Vybrané diskrétne rozdelenia Vybrané diskrétne rozdelenia pravdepodobnosti v prírodepravdepodobnosti v prírode

Lýdia Kontrová - Ivana Lýdia Kontrová - Ivana Pobočíková Pobočíková

Nowy Sacz – PolskoNowy Sacz – Polsko

Konferencja Matematyka w przyrodzieKonferencja Matematyka w przyrodzie

Kam smeruje vyučovanie matematiky v podmienkach modernej Kam smeruje vyučovanie matematiky v podmienkach modernej vedomostnej informačnej spoločnosti ?vedomostnej informačnej spoločnosti ?

Informačná spoločnosť prináša zmeny do vyučovania aj Informačná spoločnosť prináša zmeny do vyučovania aj matematikymatematiky

V nadväznosti na výsledky a odporúčania viacerých V nadväznosti na výsledky a odporúčania viacerých výskumov, napríklad (PISA) registrujeme viaceré trendy výskumov, napríklad (PISA) registrujeme viaceré trendy (tendencie)):(tendencie)):

Redukovanie obsahov učiva, ktoré majú faktografickú Redukovanie obsahov učiva, ktoré majú faktografickú alebo príliš abstraktnú podobu, alebo príliš abstraktnú podobu, menej encyklopedických menej encyklopedických vedomostí viac neformálneho porozumenia, vedomostí viac neformálneho porozumenia,

Menej transmisívneho vyučovania Menej transmisívneho vyučovania viac viac konštruktivistických edukačných stratégií,konštruktivistických edukačných stratégií,Dôraz na chápanie - porozumenie a aplikovanie Dôraz na chápanie - porozumenie a aplikovanie poznatkov v praxi, poznatkov v praxi, menej memorovať – viac aplikovať,menej memorovať – viac aplikovať,Úsilie Úsilie prepojiť obsahy učiva prepojiť obsahy učiva jednotlivých vyučovacích jednotlivých vyučovacích predmetov, (nutnosť transferu vedomostí, získaných pri predmetov, (nutnosť transferu vedomostí, získaných pri vyučovaní jedného prírodovedného predmetu do oblasti vyučovaní jedného prírodovedného predmetu do oblasti iného predmetu, interdisciplinarita),iného predmetu, interdisciplinarita),Naliehavosť ponúkať Naliehavosť ponúkať modernú, užitočnú a modernú, užitočnú a aplikovateľnú matematiku. aplikovateľnú matematiku.

Neformálne a atraktívne vyučovanie Neformálne a atraktívne vyučovanie matematikymatematiky

Ak chceme, aby študenti nazerali na Ak chceme, aby študenti nazerali na matematické pojmy neformálne, aby boli matematické pojmy neformálne, aby boli matematikou zaujatí a fascinovaní musíme im matematikou zaujatí a fascinovaní musíme im matematiku prezentovať vo vzťahoch, a to na matematiku prezentovať vo vzťahoch, a to na dvoch úrovniach:dvoch úrovniach:

Matematické pojmy medzi sebou, Matematické pojmy medzi sebou, (matematický svet je sieťou navzájom matematický svet je sieťou navzájom súvisiacich faktov a pojmov. Poznanie korelácií súvisiacich faktov a pojmov. Poznanie korelácií medzi nimi je nevyhnuté pre každého, kto medzi nimi je nevyhnuté pre každého, kto chce hlbšie preniknúť do sveta matematikychce hlbšie preniknúť do sveta matematiky).

Matematické pojmy a ich prepojenie na reálny Matematické pojmy a ich prepojenie na reálny svet. svet. (svet prírody okolo nás). (svet prírody okolo nás).

Matematika potrebuje ostatné vedné Matematika potrebuje ostatné vedné disciplíny a naopakdisciplíny a naopak

Ako učitelia matematiky sme často Ako učitelia matematiky sme často konfrontovaní otázkami študentov, konfrontovaní otázkami študentov, ktorých ktorých zaujíma ako a kde môžu práve zaujíma ako a kde môžu práve preberaný matematický poznatok preberaný matematický poznatok využiť v praxi.využiť v praxi.

