MATEMATIČNI VZORCI IN ZAPOREDJA

POVZETEK IN KLJUČNE BESEDE

Matematični vzorci in zaporedja otrokom pomagajo pri spontanem uvajanju algebre. V

seminarski nalogi bom zato pojasnila zgornjo trditev, prikazala nekaj osnovnih in splošnih

lastnosti zaporedij in vzorcev, na kakšne načine jih lahko obravnavamo v šoli, kaj je

pravzaprav njihov namen ter na kaj moramo biti pri otrocih pozorni pri obravnavi. Vzorci in

zaporedja bodo tako predstavljeni predvsem v didaktičnem smislu, čeprav vemo, da se

pojavljajo tudi v nematematičnem (npr. v naravi). Za naš nadaljnji študij in poklic je

predvsem pomembno, da otrokom znamo približati in olajšati razumevanje različnih

didaktičnih vsebin. Ravno iz tega razloga jih moramo znati čim bolje konkretizirati in

predstaviti na variabilne in ne enolične načine.

Ključne besede:

- Vzorec

- Zaporedje

- Algebra

- Motivacija

- Konkretno

- Razumevanje

2

UVOD

Napačno razumevanje algebrskih izrazov ter nesmiselno pripisovanje pomena črkam, učence

vodi do napačnih algebraičnih povezav. V seminarski nalogi sem skušala strniti neka osnovna

znanja o zaporedjih, kakšno povezavo imajo vzorci in zaporedja z algebro. Nenazadnje pa

tudi kakšne naloge, ki vključujejo zaporedja in vzorce, se pojavljajo na razredni stopnji ter na

kaj vse moramo biti pri obravnavi pozorni.

Z vzorci in zaporedji se otroci konkretno srečujejo že vse življenje. Skozi naravo, oblačila,

predmete, dogodke itd. Vse to lahko učitelji uporabimo tudi pri pouku. Kar je blizu otrokom

in imajo s tem konkretne izkušnje, bodo z večjim veseljem tudi nadgradili. V seminarski

nalogi sem zato tudi strnila različne načine ponazarjanja vzorcev in zaporedij.

3

Teoretični del

Osnovni pojmi

Vzorec je sestavljen iz elementov, ki se na določeni površini navadno pravilno ponavljajo (v

matematiki: množica oblik ali številk, ki se ponavljajo po določeni napovedani poti).

Enota je osrednji in najpomembnejši del vzorca.

Slika 1: Primer vzorca (z rdečo je obrobljena ena enota)

Zaporedje je množica števil, ki si slede v natanko določenem vrstnem redu (v matematiki:

urejen niz, serija številk, oblik, matematičnih znakov, ki si slede v natanko določenem

vrstnem redu).

Členi so števila, ki sestavljajo zaporedja.

Slika 2: Primer zaporedja (vsaka posamična oblika Lune predstavlja en člen)

Algebra je področje matematike, ki se ukvarja s sestavo in količinami. Za razliko od

aritmetike uporablja simbole namesto števil (posplošitev in abstrakcija). Skupaj z analizo in

geometrijo tvori tri najpomembnejša področja matematike.

4

Vrste in lastnosti zaporedij

Vrste

Aritmetično - razlika med sosednjima členoma je konstantna. 

Zgled:

1, 2, 3, 4, 5 ...

2, 5, 8, 11, 15 ...

Geometrijsko - količnik med sosednjima členoma je stalen. 

Zgled:

1, 2, 4, 8 ...

2, 6, 18, 54 ...

Konstantno zaporedje

Zgled:

3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3

2a, 2a, 2a, 2a, 2a, 2a

Fibbonacijevo zaporedje

Koliko parov zajcev je rojenih iz enega para zajcev v obdobju enega leta? (Predpostavimo

npr.: da vsak mesec par zajcev naredi nov par in da so zajci spolno zreli po dveh mesecih.)

Slika 3: Fibbonacijevo zaporedje

Prva Fibonaccijeva števila so: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ...

Lastnosti

5

Naraščanje in padanje:

- Padajoče zaporedje (vsak naslednji člen je manjši od predhodnega)

- Naraščujoče zaporedje (vsak naslednji člen je večji od predhodnega)

Omejenost:

- Zaporedje je navzgor omejeno,če obstaja takšno število M , da so vsi členi zaporedja

manjši ali enaki temu številu M.

- Zaporedje je navzdol omejeno, če obstaja takšno število m , da nobeden od členov

zaporedja ni manjši od m.

- Zaporedje je omejeno, če je navzgor in navzdol omejeno.

