v@r monte carlo
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1
VaR via SimulaçãoAnálise de Risco (5)
R.Vicente
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2
Resumo
Monte Carlo para Avaliação Risco Carteiras com Derivativos Múltiplos Fatores de RiscoNúmeros Pseudo-aleatóriosCenários de Stress: Estudo de CasoCenários Ad-hocCenários por Fator de Risco e NettingBibliografia
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3
Monte Carlo para Avaliação de Risco: Idéia Geral
Seja uma carteira com função preço que dependa de um vetor de fatores de risco .
( )V S1 2( , ,..., )mS S S S=
Geremos N realizações da dinâmica e reprecifiquemos a carteira em cada um destas realizações:
[ ]( ) ( )tS t t D S tΔ+Δ =Assumamos uma dinâmica estocástica para os fatores de risco:
( ) ( ) ( ) 1,...,n nt tV V S t t n N+Δ
⎡ ⎤= +Δ =⎢ ⎥⎣ ⎦
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4
Monte Carlo para Avaliação de Risco: Idéia GeralOs N cenários de P&L serão:
O VaR da carteira com confiança de será:( )1 %α−
( ) ( ) 1,...,n nt t tV V V n N+ΔΔ = − =
{ } ( )( )
{ }11
sup : n
NNnV Vn
n
VaR V V NαΔ <Δ=
=
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= Δ ∈ Δ ≤⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭∑1
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5
Exemplo: DEaR de PETR4A função preço de uma carteira contendo PETR4 é simplesmente:
( )V S qS=q é a quantidade de ações e é a cotação de PETR4. SEscolhemos uma janela de tempo dia e um Movimento Browninano Geométrico sem drift como dinâmica estocástica:
1tΔ =
1 (1 )t tS S σε+ = +
~ (0,1)NεVOLATILIDADE
DE 1 DIA
(EWMA ou GARCH)
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6
Passo 1: Estimação de VolCotações PETR4
35,00
40,00
45,00
50,00
55,00
60,00
65,00
26/0
1/01
26/0
3/01
26/0
5/01
26/0
7/01
26/0
9/01
26/1
1/01
26/0
1/02
26/0
3/02
26/0
5/02
26/0
7/02
Retornos e Volatilidade EWMA
-0,1-0,08-0,06-0,04-0,02
00,020,040,060,080,1
29/0
1/01
29/0
3/01
29/0
5/01
29/0
7/01
29/0
9/01
29/1
1/01
29/0
1/02
29/0
3/02
29/0
5/02
29/0
7/02
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7
Passo 2: Gera N=5000 Cenários
020406080
100120140160180
35,63
36,14
36,66
37,18
37,69
38,21
38,72
39,24
39,76
40,27
40,79
41,31
41,82
42,34
42,86
43,37
43,89
S(t+1)
1 (1 )t tS S σε+ = +
LOG-NORMAL
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8
Passo 3: Avalia P&L para cada um dos Cenários
( ) ( ) ( 1) ( )n nV q S t S t⎡ ⎤Δ = + −⎢ ⎥⎣ ⎦
020406080
100120140160180
(42.74
2)(37
.577)
(32.41
2)(27
.247)
(22.08
2)(16
.916)
(11.75
1)(6.
586)
(1.42
1)3.7
44
8.909
14
.075
19.24
0 24
.405
29.57
0 34
.735
39.90
0
P&L
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9
Passo 4:Avalia VaR (localiza quantil)
020406080
100120140160180
(42.74
2)(37
.577)
(32.41
2)(27
.247)
(22.08
2)(16
.916)
(11.75
1)(6.
