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Colegio técnico de San Sebastián Especialidad de electrónica IndustrialGuía de Autoaprendizaje asistidaMapas de Karnaugh de tres y cuatro variables Profesor Juan Ernesto Arias tenorio.

Los mapas de Karnaugh constituyen un método sencillo y apropiado para la minimización de funciones lógicas. El tamaño del mapa depende del número de variables, y el método de minimización es efectivo para expresiones de hasta 6 variables.

Representación de funciones con mapas de Karnaugh

Un mapa de Karnaugh es una representación gráfica de una tabla de verdad, y por lo tanto existe una asociación unívoca entre ambas. La tabla de verdad tiene una fila por cada mintérmino, mientras que el mapa de Karnaugh tiene una celda por cada mintérmino. De manera análoga, también existe una correspondencia unívoca entre las filas de la tabla de verdad y las celdas del mapa de Karnaugh si se utilizan maxtérminos.

El proceso de minimización usando como herramienta los mapas de Karnaugh se basa en la forma en cómo se acomodan las celdas del mapa que representan cada una un mintérmino

Al igual que en una tabla de verdad, en la que colocamos 1 o 0 en el valor de la función correspondiente a una de las 2n combinaciones, así hacemos en un mapa de Karnaugh, colocando un 1 en la celda correspondiente a la combinación para la cual la función vale 1 y dejando en blanco las celdas correspondientes a la combinación para la cual la función vale 0.

Para entender cómo se representa un mapa de Karnaugh, supongamos que K sea el conjunto de los ceros y unos de una función y su representación sea un rectángulo o un cuadrado, Como se muestra en la figura.

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Una variable A podrá asumir sólo dos valores de verdad: 0 o 1, por lo que podemos dividir K en dos porciones: una donde A vale cero (A no existe), otra donde A vale uno (A existe).

Colocamos la A, a un lado del rectángulo para definir a cuál variable corresponde la distribución de K. Observe que el contrario de A (A negado) existe donde A no existe y viceversa; en esta forma podemos añadir al mapa de A dos letras indicando el lugar en donde son válidas A y A negado.

Ordinariamente solo se coloca la variable A y el 0 y 1 para indicar las áreas de existencia de A y A negado. Si deseamos representar en el mapa una función dependiente de A, solo necesitaremos indicar en que parte se encuentra. Sea por ejemplo f = A: f existe en el área en que A existe (f = 1 si A = 1). Podemos entonces señalar el área de A como la región de existencia de f. Esto lo hacemos colocando un 1 donde f = 1.

Si la función fuera g = A negado, colocaríamos un 1 en el área donde A es igual a cero como se muestra en la figura.



Consideremos ahora dos variables A y B que deben tener una representación en K. Cuatro son las formas posibles de combinar A y B: A=0 y B=0, A=0 y B=1, A=1 y B=0, A=1 y B=1.

Observe que podemos completar el mapa para dar seguimiento al acomodo de los estados que puede tomar cada una de las variables y además podemos indicar su equivalente en decimal para una mejor guía.

En resumen, el mapa de dos variables nos quedaría de la siguiente forma.



Sea f una función de 3 variables (A, B, C). Para elaborar el mapa de Karnaugh tendremos 23 = 8 combinaciones. Al igual que antes cada casilla del mapa corresponde a un mintémino de la tabla de verdad. Es importante colocar las variables en el orden indicado de más significativo a menos significativo (A, B, C), de otra forma el valor decimal de la casilla sería diferente.

Repitiendo el procedimiento anterior, pero esta vez para tres variables obtenemos la distribución que se muestra en la figura.



Resumen de todos los posibles grupos que se pueden hacer en un mapa de 3 variables. Recuerden que puede existir un grupo de un elemento, que un elemento puede estar en varios grupos, que la cantidad de elementos por grupo debe ser múltiplo de dos ósea 1, 2, 4, 8, 16,32, que deben de tratar de hacer la menor cantidad de grupos posible y meter en estos la mayor cantidad posible de elementos, que cuando un grupo se encuentra en la zona de acción de la variable y de su correspondiente complemento no aporta a la ecuación de salida. (revisar la información dad en clase con respecto a este tema).



Guía para desarrollar prácticas de simplificación con ayuda de mapas de Karnaugh de tres variables.

Mapas de Karnaugh de 4 variables.



