. Axisymtrie C.h. Thermo-lasticit linaire dcoupl


83/96


el

3r3r

th33

el3333

thel

thrrelrrrr

Dformation

lastique

Dformation

Thermique

Dformation

totale

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

3r 3r

3333rr 3333rr

rr 33rr rr

2)r (T2)r (T3 )r (T2)r (T3

)r (T2)r (T3

=+++= +++=

+++=

Relations de Lam

C. Axisymtrie C.h. Thermo-lasticit linaire dcoupl


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( ) ()dr r Td223dr r udr 1dr d r + +=

quation d'quilibre

() r B

Ar rdr r T223

r 1

u

r

R r i ++++

=

Dplacement radial

Solution particulirede l'quationavec second

membre

Solution gnralede l'quationsans second

membre

C. Axisymtrie C.i. Exercice n4 : Conduite isoleU d it d t t d fl id li t t i l t li t tit d' t b i d t i i l t


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Une conduite de transport de fluide reliant un terminal un ptrolier est constitue d'un tube pais de matriau isolantmcaniquement "souple" mont entre deux tubes minces d'acier beaucoup plus "rigides" dont on ntudiera pasles dformations mcaniques dans l'tude propose. On considre l'ensemble en dformation plane suivant l'axe de la conduite.Le tube de matriau isolant a pour rayon intrieur R i et pour rayon extrieur kR i avec k>1.Le tube d'acier extrieur de la conduite ne subit aucun dplacement radial alors que sous l'effet du passage du fluide,le tube d'acier intrieur subit un dplacement radial u

i.

En reprenant la solution gnrale du champ de dplacements dans les enveloppes cylindriques paisses sans action volumique :

a) Evaluer les constantes A et B partir des conditions aux limites imposes et des caractristiques de la conduiteet donner l'expression du dplacement radial dans le tube d'isolant en fonction de k, R i et r

b) Dduire du champ de dplacements la dilatation volumique unitaire.Pour simplifier les expressions, on posera

c) En considrant l'isolant comme un matriau lastique linaire de constantes de Lam et ,donner l'expression des composantes du tenseur des contraintes.d) Calculer les contraintes radiales et circonfrentielles dans l'isolant au niveau de ses rayons intrieur et extrieur.e) Calculer les contraintes de cission maximale ( contrainte de TRESCA)aux rayons intrieur et extrieur de l'isolant et en dduire la zone la plus charge.f) Vrifier que la contrainte de Von Mises permet de prdire le mme rsultatg) Application : le dplacement radial impos ui est d'origine thermique et peut donc s'exprimer par avec le coefficient de dilatation du tube intrieur de la conduite et T la variation de temprature subie par ce tube.Si e est la limite d'lasticit du matriau isolant, calculer la variation maxi de temprature du tube intrieur pour conserver un comportement lastique de l'isolant en ngligeant ses dformations thermiques.Comment doit on choisir le diamtre extrieur de la conduite pour des variations de temprature importantesen fonction du diamtre intrieur. Est-ce que le calcul sans les dformations thermiques de l'isolant respecte le principe de prcau

r B

Ar u r +=

( ) aR u

1k 2

i

i2 =

Isolant

Tubeexterne

Tubeinterne

C. Axisymtrie C.i. Exercice n4 : Conduite isole


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r

BAr u r +=

Solution gnrale pour les enveloppes paisses

Condition aux limites sur le rayon extrieur R e=kR i : ur =0

( )2iiir

kR

BA0

kR B

AkR u ==+=

( ) BR k 1k

R k

1

R

1

BR

B

kR

BR

R

B

AR u i2

2

i2

ii2

i

i

iii

=

=+=+=

Condition aux limites sur le rayon intrieur R i : ur =ui

( ) ( )i2

i

i2i

2

2

i

2

i

u

1k

1

R

1u

1k

R k

kR

1

kR

BA

=

==

ii2

2

uR 1k

k B

=

Constantes de la solution gnrale

2i i

r 2i

u k R r u

k 1 r R =

Solution pour un dplacement interne impos et un blocage externe



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Dformation circonfrentielle

Dformation radiale

+

==i

2i

2

2ir

rr

R

1

r

R k

1k

u

dr

du

== i2

i2

2ir

R 1

r R k

1k u

r u

Dformation axiale plane

033 =

Dilatation volumique

( ) ii

233rr kk R u

1k 2

VdV

=++==



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Contrainte axiale( )

