Hoofdstuk 2 Vlakke meetkunde

2.1 Vergelijkingen en rekenen met wortels

2. a 23 · 35 = 2 · 3 ·(3 · 5) = 615b 23 · 12 = 2 · (3 · 12) = 36 = 6c 3a2 · a7 = 3a · a ·(2 · 7) = 3a2 14d 4·6 = 4 · (·6 ) = 43e = = 2f = · = 4 = · 2 = 1g = = 6h = = ai = = ab

3. a (23)2 = 22 · (3)2 = 4 · 3 = 12b (·6)2 = ()2 · (6)2 = · 6 = 1,5c (2)2 = ()2 (2)2 = · 2 = = d (a2)2 = a2 ·(2)2 = 2a2

e (a2)2 = ()2 · a2 · (2)2 = ·a2· 2 = a2

f (a2)2 = ()2 · a2 (2)2 = · a2 · 2 = a2

4. a 27 = (9 · 3) = 9 · 3 = 33b 32 = (16 · 2) = 16 · 2 = 42c 48 = (16 · 3) = 16 · 3 = 43d 54 = (9 · 6 ) = 9 · 6 = 36e = = f = = g = = = 7

h () = = = 3i () = = = 5

5. a 18a = (9 · 2a) = 9 · 2a = 32ab 3a2 = 3 · a2 = a3c (a2) = ·a2 = ad (a2) = a2 = a = a7e (a2) = (2 · ·a2) = 2 · · a2 = a2f (a2) = · a2 = a3

6. a QBA' = 90 BA'Q SA'T = 180 ( TA'B + BA'Q) = 180 90 BA'Q = 90 BA'Q = QBA'

b Driehoeken TSA' en A'QB zijn gelijkvormigdus = ST · BQ = SA' · A'Q ST = = = = = a · 2 = a2 ST = a2 dus T op de helft

c Vouw papier doormidden om punt T te vinden. Vouwlijn TB geeft punt A'Zo vind je dus vouwlijn SQ en daarna RP.

7. a 6 × 2 = 12 b AF = (AB2 + BF2) = (a2 + a2 = (2a2) = a2c Vanuit elk hoekpunt 1 lichaamsdiagonaal

Je telt ze op deze manier dubbel dus = 4 lichaamsdiagonalend BH = (EH2 +BE2) = (a2 + 2a2) = (3a2) = a3

8. a DNM gelijkvormig aan BNA (zandloperfiguur)dus MN : AN = AM : AB = 3 : 6 = 1 : 2AM = AD2 + DM2) = (62 + 32) = 45 = (9 · 5) = 35MN = AM = 5 AN = AM = 25

b NS = DB DNDN : NB = 1 : 2 (zandloperfiguur)DB = (AB2 + AD2) = (62 + 62) = 62DN = DB = 22NS = 6 2 22 = 2

of Beschouw ASN met s = 90AS2 + NS2 = AN2 NS = (AN2 AS2)AS = AC = (62 + 62) = · 62 = 32NS = ((25)2 (32)2) = (20 18) = 2

c CN = AN = 25 (figuur is symmetrisch)

9. a BSD gelijkvormig HSM BS : HS = DB : HM = 2 : 1 DB = (62 + 62) = 62HB = (62 + (62)2) = 63BS = HB = 43

b MS : DS = DB : HM = 2 : 1DM = (62 + (32)2) = 54 = (9 · 6) = 36MS = DM = 6

c HS2 = (23)2 = 4 · 3 = 12MS2 = (6)2 = 6HM2 = (32)2 = 9 · 2 = 18dus HS2 + MS2 = HM2 dus de stelling klopt

d BH DM volgt uit stelling van pythagoras want deze klopt alleen als HSM = 90

10 a BC = a2BN = BC = a2Voor A'BN geldt A'B2 = A'N2 + BN2

dus A'N2 = A'B2 BN2 = a2 (a2)2 = a2 a2 · 2 = a2 a2 = a2

A'N = (a2) = a = a = a2b A'Q2 = A'B2 BQ2 = a2 (a2)2 = a2 a2 · 2 = a2

A'Q = (a2) = a7c BL = AD = a2 > a

dus kan hij nooit bij deze lijn komen11. a O(DRS) + O(CQP) = O(ABCD) O(ABPQRS) = 16 11 = 5

