von jens uwe zenßisg · 2009-01-23 · i durch vektoraddition. f 1 wl2 wl1 f 2 ap2 ap1 f 1 f 2 f r...

Von Jens‐Uwe Zenß

MotivationMotivation

Geschichtliches zur FEM

Einsatzmöglichkeiten der FEM

Warum gerade diese Methode bei der Erzeugung von kontinuierlichen Modellen ?

Auflistung interessanter praktischer Anwendungs‐beispiele

Ziele der Präsentation:

‐ Grundlegendes Verständnis für Arbeitsweise der FEM vermitteln‐ Vorteile der FEM gegenüber anderen Methoden herausarbeiten‐ Verbreitung in der Praxis

GliederungGliederung

•Kontinuierliche Simulation und kontinuierliche Modelle

•Geschichte und Einsatzgebiete der FEM

•Erläuterung der FEM an einem Beispiel•Notwendige Grundlagen der Statik•Aufgabenstellung•Analytische Berechnung•Lösung mittels FEM

•Praktische Anwendungsbeispiele•Automobilindustrie•Luft‐ und Raumfahrt•Bauwesen / Restaurierung / Anlagenbau

•Fazit – Vorteile der FEM

•Quellen‐ und Literaturnachweis

KontinuierlKontinuierl. Simulation u. . Simulation u. kontinuierlkontinuierl. Modelle. Modelle

Kontinuierliche SimulationExperimentieren mit kontinuierlichen ModellenUnendlich viele Zustandsbetrachtungen pro Zeitintervall

Kontinuierliches ModellAbbildung eines realen Systems (meist auf Grundlagenaturwissenschaftlicher Gesetze) mittels Differentialgleichungenin einem kontinuierlichen ModellDifferentialgleichungen oft leicht formulierbaraber mathematisch komplex

Lösungsverfahren für Differentialgleichungen analytisch oder numerisch.

Finite‐Elemente‐Methode ist ein numerisches Lösungsverfahren.

Geschichte und Einsatzgebiete der FEMGeschichte und Einsatzgebiete der FEM

1960 R.W. Clough „The finite element in plane stress analysis“Erstmalige Verwendung des Ausdrucks

1969 O.C. Zienkiewicz „The Final Element Method in Structural andContinuumMechanics“ – Grundlagenwerke

1971 „The Final Element Method in Engineering Science“Bezeichnung FEM wurde zum Allgemeingut

Geschichte und Einsatzgebiete der FEMGeschichte und Einsatzgebiete der FEM

1990 Prozesssimulation

Biologie / PhysikMedizintechnikGeophysik

1980Elektronik / Mikromechanik

KonsumgüterindustrieChemische Industrie / Kunststoff

1970 Maschinenbau

AutomobilbauSchiffbau / OffshorebauBauwesen / Anlagenbau

1960 Luft‐ und Raumfahrt

Anwendungsgebiete

ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielNotwendige Grundlagen der StatikNotwendige Grundlagen der Statik

Resultierende Kraft Ersetzung mehrerer an einem gemeinsamen Punkt angreifender Kräfte Fi durch Vektoraddition.

F1

WL2

WL1

F2

AP2

AP1 F1

F2

FRFR

WLRFR

F2

F1

Vereinfachung

Teilkräfte Analog lassen sich Kräfte auch in linear unabhängige Teil‐kräfte zerlegen. Somit kann mit Hilfe einer Linearkombination mit n Einheitsvektoren in einem n‐dimensionalen Raum jede beliebige Kraft dargestellt werden.


Parallele Kräfte können so nicht zusammengefasst werden. Diese werden auf eine Wirkungslinie parallel verschoben.

Die Verschiebung einer Kraft ist im Bild unten beschrieben. Das entstehende Moment (durch das Kräftepaar) ist mit M = F * l beschrieben.

WL1WL2

F

l

WL1WL2

F

l

M = F⋅l

WL1WL2

F

l

F

F

Kräftepaar


Gleichgewicht von Kräften und Momenten

Eine allgemeine ebene Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn die resultierende Kraft FR und das resultierende Moment MR gleich Null sind.

→ : 0Fn

1iix =∑

=

∑=

=n

1iiy 0F↑ :

∑=

=n

1iiA 0MA :


Gruppen paralleler Kräfte können nun zu einer resultierenden Kraft zusammengefasst werden. Dabei ist der Schwerpunkt, dass heißt der Punkt, an dem die Summe aller Momente der parallelen Teilkräfte null ist.

Die gleichen Überlegungen lassen sich auch auf kontinuierliche Flächenlastenanwenden.

ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielAufgabenstellungAufgabenstellung

Es soll eine Haltekraft für eine Flächenlast bestimmt werden, so dass sich der starre Körper im Gleichgewicht befindet.

x

Als starrer Körper sei hier ein Balken mit elliptischer Grundfläche angenommen mit Länge 80 LE, maximale Breite 40 LE, einem Loch mit Durchmesser 20 LE und einer bestimmten (für die Lösung der Aufgabenstellung nicht relevanten) Dicke.