586)
(1.42
1)3.7
44
8.909
14
.075
19.24
0 24
.405
29.57
0 34
.735
39.90
0
P&L
VaR = 29.013
28.372parametricoVaR Vασ= =
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Carteiras com DerivativosPara exemplificar o uso da simulação de Monte Carlo para carteiras altamente não-lineares utilizamos um Short Straddle semelhante àquele que provocou a quebra do Barings em 1995
( Delta*Ativo-Call-Put):2 2( ) ( ) ( )rT rTV S Xe N d Xe N d− −= − −
1 (1 )t tS S σε+ = +
Gerando cenários como antes:
Apreçando a carteira e avaliando o P&L em cada cenário:
( ) ( )( ) ( ( ))n nV V S V S tΔ = −
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11
Carteiras com Derivativos
S(t+1) call put V(t+1) P&L37,86864 -2,180261 -2,360794 6,819538 -0,25904240,05286 -3,471554 -1,467875 7,076427 -0,00215340,25085 -3,603757 -1,402082 7,069417 -0,00916338,50176 -2,521693 -2,069113 6,959721 -0,11885941,35245 -4,380707 -1,077437 6,94759 -0,1309941,35031 -4,379136 -1,078001 6,947956 -0,13062439,8541 -3,341245 -1,53632 7,078665 8,51E-05
40,29917 -3,636374 -1,386384 7,066992 -0,01158840,11299 -3,511456 -1,447642 7,074799 -0,00378239,67229 -3,224187 -1,601075 7,076426 -0,00215440,78518 -3,972077 -1,236076 7,027401 -0,05117939,18249 -2,919277 -1,785969 7,0495 -0,02908
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12
0200400600800
100012001400
-1,2
4
-1,0
6
-0,8
8
-0,7
0
-0,5
2
-0,3
4
-0,1
6
0,02
0,20
0,38
0,56
0,74
0,92
1,10
1,28
P&L
Carteiras com Derivativos
VaR MC 0,63VaR Delta - VaR Delta-Gama 0,30
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13
Carteiras com Múltiplos Fatores de Risco
Quando a função preço depende de mais de um fator de risco é necessário adequar a geração de cenários às correlações entre osfatores. Exemplificamos a seguir o caso de uma carteira que contenha Dólar e PETR4:
( , )PETR USD PETR PETR USD USDV S S q S q S= +
( 1) S ( )(1 ) ~ (0, )k k k kS t t Nσ ε ε ρ+ = +
Os cenários devem ser gerados levando-se em conta correlações entre os ativos:
A carteira é então avaliada nos cenários e os P&L’s obtidos :( ) ( )( ) ( ( ))n nV V S V S tΔ = −
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14
Gerando números aleatórios com Covariância Dada: Decomposição de Cholesky
É possível gerar a partir de variáveis aleatórias
independentes empregando a decomposição de Cholesky.
Para isso basta observarmos que:
T
j k jl l km m
jl km l m jl km lm
Tjm km jl lk
A A
A
A A
A A A A
A A A A
ρ
ε ξε ε ξ ξ
ξξ δ
ρ
=
=
=
= =
= = =
~ (0, )Nε ρξ
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15
Gerando números aleatórios com Covariância Dada: Correlação EWMA
Correlação PETR4-DÓLAR EWMA
-20%-10%
0%10%
20%30%
40%50%
60%
26/0
8/01
26/0
9/01
26/1
0/01
26/1
1/01
26/1
2/01
26/0
1/02
26/0
2/02
26/0
3/02
26/0
4/02
26/0
5/02
26/0
6/02
26/0
7/02
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16
Carteiras com Múltiplos Fatores
1,00 0,00 1,00 -0,13 1,00 -0,13-0,13 0,99 0,00 0,99 -0,13 1,00
Matriz de Correlação1 2
1 1,00 -0,132 -0,13 1,00
Decomposição de Cholesky
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17
Carteiras com Múltiplos Fatores
q1 1000 S1 39,90 σ1 3,1%q2 50 S2 3.097,90 σ2 1,8%
V 194.795,00 Correlação3,8% -9,0%
ξ1 ξ2 ε1 ε2 S1 S2 V P&L-1,665584 -0,432565 -1,665584 -0,217017 37,86864346 3.085,92 192.164,55 (2.630,45) 0,125332 -1,665584 0,125332 -1,667988 40,05285602 3.005,81 190.343,26 (4.451,74) 0,287676 0,125332 0,287676 0,087691 40,25085186 3.102,74 195.387,93 592,93
-1,146471 0,287676 -1,146471 0,431282 38,50175677 3.121,71 194.587,34 (207,66)
1,190915 -1,146471 1,190915 -1,288747 41,35244753 3.026,75 192.689,77 (2.105,23) 1,189164 1,190915 1,189164 1,029846 41,35031168 3.154,76 199.088,27 4.293,27
-0,037633 1,189164 -0,037633 1,18428 39,85410223 3.163,29 198.018,39 3.223,39
0,327292 -0,037633 0,327292 -0,078991 40,2991677 3.093,54 194.976,11 181,11 0,174639 0,327292 0,174639 0,302398 40,11299093 3.114,60 195.842,78 1.047,78
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18
Carteiras com Múltiplos Fatores
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
(10.3
68)
(9.14
0) (7
.911)
(6.68
2) (5
.454)
(4.22
5) (2
.997)
(1.76
8) (5
39)
689
1.91
8 3.
