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数列の極限
収束する数列
項がどこまでも限りなく続く数列を無限数列という。たとえば、無限数列
1,1
2,1
3,1
4, · · · , 1
n, · · ·
においては、nを限りなく大きくすると、第 n項は限りなく ア に近づく。
一般に、無限数列 {an}において、nを限りなく大きくするとき、an がある値 αに
限りなく近づくならば、 ←以上のことを、記号で、
limn→∞
an = α
または、
n → ∞のとき an → α
のように書く。
{an} は α に イ
または
{an} の ウ は α である
という。また、αを数列 {an}の エ という。
収束しない数列
数列 {an} が収束しない、つまり一定の数に近づいていかないとき、{an}は オ するという。 オ する数列には次の３つの場合がある。
1. たとえば、一般項が an = 2n である数列 {an}では、
2, 4, 8, 16, 32, · · ·
となり、nを限りなく大きくすると、an の値は限りなく大きくなる。
このような場合、 以上のことを、記号で、
limn→∞
an = ∞
または、
n → ∞のとき an → ∞
のように書く。
{an}は正の無限大に カ する
または
{an}の キ は正の無限大である
という。
2. たとえば、一般項が an = −10n+ 1である数列 {an}では、
−9, −19, −29, −39, −49, · · ·
となり、nを限りなく大きくすると、an の値は負で、絶対値は限りなく大き
くなる。このような場合、 以上のことを、記号で、
limn→∞
an = −∞
または、
n → ∞のとき an → ∞
のように書く。
{an}は負の無限大に カ する
または
{an}の キ は負の無限大である
ア：0
イ：収束するウ：極限エ：極限値オ：発散カ：発散 キ：極限
1
春期講座～極限1
という。
3. たとえば、一般項が an = (−2)n である数列 {an}では、
−2, 4, −8, −16, 32, −64, · · ·
となり、nを限りなく大きくすると、anの値は収束せず、しかも正の無限大にも
負の無限大にも発散しない。このような場合、
an は ク する
という。
bababababababababababababababab記号∞の取り扱いについて∞は数ではなくて、
「記号 limと同時に使って限りなく大きくなっていく状態を指す」
記号であり、単独で用いることはない。
数列の収束、発散についてまとめると、次のようになる。
bababababababababababababab
収束 値 αに収束 · · · · · · 極限は α
発散
正の無限大に発散 · · · · · · 極限は∞
負の無限大に発散 · · · · · · 極限は−∞
振動 · · · · · · 極限はない
数列の極限の性質（Ｉ）
数列 {an} , {bn}がともに収束するとき、次のことが成り立つ。 ←両方が収束するときに限りま
す！！
これは大変重要なことです。
←この定理の厳密な証明は、大学
数学の範囲です。
収束する数列の極限� �α, β を定数とする。
limn→∞
an = α, limn→∞
bn = β のとき、
1. limn→∞
kan = kα （k は定数）
2. limn→∞
(an ± bn) = α± β （複合同順）
3. limn→∞
anbn = αβ
4. β ̸= 0のとき、 limn→∞
anbn
=α
β� �
ク：振動
2
春期講座～極限2
高位の無限大
←無限大にも序列があるというこ
とですね。
高位の無限大� �２つの数列 {an} , {bn}がいずれも、無限大に発散する（正負は問わない）と
する。このとき、 limn→∞
bnan
= 0 のとき、 an は bn より高位の無限大であ
る、という。
また、 limn→∞
bnan
= α（αは０でない定数）のとき、an と bn は同位の無限大で
ある、という。� �たとえば、an = n2 + n, bn = nのとき、
limn→∞
an = ∞, limn→∞
bn = ∞ であり、 bnan
=n
n2 + n=
1
n+ 1により、
limn→∞
bnan
= 0 が成り立つから、 ケ は コ よりも高位の無限大である。
極限の問題を見通しよく解くために…
← limn→∞
