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Visualisation, Rendering and Animation
2 VO / 1 KU (2001-2004)
Heinz Mayer, Franz Leberl & Andrej Ferko
Short podcast version 2020
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3. Free-form Curves/Surfaces
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Content3. Parametric representation of
curves and surfaces–Free-form curves
• Bézier-curves
• Rational Bézier-curves
• B-Splines
• NURBS - industrial standard, Maya...
–Free-form surfaces
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MotivationConstruction, CAGD, CAD/CAM– Modeling of ship hulls, terminology
– Design of cars and airplanes
Computer Graphics– Simple modeling of smooth surfaces
and solids
– Definition of motion trajectories for
animated objects
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Three forms of expression
Analytic y = sqrt(r2-x2)
Implicit x2 + y2 = r2
Parametric x = cos t; y = sin t; t
travel along the curve
–continuity - geometric G, parametric C
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Parametric BlendingNumbers, a, b, 0.5*(a + b)
Points A, B, 0.3*A + 0.7*B
Rotations, 4-tuples, quaternions
Curve construction as weighted sum of points
Surfaces
Images… brightness, contrast, saturation, sharpening… image analogies, SIGGRAPH 2001
… Morphing, Caricatures … state spaces
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Parametrically rep. curvesEuclidean plane/space E2, E3 {O, x, y, z}
Parametric representation of a curve in E3 :
Tangenta has direction vector:
Curvature:
( ) ( ) ( )( )Ttztytx(t)p =
( ) 0tp
( )0
tp
( )( ) ( )
( )3
0
00
0
tp
tptpt
=
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Lagrange Interpolation
Given: Point set {a0, ... an} and
appropriate parameter values {t0 < ... < tn}
Task: Curve through ai for ti
1. solution:
Lagrange -Polynomial:
( ) ( ) ( )n
atfatftpn00
+=
( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )ni1i1i1i0i
n1110
itttttttttt
tttttttttttf
−−−−−
−−−−−=
+−
+−
ii
ii
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Bernstein Polynomials
Properties:
– Polynomials of order n
–
( ) ( ) iinn
itt1
i
ntB
−−
= n0...i =
( )=
=n
0i
n
itB1
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Bernstein Polynomials: (C) Ken JOY
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Next Properties
–
– {1, t, ... tn} is basis for polynomials
the same way is {B0, ... Bn} another basis
( )
−=
−=
in
n
i!!in
n!
i
n
( ) ( ) ( )*n
i
n
i
*n
int1BtBtB −==
−( )t1t
*−=
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Bézier curve
Definition:
Basic notions:
– Base points Bi
– Bi limited by basepolygon
– bi position vector for Bi
( ) ( ) 0,1tbtBtpn
0i
i
n
i=
=
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Properties
t = 0:
t = 1:
k-th derivative: depends on location t = 0 only of knot points B0, ... Bk . Analogously for t = 1.
( )
( ) ( )0
n
i
n
0
b0pn1,i0,0B
10B
===
=
( )
( ) ( )n
n
i
n
n
b1p1n0,i0,1B
11B
=−==
=
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DeCasteljau AlgorithmGiven: Base points {b0, ... bn }, t
n iterations
Version using one-dimensional array possible
( )
( )tx,0q
j1,iqtji,qt11ji,q
bi,0qi
=
++−=+
=
n
Fig. © by Ken Joy
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Parameter transformations
part of the original curve
original curve is the part - plus continuation
1aa0,t
1aa0,t
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Spline curve
Def.: „Spline curve“ consists of
partial segments (Subsplines),
combined by tangential or
curvature preserving conditions
Example: Bézier spline curve,
binded from 2 Bézier curve pieces
using the continuation.
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Rational Bézier curvesIntroduction of weights {w0, ... wn} with the base points
New form of the base polygon:
Representation via projection in the image plane
00
0
=
=→
i
i
i
ii
i
ii
b
bBb
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Properties
w0 = ... wn = 1 -> standard Bézier
w0 = ... wn <> 0 -> rational Bézier
Changing single weight:– wi increase: the curve goes closer
– wi decrease: the curve goes far
Modeling in higher dimensions, followed by projection
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Special Case - Circle
Bézier curves cannot represent!
Suitable setting of weights works for rational Bézier curves
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B-SplinesIdea: Constant curvature setting of
Bézier curves with Grad = 3.
Given: Basis point b0-b5 define 3 Bézier
curves with n = 3, when the subintervals
are known (Design parameter)
Then: The basis points of partial curves
can be reconstructed.
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Additional Properties
„Local Control“: Control points influence the curve in one position t
Implication:
–curve can be modified using one control point
–2 different tangents in one point possible!
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Math Language Ruptures
• Elementary Arithmetics
• Synthetic Geometry
• Algebra
• Analytic Geometry
• Infinitesimal Calculus
• Iterative Geometry
• Predicate Calculus
• Set Theory
• (based on Kvasz´s epistemologic research, 1996)
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Analytic GeometryRene Descartes discovered the method how to assign to a given algebraic formula THE SHAPE.
This visualization was so important that this new language was given a new name: analytic geometry.
Constructive geometry using ruler and compass was difficult - for any object requires a specialised method and is limited to quadrics.
Descartes method deconstructed each shape to points and enables us for constructing any shape POINT BY POINT.
Therefore the curves are UNIVERSAL MODELING TOOL: car industry, flight simulations, caustics... Never ending story of applications.
• (based on Kvasz´s epistemologic research, 1996)
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Thank You...
… for Your attention.
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2 VO / 1 KU (2001-2004)
Heinz Mayer, Franz Leberl & Andrej Ferko
Short podcast version 2020