vibration with single degree of freedom system sdof

INTRODUKSI

25/06/2013 1

Dr. Soeharsono FTI Universitas Trisakti

F164070142

GETARAN: Gerak osilasi di sekitar titik keseimbangan

Terminologi getaran

25/06/2013 Dr. Ir. Soeharsono FTI Universitas Trisakti

2

Parameter getar: massa (m), kekakuan (k) dan peredam (c)

m,c,kin out

Massa (m) dan kekakuan (k) merupakan potensi getar sedangkan

peredam c merupakan potensi dalam meredam getaran

Klasifikasi getaran


3

(1) Berdasarkan gangguannya

Self excited vibration

Getaran bebas

Getaran paksa

25/06/2013 Dr. Ir. Soeharsono FTI Universitas Trisakti 4

(2) Berdasarkan derajad kebebasannya (DOF) Derajad Kebebasan: Koordinat yang diperlukan untuk menyatakan

persamaan gerak dari getaran.

Getaran dengan Satu Derajad Kebebasan (SDOF)

Getaran dengan Dua Derajad Kebebasan (TDOF)


Getaran dengan Banyak Derajad Kebebasan

(3) Berdasarkan system getarnya

System

Deskrit


System

kontinyu


Model dinamis dari parameter getar

k

pegas

Simpangan (x)

Peredam viskus

kecepatan ( )

massa

Percepatan ( )


Gerak harmonis


A: amplitodo getar

T: waktu getar

f=1/T: Frekuensi getar (Hz)

Terminologi gerak harmonis


APLIKASI GETARAN


J

cs

k

Vo

J

tk

2. Getaran Bebas SDOF

tanpa peredaman

25/06/2013 14

Dr. Soeharsono

(FTI Universitas Trisakti F164070142)


Gambar 2-1

(b) (a)

(e)

(d) (c)

Getaran Bebas SDOF tanpa peredaman (1) System massa pegas

Dari DBB Gmbr 1c: (2-1)

Dari DBB Gmbr 1e: (2-2)

Dari pers.(1) dan (2): (2-3)


Pers. 3 merupakan persamaan gerak getaran bebas SDOF

tanpa peredaman, selanjutnya diubah menjadi:

Frekuensi pribadi dari sistem getar (rad/s)

(2-4)

Solusi persamaan 2-4:

(2-5)

Subsitusi (2-5) ke (2-4):

Sehingga:

Ingat:

(2-6)


Persamaan (6) menjadi:

(2-7)

(a) Kondisi pada t=o x(o)=Xo sedangkan v(o)=0

pada t=o

x(o)=Xo A

Gambar 2-2a

Gambar 2-2b


(b) Kondisi pada t=o x(o)=0 sedangkan v(o)=Vo

v(o)=Vo (2-9)

Gambar 2-3a

Gambar 2-3b


(c) Kondisi pada t=o x(0)=X0 sedangkan v(o)=Vo

T T

X

(2-10) x(o)=Xo V(0)


Studi kasus SP 2-1. Ayunan (bandul) matematis

Gambar SP 2-1

(a) (b) (c)


21

SP 2-2. Ayunan (bandul) fisis

J: Momen inersia massa

dari massa ayun

terhadap titik beratnya

(a) (b) Gambar SP 2-2


J: Momen inersia polar dari

massa silinder terhadap

sumbu polar

:Momen inersia polar dari

luasan batang silinder

terhadap sumbu polar

G: Modulus geser dari batang

silinder

P2-3. Getaran torsional

Gambar SP 2-3

(a) (b)


P2-4

Gambar SP 2-4 (a) (b)

Buat DBB getaran,

pers.gerak dan cari

frekuensi naturalnya

penyelesaian

Buat DBB getara, pers.

gerak dan cari frekuensi

naturalnya


P2-5


penyelesaian

Gambar SP 2-5

(a) (b)

P2-5

(c) (d)


Crane (Gambar SP 2-5a) k1 kekakan girder dan k2 kekakuan

kabel baja. Model getar ditunjukkan pada Gambar SP 2-5b. Buat

DBB getaran, pers. gerak dan cari frekuensi naturalnya

Penyelesaian

DBB getaran ditunjukkan pada Gambar SP 2-5c dan SP 2-5d.