b DS = 4 x DR = (4 x)c O(DRS) = O(CQP) = · DS ·DR = ·(4 x) · (4 x) = (x 4)2

2(DRS) = 5(4 x)2 = 5

d (4 x)2 = 10 4 x = 10

x = 4 10 0,84

12. a AP = x MP = AD AP = 21,0 xAP2 + AM2 = MP2

x2 + 14,852 = (21 x)2

Voer in GR y1 = x2 + 14,852 en y2 = (21 x)2 en bepaal het snijpunt tussen beide lijnen.

x 5,25 dus AP 5,25b AB = BC2

Stel AD = a en AP = xMP = a xAM = AB = a2AP2 + AM2 = MP2

x2 + (a2)2 = (a x)2

x2 + a2 · 2 = (a x)(a x)x2 + a2 = a2 2ax + x2

a2 2ax = 0a(a 2x) = 0a 2x = 0 2x = a . x = a oftewel AP = AD

13. a Hoogte 2 van 6dus zijde afgenomen met · 6 = 2 Zijden A'B' = 4 Schuine zijde (12 + 11 = 2

b Stel zijde A'B' = A'S' = xStel AA' = aA'S' = (a2 + a2) = a2 = x a = A'B' + 2AA' = ABx + 2 = 6

c x (1 + ) = 6x = 2,49

d De twee driehoeken zijn gelijkvormigdus =

6 h = x h = 6 x = 6 2,49 3,51

14. Stelling van pythagoras52 = x2 + (6 x)2

25 = x2 + (6 x)(6 x)x2 +36 6x 6x + x2 25 = 02x2 12x + 9 = 0D = (-12)2 4 · 2 · 9 = 56x = x 1,13 x 4 ,87BE 1,13

15. a Diagonaal 4 kant = 2 · r = 2 · 6 = 12Stel zijde 4 kant is aDiagonaal = (a2 + a2) = a2 = 12 a = = 2 · 12 = 62

b Beschouw de driehoek ABM MBA = B = 60 = 30sin 30 = AM = MB sin 30 = 6 · = 3MB2

= AB2 + AM2

AB2 = MB2 AM2 = 62 32

AB2 = 36 9 = 27 AB = 27 = 33zijde driehoek = 2AB = 2 · 33 = 63

16. Stel AM = xAB = AC = (x + 6)MB2 = AM2 + AB2 62 = x2 + ((x + 6))2

362 = x2 + (x + 6)(x + 6)144 = 4x2 + (x2 + 12x + 36) 5x2 + 12x 108 = 0D = 122 4 · 5 · -108 = 2304 x = x = 3,6 x = -6AC = 3,6 + 6 = 9,6

17. Stel EF = x FB = (10 x)FG = 2x GB = 3 x

FG2 = FB2 + GB2

4x2 = (10 x)2 + (3 x)2

16x2 = (10 x)(10 x) + 4(3 x)(3x)16x2 = 100 20x + x2 + 4(9 3x + x2)16x2 = x2 20x +100 + 36 12x + x2 14x2 + 32x 136 = 07x2 + 16x 68 = 0D = 162 4 · 7 · -68 = 2160x = x 2,18 x - 4,46 (n v t)EF 2,18

2.2 Omtrek en oppervlakte

23. Je kunt de trapezium opdelen in 2 driehoeken en een vierkant stel dat de basis van de linker driehoek x is.driehoek 1 heeft h als hoogte en x als basisdriehoek 2 heeft h als hoogte en a b x als basisvierkant b × h Opp = 1 + 2 + vierkant = · x · h + (a b x) · h + b · h

