คลื่นเคลื่อนที่

1. ที่เวลา t = 0 คลื่นดลลูกหนึ่งมีรูปร่างดังนี้

y =6

x2 + 3(1)

โดยทั้ง x และ y วัดระยะทางเป็นเมตร จงเขียนฟังก์ชันคลื่น y(x, t) ซึ่งอธิบายคลื่นดลลูกดังกล่าวที่วิ่งไปในแนว +x ด้วยอัตราเร็ว 4.50 เมตร/วินาที

2. คลื่นเคลื่อนที่ชนิดหนึ่งมีรูปร่างเป็น y = A sin(ax −bt) โดยที่ A = 4 m−1 ส่วน b = 0.5 s−1 จงวาดกราฟความสัมพันธ์ระหว่าง การกระจัด (ความสูงของเชือก)และเวลา ที่ตำแหน่ง x = 0.1 m และ x = 0.5 m

3. คลื่นลูกหนึ่งมีรูปร่างดังนี้ (โดยเวลาและตำแหน่งบันทึกค่าในหน่วยของ SI)

y(x, t) = (0.350 m) sin[10πt− 3πx +

π

4

](2)

(ก) อัตราเร็วและทิศของการเคลื่อนที่ เป็นอย่างไร (ข)ความสูงของเชือกที่เวลา t = 0 และ x = 0.100 mเป็นเท่าไร (ค) ความยาวคลื่นและความถี่มีค่าเท่าไร (ง)อัตราเร็วสูงสุดที่เนื้อเชือกเคลื่อนที่มีค่าเท่าไร

4. (ก) จงเขียนรูปร่างของคลื่นรูปไซน์ y(x, t) ซึ่งเคลื่อนที่ไปตามแนวเชือกในทิศ −x โดยมี A = 8.00 cm, λ =80.0 cm, f = 3.00 Hz โดยกำหนดให้ y(0, t) = 0 ที่เวลา t = 0 (ข) จงเขียนรูปร่างของคลื่นลูกดังกล่าวหากy(x, 0) = 0 ที่ตำแหน่ง x = 10.0 cm

5. นักบินอวกาศบนดวงจันทร์ต้องการทดลองหาค่าอัตราเร่ง เนื่องจาก แรง โน้มถ่วง บน ดวงจันทร์ โดย ทำ การ วัดอัตราเร็วของลูกคลื่นที่วิ่งไปตามสายไฟที่ขึงตึงโดยการถ่วงด้วยมวล กำหนดให้สายไฟมีมวล 4.00 g และมีความยาว 1.60 m และมวลถ่วงมีขนาด 3.00 kg ปรากฏว่าคลื่นใช้เวลา 36.1 ms ในการเคลื่อนที่ตลอดแนวความยาวเชือก จงคำนวณหา gmoon จากข้อมูลข้างต้น (ไม่จำเป็นต้องคิดมวลของสายไฟในการคำนวณค่าแรงตึงภายในตัวสายไฟ)

6. สายไฟซึ่งความหนาแน่น ρ โดนบี้จนทำให้มีค่าพื้นที่หน้าตัดเปลี่ยนแปลงตลอดระยะ x ซึ่งเป็นไปตามสมการ

A = (1.0× 10−3 x + 0.010) cm2 (3)

(ก) จงหาแรงตึงเชือก T เพื่อใช้ในการหาความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วของคลื่นกับระยะทาง (ข) หากเชือกถูกขึงด้วยความตึงขนาด 24.0 N จงคำนวณหาอัตราเร็วของคลื่นที่ x = 0 และ x = 10.0 m

7. คลื่น บนผิวน้ำ กระจาย ตัว ออก ไป เป็น วง กลม โดยรอบจงแสดง ให้ เห็น ว่า ขนาดของแอมปลิจูด A แปรผันกับ 1/

√r (พิจารณาพลังงานของคลื่นแต่ละระลอกที่

เคลื่อนที่ออกไปจากจุดศูนย์กลาง)