147
4.37
5 5.
604
6.83
3 8.
061
9.29
0
VaR 6.915,78 VaR Delta 6.682,31
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19
Geração de Números Pseudo-aleatórios através do mapa logístico
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20
Geração de Números Pseudo-aleatórios através do mapa logístico
Medida de Lebesgue =1 para
4μ =
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21
Geração de Números Pseudo-aleatórios através do mapa logístico: Limitações 1 – ponto fixo
Ponto fixo instável x=3/4
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22
Geração de Números Pseudo-aleatórios através do mapa logístico: Limitações 2 – Medida invariante
A medida invariante representa a probabilidade de que a trajetória passe pelo intervalo [x,x+dx]. No caso do mapa logístico essa medida é não-uniforme:
A partir das trajetórias do mapa logístico é possível, no entanto, através de uma transformação de variáveis gerar um novo mapa com medida invariante uniforme:
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23
Geração de Números Pseudo-aleatórios: Gerador Congruencial Linear
1 (mod ), ,i iI aI b m
a b m+ = +
∈
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24
Geração de Números Pseudo-aleatórios: Gerador Congruencial Linear
m e b são primos entre si (MDC(m,b)=1);
a=1(mod p) para todo fator primo p de m;
a=1(mod 4) se m=0(mod 4).
Ex: a=7, b=13 e m=18Fatores primos de m=2,3, assim a=1 (mod 2) e a=1(mod3).
Boa escolha: a=75, b=0 e m=231-1
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25
Cenários de Streess: Estudo de Caso Total Return Swap da SK Securities Co.
Início : Janeiro 1997
Vencimento: Janeiro de 1998
Pricipal: N=US$ 53 milhões
Payoff:
0 0 1 2 0
2 2 2
35 1 max 0, max 0,1 0,97B R R R YNB R Y
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟ ⎟− + + − −⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦Bk : cotação baht/usd no semestre k
Rk : cotação rupia/usd no semestre k
Yk : cotação yen/usd no semestre k
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26
Estudo de Caso: Total Return Swap da SK Securities Co.
0 0 1 2 0
2 2 2
35 1 max 0, max 0,1 0,97B R R R YNB R Y
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟ ⎟− + + − −⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦CENÁRIO FAVORÁVEL:
• Valorização ( B0>B2 ) do Baht, valorização, desvalorização leve ou manutenção da Rúpia e desvalorização do Yen.
Ex: Baht -10%, Rúpia -10% (1 sem) -20% (2 sem), Yen +10%
Payoff= US$ 69 MM (Lucro)
CENÁRIO DESFAVORÁVEL:
• Desvalorização do Baht e da Rúpia, manutenção ou valorização do Yen.
Ex: Baht +100%, Rúpia +48% (1 sem) +100% (2 sem), Yen 0%
Payoff= - US$ 184 MM (perda)
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27
Estudo de Caso: Total Return Swap da SK Securities Co.
CENÁRIO FAVORÁVEL:
• Valorização ( B0>B2 ) do Baht, valorização, desvalorização leve ou manutenção da Rúpia e desvalorização do Yen.
