Matematicas:

Cuerpo o campo (matemtica) Resumen:

En lgebra abstracta, un cuerpo o campo es una estructura algebraica en la cual las operaciones llamadas adicin y multiplicacin se pueden realizar y cumplen las propiedades: asociativa, conmutativa y distributiva de la multiplicacin respecto de la adicin,1 adems de la existencia de inverso aditivo, de inverso multiplicativo y de un elemento neutro para la adicin y otro para la multiplicacin, los cuales permiten efectuar las operaciones de sustraccin y divisin (excepto la divisin por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmtica de nmeros ordinarios.Los cuerpos son estructuras algebraicas importantes de estudio en diversas ramas de la matemtica: lgebra, anlisis matemtico, teora de los nmeros, puesto que proporcionan la generalizacin apropiada de dominios de nmeros tales como los conjuntos de nmeros racionales, de los nmeros reales, o de los nmeros complejos. Los cuerpos eran llamados dominios racionales.El concepto de un cuerpo se usa, por ejemplo, al definir el concepto de espacio vectorial y las transformaciones en estos objetos, dadas por matrices, dos objetos en el lgebra lineal cuyos componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario. La teora de Galois estudia las relaciones de simetra en las ecuaciones algebraicas, desde la observacin del comportamiento de sus races y las extensiones de cuerpos correspondientes y su relacin con los automorfismos de cuerpos correspondientes.Propiedades de las operaciones matemticasF es cerrado para la suma y la multiplicacin Para toda a, b en F, a + b y a * b pertenecen a F (o ms formalmente, + y * son operaciones matemticas en F) Asociatividad de la suma y la multiplicacin Para toda a, b, c en F, a + (b + c) = (a + b) + c y a * (b * c) = (a * b) * c. Conmutatividad de la suma y la multiplicacin Para toda a, b en F, a + b = b + a y a * b = b * a. Existencia de un elemento neutro para la suma y la multiplicacin Existe un elemento 0 en F, tal que para todo a en F, a + 0 = a. Existe un elemento 1 en F diferente a 0, tal que para todo a en F, a * 1 = a. Existencia de elemento opuesto y de inversos Para cada a en F, existe un elemento -a en F, tal que a + (- a) = 0. Para cada a 0 en F, existe un elemento a -1 en F, tal que a * a-1 = 1. Distributividad de la multiplicacin respecto de la sumaPara toda a, b, c, en F, a * (b + c) = (a * b) + (a * c). El requisito a 0 asegura que el conjunto que contiene solamente un cero no sea un cuerpo, y de paso elimina la posibilidad de que en el cuerpo existan divisores de cero distintos de 0. Directamente de los axiomas, se puede demostrar que (F, +) y (F - { 0 }, *) son grupos conmutativos y que por lo tanto (vase la teora de grupos) el opuesto -a y el inverso a-1 son determinados nicamente por a. Adems, el inverso de un producto es igual al producto de los inversos: (a*b)-1 = a-1 * b-1 con tal que a y b sean diferentes de cero. Otras reglas tiles incluyen -a = (-1) * a y ms generalmente - (a * b) = (-a) * b = a * (-b) as como a * 0 = 0, todas reglas familiares de la aritmtica elemental. Completa:

