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Matemática - Tercer Año Guía de Trabajos Prácticos

T.P.N° 2: Funciones polinómicas

Cada 10 años se levanta un censo de población en un determinado país. En la siguiente tabla se incluyen datos de la población, en miles de habitantes, de 1940 a 1990.

Año 1940 1950 1960 1970 1980 1990Población en miles de

habitantes 120,456 160,456 179,323 211,678 257,769 270,721

El gráfico que sigue representa el crecimiento de la población en función del tiempo.

1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 20000

50

100

150

200

250

300

Año

Pobl

ació

n

Al revisar los datos anteriores, podríamos preguntarnos si es posible utilizarlos para obtener una estimación razonable de la población que habría en -digamos- 1965 e incluso en el año 2012. Este tipo de predicciones puede obtenerse por medio de una función que corresponda a los datos disponibles. Este proceso recibe el nombre de Interpolación Polinomial.

1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 20200

50

100

150

200

250

300

350

Año

Pobl

ació

n

Muchas veces los científicos buscan expresiones matemáticas que les permitan vincular las variables que están estudiando y, de esta manera, encontrar o predecir resultados sin necesidad de

1


realizar la experiencia. Las funciones1 polinómicas son una buena herramienta para encontrar ese tipo de expresiones por ser funciones continuas2 y por utilizar sólo las operaciones matemáticas básicas: suma y multiplicación, lo cual facilita la operatoria.

1) Una empresa necesita envasar un producto en recipientes de lata cilíndricos, de manera tal que el diámetro de la base sea la mitad de la altura.

a) ¿Con qué dimensiones construyen la lata si ésta debe tener un volumen de 350 cm3?b) Encontrar una fórmula que permita calcular el volumen de la lata en función de la altura.

Rta: a )h=3√5600

π, r=1

43√5600

π,b )V (h )= π

16h3

2) Una pileta de natación tiene la forma de un prisma recto de base rectangular. Si el largo es igual a (x + 5)m, el ancho es (x – 5)m y la profundidad es de (x – 16)m.

a) Hallar la expresión polinómica del volumen en función de x.b) ¿Cuál será el volumen si x toma el valor de 20 m?c) ¿Existe algún valor entero de x tal que el volumen de la pileta sea de 400 m3?

Rta:

3) Decidir si las siguientes expresiones son polinomios, en caso de no serlo indicar por qué.

Rta: No son polinomios el b), d) y f).

4) Dados los siguientes polinomios, indicar el grado, el coeficiente principal y el término independiente.

Rta:

a )gr [P( x )]=5=n ;an=−3 ; a0=−2b )gr [S ( x )]=8=n ;an=−6 ;a0=0c ) gr [T ( x )]=4=n ;an=3 ;a0=4d )gr [M ( x ) ]=3=n; an=11 ;a0=−16e )Polinomio nulo, carece de grado .an=a0=0

1 Se dice que una relación entre dos variables es una función si y solamente si a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente.2 Una función es continua cuando “se puede graficar sin levantar el lápiz del papel”.

2

a )V (x )=x3−16 x2−25 x+400b )1500m3

c )No puede tener 400m3 de volumen porque para ello x debe tomar el valor 0 y, en tal caso, el ancho de la pileta sería negativo .

d )N ( x )=3 3√x+5 x2−2 x−5

e )R( x )=0,2 x4+13x3−√3 x2+x−π

f )S ( x )=5 x4−23 x +4 x2−1

a )P (x )=3 x5−√2 x3+x−5

b )Q (x )=−14x7+0 ,25 x−2+3 x+1

c )M ( x )=x12−36

a )P (x )=x2−3x5−2b )S ( x )=−x7+3x−6x8

c )T ( x )=( x−2 )2−3 x ( x2−x3)+2x3

d )M ( x )=x+2(3 x3−4 )+5 x3−8e )L( x )=0


5) Siendo P(x) y Q(x) dos polinomios tales que gr[P(x)]=a y gr[Q(x)]=b (a ,b∈ℜ ), determinar, si es posible, los siguientes grados y , si no es posible, explicar por qué:

a) gr[P(x)+Q(x)]=b) gr[P(x).Q(x)]=

Rta: a) No es posible, b) a+b.

6) Hallar la especialización o valor numérico de los siguientes polinomios:

Rta: a )A (1)=1 , b )B(−1)=−11, c )C (2 )=16 y d )D (−2 )=17

37) Dados los siguientes polinomios efectuar las operaciones pedidas.

Rta: a )2x3+x2+x+9 ,b )−2 x4+10x3−8 x2+8 x−32 , c )2x 4+3 x3−4 x2−2 x+ 3

2y d )x2−4 x+4 .

