vitesse du son en mécanique des multi-fluidesdev.ipol.im/~morel/soutenances stages licence...

IntroductionNos différentes approches

Du modèle bi-fluide aux vitesses du sonConfrontation des trois définitions via l’expérience

Conclusion

Vitesse du son en mécanique des multi-fluides

Benoist Clément Courtès Clémentine Inglard Mélanie

encadrés par Jean-Michel Ghidaglia et Saad Benjelloun

Benoist Clément, Courtès Clémentine, Inglard Mélanie Vitesse du son en mécanique des multi-fluides 1 / 25

Conclusion

Introduction

Vision mathématiqueValeur propre d’une matrice

jacobienne

Vision physiqueVitesse de propagation d’une

perturbation

Confronter différentes approches de la vitesse du son

Conclusion

Introduction

jacobienne

perturbation

Conclusion

Introduction

jacobienne

perturbation

Conclusion

Sommaire

1 Introduction

2 Nos différentes approchesPrésentation des trois définitionsIllustration : le cas monofluide

3 Du modèle bi-fluide aux vitesses du sonApproche mathématique dans le modèle à une vitesseÉtude physique et thermodynamiqueAutres modèles étudiés

4 Confrontation des trois définitions via l’expérienceComparaison à des mesures empiriquesModélisation par une simulationObtention numérique d’une vitesse mécanique

5 Conclusion

Conclusion

Présentation des trois définitionsIllustration : le cas monofluide

Définition : Vitesse mécanique du son cpLa vitesse mécanique du son, dans un milieu homogène, correspond à la vitessede propagation d’une perturbation de pression.

Définition : AdmissibilitéOn dit que le système ∂v

∂t + A(v)∂v∂x = S(v) est admissible sur G , ouvertconnexe, si :

il est régulièrement hyperbolique sur G (diagonalisable et de matrice depassage C∞),∃ c > 0 tel que Sp(A0(v)) ⊂ {−c, 0, c}.

Définition : Vitesse mathématique du son cmSi le système quasi-linéaire est admissible, la vitesse du son mathématique estla seule valeur propre strictement positive de A0.

Conclusion

Définition : Vitesse thermodynamique du son ctLa vitesse du son thermodynamique

d’un mono-fluide est : ct =√(

∂p∂ρ

d’un bi-fluide est : ct =√(

∂p∂ρ

)s1,s2,

α1ρ1ρ

Conclusion

Euler mono-fluide

∂t +∂(ρu)∂x = 0,

∂(ρu)∂t +

∂(ρu2)

∂x +∂p∂x = 0,

∂(ρE )

∂t +∂(ρuH)

∂x = 0,

p = P(ρ, e).

√(∂p∂ρ

∂2δp∂t2 −

(∂p∂ρ

∂2δp∂x2 = 0.

√(∂p∂ρ

Conclusion

Euler mono-fluide

∂t +∂(ρu)∂x = 0,

∂(ρu)∂t +

∂(ρu2)

∂x +∂p∂x = 0,

∂(ρE )

∂t +∂(ρuH)

∂x = 0,

p = P(ρ, e).

√(∂p∂ρ

∂2δp∂t2 −

(∂p∂ρ

∂2δp∂x2 = 0.

√(∂p∂ρ

Conclusion

Euler mono-fluide

∂t +∂(ρu)∂x = 0,

∂(ρu)∂t +

∂(ρu2)

∂x +∂p∂x = 0,

∂(ρE )

∂t +∂(ρuH)

∂x = 0,

p = P(ρ, e).

√(∂p∂ρ

∂2δp∂t2 −

(∂p∂ρ

∂2δp∂x2 = 0.

√(∂p∂ρ

Conclusion

Euler mono-fluide

∂t +∂(ρu)∂x = 0,

∂(ρu)∂t +

∂(ρu2)

∂x +∂p∂x = 0,

∂(ρE )

∂t +∂(ρuH)

∂x = 0,

p = P(ρ, e).

√(∂p∂ρ

∂2δp∂t2 −

(∂p∂ρ

∂2δp∂x2 = 0.

√(∂p∂ρ

Conclusion

Approche mathématique dans le modèle à une vitesseÉtude physique et thermodynamiqueAutres modèles étudiés

Conclusion

Modèle une vitesse non isentropique

α1ρ1α2ρ2ρuρE

α1ρ1uα2ρ2uρu2 + pρHu

p = P1(ρ1, e1) = P2(ρ2, e2),T = T1(ρ1, e1) = T2(ρ2, e2).