Končnost in neskončnost

- Zaporedje je neskončno, če ga ne moremo nadaljevati do neskončnih števil

- Zaporedje je končno, če obstaja število preko katerega zaporedje ne seže

Uvajanje algebre

Otroci imajo lahko težave že pri usvajanju pojmov kot so števila. Njihovo razumevanje

temelji na konkretiziranju podatkov. Ravno zaradi tega imajo pogosto še več težav pri

reševanju algebrskih izrazov. Naštetih je nekaj primerov nerazumevanja algebrskih izrazov:

• Neupoštevanje simbola (nesmiselna uporaba črke): 2 + 3x -> 5 ali 5x

• Določanje vrednosti simbola: y + 4 = 7 -> y = 1

• Simbol kot konkreten objekt:2b + 3b = 5b (b -> balon); problem se pojavi npr. pri

izrazu (4a – 2b) + b (kako odštevati »balone« od »ananasov«, ko pa gre za dve različni

stvari)

Pri tem jim lahko s pomočjo vzorcev in zaporedij pomagamo do usvajanja številskih predstav

in pojmov. Poglejmo si to trditev na primeru.

Kadar rešujemo enačbe z eno neznanko, otroci pogosto pričakujejo, da bo rešitev konkretno

število. Tako na primer po Heischovichus in Linchevsku lahko otrokom pomagamo rešiti

njihovo nepredstavljanje s pomočjo ponazoritve z vžigalicami. Otrok na predalgebrski stopnji

bo na vprašanje: »Koliko vžigalic potrebujemo, da zgradimo n število stopnic odgovoril?«

odgovoril, da naj mu povemo število stopnic in nam bo povedal število potrebnih vžigalic. Z

vžigalicami zato predstavimo zaporedje iz katerega učenec potem lažje razbere povezanost

med številom stopnic in številom vžigalic ter da oblikujejo za dani primer neko splošno

pravilo.

6

Ko učenci rešujejo vzorce in zaporedje pred obravnavo tematskega sklopa algebre, se naučijo

prepoznavati in nadaljevati različne začete vzorce in zaporedja. Spodbujamo jih tudi k

oblikovanju splošnih pravil, da lahko poiščejo oddaljeni člen, ne da bi za to potrebovali

konkretne objekte. Spodbujamo jih tudi k razmišljanju v smeri, da znajo pridobljeno znanje

uporabiti tudi v drugačnih primerih. Večina otrok sicer zna pravilno napovedati naslednji člen,

le nekateri otroci so sposobni posplošiti problem in nato poiskati oddaljeni člen, le redki pa

bodo znali preoblikovati problem v razpoznavno algebrsko obliko.

Poleg tega, da ima učenje z vzorci in zaporedji povezavo z lažjim razumevanjem algebrske

snovi, pa je tudi dobra motivacija. Če bomo suhoparno skušali otrokom pojasniti algebrske

izraze le na podlagi enačbe, jim bo težje, pa tudi njihovo zanimanje bo verjetno nizko. Če pa

pred otroka postavimo nek problem, ki ga vidijo kot izziv s konkretnimi objekti, bo imel večji

občutek »igre« in se bo dejavnosti z večjim veseljem udeležil.

Vrste nalog za učence

Pri obravnavi vzorcev in zaporedij učencem ne smemo dajati enoličnih nalog npr., da le

nadaljujejo zaporedje. Naloge so lahko najrazličnejše:

• Sestavljanje in oblikovanje zaporedja

• Ustno in pisno opisovanje vzorcev

• Nadaljevanje zaporedja

• Dopolnjevanje zaporedja

• Predvidevanje členov

• Oblikovanje pravila za celotno zaporedje

• Preverjanje pravilnosti pravila

In ravno zadnji dve vrsti nalog sta tisti, ki otrokom povzročajo največ težav.

Naloge se glede na razrede razlikujejo po uporabi števil (višji kot je razred, višja so števila),

po podajanju navodil in uporabi izrazov. Na to smo še posebej pozorni v nižjih razredih, kjer

npr. ne poznajo vseh terminov.

Da vzbudimo njihovo zanimanje, popestrimo pouk in pomagamo učencem pri lažjih

predstavah, moramo uporabljati različne pripomočke:

• Slike, risbe, skice, števila, črke itd.

7

• Zaporedje dogodkov (video, pravljice – slušno, vizualno)

• Konkretni predmeti (kocke, testenine, vžigalice itd.)

• Različne oblike, barve, predmete, velikosti itd.

8

PRAKTIČNI DEL

opredelitev ciljev

- Študentke poznajo osnovne značilnosti vzorcev in zaporedij ter ju znajo ločiti.

- Znajo sestaviti različne naloge za učence na razredni stopnji

- S pomočjo vzorcev in zaporedij znajo ponazoriti (formule, enačbe, strukture

itd.)