Razões para entrar no contrato:
1. Baht vinculado a uma cesta de moedas (80% USD, 12% JPY e 8% DEM);
2. Rúpia limitada artificialmente à desvalorizações de 5%/ano.
3. Iene com livre oscilação.
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28
Estudo de Caso: Simulação Histórica
010203040
(7.1
31)
(6.0
83)
(5.0
34)
(3.9
86)
(2.9
37)
(1.8
89)
(840
)
208
1.25
7
2.30
5
3.35
4
4.40
2
5.45
1
Profit & Loss
Freq
uenc
y
VaR(1%)=5,8 MM
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29
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20
25
30
35
40
45
50
55
60
50
70
90
110
130
150
170
190
210
230
250
Iene
Rúpia
Baht
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30
Estudo de Caso: Perda Realizada após Crise Asiática
2.375,00 25,90 121,78 IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y) IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y)
96-97 2,15% 3,97% -0,24% -4,78% 2426,66 2471,11 25,84 116,10 (3.016) 97-98 8% 166% 73% 3% 2572,81 12490,86 53,74 125,49 (187.138)
Cotação em Jan/97
Perda de US$ 187 MM
(32 vezes maior !)
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31
Cenários Ad-hoc2.375,00 25,90 121,78
IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y) IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y)Cenário1 5% 10% 10% 0% 2496,77 2624,78 28,62 121,78 (36.174) Cenário 2 10% 20% 20% 0% 2624,78 2900,83 31,63 121,78 (70.225) Cenário 3 20% 40% 40% 0% 2900,83 3543,08 38,64 121,78 (128.587) Cenário 4 40% 80% 80% 0% 3543,08 5285,66 57,64 121,78 (197.338) Cenário 5 50% 100% 100% 0% 3915,71 6455,92 70,40 121,78 (218.922)
Cotação em Jan/97
PRÓ CONTRA
Facilidade de cálculo
Dificuldade na determinação da plausibilidade dos cenários
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32
Estudo de Caso II: Margens de Garantia BM&F
Volatilidade
Pré Cupom de USD IGPM Dólar Spot BOVESPA Bolsa Externa Brady Bonds
Futuro de DólarOpções de DólarTítulos CambiaisFuturo de DITítulos PréSwaps Pré Swaps DólarAções InternasFuturo de AçãoOpções sobre AçõesBrady BondsOpção IDITítulos IGPMSwaps IGPMFRA de CupomAções Exterior
Mercados a vistaEstrutura a Termo
Fatores de Risco
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33
Exemplo de decomposição de Carteira em Fatores de Risco
Carteira
• Ativo em R$ 10 MM em papel cambial para 34 dias
• Ativo em R$ 6 MM em PU de Futuro de DI para 216 dias
• Ativo em R$ 4 MM em Futuro de IBOVESPA para 49 dias
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34
Decomposição: Título Cambial
Título Cambial
1VFP S
C=+
1 1ln ln1
ln ln USD
USD
P VF CSP C VF S
PUSS PU
⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ +⎟ ⎟⎜ ⎜ ′=⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜⎟⎜ ′⎝ ⎠⎝ ⎠ +⎛ ⎞⎛ ⎞ ′′ ⎟⎜⎟⎜ ⎟= +⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
DÓLAR SPOT CUPOM DE DÓLAR
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35
Decomposição: PU de Futuro de DI
Futuro de DI
100.0001
Pi
=+
1ln ln ln1
P i PUP i PU
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞′ ′+⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜= =⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎜′⎝ ⎠⎝ ⎠ + ⎝ ⎠
PRÉ
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36
Decomposição: PU de Futuro de IBOVESPA
Futuro de IBOVESPA
(1 )F IBV i= +
( )( )1
ln ln1
ln ln
IBV iFF IBV i
IBV PUIBV PU
⎛ ⎞′ ′⎛ ⎞ +′ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜=⎟⎜ ⎟⎜⎟⎟ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ +⎜⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′⎟ ⎟⎜ ⎜= −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
PRÉ (PASSIVO)BOVESPA
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37
Decomposição em Fatores de RiscoPosição Prazo
Título Cambial 10.000.000 34Futuro de DI 6.000.000 216Futuro de IBOVESPA 4.000.000 49
Mercado Vértice Posição
Dólar SPOT 10.000.000 IBOVESPA SPOT 4.000.000 Pré 30 (1.466.667) Pré 60 (2.533.333) Pré 90 - Pré 120 - Pré 180 3.600.000 Pré 270 2.400.000 Cupom de USD 30 8.666.667 Cupom de USD 60 1.333.333 Cupom de USD 90 - Cupom de USD 120 - Cupom de USD 180 - Cupom de USD 270 -
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38
Decomposição em Fatores de Risco
( )% % %1 2 ...
