1

VIBRACIONES Y ONDAS

Contenidos (1) 1.- Movimiento Vibratorio Armónico Simple.

1.1. Ecuaciones del M.V.A.S.

1.2. Dinámica del M.V.A.S.

1.3. El péndulo simple.

1.4 . Energía de un oscilador armónico.

2.- Movimiento Ondulatorio.

2.1. Tipos de Ondas.

2.2. Variables características de una onda.

2.3 Ecuación de Onda Armónica Unidimensional.

3.- Energía de las Ondas.

3.1. Intensidad. Atenuación.

3.2. Absorción de la Energía. Ley de Lambert

Contenidos (2) 4.- Propagación de las Ondas.

4.1. Principio de Huygens.

4.2. Reflexión. Leyes de Snell.

4.3. Refracción. Leyes de Snell.

4.4. Difracción.

4.5. Polarización.

5.- Composición de Ondas.

5.1. Interferencia de ondas coherentes.

5.2. Ondas estacionarias.

6.- Ondas Sonoras. Sonoridad.

7.- Efecto Doppler.

4

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Un sistema constituye un oscilador armónico cuando oscila entre dos puntos A1 y A2 equidistantes, situados a ambos lados de la posición de equilibrio.

Al acercarse al punto de equilibrio, el cuerpo aumenta su velocidad, pasando por él, a la velocidad máxima.

Al alejarse del punto de equilibrio, va disminuyendo su velocidad, de forma que en los extremos se detiene y cambia el sentido del movimiento.

A

A

A 2

A 1

Posición de

equilibrio

5

P0

o A A

y1

P

P’

A

y= A sen ( t+ 0)

y = A sen( t+ 0)

Elongación y: Distancia en un instante dado al punto de equilibrio

Amplitud A: Elongación máxima. El valor de y varía entre A y +A

Fase ( t+ 0) Describe el movimiento angular del punto P

t1+ 0

Ecuación del Movimiento Vibratorio Armónico Simple.

Se obtiene a partir de la proyección de un movimiento circular sobre el eje y, y resulta:

Fase inicial 0: Determina la elongación inicial cuando t = 0 : x0 = A cos 0

6

El período es el tiempo que tarda en repetirse una posición en dicho movimiento. Se mide en segundos (s)

Los movimientos que se repiten en intervalos de tiempos iguales se llaman periódicos y el movimiento armónico es un movimiento periódico.

y = A sen t = A sen ( t + 2 ) 2

T

La frecuencia es la inversa del período e indica el número de veces que se repite una posición en cada segundo. Se mide en (s-1) o Hertzios (Hz)

2T

1

2

La frecuencia angular o pulsación ω se mide en (radianes/segundo)

VARIABLES CARACTERISTICAS DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

7

Derivando la ecuación general del m.v.a.s., y = A sen ( t + 0) resulta:

)(cos0

tAdt

dyv

)()(100

2222ttAv senAAsen

sen2 + cos2 = 1 cos ( t+ 0) = )(10

2tsen

Como y = A sen ( t+ 0) y2 = A2 sen 2 ( t+ 0)

yAv22

La velocidad es máxima cuando y = 0

Vmáx = A El columpio se detiene en los extremos. En

el centro alcanza su máxima velocidad

Velocidad en el M.V.A.S.

8

Aceleración en el M.V. A.S.

)(0

2

2

2

tsenAd

y

dt

dva

td

Como y = A sen ( t + 0)

a = 2 x

El valor máximo se alcanza en los extremos, en los que

x = A amáx = 2 A

La aceleración es proporcional a la elongación y, por tanto,

máxima en los extremos y nula en el centro

Derivando la ecuación de la velocidad: v = A cos ( t + 0) resulta:

9

Según la ley de Hooke: F = kx

Por la segunda ley de Newton: F = m a = - m 2 x k = - m 2

Si x = 0 F = 0 (no aparecen fuerzas)

Si el móvil se encuentra fuera de la posición de equilibrio, la fuerza que actúa sobre él está dirigida desde el punto en que se encuentra a la posición de equilibrio

La fuerza tiene el sentido contrario al desplazamiento

2T

m

k

m

k

2

1

T

1k

m2T

O

x

x

F

F

Dinámica del Movimiento Vibratorio Armónico Simple.