- Znajo sestavljati naloge različnih težavnostnih stopenj

- Znati spodbujati otrokovo ustvarjalnost in praktično-povezovalno razmišljanje

ter iskanje divergentnih rešitev

- Razumejo v kakšni povezavi so takšne naloge z uvajanjem v algebro

opis poteka /izvedbe praktičnega dela

Študentke rešujejo naloge sproti. Med prezentacijo delam vmesne postanke in jih spodbujam

k reševanju nalog, k iskanju različnih rešitev. Spoznavajo se tudi z nalogami za posamezne

razrede na razredni stopnji. Med reševanjem učnih listov je delo potekalo individualno, nekaj

nalog pa so študentke reševale znotraj skupin. Nekaj nalog je bilo predstavljenih le na

projekciji. V takšnih primerih so dobile navodilo, premislile so o rešitvi, eno izmed študentk

pa sem potem določila, da je rešitev povedala na glas. Če je imela katera druga še kakšno

drugačno možno rešitev, smo predstavile vse.

opis dejavnosti/nalog

1. Študentke na primeru vzorca razberejo njegovo enoto.

2. Študentke na primeru zaporedja razberejo njegov člen.

3. Na primerih ločijo vzorec od zaporedja ter pojasnijo svojo odločitev.

4. Študentke prosim, da si pripravijo pisalo in list papirja ter sledijo naslednjim

navodilom. Opozorim jih na to, da je naloga primerna tudi za motivacijo v razredu.

- Zapišite poljubno število (ne prevelike vrednosti zaradi lažjega

računanja).

- V naslednjo vrstico pod to število zapišite neko drugo število.

- V naslednjo vrstico zapiši seštevek prejšnjih dveh števil.

9

- V četrto vrstico zapiši seštevek števil iz druge in tretje vrstice.

- Tako nadaljujte, dokler ne pridete do desete vrstice.

- Sedaj seštejte števila vseh desetih vrstic.

- Nekaj študentk prosim, da mi pove število iz sedme vrste in na podlagi

tega vem vsaki izmed njih povedati njihove vsote števil vseh desetih

vrstic. Skupaj si ogledamo pojasnilo in dokaz za seštevanje

Fibonaccijevih števil.

5. Študentke se seznanijo z nalogami za posamezne razrede na razredni stopnji in rešijo

po nekaj primerov.

- Za 1. razred rešijo nalogo z zaporedji na spletni strani ter dve nalogi na

učnem listu (prenašajo števila in like na pravilno mesto, da nadaljujejo

začetni vzorec).

- 2. razred: Med danimi možnimi odgovori izberejo pravilni črkovni

zapis za vzorec: banana, banana, korenček, korenček, banana, banana,

korenček, korenček … Nato na učnem listu nadaljujejo zaporedje črk in

vstavijo »smeškote« na pravilno mesto, tako da nastane trikotni vzorec.

- 3. razred: Najti morajo vzorček, ki je brez napake. Nato na priložen list

nalepijo hiške različnih barv na ustrezna mesta, da nadaljujejo vzorec.

Obkrožijo tudi pravilno zaporedje napisanih zlogov za ravnokar

sestavljen vzorec.

- 4. razred: Dopolnijo dana zaporedja in pravila za vsako zaporedje

(koliko prištejemo, s katerim številom delimo). Nadaljujejo

zapletenejše zaporedje, sestavljeno iz dveh različnih ter dopolnijo

pravilo.

6. Izračunajo četrti člen aritmetičnega zaporedja 4, 8, 12 … in ga v skupinah ponazorijo

z vžigalicami.

7. V skupinah skušajo z vžigalicami ponazoriti zaporedje 5, 9, 13, 17 …

8. Po skupinah skušajo napisati formulo za grafično predstavitev naslednjega zaporedja:

10

ZAKLJUČEK

Preden sem začela delati seminarsko nalogo, se nisem zavedala povezave med vzorci,

zaporedji in algebro. Pravzaprav sploh nisem vedel, da kakšna povezava sploh obstaja.

Izredno pomembno je na kakšen način učencem podajamo snov. Le z ustrezno načrtovanimi

metodami polnih raznovrstnih izkušenj bodo učenci lahko izkoristili naučeno in znali svoje

znanje povezovati ter ga prenašati tudi na praktične izkušnje.

11

LITERATURA

Jurkovič, M. (2009) Pouk matematike v prvem vzgojno-izobraževalnem obdobju

osnovne šole. Magistrsko delo. Ljubljana: PEF.

 Kešina, S. (2009) Vzorci in zaporedja pri pouku matematike v 3., 4. in 5. razredu

devetletne osnovne šole. Diplomsko delo. Ljubljana: PeF.

Orton, A. (1999) Pattern in the teaching and learning of mathematics,  London:

Cassell, kopija XVI/3

Orton, J. (2001) Algebra, vzorci in motivacija, Matematika v šoli 9 (1 - 2), str. 14 – 26

Volf, D. (2008) Raziskovanje matematičnih vzorcev in zaporedij. Diplomsko delo.

Ljubljana: PeF.

12