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Vorlesung
Mathematik 1
Prof. Dr. Michael Herty
Diese Vorlesung:
Folgen, NullfolgenKonvergenzGrenzwertberechnung
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 1 / 1
Vorlesung
Mathematik 1
Prof. Dr. Michael Herty
Diese Vorlesung:
Folgen, NullfolgenKonvergenzGrenzwertberechnung
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 1 / 1
Folgen
Was ist eine Folge (von reellen Zahlen) ?
27, 3.5, 2, −14,√
2, 34, 52/7, . . .
Jedem n = 1,2,3, . . . wird ein xn zugeordnet:
1 2 3 4 . . .x1 x2 x3 x4 . . .27 3.5 2 −14 . . .
xn: Folgenglieder , Schreibweise:
(xn)n∈N, (xn)
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 3 / 1
FolgenWas ist eine Folge (von reellen Zahlen) ?
27, 3.5, 2, −14,√
2, 34, 52/7, . . .
Jedem n = 1,2,3, . . . wird ein xn zugeordnet:
1 2 3 4 . . .x1 x2 x3 x4 . . .27 3.5 2 −14 . . .
xn: Folgenglieder , Schreibweise:
(xn)n∈N, (xn)
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 3 / 1
FolgenWas ist eine Folge (von reellen Zahlen) ?
27, 3.5, 2, −14,√
2, 34, 52/7, . . .
Jedem n = 1,2,3, . . . wird ein xn zugeordnet:
1 2 3 4 . . .x1 x2 x3 x4 . . .27 3.5 2 −14 . . .
xn: Folgenglieder , Schreibweise:
(xn)n∈N, (xn)
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 3 / 1
FolgenWas ist eine Folge (von reellen Zahlen) ?
27, 3.5, 2, −14,√
2, 34, 52/7, . . .
Jedem n = 1,2,3, . . . wird ein xn zugeordnet:
1 2 3 4 . . .x1 x2 x3 x4 . . .27 3.5 2 −14 . . .
xn: Folgenglieder
, Schreibweise:
(xn)n∈N, (xn)
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 3 / 1
FolgenWas ist eine Folge (von reellen Zahlen) ?
27, 3.5, 2, −14,√
2, 34, 52/7, . . .
Jedem n = 1,2,3, . . . wird ein xn zugeordnet:
1 2 3 4 . . .x1 x2 x3 x4 . . .27 3.5 2 −14 . . .
xn: Folgenglieder , Schreibweise:
(xn)n∈N, (xn)
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 3 / 1
FOLGEN
Jedem n = 1,2,3, . . . wird ein xn zugeordnet:
Indices →
1 2 3 4 . . .
Folgenglieder →
x1 x2 x3 x4 . . .27 3.5 2 −14 . . .
Schreibweise:(xn)n∈N, (xn)
Beispiele:gerade naturliche Zahlen, aufsteigend:
n = 1 2 3 4 5 6 . . .xn = 2 4 6 8 10 12 . . .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 4 / 1
FOLGEN
Jedem n = 1,2,3, . . . wird ein xn zugeordnet:
Indices → 1 2 3 4 . . .
Folgenglieder →
x1 x2 x3 x4 . . .27 3.5 2 −14 . . .
Schreibweise:(xn)n∈N, (xn)
Beispiele:gerade naturliche Zahlen, aufsteigend:
n = 1 2 3 4 5 6 . . .xn = 2 4 6 8 10 12 . . .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 4 / 1
FOLGEN
Jedem n = 1,2,3, . . . wird ein xn zugeordnet:
Indices → 1 2 3 4 . . .Folgenglieder → x1 x2 x3 x4 . . .
27 3.5 2 −14 . . .
Schreibweise:(xn)n∈N, (xn)
Beispiele:gerade naturliche Zahlen, aufsteigend:
n = 1 2 3 4 5 6 . . .xn = 2 4 6 8 10 12 . . .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 4 / 1
FOLGEN
Jedem n = 1,2,3, . . . wird ein xn zugeordnet:
Indices → 1 2 3 4 . . .Folgenglieder → x1 x2 x3 x4 . . .
27 3.5 2 −14 . . .
Schreibweise:(xn)n∈N, (xn)
Beispiele:gerade naturliche Zahlen, aufsteigend:
n = 1 2 3 4 5 6 . . .xn = 2 4 6 8 10 12 . . .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 4 / 1
FOLGEN
Jedem n = 1,2,3, . . . wird ein xn zugeordnet:
Indices → 1 2 3 4 . . .Folgenglieder → x1 x2 x3 x4 . . .
27 3.5 2 −14 . . .
Schreibweise:(xn)n∈N, (xn)
Beispiele:ungerade naturliche Zahlen, aufsteigend:
n = 1 2 3 4 5 6 . . .xn = 1 3 5 7 9 11 . . .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 4 / 1
FOLGEN
Jedem n = 1,2,3, . . . wird ein xn zugeordnet:
Indices → 1 2 3 4 . . .Folgenglieder → x1 x2 x3 x4 . . .
27 3.5 2 −14 . . .
Schreibweise:(xn)n∈N, (xn)
Beispiele:Primzahlen, aufsteigend:
n = 1 2 3 4 5 6 . . .xn = 1 2 3 5 7 11 . . .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 4 / 1
FOLGEN
Jedem n = 1,2,3, . . . wird ein xn zugeordnet:
Indices → 1 2 3 4 . . .Folgenglieder → x1 x2 x3 x4 . . .
27 3.5 2 −14 . . .
Schreibweise:(xn)n∈N, (xn)
Beispiele:Naturliche Zahlen mit Quersumme 7, aufsteigend:
n = 1 2 3 4 5 6 . . .xn = 7 16 25 34 43 52 . . .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 4 / 1
FOLGEN Indices → 1 2 3 4 . . .Folgenglieder→ x1 x2 x3 x4 . . .
Schreibweise:(xn)n∈N, (xn)
Wozu beschaftigen wir uns mit Folgen ?
Folgen↓
Grenzwerte↓
Stetigkeit↓
Differentiation↓
Integration↓· · ·
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 5 / 1
FOLGEN Indices → 1 2 3 4 . . .Folgenglieder→ x1 x2 x3 x4 . . .
Schreibweise:(xn)n∈N, (xn)
Wozu beschaftigen wir uns mit Folgen ?
