1-12-2014

VIGAS: MTODO DEL REA DE MOMENTO

Jhorman Andres Contreras Pacheco UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER

VIGAS: MTODO DEL REA DE MOMENTO

JHORMAN ANDRES CONTRERAS PACHECO - 1112110

Ingeniero Hugo Alberto Portilla Duarte

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER

CALCULO INTEGRAL - C

1110201

CUCUTA

2014

INTRODUCCIN

El conocimiento del clculo de giros y desplazamiento es necesario para poder entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga. El presente trabajo est basado en uno de los mtodos para calcular el giro y desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el diagrama de momentos. Contiene un problema resuelto segn el marco terico que ensear al lector a tener base para su comprensin; y un glosario de palabras tcnicas de uso seguido que facilitar la interpretacin en el desarrollo del trabajo; adems, de un comentario acerca de la importancia de las vigas en la ingeniera Civil.

MARCO TERICO

VIGAS

En ingeniera y arquitectura se denomina viga a un elemento estructural lineal que

trabaja principalmente a flexin. En las vigas, la longitud predomina sobre las otras

dos dimensiones y suele ser horizontal.

El esfuerzo de flexin provoca tensiones de traccin y compresin, producindose

las mximas en el cordn inferior y en el cordn superior respectivamente, las

cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de

inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes o

punzonamiento. Tambin pueden producirse tensiones por torsin, sobre todo en

las vigas que forman el permetro exterior de un forjado.

METODO DE AREA DE MOMENTO

Este mtodo se basa en la relacin que existe entre el momento M y la curvatura y

proporciona medios prcticos y eficientes para calcular la pendiente y la deflexin

de la curva elstica de vigas y prticos.

El mtodo tiene dos teoremas. El primero relaciona la curvatura con la pendiente de

la curva elstica y el segundo la curvatura con la deflexin.

De la ecuacin general de flexin tenemos:

Integrando:

Tengamos presente que curvatura de un elemento viga.

El mtodo del rea de momentos est sujeto a las mismas limitaciones que el de la

doble integracin. Sin embargo para verlo en su totalidad, como un conjunto

completamente independiente, se repite una pequea parte de lo dicho en la

seccin cualquiera. La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con una

carga cualquiera. La Elstica, como interseccin de la superficie neutra con el plano

vertical que pasa por los centroides de las secciones que es sumamente exagerada.

Al igual que en la deduccin de la frmula de la deflexin, dos secciones planas

adyacentes, distantes una longitud dx sobre una viga inicialmente recta, giran un

ngulo d una respecto a la otra.

3.2.- DEMOSTRACION: Es un mtodo sencillo para determinar las pendientes y

flechas en las vigas, en las cuales intervienen el rea del diagrama de momento y

el momento de dicha rea

Recordemos que Si la viga es linealmente elstica y cumple con la ley

de Hooke entonces de la frmula de flexin se tiene:

Entonces Entonces

Integrando tenemos, Entonces

En el diagrama de momento flector observamos que Mdx es el rea del elemento

diferencial rayado situado a una distancia x de la ordenada que pasa por B. Por

tanto la ecuacin anterior nos conduce al primer teorema del mtodo del rea de

momentos que dice: la variacin o incremento de la pendiente entre las tangentes trazadas a la elstica en dos puntos cualesquiera A y B es igual al rea del diagrama

de momentos flectores entre estos dos puntos dividido por EI.

es positivo cuando va en sentido anti horario (sea corresponde a un rea positiva del momento flector). Al observar la segunda figura anterior, la distancia vertical

desde B hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A es la suma

de los segmentos dt interceptados por tangentes sucesivas trazadas a la elstica

en puntos sucesivos, entonces, cada uno de stos segmentos es igual a dt= xd; integrando,

Pero como Entonces,

Si observamos la tercera figura anterior; la expresin x(Mdx) es el momento del rea

del elemento rayado respecto a la ordenada en B, por tanto la ecuacin anterior

conduce al segundo teorema que dice La desviacin tangencial de un punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la elstica en otro punto cualquiera

A, en direccin perpendicular a la inicial de la viga es igual al momento respecto de

B del rea de la porcin del diagrama de momento entre los puntos A y B dividido

por EI.

Donde:

Xb= Distancia del Centroide del rea al eje vertical al cual le estamos sacando la

desviacin, en ste caso sera con respecto a B.

