wavelets aluno: marcos corrêa – [email protected] disciplina: rede de computadores
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WaveletsAluno: Marcos Corrêa – [email protected]: Rede de Computadores
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ROTEIRO▫Conceitos Básicos▫História das Wavelets▫Transformada de Wavelet▫Transformada Inversa de Wavelet▫Análise de Wavelet▫Lista de Wavelets▫Comparação com a Transformada de
Fourier▫Aplicações Variadas – Exemplos▫Referências
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Conceitos Básicos• O que são Wavelets?
▫ Funções matemáticas
• Características▫ Para ser considerada uma wavelet uma função deve:
Ter a área total sob a curva da função igual a zero (Admissibilidade – integral é zero);
Energia da função ser finita (Regularidade - Bem localizada);
Outra necessidade técnica é a rapidez e facilidade para calcular a transformada wavelet e a transformada inversa (Inversibilidade);
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Conceitos Básicos• Por que Wavelet são importantes?
▫ São Blocos Construtores de Funções Uma função pode ser representada como uma combinação linear de funções
Wavelets.
▫ Existem teoricamente infinitas possibilidades de se projetar wavelets com propriedades especiais, voltadas para aplicações específicas.
▫ Possuem Localização Tempo-Freqüência Tempo via translação ou deslocamento Frequência/Escala Via dilatação
▫ Têm Algoritmos Rápidos
▫ Muitas classes de funções podem ser representadas em wavelets de forma mais compacta, como funções com descontinuidade ou picos
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Conceitos Básicos•Aspectos de Wavelet
Meyer Haar
Daubechies D10
Morlet Mexican hat Fonte: wikipedia
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Conceitos Básicos• Diversas Áreas de Aplicações de Wavelets
▫Visão Computacional▫Compressão de Dados
Compressão de Impressões Digitais no FBI▫Recuperação de Dados afetados por Ruído▫Detecção de Comportamento Similar▫Tons Musicais▫Astronomia▫Meteorologia▫Processamento Numérico de Imagens▫Muitas Outras
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História das Wavelets• 1807 - Fourier (Análise em freqüências)
▫ Com o trabalho de Fourier os matemáticos gradualmente saíram da análise em freqüência para a noção de análise em escala.
▫ • 1909 - Haar (Análise em escala)
▫ Apareceu a primeira menção a wavelet.
• 1930 - P. Levy (Movimento Browniano)▫ Levy estudou o Movimento Browniano um tipo de sinal aleatório e
acreditava que as funções de Haar eram superiores as de Fourier para estudar detalhes complicados do Movimento Browniano.
• 1930 – Littlewood, Paley e Stein (Cálculo de Energia)▫ Este grupo trabalhando independentemente de Levy provocou
inquietação na comunidade científica pois os resultados que eles estavam obtendo indicavam que a energia não se conservava, depois descobriram uma função que variava em escala e mostravam que a energia se conservava.
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História das Wavelets• 1980 - Grossman e Morlet (Definição de Wavelets)
▫ Um físico e um engenheiro definiram wavelet no contexto da física quântica. Eles forneceram uma maneira de pensar em wavelet baseado na intuição física.
• 1985 – Mallat (Digital Signal Processing)▫ Deu um novo ponto de partida com seu trabalho em
processamento digital de sinais.
• 1985 - Meyer (Primeira Wavelet não-trivial)
• -- - Daubechies (Bases Ortonormais de Wavelets)▫ Construiu um conjunto de wavelets que talvez seja o
conjunto mais elegante e que hoje tornou-se fundamental nas aplicações envolvendo wavelet.