an = +0は、数列 {an}の
項が、常に正の値をとりながら０
（ゼロ）に近づくことを表します。
同様に、 limn→∞
an = −0 は、数列
{an} の項が、常に負の値をとりながら０（ゼロ）に近づくことを
表します。
←つまり、次数が高いほど高位！
←つまり、 limn→∞
bnan
= α（ただし
α ̸= 0）となる定数 α が存在し
ます。
定理
(1) limn→∞
an = ∞のとき、 limn→∞
1
an= 0
(2) limn→∞
an = +0のとき、 limn→∞
1
an= ∞
(3) limn→∞
an = −0のとき、 limn→∞
1
an= −∞
(4) 数列 {an} , {bn}の一般項がそれぞれ nの多項式で、
(anの次数) > (bnの次数) ≧ 1ならば、
limn→∞
bnan
= 0 つまり an は bn よりも高位の無限大
(5) 数列 {an} , {bn}の一般項がそれぞれ nの多項式で、
(anの次数) = (bnの次数)ならば、
an と bn は同位の無限大
(6) limn→∞
rn =
∞ (1 < r のとき)
1 (r = 1のとき)
0 (−1 < r < 1のとき)
振動する (r ≦ −1のとき)
ケ：an コ：bn
3
春期講座～極限3
【問題 1】� �次の数列の極限を調べよ。
(1) an =1
n+ 3(2) an = n2 − n (3) an =
2n+ 1
3n− 1
(4) an =n2 + 1
n3 − 1(5) an = n− 1
n2(6) an =
n2 − 3n+ 1
n2 + 2n− 2
(7) an =n− n3
n2 + 1(8) an =
√n+ 1−
√n− 1 (9) an =
3
n−√n2 + 2n� �
(1)0 (2)∞ (3)23
(4)0 (5)∞ (6)1 (7)0 (8)−3
4
春期講座～極限4
【問題 2】� �次の数列の極限を調べよ。
(1) an =2n√3n
(2) an = 41−n (3) an =2n
3n − 1(4) an =
3n + (−2)n−1
3n − 2n+1� �
(1)∞
5
春期講座～極限5
【問題 3】� �次の事柄は正しいか。正しくないものはその反例をあげよ。
(1) limn→∞
an = ∞, limn→∞
bn = ∞ ならば limn→∞
anbn
= 1
(2) limn→∞
an = ∞, limn→∞
bn = ∞ ならば limn→∞
(an − bn) = 0
(3) limn→∞
an = α, limn→∞
(an − bn) = 0 ならば limn→∞
bn = α
(4) limn→∞
an = ∞, limn→∞
bn = 0 ならば limn→∞
anbn = 0� �
(1) 偽 an = n, bn = n2 のとき limn→∞
anbn
= 0
(2) 偽 an =√n+ 1, bn =
√n のとき、 lim
n→∞(an − bn) = 0
(3) 真
(4) 偽 an = n2, bn =1
n2 + n− 1のとき lim
n→∞anbn = 1
6
春期講座～極限6
第２回配信 数列の極限（２）
＜復習１＞ rnの極限
一般項 an が an = rn である数列 {an}の極限は、 ← r を n に関係ない定数とする。
limn→∞
rn =
∞ (1 < r のとき)
1 (r = 1のとき)
0 (−1 < r < 1のとき)
振動する (r ≦ −1のとき)
となる。
＜復習２＞ 高位の無限大
数列 {an} , {bn}がいずれも正または負の無限大に発散し、かつ、 limn→∞
bnan
= 0が
成り立つとき、 ←たとえば…lim
n→∞3n = ∞, lim
n→∞5n = ∞ で 、
limn→∞
3n
5n= lim
n→∞
(3
5
)n
= 0 で あ る
から、5n は 3n よりも高位の無限大である。
「an は bn よりも高位の無限大である」
という。また、 limn→∞
bnan
= α（αは０でない定数）となる αがあるとき、
「an と bn は同位の無限大である」
という。
＜復習３＞ 次数が大きい方が高位の無限大
数列 {an} , {bn}の一般項がいずれも nの多項式で、 ←このとき、an, bn の極限は必ず、 正または負の無限大になります。(anの次数) > (bnの次数)
であるとき、
limn→∞
bnan
= 0
7
春期講座～極限7