Als Flächenlast sei p(A) = p(x,y) = p(x) gegeben:

ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielAufgabenstellungAufgabenstellung

Als Kurve dargestellte Flächenlast für p0 = 1, Schnitt entlang der x‐Achse

ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielAnalytische BerechnungAnalytische Berechnung

Die analytische Lösung besteht hier „einfach“ in der Lösung der Integralgleichungen für die Berechnung des Schwerpunktes (xs,ys) und der Resultierenden Kraft R. Für die Haltekraft H gilt dann einfach H = ‐R(mit der gleichen Wirkungslinie wie R)


Analog lässt sich für ys auch mittels Lösung der Integralgleichung ein Ergebnis finden, doch ist dieses schon wegen der Symmetrie entlang der x‐Achse bekannt:

Ys = 0

Für die resultierende Kraft R gilt:


Damit ist nun die Größe (‐R) und der Angriffspunkt S (1,127 , 0) derHaltekraft H bekannt.

Anmerkung: Schon mit Hilfe dieses kleinen Beispiels ist zu erkennen, wie schwer es werden kann, über analytische Berechnung komplexere Differential‐/Integralgleichungen kontinuierlicher Modelle zu lösen. Für spezielle Gleichungen mag es gute analytische Lösungsverfahren geben, für die meisten Aufgaben sind jedoch numerische Rechenverfahren wie die FEM die bessere Lösungsmethode.

ErlErlääuterung der FEM an einem Beispieluterung der FEM an einem BeispielLLöösung mittels FEMsung mittels FEM

1. Schritt: geometrische Umsetzung des Modells‐Zerlegung des Körpers in kleine geometrisch einfache Elemente

x

Vereinfachung im Modell:‐Nur quadratische Elemente des selben Typs‐keine Behebung „Treppenraster“ am Rand

‐Vorteil: einfachste Berechnung des Flächeninhalts eines finiten Elements


Umsetzung am Programmbeispiel in Haskell:

isInModel ::(Double,Double)>BoolisInModel (x,y) = isInEllipse (x,y) && isNotInCircle (x,y) && isNotOutOfRange (x,y)whereisInEllipse (x,y) = (x/60)^2+(y/40)^2<=1isNotInCircle (x,y) = (x+20)^2+y^2>=100isNotOutOfRange (x,y) = x>=(40) && x<=40

finiteElemIsInModel::Double>(Double,Double)>BoolfiniteElemIsInModel lFE (x,y) = foldl (&&) True (map isInModel [(x,y),((x+lFE),y),(x,(y+lFE)),((x+lFE),(y+lFE))])


Mögliche Formen von finiten Elementen:

Linien‐ (Stab‐) Elemente

Flächenelemente

Volumenelemente


2. Ersetzen der Differential‐/Integralgleichungen durch lokale Ansatz‐funktionen in den finiten Elementen

p(x,y+lFE)

p(x,y)

p(x+lFE,y+lFE)

p(x+lFE,y)

lFE

lFE

FFE

Randbedingungen!Kontinuierlicher Übergang der Ansatz‐Funktionen!


Umsetzung am Programmbeispiel in Haskell:

p::(Double,Double)>Doublep (x,y) = cos (pi/80*x) Flächenlast

fFE::Double>(Double,Double)>DoublefFE lFE (x,y) = 0.5*lFE*lFE*((p (x,y)) + p (x+lFE,y)) resultierende F in FE

fresult::[(Double,Double,Double)]>Double resultierende F ausfresult feList = sum (map (\x@(xs,ys,f)>f) feList) allen F in FE

xs::[(Double,Double,Double)]>Double xKoord. des Schwerpkt.

xs feList = (sum (map (\x@(xs,ys,f)>xs*f) feList))/fresult feList


Programmvariante 1

makeFEList::Double>[(Double,Double,Double)]makeFEList lFE = helpFEList (40,0) lFE [] wherehelpFEList (x,y) l feList|x>40 = feList|y>40 = helpFEList (x+l,0) l feList|finiteElemIsInModel lFE (x,y) = helpFEList (x,(y+l)) l (feList ++ [((x+l/2),(y+l/2),fFE l (x,y))])

|otherwise = helpFEList (x,(y+l)) l feList

resultFEM::Double>(Double,Int,Double,Double)resultFEM lFE = (lFE,length (makeFEList lFE),xs (makeFEList lFE),(2) * fresult (makeFEList lFE))


Programmvariante 2

makeFELine y lFE = helpFELine ((40),y) lFE [] wherehelpFELine (x,y) l list |x>40 = list|finiteElemIsInModel lFE (x,y) = helpFELine ((x+l),y) l (list ++ [((x+l/2),(y+l/2),fFE l (x,y))])

|otherwise = helpFELine ((x+l),y) l list

resultFEM2::Double>(Double,Int,Double,Double)resultFEM2 lFE = (lFE,foldl (+) 0 (map length (map (\x>makeFELine x lFE) [0,lFE..40])), xs (map (\x>((xs x),0,(fresult x))) (filter (/=[]) (map (\x>makeFELine x lFE) [0,lFE..40]))),(2) * sum (map fresult (map (\x>makeFELine x lFE) [0,lFE..40])))