( ) ( ) ==

=

+= a

R u

1k 2

R 1k u2

i

i2

i2

i33

rr 33

Contrainte radiale( )

( )( ) ( ) ( )

++= =

++=

+=

++=

2

2i

2

rr

2

2i

2

i

i22

2i

2

i

i2

i

i2rr

rr rr rr

r R k

1a

r R k

R u

1k 2

r R k

R u

1k 2

R u

1k 2

2


( )

( ) ( ) ( )

+=

+

=

+

=

++=

2

2i

2

2

2i

2

i

i2

i2

i2

2i

i2

i

rr

r R k

1a

r R k

R u

1k 2

R 1

r R k

1k u2

R 1k u2

2

C. Axisymtrie C.i. Exercice n4 : Conduite isol


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Contraintes sur le rayon intrieur de l'isolant

( )[ ]( )[ ]

=+=++=

a

k 1a

k 1a

33

2

2rr

Contraintes sur le rayon extrieur de l'isolant

( )

== +=

a

a

2a

33

rr



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Contrainte de Tresca sur le rayon intrieur de l'isolant

Contrainte de Tresca sur le rayon extrieur de l'isolant

2Max3333rr rr k a=>>

=>= aMax3333rr rr

Contrainte de Von Mises sur le rayon intrieur de l'isolant

Contrainte de Von Mises sur le rayon extrieur de l'isolant

( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2rr 33

2

332 2 2

rr

2 22 2 2 2 2 2 2 2rr 33 33 rr

22 2 2 2 2VM VM

a 1 k

a 1 k

a 1 k a 1 k 2a k

a 1 k 1 k 4k

2 2a 1 k a 1 k

= + =

= + + = + + = + + +

= + = +

( ) ( ) ( )==

=++=

==

a2a82

a8

a2

0

a2

VM222

VM

222rr

233

233rr

rr

33

33rr

C. Axisymtrie C.i. Exercice n4 : Conduite isol


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Dplacement intrieur du une dilatation thermique

ii TR u =Contrainte quivalente de Von Mises

pour une variation de temprature T

( )( )

+

=2k 1

1k T e2

2

( ) ( )2

2VM k 11k T2 +

=

Variation de temprature T maxi

pour rester dans le domaine de comportementlastique de l'isolant

Commentaire : Le terme (1+k 2)/(k 2-1) tend vers 1 quand k augmente.Le maximum de temprature que peut encaisser l'isolant est :

=

2T e

C. Axisymtrie C.i. Exercice n4 : Rponses


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)

) ( )

)

) ( )[ ] ( )[ ]( )

)) ( )

) ( ) ( )( )( )

+

=+=

==+======

==+=

=+=++=

=

+=

++= =

=

= =

=

=

2k 11k

T k 11k T2

g

a2R r k 1aR r f

aR r k aR r ea a 2a

a k 1a k 1a d

a r R k

1a r R k

1a c

R u

1k 2

VdV

b

R r

r R k

1k u

u uR 1k

k B u

1k 1

R 1

A a

e2

22

2VM

VMe2

VMi

Maxe2

Maxi

33rr

3322

rr

332

2i

2

2

2i

2

rr

i

i2

i

i2

2i

r ii2

2

i2i

Question finale :- Il est ncessaire de prendre un diamtre extrieur d'isolant assez grand mais la valeur de la contraintede Von Mises montre que l'paisseur n' a plus d'influence importante pour k>3- Le principe de prcaution n'est pas respect dans ce calcul, les dformations thermiques de l'isolant vontentraner une augmentation des contraintes puisque il ne peut pas se dilater entre les tubes intrieur et extri