10

EL PÉNDULO SIMPLE COMO OSCILADOR ARMÓNICO

Consiste en un hilo inextensible de masa despreciable suspendida de un extremo; del otro pende un cuerpo de masa m considerado puntual

Eje Y: T – Py = m an

Eje X: Px = m ax – mg sen = m ax

Puede considerarse como un m.a.s. si la separación de A del punto de equilibrio es tan pequeña como para despreciar la curvatura de la trayectoria

ax = – g Para ángulos pequeños, sen =

Simplificando resulta: – g sen = ax

Sustituyendo el ángulo por el arco:

L = x xL

gax

xa 2

L

g2

g

L2T

m

y

P= mg

T

Py= mg cos

L

x

Px = – mg sen

11

Aplicando la definición de energía cinética:

tAmvmEc cos2222

2

1

2

1

Por las relaciones trigonométricas:

xAE mc

222

2

1

Si x = 0 energía cinética máxima

AE mmáxc

22

2

1

Am21 22

ω

Energía cinética de un oscilador armónico.

xAE Kc

22

2

1

12

Integrando entre dos posiciones A y B:

dW = F dy = ky dy

yyEEEWAB

Pkk

y

ydyykAP BP

B

A

22

2

1

2

1

Para cada posición, la Ep es de la forma:

2

2

1yKEP

Es máxima cuando y es máxima y se

cumple que sen ( t + 0) = 1

Am2

1E

22máx,P

Aωm21 22

Energía potencial de un oscilador armónico.

13

La energía total en cada instante es la suma de la energía cinética y potencial

Sacando factor común:

E = Ep + Ec )t(cosAm2

10

222)t(senAm

2

10

222

)t(sen)t(cosAm2

1E

002222

Simplificando:

Am2

1EEE

22cp

En el oscilador armónico, la

energía mecánica permanece

constante en cualquier instante.

)xA(ωm2

1E 222

c

22xωm

2

1Ep

Aω22

m2

1

Energía total de un oscilador armónico.

14

MOVIMIENTO ONDULATORIO

Al desplazar un trozo del muelle en sentido longitudinal y soltarlo, se produce una oscilación que se propaga a todas las partes del muelle comenzando a oscilar.

Si en una cuerda tensa horizontal, se hace vibrar uno de sus extremos, la altura de ese punto varía periódicamente

Un movimiento ondulatorio es la propagación de una perturbación a través del espacio. Se suele denominar onda a la propia perturbación.

El movimiento ondulatorio no transporta materia, lo que se propaga es la perturbación, luego hay transporte de energía.

Las partículas del medio alcanzadas por ésta, vibran alrededor de su posición de equilibrio.

15

-Ondas mecánicas o elásticas: transportan energía mecánica y necesitan un medio material para propagarse, no se pueden propagar en el vacío. Por ejemplo las ondas en una cuerda, las ondas en la superficie del agua, las ondas sonoras, las ondas sísmicas

-Ondas electromagnéticas : no necesitan medio material para propagarse, se pueden propagar en el vacío, transportan energía electromagnética y son la interferencia entre campos eléctricos y magnéticos variables, la variación de estos campos produce una emisión de energía que es la radiación electromagnética. Por ejemplo la luz

Según el tipo de energía que se propaga se clasifican en:

CLASIFICACIÓN DE LAS ONDAS

-Unidimensionales: en línea por ejemplo una cuerda o un muelle vibrando. -Bidimensionales en un plano, por ejemplo agua oscilando en la superficie de un estanque. -Tridimensionales en todo el espacio:el sonido o la luz.