SP 2-6 Sistem katrol

(a) (b)

Gambar SP 2-6

DBB Silnder: (a)

DBB massa: (b)

(a) dan (b)

Buatlah DBB,

pers gerak dan

carilan frekuensi

pribadinya


SP 2-7

S1 dipasang pada radius r

sedangkan S2 dipasang

pada radius 2r swhingga:

Buatlah DBB, pers gerak

dan carilan frekuensi

pribadinya

Gambar SP 2-7a

Gambar SP 2-7b


Keseimbangan gaya pada massa m2

Keseimbangan momen pada silinder terhadap O:

(a)

(b)

Subsitusi (a) ke (b)


(d)

(e)

Subsitusi (c) ke (e)


SP 2-8

(b)

Gambar SP 2-8

(a)

1

2



pribadinya . (K1=k,

k2=3k, k3=2k)

Penyelesaian

Jika pulley 2 turun dengan x,

maka pertambahan kabel

baja adalah 2x. x1 adalah

pertambahan panjang pegas

k1 sedangkan x2 adalah

pertambahan panjang pegas

k2


SP 2-9




pribadinya . K1=k,

k2=3k, k3=2k)

Penyelesaian Jika pulley 1 naik dengan x1,

pulley 2 turun dengan x2 dan

massa m turun dengan x, maka pertambahan panjang

kabel baja adalah:

x=2(x1+x2)


Keseimbangan gaya pada massa m:

Gambar SP 2-10

(a) (b)


SP 2-10

Buatlah DBB, pers gerak dan carilan frekuensi pribadinya


SP 2-11

Gambar SP 2-11a


Gambar SP 2-11a adalah model getar mesin pengayak. Jika

sistem bergetar dengan frekuensi , maka carilah koefisien

gesek antara roda dengan rangka pengayak.

Penyelesaian

Gambar SP 2-11b

25/06/2013 36

Dr. Soeharsono


3. Getaran Bebas SDOF

dengan Peredaman Viscous

Getaran Bebas SDOF dengan peredaman viscous

3-1

Pers (3-1) merupakan persamaan

gerak getaran SDOF dengan

peredaman Viscous

Digunakan notasi baru:

Frekuensi alami dari sistem getar

Faktor peredaman Viscous

Persamaan (1) diubah menjadi:


3-2

Gambar 3.1 (a) (b)


Solusi pers. (3-2):

Anggap

3-3

Subsitusi (3) ke (2):

Ada tiga kemungkinan harga yaitu:

: peredaman kuat (over damped)

: peredaman kritis (critical damped)

: peredaman lemah (under damped)


Kasus peredaman kuat ( )

A1 dan A2 dicari dari kondisi awal getaran (x(0) dan v(0))

3-4

Gambar 3.2


Peredaman kritis ( )

Peredaman lemah ( )

: Frekuensi peredaman

3-5

Gambar 3.3 (a) (b)


3-6

Gambar 3.4


Gambar 3.5

(a) (b)


Pengurangan logaritmis

Studi kasus

SP 3-1

Gambar sp 3-1a

a. Buatlah DBB gaya serta persamaan geraknya

b. Selidikilah apakah merupakan peredaman lemah, kritis atau peredaman

kuat

c. Cari dan gambarlah respose getarnya

m= 12.5 Kg

3-7


(a)

(b)

Dari DBB gaya:

(a)

(b)

Membandingkan (a) dan (b)

Peredaman lemah

(c)

Gambar sp 3-1b


Gambar sp 3-1c

(e)

Dari (e):

(d)

Dari (d):

Persamaan gerak menjadi:


SP 3-2

Carilah/buatlah:

a. DBB getaran

b. Pers.garak getaran

c. nilai

Gambar sp 3-2b

Gambar sp 3-2a


SP 3-3

a. Buat Dbb dan pers gerak

getaran

b.

Gambar SP 3-3a


-2.5

-1.5

-0.5

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

SP 3-4

Gambar SP 3.4

(a) (b)

T T

X1

X3 X2

Gambar SP 3-3b


Gambar SP 3-4 a adalah model suspensi kendaraan dalam skala laboratorium

dengan massa yang ditahan suspensi sebesar 2 kg. Uji getar ditunjukkan pada

Gamna3 SP 3-4 b. Dalam pengujian tercatat X1/X3 =13 dengan periode getar

T=1.28 s . Hitunglah faktor peredaman beserta k dan c

Gambar SP 3-4c

Penyelesaian


SP 3-5

S1 dipasang pada radius r

sedangkan S2 dipasang

pada radius 2r sehingga:

Buatlah:

a. Diagram benda bebas

b. Pers. Gerak getaran

Gambar SP 3-5b

Gambar SP 3-5a

Penyelesaian




Keseimbangan momen pada silinder


Gambar SP3-6a: kt adalah kekakuan torsional dan k adalah kekakuan linier. Buat

DBB getaran, pers.gerak, frekuensi natural dan peredaman kritis.