8. พิจารณาคลื่นตามสมการที่ (2) ข้างต้น (ก) อัตราการส่งผ่านพลังงานโดยเฉลี่ยตามแนวเชือกมีค่าเท่าไรหากค่ามวลต่อหนึ่งหน่วยความยาวของเชือกมีค่าเป็น µ =75.0 g/m (ข) พลังงานที่เก็บอยู่ต่อรอบคลื่นเป็นเท่าไร

9. เชือกเส้นหนึ่งมีความยาว L และมวล m ห้อยลงมาจากเพดานโดยมีมวลขนาด M ถ่วงอยู่ด้านล่าง (ก) จงแสดงว่าเวลาที่คลื่นใช้ในการเคลื่อนที่ตลอดช่วงของเชือกเป็น

∆t = 2

√L

mg

(√M + m−

√M

)(4)

∆t จะมีค่าประมาณเท่าไรหาก (ข) มวลของเชือกมีค่าน้อยกว่ามวลถ่วงมาก ๆ (m � M ) (ค) มวลถ่วงมีค่าเป็นศูนย์ (M = 0)

การซ้อนทับและแทรกสอดของคลื่น

1. คลื่นสองขบวน A และ B เคลื่อนที่ในทิศตรงข้ามกันด้วยอัตราเร็ว 2.00 m/s ความสูงของคลื่น A เป็นสองเท่าของ B รูปที่ 1 แสดงตำแหน่งและรูปร่างของคลื่นที่ เวลา t = 0 จงวาดภาพของคลื่นที่ เวลา t =1, 1.5, 2, 2.5 และ 3 วินาทีตามลำดับ

570 C H A P T E R 18 • Superposition and Standing Waves

corresponding to destructive interference. This suggeststhat energy is somehow lost. What happens to the energytransmitted by the speaker?

When two waves interfere constructively or destructively, isthere any gain or loss in energy? Explain.

7. A standing wave is set up on a string, as shown in Figure18.10. Explain why no energy is transmitted along thestring.

8. What limits the amplitude of motion of a real vibratingsystem that is driven at one of its resonant frequencies?

9. Explain why your voice seems to sound better than usualwhen you sing in the shower.

10. What is the purpose of the slide on a trombone or of thevalves on a trumpet?

11. Explain why all harmonics are present in an organ pipeopen at both ends, but only odd harmonics are present ina pipe closed at one end.

12. Explain how a musical instrument such as a piano may betuned by using the phenomenon of beats.

13. To keep animals away from their cars, some people mountshort, thin pipes on the fenders. The pipes give out a high-pitched wail when the cars are moving. How do they createthe sound?

14. When a bell is rung, standing waves are set up around thebell’s circumference. What boundary conditions mustbe satisfied by the resonant wavelengths? How does a crackin the bell, such as in the Liberty Bell, affect the satisfyingof the boundary conditions and the sound emanatingfrom the bell?

15. An archer shoots an arrow from a bow. Does the string of thebow exhibit standing waves after the arrow leaves? If so, andif the bow is perfectly symmetric so that the arrow leavesfrom the center of the string, what harmonics are excited?

6.

16. Despite a reasonably steady hand, a person often spills hiscoffee when carrying it to his seat. Discuss resonance as apossible cause of this difficulty, and devise a means for solv-ing the problem.

An airplane mechanic notices that the sound from a twin-engine aircraft rapidly varies in loudness when both en-gines are running. What could be causing this variationfrom loud to soft?

18. When the base of a vibrating tuning fork is placed againsta chalkboard, the sound that it emits becomes louder. Thisis because the vibrations of the tuning fork are transmittedto the chalkboard. Because it has a larger area than thetuning fork, the vibrating chalkboard sets more air into vi-bration. Thus, the chalkboard is a better radiator of soundthan the tuning fork. How does this affect the length oftime during which the fork vibrates? Does this agree withthe principle of conservation of energy?

19. If you wet your finger and lightly run it around the rim ofa fine wineglass, a high-frequency sound is heard. Why?How could you produce various musical notes with a set ofwineglasses, each of which contains a different amount ofwater?

