vitamina a vitamina b vitamina c alimento 1 50 30 20...
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I.1
Introdução aos Sistemas Lineares Motivação: O problema da dieta
Uma pessoa em dieta necessita digerir diariamente as seguintes quantidades de vitaminas:
1200 mg de vitamina A 600 mg de vitamina B 400 mg de vitamina C Ela deve suprir suas necessidades a partir do consumo de três alimentos diferentes que
contém respectivamente em miligramas:
Vitamina A Vitamina B Vitamina C Alimento 1 50 30 20 Alimento 2 100 40 10 Alimento 3 40 20 30
Problema: Qual a quantidade de alimentos, em mg, a ser ingerida pela pessoa de tal forma a
atender a sua necessidade diária de vitaminas? Para modelar o problema, sejam: x: quantidade do alimento 1 a ser digerida; y: quantidade do alimento 2 a ser digerida; z: quantidade do alimento 3 a ser digerida;
O modelo matemático a ser resolvido é: 50x + 100y + 40z = 1200 (para vitamina A) 30x + 40y + 20z = 600 (para vitamina B)
20x + 10y + 30z = 400 (para vitamina C)
I.2
1. Sistemas Lineares - Definição
Definição: Sistema m×n – forma geral. É definido a partir de m equações lineares a n incógnitas dispostas da seguinte forma:
S:
����
�
����
�
�
=+++++==+++++==+++++=+++++
mnmnjmjmm
ininjijii
nnjj
nnjj
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
��
�������
��
�������
��
��
2211
2211
222222121
111212111
Forma matricial:
Ax = b, A∈��������x∈�n , b∈�m Onde:
A=
��������
�
�
��������
mnmjmm
inijii
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
��
����
��
����
��
��
21
21
222221
111211
:Matriz dos coeficientes.
X =
��������
�
�
��������
n
j
x
x
x
x
�
�
2
1
: Vetor das incógnitas. b =
��������
�
�
��������
m
i
b
b
b
b
�
�
2
1
: Vetor dos termos independentes.
Forma indicial: A= ( )ija ,
b = ( )ib , i = 1,...,m. i: índice de linha. x =( jx ). j = 1,...,n. j: índice de coluna.
Quando i≠j, ou seja, m≠n, então, o sistema é retangular: .
m m m m
n n n
I.3
m>n m<n O sistema tem forma “quadrada” quando i = j, ou seja, m = n. Os métodos de resolução de sistema, os quais serão estudados, serão desenvolvidos para sistemas com mesmo número de linhas e colunas (m = n) – sistema “quadrado” .
• Soluções de Sistemas Lineares:
O vetor x*∈�n, x* =
�����
�
�
�����
nx
x
x
*
**
2
1
� é uma solução do sistema Ax=b, se e somente se, x* satisfaz
todas as equações lineares que compõem o sistema, ou seja, x* satisfaz simultaneamente as equações do sistema Ax=b. Se considerarmos a transformação linear T, tal que T(x) = Ax, então, dizemos que o sistema Ax=b tem solução, se e somente se, b∈Im(T). b∈Im(T).pode ocorrer de duas formas: de forma única, quando o sistema tem solução única, ou de forma indeterminada quando o sistema tem infinitas soluções. Quando b∉Im(T),
então, o sistema Ax=b não tem solução em �n . A solução analisada a partir do determinante de A:
Definição: Dizemos que a matriz A (A∈�nxn) é não singular se detA≠0. Se detA=0, então, a matriz A é dita singular.
Se a matriz A é não singular, então, A é inversível, pois detA≠0. Para , A∈�nxn,
denominando de A-1∈�nxn a sua inversa, então podemos caracterizar a solução do sistema da seguinte maneira: Ax=b ⇔ A-1Ax = A-1b ⇔ Inx = A-1b ⇔ x = A-1b.