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Transformada de WaveletA transformada de wavelet decompõe uma função definida no domínio do tempo em outra função, definida no domínio do tempo e no domínio da frequência. Ela é definida como:
que é uma função de dois parâmetros reais, a e b. Se definirmos ψa,b(t) como:
Podemos reescrever a transformada como o produto interno das funções f(t) e ψa,b(t):
A função ψ(t) que equivale a ψ1,0(t) é chamada de wavelet mãe (do inglês mother wavelet) enquanto as outras funções ψa,b(t) são chamadas de wavelets filhas. O parâmetro b indica que a função ψ(t) foi transladada no eixo t
de uma distância equivalente a b, sendo então um parâmetro de translação. Já o parâmetro a causa uma mudança
de escala, aumentando (se a > 1) ou diminuindo (se a < 1) a wavelet formada pela função. Por isto o parâmetro a é conhecido como parâmetro de escala (do inglês scaling parameter).
Fonte: wikipedia
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Transformada de Wavelet
Fonte: http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTpart1.html
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Transformada Inversa de WaveletComo usamos wavelets para transformar uma função, precisamos também da transformada inversa, de forma a recompor o sinal no domínio do tempo a partir da sua decomposição. Se chamarmos de Ψ(ω) a transformada de Fourier da função ψ(t):
e se W(a,b) for a transformada de wavelet da função f(t) usando a wavelet ψ(t), então temos que a transformada inversa é dada por: onde
Este parâmetro C necessita ser finito e positivo, o que nos leva a uma
nova restrição. Esta restrição sobre o valor de C é a condição de admissibilidade já citada.
Fonte: wikipedia
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Análise de WaveletA análise de wavelet é feita pela aplicação sucessiva da transformada de wavelet com diversos valores para os parâmetros a e b, representando a decomposição do sinal original em diversos componentes localizados no tempo e na freqüência, de acordo com estes parâmetros. Cada wavelet possui melhor ou pior localização nos domínios da freqüência e do tempo, por isso a análise pode ser feita com wavelets diferentes de acordo com o resultado desejado.A análise wavelet traz consigo uma análise em resoluções múltiplas, onde o nível de resolução é dado pelo índice a. Nesta análise em resoluções múltiplas, geramos uma seqüência de subespaços encaixantes, onde as funções de base numa escala
a0 não "enxergam" detalhes de tamanho menor que .
Fonte: wikipedia
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Lista de Wavelets• Wavelets discretas
▫ Beylkin ▫ BNC wavelets▫ Coiflet ▫ Cohen-Daubechies-Feauveau wavelet (Sometimes
referred to as CDF N/P or Daubechies biorthogonal wavelets)
▫ Daubechies wavelet ▫ Binomial-QMF▫ Haar wavelet▫ Mathieu wavelet▫ Legendre wavelet▫ Villasenor wavelet▫ Symlet Fonte: wikipedia
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Lista de Wavelets• Wavelets contínuas• Valores Reais
▫Beta wavelet▫Hermitian wavelet▫Hermitian hat wavelet▫Mexican hat wavelet▫Shannon wavelet
• Valores Complexos▫Complex mexican hat wavelet▫Morlet wavelet▫Shannon wavelet▫Modified Morlet wavelet
Fonte: wikipedia
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Comparação com a Transformada de Fourier• A principal diferença é que wavelets estão localizados tanto em tempo
quanto em frequência enquanto a Transformada Fourier é só localizada em frequência;
• A complexidade computacional da transformada de wavelet discreta é O(N) enquanto que da transformada rápida de Fourier é O(N log N);
• Mais uma diferença é que funções wavelet individuais estão bem localizadas no espaço, funções seno e cosseno Fourier não estão;
• Transformadas wavelet não têm um conjunto de funções básicas como a transformada de Fourier, que utiliza senos e cossenos. Em vez disso transformada de wavelet tem um conjunto infinito de possíveis funções;
• Por conta da teoricamente infinita quantidade de funções, nós vamos buscar a melhor função para representar um sinal, essa melhor função é a forma de onda adaptada.