【問題 4】� �次の数列の極限を求めよ。
(1)2n
n+ 3(2) n2 − n (3)
√n+ 1−
√n (4)
3n
3n + 2n
(5)n√
n2 + 1−√n
(6)log3 (n+ 2)
log3 n� �
(1)2 (2)∞ (3)0 (4)1 (5)1 (6)1
8
春期講座～極限8
【問題 5】� �次の数列の極限を求めよ。
(1) limn→∞
1 + r2n
1− r2n(r ̸= ±1) (2) lim
n→∞
1− rn + rn+1
1− rn + rn+2(r ̸= −1)� �
(1)
0 (−1 < r < 1)
∞ (r < −1, 1 < r)
1 (r = ±1)
(2)
{1
r+1(r < −1, 1 < r)
1 (−1 < r ≦ 1)
9
春期講座～極限9
上に有界な増加列は収束する
(1) 上に有界、下に有界
Aを実数の部分集合とするとき、
■（上に有界） Aの任意の元 xに対して、x ≦ aとなる実数 aがあるとき、Aは
上に有界であるという。
←たとえば an =1
nとするとき、n に関
係なく an ≦ 1 が成り立つ。したがって、数列 {an} は上に有界である。
■（下に有界） Aの任意の元 xに対して、a ≦ xとなる実数 aがあるとき、Aは
下に有界であるという。←たとえば an =
n+ 1
nとするとき、
an = 1+1
nだから、nに関係なく an ≧ 1
が成り立つ。したがって、数列 {an} は下
に有界である。(2) 上に有界な単調増加列は収束する
定理
数列 {an}が上に有界で、かつ、増加数列であるとき、an は収束する。
同様に、数列 {an} が下に有界で、かつ、減少数列であるとき、an は収束
する。
←数列 {an} が増加数列であるとは、
a1 ≦ a2 ≦ a3 ≦ · · · ≦ an ≦ · · ·
が成り立つことをいう。
※注：この定理の証明は、大学で学びます。しかし、実数が数直線で
表される連続な数（実はこのことの証明が難しい）であるとしたら、
この定理の成立は十分理解できると思います。
はさみうちの原理
２つの数列 {an} , {bn}が収束する数列で、 limn→∞
an = α, limn→∞
bn = β（α, β は定
数）とする。nに関係なく an ≦ bn が成り立つとき、
α ≦ β
が成り立つ。
同様にして、次の定理が成り立つ。
←入試数学の極限の問題の半数以上は、はさみうち（もしくは次に述べる追い出し）の原理の問題である。大変重要！！
はさみうちの原理
αを nに関係ない定数とする。３つの数列 {an} , {bn} , {cn}について、
� nに関係なく bn ≦ an ≦ cn が成り立つ。
� limn→∞
bn = limn→∞
cn = α
が成り立つとき、limn→∞
an = α
が成り立つ。
10
春期講座～極限10
追い出しの原理
次の定理が成り立つ。 ←同様にして、an ≦ bn で lim
n→∞bn = −∞ ならば
limn→∞
an = −∞ も成り立つ。
追い出しの原理
数列 {an} , {bn}が次の条件を満たすとする。
� nに関係なく an ≧ bn
� limn→∞
bn = ∞
このとき、lim
n→∞an = ∞
が成り立つ。
11
春期講座～極限11
【問題 6】� �次の条件を満たす数列の例を一つずつ挙げよ。
(1) すべての nについて an < 0であるが、 limn→∞
an = 0
(2) すべての nについて an > 1であるが、 limn→∞
an = 1� �
(1)an = − 1n
(2)an =n+ 1n
（一例なので他にも無数にある）
12
春期講座～極限12
【問題 7】� �次の数列の極限を求めよ。
(1) an =sinn
n
(2) an =1 + cosn
n
(3) an =(−1)
n
n
(4) an =1
nsin
nπ
2� �
(1)0 (2)0 (3)0 (4)0
13
春期講座～極限13
【問題 8】� �(1) nを正の整数とするとき、3n > n2 が成り立つことを示せ。
(2) limn→∞
n
3nを求めよ。� �
(1) 略（ヒント：数学的帰納法を用いよ） (2)0
14
春期講座～極限14
【問題 9】� �r > 1とするとき、次の問いに答えよ。
(1) h > 0として、 (1 + h)n ≧ 1 + nh が成り立つことを示せ。
(2) (1)を利用して、 limn→∞