SP 3-6

Gambar SP 3-6

(a) (b)

Penyelesaian

DBB getaran ditunjukkan pada Gambar SP 3-6b


SP 3-7



a. Buat DBB getaran, pers. gerak, frekuensi pribadi dan ccr

b. Jika c/ccr=0.25, x(0)=0.005 m dan v(0)=0, carilah

response getar beserta grafik getarannya .

c. Kerjakan lagi soal (b) jika c/ccr=1 dan c/ccr =1.5

Penyelesaian

(a)


(b) Response getar untuk c/ccr=0.25

Dalam kondisi ini sistem getarnya adalah SDOF dengan peredaman lemah.

Didapatkan:

(c) Response getar untuk c/ccr=1

Dalam kondisi ini sistem getarnya adal SDOF peredaman kritis.


Didapatkan:

Response getar untuk c/ccr=1.5

Dalam kondisi ini sistem getarnya adalah SDOF dengan peredaman kuat.

Didapatkan:


SP 3-7

Gambar SP 3-7c

Gambar SP 3-8

x

(a) (b)


m=2 kg, k1=7=3200 N/m, k2=4000 N/m, c=72 N/(m/s)

a. Buatlah DBB getaran dan persamaan geraknya

b. Carilah rasio peredamannya.

c. Jika x(o)= 0 dan v(0)=2 m/s, carilah response getar dan gambar

grafiknya.

Penyelesaian

DBB getaran ditunjukkan pada Gambar SP 3-8b

(a)

(b)

Rasio peredaman


(c)

Gambar SP 3-8c


60

SP 3-8

Gambar SP 3-9

(a) (b)

a. Buat DBB getaran beserta persamaan geraknya

b. Carilah koefisien peredaman c agar terjadi peredaman kritis dan

gambarlah grafik getarannya.


a. DBB getaran ditunjukkan pada Gambar SP 3-9b

(a)

(b)

(c)

Subsitusi persamaan (b) Dan (c) ke persamaan a:

b.


Peredaman kritis:

25/06/2013 63

4 Getaran Paksa SDOF

Dengan eksitasi berupa fungsi harmonis

Dr. Soeharsono


Getaran Paksa SDOF Dengan eksitasi berupa fungsi harmonis

Ilustrasi

Model matematis


(4-1)


Pers (4-1) merupakan PD non homogen maka solusi umumnya (x)

berupa solusi homogen (xH) dan solusi non homogen (xs)

(4-2)

Solusi homogen (xh) diberikan menurut persamaan 3-6:

(4-3)

Solusi non homogen (xs)

Anggap:


(4-4)

(4-5)


Solusi non homogen dengan metode vektor (bilangan kompleks)

X adalah amplitudo response

getar dalam kondisi steady

(4-6)


(4-7)



Getaran SDOF akibat putaran massa tak imbang

(4-8)


Anggap:

(a)

Subsitusi pers. (a) ke pers. 4-8:



(4-9)


Getaran yang ditransmisikan ke pondasi

Keseimbangan gaya pada massa m

Gaya yang ditransmisikan ke pondasi:

(4-10)


Transmisibilitas gaya

(4-12)

(4-11)


Getaran akibat getaran rangka dasar/pondasi


(4-13)

(4-14)


(4-15)


Getaran SDOF akibat gangguan berupa fungsi

periodiks


0

1

0

1

0

1

0

1

4 Studi kasus getaran paksa SDOF


Dr. Soeharsono



Dari Gambar SP4-1, buatlah:

a. DBB gaya dan persamaan gerakn dari massa m.

b. Response getar dan amplitudo getar dari massa m

c. Gaya yang ditransmisikan ke pondasi

Studi kasus SP 4-1


Penyelesaian:

(a). Diagram benda bebas ditunjukkkan pada Gambar SP 4-1b.