E i 2 V i

Exercices


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Exercice 2: Vrin

Pour tudier le champ de contraintes dans un corps de vrin, onsuppose quen tout point du corps du vrin loign du fond et etdu piston le champ des dplacements a la forme gnrale

suivante :

La pression interne dans le vrin est gale p, la pressionextrieure est considre ngligeable (pression atmosphrique)

a) Rechercher ltat de contrainte dans le corps de vrin ensupposant que leffet de fond induit de la traction pure en

utilisant la mthodologie employe pour obtenir les formules deLam. b) Calculer les dplacements axiaux et radiaux dans le corps devrin. Application numrique : P=300 bars, Ri=200 mm,Re=250 mm, Longueur sous pression =1000 mmd) Rechercher la contrainte de Von Mises maxi dans le corps devrin.e) Ce vrin est transform pour des applications sous-marines 100 m de profondeur. Doit-on modifier ses dimensions pour viter sa rupture en profondeur?

Exercice 1: Fonction dAiry

On considre les deux fonctions dAiry suivantes :

a) Dterminer les composantes des contraintesassocies ces deux fonctions dAiry.

b) Dterminer les contraintes de Von Mises et deTresca des deux tats de contraintes

c) Chercher les actions surfaciques appliquer sur undomaine carr de cot unit pour obtenir ces tats decontrainte.

d) Calculer les lments de rduction des actionssurfaciques sur chaque face du domaine unitaire.

e) Comparer les deux tats de contrainte en terme desvrit. Tracer les tricercles de Mohr en supposant un tatde dformation plane.

2 2A 2 1

2 2B 2 1

x x b b

2 2x x

b b2 2

= + =

r r 3 3u u e u e= +r rr

E i 3 F ti dAi

Exercices

d lid l i id l l d i i l i


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Exercice 3: Fonction dAiry

Un solide lastique est en quilibre vis vis d'un rfrentielgalilen. L'tat de contrainte est plan, la normale au plandirecteur tant l'axe. Cet tat est caractris par les composantes

suivantes du tenseur des contraintes dans une base cylindrique.

a-Calculer la densit des forces de volume. b-Montrer que l'quation de compatibilit en contrainte(Beltrami) est satisfaite.c-Montrer que l'tat de contrainte pouvait tre obtenu par unefonction d'Airy de la forme

d-Le solide lastique considr est la plaque demi-circulairereprsente ci-dessous :

On note E le module d'Young et le coefficient de Poisson dumatriau. On note respectivementSe , Si , Sh et Sb les parties desurfaces frontires cylindriques circulaires extrieure etintrieure et des surfaces planes ainsi prcises sur la figure.Les conditions suivantes sont ralises:* les surfaces frontiresSe et Si ne sont pas charges* le torseur des actions extrieures exerces sur la surfacefrontireSh est un torseur-vecteur de rsultante et de momentnul enO .Calculer les constantes A , B et C . On calculera le torseur desactions extrieures exerces sur la surface frontireSb .

( ) z r r

r rr

E E E

M

,,000

0

0

)(

=

rr

r

M A r B

r C r

M Ar B

r C r

M A r B

r C r

( ) cos( )

( ) cos( )

( ) sin( )