Tb/a = Es la desviacin tangencial de B respecto de A y es positiva si el punto

considerado queda por encima de la tangente y negativa si queda por debajo de la

tangente

En la mayora de los casos prcticos, la elstica es tan llana que no se comete error

apreciable suponiendo que ds es igual a su proyeccin dx. En estas condiciones,

se tiene: (b)

Evidentemente, dos tangentes trazadas a la elstica en C y D, como en la figura 1-

b, forman el mismo ngulo d que el que forman las secciones OC y OD, por lo que la desviacin angular, o ngulo entre las tangentes a la elstica en dos puntos

cualesquiera A y B, es igual a la suma de estos pequeos ngulos: (c)

Obsrvese tambin, figura 1-b, que la distancia desde el punto B de la elstica,

medida perpendicularmente a la posicin inicial de la viga, hasta la tangente trazada

a la curva por otro punto cualquiera A, es la suma de los segmentos dt interceptados

por las tangentes sucesivas trazadas a la elstica en puntos sucesivos. Cada uno

de estos segmentos dt interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la

elstica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt puede considerarse

como un arco de radio x y ngulo d:

dt = x d

De:

Sustituyendo d por su valor en la ecuacin (b) (d)

La longitud tB/A se llama desviacin de B con respecto a una tangente trazada por

A, o bien, desviacin tangencial de B con respecto a A. La figura 2 aclara la

diferencia que existe entre la desviacin tangencial tB/A de B respecto de A y la

desviacin tA/B de A con respecto a B. En general, dichas desviaciones son

distintas.

Figura 2. En general, tA/B no es igual a tB/A

El significado geomtrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas

fundamentales del mtodo del rea de momentos. En el diagrama de momentos

flexionantes de la figura 1-c, se observa que M dx es el rea del elemento diferencial

rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B. Ahora bien, como es la

suma de tales elementos, la ecuacin (c) se puede escribir en la forma:(1)

Esta es la expresin algebraica del Teorema I, que se puede enunciar como sigue:

Teorema 1:

La derivacin angular, o ngulo entre las tangentes trazadas a la elstica en dos

puntos cualesquiera A y B, es igual al producto de 1/EI por el rea del diagrama de

momentos flexionantes entre estos dos puntos.

La figura 6-8c muestra como la expresin x (M dx) que aparece dentro de la integral

en la ecuacin (d) es el momento del rea del elemento rayado con respecto a la

ordenada en B. Por tanto, el significado geomtrico de la integral de x (M dx) es el

momento con respecto a la ordenada en B del rea de la porcin del diagrama de

momentos flexionantes comprendida entre A y B. Con ello la expresin algebraica

es:

TB/A = 1/EI *(rea)AB XB

El rea bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al cambio en

las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elstica.

ngulo tangente en B medido desde la tangente en A.

Se mide en radianes. reas positivas indican que la pendiente crece.

Teorema 2:

La desviacin tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada a la

elstica en otro punto cualquiera A, en direccin perpendicular a la inicial de la viga,

es igual al producto de 1/EI por el momento con respecto a B delo rea de la porcin

del diagrama de momentos entre los puntos A y B.

El producto EI se llama rigidez a la flexin. Obsrvese que se ha supuesto

tcticamente que E e I permanecan constantes en toda la longitud de la viga, que

es un caso muy comn.

Sin embargo, cuando la rigidez es variable, no puede sacarse EI del signo integral,

y hay que conocerla en funcin de x. tales variaciones suelen tenerse en cuenta

dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de momentos para obtener de esta

manera un diagrama de M/EI al que se aplican los dos teoremas, en vez de

aplicarlos al diagrama de M.

En los dos teoremas (rea)AB representa el rea de diagrama de momentos entre

las ordenadas correspondientes a los puntos A y B, xB es el brazo de momento de

sta rea con respecto a B. El momento de rea se toma siempre respecto de la

ordenada del punto cuya desviacin se desea obtener.

Por teora de los ngulos pequeos tenemos:

Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la desviacin vertical

entre las tangentes en A y B.

Momento de primer orden con respecto a A del rea bajo la curva de entre A Y B.

El teorema es: La desviacin de la tangente en un punto A sobre la curva elstica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B, es igual al momento del

rea bajo la curva M/EI entre los puntos Ay B con respecto a un eje A. Se cumple

siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por articulaciones. Esta

desviacin siempre es perpendicular a la posicin original de la viga y se denomina

flecha.

CONVENCION DE SIGNOS.

Los convenios de signos siguientes son de gran importancia: la desviacin

tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto queda por encima de la

tangente con respecto a la cual se toma esta desviacin, y negativa si queda debajo

de dicha tangente.