Folgen↓
Grenzwerte↓
Stetigkeit↓
Differentiation↓
Integration↓· · ·
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 5 / 1
FOLGEN Indices → 1 2 3 4 . . .Folgenglieder→ x1 x2 x3 x4 . . .
Schreibweise:(xn)n∈N, (xn)
Wozu beschaftigen wir uns mit Folgen ?
Folgen↓
Grenzwerte
↓Stetigkeit↓
Differentiation↓
Integration↓· · ·
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 5 / 1
FOLGEN Indices → 1 2 3 4 . . .Folgenglieder→ x1 x2 x3 x4 . . .
Schreibweise:(xn)n∈N, (xn)
Wozu beschaftigen wir uns mit Folgen ?
Folgen↓
Grenzwerte↓
Stetigkeit
↓Differentiation
↓Integration
↓· · ·
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 5 / 1
FOLGEN Indices → 1 2 3 4 . . .Folgenglieder→ x1 x2 x3 x4 . . .
Schreibweise:(xn)n∈N, (xn)
Wozu beschaftigen wir uns mit Folgen ?
Folgen↓
Grenzwerte↓
Stetigkeit↓
Differentiation
↓Integration
↓· · ·
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 5 / 1
FOLGEN Indices → 1 2 3 4 . . .Folgenglieder→ x1 x2 x3 x4 . . .
Schreibweise:(xn)n∈N, (xn)
Wozu beschaftigen wir uns mit Folgen ?
Folgen↓
Grenzwerte↓
Stetigkeit↓
Differentiation↓
Integration↓· · ·
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 5 / 1
FOLGENWas wollen wir von einer Folge wissen ?
Konvergiert sie gegen einen festen Wert ?Divergiert sie, strebt sie gegen ±∞Oszilliert sie ?
Eine Folge ist typischerweise durch eine definierende Formelgegeben:
xn := 2n → 2,4,6,8, . . .
xn := 2n − 1 → 1,3,5,7, . . .
. . . oder durch eine Rekursion:
x1 := 1, xn+1 := 2xn → 1,2,4,8,16, . . .
x1 := 1, xn+1 := n + 1 + xn → 1,3,6,10,15, . . .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 6 / 1
FOLGENWas wollen wir von einer Folge wissen ?
Konvergiert sie gegen einen festen Wert ?
Divergiert sie, strebt sie gegen ±∞Oszilliert sie ?
Eine Folge ist typischerweise durch eine definierende Formelgegeben:
xn := 2n → 2,4,6,8, . . .
xn := 2n − 1 → 1,3,5,7, . . .
. . . oder durch eine Rekursion:
x1 := 1, xn+1 := 2xn → 1,2,4,8,16, . . .
x1 := 1, xn+1 := n + 1 + xn → 1,3,6,10,15, . . .
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FOLGENWas wollen wir von einer Folge wissen ?
Konvergiert sie gegen einen festen Wert ?Divergiert sie, strebt sie gegen ±∞
Oszilliert sie ?Eine Folge ist typischerweise durch eine definierende Formelgegeben:
xn := 2n → 2,4,6,8, . . .
xn := 2n − 1 → 1,3,5,7, . . .
. . . oder durch eine Rekursion:
x1 := 1, xn+1 := 2xn → 1,2,4,8,16, . . .
x1 := 1, xn+1 := n + 1 + xn → 1,3,6,10,15, . . .
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FOLGENWas wollen wir von einer Folge wissen ?
Konvergiert sie gegen einen festen Wert ?Divergiert sie, strebt sie gegen ±∞Oszilliert sie ?
Eine Folge ist typischerweise durch eine definierende Formelgegeben:
xn := 2n → 2,4,6,8, . . .
xn := 2n − 1 → 1,3,5,7, . . .
. . . oder durch eine Rekursion:
x1 := 1, xn+1 := 2xn → 1,2,4,8,16, . . .
x1 := 1, xn+1 := n + 1 + xn → 1,3,6,10,15, . . .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 6 / 1
FOLGENWas wollen wir von einer Folge wissen ?
Konvergiert sie gegen einen festen Wert ?Divergiert sie, strebt sie gegen ±∞Oszilliert sie ?
Eine Folge ist typischerweise durch eine definierende Formelgegeben:
xn := 2n → 2,4,6,8, . . .
xn := 2n − 1 → 1,3,5,7, . . .
. . . oder durch eine Rekursion:
x1 := 1, xn+1 := 2xn → 1,2,4,8,16, . . .
x1 := 1, xn+1 := n + 1 + xn → 1,3,6,10,15, . . .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 6 / 1
FOLGENWas wollen wir von einer Folge wissen ?
Konvergiert sie gegen einen festen Wert ?Divergiert sie, strebt sie gegen ±∞Oszilliert sie ?
Eine Folge ist typischerweise durch eine definierende Formelgegeben:
xn := 2n → 2,4,6,8, . . .
xn := 2n − 1 → 1,3,5,7, . . .
. . . oder durch eine Rekursion:
x1 := 1, xn+1 := 2xn → 1,2,4,8,16, . . .
x1 := 1, xn+1 := n + 1 + xn → 1,3,6,10,15, . . .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 6 / 1
FOLGENWas wollen wir von einer Folge wissen ?
Konvergiert sie gegen einen festen Wert ?Divergiert sie, strebt sie gegen ±∞Oszilliert sie ?
Eine Folge ist typischerweise durch eine definierende Formelgegeben:
xn := 2n → 2,4,6,8, . . .
xn := 2n − 1 → 1,3,5,7, . . .
. . . oder durch eine Rekursion:
x1 := 1, xn+1 := 2xn → 1,2,4,8,16, . . .
x1 := 1, xn+1 := n + 1 + xn → 1,3,6,10,15, . . .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 6 / 1
FOLGENWas wollen wir von einer Folge wissen ?
Konvergiert sie gegen einen festen Wert ?Divergiert sie, strebt sie gegen ±∞Oszilliert sie ?
Eine Folge ist typischerweise durch eine definierende Formelgegeben:
xn := 2n → 2,4,6,8, . . .
xn := 2n − 1 → 1,3,5,7, . . .