Ak chceme v takejto chvíli vhodne Ak chceme v takejto chvíli vhodne a inšpiratívne reagovať, musíme a inšpiratívne reagovať, musíme upriamiť pozornosť do sveta biológie, upriamiť pozornosť do sveta biológie, ekonómie, ekológie, chémie či fyziky ekonómie, ekológie, chémie či fyziky a ponúknuť študentom relevantný a ponúknuť študentom relevantný aplikačný príklad. aplikačný príklad.

Vybrané diskrétne rozdelenia Vybrané diskrétne rozdelenia pravdepodobnosti v prírodepravdepodobnosti v prírode

V našom príspevku predstavíme vybrané diskrétne rozdelenia V našom príspevku predstavíme vybrané diskrétne rozdelenia pravdepodobnosti ako sa s nimi stretáme v prírode. pravdepodobnosti ako sa s nimi stretáme v prírode.

V praktických aplikáciách majú veľký význam V praktických aplikáciách majú veľký význam BinomickéBinomické a a PoissonovoPoissonovo rozdelenie. Ich aplikáciu ukážeme na jednoduchých rozdelenie. Ich aplikáciu ukážeme na jednoduchých príkladoch z biológie. Prepojenie teoretických poznatkov z teórie príkladoch z biológie. Prepojenie teoretických poznatkov z teórie pravdepodobnosti a biológie zvyšuje záujem študentov o pravdepodobnosti a biológie zvyšuje záujem študentov o preberanú problematiku. preberanú problematiku.

Pri skúmaní rôznych prírodných javov existuje veľa situácií, ktoré sme Pri skúmaní rôznych prírodných javov existuje veľa situácií, ktoré sme schopní popísať vhodnými pravdepodobnostnými modelmi. Tieto schopní popísať vhodnými pravdepodobnostnými modelmi. Tieto modely nám dokážu nielen zrozumiteľne popísať skúmané javy a modely nám dokážu nielen zrozumiteľne popísať skúmané javy a často dokážu indikovať ich chovanie. často dokážu indikovať ich chovanie.

Pozorovanú situáciu zjednodušíme, predstavíme si ju ako náhodný Pozorovanú situáciu zjednodušíme, predstavíme si ju ako náhodný pokus a zadefinujeme si vhodnú náhodnú premennú. Ak vieme, pokus a zadefinujeme si vhodnú náhodnú premennú. Ak vieme, aké hodnoty nadobúda náhodná premenná a s akými aké hodnoty nadobúda náhodná premenná a s akými pravdepodobnosťami ich nadobúda vieme jej rozdelenie pravdepodobnosťami ich nadobúda vieme jej rozdelenie pravdepodobnosti.pravdepodobnosti.

Rozdelenie pravdepodobnosti a parametre, od ktorých rozdelenie Rozdelenie pravdepodobnosti a parametre, od ktorých rozdelenie pravdepodobnosti závisí, sú dôležité pre pochopenie pozorovanej pravdepodobnosti závisí, sú dôležité pre pochopenie pozorovanej situácie. Slúžia na predpovedanie budúcich javov, výpočet situácie. Slúžia na predpovedanie budúcich javov, výpočet dôležitých charakteristík, ktoré popisujú vlastnosti skúmanej dôležitých charakteristík, ktoré popisujú vlastnosti skúmanej náhodnej premennej.náhodnej premennej.