Al igual que en el caso anterior para un mapa de 4 variables solo debemos ampliar el mapa y seguir el mismo procedimiento para realizar los grupos y la simplificación.

Resumen de pasos

Formaremos grupos de "unos" que estén en casillas adyacentes (en horizontal y en vertical NO en diagonal).

Los grupos pueden ser de: uno, dos, cuatro, ocho y dieciséis unos.

Muy importante: debemos hacer los grupos lo más grandes posible y el menor número de grupos.

La forma del mapa se muestra en las siguientes imágenes.

Con el propósito de facilitar el uso de esta imagen, se tomará como la negación de la variable el símbolo de la comilla.



Ejemplos de grupos que se pueden realizar en mapas K de 4 variables.



Guía para desarrollar prácticas de simplificación con ayuda de mapas de Karnaugh de cuatro variables.



Con el propósito de reforzar este tema observe los siguientes ejemplos

Ejemplo # 1. Observe la imagen que se muestra a continuación, en ella encontrara una tabla de verdad y un mapa de tres variables. Realice los grupos pertinentes para simplificar el circuito, indique la ecuación de salida para S y dibuje el circuito correspondiente.



Observe que el las posiciones 0.1,4,5 y 7 hay un uno en la salida “S”.

Se puede observar la construcción de un grupo de color rojo, este grupo esta formado por cuatro elementos y son adyacentes por el vértice. El segundo grupo

es de color verde y esta formado por dos elementos.

Analizando los grupos tenemos que el grupo rojo se encuentra en la zona de acción de la variable A pero también esta en la zona de acción de la variable A negado, por lo que dicha variable se elimina de la ecuación de salida. También este grupo se encuentra en las zonas de acción de la variable C y C negado por lo que se elimina, por ultimo el grupo se encuentra en la zona de acción de la variable B negado, de esta forma este grupo aporta a la ecuación de salida dicha variable.

El grupo de color verde se encuentra en la zona de acción de la variable A, también se encuentra en la zona de acción de la variable C y en la zona de acción de las variables B y B negado por lo que esta última se elimina.

Recuerde que para unir los grupos se usa una suma lógica dando como resultado para S la siguiente ecuación.



Diagrama del circuito solicitado en el ejemplo número 1.

Ejemplo # 2. Observe la imagen que se muestra a continuación, en ella encontrara una tabla de verdad y un mapa de cuatro variables. Realice los grupos pertinentes para simplificar el circuito, indique la ecuación de salida para S y dibuje el circuito correspondiente.



El grupo rojo esta formado por 8 elementos. En la imagen podemos observar que el grupo esta en la zona de acción de la variable A y de A negado por lo que no se incluye, también esta en la zona de acción de D y D negado, eso implica que esta variable no se incluye en este grupo. También se encuentra en la zona de acción de C y C negado. Por último, este grupo pertenece a la zona de acción de la variable B negado, siendo esta variable la única que aporta a la ecuación de salida “S”.

El grupo verde se encuentra en A y A negado por lo que se elimina de este grupo, se encuentra en B y B negado eliminándose también esta variable, se encuentra en C y en D, siendo estas variables las que se incorporan a la ecuación de salida “S”.

Diagrama del circuito solicitado en el ejemplo número 2.

Ejercicio # 1.

Tenemos una tabla de verdad con cuatro variables y que afecta al mismo tiempo a 7 salidas como se muestra en la figura. Simplifique cada salida con ayuda de mapas de Karnaugh,



además obtenga la ecuación de salida para cada una de ellas y dibuje el circuito correspondiente para cada salida.

Observe que a partir del número 10 tocas las salidas se encuentra en una “X”. este término se conoce popularmente como un NO IMPORTA, esto es debido a que se puede tomar como un 1 o un 0 dependiendo de lo que mas convenga a la hora de realizar los grupos.

Recuerde que la idea es agrupar la mayor cantidad de elementos posibles siempre y cuando se haga respetando que el numero de elementos del grupo sea con

base 2 (1,2,4,8,16).

Es aquí donde los NO IMPORTAN ayudan para poder realizar los grupos con la mayor cantidad de elementos posibles, pues se les puede dar el valor de 1 cuando sea conveniente para aumentar la cantidad de individuos que formen un grupo y de esta manera lograr una mayor simplificación.


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