. . . oder durch eine Rekursion:
x1 := 1, xn+1 := 2xn → 1,2,4,8,16, . . .
x1 := 1, xn+1 := n + 1 + xn → 1,3,6,10,15, . . .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 6 / 1
FOLGEN — KONVERGENZ
Definition:Eine Folge (xn)n∈N konvergiert gegen einen Grenzwert x∗,wenn
es fur jedes noch so kleine ε > 0 eine Zahl N = N(ε) gibt, sodass fur alle Indices n > N jedes xn hochstens noch einenAbstand ε zu x∗ hat:
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Ab Index N liegen alle xn dicht bei x∗
xn → x∗ oder limn→∞
xn = x∗
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 7 / 1
FOLGEN — KONVERGENZ
Definition:Eine Folge (xn)n∈N konvergiert gegen einen Grenzwert x∗,wennes fur jedes noch so kleine ε > 0 eine Zahl N = N(ε) gibt, sodass fur alle Indices n > N jedes xn hochstens noch einenAbstand ε zu x∗ hat:
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Ab Index N liegen alle xn dicht bei x∗
xn → x∗ oder limn→∞
xn = x∗
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 7 / 1
FOLGEN — KONVERGENZ
Definition:Eine Folge (xn)n∈N konvergiert gegen einen Grenzwert x∗,wennes fur jedes noch so kleine ε > 0 eine Zahl N = N(ε) gibt, sodass fur alle Indices n > N jedes xn hochstens noch einenAbstand ε zu x∗ hat:
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Ab Index N liegen alle xn dicht bei x∗
xn → x∗ oder limn→∞
xn = x∗
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 7 / 1
FOLGEN — KONVERGENZ
Definition:Eine Folge (xn)n∈N konvergiert gegen einen Grenzwert x∗,wennes fur jedes noch so kleine ε > 0 eine Zahl N = N(ε) gibt, sodass fur alle Indices n > N jedes xn hochstens noch einenAbstand ε zu x∗ hat:
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Ab Index N liegen alle xn dicht bei x∗
xn → x∗ oder limn→∞
xn = x∗
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 7 / 1
FOLGEN — KONVERGENZ
Definition:Eine Folge (xn)n∈N konvergiert gegen einen Grenzwert x∗,wennes fur jedes noch so kleine ε > 0 eine Zahl N = N(ε) gibt, sodass fur alle Indices n > N jedes xn hochstens noch einenAbstand ε zu x∗ hat:
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Ab Index N liegen alle xn dicht bei x∗
xn → x∗ oder limn→∞
xn = x∗
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 7 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1
n konvergiert.1/n wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Wie sollen wir fur vorgegebenes ε ein N finden ? Es soll furn > N gelten:
| xn︸︷︷︸
= 1n
− x∗︸︷︷︸
=0
| < ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 8 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1
n konvergiert.
1/n wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Wie sollen wir fur vorgegebenes ε ein N finden ? Es soll furn > N gelten:
| xn︸︷︷︸
= 1n
− x∗︸︷︷︸
=0
| < ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 8 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1
n konvergiert.1/n wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.
Wie sollen wir fur vorgegebenes ε ein N finden ? Es soll furn > N gelten:
| xn︸︷︷︸
= 1n
− x∗︸︷︷︸
=0
| < ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 8 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1
n konvergiert.1/n wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Wie sollen wir fur vorgegebenes ε ein N finden ?
Es soll furn > N gelten:
| xn︸︷︷︸
= 1n
− x∗︸︷︷︸
=0
| < ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 8 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1
n konvergiert.1/n wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Wie sollen wir fur vorgegebenes ε ein N finden ? Es soll furn > N gelten:
| xn︸︷︷︸
= 1n
− x∗︸︷︷︸
=0
| < ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 8 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1
n konvergiert.1/n wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Wie sollen wir fur vorgegebenes ε ein N finden ? Es soll furn > N gelten:
| xn︸︷︷︸= 1
n
− x∗︸︷︷︸
=0
| < ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 8 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1
n konvergiert.1/n wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Wie sollen wir fur vorgegebenes ε ein N finden ? Es soll furn > N gelten:
| xn︸︷︷︸= 1
n
− x∗︸︷︷︸=0
| < ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 8 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1
n konvergiert.1/n wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Wie sollen wir fur vorgegebenes ε ein N finden ? Es soll furn > N gelten:∣∣∣∣1n − 0
∣∣∣∣ < ε
⇔ n >1ε
also N :=1ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 8 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1
n konvergiert.1/n wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Wie sollen wir fur vorgegebenes ε ein N finden ? Es soll furn > N gelten:∣∣∣∣1n − 0
∣∣∣∣ < ε ⇔ n >1ε
also N :=1ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 8 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1
n konvergiert.1/n wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Wie sollen wir fur vorgegebenes ε ein N finden ? Es soll furn > N gelten:∣∣∣∣1n − 0
∣∣∣∣ < ε ⇔ n >1ε
also N :=1ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 8 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1
n2 konvergiert.1/n2 wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Es soll fur n > N gelten:
| xn︸︷︷︸
= 1n2
− x∗︸︷︷︸
=0
| < ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 9 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1
n2 konvergiert.
1/n2 wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Es soll fur n > N gelten:
| xn︸︷︷︸
= 1n2
− x∗︸︷︷︸
=0
| < ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 9 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1
n2 konvergiert.1/n2 wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.
Es soll fur n > N gelten:
| xn︸︷︷︸
= 1n2
− x∗︸︷︷︸
=0
| < ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 9 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1
n2 konvergiert.1/n2 wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Es soll fur n > N gelten:
| xn︸︷︷︸
= 1n2
− x∗︸︷︷︸
=0
| < ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 9 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1
n2 konvergiert.1/n2 wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Es soll fur n > N gelten:
| xn︸︷︷︸= 1
n2
− x∗︸︷︷︸
=0
| < ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 9 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1
n2 konvergiert.1/n2 wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Es soll fur n > N gelten:
| xn︸︷︷︸= 1
n2
− x∗︸︷︷︸=0
| < ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 9 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1
n2 konvergiert.1/n2 wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Es soll fur n > N gelten:∣∣∣∣ 1
n2 − 0∣∣∣∣ < ε
⇔ n2 >1ε
also N :=1√ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 9 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1
n2 konvergiert.1/n2 wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Es soll fur n > N gelten:∣∣∣∣ 1
n2 − 0∣∣∣∣ < ε ⇔ n2 >
1ε
also N :=1√ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 9 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1
n2 konvergiert.1/n2 wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Es soll fur n > N gelten:∣∣∣∣ 1
n2 − 0∣∣∣∣ < ε ⇔ n2 >
1ε
also N :=1√ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 9 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 2+n
n konvergiert.