20. If you inhale helium from a balloon and do your best tospeak normally, your voice will have a comical quacky qual-ity. Explain why this “Donald Duck effect” happens. Cau-tion : Helium is an asphyxiating gas and asphyxiation cancause panic. Helium can contain poisonous contaminants.

21. You have a standard tuning fork whose frequency is 262 Hzand a second tuning fork with an unknown frequency.When you tap both of them on the heel of one of yoursneakers, you hear beats with a frequency of 4 per second.Thoughtfully chewing your gum, you wonder whether theunknown frequency is 258 Hz or 266 Hz. How can youdecide?

17.

Section 18.1 Superposition and Interference

1. Two waves in one string are described by the wave functions

y1 ! 3.0 cos(4.0x " 1.6t)

and

y2 ! 4.0 sin(5.0x " 2.0t)

where y and x are in centimeters and t is in seconds. Find thesuperposition of the waves y1 # y2 at the points (a) x ! 1.00,t ! 1.00, (b) x ! 1.00, t ! 0.500, and (c) x ! 0.500, t ! 0.(Remember that the arguments of the trigonometric func-tions are in radians.)

2. Two pulses A and B are moving in opposite directionsalong a taut string with a speed of 2.00 cm/s. The ampli-

tude of A is twice the amplitude of B. The pulses areshown in Figure P18.2 at t ! 0. Sketch the shape of thestring at t ! 1, 1.5, 2, 2.5, and 3 s.

1, 2, 3 ! straightforward, intermediate, challenging ! full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

! coached solution with hints available at http://www.pse6.com ! computer useful in solving problem

! paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

4

y(cm)

2.00 cm/s

–2.00 cm/s

x(cm)

2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

AB

Figure P18.2

รูปที่ 1: การซ้อนทับของคลื่น

1

2. คลื่นสองขบวนมีรูปร่างอธิบายได้โดย

y1 =5

(3x− 4t)2 + 2, y2 =

−5(3x + 4t− 6)2 + 2

(ก) คลื่นแต่ละขบวนเคลื่อนที่ ในทิศทางใด (ข) คลื่นหักล้าง กัน พอดี ที่ เวลา เท่าไร (ค) คลื่น หักล้าง กันตลอดเวลาที่ตำแหน่งใด

คลื่นน่ิง

1. สายกีตาร์ยาว 54 เซนติเมตรสามารถบรรจุคลื่นนิ่งที่มีความยาวคลื่นมากที่สุดได้เท่าไรบ้าง จงวาดรูปคลื่นนิ่งประกอบด้วย

2. เชือกเส้นหนึ่งถูกขึงตรึงที่จุดปลายสองจุด ณ ตำแหน่งx = ±80 cm และสั่นด้วยความถี่มูลฐาน (ไม่มีโหนดยกเว้นที่บริเวณปลายเชือกทั้งสอง) คาบของการสั่นเป็น10 วินาที และความสูงของเชือกที่ตำแหน่ง x = 0 ที่เวลา t = 0 เป็น 4 cm แต่ที่เวลา t = 2 วินาทีเป็น6 cm ที่ตำแหน่งเดียวกัน จงเขียนความสูง y(x, t) ของเชือกที่ตำแหน่งและเวลาใด ๆ

3. เชือก เส้นหนึ่ง ถูกตรึงที่ สองปลายกำลังสั่น ในรูปของคลื่นนิ่งที่มีจำนวนลูป (loop) อยู่ 5 ก้อน ความถี่ของการสั่นเป็น 120 Hz จงหา (ก) ความถี่มูลฐานของเชือก(ข) หากแรงตึงเชือกมีค่าลดลง 9 เท่า ความถี่มูลฐานค่าใหม่จะเป็นเท่าไร

4. คลื่นรูปไซน์สองขบวนแทรกสอดกันจนเกิดคลื่นนิ่งซึ่งมีรูปร่างดังนี้

y = (1.50 m) sin(0.400x) cos(200t) (5)