Forme quasi-linéaire

∂v∂t + df0(v)

∂v∂x = 0

c2m =c21 c

22 (γ1α1Cv

1 ρ1+γ2α2Cv2 ρ2)

ρ(c21γ2α

v2 +c22γ1α

v1 +α1α2γ1γ2(c21

ρ1ρ2

Cv1 +c22

ρ2ρ1

Cv2 )−2α1α2c1c2

√(γ1−1)(γ2−1)γ1γ2Cv

Cas gaz parfait : c2m =α1(γ2 − 1) ρ1c21 + α2(γ1 − 1) ρ2c22

ρ(α1(γ2 − 1) + α2(γ1 − 1))

Conclusion

α1ρ1α2ρ2ρuρE

p = P1(ρ1, e1) = P2(ρ2, e2),T = T1(ρ1, e1) = T2(ρ2, e2).

∂v∂t + df0(v)

∂v∂x = 0

c2m =c21 c

22 (γ1α1Cv

1 ρ1+γ2α2Cv2 ρ2)

ρ(c21γ2α

v2 +c22γ1α

v1 +α1α2γ1γ2(c21

ρ1ρ2

Cv1 +c22

ρ2ρ1

Cv2 )−2α1α2c1c2

√(γ1−1)(γ2−1)γ1γ2Cv

ρ(α1(γ2 − 1) + α2(γ1 − 1))

Conclusion

α1ρ1α2ρ2ρuρE

p = P1(ρ1, e1) = P2(ρ2, e2),T = T1(ρ1, e1) = T2(ρ2, e2).

∂v∂t + df0(v)

∂v∂x = 0

c2m =c21 c

22 (γ1α1Cv

1 ρ1+γ2α2Cv2 ρ2)

ρ(c21γ2α

v2 +c22γ1α

v1 +α1α2γ1γ2(c21

ρ1ρ2

Cv1 +c22

ρ2ρ1

Cv2 )−2α1α2c1c2

√(γ1−1)(γ2−1)γ1γ2Cv

ρ(α1(γ2 − 1) + α2(γ1 − 1))

Conclusion

α1ρ1α2ρ2ρuρE

p = P1(ρ1, e1) = P2(ρ2, e2),T = T1(ρ1, e1) = T2(ρ2, e2).

∂v∂t + df0(v)

∂v∂x = 0

c2m =c21 c

22 (γ1α1Cv

1 ρ1+γ2α2Cv2 ρ2)

ρ(c21γ2α

v2 +c22γ1α

v1 +α1α2γ1γ2(c21

ρ1ρ2

Cv1 +c22

ρ2ρ1

Cv2 )−2α1α2c1c2

√(γ1−1)(γ2−1)γ1γ2Cv

ρ(α1(γ2 − 1) + α2(γ1 − 1))

Conclusion

Équation d’onde :∂2δp∂t2 − c2p

∂2δp∂x2 = 0

(ϕ2ρ0ϕ1− p0k2ρ0α20

k1ρ10(ρ20k2T0Cv2 −p0)

(Cv2Cv1− β3β1

)(α20ϕ2ϕ1

+ρ20(c22−

k2p0ρ20

))−1−α10k2

α20k1

dp = c2t dρ+a1d(α1ρ1ρ )+a2ds1+a3ds2 ct =

√c21 c

22ρ1ρ2

ρ(α1ρ2c22+α2ρ1c21 )

Conclusion

Équation d’onde :∂2δp∂t2 − c2p

∂2δp∂x2 = 0

(ϕ2ρ0ϕ1− p0k2ρ0α20

k1ρ10(ρ20k2T0Cv2 −p0)

(Cv2Cv1− β3β1

)(α20ϕ2ϕ1

+ρ20(c22−

k2p0ρ20

))−1−α10k2

α20k1

dp = c2t dρ+a1d(α1ρ1ρ )+a2ds1+a3ds2 ct =

√c21 c

22ρ1ρ2

ρ(α1ρ2c22+α2ρ1c21 )

