maths6school.files.wordpress.com · web viewείναι μια αλγεβρική παράσταση...

Αλγεβρικές παραστάσεις ‘Β Γυμνασίου

Τι πρέπει να ξέρουμε...

Αλγεβρική παράσταση είναι μια παράσταση που περιέxει πράξεις μεταξύ

αριθμών και μεταβλητών (γραμμάτων) π.x. 3 α2β, 3x+ψ, -5α2 β+2x3α

, -4

Μονώνυμο είναι μια αλγεβρική παράσταση που περιέxει μόνο πολλαπλασιασμούς και οι μεταβλητές της έxουν εκθέτη μη αρνητικό

ακέραιο π.x 3α2β, - 5α2

, -12

x

Στο μονώνυμο -5α2 β, ο αριθμός -5 λέγεται συντελεστής ή αριθμητικός συντελεστής του μονωνύμου ενώ τα γράμματα α2β αποτελούν το κύριο μέρος του μονωνύμου.

π.x

Τα μονώνυμα που έxουν το ίδιο κύριο μέρος ονομάζονται όμοια μονώνυμα.

Βαθμός μονωνύμου ως προς ένα γράμμα του είναι ο εκθέτης του γράμματος ενώ βαθμός ως προς δυο ή περισσότερα γράμματα είναι το άθροισμα των εκθετών των γραμμάτων π.x. 5α 2β3είναι 2ου βαθμού ως προς α, 30υ βαθμού ως προς β και 5ου βαθμού ως προς α και β

Πράξεις μεταξύ μονωνύμων.

άθροισμα ή διαφορά μονωνύμων (πρέπει να είναι όμοια)

π.x 2x2 y-3 x2 y+5 x2 y= (2-3+5 ) x2 y=4 x2 y

Πολλαπλασιασμός μονώνυμου με μονώνυμο (Υπενθύμιση : αν .

αμ = αν+μ)

( 2 x3 ψ2 ω) . (-3 x2 .ψ.ω-2 ) =-6 x3+2 ψ2+1 ω1-2=-6 x5 ψ3 ω-1

διαίρεση μονώνυμου με μονώνυμο (Υπενθύμιση : αν : αμ = αν-μ)

1


(2 x3 ψ2ω ) ÷(- 85

x .ψ3 .ω2)=21

x3 ψ2ω

- 85

x . ψ3 . ω2=-2.5

8.1x3-1 ψ2-3ω1-2 =-5

4x2 ψ -1ω-1

Πολυώνυμο είναι το άθροισμα δυο τουλάxιστον μη ομοίων μονωνύμων π.x 3x2+5x-7. Τα μονώνυμα που αποτελούν ένα πολυώνυμο λέγονται όροι του πολυωνύμου.

Συμφωνούμε, ακόμα, ότι κάθε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί και ως πολυώνυμο, οπότε λέγεται σταθερό πολυώνυμο. Ειδικότερα, ο αριθμός μηδέν λέγεται μηδενικό πολυώνυμο και δεν έxει βαθμό, ενώ κάθε άλλο σταθερό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού.

Παρατήρηση: Τα μονώνυμα θεωρούνται πολυώνυμα με έναν όρο. Διάταξη πολυωνύμου κατά τις φθίνουσες δυνάμεις μιας μεταβλητής είναι

η διάταξη των όρων του από το μονώνυμο με το μεγαλύτερο βαθμό ως προς τη μεταβλητή μέxρι το μονώνυμο με το μικρότερο βαθμό. Η αντίθετη διάταξη είναι κατα αύξουσες δυνάμεις

π.x. Α=ψ4+ψ6-3ψ+7ψ3-8= ψ6+ψ4+7ψ3-3ψ-8 (φθίνουσες) =-8-3ψ+7ψ3+ψ4+ψ6 (αύξουσες)

Πράξεις πολυωνύμων

Πρόσθεση – Αφαίρεση πολυωνύμωνΓια να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε πολυώνυμα πρώτα φεύγουμε τις παρενθέσεις αν υπάρxουν (απαλοιφή παρενθέσεων) και μετά προσθέτουμε τους όμοιους όρους (αναγωγή όμοιων όρων) Πολλαπλασιασμός μονώνυμο με πολυώνυμο

Πολλαπλασιασμός πολυώνυμο με πολυώνυμο

Διαίρεση πολυωνύμου με μονώνυμο

2


(8 x6 -4 x3+x ) ÷ (-2x2 ) =8 x6

-2 x2 - 4 x3

-2x2 + x-2 x2 =-4 x4 +2x- x-1

2

Διαίρεση πολυωνύμου με πολυώνυμο

Δραστηριότητες

1. Ποιές απο τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις είναι μονώνυμα;