โดยทั้ง x และ t วัดค่าในหน่วย SI จงหาค่าของความยาวคลื่น, ความถี่, อัตราเร็ว และรูปร่างของคลื่นทั้งสองขบวน

5. สายไวโอลินมีความยาว 0.350 m และได้รับการปรับให้สายเปล่าอยู่ที่เสียงโซของโน้ตโดยที่ fโซ = 392 Hz (ก)นักไวโอลินจะต้องกดสายที่ตำแหน่งใดหากต้องการเล่นโน้ตตัวลา (fลา = 440 Hz) (ข) หากค่าดังกล่าวถูกต้องถึงความละเอียด เท่า ขนาดของนิ้วที่ กด (คือประมาณ0.600 cm) ค่าความตึง เชือกสามารถเปลี่ยนแปลงได้สูงสุดกี่เปอร์เซนต์จากค่าเดิม

เสียง (ให้อัตราเร็วเสียงเป็น v = 340 m/s)

1. หากประมาณว่าหูของเราเป็นเหมือนท่อปลายเปิดด้านหนึ่ง ซึ่ง มี ความยาวจากรูหู จนถึงกระดูกหู ด้าน ใน จงคำนวณค่าความถี่มูลฐานที่หูจะได้ยินอย่างชัดเจนที่สุดและอธิบายว่าเหตุใดเราสามารถได้ยินเสียงในย่านความถี่นี้อย่างชัดเจนถึงแม้ว่าจะเบา

2. น้ำถูกสูบเข้ามายังท่อด้วยอัตรา (ปริมาตรต่อเวลา) R

หากรัศมีของท่อเป็น r และที่ปลายด้านบนมีส้อมเสียงความถี่ f ช่วงเวลา ∆t ที่เสียงเกิดการสั่นพ้องมีค่าเท่าใด

574 C H A P T E R 18 • Superposition and Standing Waves

proposition that the tide is amplified by standing-wave reso-nance. Assume the bay has a length of 210 km and a uni-form depth of 36.1 m. The speed of long-wavelength waterwaves is given by , where d is the water’s depth.

35. Standing-wave vibrations are set up in a crystal goblet withfour nodes and four antinodes equally spaced around the20.0-cm circumference of its rim. If transverse waves movearound the glass at 900 m/s, an opera singer would haveto produce a high harmonic with what frequency to shat-ter the glass with a resonant vibration?

Section 18.5 Standing Waves in Air Columns

!gd

cylinder is r, and at the open top of the cylinder a tuningfork is vibrating with a frequency f. As the water rises, howmuch time elapses between successive resonances?

Note : Unless otherwise specified, assume that the speed ofsound in air is 343 m/s at 20°C, and is described by

at any Celsius temperature TC.

v ! (331 m/s) !1 "TC

273#

36. The overall length of a piccolo is 32.0 cm. The resonatingair column vibrates as in a pipe open at both ends.(a) Find the frequency of the lowest note that a piccolocan play, assuming that the speed of sound in air is340 m/s. (b) Opening holes in the side effectively shortensthe length of the resonant column. If the highest note apiccolo can sound is 4 000 Hz, find the distance betweenadjacent antinodes for this mode of vibration.

Calculate the length of a pipe that has a fundamental fre-quency of 240 Hz if the pipe is (a) closed at one end and(b) open at both ends.

38. The fundamental frequency of an open organ pipe corre-sponds to middle C (261.6 Hz on the chromatic musicalscale). The third resonance of a closed organ pipe has thesame frequency. What are the lengths of the two pipes?

39. The windpipe of one typical whooping crane is 5.00 ftlong. What is the fundamental resonant frequency of thebird’s trachea, modeled as a narrow pipe closed at oneend? Assume a temperature of 37°C.

40. Do not stick anything into your ear! Estimate the length ofyour ear canal, from its opening at the external ear to theeardrum. If you regard the canal as a narrow tube that isopen at one end and closed at the other, at approximatelywhat fundamental frequency would you expect your hear-ing to be most sensitive? Explain why you can hear espe-cially soft sounds just around this frequency.