= x · h + ·a · h · b · h · x · h + b · h= a · h + b · h = (a + b) · h

24. a O = 13 + 5 + 7 + 5 = 30h = (52 32) = 16 = 4Opp = (7 + 13) · 4 = 40

b hoogte trapezium is helft van de oude dus 2Afstand MN = (13 + 7) = 10O = 13 + 2,5 + 10 + 2,5 = 28Opp = (13 + 10) · 2 = 23

c Neem punt D' op AB zodat DD' AB AD'D gelijkvormig aan PQDdus = PQ = = · DQAD'= 3 en DD'= 4PQ = xPR = 7 + 2 · x = 7 + x (figuur is symmetrisch)

d OppPRCD = (7 + x + 7 ) · x = 7x + x2

e 7x + x2 = 203x2 + 28x 80 = 0D = 282 4 · 3 · -80 = 1744x = x 2,29 x = -11,62 (n v t)x = 2,29

f uit gelijkvormigheid volgt = dus PD = · PQ = xAP = AD PD = 5 xOmARCD = 7 +(7 + 2 · x) + 2 · x = 14 +x + x = 14 + 4x OmABRP = 13 +(7 + 2 · x) + 2 (5 x) = 20 + x + 10 x = 30 x14 + 4x = 30 x 5x = 16 x = 3

25. a Voor driehoek AMD met hoek M = 90 geldt pythagorasdus AD = (32 + 42) = 25 = 5Dat geld ook voor de andere zijden Omtrek = 4 · 5 = 20Opp = 4 · AMD = 4 · 3 · 4 = 24

b ruit heeft dus ook zijde 5Stel AM = x MD = (25 x2) (pythagoras)Opp = 4 · x ·(25 x2) = 18 (vergelijking oplossen of met GR of algebraïsch)x (25 x2) = 9 x2 ·(25 x2) = 81 25x2 x4 = 81 x4 25x2 +81 = 0 Stel x2 = aa2 25a + 81 = 0D = 252 4 · 1 · 81 = 301a = a 21,2 a 3,82 x = a x = 4,60 x 1,955De diagonalen dus 9,20 en 3,91

c Stel KM = x dus LN = 2xzijde ruit = (2x)2 + x2) = x5Omtrek = 4 · zijde = 4x5 = 20 x = = 5Opp = 4 · · 5 · 25 = 20

26. a Omtrek = 2 · AB + 2 · AD AD = Omtrek AB = 15 10 = 5Opp = AB · h h = = = 4sin A = = A = sin-1() = 53

b 4 · zijde = 30 zijde = 7,5ruit opgebouwd uit 4 driehoeken met zijden x en y er geldt x2 + y2 = 7,52 y = (7,52 x2)opp = 4 · x (7,52 x2) = 40 x(7,52 x2) = 20

Oplossen met GRVoer in GR y1 = x(7,52 x2) en y2 = 20 en bepaal snijpuntx = 2,9 (geeft y = 6,9) x = 6,9 (geeft y = 2,9)dus diagonalen 5,8 en 13,8

c AB = 12 AD = 15 12 = 3h = = = 3 Deze is groter dan 3 dus het is niet mogelijk

d AB = x AD = 15 xOpp = AB · AD AD = = 15 x = x(15 x) = 40 oplossen met GR of algebraïsch15x x2 = 40 x2 15x + 40 = 0 D = (-15)2 4 · 1 · 40 = 65x = x = 11,53 x = 3,5 (n v t AB < AD)AB 11,5 en AD 3,5

27. Voor de hoogte beschouw je 5 buizen in een kruis de diagonaal = 2d + 2 ·((r2 + r2) 85 mde breedte = 2r = 50 cmHoogte = (852 502) 69Breedte = 3,5 · 25 = 87,5 Buiten omtrek hoogte = 69 + 6 = 75Buiten breedte = 87,5 + 6 = 93,5omtrek = 2 · (75 + 93,5) = 337 cm

28. a Omtrek = 3 + 4 + 5 = 12Opp = · 3 · 4 = 6

b Omtrek = 2 (1,5 + 2 + 2,5) = 12 blijft gelijkOpp = 2 (· 1,5 · 2) = 3 wordt de helft

c omtrek blijft gelijk en de oppervlak wordt steeds gehalveerd

29. a Oppervlak blijft steeds gelijkOmtrek wordt 4 × de helft dus steeds 2 × zo groot dus op den duur oneindig groot

b oppervlak wordt steeds een kwart kleiner dus gaat uiteindelijk naar 0omtrek wordt steeds 3 × de helft dus 1,5 × zo groot dus uiteindelijk oneindig groot