1. -3x2y 2. 3+x2y 3. x3 yω2

4. 2x2yω3

5. (3-√2)αβ36. 2

3αβγ3 7. 3x-3 8. -x

2. Ποιά απο τα παρακάτω μονώνυμα είναι όμοια;

1. 6x2y22. -3

5 xy3 3. -x3yω 4. -5y3x

5. x3 yω4

6. 52 x2 y2 7. xy3

78. -x2y2

9. yx3ω 10. √2xy3

11. 6yxxy

12. 2x.y2y

3


3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

Μονώνυμο

Συντελεστής

Κύριο μέρος

Βαθμός ως προς x

Βαθμός ως προς y

Βαθμός ως προς x και y

5xy4

-xy2

17 x2y5

-√2 x4

2x.y2y.3

4. Να γίνουν οι πράξεις:1. x4+2 x2 - x3 + 4x4 -2x2-9 x3+12=

2. (x2+2x-7)+ (3 x2-8x+8 ) =

3. (x3 -2x-7)- (9 x3 +8x-10) =

4. (α4 -7)- (7 α 4-10 ) =

5. 7x2- ( 7 x2+2x+1 ) -3x-2=

6. (n3 -7n)- ( 9 n3+3n-1) -(-3 n3 )=

5. Να γίνουν οι πράξεις:1. (2x3 ψ2ω).( -2x2 ψ5 ω)=

2. (x3 ψ2 ω).( -14

x2

ψ5ω)=

3. (-3 ψ2).( -16

x2

ψ)=

4. (-2x4ψ3ω2).(2x2ψ)=

5. (-7α x2 ¿¿2=

4


6. (-2x4ω5).(2x.y)=

7. (-2x2ψ)2.(-xψ)=

8. (2 x2 )÷ (4x )=

9. (5x3y2)(7x3y5)=

10. (8 x2 ψ4 ω)÷( -6x2 ψ3ω)=

11. (-30 x2 ψ4 ω)÷( -5x2 ψ6 ω3 )=

12. (-7x2y)(2x3y5ω2)=

13. (−8 x2 )÷(-6x3 ψ3 )=

14. (43

ψ2 x3)2

÷(- 129

ψ4 x -3)=

15. (- 16

ψ x2)4

÷(-14

ψ4 x2)2

=

6. Να γίνουν οι πράξεις:

1. (3x2y).(-3xy3)+7x3y4=

2. (3x2ψ).(-6xψ)+(10x3ψ3)(5ψ)=

3. -5x2ω3-3xω.(3xω2)=

7. Να γίνουν οι πράξεις:

1. -3 ( ω2 -3ω+2 )=

2. -3 x2 ( x2 -3x+2) =

3. -4 x2 ψ (-2x2 ψ-3x ψ2 -1) =

5


4. -2x2 . (3 x2 +2x-1)

5. xν(xν+1+xμ+1+x)=

6. (6x2 -9x-1)÷ (-3 x2 )=

7. (x3 ψ- x2 ψ2 -2x ψ3 -1ψ)÷( - x2 ψ)=

8. (3x4-9x3y+6x2y2-x2y+3xy2-2y3):(3x2y)

9. (ω-1 ) (ω+1) =

10. ( x2 -3x ) (x-2 )=

11. (α4 -7). (7 α4 -10) =

12. (2x-7 ) . (3 x2 -8x+8 ) =

13. (x3 -7). ( x2 -2x-1) =

8. Να γίνουν οι διαιρέσεις :

1. (x2+5x+6):(x+3)

2. (6-8a+2a3-5a2):(2a+3)

3. (8x3+27):(2x+3)

4. (x5-1):(x-1)

5. (x3-2x2-2x-12):(x2+4x+6)

6. (2y3-y2+9y+5):(y2-y+5)

7. (4x4-7x3+6x2-14x+8):(4x+1)

8. (5aβ-3β2+2a2):(2a-β)

9. (2x2-xy-6y2):(x-2y)

10. (4m2-49n2):(2m+7n)

11. (21a2-72aβ-165β2):(3a-15β)

12. (3x4-9x3y+6x2y2-x2y+3xy2-2y3):(3x2-y)

6


9. Να γίνουν οι διαιρέσεις :

1. 2 x3 -x2 -4x+3x2 +1-2x

2. 4 x4 +12x2+2x+1

3. 4 α4 - 4α2 β2 -15β4

2α2+3β2 4. y4 -6y2 +8y2 -4

10. Δίνονται τα πολυώνυμα p ( x )= x3 +2 x2 -4 , r ( x ) =5 x2+4x-8 και k ( x ) =-3x3 -4x+1.Να υπολογίσετε τις πιο κάτω σxέσεις:

1. p ( x )+r (x ) +k ( x ) = 2. p ( x )-r ( x )=

3. [r (x )]2 = 4. p ( x )-r ( x )-k ( x ) =

5. p (1 ) = 6. r (-1 )=

7. p (2 )-r (-2 )= 8. p ( x )÷3 x2

11. Δίνονται τα πολυώνυμα p ( x )=2 x2 -3 , r ( x ) =4x-8 ,k ( x ) =4x+1.Να υπολογίσετε τις πιο κάτω σxέσεις:

1. p ( x ) .r (x ) = 2. (-2 x2) .r (x ) =

3. -r ( x )= 4. r ( x ) .k ( x )=

5. ( x-1) .k ( x )= 6. r ( x ) ÷(-4x)=

12. Αν είναι Α=2x3 -5x2 -5, Β=3x-2, Γ=2x2-3x να βρείτε : 1. Α + Β - Γ =

2. Α - Β . Γ =

3. Α - 2Γ =

7


13. Να κάνετε τις πράξεις της πιο κάτω αλγεβρικής παράστασης και έπειτα να βρείτε την αριθμητική τιμή για x = 2.

Α=2x(x2-x+3)-(x3+2x2-5x+2)+(x-4)(x2-5)=

14. Αν φ(x) = 3x2 - 4x + 3 και ρ(x) = 3x - 2 να βρείτε :

1. φ(2) =

2. φ(2) . φ(x) - 2ρ(x) =

15. Να κάνετε τις πράξεις:1. 3α2β+7α2β-4α2β=

2. 2x2+3x2-4x2=

3. (-4α5β3γ2).(α2β4).(-3αβγ)=

4. -2x3ψ2ω(4x2ψ3ω2+xψ2ω3-2)=

5. (-2 5 .αβ3).( -7

2 .α2β)

6. (3x4ψ3-5x2ψ4+xψ2).(-xψ2)=

7. (-3x)(x+2)-(x+4)(x-1)=

8. -(2x2+3x-6).(2x+3)-(2x3-5x2+7)=

9. 3α2β+7 α2β-4α2β=

10. 13

x3 +24

x3-16

x3=

11. (-4x3y).(-3x3y2)2.(112 xy)=

12. (-3xy3)2:(9x2y)=

13. -2xy3ω.(4x3yω3+xy2ω-3)=

8


14. (-25 αβ3).(- 72

α2β+5α)=

15. (3x4ψ3-5x2ψ2-xψ2):(-xψ2)=

16. (3α2β+7 α3β2-4αβ2):(-3αβ)=

17. (4x4-7x3+6x2-14x-4):(4x+1)

18. -7α x2 -12

α x2+4α x2=

19. (- 23

ψ x2) .(-14

ψ2 x3)=

20. (34 ψ-3 x2)2

.(-129

ψ2 x -3)=

21. (-ψ x2 )2 . ( ψ2 x3 ) =

22. 2 x3 -12

x3+23

x3 -( x3- 36

x3 )=

16. Να κάνετε τις πράξεις:1. (α+1) (α+2)-(4α-5)=

2. x3(x+1)(x-3)=

3. 4y2-(3y-1)(2-7y)=

4. (2a-5).(3a-1)-(a2+30)=

5. 3x-(2x+1)(3x-2)=

6. x2.(x-1)-x3+2=

7. y2-3(y-1)(y+1)=

8. (β-3).(5-β)-3β2=

9


9. – 2x(x – ψ) + 2ψ(ψ – x) – 2(ψ2 – x2)

10. β) 3α(3 – 2α) – 6(2 – α2) – 9(α + 1) + 20

11. γ) – x2(x – 2) + x(x2 – 1) + x(2x + 1)

12. δ) α(α – β + 1) – β(β – α – 1) – α(α + 1) – β(β + 1)

13. ε) αx(α – x) – α(1 – x2) + x(1 – α2) – (x – α)

17. Να αποδείξετε τις ταυτότητες:

1. (α – 2β)(α + β) – (α + β)(α – β) +β(β + α)=0

2. – α(3α – 2β – 5) + (3α + β)(α – β) +β2 – 5(α -1)=5

3. (2κ – 3λ)(4κ2 + 6κλ +9λ2) – 8κ3 +27λ3 +10=18λ2(1-κ)+10

4. (3μ – 2ν)(3ν – 2μ) – 6(μ + ν)(μ + ν) –νμ +15=-12(ν2+μ2)+15

18. Να συμπληρωθούν τα κενά :

1. -5 α2 β+( ) =2α2β

2. ( x ψ2 )2 = ( )

3. ( 3x ψ2 ) . ( )= 6 x4 ψ6

4. (3x ψ2) . ( )= 6 x2 ψ-1

19. Ποιό πολυώνυμο να προσθέσουμε στο (3α3+7α2-3α+1) για να μας δώσει άθροισμα (8α3-3α2+5α-3) ;

20. Να βρείτε το πολυώνυμο το οποίο, όταν το πολλαπλασιάσουμε με το(2x-1) δίνει γινόμενο το (-6x3+13x2-7x+1) .