El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes. Un valor positivo de

la variacin de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la

derecha, B, se obtiene girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada

en el punto ms a la izquierda, A, es decir, que para pasar de la tangente en A a la

tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj, y viceversa para los valores

negativos de qAB.

Ejercicio Resuelto: Aplicacin en Estructuras, de Ingeniera Civil.

Para la siguiente viga determinar la deflexin y rotacin en el punto C en funcin de EI.

adimensional (radianes)

Condicin de apoyo

Flecha = momento de primer orden con respecto a B

Si

Por no existir momento en ese tramo.

Remplazando en 1:

Busquemos el punto de tangencia cero, , punto de

OPINION PERSONAL IMPORTANCIA DE LAS VIGAS EN LA INGENIERA CIVIL Y AFINES

En la Ingeniera Civil y afines se sabe que la palabra viga tiene un lugar central. La viga es un elemento fundamental en la construccin, sea sta de la ndole que fuera. Ser el tipo, calidad y fin de la construccin lo que determinar medidas, materiales de la viga, y sobre todo, su capacidad de sostener y contener pesos y tensiones.

Ilustracin 1 VIGA, estructura de un Edificio

Una viga est pensada para soportar no slo presin y peso, sino tambin flexin y tensin, segn la finalidad que predomine ser el concepto de viga para ingeniera o arquitectura, que predomine. Conocer sus caracteristicas mediante mtodos matemticos son de gran importancia en la construccin por ejemplo, el ingeniero civil, necesita evaluar el tipo de viga que utilizar para ejecutar parte de la obra valindose de los conocimientos adquiridos en la academia, en este caso, vimos como hizo su parte el Clculo Integral en los teoremas de mtodo de rea de momentos. ANEXOS

El techo proporciona una carga distribuida a la viga, siendo sta menor en los extremos y mayor en el centro de la viga, a esto se suma el peso propio del techo. La accin del viento sobre el techo tambin presenta un tipo de carga distribuida sobre la viga.

La viga transmite la carga a la columna, en los apoyos de esta las deflexiones nulas.

Este ensayo demuestra la gran deflexin que sufre la viga en su centro al momento de fallar.

GLOSARIO Mdulo de elasticidad:(E) El mdulo de elasticidad o mdulo de Young es un parmetro que caracteriza el comportamiento de un material elstico, segn la direccin en la que se aplica una fuerza. Siendo una constante independiente del esfuerzo y es siempre mayor que cero.

Eje neutro: Es la interseccin de la superficie neutra (superficie que no sufre deformacin e=0) con la seccin transversal.

Curva elstica: Llamada tambin Elstica. La ecuacin de la elstica es la ecuacin diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elstica. Concretamente la ecuacin de la elstica es una ecuacin para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada o flectada final.

Giro (): Al trazar rectas tangentes a la curva elstica estas forman con la horizontal ngulos muy pequeos, estos ngulos son los ngulos de giro de la curva elstica.

: ngulo tangente en B medido desde la tangente en A, se mide en radianes.

: Momento de primer orden con respecto a A del rea bajo la curva de entre A Y B, se denomina flecha.

Momento flector.- Se denomina momento flector un momento de fuerza resultante de una distribucin de tensiones sobre una seccin transversal es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexin. Diagrama de momento flector.- Para elementos lineales el momento flector Mf(x) se define como una funcin a lo largo del eje transversal del mismo, donde "x" representa la longitud a lo largo del eje. El momento flector as definido, dadas las condiciones de equilibrio, coincide con la resultante de fuerzas de todas las fuerzas situadas a uno de los dos lados de la seccin en equilibrio en la que pretendemos calcular el momento flector. Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas, cargas distribuidas y momentos, el diagrama de momento flector vara a lo largo del mismo. Diagrama de momento reducido: Es la representacin grfica de los momentos reducidos. Momento reducido: es el cociente entre el momento flector y la rigidez a la flexin. Mr=M/EI.

BIBLIOGRAFA

Vigas, Wikipedia La Enciclopedia Libre, Wiki, Worldwide (Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Viga#C.C3.A1lculo_de_tensiones_en_vigas)

Mtodo de rea de momento, ingcivil, Bloguero, blog spot. (Disponible en:

http://ingcivil-2008.blogspot.com/2008/05/mtodo-de-area-de-

momentos.html)

Ejercicios Resueltos Mtodo de rea de momento, ingeniera de estructuras,

(Disponible en:

http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/deflexiones/metodos%20geometric

os/deflexiones%20geometricas.htm)