Según sea la propagación se clasifican en:

•Planas si el frente de ondas es plano como las ondas que se producen al sacudir un mantel, •Circulares si es como las ondas en la superficie de un estanque Esféricas si el frente es esférico como la luz o el sonido.

Según la forma del frente de ondas se clasifican en:

Frentes de onda y rayos.

•Se denomina frente de onda al lugar geométrico de todos los puntos que son alcanzados por la perturbación en el mismo instante. Todos los puntos de un frente de onda están en el mismo estado de vibración (vibran en fase).

•La velocidad de propagación de la onda depende exclusivamente de las propiedades del medio en el que se propaga. Si las propiedades del medio son iguales en todas las direcciones (medios isótropos), la perturbación se propagará con la misma velocidad en todas las direcciones.

•Los rayos son líneas perpendiculares a los frentes de onda e indican la dirección y sentido de propagación de la onda.

Ondas bidimensionales

rayos

Ondas circulares

rayos

Ondas planas

Ondas tridimensionales

Ondas esféricas Ondas planas

18

Según la dirección de propagación se clasifican en:

TRANSVERSALES La dirección de propagación es perpendicular a la dirección en que tiene lugar la vibración.

La dirección de propagación coincide con la dirección de la vibración.

El sonido, las ondas sísmicas P y las que se propagan en un muelle, son ondas longitudinales.

LONGITUDINALES

Las ondas en una cuerda, las ondas electromagnéticas y las ondas sísmicas S, son ondas transversales

19

Características de una onda :

La longitud de onda ( ) es el intervalo de longitud entre dos puntos sucesivos que se encuentran en idéntico estado de perturbación

Tv

amplitud (A)

frecuencia ( ) que es la inversa del período

período (T)

velocidad de propagación (v)

longitud de onda ( )

VARIABLES CARACTERISTICAS DE LAS ONDAS

número de onda (k) k = 2π/λ

20

Ondas armónicas. Función de onda

y

o x

Una onda armónica es la propagación de una perturbación originada por un movimiento vibratorio armonico simple.

Los puntos que en un instante tiene elongación máxima se denominan vientres

Aquellos que tienen elongación nula se denominan nodos

A

-A

P

xp

nodo

vientre

La función de onda es la expresión matemática que permite obtener el estado de vibración de una partícula x del medio en cualquier instante t.

La elongación del punto x en cualquier instante t es: y (t) = A sen t

El tiempo que tarda la perturbación en llegar a un punto P del eje situado a una distancia x del foco O es t’ = x/ v

Luego el estado de vibración del punto x en el instante t la función de onda es: v

xtsenA)t,x(y

21

xktsenA)t,x(

Al término ( t – kx) se le denomina fase e la onda

•Están en fase los puntos con idéntico estado de perturbación. La distancia entre ellos es igual a un número entero de longitudes de onda o a un número par de semilongitudes de onda

Diferencias de fase:

•Están en oposición de fase los puntos que distan un número impar de semilongitudes de onda.

Ondas armónicas. Función de onda

x

T

tsenAtx 2),(

22

ENERGIA DE UNA ONDA

Una onda transporta energía desde el foco emisor al medio.

La intensidad de una onda en un punto es la energía que pasa en cada unidad de tiempo por la unidad de superficie situada perpendicularmente a la dirección de propagación

La intensidad es una potencia por unidad de superficie

La unidad de intensidad es W m-2

S

P

tS

EI

2

2

1kAEEE pc

22222 ..4.2

1ActeAmE

La energía de vibración es directamente proporcional al cuadrado de la frecuencia de oscilación y al cuadrado de la amplitud de la onda.

INTENSIDAD DE UNA ONDA

23

Absorción

Se llama amortiguación a la disminución de la amplitud de una onda. La pérdida de energía mecánica en el sistema va disminuyendo la amplitud de la oscilación hasta que se para.

Una onda se amortigua a medida que avanza, por dos causas:

1) la absorción del medio

2) la atenuación con la distancia

La disminución de la intensidad de la onda se traduce en una disminución de la amplitud que decae con la distancia recorrida en el medio absorbente.