8) Se desea construir un tanque de forma cilíndrica, cuya altura sea 3 veces el radio. Se pide:a) La expresión polinómica que permite calcular el volumen en función del radio.b) ¿Cuánto debe valer el radio para que la capacidad del tanque sea de 1600 litros? Expresar el

resultado en m y redondeado a los centésimos. (1litro = 1dm3).c) La expresión polinómica del volumen si se aumenta el radio del tanque en dos metros.

Rta:

a )V (r )=3π r3

b )0 ,55mc )V (r )=3 πr 3+18 πr 2+36 π r+24 π

9) Hallar el resto y el cociente de las siguientes divisiones:

3

a )A ( x )=3 x2−4 x+2 , para x=1b )B( x )=2 x3−4 x2+2x−3 , para x=−1c )C ( x )=x4−x+2 , para x=2

d )D( x )=23x2−2 x−1 , para x=−2

P( x )=3x3−2 x2−x+1 ;S ( x )=x−2 ;T (x )=−x2( x−3 )+2x+8 y M ( x )=−2 x4+2x2+x−12

a )P (x )+T ( x )b )2T ( x )⋅S( x )c )P( x )−M ( x )d )(S (x ))2

a )(3 x5−2 x3+7 x2−2x )÷( x3+3 x2−1)b )(3 x4−6 x3+2 x2−1 )÷( x−4 )c )(5 x3+4 x2−x−1)÷(2x )d )(3 x4−5 x3+2x2−3 x+9)÷(2x2+6 x+8 )


Rta:

a )C ( x )=3 x2−9 x+25 ;R ( x )=−65 x2−11 x+25b )C ( x )=3 x3+6 x2+26 x+104 ;R ( x )=415

c )C ( x )=52x2+2 x−1

2; R( x )=−1

d )C ( x )=32x2−7 x+16 ; R( x )=−43 x−119

10) Dadas las siguientes divisiones:

Comparar el resto de cada una de las divisiones con el resultado de reemplazar en el dividendo la raíz del divisor. a) ¿Qué se observa? b) ¿Puede asegurarse que siempre se va a verificar tal observación? ¿Por qué?3

Rta: a) Coinciden, b) Habría que demostrarlo, no basta con ejemplos para asegurar tal afirmación.

11) Enunciar y demostrar el Teorema del Resto.

12) Determinar a∈ℜde modo que al dividir:

Rta: a )a=−6 , b)a=−5 .13) Dividir aplicando la Regla de Ruffini4: (Aprender el proceso recurriendo a algún video

explicativo en http://www.youtube.com/).

Rta:

a )C ( x )=3x2−4 x+7 ; R( x )=−292

b )C ( x )=3x2+9x+21 ; R( x )=64

c )C ( x )=2 x3−3 x2+4 x−12; R( x )=15

4

14) Encontrar en cada caso el valor de m∈ℜpara que el polinomio P( x )sea divisible5 por Q( x ) , siendo:

3 En Matemática, para probar que algo es FALSO basta con encontrar un contraejemplo, el problema es demostrar que algo es VERDADERO…4 Ruffini, Paolo. (1765-1822). Físico y matemático italiano.5 P(x) es divisible por Q(x) si el resto, R(x), de la división de P(x) por Q(x) es cero.

4

a )(3 x3−2 x+7)÷( x−1 )b )(−x2+3 x−9 )÷( x+2)c )(−x4−4+2 x2 )÷( x+1)

a )P (x )=2 x4+x3−ax 2−5 por (x+1 ), el resto sea igual a 2.b )P (x )=3 x3−x2+ax−3 por ( x−2) , el resto sea igual a 7.

a )(3 x3+2 x2−x−12

)÷( x+2 )

b )(3 x3−6 x+1)÷( x−3 )

c )(2 x4+112

x+3−12x2 )÷( x+3

2)

a )P (x )=x2−9 x+m+x3 ;Q( x )=x+1

b )P (x )=3 x3+x−12m;Q (x )=x−4

c )P( x )=mx4−(m+1) x2−x+1 ;Q (x )=x+1

http://www.youtube.com/


Rta: a )m=−9 ;b )m=392;c )No tiene solución porque P(−1)=1∀m∈ℜ. .

15) En una fábrica de chocolates, se decidió envasar los bombones en dos modelos de cajas cuyos volúmenes sean iguales. Una de ellas debe ser un cubo. La otra, un prisma, cuyo ancho sea igual al del cubo, su profundidad sea el doble, y su altura, 4 cm menor. ¿Cómo se pueden hallar las medidas exactas de cada una de estas cajas? ¿Qué ecuaciones se pueden plantear?NOTA: una forma poco práctica de hacerlo es reemplazar la x de la ecuación resultante por diferentes valores hasta “acertar” con los que anulan el polinomio. Pensar en lo difícil que sería “acertar” si la raíz6 fuese, por ejemplo, x = 2,9135842.