Binomické rozdelenie - Binomické rozdelenie - BiBi((nn, , pp). ). Charakteristika náhodnej premennej s binomickým rozdelením:Charakteristika náhodnej premennej s binomickým rozdelením:Robí sa Robí sa nn nezávislých pokusov. Každý pokus končí iba dvoma možnými nezávislých pokusov. Každý pokus končí iba dvoma možnými

výsledkami - nastane výsledkami - nastane „úspech" „úspech" , resp. nastane , resp. nastane „neúspech".„neúspech".Pravdepodobnosť nastania „ úspechu“ Pravdepodobnosť nastania „ úspechu“ pp je v každom pokuse rovnaká. je v každom pokuse rovnaká.Náhodná premenná Náhodná premenná XX znamená počet „úspechov" v znamená počet „úspechov" v nn nezávislých nezávislých

pokusoch.pokusoch.Náhodná premenná Náhodná premenná X X má binomické rozdelenie s parametrami má binomické rozdelenie s parametrami nn ∈ ∈ NN, ,

pp ∈ (0, 1), ak nadobúda hodnoty 0, 1, 2, ..., ∈ (0, 1), ak nadobúda hodnoty 0, 1, 2, ..., nn s pravdepodobnosťami s pravdepodobnosťami

Binomické rozdelenie je užitočné pri popise mnohých javov v prírode. Binomické rozdelenie je užitočné pri popise mnohých javov v prírode. BinomickéBinomické

rozdelenie má napr.rozdelenie má napr.• • počet vyklíčených semien z počet vyklíčených semien z n n náhodne vybraných semien,náhodne vybraných semien,• • počet stromov, ktoré sa ujmú z počet stromov, ktoré sa ujmú z n n zasadených stromov,zasadených stromov,• • počet rastlín, ktoré vykvitnú na červeno z počet rastlín, ktoré vykvitnú na červeno z nn zasadených zasadených

rastlín,rastlín,• • počet rastlín napadnutých hubovitou chorobou z počet rastlín napadnutých hubovitou chorobou z nn rastlín na rastlín na

poli.poli.

Problém1. Problém1. Podľa zistení je pravdepodobnosť, že Podľa zistení je pravdepodobnosť, že sa vrabčie mláďa dožije dospelosti rovná 0,2. Ak sa vrabčie mláďa dožije dospelosti rovná 0,2. Ak sú vo vrabčom hniezde v priemere 4 mláďatá, sú vo vrabčom hniezde v priemere 4 mláďatá, vypočítajme pravdepodobnosť, že všetky vypočítajme pravdepodobnosť, že všetky mláďatá v hniezde sa dožijú dospelosti.mláďatá v hniezde sa dožijú dospelosti.

Riešenie. Riešenie. Počet mláďat v hniezde, ktoré sa dožijú Počet mláďat v hniezde, ktoré sa dožijú dospelosti, je náhodná premenná dospelosti, je náhodná premenná XX s s binomickým rozdelením s parametrami binomickým rozdelením s parametrami nn = 4, = 4, pp = 0,2; t. j. = 0,2; t. j. X X ∼ ∼ BiBi(4; 0,2).(4; 0,2).

Pravdepodobnosť, že všetky mláďatá v hniezde sa Pravdepodobnosť, že všetky mláďatá v hniezde sa dožijú dospelosti je rovnádožijú dospelosti je rovná

Problém 2. Problém 2. Pestuje sa hrach s bielymi alebo Pestuje sa hrach s bielymi alebo červenými kvetmi. Podľa Mendelových zákonov je červenými kvetmi. Podľa Mendelových zákonov je červená farba kvetu dominantný znak. Potom červená farba kvetu dominantný znak. Potom pravdepodobnosť, že vykvitne hrach s červenými pravdepodobnosť, že vykvitne hrach s červenými kvetmi je rovná 0,75. Aká je pravdepodobnosť, že kvetmi je rovná 0,75. Aká je pravdepodobnosť, že z 20 rastlín hrachu práve 12 vykvitne na červeno?z 20 rastlín hrachu práve 12 vykvitne na červeno?

