file · web viewlogika matematika (ingkaran, pe. rnyataan majemuk, tautologi,...
TRANSCRIPT
LOGIKA MATEMATIKA
(Ingkaran, Pernyataan Majemuk, Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi)
Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah
Kajian Matematika SMA
Dosen Pengampu: Padrul Jana, M.Sc
Disusun Oleh:
Kelompok 11
1. Diana Rahmawati (14144100113)
2. Muhammad Mukti Ali (14144100133)
3. Ambar Retno Mutia (14144100150)
5A4
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2016
i
Ingkaran, Pernyataan Majemuk, Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi
A. Ingkaran atau Negasi
Dari sebuah pernyataan, dapat dibentuk pernyataan baru dengan
menumbuhkan kata tidak benar di depan pernyataan semula atau bila
mungkinkan dengan menyisipkan kata tidak atau bukan dalam pernyataan
semula. Pernyataan baru yang diperoleh dengan cara seperti itu disebut
ingkaran atau negasi.
Jika p adalah pernyataan yang diketahui, maka ingkaran atau negasi dari p
dapat ditulis memakai lambang.
p
(dibaca: tidak benar atau bukan p)
Contoh:
Tentukan ingkaran dari setiap pernyataan berikut:
Q: 7 adalah bilangan prima
Penyelesaian:
Ingkaran dari q: 7 adalah bilangan prima
q : Tidak benar 7 adalah bilangan prima, atau
q :7 bukan bilangan prima
Hubungan nilai kebenaran antara ingkaran sebuah pernyataan dengan
pernyataan semula dapat ditentukan sebagai berikut:
i. Jika p adalah pernyataan yang bernilai benar, maka p bernilai salah.
ii. Jika p adalah pernyataan yang bernilai salah, maka p bernilai benar.
Ungkapan tersebut dapat disajikan dengan menggunakan tabel yang disebut
sebagai tabel kebenaran.
Pp p
B S
S B
Tabel 1
1
Dengan menggunakan lambang nilai kebenaran. Tabel di atas dapat ditulis
sebagai berikut:
Jika τ ( p )=B , maka τ ( p )=S dan jika τ ( p )=S , maka τ ( p )=B .
B. Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa
pernyataan tunggal (komponen) yang dirangkai dengan menggunakan kata
hubung logika. Pernyataan-pernyataan tunggal p dan q, yang membentuk
pernyataan majemuk itu, disebut komponen atau pernyataan perangkai.
Sedangkan kata-kata hubung atau (), dan (), jika. . .maka…(), dan jika dan
hanya jika () disebut kata hubung logika.
Berikut beberapa pernyataan majemuk yang sederhana:
1. Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan yang bentuk dari dua pernyataan p dan q yang
dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau.
Disjungsi pernyataan p dan qditulis dengan lambang sebagai berikut:
p∨q
(dibaca: p atau q)
Ada dua jenis disjungsi, yaitu disjungsi eksklusif dan disjungsi inklusif.
Untuk membedakan kedua jenis disjungsi itu, simaklah disjungsi-disjungsi
berikut:
i. Akar dari bilangan rasional positif adalah rasional atau irrasional
ii. Sebuah bilangan asli adalah bilangan cacah atau bilangan bulat.
Disjungsi i, yang dimaksudkan adalah salah satu saja, rasional atau
irasional, tetapi tidak keduanya sekaligus. Sebab, jika akar dari bilangan
rasional positif adalah rasional, pasti bukan irasional. Dan jika akar dari
bilangan rasional positif adalah irasional, pasti bukan rasional. Dalam hal
demikian kata hubung atau dikatakan bersifat memisah atau menyisih atau
eksklusif. Oleh karena itu, disjungsi yang berciri seperti itu dinamakan
disjungsi eksklusif dan ditulis dengan lambang p.
2
Disjungsi ii, yang dimaksudkan dapat dua-duanya, bilangan cacah
atau bilangan bulat, atau bilangan cacah dan bilangan bulat. Dalam hal
demikian, kata hubung atau dikatakan bersifat mencakup atau inklusif.