Un cuerpoes unanillo de divisinconmutativo, es decir, un anillo conmutativo yunitarioen el que todo elemento distinto de cero es invertible respecto del producto. Por tanto un cuerpo es un conjuntoKen el que se han definido dosoperaciones, + y , llamadasadicinymultiplicacinrespectivamente, que cumplen las siguientes propiedades:Kes cerrado para la adicin y la multiplicacinPara todoa,benK,a+byabpertenecen aK(o ms formalmente, + y sonoperaciones matemticasenK);Asociatividadde la adicin y la multiplicacinPara todaa,b,cenK,a+ (b+c) = (a+b) +cya (bc) = (ab) c.Conmutatividadde la adicin y la multiplicacinPara todaa,benK,a+b=b+ayab=ba.Existencia de unelemento neutropara la adicin y la multiplicacinExiste un elemento 0 enK, tal que para todoaenK,a+ 0 =a.Existe un elemento 1 enK, diferente de 0, tal que para todoaenK,a 1 =a.Existencia deelemento opuestoy de inversos:Para cadaaenK, existe un elemento -aenK, tal quea+ (-a) = 0.Para cadaa 0 enK, existe un elementoa-1enK, tal queaa-1= 1.Distributividadde la multiplicacin respecto de la adicinPara todaa,b,c, enK,a (b+c) = (ab) + (ac).El requisito a 0 asegura que el conjunto que contiene solamente un cero no sea un cuerpo, y de paso elimina la posibilidad de que en el cuerpo existandivisores de cerodistintos de 0, lo que lo convierte tambin en undominio de integridad. Directamente de los axiomas, se puede demostrar que (K, +) y (K- { 0 }, ) songrupos conmutativosy que por lo tanto (vase lateora de grupos) elopuesto-ay elinversoa-1son determinados nicamente pora. Adems, el inverso de un producto es igual al producto de los inversos:(ab)-1=a-1b-1con tal queaybsean diferentes de cero. Otras reglas tiles incluyen-a= (-1) ay ms generalmente- (ab) = (-a) b=a (-b)as comoa 0 = 0,todas reglas familiares de laaritmticaelemental.Definiciones alternativas[editar]Sintticamente, UnanilloPse llamacuerpo, si consta no slo del cero y en l es posible la divisin en todos los casos( salvo la divisin por cero), determinndose esta unvocamente, esto es, si para cualesquiera elementosmyndeP, de los cualesnes diferente de cero, existe enPun elementoq, y slo uno, que cumple la igualdadnq=m. El elementoqse denominacocientede los elementosmyny se denotaq=m/n.2Un cuerpoFes undominio de integridadque contiene para cada elementoa 0 un inversoa-1que verifica la igualdad:a-1a= 1.3Ejemplos de cuerpos[editar]Racionales y algebraicos[editar]Losnmeros racionaleses un cuerpo de nmeros que incluye un subjconjunto isomorfo a losnmeros enteros, que por abuso de notacin tambin se designa como. Todo nmero racional puede representarse por un conjunto de fracciones, pero el conjunto de los racionales no debe identificarse con el conjunto de las fracciones (ya que 1/2 y 2/4 son dos fracciones diferentes que representan el mismo nmero real. Para definir los racionales debe considerarse una relacin de equivalencia sobre el conjunto de las fracciones:

La relacin de equivalencia entre dos fraccionesa/byc/destn relacionadas siad=bc, es decir:

En esas condiciones el conjunto de los racionales es el conjunto de clases de equivalencia en que el conjunto de las fracciones queda dividido.Los nmeros racionales no forman uncuerpo algebraicamente cerrado, un importante teorema de la teora de cuerpos demuestra la existencia de un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene al primero (estrictamente unconjuntoisomorofo). Dado que los racionales no son algebraicamente cerrados, existe y puede construirse suclausura algebraica, este conjunto se denomina cuerpo de losnmeros algebraicos, puede demostrarse que:

Los nmeros complejos contienen tanto alcuerpo de nmeros algebraicoscomo a los nmeros reales. Sin embargo los reales no continen a los algabraicos ya que por ejemplo. Adems puede demostrarse que los nmeros racionales y los nmeros algebraicos son conjuntos numerables mientras que los reales y los complejos no lo son:

Nmeros reales, complejos yp-dicos[editar]Losnmeros realescon las operaciones usuales forman un cuerpo.Losnmeros hiperrealesforman un cuerpo que contiene los reales, ms los nmeros infinitesimales e infinitos. Losnmeros surrealesforman un cuerpo que contiene los reales, a excepcin del hecho de que son una clase propia, no un conjunto. El conjunto de todos los nmeros surreales con elcumpleaosmenor que un ciertocardinal inaccesiblees un cuerpo.Los nmeros reales contienen varios subcuerpos interesantes: los nmeros reales algebraicos, losnmeros computables, y losnmeros definibles.Losnmeros complejosconsisten en expresiones del tipoa+bidonde i es launidad imaginaria,i.e., un nmero (no real) que satisface i2= 1. Adicin y multiplicacin de los nmeros reales son definidos de tal manera para que todos los axiomas del cuerpo se cumplen paraC. Por ejemplo, la ley distributiva cumple(a+bi)(c+di) =ac+bci +adi +bdi2, que es igual aacbd+ (bc+ad)i.Los nmeros racionales se pueden ampliar a los cuerpos denmeros p-dicospara cada nmero primop.Cuerpos finitos[editar]Artculo principal:Cuerpo finitoEl cuerpo ms pequeo tiene solamente dos elementos: 0 y 1. Es denotado poroy puede a veces ser definido por las dos tablas