Riešenie. Riešenie. Počet rastlín hrachu, ktoré vykvitnú na Počet rastlín hrachu, ktoré vykvitnú na červeno je náhodná premenná červeno je náhodná premenná XX s binomickým s binomickým rozdelením s parametrami rozdelením s parametrami nn = 20, = 20, pp = 0, 75, = 0, 75, t. t. j. Xj. X ∼ ∼ BiBi(20; 0,75). (20; 0,75).

PotomPotom

Ako vidíme, pri implementovaní Ako vidíme, pri implementovaní aplikačných úloh uvedeného typu do aplikačných úloh uvedeného typu do vyučovania danej problematiky, vyučovania danej problematiky, rutinné výpočty a nezáživné rutinné výpočty a nezáživné dosadzovania do vzorcov získavajú dosadzovania do vzorcov získavajú „nový rozmer a zmysel„nový rozmer a zmysel". ". Študenti Študenti riešia konkrétny, často pre nich riešia konkrétny, často pre nich podnetný a zaujímavý problém zo podnetný a zaujímavý problém zo sveta prírody, ich pohľad na daný sveta prírody, ich pohľad na daný abstraktný vzorec sa mení, abstraktný vzorec sa mení, motivácia motivácia pre učenie sa matematiky rastie.pre učenie sa matematiky rastie.

Poissonovo rozdelenie - Poissonovo rozdelenie - PPoo((λλ). ).

Charakteristika náhodnej premennej s Poissonovým Charakteristika náhodnej premennej s Poissonovým rozdelením rozdelením

Zisťujeme, koľkokrát nastane sledovaný jav počas danej Zisťujeme, koľkokrát nastane sledovaný jav počas danej jednotky času (plochy, objemu, vzdialenosti, ...).jednotky času (plochy, objemu, vzdialenosti, ...).

Pravdepodobnosť nastania sledovaného javu počas danej Pravdepodobnosť nastania sledovaného javu počas danej jednotky času (plochy, objemu, vzdialenosti, ...) je jednotky času (plochy, objemu, vzdialenosti, ...) je rovnaká pre všetky jednotky.rovnaká pre všetky jednotky.

Počet nastaní sledovaného javu počas danej jednotky Počet nastaní sledovaného javu počas danej jednotky času (plochy, objemu, vzdialenosti, ...) závisí len od času (plochy, objemu, vzdialenosti, ...) závisí len od veľkosti danej jednotky.veľkosti danej jednotky.

Priemerný počet nastaní sledovaného javu v danej Priemerný počet nastaní sledovaného javu v danej jednotke sa označuje jednotke sa označuje λ.λ.

Náhodná premennáNáhodná premenná X X má Poissonovo rozdelenie s má Poissonovo rozdelenie s parametrom parametrom λλ > 0, > 0, ak nadobúda hodnoty 0, 1, 2, ... s ak nadobúda hodnoty 0, 1, 2, ... s pravdepodobnosťamipravdepodobnosťami

Poissonovo rozdelenie je užitočným modelom pri Poissonovo rozdelenie je užitočným modelom pri popise mnohých praktických situácií, kde sa popise mnohých praktických situácií, kde sa vyskytujú zriedkavé javy, teda javy, ktoré sa vyskytujú zriedkavé javy, teda javy, ktoré sa vyskytujú s malými pravdepodobnosťami. vyskytujú s malými pravdepodobnosťami. Poissonovo rozdelenie má napr.Poissonovo rozdelenie má napr.

počet vtáčích hniezd (rastlín, škodcov, počet vtáčích hniezd (rastlín, škodcov, dážďoviek) na danej ploche,dážďoviek) na danej ploche,

počet mikroorganizmov (krviniek) v zornom poli počet mikroorganizmov (krviniek) v zornom poli mikroskopu,mikroskopu,

počet baktérií v jednej Petriho miske,počet baktérií v jednej Petriho miske,počet škodcov na jednej rastlinepočet škodcov na jednej rastline,,ak ak nn → ∞ a → ∞ a p p → 0, možno binomické rozdelenie → 0, možno binomické rozdelenie

BiBi((nn, , pp) aproximovať Poissonovým rozdelením ) aproximovať Poissonovým rozdelením s parametrom,s parametrom,

λ λ = = n pn p..