30. a omtrek = omtrek halve cirkel + kleine cirkel = · 3 + 2 · 1,5 = 6 cmOpp = 32 = 4,5 cm (een deel is de helft van de totale cirkel)

b O(I) = (r)2 = r2 O(I) is helft van de kleine cirkel

O(II) = r2 O(II) is een achtste van de grote cirkelc Omtrek (III) = · 2 · 3 + 2 · 1,5 + 3 = 7 14,78 cm

31. a Opp weg = Opp grote ring Opp kleine ring = 102 62 = 64 m2

b Omtrek middenstreep = 2 · () = 16Opp weg = 16 · (10 6) = 64 m2

c Opp weg = Opp grote ring Opp kleine ring = R2 r2 lengte middensstreep = 2 · ( )lengte weg = R r2 ( ) · (R r) = (R + r)(R r) = (R2 rR+ rR r2) = R2 r2 = Opp weg

32. a O( ACD ) = b · h = DC · h = 3 · 4 = 6O( BCD = b · h = DC · h = 3 · 4 = 6

b O( ACD) = O( BCD) ACD = ASD + DSC } ASD = BSC BCD = BSC + DSC

c Opp( 1 + 2) = Opp( 3 + 2) 2 driehoeken met dezelfde basis nl FG en de zelfde hoogte opp 1 = opp 3

d Teken de lijn DP deze snijdt CA in S Opp ACPQ = Opp BPQ

Opp ACPQ = Opp APQ + Opp APC Opp APC = Opp DAP 2 driehoeken met dezelfde basis nl AP en dezelfde hoogteOpp ACPQ = Opp APQ + Opp DAP = Opp DPQOpp DPQ = Opp BPQ als DQ = QB dus als Q op de helft van DB ligt

33. a sin 20 = BP = AP sin 20 = 6 · sin 20 = 2,0521b AC = c AC = AB R - r = 6 2,0521 r = 3,9479 r

r = (3,9479 r) sin 20 r = 3,9479 · sin 20 sin 20 · r

(1 + sin 20) r = 3,9479 sin 20r = 1,006

d AD = r = AD sin 20AD = 6 + 2,0521 + r = 8,0521 + rr = (8,0521 + r) · sin 20(1 sin 20) r = 8,0521 · sin 20r = 4,186

e Opp rood = Opp ABB' ACC' kleine cirkel grote cirkel = AB' · R AC' · r r2 R2

= 6 cos20 · 2,0521 (6 2,0521 1,006)cos 20·1,006 1,0062 2,05212

= 5,785 1,391 0,618 2,572 1,205omtrek = grote cirkel + kleine cirkel + C'B'

= · 2 · 2,0521 + ·2 · 1,006 + 6cos 20 (6 2,0521 1,006) cos 20= 2,507 + 1,229 + 5.638 2,764 6,61

2.3 De sinusregel en de cosinusregel

37. a sin = CD = b sin b sin = CD = a sin c CD = a sin = b sin d a sin = b sin a = sin =

38. a BE = a sin = c sin = b Als A = B en A = C dan geldt A = B = C

dus = = en dist is de sinus regel

39. a + + = 180 = 180 = 180 50 75 = 55b = = c b = sin 75 · 8,6

c = sin 55 · 7,3

40. = 48,0 = 76,0 c = 680 m = 180,0 48,0 76,0 = 56,0 = BC = sin 48 = 610 m = AC = sin 76 = 796 m

41. a sin 10 = sin 170 = 0,1737sin 50 = sin 130 = 0,7660sin 29,3 = sin 150,7 = 0,4894

b De punten zijn gespiegeld ten opzichte van de y-as dus dezelfde y-waardedus sin = sin(180 )

