vyČÍchlovÁ sÚŤaŽ

VYČÍCHLOVÁ SÚŤAŽ

RIEŠENIE HORIZONTÁLNEJ ZLOŽKY MAGNETICKÉHO POĽA

OBSAH

● Odvodenie Biot – Savartovho zákona● Solenoid ● Riešenie integrálov horizontálnych

zložiek mag. poľa ● Príklad ● Výsledky numerického výpočtu ● Záver príkladu ● Literatúra

ODVODENIE BIOT-SAVARTOVHO ZÁKONA

Magnetické pole sa prejavuje silovými účinkami jednak na vodiče pretekané makroskopickým prúdom, jednak na pohybujúce sa teleso nesúce ľubovoľný náboj, ale ma taktiež účinky na všetky druhy látok v pokoji.

Podrobný kvantitatívny rozbor výsledkov jednotlivých typov experimentu dovoľuje formulovať základný definičný vzťah pre veličinu charakterizujúcu magnetické pole, ktorá sa z historických dôvodov nazýva magnetická indukcia.


platí, že celkovú silu pôsobiacu na časticu možno vyjadriť vzťahom

Táto rovnica môže byť považovaná za definičný vzťah pre magnetickú indukciu a to i v prípade, že elektrické pole je v danom mieste nulové. Ďalšie zobecnenie dostaneme, ak namiesto jedného náboja Q budeme uvažovať pôsobenie magnetického poľa na ľubovoľný prúd popísaný prúdovou hustotou Vyšetrovanie cirkulácie indukcie vedie k vyjadreniu zákona celkového prúdu

BvEQF

rj


Magnetický tok je definovaný vzťahom Magnetický tok ľubovoľne uzavretou plochou je

nulový, teda .Pomocou matematickej analýzy to možno vyjadriť v tvare .

Platnosť vzťahu ukazuje, že magnetické pole je solenoidálne. Magnetické pole možno teda vyjadriť pomocou nového vektorového poľa tzv. vektorového potenciálu magnetického poľa . Platí: . Pomocou úprav a vzťahov vektorovej analýzy sa dopátrame

S

SdB

0S

SdB

0Bdiv

rA rr ArotB


čo je vyjadrením Biot-Savartovho vzťahu.

V

rr dV

R

RjB

30

4

SOLENOID

Pod pojmom solenoid rozumieme kruhovú cievku polomeru R, dĺžky l a N počtu závitov. Tým pádom je magnetické pole rotačné, súmerné podľa osi solenoidu.

SOLENOID

Použitím Biotovho – Savartovho zákona je možne spočítať indukciu magnetického poľa budeným prúdom pretekajúcim týmto vodičom. Pre magnetickú indukciu v strede kruhového vodiča platí

kedy po úprave pre celkovú indukciu v danom mieste osi, ktorá smeruje do stredu kruhového závitu platí

3

0

4 r

rsdIdB

2/322

2

0

2 aR

RIB

SOLENOID

Po ďalších úpravách získame vzťah, kedy a=0 čo je prípad stredu solenoidu, potom:

2

0

21

1

lRl

INB

Riešenie integrálov horizontálnych zložiek mag. poľa

Ak skrutkovica (solenoid) s celým počtom závitov N, osou totožnou s osou z a stredom v začiatku súradnicovej sústavy má parametrickú rovnicu,

potom po úpravách Biot-Savartovho vzťahu získame jednotlivé zložky v tvare:

2;sin;cos

t

N

lztRytRx


ktoré riešenie bolo hlavným cieľom tejto úlohy.

N

Nx

dtta

ttt

R

IaB 3

22

0

1

sincos

4

N

Ny

dtta

ttt

R

IaB 3

22

0

1

cossin

4

N

Nz

dttaR

IB 3

22

0

1

1

4


Z nepárnosti prvého integrálu v premennej t vyplýva, že jeho riešenie bude nulové. Na riešenie druhého integrálu sa použila nasledujúca úvaha, kedy v čitateli sa funkcie sin(t) a cos(t) rozvinuli v radu:

)!12(

1....!5!3

...!5!3

sin2

164

253

n

tttt

tttttt

nn

)!2()1(....

!6!4!21cos

2642

n

ttttt

nn


Menovateľ sa vyjadrí pomocou binomickej rady, t.j.

Ďalší postup spočíval v prenásobení rady radou a to pomocou Cauchyho súčinu, t.j.