Problém 3. Problém 3. Pokusné pole je rozdelené na rovnako veľké štvorce. Zistilo Pokusné pole je rozdelené na rovnako veľké štvorce. Zistilo sa, že priemerný počet nevyklíčených rastlín v jednom štvorci je 3. Aká sa, že priemerný počet nevyklíčených rastlín v jednom štvorci je 3. Aká je pravdepodobnosť, že je pravdepodobnosť, že

a) v jednom štvorci sa nachádza aspoň jedna nevyklíčená rastlina?a) v jednom štvorci sa nachádza aspoň jedna nevyklíčená rastlina?

b) v jednom štvorci sa nachádza nepárny počet nevyklíčených rastlín?b) v jednom štvorci sa nachádza nepárny počet nevyklíčených rastlín?

c) v jednom štvorci sa nachádza párny počet nevyklíčených rastlín?c) v jednom štvorci sa nachádza párny počet nevyklíčených rastlín?

Počet nevyklíčených rastlín v jednom štvorci je náhodná premenná Počet nevyklíčených rastlín v jednom štvorci je náhodná premenná XX s Poissonovým rozdelením s parametroms Poissonovým rozdelením s parametrom λ λ = 3= 3..

Riešenie. Riešenie. a) Pretože a) Pretože XX ∼ ∼ PoPo(3), je pravdepodobnosť, že v jednom (3), je pravdepodobnosť, že v jednom štvorci sa nachádza aspoň jedna nevyklíčená rastlina rovnáštvorci sa nachádza aspoň jedna nevyklíčená rastlina rovná

b) Pravdepodobnosť, že sa v jednom štvorci nachádza nepárny b) Pravdepodobnosť, že sa v jednom štvorci nachádza nepárny počet nevyklíčených rastlín je počet nevyklíčených rastlín je

c) Pravdepodobnosť, že sa v jednom štvorci nachádza párny c) Pravdepodobnosť, že sa v jednom štvorci nachádza párny počet nevyklíčených rastlín je počet nevyklíčených rastlín je

Problém 4Problém 4. Sleduje sa výskyt istého druhu chránenej Sleduje sa výskyt istého druhu chránenej rastliny. Lúka je rozdelená na 1 000 rovnako veľkých rastliny. Lúka je rozdelená na 1 000 rovnako veľkých štvorcov. Na 69 z nich sa nenachádza žiadna štvorcov. Na 69 z nich sa nenachádza žiadna chránená rastlina. Na lúke sú chránené rastliny chránená rastlina. Na lúke sú chránené rastliny rozmiestnené náhodne. Odhadnime ich počet.rozmiestnené náhodne. Odhadnime ich počet.

Riešenie. Riešenie. Pravdepodobnosť, že na jednom pokusnom Pravdepodobnosť, že na jednom pokusnom poli sa nenachádza žiadna chránená rastlina je rovnápoli sa nenachádza žiadna chránená rastlina je rovná

Potom Potom 0, 069 = 0, 069 = ee− − λ λ

a teda a teda λ λ = 2, 6736.= 2, 6736.

Odtiaľ odhad počtu chránených rastlín na Odtiaľ odhad počtu chránených rastlín na lúke je rovný lúke je rovný nn = 1 000. = 1 000.λλ = 2 = 2 674674. .

Potom Potom 0, 069 = 0, 069 = ee− − λ λ

a teda a teda λ λ = 2, 6736.= 2, 6736.

Odtiaľ odhad počtu chránených rastlín na Odtiaľ odhad počtu chránených rastlín na lúke je rovný lúke je rovný nn = 1 000. = 1 000.λλ = 2 = 2 674674. .