42. DAC = 180 sin = CD = a sin sin DAC = sin (180 ) = CD = b sin (180 )sin (180 ) = sin CD = b sin a sin = b sin = Ditzelfde kun je ook doen door een punt E te vinden op verlengde van CA zodat BEC = 90zodat de gehele sinus regel geldt

43. = 20 = 110 a = 5,3 = 180 20 110 = 50b = sin · = sin 110 · 14,6c = sin · = sin 50 · 11,9

44. = 50 a = 4 b = 3ab = 4 sin = 3 sin 50 sin = sin 50 = sin -1(sin 50) 35

= 180 50 35 95 = c = · sin 95 5,2

45. = 50 a = 2,5 b = 3ab sin = · sin = sin 50 = sin -1 (sin 50) 67

= 180 50 67 63c = sin · = sin 63 = 2,9

c = 180 67 = 113 = 180 50 113 = 17

c = sin · = sin 17 = 1,0

46. a is te klein

47. = 50 b = 3a De kortste afstand a is als hoek = 90 (kleinste afstand B tot de lijn door AC is de loodlijn)

= a = sin 50 = 2.30dus voor a < 2,30 geen driehoek mogelijk

b voor a = 2,30 en a > 3 1 driehoek mogelijk (voor a groter dan 3 is de stompe hoek niet meer mogelijk)

c voor 2,30 < a < 3 twee driehoeken mogelijk

48. = 41 a = 5 b = 6a = = b 5 sin = 6 sin 41 sin = sin 41 = 52 = 180 52 = 128c = 180 41 52 = 87 of = 180 41 128 = 11

dus = 52 en = 87 of = 128 en = 11d Neem bv a = 7 ( waarde >6)

= sin = sin 41 = sin-1(sin 41) = 34 = 180 34 = 146 = 180 41 34 = 105 = 180 41 146 = -7 dus deze oplossing kan nietdus maar 1 driehoek met = 34 en = 105

49. Beschouw de driehoek ACD DAC = 10,3 + 16,1 = 26,4 ACD = 71,8 CDA = 180 26,4 71,8 = 81,8 = AD = · sin 71,9 = 502,4 mBeschouw driehoek ABD ABD = 180 152,7 16,1 = 11,2 = AB = · sin 152,7 = 1186 m

50. a = 4 b = 5 c = 6ab Voor sinusregel moet een hoek bekend zijnc 41 56 en 83

52. a Driehoek met rechte hoek dus geldt pythagorasa2 = (c x)2 + h2 = (c x)(c x) + h2 = c2 xc xc + x2 + h2 = c2 2xc + x2 + h2

b x2 + h2 = b2 h2 = b2 x2 invullen in de vergelijking van aa2 = c2 2xc + x2 + b2 x2 = c2 2xc + b2

c cos = x = b cos d a2 = b2 + c2 2bc cos (vergelijking van c invullen in de vergelijking van b)

53. a = 4 b = 5 c = 6a cos = = = = = cos -1() = 41,4

cos = = = = cos -1() = 55,8= 180 41,4 55,8 = 82,8

b

54. a cos 10 = cos 170 = 0,9848cos 50 = cos 130 = 0,6429cos 29,3 = cos 150,7 = 0,8721

b cos = - cos (180 ) de punten zijn gespiegeld ten opzichte van de x-as

55. Stel DA = xCD2 = b2 x2

a2 = CD2 +(x + c)2 = b2 x2 + x2 + 2cx + c2 = b2 + c2 + 2xcx = b cos(180 ) = b · -cos = -b cos a2 = b2 + c2 2bccos

56. a = 4 b = 7 c = 5cos = = = cos -1 () 34Cos = = = cos -1 () 102 = 180 34 102 44