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Comparação com a Transformada de Fourier
Fonte: http://www.vision.ime.usp.br/~creativision/publications/pdf/DoutoradoSilvia.pdfFigura (a) – Ondas Senoidais (b) – Chapéu Mexicano
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Aplicações Variadas - Exemplos• Transformada Wavelet em Compressão de Imagens
[Computação Gráfica]▫ http://www.cos.ufrj.br/index.php?option=com_publicacao&task
=visualizar&id=687
• On wavelet techniques in atmospheric sciences [Ciências Atmosféricas]▫ http://www.lac.inpe.br/~margarete/JASRWavelet.pdf
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Aplicações Variadas – Exemplos 2• Teoria Wavelet e sua aplicação em sistemas de
energia eletrica [Engenharia Elétrica]▫ http://libdigi.unicamp.br/document/?code=vtls000113855
• Uma comparação entre Redes Neurais Wavelet, LMS, MLP e RBF para classificação de DPOC [Redes Neurais – Ciênc. da Computação]▫ http://www.simulab.uel.br/hoto/publica/ferrari-hoto-foz2006.pd
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Aplicações Variadas – Exemplos 3• Predição de séries temporais econômicas por meio de
redes neurais artificiais e transformada Wavelet: combinando modelo técnico e fundamentalista [Processamento de Sinais de Instrumentação – Eng. Elétrica]▫ http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/18/18152/tde-110420
08-111842/
• Aplicação de transformada wavelet no processamento de sinais ultra-sônicos para caracterização de escoamentos bifásicos ar-água [Engenharia de Produção]▫ http://www.qprocura.com.br/dp/79486/Aplicacao-de-transforma
da-wavelet-no-processamento-de-sinais-ultra_sonicos-para-caracterizacao-de-escoamentos-bifasicos-ar_agua.html
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Aplicações Variadas – Exemplos 4• Reconhecimento de Voz usando Wavelets
[Processamento de Sinais – Comput. Aplicada]▫ http://ncg.unisinos.br/robotica/reconvoz.html
• Aplicação de transformada wavelet no processamento de sinais ultra-sônicos para caracterização de escoamentos bifásicos ar-água [Engenharia de Produção]▫ http://www.qprocura.com.br/dp/79486/Aplicacao-de-transform
ada-wavelet-no-processamento-de-sinais-ultra_sonicos-para-caracterizacao-de-escoamentos-bifasicos-ar_agua.html
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Aplicações Variadas – Exemplos 5• Prognóstico de Congestionamento de Tráfego de
Redes usando Wavelets [Redes de Computadores - Ciências da Computação]
▫ http://www.larces.uece.br/~jlcs/tese.pdf
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Referências• DOVICCHI, João Cândido. Introdução à Teoria das
Wavelets. Univ. Fed. Uberlândia, 2003.▫ Disponível em: http://www.inf.ufsc.br/~dovicchi/papers-jcd/wav-intro.ps
• FERREIRA et al. Proposta de Utilização de Transformadas de Wavelet para Detecção de Ataques em Redes Ad Hoc Sem Fio. CEFETMT, UFU e UFMT, 2008. ▫ Disponível em:http://www.dppg.cefetmt.br/index.html/index.php?
option=com_phocadownload&view=category&id=10:&download=41:p-p&Itemid=86
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Referências• WAVELET. Wikipedia, 2009.
▫ Disponível em: http://en.wikipedia.org/wiki/Wavelet
• VIDAKOVIC, Brani and MUELLER, Peter. Wavelet For Kids. Duke University, 2008. ▫ Disponível em:http://www.isye.gatech.edu/~brani/wp/kidsA.pdf
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Referências• FARIA, Regis. Wavelets e as Artes
Multiresolucionárias, 1997. ▫ Disponível em: http://www.lsi.usp.br/~regis/wlets.html
• GRAPS, Amara. An Introduction to Wavelets. IEEE, 1995.▫ Disponível em:http://www.amara.com/IEEEwave/IEEEwavelet.html
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Referências• DEVORE, Ronald. Wavelets, 1991.
▫ Disponível em: https://www.gprt.ufpe.br/~ajcj/artigos/Wavelets/wavelets.pdf
• Alguns papers sobre Wavelets▫ Disponível em:http://www-math.mit.edu/~gs/papers/recent_wt_papers.html