El tipo de material con que se revisten las paredes de las salas de audición musical, condiciona la cantidad de sonido que se recibe, ya que absorben de diferente grado las ondas sonoras

siendo el coeficiente de absorción

AMORTIGUACION DE UNA ONDA

eIIx

0

Ley de Lambert

24

Atenuación

Cuando el foco es puntual se producen ondas esféricas cuyo frente se propaga en todas direcciones del espacio

Este fenómeno se produce debido a la conservación de energía ya que al avanzar la onda aumentan las partículas puestas en vibración por lo que la energía se reparte entre más partículas y les toca menos cantidad a cada una, lo que hace que la amplitud de la onda disminuya.

La intensidad de la onda esférica en el punto B1 que dista r1 del foco emisor F es:

r4

PI 2

11

En el punto B2 que dista r2 del foco emisor F

r4

PI

22

2 Por tanto, r

rII

2

1

2

2

2

1

F

B2

B1 r1

r2

25

Frente plano Frente esférico

Se denomina frente de onda a la superficie formada por todos los puntos que son alcanzados por una onda al mismo tiempo; en consecuencia, todos los puntos de un frente de onda tienen la misma fase

Principio de Huygens. Cada punto de un frente de ondas se comporta como un foco emisor de ondas secundarias cuya envolvente constituye el nuevo frente de ondas.

Las líneas perpendiculares al frente de onda en cada punto se llaman rayos

Frente de onda plano

Frente de onda esférico

Frente de onda plano

Propagación de las ondas (Principio de Huygens)

26

La reflexión de ondas es el cambio de la dirección de propagación al incidir la onda en el límite de separación de dos medios diferentes; después de la reflexión, la onda continua su propagación en el mismo medio

AB'B'Av

AB

v

'B'A

Los triángulos AA’B’ y AA’B son iguales, y también lo serán los ángulos y i r

Como tA’B’ = tAB, siendo v la velocidad

de propagación de las ondas, resulta:

A’

A

N

B’

B i r

A

A’

Propagación de las ondas (Reflexión)

1ª El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión

2ª La dirección de incidencia de la onda, la dirección de salida y la normal

a la superficie de separación de ambos medios están en un mismo plano

LEYES DE SNELL DE LA REFLEXIÓN

27

La refracción de ondas consiste en el cambio de dirección de propagación al pasar la onda de un medio a otro diferente.

12'B'AAB

v

'B'A

v

ABtt

rsen'ABAB

isen'AB'B'A

Refracción de un frente de ondas AA’

Medio 1

Medio 2

A

A’

i

i

r

B

B’ r

Propagación de las ondas (Refracción)

1ªLa dirección de incidencia de las ondas,

la dirección de salida y la normal a la

superficie de separación de ambos

medios están en un mismo plano.

2ª El ángulo de incidencia y el de refracción

están relacionados por la expresion:

21 v

rsen

v

isen

LEYES DE LA REFRACCIÓN

28

Difracción de ondas planas en la cubeta de ondas

Un observador percibe la luz de un foco sin verlo directamente, y oye el sonido de un altavoz que está detrás de un obstáculo. Este fenómeno se denomina difracción.

La difracción de ondas se produce cuando la onda se encuentra con un obstáculo cuyo tamaño es del mismo orden de magnitud que su longitud de onda. El obstáculo puede ser una rendija, un borde recto, un disco, una abertura, etc; un conjunto de rendijas con una anchura adecuada se llama red de difracción

Puede observarse la difracción de ondas en la superficie del agua si se disponen dos estanques comunicados por una abertura; al producir una perturbación en uno de ellos, se observa que al llegar a la abertura de separación se propaga por el segundo medio, de acuerdo con el principio de Huygens

La difracción de la luz no es apreciable a simple vista porque los obstáculos deben ser muy pequeños (del orden de la longitud de onda de la luz: 400-700 nm)

Propagación de las ondas (Difracción)

Si un fenómeno físico sufre difracción se puede asegurar que se propaga de modo ondulatorio.