Conclusion

Comparaison théorique des trois vitesses

Azote-CO2 Zoom

Conclusion

Monotonie

Azote-CO2 Eau-air

Conclusion

Modèle une vitesse isentropique

Azote-CO2 Eau-air

√ρ1ρ2c21c22

ρ(α1ρ2c22+α2ρ1c21 )

∂2δp∂t2 −

ρ1ρ2c21c22ρ(α1ρ2c22+α2ρ1c21 )

∂2δp∂x2 = 0

Conclusion

Azote-CO2 Eau-air

√ρ1ρ2c21c22

ρ(α1ρ2c22+α2ρ1c21 )

∂2δp∂t2 −

ρ1ρ2c21c22ρ(α1ρ2c22+α2ρ1c21 )

∂2δp∂x2 = 0

Conclusion

Azote-CO2 Eau-air

√ρ1ρ2c21c22

ρ(α1ρ2c22+α2ρ1c21 )

∂2δp∂t2 −

ρ1ρ2c21c22ρ(α1ρ2c22+α2ρ1c21 )

∂2δp∂x2 = 0

Conclusion

Modèle deux vitesses

Définition : Admissibilité faibleLe système

∂v∂t + A(v)∂v

∂x = S(v)

est faiblement admissible sur G , ouvert connexe, si ∃ cm > 0 tel queSp(A0(v)) ⊂ {−cm, 0, cm}.

√c22c21 (ρ2α1+α2ρ1)α1c22ρ2+α2c21ρ1

∂4δp∂t4 + b1

∂4δp∂t3∂x − b2

∂4δp∂t∂x3 + b3

∂4δp∂x2∂t2 − b4

∂4δp∂x4 = 0.

Conclusion

∂v∂t + A(v)∂v

∂x = S(v)

√c22c21 (ρ2α1+α2ρ1)α1c22ρ2+α2c21ρ1

∂4δp∂t4 + b1

∂4δp∂t3∂x − b2

∂4δp∂t∂x3 + b3

∂4δp∂x2∂t2 − b4

∂4δp∂x4 = 0.

Conclusion

∂v∂t + A(v)∂v

∂x = S(v)

√c22c21 (ρ2α1+α2ρ1)α1c22ρ2+α2c21ρ1

∂4δp∂t4 + b1

∂4δp∂t3∂x − b2

∂4δp∂t∂x3 + b3

∂4δp∂x2∂t2 − b4

∂4δp∂x4 = 0.

Conclusion

Azote-CO2 Eau-air

√c22c21 (ρ2α1+α2ρ1)α1c22ρ2+α2c21ρ1

∂4δp∂t4 + b1

∂4δp∂t3∂x − b2

∂4δp∂t∂x3 + b3

∂4δp∂x2∂t2 − b4

∂4δp∂x4 = 0.

Conclusion

Comparaison à des mesures empiriquesModélisation par une simulationObtention numérique d’une vitesse mécanique

Vitesse mathématique et données expérimentales

Vitesse du son dans des bi-fluides courants,exemples probants

CO2-air

Ar -N2

Conclusion

Vitesse du son dans des bi-fluides courants,exemples probants

CO2-air Ar -N2

Conclusion

Vitesse du son dans le bi-fluide air-eau enfonction de la proportion en eau

Eau-air Zoom

αeau cmin expérimentale cmin mathématique0.499 20m.s−1 23.69m.s−1

Conclusion

Vitesse du son, exemple peu concluant

Conclusion

Simulation numérique

Modélisation

Implémentation pour les mono-fluides et le modèle une vitesseisentropique

Discrétisation par une méthode à volume fini : schéma VFFCConvergence et stabilitéDonnées brutes et vitesses du son

Conclusion

Modélisation

Implémentation pour les mono-fluides et le modèle une vitesseisentropique

Discrétisation par une méthode à volume fini : schéma VFFCConvergence et stabilitéDonnées brutes et vitesses du son

Conclusion

Modélisation

Implémentation pour les mono-fluides et le modèle une vitesseisentropiqueDiscrétisation par une méthode à volume fini : schéma VFFC

Convergence et stabilitéDonnées brutes et vitesses du son

Conclusion

Modélisation

Implémentation pour les mono-fluides et le modèle une vitesseisentropiqueDiscrétisation par une méthode à volume fini : schéma VFFCConvergence et stabilité

Données brutes et vitesses du son

Conclusion

Modélisation

Implémentation pour les mono-fluides et le modèle une vitesseisentropiqueDiscrétisation par une méthode à volume fini : schéma VFFCConvergence et stabilitéDonnées brutes et vitesses du son

Conclusion

Méthode statistique des estimateurs aux moindres carrés

P = Mβ + ε

où P =

...δpn

, β =

[β1β2

δρ1 δ(α1ρ1

δρ2 δ(α1ρ1ρ )2

......