Rta: V cubo=x3 ,V prisma=2x3−8 x2 , Ecuación resultante: P( x )=x3−8 x2 .

Un polinomio está factorizado cuando se lo ha expresado como el producto entre su coeficiente principal y polinomios mónicos primos7. Consecuencia: un polinomio de grado n con n raíces reales se factoriza así:

P( x )=an( x−r1)( x−r2)( x−r3) .. .( x−rn )an es el coeficiente principal de P ( x )r1 , r2 ,r3 ,. . ., rn son las n raíces reales de P( x )

16) Factorizar los siguientes polinomios de grado 1.

Rta:

17) Factorizar los siguientes polinomios de grado 2.

Rta:

a )A ( x )=( x+4 )⋅( x−4 ); b)B ( x )=2⋅( x+3 )⋅( x−3) ;c )C (x )=25⋅(x+45 )⋅(x−4

5 );d )D( x )=x⋅( x−5 );e )E( x )=3⋅x⋅(x−4 );

f )F( x )=14⋅x⋅( x−4

3 ); g )G ( x )=( x−3 )2 ;h )H ( x )=( x+5)2 .

6 a es raíz o cero de P(x) si y sólo si P(a)= 0.7 Solamente son primos los polinomios de grado 1 (mónicos) y los de gado 2 sin raíces reales porque no pueden descomponerse como producto de otros polinomios de grado menor.

5

a )P (x )=3 x−2

b )Q (x )=13x+4

c )T ( x )=−x+23

a )P (x )=3 x−2

b )Q (x )=13x+4

c )T ( x )=−x+23

a )P (x )=3⋅(x−23 ) , b )Q( x )=1

3⋅(x+12 ), c )T ( x )=−(x−2

3 ) , d )M ( x )=−( x+4 ), e )N ( x )=5⋅(x+ 425 ) y f )V ( x )=−3⋅( x−4

3 )

e )E( x )=3x2−12x

f )F( x )=x2

4−x

3g )G( x )= x2−6 x+9h )H ( x )=x2+10 x+25

a )A ( x )=x2−16b )B( x )=2x2−18c )C ( x )=25 x2−16d )D( x )=x2−5 x


Para resolver ecuaciones del tipo ax2+bx+c=0 se utiliza la fórmula resolvente:

x1 , x2=−b±√b2−4⋅a⋅c

2⋅a

18) Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.

Rta:

a )S={−6 ;3 };b )S={0 ; 35 }; c )S={5 ;−5

3 };d )S= {−7 ;13 };e ) S= {1 ;5 } ; f )S={−3 }; g) S= {−3 ;1 };h )S={−1 } ; i )S={−3 ;11} .

19) Sobre la esquina de un terreno rectangular que tiene 50 m más de fondo que de frente, se construye una casa de 15 m por 30 m. Si queda libre una superficie de 4.550 m 2, calcular la medida del frente del terreno.

Rta: 50 m.

20) Hallar las dimensiones de un rectángulo de 40 cm2 de área sabiendo que su altura es 3 cm menor que la base.

Rta: 5 cm y 8 cm.

21) Escribir un polinomio de segundo grado de forma factorizada cuyo coeficiente principal sea -1 y tenga como raíces 2 y -3.

Rta: P( x )=−( x−2 )(x+3 )

22) El perímetro de un rectángulo mide 20 cm y su área 21 cm 2. Calcular sus dimensiones teniendo en cuenta que la base es mayor que la altura.

Rta: Base = 7 y altura = 3.

23) Un poste de luz de 9 m se rompe a una cierta altura del suelo y, al doblarse, la punta libre de la parte rota cae a 3 metros de la base del poste. ¿A qué altura se quebró? ¿Hay que resolver una ecuación de segundo grado?

Rta: 4 m, no hay que usar una ecuación de segundo grado.

24) Dada la ecuación 3 x2+20=0 , ¿tiene solución en el conjunto de los números reales? ¿Por qué?

6

g )x2+4 x+1=7−x2

h )x⋅( x+2 )=−1i)8 x+26=x2−7

d )x2−6 x−91=0e )2x2−12 x+10=0f )−0,5 x2−3 x=4,5

a )( x−3 )⋅( x+6 )=0

b )( x−35

)⋅x=0

c )3 x2−10 x−25=0


Un polinomio puede tener raíces reales y raíces no reales8. Existe un teorema, llamado TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA, a partir del cual podemos afirmar que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces, considerando las reales y las no reales y en consecuencia se puede afirmar que: Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales.