STRESSSTRESS
F F Fn
VVaR VV
V
⎛ ⎞Δ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
= Δ +Δ + +Δ
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39
Pool de Cenários
Cenário -5 Cenário -4 Cenário -3 Cenário -2 Cenário -1 Cenário 0 Cenário 1 Cenário 2 Cenário 3 Cenário 4 Cenário 5
-10% -8% -6% -4% -2% 0% 3% 6% 9% 12% 15%-30% -24% -18% -12% 6% 0% 4% 8% 12% 16% 20%
0,13% 0,11% 0,08% 0,05% 0,03% 0,00% -0,10% -0,21% -0,31% -0,41% -0,51%0,27% 0,21% 0,16% 0,11% 0,05% 0,00% -0,21% -0,42% -0,62% -0,82% 1,02%0,40% 0,32% 0,24% 0,16% 0,08% 0,00% -0,32% -0,63% -0,94% -1,24% -1,54%0,54% 0,43% 0,32% 0,22% 0,11% 0,00% -0,43% -0,84% -1,26% -1,68% -2,06%0,83% 0,66% 0,49% 0,33% 0,16% 0,00% -0,65% -1,28% -1,91% -2,52% -3,12%1,26% 1,01% 0,75% 0,50% 0,25% 0,00% -0,98% -1,95% -2,88% -3,80% -4,70%0,13% 0,11% 0,08% 0,05% 0,03% 0,00% -0,10% -0,21% -0,31% -0,41% -0,51%0,27% 0,21% 0,16% 0,11% 0,05% 0,00% -0,21% -0,42% -0,62% -0,82% 1,02%0,40% 0,32% 0,24% 0,16% 0,08% 0,00% -0,32% -0,63% -0,94% -1,24% -1,54%0,54% 0,43% 0,32% 0,22% 0,11% 0,00% -0,43% -0,84% -1,26% -1,68% -2,06%0,83% 0,66% 0,49% 0,33% 0,16% 0,00% -0,65% -1,28% -1,91% -2,52% -3,12%1,26% 1,01% 0,75% 0,50% 0,25% 0,00% -0,98% -1,95% -2,88% -3,80% -4,70%
(1.000.000) (800.000) (600.000) (400.000) (200.000) - 300.000 600.000 900.000 1.200.000 1.500.000 (1.200.000) (960.000) (720.000) (480.000) 240.000 - 160.000 320.000 480.000 640.000 800.000
51.373 41.067 30.413 20.360 10.053 - (40.133) (79.160) (117.627) (155.133) (243.480) 14.867 12.333 9.067 5.800 3.267 - (11.467) (23.800) (35.133) (46.467) (30.600)
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40
Pior Caso e Cenários Macroeconomicamente Plausíveis
PIOR CASO BULLISH BEARISH
(1.000.000) (1.000.000) 1.500.000 (1.200.000) 800.000 (1.200.000)
(243.480) 51.373 (243.480) (46.467) 14.867 (30.600)
(2.489.947) (133.760) 25.920
Dólar IBOVESPAPréCupom de USD
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Bibliografia• Jorion P., Value at Risk, Irwin, 1997.
• RiskMetrics Technical Document (www.riskmetrics.com);• Jäckel, P., Monte Carlo Methots in Finance, Wiley Finance, 2002
•Vieira Neto, C.A. , Urban, F., Um Modelo de Stress Menos Subjetivo e Mais Abrangente, Resenha BM&F 139
• Guidelines on Market Risk Vol 5: Stress Testing, ONB (2001).
Leituras Complementares
Glasserman, Heidelberger e Shahabuddin, Efficient Monte Carlo Methods for Value-at-Risk
Jamshidian, F., Zhu, Y., Scenario Simulation: Theory and Methodology, Finance and Stochastics, 1,43-67 (1997)