δρn δ(α1ρ1ρ )n

et ε est l’erreur.

c2t =(∂p∂ρ

)s1,s2,

α1ρ1ρ

Estimateur de β : β̂ = (MTM)−1(MTP).

Conclusion

Méthode statistique des estimateurs aux moindres carrés

P = Mβ + ε

où P =

...δpn

, β =

[β1β2

δρ1 δ(α1ρ1

δρ2 δ(α1ρ1ρ )2

......

δρn δ(α1ρ1ρ )n

et ε est l’erreur.

c2t =(∂p∂ρ

)s1,s2,

α1ρ1ρ

Estimateur de β : β̂ = (MTM)−1(MTP).

Conclusion

Vitesses thermodynamiques obtenues

Fluide ct cm Différence relative : |ct−cm|cmAzote 354m.s−1 354, 1m.s−1 0.03 %Hélium 1, 021.103m.s−1 1, 014.103m.s−1 0.7 %Oxygène 328m.s−1 328, 1m.s−1 0.03 %

Table: Comparaison des vitesses du son dans les mono-fluides

Fluide 1 Fluide 2 ct cm Différence relative :Azote Hélium 451m.s−1 486.5m.s−1 7.3 %Azote Oxygène 359m.s−1 340.5m.s−1 5.4 %

Oxygène Hélium 433m.s−1 456.3m.s−1 5.1 %

Table: Comparaison des vitesses du son dans les bi-fluides composés de 50% dufluide 1 et de 50 % du fluide 2

Conclusion

Propagation d’une onde

Évolution de la perturbation de pression au cours du temps

Conclusion

Vitesses mécaniques obtenues

Fluide cp cm Différence relative : |cp−cm|cmAzote 355m.s−1 354, 1m.s−1 0,2 %hélium 1, 04.103m.s−1 1, 014.103m.s−1 2,6 %Oxygène 329m.s−1 328, 1m.s−1 0,3 %

Table: Comparaison des vitesses du son dans les mono-fluides

Fluide 1 Fluide 2 cp cm Différence relative :Azote Hélium 470m.s−1 486.5m.s−1 3.4 %Azote Oxygène 342m.s−1 340.5m.s−1 0.44 %

Oxygène Hélium 443m.s−1 456.3m.s−1 2.9 %

Table: Comparaison des vitesses du son dans les bi-fluides composés de 50% dufluide 1 et de 50 % du fluide 2

Conclusion

Bibliographie I

A Britan, M Liverts, and G Ben-Dor.Shock wave propagation through wet particulate foam.Elsevier, 2011.

François Coulouvrat and Régis Marchiano.Propagation atmosphérique-notes de cours.2009.

Frédéric Dias, Denys Dutykh, and Jean-Michel Ghidaglia.A two-fluid model for violent aerated flows.Elsevier, 2009.

Jean-Michel Ghidaglia.On the sound speed in two fluid flows.2008.

Jean-Michel Ghidaglia, Anelo Kumbero, and Gérard Le Coq.On the numerical solution to two fluid models via a cell centered finite volume method.Elsevier, 2001.

Khaled Halaoua.Quelques solveurs pour les opérateurs de convection et leur application à la mécanique des fluidesdiphasiques.PhD thesis, Ecole Normale Supérieure de Cachan, 1998.

Conclusion

Bibliographie II

Susan Werner Kieffer.Sound speed in liquid-gas mixtures : Water-air and water-steam.Journal of geophysical research, 1977.

Torbjörn Löfqvist, Kęstutis Sokas, and Jerker Delsing.Speed of sound measurements in gas-mixtures at varying composition using an ultrasonic gas flowmeter with silicon based transducers.

D Mc William and R.K Duggins.Speed of sound in bubbly liquiqs.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, 1969.

Marie-Françoise Roy.Basic algorithms in real algebraic geometry and their complexity : from Sturm theorem to theexistencial theory of reals.1996.

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