57. a = 8 b = 7 c = 10

a cos = = = cos -1 () 52,6b sin = CC' = AC sin 7 sin 52,6 5,6

58. = 50 b = 5 c = 6a a2 = 52 + 62 2 · 5 · 6 cos 50 = 22,43 a 4,74

59. a AC = (AB2 +BC2) = (62 + 42) = (36 + 16) = 52 =(4 · 13) = 213AH = (AD2 + AE2) = (42 + 32) = (16 + 9) = 25 = 5HC = (DC2 + DH2) = (62 + 32) = (36 + 9) = 45 = (9 · 5) = 35

b cos CAH = = = CAH = cos-1() 64c DBH = tan-1 () = tan -1() 23

Je hebt hier de cos regel niet nodig omdat HDB = 90

60. a BG = (62 + 62) = 72 = 62MG= (62 + 32) = 45 = 35BM = (45 + 62) = 81 = 9 BMG = cos -1 () = cos -1 () = cos -1 () 63

b AM = 35AG = (62 + 72) = 108 = 63 AMG = 2 · sin -1() 102 AMG is een gelijkbenige driehoekof AMG = cos -1 () = cos -1() = cos-1 (-0,2) 102

c MN = (32 + 32) = 18 = 32AN = BM = 9AM = 45 = 35 AMN = cos -1 () = cos -1 () = cos -1( ) 108

61. a een vierhoek is niet vormvast (D kan bijvoorbeeld naar rechts en C naar beneden)c O = b · h = ·16 · 8 sin 75 61,82d BD2 = AD2 + AB2 2AD · AB cos 75 = 82 + 162 2 · 8 · 16 ·cos 75 = 320 256 · cos 75

BD 15,93e DBC = cos -1() = cos -1() 37,6

O = b · h = 15 · 15,93 sin 37,6 72,90O = 61,82 + 72,90 134,7

62. a ABM gelijkzijdig dus AB = 2 · AM sin = 2 · 6378 sin 24 = 5188 kmb MAB = 90 = 90 24 = 66

BAC = 180 MAB = 180 37,72 66 = 76,28 ABC = 180 MBA = 180 11,03 66 = 102,97 ACB = 180 102,97 76,28 = 0,75

c = AC = AB · = 5188 · 386234 km dus in 100 km nauwkeurig AC 386200

2.4 Vectoren

65. a AB = (3,-1)CD =(0,-2)EF = (4,-2)GH = (-3,0)

b AB = (32 + 12) = 10CD = 2EF = (42 + 22) = 20 = 25GH = 3

66 a (5,2) (-3,-4)(2,1) (7,3) (4,-1)(17,23) (22,25) (19,21)

b (2,-2)

69. a AT b CQ c AR d EP

70 ab v = a + a + a = (6,3)c w = (-4,-2)

72. a I a + 2b = HC II 3b + 2c = HU III a + b + c = HJ IV a + 3b + 2c = HT

b I a b = OI II 2b c = OE III a + b c = OC IV a b + c = OQ

73. a HS = a + 2b + 2c b HL = a + 3b + cc HT = a + 3b + 2c d HK = a + 2b + ce HQ = a + 2c f DO = -a 2b + cg KP = -a -2b h DX = -a 3b +2c

74. a v = (2,52 + 22) = 3,2 km/ub t == = 0,04

s = v · t = 2 · 0,04 = 0,08 km dus 80 m

c s = v · t = 3,2 · 0,04 = 0,128 kmdus 128 m

75. ab v = (52 42) = 9 = 3 km/uurc t = = = dus 2 minuten

76. a v = (2002 802) = 183,3 km/ut = = = 0,55 uur dus 0,55 · 60 = 33 minuten

b twee mogelijkheden c gelijkzijdige driehoek dus hoek = 2 · sin -1 () = 23

77. a Verschuif Fz naar de kop van F1 de hoek tussen beide is 180 110 = 70pas nu de cosinusregel toe Fr

2 = 152 + 202 2 · 15 · 20 cos 70 = 419,8 Fr = 20,5Voor hoek met horizontaal gebruik je de sinusregel= Fr sin = F1 sin 70 sin = sin 70 = sin 70 = 43,4 hoek = 90 43,5 46,6

b evenwijdig met horizon dus vectoren vormen een driehoek met hoeken 90 , 20 en 70sin 20 = F1 = = 58,5 NFr = F1 cos 20 = 58,5 cos 20 = 54,9 N