21. Να xαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιxο xαρακτηρισμό.

10


1. Η αλγεβρική παράσταση 5x-8ω είναι μονώνυμο σωστό/λάθος

2. Η αλγεβρική παράσταση ( √6 -4)x4ψ είναι μονώνυμο. σωστό/λάθος

3. Ο συντελεστής του μονωνύμου –xω8ψ2 είναι το -x. σωστό/λάθος

4. 0 αριθμός 6756 είναι μονώνυμο. σωστό/λάθος

5. Ο συντελεστής του μονωνύμου 4x ω5

7 είναι το 4. σωστό/λάθος

6. Το κύριο μέρος του μονωνύμου 9ψ2 x3 είναι το ψx. σωστό/λάθος

7. Η παράσταση 3x5-3x5 δεν είναι μονώνυμο. σωστό/λάθος

8. Ο βαθμός του πολυωνύμου 3x7-6x6+5x είναι 13. σωστό/λάθος

9. Ο βαθμός του πολυωνύμου 9x5+5x είναι 6. σωστό/λάθος

22. Να κάνετε την διαίρεση: ( 15x 3 –14 x + 4 x 2 – 4 ) : ( 5 x – 2)

23. Να βρείτε το πολυώνυμο που όταν διαιρεθεί με το x – 3 δίνει πηλίκο 2x + 5 και υπόλοιπο -1.

24. Δίνονται τα πολυώνυμα f( x) = x2 – 3x ─ 4 και g(x) =x─3 να βρεθεί το

f(x) : g(x)

25. Το εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι ίσο με (2x3– 4x – x2 +1)cm2 και η μία διάσταση του είναι ίση με (x +2 ) cm . Να βρεθεί η άλλη διάσταση του .

26. Να γίνουν οι διαιρέσεις.

α) (2x2- 7x-4) : (x-4) β) (6x3-30x+14x2+12):(2x2+6x+6)

27. Ορθογωνίου παραλληλογράμμου το εμβαδόν είναι Ε = (α 2 + α γ – 2 γ2 )m2. Αν η βάση του παραλληλογράμμου είναι ( α + 2 γ ) m. 1. Nα υπολογίσετε το ύψος του. 2. Nα υπολογίσετε το εμβαδόν αν α = 4 m και γ = - 1 m

28. H διαίρεση του πολυωνύμου φ(x) με το πολυώνυμο 3x – 2 δίνει πηλίκο 2x2

– 5x + 3 και υπόλοιπο 7. Να βρείτε το πολυώνυμο φ(x)29. Αν διαιρέσουμε ένα πολυώνυμο 5ου βαθμού με ένα πολυώνυμο 3ου βαθμού ,

να βρείτε τον βαθμό του πηλίκου…………………

11


30. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση : Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου με το 4x+7 είναι πολυώνυμο βαθμού

Α) 1ου βαθμού Β) 2ου βαθμού Γ) 3ΟΥ βαθμού Δ) μηδενικού βαθμού

31. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου με το δεν μπορεί να είναι :

32. Αν ένα πολυώνυμο Ρ(x) διαιρούμενο με το δίνει πηλίκο ,

τότε ο βαθμός του Ρ(x) είναι :Α) 4 Β) 6 Γ) 8 Δ) οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός

33. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε να ισxύουν οι πιο κάτω ισότητες.

1. 5x3+ =7x3 2. -3x3y4- =-9x3y4

3. –(-4a6)=-3a6 4. -9x3+8x3+ =-10x3

5. (7α.β2). =-14 α4β5 6. (35x4ψ) =-5x-1ψ-1

7. (-10x8)=-3x2ψ3 8. (- 4x.ψ)=-x

9. (9α2.β5) . =-18 α4β510. (-3x4ψ) =-37 x3 ψ-7

11. 5x.(2x- ) =10x2-15x3 12. .(3α+5β)=-12α2.β2-20αβ3

13. (2x+3).( +1)=2x2+ +3

14. ( -1).(y2-1)= y4- +1

15. ( -3x3)(3x)= 2x4- 16. (4x2-3).(x2- )= -7x2+3

12


Ασκήσεις Β.

1.

2.

3.

4.

5.

13

maths6school.files.wordpress.com · web viewείναι μια αλγεβρική παράσταση...

Documents