Gegen was konvergiert die Folge ?
2 + nn
=2n
+ 1 → 1
Es soll fur n > N gelten:
| xn︸︷︷︸
= 2+nn
− x∗︸︷︷︸
=1
| < ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 10 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 2+n
n konvergiert.
Gegen was konvergiert die Folge ?
2 + nn
=2n
+ 1 → 1
Es soll fur n > N gelten:
| xn︸︷︷︸
= 2+nn
− x∗︸︷︷︸
=1
| < ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 10 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 2+n
n konvergiert.
Gegen was konvergiert die Folge ?
2 + nn
=2n
+ 1 → 1
Es soll fur n > N gelten:
| xn︸︷︷︸
= 2+nn
− x∗︸︷︷︸
=1
| < ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 10 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 2+n
n konvergiert.
Gegen was konvergiert die Folge ?
2 + nn
=2n
+ 1 → 1
Es soll fur n > N gelten:
| xn︸︷︷︸
= 2+nn
− x∗︸︷︷︸
=1
| < ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 10 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 2+n
n konvergiert.
Gegen was konvergiert die Folge ?
2 + nn
=2n
+ 1 → 1
Es soll fur n > N gelten:
| xn︸︷︷︸= 2+n
n
− x∗︸︷︷︸
=1
| < ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 10 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 2+n
n konvergiert.
Gegen was konvergiert die Folge ?
2 + nn
=2n
+ 1 → 1
Es soll fur n > N gelten:
| xn︸︷︷︸= 2+n
n
− x∗︸︷︷︸=1
| < ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 10 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 2+n
n konvergiert.
Gegen was konvergiert die Folge ?
2 + nn
=2n
+ 1 → 1
Es soll fur n > N gelten:∣∣∣∣2 + nn− 1∣∣∣∣ < ε
⇔ n >2ε
also N :=2ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 10 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 2+n
n konvergiert.
Gegen was konvergiert die Folge ?
2 + nn
=2n
+ 1 → 1
Es soll fur n > N gelten:∣∣∣∣2 + nn− 1∣∣∣∣ < ε ⇔ n >
2ε
also N :=2ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 10 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 2+n
n konvergiert.
Gegen was konvergiert die Folge ?
2 + nn
=2n
+ 1 → 1
Es soll fur n > N gelten:∣∣∣∣2 + nn− 1∣∣∣∣ < ε ⇔ n >
2ε
also N :=2ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 10 / 1
EINSCHUB: DREIECKSUNGLEICHUNG
|a + b| ≤ |a| + |b|
|a− b| ≥ |a| − |b|
Warum ist das so ?Beide positiv:
|a + b| = a + b = |a|+ |b|
Beide negativ: genauso.Verschiedene Vorzeichen:
|a + b| = ±a +±b ≤ |a|+ |b|
|a| = |a− b + b| ≤ |a− b|+ |b| ⇒ 2. ∆-Ungleichung
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 11 / 1
EINSCHUB: DREIECKSUNGLEICHUNG
|a + b| ≤ |a| + |b|
|a− b| ≥ |a| − |b|Warum ist das so ?
Beide positiv:
|a + b| = a + b = |a|+ |b|
Beide negativ: genauso.Verschiedene Vorzeichen:
|a + b| = ±a +±b ≤ |a|+ |b|
|a| = |a− b + b| ≤ |a− b|+ |b| ⇒ 2. ∆-Ungleichung
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 11 / 1
EINSCHUB: DREIECKSUNGLEICHUNG
|a + b| ≤ |a| + |b|
|a− b| ≥ |a| − |b|Warum ist das so ?
Beide positiv:
|a + b| = a + b = |a|+ |b|
Beide negativ: genauso.Verschiedene Vorzeichen:
|a + b| = ±a +±b ≤ |a|+ |b|
|a| = |a− b + b| ≤ |a− b|+ |b| ⇒ 2. ∆-Ungleichung
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 11 / 1
EINSCHUB: DREIECKSUNGLEICHUNG
|a + b| ≤ |a| + |b|
|a− b| ≥ |a| − |b|Warum ist das so ?
Beide positiv:
|a + b| = a + b = |a|+ |b|
Beide negativ: genauso.
Verschiedene Vorzeichen:
|a + b| = ±a +±b ≤ |a|+ |b|
|a| = |a− b + b| ≤ |a− b|+ |b| ⇒ 2. ∆-Ungleichung
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 11 / 1
EINSCHUB: DREIECKSUNGLEICHUNG
|a + b| ≤ |a| + |b|
|a− b| ≥ |a| − |b|Warum ist das so ?
Beide positiv:
|a + b| = a + b = |a|+ |b|
Beide negativ: genauso.Verschiedene Vorzeichen:
|a + b| = ±a +±b ≤ |a|+ |b|
|a| = |a− b + b| ≤ |a− b|+ |b| ⇒ 2. ∆-Ungleichung
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 11 / 1
EINSCHUB: DREIECKSUNGLEICHUNG
|a + b| ≤ |a| + |b|
|a− b| ≥ |a| − |b|Warum ist das so ?
Beide positiv:
|a + b| = a + b = |a|+ |b|
Beide negativ: genauso.Verschiedene Vorzeichen:
|a + b| = ±a +±b ≤ |a|+ |b|
|a| = |a− b + b| ≤ |a− b|+ |b| ⇒ 2. ∆-Ungleichung
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 11 / 1
EINSCHUB: DREIECKSUNGLEICHUNG
|a + b| ≤ |a| + |b|
|a− b| ≥ |a| − |b|Warum ist das so ?