rn = ∞ が成り立つことを示せ。� �
(1) 略（ヒント：二項定理で左辺を展開せよ） (2) 略
15
春期講座～極限15
無限級数とその和
無限数列 {an}の各項を和の記号 +で形式的に結んだもの ←形式的に結んだだけで、この足し算は実
行できません。いくら足しても終わらない
からね。だから、形式だけのハナシよ。a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · ·
を無限級数という。無限級数は、記号 ∞∑
n=1
an を用いて、
∞∑n=1
an = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · ·
のようにも表す。また、無限級数において初項から第 n項までの和
Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an
を部分和という。
もし、 limn→∞
Sn = α（αは定数）のとき、つまり、数列 {Sn}が定数 αに収束する
とき、この無限級数の和は αである、という。 ←つまり、無限個の項の足し算は実行不可
能なので、数列 {Sn} の極限で和を定義す
るわけだね。
bababababababababababababababab
無限級数の和は、その部分和の極限と定める
たとえば、無限級数
1
1 · 2 +1
2 · 3 +1
3 · 4 + · · ·+ 1
n (n+ 1)+ · · ·
に対して、部分和を Sn とすると、
Sn =1
1 · 2 +1
2 · 3 +1
3 · 4 + · · ·+ 1
n (n+ 1)=
n∑k=1
1
k (k + 1)
であり、k の値に関係なく、1
k (k + 1)=
1
k− 1
k + 1
が成り立つので、
Sn =
(1
1− 1
2
)+
(1
2− 1
3
)+
(1
3− 1
4
)+ · · ·+
(1
n− 1
n+ 1
)= 1− 1
n+ 1
となる。いま、
limn→∞
Sn = limn→∞
(1− 1
n+ 1
)= 1
だから、
この無限級数の和は 1 である
となります。
ここで、１つ注意事項があります。
←交換法則とは、足し算は順序を問わないこと。たとえば
a+ b = b+ a
←結合法則とは、足し算はどこから計算してもよいこと。たとえば
a+ b+ c = (a+ b) + c = a+ (b+ c)
1
春期講座～極限16
無限個の足し算と有限個の足し算は違うのだ
無限級数の和においては、有限個の場合と異なり、
� 交換法則
� 結合法則
が成り立つとは限りません。
これについては、問題２で確認します。
2
春期講座～極限17
【問題 1】� �次の各無限級数の和を求めよ。
(1)1
1 · 3+
1
3 · 5+ · · · · · ·+ 1
(2n− 1)(2n+ 1)+ · · · · · ·
(2)
∞∑n=1
1√n+ 1 +
√n
(3)∞∑k=1
k
(k + 1)!� �
3
春期講座～極限18
【問題 2】� �次の各無限級数の和を求めよ。
(1) 1 + (−1) + 1 + (−1) + · · · · · ·
(2) 1− 1
2+
1
2− 1
3+
1
3− 1
4+ · · · · · ·
(3) 1− 1
2+
1
2− 2
3+
2
3− 3
4+ · · · · · ·
(4)
(1− 1
2
)+
(1
2− 2
3
)+
(2
3− 3
4
)+ · · · · · ·� �
4
春期講座～極限19
無限等比級数とその和
無限数列 {an} : a1, a2, a3, · · · , an, · · · が等比数列であるとき、初項を a1 = a、 ←数学Ｂの教科書参照！！
公比を r として、部分和 Sn は、
Sn =
na (r = 1のとき)
a · 1− rn
1− r(r ̸= 1のとき)
であることは、すでに学んだ。
さらに、無限等比数列 {rn} : r, r2, r3, · · · , rn, · · · が、−1 < r < 1のときには 0
（ゼロ）に収束することもすでに学んだ。
これらのことから、次のことが分かる。
←公比 r の条件に注意！！また、この公式は、
� 無限等比級数であること� 公比が −1 < r < 1を満たすこと
が確認できれば、部分和 Sn を求めること
なく和の計算ができる、と主張している、
いわゆるズル公式（試験のための時間節約