Po tomto kroku sa dostávame k riešeniu

0

22

663

442

222

322

!2

)12(...7531)1(

...!32

753

!22

53

2

311

n

nnn

n tan

n

tatatata

nnn

Uba


N

N

nnnnnn

n

nnn

N

Ny

tan

nta

n

nta

n

nt

n

n

R

Ia

dtta

ttt

R

IaB

24

2

1221221210

322

0

)!2(2

32

22

531

)!1(2

12

2

31

!2

121

!2

121

4

1

cossin

4


Výpočet posledného integrálu spočíval v substitúcií

Po úpravách a riešení integrálu získame výsledok v tvare

duua

dta

ut

2cos

11tan

R

l

Ra

IBz 2

arctansin2

0

PRÍKLADPredchádzajúce tvrdenia si overme na príklade.Vypočítajme indukciu magnetického poľa v strede solenoidu dĺžky l

= 1m, s počtom závitov N = 2000 a polomerom R = 2cm, keď závitom preteká prúd veľkosti I = 5A.

Podľa vzťahu

Riešením je výsledok že B = 4π10-3 T čo je približne 0,01257 T. Z riešenia integrálu Bz vyplýva Bz= 0,01256, no pri riešení integrálu By vznikol problém, kedy po vyjadrení integrálu z-ovej zložky magnetickej indukcie pomocou postupu uvedeného vyššie a po následnom dosadení hraníc integrálu t = <-Nπ, Nπ> zistíme, hodnota výsledku je príliš veľká (jej hodnota dosiahne hodnotu e+11) a spôsobená buď zlým zvoleným postupom výpočtu, prípadne hrubou chybou.

2

0

21

1

lRl

INB

PRÍKLAD

Priklonil som sa k variante, kedy výpočet tohto integrálu analytickým spôsobom nie je možný a volil som numerický spôsob výpočtu. Medzi numerické metódy patrí napr.:

- Obdĺžniková- Lichobežníková- Simpsonová

PRÍKLAD

Iný problém nastal pri výpočte odhadu chyby Simpsonovej metódy, kedy výpočty a graf na intervale –pi, pi ukázali, že odhad je nereálny a Tailorov rozvoj je možný len v okolí počiatku. -5 -2.5 2.5 5 7.5

1

2

3

4

5

6

PRÍKLAD

N.V. obdĺž. met. N.V. lichob. met. N.V. simp. met.

n

10 0,0796113741 0,0796114342 0,10533142

500 0,0312535003 0,0312556654 0,0312579

1000 0,0312738291 0,0312658296 0,03125786

4000 0,0125564373 0,0125563565 0,01577038

TABUĽKA VÝSLEDKOV NUMERICKÉHO VÝPOČTU

ZÁVER PRÍKLADU

Z výsledkov výpočtu vyplýva, že lichobežníková a obdĺžniková metóda pri veľkom rozdelení n podávajú približne rovnaké výsledky. Ďalej, výsledky poukázali na fakt, kedy pri veľkom N je výsledok výpočtu simpsonovou metódou väčší ako by mal byť, čo potvrdzuje nevhodnosť použitia tejto metódy.

VYUŽITIE MAGNETICKÉHO POĽA

Magnetické pole ma nepriamy vplyv aj na merania spojené s geodetickou činnosťou. Súvis magnetického poľa sa dáva dokopy nájme s banským meraním, resp. meraním uhlov magnetickými prístrojmi. Magnetické meranie uhlov sa dnes už len ojedinele používa pri meraní banských polygónových ťahov.

VYUŽITIE MAGNETICKÉHO POĽA

Ďalšie využitie, napríklad v medicíne (magnetoterapia) užíva nízkofrekvenčné pulzné magnetické pole apod.

LITERATÚRA [1] Hrkota, K.: K meraniu magnetického poľa

Zeme podľa prepracovaného vydania učebnice: Fyzika pre 3. ročník gymnázií. Publikácia v časopise: OBZORY MATMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY 3/2004 (33).

[2] Sedlák, B. – Štoll, I.: Elektřina a magnetismus, ACADEMIA, Praha

2002 [3] Kočandrlová,M.: Úvod do integrálního

počtu, Študijný text pre obor G+K, Praha 2004;

VYČÍCHLOVÁ SÚŤAŽ

VĎAKA ZA POZORNOSŤ !!

Vyhotovil: ELIAŠ MichalEmail: [email protected]

vyČÍchlovÁ sÚŤaŽ

Documents