= +

= + +

= +

22

62

22

3

3

3

( , ) cos( )r g =

S

y

x z

R

e/2 e/2

RS

S S b

i

e

i

e

h

E i 5 Di t ti

Exercices

Exercice 4 : Fonction dAiry


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Exercice 5 : Disque en rotationOn considre un disque perc de rayon intrieur Ri et de rayonextrieur Re tournant la vitesse . Ce disque est constitudun matriau de masse volumique , de coefficients lastiquesde Lam et . En considrant la surface cylindrique du

disque soumise la pression atmosphrique, et en utilisantlhypothse de dformation plane suivant la direction perpendiculaire au plan du disque :

a) tablir lquation des contraintes radiale et circonfrentielleen fonction du rayon r. b) Comparer la contrainte circonfrentielle sur la surfacecylindrique interne dun disque perc pour Ri tendant vers zro la contrainte circonfrentielle au centre dun disque sans trou.

c) Comparer la contrainte quivalente de Von Mises sur lasurface cylindrique interne dun disque pour Ri tendant vers zro la contrainte quivalente de Von Mises au centre dun disquesans trou.d) Rechercher la valeur de la contrainte de Tresca maxi pour undisque en rotation de rayon intrieur Ri et de rayon extrieur Reet indiquer sa localisatione) Calculer les dplacements radiaux des surfaces cylindriquesinterne et externe du disque de rayon intrieur Ri et de rayonextrieur Ref) Comparer le dplacement radial de la surface cylindriqueexterne dun disque perc pour Ri tendant vers zro audplacement radial de la surface cylindrique externe dun disquenon perc.

Exercice 4 : Fonction dAiryOn considre un rectangle de faible paisseur dont la largeur suivant la directione2 est gale 2c et la longueur suivant ladirectione1 est gale 6c, voir figure. Sur ce domaine, lescontraintes sont dfinies par la fonction d'Airy suivante:

1) Exprimer les 3 composantes non nulles du tenseur descontraintes en fonction des coordonnes x1 et x2.2) Vrifier que ces composantes vrifient les quationsd'quilibre en tout point du domaine.3) Dterminer les actions de surface appliquer sur la frontirex1=0 pour obtenir cet tat de contraintes4)Dterminer les actions de surface appliquer sur lesfrontires x2=c et x2=-c pour obtenir cet tat de contraintes.5) Pour le point P(c,0), calculer le tenseur des dformations pour un comportement lastique du matriau.6) Pour le mme point, calculer l'nergie lastique stocke par ce tenseur des contraintes7) Calculer la contrainte de von Mises au point P(c,0)

( ) ( )+= 3222221322323 xc2x51

xc2xc3xc8q

e1

e2

Exercice 4: Compression sous treinte

Exercices


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Le jeu entre le container et les pistons est exagr sur lafigure afin de reprsenter la transmission de la pression du fluidedans le systme. Les composantes des vecteurs et des tenseurs

sont dfinies dans un systme de coordonnes cylindriques dontlaxe e3 est laxe de rvolution de lprouvette confondu avecceux des pistons et du container.

Le container est constitu dun matriau lastique demodule dYoung E et de coefficient de Poisson . On lesuppose en tat de dformation plane suivant laxe e3 et soumis la seule pression p du fluide.

1) Sachant que la limite lastique du matriau du

container est gale e, dterminer le rayon R c pour quil restelastique lorsquil est soumis une pression 2p.

2) Dterminer la variation de rayon intrieur R ducontainer pour la pression 2p.

3) Application numrique : R=20 mm, p=500 Mpa,E=200 000 Mpa, =0,25, e =1000 Mpa,

calculer R c et la variation de R

2R

2R E

Container Piston n1

Piston n2

Jointprouvette

Huile

Joint

Exercice 4: Compression sous treinte

Pour tudier les proprits des matriaux sous forte pression, on utilise un montage pour raliser un essai decompression sous treinte sur une prouvette cylindrique de

rayon R e. Cette prouvette est comprime sur ses deux faceshorizontales par deux pistons cylindriques de rayon R et sur sasurface cylindrique par une pression p. Les pistons coulissentdans un container cylindrique de rayon extrieur R c. Pour lavant-projet, on ngligera les frottements des jointsdtanchit entre le container et les pistons.

welasticplanee

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