Vibrasi kristal monoatomik[sunting | sunting sumber]

Terdapat dua mode vibrasi dari atom dalam kristal :

1. Vibrasi logitudinal merupakan mode vibrasi yang arah vibrasinya searah dengan arah

rambatan.

2. Vibrasi transversal merupakan mode vibrasi yang arah vibrasinya tegak lurus arah rambatan

Sebuah kristal kubus sederhana monoatomik [100], [110], dan [111] yang bervibrasi mempunyai

frekuensi gelombang elastis, ditinjau dari segi vektor gelombang akan merambat secara pararel dan

tegak lurus terhadap arah vektor gelombang. Setiap perpindahan bidang (S) dari posisi

keseimbangannya akan mempunyai vekktor gelombang dengan tiga bentuk mode: satu polarisasi

longitudinal dan dua polarisasi transversal.

Terdapat dua jenis fonon dalam kisi kristal:

1. optikal

2. akustik

Respon elastis yang terjadi merupakan fungsi linear dari gaya, yang ekivalen dengan energi, sebagai

fungsi kuadrat dari perpindahan di antara dua titik dalam kristal. Energi saat keseimbangan mencapai

minimum. Gaya pada bidang S disebabkan oleh perpindahan bidang S + P, sehingga terdapat selisih

Us+ p – Us. Interaksi antara dua tetangga terdekat (P = ± 1), sehingga total gaya :

Fs = C(Us+1-Us)+(Us-1–Us)........(5)

Pernyataan di atas identik dengan Hukum Law. Harga konstanta C akan berbeda untuk gelombang

longitudinal dan tranversal. Persamaan gerak untuk bidang s adalah :

M.d2Us/dt2=C(Us+1+Us-1-2Us).........................................................................(6)

Persamaan gerak di atas terbentuk pada waktu exp(-iωt)

d2Us/dt2= -ω2Us.............(7)

Sehingga persamaan(5)menjadi :

-Mω2Us = C(Us+1+Us-1-2Us)........(8)

Dengan asumsi gelombang merupakan gelombang berjalan:

Us±1= U exp(isKa)exp(±iKa.)............................(9)

Dimana :

a = jarak antara bidang

K = vektor gelombang

Subtitusi persamaan (6) dan (7) diperoleh:

-ω2MUexp(isKa) = Cu{exp[i(s+1)Ka]+exp[i(s-1)Ka]-2exp[isKa]} ω2M= -C[exp(iKa)+exp(-iKa)-

2................................................(10)

Karena, 2cosKa=exp(iKa)+exp(-iKa), maka diperoleh hubungan ω dan k:

ω2=(2C/M)(1-cosKa)..........................................................(11)

Batas daerah Brillouin pertama terletak pada K=±π/a, Kemiringan ω terhadap K adalah nol

pada zone batas,sehingga:

dω2/dK=(2C/M)sinKa = 0

Akan diperoleh:

Sin ka = sin(±π)= 0

Melalui identitas trigonometri persamaan (11) dapat ditulis menjadi :

ω2=(4C/M)sin21/2Ka.............................................(12)

Jika ω diturunkan terhadap akan diperoleh :

dω/dK = Vg.................................................................(13)

dimana : Vg = kecepatan kelompok

Vibrasi kristal sederhana diatomik[sunting | sunting sumber]

Penyebaran fonon untuk kristal sederhana diatomik atau lebih akan memberikan arah

penyebaran yang berbeda dibanding kristal monoatomik. Tiap polarisasi akan memberikan

arah hubungan penyebaran ω terhadap k dengan pola dua cabang : akustik dan optikal.

Sehingga akan diperoleh LA dan TA (longitudinal acoustic dan transversal acoustic),serta LO

dan TO (longitudinal optik dan tranversal optik)

Sel sederhana dengan P atom mempunyai 3P cabang dengan 3 cabang acoustic 3P-3

cabang optikal, jumlah cabang selanjutnya disebut derajat kebebasan. Untuk kristal kubus

diatomik dengan masa M1 dan M2 yang berbeda. Persamaan gerak dengan anggapan tiap

bidang berinteraksi hanya dengan atom tetangga terdekat dan konstanta gaya sama,

diperoleh :

M1 . d2Us/dt2 = C(sup>Vs< + Vs-1 - 2Us..............................................................(14)

M2 . d2Vs/dt2 = C(Us+1 + Us - 2Vs........................................................(14)

Persamaan di atas dapat diselesaikan dalam bentuk gelombang berjalan yang amplitudo

keduanya berskala U dan V :

Us = U exp(iska)exp(-iωt)...................................................(15) Vs = V exp(iska)exp(-

iωt)...................................................(15)

Dengan substitusi persamaan 14 dengan 15 akan diperoleh :

-ω2M1.U= CV[1 + exp(-iKa)- 2 CU............(16)

-ω2M2.V= CU[1 + exp(iKa+1)- 2 CV...........(16)

Persamaan di atas diselesaikan jika koefisien determinan yang tidak diketahui U dan V

direduksi sehingga akan diperoleh matriks : 2C – M1ω2 -C[1 + exp(-ika)] -C(1 + exp(ika) 2C–

M2ω2

Atau :

M1M2ω4 – 2c (M1 + M2)ω2 + 2C2(1–cosKa) = 0 ......................................................(17)

Jika Ka << 1 dan Ka = ±π pada daerah batas, sehingga :

cos Ka ≈ 1 - 1/2 K2a2

Akan diperoleh persamaan :

ω2≈ 2C(1/M1 + 1/M2) (cabang optik).................(18)

ω2≈ ((1/2)C/(M1 + M2))) K2a2 (cabang acoustic)..................................................................(19)