A solução procurada do sistema é : x*∈�n / x* = A-1b. Desde que, A-1 é obtida de A de maneira biunívoca (de forma única), então, se A não é singular, a única solução procurada do sistema é: x* = A-1b. Apesar desta solução ser simples, não é usual calcularmos a solução do sistema Ax=b explorando-se a matriz inversa de A, pois, na prática ou computacionalmente é inviável determinar A-1 devido ao número de operações aritméticas envolvidas quando n é uma dimensão grande. Se a matriz A for singular, então o detA=0 e não é possível calcular a inversa dessa matriz.
Nesse caso existem duas possibilidades:
1) b∉Im(T), ou seja, o sistema não tem solução em �n →sistema incompatível ou inconsistente.
2) b∈Im(T) mas não pode ser representado de forma única, ou seja, o sistema tem infinitas soluções → sistema compatível indeterminado.
Análise geométrica de soluções de sistema em �2 e �3 .
• Em �2 :
I.4
a) S:���
=−=+
02
21
21
xx
xx A= ��
�
���
−1111
; detA= -2≠0.
Logo, S tem solução única. Geometricamente:
x*∈�2 /x*= ���
���
11
= ���
���
**
2
1
x
x.Neste caso, as equações de retas x 1 +x 2 =2 e x 1 -x 2 =0 são
concorrentes em �2 e por isso o sistema tem solução única. b)
S:���
=+=+
4222
21
21
xx
xx A= ��
�
���
2211
, detA=2-2=0 → S é compatível
indeterminado ou incompatível. Geometricamente:
I.5
Em �2 ,se as retas forem paralelas coincidentes, então o sistema possui infinitas soluções.
S:���
=+=+
4222
21
21
xx
xx ≈ S’:{ 1221 22 xxxx −=�=+ .
∴S= ( ){ }ℜ∈− 111 ,2; xxx
Fazendo-se x 1 = α∈ ��, então x 2 = −2 α, α∈��� O conjunto solução : D= ( ){ }ℜ∈−=ℜ∈ αα ,2/, 2
221 xxx .
c) S:���
=+=+
6222
21
21
xx
xx A= ��
�
���
2211
, detA=0, é singular
Geometricamente:
I.6
Em �2 , o sistema não tem solução quando as equações de retas que o definem são paralelas não coincidentes.
S:���
=+=+
6222
21
21
xx
xx ~
���
−==+
20221 xx
(Falso em �2)∴� solução.
�� ( ) 200/, 21
221 =+ℜ∈ xxxx , então, o sistema não tem solução em �2 , ou seja, é
incompatível ou inconsistente. Para A ,, 3333 ℜ∈ℜ∈ℜ∈ × ebx consideremos o seguinte sistema:
S:��
��
�
=++=++=++
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
1 ����
�
�
���
=�++
13
12
11
1313212111
a
a
a
nxaxaxa �vetor normal ao plano 1 �
2 � 323222121 xaxaxa ++���
�
�
���
=�
23
22
21
2
a
a
a
n �vetor normal ao plano 2 ��
�
3 � 131xa 333232 xaxa ++ 3n� ����
�
�
���
33
32
31
a
a
a
�vetor normal ao plano 3 ��
� Sistema Compatível Determinado: Se 21 ,nn e 3n forem L.I. em � 3��então, A=(
1n T, 2n T, 3n T), é uma matriz não singular
pois, detA≠0.Neste caso, o sistema S tem solução única. Geometricamente:
• Em� 3
I.7
Os três planos 1 �z-x-y-1=0�� 2 �z-x+y-1=0�e� 3 � z+x-y-1=0 são concorrentes entre si. b)Sistema Compatível Indeterminado Para que o sistema seja compatível indeterminado, a matriz A 33×ℜ∈ deve ser singular, ou seja, detA=0. Para isto basta que dois vetores normais aos planos sejam L.D.. São três situações:
1n e 2n : L.D. e L.I. com 3n .(*1)
1n e 3n : L.D. e L.I. com 2n .(*2)
2n e 3n :L.D. e L.I. com 1n .(*3) Condição forte: detA=0 se 1n , 2n e 3n são L.D..(*4) Geometricamente: Um dos casos:
I.8
Neste caso : 1 �z-x-y-1=0�, 2 �z-x-y-1=0�e� 3 � z-x+y-1=0 .Os planos 1 �e 2 �são paralelos coincidentes.(*1). Caso mais forte:
I.9
Neste caso, os planos 1 �z-x-y-1=0�, 2 �z-x-y-1=0�e� 3 � z-x-y-1=0 são paralelos coincidentes.(*4) c) Sistema Incompatível: A deve ser singular. As condições são as mesmas de (*1),(*2),(*3) e (*4). Geometricamente: Um dos casos:
Os planos 1 �z-2=0�e 2 �z-5=0�são paralelos não coincidentes.(*1) Caso mais forte:
I.10
Os planos 1 �z+3=0�, 2 �z-1=0�e� 3 � z-5=0 são paralelos não coincidentes. Exemplos:
Caso b),(*4) S:��
��
�
=++=++=++
93336222
3
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Caso c),(*4) S:��
��
�
=++=++=++
103336222
3
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Esse caso c) é outro caso de incompatibilidade.