Beide positiv:
|a + b| = a + b = |a|+ |b|
Beide negativ: genauso.Verschiedene Vorzeichen:
|a + b| = ±a +±b ≤ |a|+ |b|
|a| = |a− b + b| ≤ |a− b|+ |b| ⇒ 2. ∆-Ungleichung
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 11 / 1
FOLGEN — KONVERGENZ
Jede Folge xn hat maximal einen Grenzwert x∗
Nehmen wir mal an
xn → x∗ und xn → y∗
Wir vermuten: x∗ = y∗
|xn − x∗| < 12ε und |xn − y∗| < 1
2ε
Also erhalten wir durch Anwendung der ∆-Ungleichung:
|x∗ − y∗| = |x∗ − xn + xn − y∗|∆-Ungleichung→ ≤ |x∗ − xn|+ |xn − y∗|
<12ε +
12ε = ε
Damit ist fur jedes noch so kleine ε: |x∗ − y∗| < ε⇒ x∗ = y∗
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 12 / 1
FOLGEN — KONVERGENZ
Jede Folge xn hat maximal einen Grenzwert x∗
Nehmen wir mal an
xn → x∗ und xn → y∗
Wir vermuten: x∗ = y∗
|xn − x∗| < 12ε und |xn − y∗| < 1
2ε
Also erhalten wir durch Anwendung der ∆-Ungleichung:
|x∗ − y∗| = |x∗ − xn + xn − y∗|∆-Ungleichung→ ≤ |x∗ − xn|+ |xn − y∗|
<12ε +
12ε = ε
Damit ist fur jedes noch so kleine ε: |x∗ − y∗| < ε⇒ x∗ = y∗
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 12 / 1
FOLGEN — KONVERGENZ
Jede Folge xn hat maximal einen Grenzwert x∗
Nehmen wir mal an
xn → x∗ und xn → y∗
Konvergenz bedeutet fur große n:
|xn − x∗| < 12ε und |xn − y∗| < 1
2ε
Also erhalten wir durch Anwendung der ∆-Ungleichung:
|x∗ − y∗| = |x∗ − xn + xn − y∗|∆-Ungleichung→ ≤ |x∗ − xn|+ |xn − y∗|
<12ε +
12ε = ε
Damit ist fur jedes noch so kleine ε: |x∗ − y∗| < ε⇒ x∗ = y∗
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 12 / 1
FOLGEN — KONVERGENZ
Jede Folge xn hat maximal einen Grenzwert x∗
Nehmen wir mal an
xn → x∗ und xn → y∗
Konvergenz bedeutet fur große n:
|xn − x∗| < 12ε und |xn − y∗| < 1
2ε
Also erhalten wir durch Anwendung der ∆-Ungleichung:
|x∗ − y∗| =
|x∗ − xn + xn − y∗|∆-Ungleichung→ ≤ |x∗ − xn|+ |xn − y∗|
<12ε +
12ε = ε
Damit ist fur jedes noch so kleine ε: |x∗ − y∗| < ε⇒ x∗ = y∗
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 12 / 1
FOLGEN — KONVERGENZ
Jede Folge xn hat maximal einen Grenzwert x∗
Nehmen wir mal an
xn → x∗ und xn → y∗
Konvergenz bedeutet fur große n:
|xn − x∗| < 12ε und |xn − y∗| < 1
2ε
Also erhalten wir durch Anwendung der ∆-Ungleichung:
|x∗ − y∗| = |x∗ − xn + xn − y∗|∆-Ungleichung→ ≤
|x∗ − xn|+ |xn − y∗|
<12ε +
12ε = ε
Damit ist fur jedes noch so kleine ε: |x∗ − y∗| < ε⇒ x∗ = y∗
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 12 / 1
FOLGEN — KONVERGENZ
Jede Folge xn hat maximal einen Grenzwert x∗
Nehmen wir mal an
xn → x∗ und xn → y∗
Konvergenz bedeutet fur große n:
|xn − x∗| < 12ε und |xn − y∗| < 1
2ε
Also erhalten wir durch Anwendung der ∆-Ungleichung:
|x∗ − y∗| = |x∗ − xn + xn − y∗|∆-Ungleichung→ ≤ |x∗ − xn|+ |xn − y∗|
<
12ε +
12ε = ε
Damit ist fur jedes noch so kleine ε: |x∗ − y∗| < ε⇒ x∗ = y∗
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 12 / 1
FOLGEN — KONVERGENZ
Jede Folge xn hat maximal einen Grenzwert x∗
Nehmen wir mal an
xn → x∗ und xn → y∗
Konvergenz bedeutet fur große n:
|xn − x∗| < 12ε und |xn − y∗| < 1
2ε
Also erhalten wir durch Anwendung der ∆-Ungleichung:
|x∗ − y∗| = |x∗ − xn + xn − y∗|∆-Ungleichung→ ≤ |x∗ − xn|+ |xn − y∗|
<12ε +
12ε
= ε
Damit ist fur jedes noch so kleine ε: |x∗ − y∗| < ε⇒ x∗ = y∗
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 12 / 1
FOLGEN — KONVERGENZ
Jede Folge xn hat maximal einen Grenzwert x∗
Nehmen wir mal an
xn → x∗ und xn → y∗
Konvergenz bedeutet fur große n:
|xn − x∗| < 12ε und |xn − y∗| < 1
2ε
Also erhalten wir durch Anwendung der ∆-Ungleichung:
|x∗ − y∗| = |x∗ − xn + xn − y∗|∆-Ungleichung→ ≤ |x∗ − xn|+ |xn − y∗|
<12ε +
12ε = ε
Damit ist fur jedes noch so kleine ε: |x∗ − y∗| < ε
⇒ x∗ = y∗
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 12 / 1
FOLGEN — KONVERGENZ
Jede Folge xn hat maximal einen Grenzwert x∗
Nehmen wir mal an
xn → x∗ und xn → y∗
Konvergenz bedeutet fur große n:
|xn − x∗| < 12ε und |xn − y∗| < 1
2ε
Also erhalten wir durch Anwendung der ∆-Ungleichung:
|x∗ − y∗| = |x∗ − xn + xn − y∗|∆-Ungleichung→ ≤ |x∗ − xn|+ |xn − y∗|
<12ε +
12ε = ε
Damit ist fur jedes noch so kleine ε: |x∗ − y∗| < ε⇒ x∗ = y∗MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 12 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn =
√n divergiert.
Verneinung der Konvergenz:
Fur jedes x∗ gibt es ein ε zu dem man kein N findenkann mit
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Fur jedes x∗ gibt es ein ε so dass fur große n > N:
|xn − x∗| ≥ ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 13 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn =
√n divergiert.