Oleh karena itu, disjungsi yang berciri seperti itu dinamakan disjungsi
inklusif dan ditulis dengan lambang p ˅q¿dibaca: p atau q).
Nilai kebenaran disjungsi p ˅ q dapat ditentukan melalui definisi
berikut:
p˅qbenar, jika salah satu diantara p dan q benar atau p dan q dua-duanya
benar. p˅qsalah, jika p dan q dua-duanya salah.
Tabel kebenaran:
Pp q p ˅ q
B B B
B S B
S B B
S S S
Tabel 2
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari setiap disjungsi berikut ini!
1) 3×5=15 atau 15 adalah bilangan ganjil
2) 3×5=8 atau 8 adalah bilangan ganjil
Jawab:
1) atau,
B B
disjungsi ini bernilai benar
2) atau,
S S
disjungsi ini bernilai salah.
3
15 adalah bilangan ganjil
3×5=8 8 adalah bilangan ganjil
2. Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan, p
dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung dan. Konjungsi
pernyataan p dan q ditulis dengan lambang sebagai berikut:
p ˄ q
(dibaca: p dan q)
Nilai kebenaran konjungsi p ˄ q dapat ditentukan dengan menggunakan
definisi berikut:
p ˄ q benar, jika p benar dan q benar
p ˄ q salah, jika salah satu p atau q salah
atau p salah dan q salah
Berdasarkan definisi di atas, tabel kebenaran konjungsi p ˄ q dapat
ditunjukkan seperti pada tabel berikut.
Tabel 3
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari setiap konjungsi berikut!
1) 6 : 3 = 2 dan ibukota Indonesia adalah Jakarta.
2) 3 adalah bilangan ganjil dan 9 adalah bilangan prima.
Jawab:
1) 6 : 3 = 2 (pernyataan bernilai benar) dan ibukota Indonesia adalah
Jakarta (pernyataan bernilai benar)
Kedua pernyataan bernilai benar maka merupakan konjungsi yang
benar.
2) 3 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai benar) dan 9 adalah
bilangan prima (pernyataan bernilai salah).
4
p Qq p q
B B B
B S S
S B S
S S S
Salah satu pernyataan bernilai salah maka merupakan konjungsi yang
salah.
Konjungsi pada contoh 1), jelas bahwa pernyataan “ 6 : 3” dengan
pernyataan “ ibukota Indonesia adalah Jakarta” tidak memiliki hubungan
arti. Dengan demikian, konjungsi tersebut tidak mempunyai arti. Dalam
logika matematika yang dipentingkan bukan arti dari sebuah pernyataan,
tetapi nilai kebenarannya.
Dalam bahasa sehari-hari, kata perangkai dan dapat diganti dengan
kata perangkai tetapi atau walaupun atau meskipun. Dalam beberapa hal,
seringkali dijumpai kalimat yang berbentuk “p(x) ˄ q” dengan p(x)
merupakan suatu kalimat terbuka dan q merupakan suatu pernyataan.
Kalimat “p(x) ˄ q” dapat diubah menjadi konjungsi yang benar/salah
dengan cara menentukan nilai-nilai x pada kalimat terbuka p(x).
Contoh:
Carilah nilai-nilai x agar kalimat berikut menjadi konjungsi yang benar.
1 – x = 2x – 5 dan 10 adalah bilangan komposit.
Jawab:
Kalimat “1 – x = 2x – 5 dan 10 adalah bilangan komposit” terdiri atas
kalimat terbuka p(x): 1 – x = 2x – 5 dan pernyataan q: 10 adalah bilangan
komposit. Pernyataan q bernilai benar. Agar kalimat itu menjadi konjungsi
yang benar, maka kalimat terbuka p(x) = 1 – x = 2x – 5 harus diubah
menjadi pernyataan yang benar. Nilai x yang menyebabkan kalimat
terbuka p(x): 1 – x = 2x – 5 menjadi pernyataan yang benar adalah
penyelesaian dari kalimat itu, yaitu untuk x = 2.