I.11
Matriz Transposta
Seja A∈�nxn A=(a ij ), i = 1, ..., n. j= 1, ..., n. A matriz transposta de A, denotada por AT é definida a partir da matriz A por: AT = (b ij ), i = 1,…,n. j= 1,…,n. Tal que: jiij ab = .
A=
�����
�
�
�����
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
�
���
�
�
21
22221
11211
; AT =
�����
�
�
�����
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
�
���
�
�
21
22212
12111
Matriz simétrica:
Uma matriz A∈�nxn , A=(a ij ), i , j = 1, ..., n; é simétrica se a seguinte igualdade
ocorrer: jiij aa = , i , j = 1, ..., n (i � j). Exemplos:
A=
�����
�
�
�����
1000
00100001
�
����
�
�
� Identidade B=
�����
�
�
�����
0124154124324121
Matriz triangular inferior é definida por: A=( ija ) tal que ija =0 se i < j ; i, j = 1,...,n.
A=
������
�
�
������
nnnnn aaaa
aaa
aa
a
�
����
321
333231
2221
11
0000000000
Matriz triangular superior é definida por: A=( ija ) tal que ija =0 se i > j ; i, j = 1,...,n.
I.12
A=
������
�
�
������
nn
n
n
n
a
aa
aaa
aaaa
�
�����
�
�
�
000
000
333
22322
1131211
Sistemas equivalentes:
Sejam S e S’ dois sistemas lineares (quadrados ou retangulares). Dizemos que o sistema S’ é equivalente a S se S’ é obtido de S a partir das seguintes operações elementares:
i)Efetuando-se a troca de linha ou de colunas se S; ii)Multiplicar uma linha de S por um escalar α �0; iii) Multiplicar uma linha de S por um escalar α �0 e adicioná-la a uma outra linha de S.
obs.: S’ é equivalente a S se S’ é obtida de S através de, pelo menos uma, das operações elementares i), ii), iii). Exemplo:
S:���
=−=+
02
21
21
xx
xx → multiplicando a 1o. linha de S por α =-1 e adicionando à
2o. linha de S : obtemos o sistema equivalente S’ dado por:
S’:���
−=−=+
2202
21
21
xx
xx
Em S’, a matriz A de S é transformada pela operação elementar feita na matriz triangular superior:
A’= ���
���
− 2011
→matriz triangular superior.
A solução de S’ é obtida por substituição retroativa tal que na linha 2 de S’ temos: 12 =x , substituindo na linha 1 de S’ temos que 11 =x . Notação: S ~ S’.
Definição: Sistemas Triangulares
Sistema triangular inferior: é aquele cuja matriz triangular do sistema é uma matriz triangular inferior. Sistema triangular superior: é aquele cuja matriz do sistema é uma matriz triangular superior.