Uvedené príklady sú inšpiratívne práve preto, že Uvedené príklady sú inšpiratívne práve preto, že poukazujú na kontext pojmov z teórie poukazujú na kontext pojmov z teórie pravdepodobnosti s ďalšími matematickými pojmami. pravdepodobnosti s ďalšími matematickými pojmami.

Napríklad pri riešení príkladu 3 sme využili aj známe Napríklad pri riešení príkladu 3 sme využili aj známe rozvoje funkcií rozvoje funkcií yy = = sinh x sinh x a a y y = = cosh x cosh x do do MacLaurinovho radu. MacLaurinovho radu.

Pri riešení problému v príklade 4 sme zase použili Pri riešení problému v príklade 4 sme zase použili vedomosti o riešení jednoduchých exponenciálnych vedomosti o riešení jednoduchých exponenciálnych rovnicich.rovnicich.

Študenti pri riešení takýchto úloh Študenti pri riešení takýchto úloh registrujú vzájomné registrujú vzájomné prepojenie pojmov z rôznych oblastí matematiky, prepojenie pojmov z rôznych oblastí matematiky, čo je čo je jeden z kľúčových didaktických momentov. jeden z kľúčových didaktických momentov.

Ak totiž chceme, aby študenti nazerali na matematické Ak totiž chceme, aby študenti nazerali na matematické pojmy neformálne, musíme im ich prezentovať vo pojmy neformálne, musíme im ich prezentovať vo vzťahoch, a to na dvoch úrovniach: súvis vzťahoch, a to na dvoch úrovniach: súvis matematických pojmov medzi sebou, matematické matematických pojmov medzi sebou, matematické pojmy a ich prepojenie na reálny svet.pojmy a ich prepojenie na reálny svet.

Príroda okolo nás ukrýva mnohé tajomstvá, ktoré môže Príroda okolo nás ukrýva mnohé tajomstvá, ktoré môže vysvetliť, interpretovať a odkryť práve matematika. vysvetliť, interpretovať a odkryť práve matematika.

Matematické modely a matematické simulácie prinášajú Matematické modely a matematické simulácie prinášajú odpovede na mnohé otázky, ktoré v nás vyvoláva odpovede na mnohé otázky, ktoré v nás vyvoláva obklopujúci svet s celou jeho rozmanitosťou. obklopujúci svet s celou jeho rozmanitosťou.

Kooperácia matematiky s prírodnými vedami je inšpiratívna, Kooperácia matematiky s prírodnými vedami je inšpiratívna, obohacujúca, ale predovšetkým, v dnešnom svete, ktorý sa obohacujúca, ale predovšetkým, v dnešnom svete, ktorý sa dožaduje exaktných odpovedí a presnej kvantifikácie dožaduje exaktných odpovedí a presnej kvantifikácie každého problému, nadovšetko nevyhnutná.každého problému, nadovšetko nevyhnutná.

David Hilbert, veľký matematik - teoretik sa nebál vysloviť David Hilbert, veľký matematik - teoretik sa nebál vysloviť nasledujúci výrok:nasledujúci výrok:

„„Matematika by nemala byť považovaná za hotovú Matematika by nemala byť považovaná za hotovú (zavŕšenú), pokiaľ ju neurobíme takou jasnou a (zavŕšenú), pokiaľ ju neurobíme takou jasnou a zrozumiteľnou, že ju dokážeme objasniť každému zrozumiteľnou, že ju dokážeme objasniť každému človeku, ktorého stretneme na ulici.“človeku, ktorého stretneme na ulici.“

A nám nezostáva iné, len s ním súhlasiť a neustále pokračovať A nám nezostáva iné, len s ním súhlasiť a neustále pokračovať v úsilí: v úsilí: učiť matematiku atraktívnejšie, zaujímavejšie, učiť matematiku atraktívnejšie, zaujímavejšie, učiť matematiku aplikovať.učiť matematiku aplikovať.

Vďaka za pozornosťVďaka za pozornosť