Para factorizar polinomios de coeficientes enteros y grado mayor que dos es muy útil tener en cuenta la siguiente propiedad que se desprende del TEOREMA DE GAUSS: las posibles raíces racionales de un polinomio de coeficientes enteros, si an es el coeficiente principal y a0 su término

independiente, tienen la forma

pq , siendo p divisor de a0 y q divisor de an.

25) Factorizar los siguientes polinomios.

Rta:

a )( x+1)⋅(x−5)⋅( x−4 )b )( x−1)⋅( x+8)⋅( x−8 )c )( x+1)⋅( x+5)⋅( x+3 )⋅( x+2 )d )(x−2)⋅(x+2 )⋅( x+3 )2

26) Factorizar los siguientes polinomios.

Rta

:

a )( x−1)⋅( x2+2 x+3 )b )( x+5)⋅( x2+5)c )( x−1 )⋅( x+1)⋅( x2+4 )d )(x−2)⋅(x+2 )⋅( x2−x+1 )

¿Qué característica tienen en común estos polinomios factorizados?

Rta: Tienen en común polinomios de grado dos que no se pueden factorizar.

27) La energía cinética de un móvil se mide joules (un joule es la energía con que se desplaza un cuerpo de un kilogramo a una velocidad de un metro por segundo) y se calcula mediante la

fórmula: Ec=

12mv2

(donde m es la masa en kilogramos del cuerpo y v la velocidad con que se

8 Las raíces no reales pertenecen al conjunto de los números complejos, tema que se estudiará en el próximo año.

7

a )x3−8 x2+11 x+20=b )x3−x2−64 x+64=c ) x4+11 x3+41 x2+61 x+30=d )x4+6 x3+5 x2−24 x−36=

a )x3+x2+x−3=b )x3+5x2+5x+25=c ) x4+3 x2−4=d )x4−x3−3 x2+4 x−4=


desplaza en m/seg). ¿Con qué velocidad se desplaza una bala de 10 gramos de masa que en el momento de ser disparada tiene una energía cinética de 162 joules?

Rta: 180m/s.

28) En un péndulo, la relación entre su longitud L (en metros) y su período, que es el tiempo T (en segundos) que tarda en completar una oscilación, se puede aproximar mediante la siguiente

fórmula

L10

=( T2π )

2

. ¿Cuál es el período de un péndulo de 40 cm de longitud?

Rta.: 1,26 seg.

La multiplicidad de una raíz en un polinomio es la cantidad de veces que aparece, en su

expresión factorizada, el factor asociado a dicha raíz. Por ejemplo: Si P( x )=3⋅( x−1 )⋅( x+2)3⋅(x−5)2.

En P, 1 es raíz simple, -2 es raíz de multiplicidad 3 y 5 es raíz de multiplicidad 2. Si una raíz es de multiplicidad par, la gráfica de la función polinómica llega allí, roza y sigue para el mismo lado. Si una raíz es de multiplicidad impar, la gráfica cruza allí el eje.

29) Completar la siguiente tabla.

P factorizado Grado de P Raíces reales de P Multiplicidad de cada raíz

( x−3 )⋅( x+6 )

( x+5)⋅( x+5 )⋅(x−6 ) 3x=−5 2x=6 1

( x+4 )⋅( x+4 )⋅( x+4 )

( x−1)2⋅( x+1)3

x⋅( x+2 )5⋅(x−3)4

Rta: P factorizado Grado de P Raíces reales de P Multiplicidad de cada raíz

( x−3 )⋅( x+6 ) 2x=3 1x=−6 1

( x+5)⋅( x+5 )⋅(x−6 ) 3x=−5 2x=6 1

( x+4 )⋅( x+4 )⋅( x+4 ) 3 x=−4 3

8


( x−1)2⋅( x+1)3 5x=1 2x=−1 3

x⋅( x+2 )5⋅(x−3)4 10x=0 1x=−2 5x=3 4

El corolario del Teorema de Bolzano-Weierstrass, afirma que entre dos raíces consecutivas de una función de trazo continuo, la función no cambia de signo. O es positiva o es negativa.

30) De cada una de las siguientes funciones polinómicas, hallar las raíces reales y su multiplicidad, indicar las coordenadas de los puntos de contacto con los ejes, escribir los conjuntos de positividad y negatividad y representar gráficamente.