公式）である。
bababababababababababababababab
初項 a, 公比 rの無限等比数列 {an}で生成される無限級数（無限等比級数という）
a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · ·
は、−1 < r < 1 の場合には、 a
1− r
(=（初項）1− (公比)
) に収束
する。
無限等比級数の収束条件
無限等比級数a+ ar + ar2 + ar3 + · · ·+ arn−1 + · · ·
が収束するための条件は、
a = 0 または − 1 < r < 1
である。
5
春期講座～極限20
【問題 3】� �次の各無限等比級数の和を求めよ。
(1) 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + · · ·
(2) 3− 32
+ 34
− 38
+ · · ·
(3)
∞∑n=1
53n
(4)∞∑
n=1
(−3)n
22n+1
(5)
∞∑n=1
a−n+1（aは nによらない数）
� �
6
春期講座～極限21
【問題 4】� �次の関数の定義域を求め、グラフを描け。
f(x) = (1− x2) + x(1− x2) + x2(1− x2) + · · ·+ xn−1(1− x2)� �
7
春期講座～極限22
第１章 復習 数列の極限
【問題 1】� �次の極限を求めよ。
(1) limn→∞
n2 + 2n + 1n3 + n2 + 2
(2) limn→∞
1√n + 1 −
√n
(3) limn→∞
2n − 4n
3n + 4n� �
(1)0 (2)∞ (3)−1
春期講座～極限23
babababababababababababababababababab
《練習 1》 次の極限を求めよ。
(1) limn→∞
n2 + n + 12n2 + n + 1
(2) limn→∞
(√n2 + 2 − n
)(3) lim
n→∞3n + 2n
3n+1 − 1
(1)12
(2)0 (3)13
春期講座～極限24
【問題 2】� �はさみうちの原理を用いて、次の極限を求めよ。
limn→∞
(23
)n
cos nπ3� �
0
春期講座～極限25
babababababababababababababababababab
《練習 2》 はさみうちの原理を用いて、次の極限を求めよ。
limn→∞
1n
sin nπ3
0
春期講座～極限26
演習問題 1
次のそれぞれの場合について、数列{
rn + 1rn + 2
}の極限を調べよ。
(1) −1 < r < 1
(2) r = 1
(3) r < −1, 1 < r
(1)12
(2)23
(3)1
春期講座～極限27
【問題 3】� �次の無限級数の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。
(1)∞∑
n=1
1(n + 2)(n + 3)
(2)∞∑
n=1
1√2n + 1 −
√2n − 1
(3)∞∑
n=1
n + 12n + 1� �
(1)13
(2)∞ に発散する (3)∞ に発散する
春期講座～極限28
【問題 4】� �次の無限級数の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。
(1) 2 + 23
+ 232 + 2
33 + 234 + · · ·
(2)√
3 − 3 + 3√
3 − 9 + 9√
3 − · · ·� �
(1)3 (2) 振動する
春期講座～極限29
babababababababababababababababababab
《練習 3》 次の無限級数の収束・発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。
(1) 1 − 12
+ 14
− 18
+ · · ·
(2) 1 + 1√2 − 1
+(
1√2 − 1
)2
+(
1√2 − 1
)3
+ · · ·
(1)23
(2) 発散する
春期講座～極限30
演習問題 2
１辺の長さが１の正三角形 A1B1C1 がある。△A1B1C1 の各辺の中点を頂点として △A2B2C2
を作り、次に △A2B2C2 の各辺の中点を頂点として △A3B3C3 を作る。以下この操作を続けて
△AnBnCn を作りその面積を Sn とする。
無限級数
S1 + S2 + S3 + · · · + · · ·