Verneinung der Konvergenz:
Fur jedes x∗ gibt es ein ε zu dem man kein N findenkann mit
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Fur jedes x∗ gibt es ein ε so dass fur große n > N:
|xn − x∗| ≥ ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 13 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn =
√n divergiert.
Verneinung der Konvergenz:
Fur jedes x∗ gibt es ein ε zu dem man kein N findenkann mit
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Fur jedes x∗ gibt es ein ε so dass fur große n > N:
|xn − x∗| ≥ ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 13 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn =
√n divergiert.
Verneinung der Konvergenz:
Fur jedes x∗ gibt es ein ε zu dem man kein N findenkann mit
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Fur jedes x∗ gibt es ein ε so dass fur große n > N:
|xn − x∗| ≥ ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 13 / 1
FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn =
√n divergiert.
Verneinung der Konvergenz:
Fur jedes x∗ gibt es ein ε zu dem man kein N findenkann mit
n > N ⇒ |xn − x∗| < ε
Fur jedes x∗ gibt es ein ε so dass fur große n > N:
|xn − x∗| ≥ ε
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 13 / 1
FOLGEN — KONVERGENZBeispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn =
√n divergiert.
Fur jedes x∗ gibt es ein ε so dass fur große n > N:
|xn − x∗| ≥ ε
Wir nehmen ε := 1.Nehmen wir mal an xn → x∗. Wie groß kann n werden, wenn
|xn − x∗| < 1 und |x4n − x∗| < 1
erfullt sein soll ?|√
n − x∗| < 1 und |2√
n − x∗| < 1
|√
n−2√
n| = |(√
n−x∗)+(x∗−2√
n)| ≤ |√
n−x∗|+|x∗−2√
n| < 2
√n < 2, also n < 4
Fur große n also nicht erfullt→ Widerspruch! .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 14 / 1
FOLGEN — KONVERGENZBeispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn =
√n divergiert.
Fur jedes x∗ gibt es ein ε so dass fur große n > N:
|xn − x∗| ≥ ε
Wir nehmen ε := 1.
Nehmen wir mal an xn → x∗. Wie groß kann n werden, wenn
|xn − x∗| < 1 und |x4n − x∗| < 1
erfullt sein soll ?|√
n − x∗| < 1 und |2√
n − x∗| < 1
|√
n−2√
n| = |(√
n−x∗)+(x∗−2√
n)| ≤ |√
n−x∗|+|x∗−2√
n| < 2
√n < 2, also n < 4
Fur große n also nicht erfullt→ Widerspruch! .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 14 / 1
FOLGEN — KONVERGENZBeispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn =
√n divergiert.
Fur jedes x∗ gibt es ein ε so dass fur große n > N:
|xn − x∗| ≥ ε
Wir nehmen ε := 1.Nehmen wir mal an xn → x∗.
Wie groß kann n werden, wenn
|xn − x∗| < 1 und |x4n − x∗| < 1
erfullt sein soll ?|√
n − x∗| < 1 und |2√
n − x∗| < 1
|√
n−2√
n| = |(√
n−x∗)+(x∗−2√
n)| ≤ |√
n−x∗|+|x∗−2√
n| < 2
√n < 2, also n < 4
Fur große n also nicht erfullt→ Widerspruch! .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 14 / 1
FOLGEN — KONVERGENZBeispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn =
√n divergiert.
Fur jedes x∗ gibt es ein ε so dass fur große n > N:
|xn − x∗| ≥ ε
Wir nehmen ε := 1.Nehmen wir mal an xn → x∗. Wie groß kann n werden, wenn
|xn − x∗| < 1 und |x4n − x∗| < 1
erfullt sein soll ?
|√
n − x∗| < 1 und |2√
n − x∗| < 1
|√
n−2√
n| = |(√
n−x∗)+(x∗−2√
n)| ≤ |√
n−x∗|+|x∗−2√
n| < 2
√n < 2, also n < 4
Fur große n also nicht erfullt→ Widerspruch! .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 14 / 1
FOLGEN — KONVERGENZBeispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn =
√n divergiert.
Fur jedes x∗ gibt es ein ε so dass fur große n > N:
|xn − x∗| ≥ ε
Wir nehmen ε := 1.Nehmen wir mal an xn → x∗. Wie groß kann n werden, wenn
|xn − x∗| < 1 und |x4n − x∗| < 1
erfullt sein soll ?|√
n − x∗| < 1 und |2√
n − x∗| < 1
|√
n−2√
n| = |(√
n−x∗)+(x∗−2√
n)| ≤ |√
n−x∗|+|x∗−2√
n| < 2
√n < 2, also n < 4
Fur große n also nicht erfullt→ Widerspruch! .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 14 / 1
FOLGEN — KONVERGENZBeispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn =
√n divergiert.
Fur jedes x∗ gibt es ein ε so dass fur große n > N:
|xn − x∗| ≥ ε
Wir nehmen ε := 1.Nehmen wir mal an xn → x∗. Wie groß kann n werden, wenn
|xn − x∗| < 1 und |x4n − x∗| < 1
erfullt sein soll ?|√
n − x∗| < 1 und |2√
n − x∗| < 1
|√
n−2√
n| = |(√
n−x∗)+(x∗−2√
n)| ≤ |√
n−x∗|+|x∗−2√
n| < 2
√n < 2, also n < 4
Fur große n also nicht erfullt→ Widerspruch! .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 14 / 1
FOLGEN — KONVERGENZBeispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn =
√n divergiert.
Fur jedes x∗ gibt es ein ε so dass fur große n > N:
|xn − x∗| ≥ ε
Wir nehmen ε := 1.Nehmen wir mal an xn → x∗. Wie groß kann n werden, wenn
|xn − x∗| < 1 und |x4n − x∗| < 1
erfullt sein soll ?|√
n − x∗| < 1 und |2√
n − x∗| < 1
|√
n−2√
n| = |(√
n−x∗)+(x∗−2√
n)| ≤ |√
n−x∗|+|x∗−2√
n| < 2
√n < 2, also n < 4
Fur große n also nicht erfullt→ Widerspruch! .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 14 / 1
FOLGEN — KONVERGENZBeispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn =
√n divergiert.