Rta: a)

b)

9

a ) f ( x )=2 x3−3 x2−9x+10b ) f ( x )=x4−25 x2

c ) f ( x )=19⋅(x2−9 )2

d ) f ( x )=x3+2x2−3x


c)

d)

31) Hallar la fórmula de una función polinómica de grado mínimo cuya ordenada al origen sea -23,

sus únicas raíces sean -3, -2, 4 y 8, y cuyo conjunto de positividad sea C+=(−3 ;−2)∪(8 ;+∞).

Rta: 23768

( x+3 ) (x+2 ) ( x−4 )2 ( x−8 )

10


32) Hallar una función polinómica de grado 6, tal que C−=(−∞ ;−4 )∪(2 ;3)∪(3 ;+∞)y que verifique

f (1)=12 . ¿Es única?

Rta: No es única, hay 3 posibles. Una de ellas: f ( x )=− 1

160( x+4 ) ( x−2 ) (x−3 )4

33) Hallar la fórmula factorizada, C0, C+ y C- del polinomio del gráfico que sigue. (gr[P(x)]=4).

Rta: C0={−1;1 ;2 } ;C+=(−∞ ;−1 )∪(2 ;+∞ ) ;C−=(−1 ;1 )∪(1 ;2 ); f ( x )=2 ( x+1 ) ( x−1 )2 (x−2 )

34) En un laboratorio se toma la temperatura de una cierta sustancia a partir de las 8 de la

mañana. Se obtiene la siguiente fórmula T ( t )=t⋅( t2−15t+50 )que permite calcular la temperatura, en grados, de esa sustancia en función del tiempo a partir del cual se comenzaron a realizar las mediciones:

a) ¿Cuál fue la temperatura a las 15:30 hs?b) Hallar el dominio de la función.c) Hallar los conjuntos de positividad y de negatividad.d) ¿Durante qué intervalo la temperatura fue bajo cero?e) Realizar una gráfica aproximada. (Considerar el punto P(0;0) como las 8 de la mañana).

Rta: a) A las 15:30 hs, la temperatura fue de -46,88°C.

b) Df =[0 ; t f ]; t f :tiempo en el que termina el experimento, t f∈ℜ+ .

c) C+=(0 ;5 )∪(10 ; t f ) ,C−=(5 ;10 )

d) (5;10)

e) Gráfico.

11


35) La altura sobre el nivel del mar a la que vuela un globo aerostático está dada por la función

f ( t )=t⋅( t2−10 t+25 ), donde t representa los días de viaje.a) ¿A qué altura estará el globo a los 3 días de salir?b) Trazar el gráfico aproximado de la altura del globo en función de los días de viaje teniendo en

cuenta que cuando aterriza no vuelve a salir.c) ¿Cuál es el dominio de la función?d) ¿Estuvo el globo en algún momento a 18 m sobre el nivel del mar? ¿Por qué?e) ¿Representa una parábola la gráfica de la función?

Rta: a) Altura= 12 m.

b)

c) Df =[ 0;5 ]d) Sí, porque f(2)=18.e) No, la función polinómica es de grado 3.

36) Se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba. La altura que alcanza la pelota, medida desde el suelo en metros, en función del tiempo, medido en segundos, se calcula a través de la

siguiente fórmula: h( t )=20 t−5t2.

a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en qué momento lo hace?b) ¿Después de cuánto tiempo cae la pelota al suelo?c) ¿Cómo se contestan las preguntas anteriores si la pelota se lanza a 25 m del suelo?

Rta: a) 20 m a los 2 seg., b) 4 seg. después de ser lanzada y c) analizar la función d ( t )=h( t )+25

37) Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba. Su posición con respecto al tiempo está dada

por la función f ( t )=−t 2+4 t+5 considerando el tiempo en segundos y la posición en metros.

12


a) Calcular la posición inicial de la piedra.b) Graficar la función posición en función del tiempo.c) Hallar la altura máxima que alcanza la piedra.d) Hallar el tiempo que tarda en alcanzar esa altura.e) Hallar el tiempo que tarda en caer al suelo.f) Hallar la velocidad media entre el tiempo en que alcanza altura máxima y un segundo antes.g) Hallar la velocidad media entre el tiempo en que alcanza altura máxima y un segundo después.

Interpretar el signo de la velocidad.

Rta: a ) f (0 )=5 , c )9m ,d )2 seg .e )5 seg , f )1 m

s,g )−1 m

s .

38) El siguiente gráfico corresponde a un polinomio de grado 4. Hallar su forma factorizada y los conjuntos de positividad y de negatividad, teniendo en cuenta que P(-1) = -8.

Rta: P( x )=2x (x+2 ) ( x−1 )2

13

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