Jadi, kalimat “1 – x = 2x – 5 dan 10 adalah bilangan komposit” menjadi
konjungsi yang benar untuk nilai x = 2.
3. Implikasi
Implikasi atau pernyataan bersyarat/kondisional adalah pernyataan
majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk
jika p maka q. Bagian “jika p” dinamakan alasan atau sebab dan bagian
“maka q” dinamakan kesimpulan atau akibat.
5
Implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut.
p q
(dibaca: jika p maka q)
dalam berbagai penerapan, implikasi p q dapat dibaca:
(i) p hanya jika q
(ii) q jika p
(iii) p syarat cukup bagi q
(iv) q syarat perlu bagi p
Nilai kebenaran implikasi p q dapat ditentukan dengan menggunakan
definisi berikut:
p q dinyatakan salah, jika p benar dan q salah.
Dalam kemungkinan yang lainnya p q dinyatakan benar.
Berdasarkan definisi tersebut, tabel kebenaran implikasi p q dapat
ditunjukkan seperti pada Tabel 4 berikut
Tabel 4
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut!
1) Jika 11 adalah bilangan ganjil, maka Jogjakarta ibukota Indonesia.
2) Jika log 6 + log 5 = log 10, maka 123 × 125 = 127
Jawab:
1) Implikasi ini bernilai salah, karena alasan benar dan kesimpulan salah.
2) Implikasi ini bernilai benar benar, karena alasan salah dan kesimpulan
salah.
Dalam implikasi juga dijumpai kalimat yang berbentuk “p(x) q”
atau “p q(x), dengan p(x) dan q(x) merupakan kalimat-kalimat terbuka,
6
p qQ p q
B B B
B S S
S B B
S S B
p dan q merupakan pernyataan-pernyataan. Kalimat-kalimat “p(x) q atau
“p q(x)”, dapat diubah menjadi implikasi yang benar/salah dengan cara
menentukan nilai-nilai x pada kalimat terbuka p(x) atau q(x).
Contoh:
Carilah nilai x agar kalimat berikut menjadi implikasi yang benar!
Jika x – 3 = 4, maka 4 adalah bilangan prima.
Jawab:
Kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 adalah bilangan prima” dapat
dituliskan dalam bentuk “p(x) q” dengan p(x): x – 3 = 4 merupakan
kalimat terbuka dan q: 4 adalah bilangan prima merupakan suatu
pernyataan. Agar kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 adalah bilangan prima”
menjadi implikasi yang bernilai benar, maka kalimat terbuka p(x): x – 3 =
4 harus diubah menjadi pernyataan yang salah, sebab pernyataan q sudah
jelas bernilai salah.
Nilai x yang menyebabkan kalimat terbuka p(x): x – 3 = 4 menjadi
pertanyaan yang salah adalah x ≠ 7.
Jadi, kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 adalah bilangan prima” menjadi
implikasi yang bernilai benar untuk x ≠ 7.
4. Biimplikasi atau Implikasi Dua Arah
Pernyataan p dan pernyataan q dapat dirangkai dengan menggunakan
kata hubung “jika dan hanya jika” sehingga diperoleh pernyataan baru
yang berbentuk “p jika dan hanya jika q”. pernyataan yang dirangkai
dengan cara seperti itu disebut biimplikasi atau implikasi dua arah.
Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dapat ditulis dengan lambang
p⇔q
(dibaca: p jika dan hanya jika q)
Dalam beberapa penerapan, biimplikasi p ⇔q dapat juga dibaca sebagai
berikut:
(i) Jika p maka q dan jika q maka p
(ii) p syarat perlu dan cukup bagi q
7
(iii) q syarat perlu dan cukup bagi p
Nilai kebenaran biimplikasi p⇔q dapat ditentukan dengan menggunakan
definisi berikut:
p⇔q dinyatakan benar, jika τ ( p )=τ (q) (dibaca: p dan q mempunyai nilai
kebenaran yang sama)
p⇔q dinyatakan salah, jika τ ( p ) ≠ τ (q) (dibaca: p dan q mempunyai nilai
kebenaran yang tidak sama)
Berdasarkan definisi tersebut, tabel kebenaran biimplikasi p ⇔q dapat
ditunjukkan seperti tabel berikut
p q p⇔q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
Tabel 5
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran setiap biimplikasi berikut!
1) (16 )12=4 jika dan hanya jika 16 log 4=1
2
2) x2−4 x+3=0 mempunyai akar real jika dan hanya jika
x2−4 x+3=0 tidak mempunyai akar real
Jawab:
1) (16 )12=4 jika dan hanya jika 16 log 4=1
2
Merupakan biimplikasi yang bernilai benar
2) x2−4 x+3=0 mempunyai akar real jika dan hanya jika
x2−4 x+3=0 tidak mempunyai akar real.
Merupakan biimplikasi yang bernilai salah
Seperti halnya dalam disjungsi, konjungsi dan implikasi, dalam
biimplikasi juga sering dijumpai kalimat yang berbentuk “ p(x )⇔q” atau
p ⇔q (x), dengan p(x) dan q(x) merupakan kalimat-kalimat terbuka, p dan
8
q merupakan pernyataan-pernyataan. Kalimat-kalimat “ p(x )⇔q” atau
p ⇔q (x) dapat diubah menjadi biimplikasi yang bernilai benar/salah
dengan cara menentukan nilai-nilai x pada kalimat terbuka p(x) atau q(x).
Contoh:
Carilah nilai-nilai x agar kalimat berikut menjadi biimplikasi yang bernilai
benar. 3 x−4=2 x+2 jika dan hanya jika 6 adalah bilangan genap!
Jawab:
Kalimat “3 x−4=2 x+2 jika dan hanya jika 6 adaah bilangan genap”
dapat dituliskan dalam bentuk p(x )⇔ q dengan p ( x ) :3 x−4=2x+2
merupakan suatu kalimat terbuka dan q :6 adalah bilangan genap
merupakan suatu pernyataan. Agar kalimat “3 x−4=2 x+2 jika dan hanya
jika 6 adalah bilangan genap” menjadi biimplikasi yang bernilai benar
maka kalimat terbuka p ( x ) :3 x−4=2x+2 haruslah diubah menjadi
pernyataan yang benar, sebab pernyataan q sudah jelas bernilai benar.
Nilai x yang menyebabkan kalimat terbuka p ( x ) :3 x−4=2x+2
menjadi pernyataan yang benar adalah himpunan penyelesaian dari kalimat
terbuka itu, yaitu untuk x = 6. jadi, kalimat “3 x−4=2x+2 jika dan hanya
jika 6 adalah bilangan genap” menjadi biimplikasi yang bernilai benar
untuk nilai x=6
Disamping pernyataan-pernyataan majemuk sedehana di atas, seringkali
dijumpai pernyataan-pernyataan mejemuk yang lebih rumit. Pernyataan
majemuk yang rumit terdiri atas pernyataan-pernyataan p, q, r, . ., dan
seterusnya, disertai gabungan operasi ingkaran (), disjungsi (), konjungsi
(), implikasi (), biimplikasi (). Berikut ini adalah beberapa contoh
pernyataan majemuk yang rumit.
(i) (p q)p (iii) [p (pq)]
(ii) q(p q) (iv) [(p q)r]
Nilai kebenaran pernyataan majemuk seperti di atas dapat ditentukan
dengan menggunakan pertolongan tabel kebenaran.
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk (p q)
9
Jawab:
Untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk yaitu dengan
menggunakan tabel kebenaran.