の和を求めよ。
√3
3
春期講座～極限31
第２章 関数の極限
【問題 5】� �次の極限を求めよ。
(1) limx→1
x2 + 2x − 3x2 − 1
(2) limx→1
√x + 3 − 2x − 1� �
(1)2 (2)14
春期講座～極限32
【問題 6】� �次の極限を求めよ。
(1) limx→∞
3x2 − 2x − 12x2 − 3x − 2
(2) limx→∞
1√x2 + 2x − x� �
(1)32
(2)1
春期講座～極限33
babababababababababababababababababab
《練習 4》
次の極限を求めよ。
(1) limx→2
x2 − x − 2x2 − 3x + 2
(2) limx→0
√x + 4 − 2
x
(1)3 (2)14
春期講座～極限34
babababababababababababababababababab
《練習 5》
次の極限を求めよ。
(1) limx→∞
x2 + 2x − 1x + 1
(2) limx→∞
(√x2 + 3x − x
)
(1)∞ (2)32
春期講座～極限35
演習問題 3
次の等式が成り立つように、定数 a, b の値を求めよ。
limx→0
a√
x + 9 − 3bx
= 1
a = b = 6
春期講座～極限36
【問題 7】� �はさみうちの原理を用いて、次の極限を求めよ。
limx→∞
1x
sinx� �
0
春期講座～極限37
babababababababababababababababababab
《練習 6》
はさみうちの原理を用いて次の極限を求めよ。
limx→0
x cos 1x
0
春期講座～極限38
【問題 8】� �次の極限を求めよ。
(1) limx→+0
x2 − xx
(2) limx→−0
x2 − xx� �
(1)−1 (2)1
春期講座～極限39
babababababababababababababababababab
《練習 7》
次の極限を求めよ。
(1) limx→2+0
1x − 2
(2) limx→2−0
1x − 2
(3) limx→2+0
x2 − 2xx − 2
(4) limx→2−0
x2 − 2xx − 2
(1)∞ (2)−∞ (3)2 (4)−2
春期講座～極限40
演習問題 4
次の関数は x = 0 で連続かどうか調べよ。ただし、 [a] は a を超えない最大の整数を表す。
(1) y = [x]
(2) y = [cos x]
(1) 不連続 (2) 不連続
春期講座～極限41
第３章 微分法
【問題 9】� �関数 f(x) = 1√
xについて以下の問いに答えよ。
(1) 微分係数の定義に基づいて、 x = 1 における微分係数を求めよ。
(2) 導関数の定義に基づいて、導関数 f ′(x) を求めよ。� �
(1)− 12
(2)− 12x
√x
春期講座～極限42
babababababababababababababababababab
《練習 8》
関数 f(x) =√
x + 1 について以下の問いに答えよ。
(1) 微分係数の定義に基づいて、 x = 1 における f(x) の微分係数の値を求めよ。
(2) 導関数の定義に基づいて、 f(x) の導関数 f ′(x) を求めよ。
(1)1
2√
2(2)
1
2√
x + 1
春期講座～極限43
【問題 10】� �次の関数を微分せよ。
(1) y = x2 + 3√
x − 1x2
(2) y = (3x2 − 2x + 1)(4x + 3)
(3) y = 2x2 − 1x3 + 1� �
(1)4x4 + 3x2√x + 4
2x3(2)36x2 + 2x − 2 (3)
−x(2x3 − 3x − 4)
(x3 + 1)2
春期講座～極限44
babababababababababababababababababab
《練習 9》
次の関数を微分せよ。
(1) y = (x3 + 2x + 1)(x2 − 1)
(2) y = 2x − 1x2 + 1
(1)5x4 + 3x2 + 2x − 2 (2)−2x2 + 2x + 2
(x2 + 1)2
春期講座～極限45
演習問題 5
関数 f(x) = x について以下の問いに答えよ。
(1) f(x) が x = 0 で連続かどうか調べよ。
(2) f(x) が x = 0 で微分可能かどうか調べよ。
(1) 連続 (2) 微分可能でない
春期講座～極限46