• La magnitud del fenómeno de la difracción depende de la relación entre la longitud de onda y el tamaño del obstáculo o abertura.

• Si la longitud de onda es pequeña en relación con la abertura entonces la difracción es pequeña.

• En cambio si la longitud de onda tiene las dimensiones de la abertura, los efectos de la difracción son grandes.

<< tamaño abertura tamaño abertura

Propagación de las ondas (Difracción)

• En las ondas longitudinales la dirección de vibración coincide con la dirección de propagación, mientras que en las ondas transversales no sucede así, ya que la perturbación tiene lugar en un plano perpendicular a la dirección de propagación, pero en ese plano no está definida una dirección particular.

• Cuando la perturbación en una onda transversal es según una dirección bien definida la onda se dice que está polarizada.

• Si la dirección de vibración va variando de forma aleatoria de unos puntos a otros se dice que la onda no está polarizada.

X

Y Z

Propagación de las ondas (Polarización)

• En el caso de una onda transversal en una cuerda, una simple rendija vertical puede polarizar la onda, como se observa en la figura.

31

PRINCIPIO DE SUPERPOSICION DE ONDAS

Interferencia de ondas

Cuando dos o más ondas coinciden simultáneamente en un punto del medio en el que se propagan, la perturbación resultante en dicho punto es la suma de las perturbaciones que originarían en dicho punto cada una de las ondas.

y (x,t) = y1 (x,t) + y2 (x,t)

Como consecuencia de la interferencia se puede producir:

•Un reforzamiento de la amplitud de la onda resultante (interferencia constructiva)

•Una disminución de la amplitud de la onda (interferencia destructiva)

La amplitud resultante es máxima (Ar = 2A) y se produce una interferencia constructiva, en los puntos del medio en los que la diferencia de distancias a los focos es un número entero de

longitudes de onda o un número par de semilongitudes de onda

|x2 – x1| = n λ = 2n λ/2

Las dos ondas llegan en fase a estos puntos, llamados vientres.

La amplitud resultante es mínima (Ar = 0) y se produce una interferencia destructiva, en los puntos del medio en los que la diferencia de distancias a los focos es un número impar de semilongitudes de onda:

|x2 – x1| = (2n + 1) λ / 2

Las dos ondas llegan en oposición de fase a esos puntos, denominados nodos.

Interferencia de ondas armónicas. Condiciones de interferencia constructiva y destructiva.

Una onda estacionaria es el resultado de la interferencia de dos ondas armónicas, de la misma amplitud y frecuencia, que se propagan en la misma dirección pero en sentidos opuestos.

Ondas estacionarias

Distancia entre dos nodos = λ/2

Distancia entre dos vientres = λ/2

Distancia entre nodo y antinodo = λ/4

Tubo abierto por los dos extremos

L2

2L

1

1

L

L

2

2

3

L2

2

3L

3

3

La vibración del aire produce vientres en ambos extremos.

... 3, 2, 1,ncon n

2Lλ

2

λnL

n

n

Las frecuencias de los distintos modos de vibración, vienen dadas por:

... 3, 2, 1,ncon 2L

vnf

vf

p

n

p

... 3ff 2f2L

2vf

2L

vf

131

p

2

p

1

Tubo abierto por uno de los extremos

L4

4L

1

1

3

L4λ

4

λ3L

3

2

5

L4

4

5L

5

3

Ahora tenemos un nodo en el extremo cerrado y un antinodo en el abierto.

... 5 3, 1,ncon n

4Lλ

4

λnL

n

n

Las frecuencias de los distintos modos de vibración, vienen dadas por:

... 5, 3, 1,ncon 4L

vnf

vf

p

n

p

No existen los armónicos pares

El sonido es una onda mecánica longitudinal originada por la propagación en un medio (sólido, líquido o gaseoso) del movimiento vibratorio de un determinado objeto (foco emisor).