Penjumlahan gaya pada massa:


(b) Response getar diberikan menurut persamaan 4-4 s/d 4-5 yaitu:

(c) Gaya ke pondasi didapat dengan menjumlahkan gaya yang diteruskan

ke pondasi (Gambar SP 4-1b.


Studi kasus SP 4-2

Buatlah:

a. DBB pada batang

b. Pers. Gerak gerakan batang

c. Amplitudo getar dan kondisi

agar sistem bergetar hebat

Solusi

a.

Ganmbar SP 4-2a

Ganmbar SP 4-2b


b. Keseimbangan momen terhadap tumpuan O:

c

. Response getar:

A adalah amplitudo getar

Bergetar hebat:


Studi kasus SP 4-3

Gambar SP 4-3

(a) (b)

Soal:

a. Buatlah DBB getaran dari system getar pada Gambar SP 4-3a

b. Buatlah persamaan gerak getarannya.


Penyelesaian

Subsitusi (c) ke (b):

b. Pers. Keseimbangan gaya pada massa m:

Pers. Keseimbangan momen pada pulley terhadap pusat O:

(a)

(c)

(b)



Studi kasus SP 4-4

a. Buatlah DBB Getaran beserta

pers.geraknya

b. Carilah response getar beserta

grafiknya.

Gambar SP 4-4a

Penyelesaian (a). DBB getaran

ditunjukkan pada

Gambar SP 4-4b


b.

Dengan memasukkan data numerik m, l,k dan Y:

(a)

Solusi dari persamaan (a):

Untuk pers. (a):


Studi kasus SP 4-5

Massa batang diabaikan

a. Buatlah DBB getaran

b. Buat persamaan geraknya

c. Carilah kondisi agar massa

m bergetar hebat

Penyelesaian


Gambar SP 4-5b

l

l l

x


Gambar SP 4-5b

b. Penjumlahan Momen dari gaya pada batang terhadap titik putar O:


Penjumlahan gaya pada massa m

(a)

(b)

Subsitusi (a) ke (b):

Bergetar hebat::


a. Buatlah DBB getaran dan buatlah pers. Geraknya

b. Carilah amplitudo getarnya

c. Cari kondisi agar massa m bergetar hebat serta konsisi agar getaran massa

m sinkron dengan getaran rangka dasar.

Studi kasus SP 4-6

Gambar SP 4-5a

Penyelesaian

a.

Gambar SP 4-5a


b.

Untuk maka persamaan (b) menjadi:

Sesuai dengan pers. 4-14 s/d 4-15, maka amplitudo getar X adalah:

DBB getaran pada massa m ditunjukkan pada Gamar SP 4-5b

Penjumlahan gaya pada massa m:


Kondisi agar massa m bergetar hebat:

Kondisi agar getaran massa m sinkron dengan getaran rangka dasar:

Studi kasus SP 4-7

Gambar SP 4-7 (a)

(b)


Model getar kendaraan penumpang ditunjukkan pada Gambar

SP 4-7a. Jalan raya dimodelkan sebagai fungsi harmonis

. Carilah kecepatan kendaraan v sehingga penumpang merasa

paling tidak nyaman.

Penyelesaian:


Studi kasus SP 4-8

Gambar SP 4-8a

Gambar 4-8a adalah model fisis dari suatu meja getar.

a. Buatlah pers gerak dan amplitudo getar dari meja getar

b. Amplitudo dari gaya getar pada peredam dan pada pegas k1

Penyelesaian:

diagram benda bebas pada meja getar ditunjukkan pada Gambar SP 4-8b


(b)

(c)


Gaya pada peredam:

Gaya pada pegas k1:


Carilah response getar massa M

Studi kasus SP 4-9

Gambar SP 4-9


Studi kasus SP 4-10

Gambar SP 4-10

(a)

(b)

(c)


m=1 kg, k=2500 n/m, ξ=0.3. gangguan f(t) ditunjukkan pada Gambar

SP 4-10c. Ekspansikan f(t) dalam deret Fourier selanjutnya carilah

response getarnya.

penyelesaian


k y(t)

x(t)

c

vibration with single degree of freedom system sdof

Documents

ayunan bandul fisis

getaran torsional gambar

vo t t x 2

peredaman 1 system massa

1 a b c 25062013 dr

getaran bebas sdof