Ergebnisse:

Länge FEAnzahl der FE xs H rel. Fehler zu rel. Fehler zu Verfahren

berechnetem xs

berechnetem H

2 664 1,312 ‐3505,25 0,164 0,046 FEM1+21 2716 1,256 ‐3585,2 0,114 0,025 FEM1+20,5 11004 1,197 ‐3630,27 0,062 0,012 FEM20,25 44302 1,162 ‐3653,29 0,031 0,006 FEM20,125 177792 1,145 ‐3664,83 0,016 0,003 FEM20,0625 712314 1,136 ‐3670,4 0,008 0,001 FEM2

‐ ‐ 1,127 ‐3675,88 ‐ ‐ analytisch

Praktische AnwendungsbeispielePraktische AnwendungsbeispieleAutomobilindustrieAutomobilindustrie

sehr starke Verbreitung

Zunächst unterstützender Einsatz beider Konstruktion einzelner Baugruppen

Später Simulation Karosseriesteifigkeit, Umströmungssimulationen …

Immer rasantere Entwicklung beivirtuellen Crashsimulation

1997 Einrichtung Virtual‐Reality‐Lab bei GM aufgrund Studie Einsparpotential (ca. 750000US‐$ pro Crash‐Test)

Praktische AnwendungsbeispielePraktische AnwendungsbeispieleAutomobilindustrieAutomobilindustrie

Heutiger Stand bei AUDI:

Werkseigener Hochleistungsrechnerverbund mit 320 Rechnern und einerRechenleistung von über 15 TeraflopSchnellster Computer in Automobilindustrie, zählt zu den 150 schnellstenComputern weltweit

5000 Simulationen pro Woche

Durch Simulationen wird sichergestellt, dass vor Aufbau eines ersten Proto‐typs die Sicherheitsstandarts nahezu sichergestellt sind.

Praktische AnwendungsbeispielePraktische AnwendungsbeispieleBauwesen / Restaurierung / AnlagenbauBauwesen / Restaurierung / Anlagenbau

Probleme:‐ Besonders hohe Sicherheitsanforderungen an Bauwerken‐ Bauwerke stellen Unikate dar‐ Unterschiedlichste Anforderungen je nach Standort (Erdbebenfestigkeit,

Windkräfte, Umströmungsbedingungen …)

Eines der populärsten Beispiele für ungenügende Betrachtung von Umströ‐mungsbedingungen ist der Einsturz der Tacoma‐Hängebrücke 1940

Entgültiger Nachweis der Ursache erst 1992 mittels FEM‐berechneterSimulation

Fazit Fazit –– Vorteile der FEMVorteile der FEM

Ansatzfunktionen nur über Teilgebiete (finite Elemente)

Zu berechnende Unbekannte sind deutbare physikalische Koeffizienten.

Genauigkeitssteigerung durch feinere Aufteilung des Modells, nicht durch höhere Ansatzfunktionen

Besondere Eignung für diskontinuierliche Strukturen

Modularer Aufbaumöglichkeit der FEM, computergerecht und leichterweiterbar.

Immer einfachere Umsetzung (mittlerweile automatische Generierung des geometrischen Modells, universelle Einsatzmöglichkeiten, Erreichen immer höherer Genauigkeiten durch stetig steigende Rechenleistung, riesiges Ein‐sparpotenzial in Konstruktion und Entwicklung aber auch bei denProduktionsabläufen führen zu weiter Verbreitung der FEM. Zeitersparnis istmittlerweile existenzieller Wettbewerbsfaktor.

QuellenQuellen‐‐ und Literaturnachweisund Literaturnachweis

[1] Einführung in die Mechanik, Baalke, Springer‐Verlag Heidelberg 2006

[2] FEM‐Anwendungen, Statik‐, Dynamik‐ und Potenzialprobleme mit professioneller Software lösen, P. Groth, Springer‐Verlag Heidelberg 2002

[3] FEM für Praktiker – Band 1: Grundlagen, Günter Müller, Clemens Groth, 7. Auflage, expert Verlag 2002

[4] Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure, 3. Aktualisierte und erweiterte Auflage, Ulrich Gabbert, Ingo Raecke, Carl Hanser Verlag 2007

[5] Technische Mechanik 1, Statik, Gross/Hauger/Schnell, 5. Auflage, Springer‐Verlag Heidelberg 1995

[6] http://www.auto‐motor.at/Auto/Autos‐Neuwagen/Automarken‐Automodelle‐Neuigkeiten/Audi‐News/Audi‐Crashtest‐Computer.html

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