A shower stall measures 86.0 cm $ 86.0 cm $ 210 cm.If you were singing in this shower, which frequencies wouldsound the richest (because of resonance)? Assume that thestall acts as a pipe closed at both ends, with nodes at oppo-site sides. Assume that the voices of various singers rangefrom 130 Hz to 2 000 Hz. Let the speed of sound in the hotshower stall be 355 m/s.

42. As shown in Figure P18.42, water is pumped into a tall ver-tical cylinder at a volume flow rate R. The radius of the

41.

37.

R

f

Figure P18.42

If two adjacent natural frequencies of an organ pipeare determined to be 550 Hz and 650 Hz, calculate thefundamental frequency and length of this pipe. (Use v !340 m/s.)

44. A glass tube (open at both ends) of length L is positionednear an audio speaker of frequency f ! 680 Hz. For whatvalues of L will the tube resonate with the speaker?

An air column in a glass tube is open at one end andclosed at the other by a movable piston. The air in thetube is warmed above room temperature, and a 384-Hztuning fork is held at the open end. Resonance is heardwhen the piston is 22.8 cm from the open end and againwhen it is 68.3 cm from the open end. (a) What speed ofsound is implied by these data? (b) How far from theopen end will the piston be when the next resonance isheard?

46. A tuning fork with a frequency of 512 Hz is placed nearthe top of the pipe shown in Figure 18.19a. The water levelis lowered so that the length L slowly increases from an ini-tial value of 20.0 cm. Determine the next two values of Lthat correspond to resonant modes.

47. When an open metal pipe is cut into two pieces, the lowestresonance frequency for the air column in one piece is256 Hz and that for the other is 440 Hz. (a) What resonantfrequency would have been produced by the originallength of pipe? (b) How long was the original pipe?

48. With a particular fingering, a flute plays a note with fre-quency 880 Hz at 20.0°C. The flute is open at both ends.(a) Find the air column length. (b) Find the frequency itproduces at the beginning of the half-time performance ata late-season American football game, when the ambienttemperature is % 5.00°C and the musician has not had achance to warm up the flute.

45.

43.3. นิสิตถือส้อนเสียงซึ่งสั่นด้วยความถี่ 256 Hz เขาเดินไปตามห้องโถงไปยังกำแพงด้วยอัตราเร็ว 1.33 m/s (ก)เขาจะได้ยินเสียงความถี่บีตส์เป็นเท่าไรระหว่างตัวส้อมและเสียงสะท้อน (ข) เขาจะต้องเดินด้วยอัตราเร็วเท่าไรจึงจะได้บีตส์ความถี่ 5.00 Hz

4. รถไฟสองขบวนปล่อยเสียงหวูดความถี่ 180 Hz เท่ากัน หากรถขบวนแรกหยุดอยู่นิ่งที่สถานีและอีกขบวนกำลังวิ่งผ่าน นิสิตที่กำลังเดินอยู่บนชานชาลาได้ยินเสียงบีตส์ 2 ครั้งต่อวินาที อัตราเร็วของขบวนรถและทิศทางที่รถไฟเคลื่อนที่เป็นอะไรได้บ้าง

5. รถ ตำรวจ กำลัง มุ่งหน้า ไปทาง ตะวันออกด้วย อัตรา เร็ว40.0 m/s เพื่อไล่จับรถผู้ร้ายซึ่งวิ่งหนีในทิศเดียวกันด้วยอัตราเร็ว 30.0 m/s รถตำรวจปล่อยไซเรน(พัง)ที่ความถี่ 1000 Hz (ก) จงวาดรูปร่างของหน้าคลื่นในทิศตะวันออกและตกจากตัว ไซเรน (ข) ความยาวคลื่นเป็นเท่าไรหากรถตำรวจหยุดวิ่ง (ค) ความยาวคลื่นด้านหน้ารถและหลังรถเป็นเท่าไร (ง) ผู้ร้ายได้ยินเสียงความถี่เท่าไรกำลังไล่ตามมา

2