78. Ontbind de vectoren in een horizontale en een verticale componentNeem daarna alle verticale componenten samen en alle horizontale componenten.Bepaal als laatste de resultante van de horizontale en verticale componenten.Fverti = Fz + F1 cos 60 + F2 cos 20 = -200 + 300 cos 60 + 150 cos 20 91,0 NFhori = F1 sin 60 F2 sin 20 = 300 sin 60 150 sin 20 208,5Fr = (91,02 +208,52) 227 Nhoek = tan-1 () 24

79. F1 = Fz cos 20 470 NF2 = Fz sin 20 171 N

80. Voorwerp in rust dus geen netto krachtendus verticale componenten van F1 en F2 zijn samen gelijk en tegengesteld aan Fz

sin 15 = F1 = = 483 N

81. Fr = ABHoek Fr en Fw = 180 45 tan -1() = 116,6 Hoek tussen Fr en Fvl bepalen met sinusregel = sin = sin 116,6 12,9Hoek tussen vectoren = 180 116,6 12,9 50,6 cosinusregel voor resultanteFr

2 = 2502 + 502 2 · 250 · 50 cos 50,6 Fr = 222 km/uAfgelegde afstand = (1002 + 3002) = 316 kmt = 1,42 uur = 85 minuten

82. Fz = F1 cos 45 + F2 cos 80 = 500F1 sin 45 = F2 sin 80 F1 = F2 invullen in bovenste vergelijkingF2 cos 45 + F2 cos 80 = 500 sin 45 = cos 45 F2 = = 432 N F1 = · 431,6 = 601 N

2.5 Poolcoördinaten

85. a

b A, B en F

86. punt(r,) x-coördinaat = r cos y-coördinaat = r sin A(2,) A(2 cos ; 2 sin ) A(0,2)B((3,3) B(3 cos 3; 3 sin 3) B(-3,0)C(4,) C(4 cos ; 4 sin ) C(3,464;2)

C A

B F D

E

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3-2

-1

1

23

D(42;) D(42cos ; 42sin ) D(- 4,4)E(-6, ) E(-6 cos ; -6 sin ) E(3;-5,196)F(r, F(r cos ; r sin )

87. = tan-1 () + k en r2 = x2 + y2

a r =(12 + 22) = 5 = tan -1 () = 1,107 dus A(5;1,11)

b r = 5 en = 1,107 2 = -5,176 dus A(5;-5,18)c r = -5 = 1,11 + A(-5;4.25)d r = -5 4,25 2 A(-5;-2,03)

88. a rood

b groen

c blauw

d groene rood

89 a b

90. ab Grafiek lijkt een cirkel met straal 4 en

middelpunt (0,4)(x 4)2 +y2 = 16x = r cos en y = r sin invullen in vgl geeft(r cos 4)2 + (r sin )2 = 16r2 cos2 8rcos + 16 + r2 sin2 = 16r2(sin2 + cos2 ) 8r cos = 0r2 8r cos = 0r(r 8 cos ) = 0r = 0 r = 8 cos r = 0 oorsprong r = 8 cos geeft cirkel met

middelpunt (4,0) en straal 4

91. r = 6 cos + 8 sin [0,2]ab Lijkt een cirkel met

middelpunt (3,4) en straal 5(x 3)2 + (y 4)2 = 25x = r cos en y = r sin (r cos 3)2 + (r sin 4)2 = 25

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3-2

-1

1

23

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3-2

-1

1

23

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3-2

-1

1

23

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-5-4-3-2-1

1234

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-2-1

123456789

r2 cos2 6r cos + 9 + r2 sin2 8r sin + 16 = 25 r2 (cos2 + sin2 ) 6r cos 8r sin = 0

r(r 6 cos 8 sin ) = 0r = 0 r = 6 cos + 8 sin

92. a figuur past in een cirkel met straal 5

b 3 lussen dus r sin (3)past in een straal van 6 dus r = 6 sin 3 met [0,]

93. r = 2 + 4 cos ab Bepaal de snijpunten met x-as met

optie trace = 0 , 2,09 en 4,19

c

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4-3

-2-1

12

34

1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3