Tiene aplicaciones importantes eninformtica, especialmente enlgebra de Boole,criptografayteora de la codificacin.Ms generalmente, para un nmero primo, el conjunto de losnmeros enterosmduloes un cuerpo finito con loselementos: esto se escribe a menudo comodonde las operaciones son definidas realizando la operacin en, dividiendo pory tomando el resto, veraritmtica modular.Cuerpos de funciones[editar]Para un cuerpo dadoK, el conjuntoK(X) de funciones racionales en la variableXcon coeficientes enKes un cuerpo; esto se define como el conjunto de cocientes depolinomioscon coeficientes enK.SiKes cuerpo, yp(X) es unpolinomio irreducibleen un anillo de polinomiosF[X], entonces el cocienteF[X]/ es un cuerpo con un subcuerpo isomorfo aK. Por ejemplo,R[X]/(X2+1) es un cuerpo (de hecho, es isomorfo al cuerpo de los nmeros complejos).CuandoKes un cuerpo, el conjuntoK[[X]] deseries formales de LaurentsobreKes un cuerpo.SiVes unavariedad algebraicasobreK, entonces las funciones racionalesVKforman un cuerpo, el cuerpo de funcionesV. SiSes unasuperficie de Riemann, entonces las funcionesmeromorfasdeSCforman un cuerpo.Ultrafiltros[editar]SiIes un conjunto de ndices,Ues unultrafiltrosobreI, yKies un cuerpo para cadaienI, elultraproductodeKi(usandoU) es un cuerpo.Subcuerpos[editar]SeanEyKdos cuerpos conEunsubcuerpodeK(es decir, un subconjunto deKque contiene 0 y 1, cerrado bajo las operaciones + y * deKy con sus propias operaciones definidas por restriccin). Seaxun elemento deKno enE. EntoncesE(x) se define como el subcuerpo ms pequeo deKque contiene aEy ax. Por ejemplo,Q(i) es el subcuerpo de los nmeros complejosCque consisten en todos los nmeros de la formaa+bidondeaybson nmeros racionales.Algunos teoremas iniciales[editar]El conjunto de elementos diferentes de cero de un cuerpoK(denotado tpicamente porK) es un grupo abeliano bajo multiplicacin. Cada subgrupo finito deKescclico.Lacaractersticade cualquier cuerpo es cero o unnmero primo. (la caracterstica se define como el nmero entero positivo ms pequeontal quen1 = 0, o cero si no existe taln; aqun1 significansumandos 1 + 1 + 1 +... + 1.)Sies una potencia de unnmero primo, entonces existe (salvo isomorfismo) exactamente uncuerpo finitoconelementos. Adems, estos son los nicos cuerpos finitos posibles.Como anillo, un cuerpo no tiene ningnidealexcepto {0} y s mismo.Todo anillo de divisin finito es un cuerpo (teorema de Wedderburn).Para cada cuerpoK, existe (salvo isomorfismo) un cuerpo nico G que contiene aK, esalgebraicosobreK, y esalgebraicamente cerrado.Gse llama laclausuraalgebraicadeK.Construcciones de cuerpos[editar]Subcuerpos e ideales[editar]Si un subconjuntoEde un cuerpo (K,+,) junto con las operaciones , + restringido aEes en s mismo un cuerpo, entonces se llama unsubcuerpodeK. Tal subcuerpo tiene los mismos 0 y 1 queK.Seaun cuerpo, y. Se dice queessubcuerpodeo queesextensindesi se cumple quees un cuerpo cuando las operacionesyse restringen a. En particular,ser entonces unsubanillode. Se tiene entonces queysonsubgruposrespectivos de losgrupos abelianosy.Como todo cuerpo es un anillo, podramos preguntarnos por la forma que tengan susideales. Para empezar, como todo cuerpo esanillo conmutativo, todo ideal por la izquierda es ideal (biltero) y todo ideal por la derecha es tambin ideal (biltero). As pues slo hemos de estudiar los ideales del cuerpo.Sies ideal del cuerpo, entonces todo elemento no nuloha de tener inverso,, luegoes una unidad de[esto es,], y se tendr que, es decir,. De esta manera, los nicos ideales de un cuerpo son el propio cuerpo y el ideal nulo.Cuerpo de fracciones[editar]Dado un cuerpo, el cuerpo polinmicoes elcuerpo de fraccionesdepolinomiosenXcon coeficientes en, es decir, sus elementos sonfunciones racionalescon coeficientes en(tcnicamente sobre las fracciones formadas por polinomios dedebe definirse una relacin de equivalencia de tal manera que

donde:

Extensin de cuerpos[editar]Vase tambin:Extensin de cuerposUnaextensin algebraicade un cuerpoKes el cuerpo ms pequeo que contiene aKy una raz de un polinomio irreduciblep(X) enK[X]. Alternativamente, es idntico alanillo factorK[X]/(p(X)), donde (p(X)) es el ideal generado porp(X).Cuerpo ordenado[editar]Un cuerpo ordenado es un cuerpo en el que se puede definir unarelacin de ordenque sea complatible con las operaciones de cuerpo, es decir:, para cualesquierax, yyz., para cualesquieraxyz., para cualquierxLos racionalesy los realesson cuerpos ordenados, en cambio en loscomplejosno es posible definir un orden compatible con las operaciones de grupo (sii> 0 se sigue que -1 > 0, sii< 0 se sigue que (-i)(-i) = -1 > 0).