Tabel kebenaran pernyataan (p q) ditentukan melalui langkah-langkah
berikut
Tabel 6
1) Tentukan semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan p dan
pernyataan q. Pernyataan p dan q beserta nilai kebenarannya
dituliskan pada kolom (1) dan (2).
2) Tentukan nilai kebenaran q. Pernyataan q beserta nilai
kebenarannya dituliskan pada kolom (3).
3) Tentukan nilai kebenaran (p q). Pernyataan (p q) beserta nilai
kebenarannya dituliskan pada kolom (4).
4) Tentukan nilai kebenaran (p q). Pernyataan (p q) beserta
nilai kebenarannya dituliskan pada kolom (5)
10
Nilai kebenaran pernyataan (p q) dapat dibaca dari atas ke bawah pada
kolom (5). Yaitu: S, S, B, S. dengan menggunakan lambang, nilai kebenaran
pernyataan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut
τ [ ( p q ) ]=S S B S
C. Tautologi
Tinjaulah pernyatanan majemuk berikut ini:
[( p⟹q) p]⟹q
Nilai kebenaran pernyataan majemuk itu diperlihatkan pada tabel berikut.
p Q p⟹q p⟹q p ¿ p¿⟹q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
B
S
S
S
B
B
B
B
Tabel 8
Berdasarkan Tabel 8 pada kolom (5) nilai kebenaran pernyataan
majemuk itu adalah BBBB. Untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari
tiap pernyataan komponennya. Pernyataan majemuk yang bersifat seperti itu
dikatakan benar logis. Pernyataan majemuk yang benar logis disebut
tautologi. Suatu tautologi yang memuat pernyataan implikasi, seperti ¿
p¿⟹q, dinamakan implikasi logis. Berdasarkan uraian diatas, dapat
disimpulkan sebagai berikut:
1. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk
semua kemungkinan nilai kebenarannya dari pernyataan-pernyataan
komponennya.
2. Implikasi logis adalah sebuah tautologi yang memuat pernyataan
implikasi.
Contoh:
Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk ¿ (q⟹ r ) ¿⟹( p⟹r ) adalah
sebuah tautologi!
Jawab:
11
Perhatikan tabel kebenaran ¿ (q⟹ r ) ¿⟹( p⟹r ) pada tabel berikut
p q r p⟹q q⟹ r p⟹r ( p⟹q)
(q⟹ r )
¿(q⟹ r ) ¿⟹ ( p⟹ r)
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
B
S
S
B
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
B
S
B
S
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Tabel 9
Dari tabel 9, kolom (8) jelas bahwa
τ ¿ (q⟹ r ) ¿⟹( p⟹r ) = BBBBBBBB
Jadi, pernyataan majemuk ¿ (q⟹ r ) ¿⟹( p⟹r ) adalah sebuah tautologi.
D. Kontradiksi
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya selalu
salah.
Contoh pernyataan majemuk yang merupakan kontradiksi:
(pq) (pq)
Tabel nilai kebenarannya:
p Q q pq pq (pq)(pq)
B B S B S S
B S B S B S
S B S S B S
S S B S B S
12
Tabel 10
Dari tabel di atas, nilai kebenaran dari: (pq)(pq) selalu bernilai salah,
sehingga (pq)(pq) merupakan suatu kontradiksi.
E. Kontingensi
Suatu pernyataan majemuk merupakan kontingensi, jika nilai kebenarannya memuat benar dan salah.Contoh pernyataan majemuk yang merupakan kontingensi:
(pq) (pq)
Tabel nilai kebenarannya:
p q q pq
(pq)pq (pq)(pq)
B B S B S S S
B S B S B B B
S B S B S S S
S S B B S S S
Tabel 11
13
DAFTAR PUSTAKA
Mangelep, Navel. 2009. Modul Logika Matematika. Universitas Negeri Manado:
FMIPA
Modul kelas XII semester 2 SMAN 2 WATES
Sri Kurnianingsih, dkk. 2010. Mathematics 1a For Senior High School GradeX.
Esis: Bandung
14