Ondas Sonoras

Cuando el sonido se propaga en el aire el movimiento de vibración de las partículas del medio origina una variación de la presión.

La perturbación que se propaga podemos considerarla como un desplazamiento de las partículas (onda de desplazamiento) o como una variación de la presión (onda de presión).

Ondas sonoras audibles:

Son las ondas cuyas frecuencias están comprendidas

entre 20 Hz y 20.000 Hz (intervalo de frecuencias que

generan una sensación sonora en el oído humano)

Ondas sonoras no audibles:

• Infrasonidos: ondas de f < 20 Hz

• Ultrasonidos: ondas de f > 20.000 Hz

En general, la velocidad del sonido es mayor en los sólidos que en los líquidos y en los líquidos mayor que en los gases y depende de la temperatura del medio. La velocidad del sonido en el aire (a 20 ºC) es 340 m/s En el aire (a 0 ºC) tiene una velocidad de 331 m/s En el agua es de 1.600 m/s En la madera es de 3.900 m/s En el acero es de 5.100 m/s

38

t

A

O

Permite al oído humano distinguir entre dos notas iguales emitidas por distintos instrumentos

Ningún foco emisor, ejecuta una vibración armónica pura, sino una vibración armónica de frecuencia determinada ( ) acompañada de un conjunto de vibraciones de frecuencias múltiplos de la fundamental, 2 , 3 , ... denominados armónicos

violín

clarinete

Timbre de las Ondas Sonoras

27 Hz 100 Hz 200 Hz 440 Hz 1000 Hz 3000 Hz

Tono de las Ondas Sonoras

A

t O

agudo

grave

Permite distinguir entre sonidos graves y agudos, y está relacionado con la frecuencia. Los de mayor frecuencia se perciben como agudos , y los de menor, como graves.

40

O

A

t

La intensidad sonora es la cantidad de sensación auditiva que produce un sonido, esta relacionada directamente con la amplitud de la onda.

Según su sonoridad, los sonidos se perciben como fuertes o débiles

A1

A2 fuerte

débil

Intensidad de las Ondas Sonoras

41

Intensidad sonora de algunos sonidos habituales

Intensidad sonora

en dB Fuente sonora

en W m 2

La intensidad sonora depende de la onda y de su frecuencia.

El nivel de intensidad sonora expresado en decibelios se define como:

Murmullo de hojas 10 10 20

Susurros a 5 m 10 9 30

Casa tranquila 10 8 40

Calle con tráfico intenso 10 5 70

Oficina tranquila 10 7 50

Voz humana a 1 m 10 6 60

Respiración normal 10 11 Apenas audible 10

Fábrica 10 4 80

Ferrocarril 10 2 100

Despegue de un reactor 102 140

Grandes altavoces a 2 m Umbral de dolor 10 120

10 12 0 Umbral de audición

Sensación Sonora. Sonoridad.

0

log10I

IDonde Io = 10-12 W/m2

(Umbral de audición)

El tono de un sonido emitido por una fuente que se aproxima al observador es más agudo que si la fuente se aleja.

Esto ocurre cuando un móvil que produce un sonido va en el sentido de las ondas sonoras, comprimiéndolas. Al ser menor la longitud de onda, el sonido es más agudo. Por la parte posterior quedan más separadas, longitud de onda más grande igual a sonido más grave.

El efecto Doppler.

Efecto Doppler. Ondas con

fuente de sonido en reposo.

Efecto Doppler. Ondas con

fuente de sonido en movimiento.

Efecto Doppler. Ondas con

fuente de sonido igualando a la velocidad del

sonido.

f ’ = f (v v0)/(v vf)

44

Frente de

choque cónico

vt

0 1

2

S0 S1 S2

vS t

SN

Cuando v excede la velocidad del sonido, se forma una onda de choque, como se muestra.

• Quizá oíste alguna vez de un avión que va mas deprisa que el sonido y “rompe la barrera del sonido”. Míralo