Fur jedes x∗ gibt es ein ε so dass fur große n > N:
|xn − x∗| ≥ ε
Wir nehmen ε := 1.Nehmen wir mal an xn → x∗. Wie groß kann n werden, wenn
|xn − x∗| < 1 und |x4n − x∗| < 1
erfullt sein soll ?|√
n − x∗| < 1 und |2√
n − x∗| < 1
|√
n−2√
n| = |(√
n−x∗)+(x∗−2√
n)| ≤ |√
n−x∗|+|x∗−2√
n| < 2
√n < 2, also n < 4
Fur große n also nicht erfullt
→ Widerspruch! .
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 14 / 1
FOLGEN — KONVERGENZBeispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn =
√n divergiert.
Fur jedes x∗ gibt es ein ε so dass fur große n > N:
|xn − x∗| ≥ ε
Wir nehmen ε := 1.Nehmen wir mal an xn → x∗. Wie groß kann n werden, wenn
|xn − x∗| < 1 und |x4n − x∗| < 1
erfullt sein soll ?|√
n − x∗| < 1 und |2√
n − x∗| < 1
|√
n−2√
n| = |(√
n−x∗)+(x∗−2√
n)| ≤ |√
n−x∗|+|x∗−2√
n| < 2
√n < 2, also n < 4
Fur große n also nicht erfullt→ Widerspruch! .MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 14 / 1
FUNDAMENTALSATZNullfolge:
xn → 0
Beschrankt: Fur alle xn gilt
L ≤︸︷︷︸nach unten beschrankt
xn ≤︸︷︷︸nach oben beschrankt
U
Monoton fallend:xn ≥ xn+1
Monoton steigend:xn ≤ xn+1
Strebt gegen Unendlich:
xn → +∞ oder xn → −∞
wennn > N ⇒ xn < L oder xn > U
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 15 / 1
FUNDAMENTALSATZNullfolge:
xn → 0
Beschrankt: Fur alle xn gilt
L ≤︸︷︷︸nach unten beschrankt
xn ≤︸︷︷︸nach oben beschrankt
U
Monoton fallend:xn ≥ xn+1
Monoton steigend:xn ≤ xn+1
Strebt gegen Unendlich:
xn → +∞ oder xn → −∞
wennn > N ⇒ xn < L oder xn > U
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 15 / 1
FUNDAMENTALSATZNullfolge:
xn → 0
Beschrankt: Fur alle xn gilt
L ≤︸︷︷︸nach unten beschrankt
xn ≤︸︷︷︸nach oben beschrankt
U
Monoton fallend:xn ≥ xn+1
Monoton steigend:xn ≤ xn+1
Strebt gegen Unendlich:
xn → +∞ oder xn → −∞
wennn > N ⇒ xn < L oder xn > U
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 15 / 1
FUNDAMENTALSATZNullfolge:
xn → 0
Beschrankt: Fur alle xn gilt
L ≤︸︷︷︸nach unten beschrankt
xn ≤︸︷︷︸nach oben beschrankt
U
Monoton fallend:xn ≥ xn+1
Monoton steigend:xn ≤ xn+1
Strebt gegen Unendlich:
xn → +∞ oder xn → −∞
wennn > N ⇒ xn < L oder xn > U
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 15 / 1
FUNDAMENTALSATZNullfolge:
xn → 0
Beschrankt: Fur alle xn gilt
L ≤︸︷︷︸nach unten beschrankt
xn ≤︸︷︷︸nach oben beschrankt
U
Monoton fallend:xn ≥ xn+1
Monoton steigend:xn ≤ xn+1
Strebt gegen Unendlich:
xn → +∞ oder xn → −∞
wennn > N ⇒ xn < L oder xn > U
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 15 / 1
FUNDAMENTALSATZ
konvergent⇒ nach unten und oben beschrankt
Monoton fallend + nach unten beschrankt⇒ konvergent
Monoton steigend + nach oben beschrankt⇒ konvergent
Der Fundamentalsatz hilft dabei festzustellen ob eine Folgekonvergiert, aber nicht gegen was.
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 16 / 1
FUNDAMENTALSATZ
konvergent⇒ nach unten und oben beschrankt
Monoton fallend + nach unten beschrankt⇒ konvergent
Monoton steigend + nach oben beschrankt⇒ konvergent
Der Fundamentalsatz hilft dabei festzustellen ob eine Folgekonvergiert, aber nicht gegen was.
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 16 / 1
FUNDAMENTALSATZ
konvergent⇒ nach unten und oben beschrankt
Monoton fallend + nach unten beschrankt⇒ konvergent
Monoton steigend + nach oben beschrankt⇒ konvergent
Der Fundamentalsatz hilft dabei festzustellen ob eine Folgekonvergiert, aber nicht gegen was.
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 16 / 1
FUNDAMENTALSATZ
konvergent⇒ nach unten und oben beschrankt
Monoton fallend + nach unten beschrankt⇒ konvergent
Monoton steigend + nach oben beschrankt⇒ konvergent
Der Fundamentalsatz hilft dabei festzustellen ob eine Folgekonvergiert, aber nicht gegen was.
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 16 / 1
RECHENREGELNSummenregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗, so ist
limn→∞
(an + bn) = a∗ + b∗
Faktorregel: Gilt an → a∗ so auch fur λ ∈ Rλan → λa∗
Produktregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗, so ist
limn→∞
(an · bn) = a∗b∗
Quotientenregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗ 6= 0, so ist
limn→∞
(an/bn) = a∗/b∗
Funktionsregel: Gilt an → a∗ so auch f (an)→ f (a∗) fur
f (x) = xq, f (x) = log(x), f (x) = ex , f (x) = sin(x)
Achtung! Folgenglieder an im Definitionsbereich von f !
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 17 / 1
RECHENREGELNSummenregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗, so ist
limn→∞
(an + bn) = a∗ + b∗
Faktorregel: Gilt an → a∗ so auch fur λ ∈ Rλan → λa∗
Produktregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗, so ist
limn→∞
(an · bn) = a∗b∗
Quotientenregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗ 6= 0, so ist
limn→∞
(an/bn) = a∗/b∗
Funktionsregel: Gilt an → a∗ so auch f (an)→ f (a∗) fur
f (x) = xq, f (x) = log(x), f (x) = ex , f (x) = sin(x)
Achtung! Folgenglieder an im Definitionsbereich von f !
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 17 / 1
RECHENREGELNSummenregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗, so ist
limn→∞
(an + bn) = a∗ + b∗
Faktorregel: Gilt an → a∗ so auch fur λ ∈ Rλan → λa∗
Produktregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗, so ist
limn→∞
(an · bn) = a∗b∗
Quotientenregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗ 6= 0, so ist
limn→∞
(an/bn) = a∗/b∗
Funktionsregel: Gilt an → a∗ so auch f (an)→ f (a∗) fur
f (x) = xq, f (x) = log(x), f (x) = ex , f (x) = sin(x)
Achtung! Folgenglieder an im Definitionsbereich von f !
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 17 / 1
RECHENREGELNSummenregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗, so ist
limn→∞
(an + bn) = a∗ + b∗
Faktorregel: Gilt an → a∗ so auch fur λ ∈ Rλan → λa∗
Produktregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗, so ist
limn→∞
(an · bn) = a∗b∗
Quotientenregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗ 6= 0, so ist
limn→∞
(an/bn) = a∗/b∗
Funktionsregel: Gilt an → a∗ so auch f (an)→ f (a∗) fur
f (x) = xq, f (x) = log(x), f (x) = ex , f (x) = sin(x)
Achtung! Folgenglieder an im Definitionsbereich von f !
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 17 / 1
RECHENREGELNSummenregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗, so ist
limn→∞
(an + bn) = a∗ + b∗
Faktorregel: Gilt an → a∗ so auch fur λ ∈ Rλan → λa∗
Produktregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗, so ist
limn→∞
(an · bn) = a∗b∗
Quotientenregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗ 6= 0, so ist
limn→∞
(an/bn) = a∗/b∗
Funktionsregel: Gilt an → a∗ so auch f (an)→ f (a∗) fur
f (x) = xq, f (x) = log(x), f (x) = ex , f (x) = sin(x)
Achtung! Folgenglieder an im Definitionsbereich von f !
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 17 / 1
RECHENREGELNSummenregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗, so ist
limn→∞
(an + bn) = a∗ + b∗
Faktorregel: Gilt an → a∗ so auch fur λ ∈ Rλan → λa∗
Produktregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗, so ist
limn→∞
(an · bn) = a∗b∗
Quotientenregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗ 6= 0, so ist
limn→∞
(an/bn) = a∗/b∗
Funktionsregel: Gilt an → a∗ so auch f (an)→ f (a∗) fur
f (x) = xq, f (x) = log(x), f (x) = ex , f (x) = sin(x)
Achtung! Folgenglieder an im Definitionsbereich von f !
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 17 / 1
FOLGEN — RECHENREGELNBeispiel: Untersuchen Sie, ob der folgende Genzwert existiert,und bestimmen Sie ihn gegebenfalls:
limn→∞
xn, xn :=n2 + 2n + 43n2 + 3654
Losung:Zahler und Nenner gehen beide gegen +∞. Was tun ?Faktor n2 aus Zahler und Nenner kurzen:
n2 + 2n + 43n2 + 3654
=1 + 2/n + 4/n2
3 + 3654/n2
Zahler geht gegen 1 (1n → 0⇒ 1
n2 → 0),Nenner geht gegen 3, nach Quotientenregel:
limn→∞
n2 + 2n + 43n2 + 3654
= 1/3.
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 18 / 1
FOLGEN — RECHENREGELNBeispiel: Untersuchen Sie, ob der folgende Genzwert existiert,und bestimmen Sie ihn gegebenfalls:
limn→∞
xn, xn :=n2 + 2n + 43n2 + 3654
Losung:Zahler und Nenner gehen beide gegen +∞. Was tun ?
Faktor n2 aus Zahler und Nenner kurzen:
n2 + 2n + 43n2 + 3654
=1 + 2/n + 4/n2
3 + 3654/n2
Zahler geht gegen 1 (1n → 0⇒ 1
n2 → 0),Nenner geht gegen 3, nach Quotientenregel:
limn→∞
n2 + 2n + 43n2 + 3654
= 1/3.
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 18 / 1
FOLGEN — RECHENREGELNBeispiel: Untersuchen Sie, ob der folgende Genzwert existiert,und bestimmen Sie ihn gegebenfalls:
limn→∞
xn, xn :=n2 + 2n + 43n2 + 3654
Losung:Zahler und Nenner gehen beide gegen +∞. Was tun ?Faktor n2 aus Zahler und Nenner kurzen:
n2 + 2n + 43n2 + 3654
=1 + 2/n + 4/n2
3 + 3654/n2
Zahler geht gegen 1 (1n → 0⇒ 1
n2 → 0),Nenner geht gegen 3, nach Quotientenregel:
limn→∞
n2 + 2n + 43n2 + 3654
= 1/3.
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 18 / 1
FOLGEN — RECHENREGELNBeispiel: Untersuchen Sie, ob der folgende Genzwert existiert,und bestimmen Sie ihn gegebenfalls:
limn→∞
xn, xn :=n2 + 2n + 43n2 + 3654
Losung:Zahler und Nenner gehen beide gegen +∞. Was tun ?Faktor n2 aus Zahler und Nenner kurzen:
n2 + 2n + 43n2 + 3654
=1 + 2/n + 4/n2
3 + 3654/n2
Zahler geht gegen 1 (1n → 0⇒ 1
n2 → 0),
Nenner geht gegen 3, nach Quotientenregel:
limn→∞
n2 + 2n + 43n2 + 3654
= 1/3.
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 18 / 1
FOLGEN — RECHENREGELNBeispiel: Untersuchen Sie, ob der folgende Genzwert existiert,und bestimmen Sie ihn gegebenfalls:
limn→∞
xn, xn :=n2 + 2n + 43n2 + 3654
Losung:Zahler und Nenner gehen beide gegen +∞. Was tun ?Faktor n2 aus Zahler und Nenner kurzen:
n2 + 2n + 43n2 + 3654
=1 + 2/n + 4/n2
3 + 3654/n2
Zahler geht gegen 1 (1n → 0⇒ 1
n2 → 0),Nenner geht gegen 3, nach Quotientenregel:
limn→∞
n2 + 2n + 43n2 + 3654
= 1/3.
MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 18 / 1