vibracao torcional-mestrado.ppt
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Vib
raesMec
nicas
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f.Dr.Newton
Soeiro
VIBRAES MECNICASSIS!EMAS C"N!#N$"S
VIBRAES !"RCI"NAIS
DE BARRAS
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VIBRAES !"RCI"NAIS
"n%e&
' o tor()e a*+ica%o,G ' o -%)+o %e cisa+/a-ento,J ' o -o-ento *o+ar %e 0rea %a se1o trans2ersa+,
Da -ecnica %os s+i%os3 te-os&
x
txJG
=
),(..
JJ .0 = Mo-ento *o+ar %e in'rcia %o ei4o*or )ni%a%e %e co-*ri-ento.
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5a. 6ei %e Newton&
=2
2 ),(.
t
txJ
dxt
txJdx
x.
),(..
2
2
0
=
+
-
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VIBRAES !"RCI"NAIS
dxt
tx
Jdxx
.),(
.. 2
2
0
=
+
2
2
0
),(.
t
txJ
x
=
2
2 ),(..
),(..
t
txJ
x
txJG
x
=
2
2
2
2 ),(.
),(
x
txG
t
tx
=
A e()a1o ' i%7ntica a e()a1o %a on%a e3*ortanto3 %e so+)1o con/eci%a.
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Caso o ei4o n1o *oss)a se1o reta circ)+ar3 o tor()e ' %a%o*or&
x
txG
= ),(
..
a constante torcional definida como o momentonecessrio para produzir uma rotao de um radiano em
um eixo de comprimento unitrio, dividido pelo mdulo de
cisalhamento.
2
2
2
2 ),(.
.
.),(
x
tx
J
G
t
tx
=
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Va+ores %e *ara Sees
!rans2ersais -ais Co-)ns
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As con%ies %e contorno -ais co-)ns s1o&
Extremidade fixa (deslocamento nulo):
0),( =tLExtremidade livre (torue nulo):
0),(.. =
x
tLG
Extremidade li!ada a uma mola ":
.
),(
.. kx
tL
G =
Extremidade li!ada a uma massa de momento polar de
inrcia i!ual a #$:
2
2
1
),(),(..
t
tLJ
x
tLG
=
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%alcule as tr&s primeiras fre'&ncias naturais torcionais da
arra mostrada na fi!ura aaixo, en!astada em x *, se um
disco de inrcia #$ $* "!.m+rd preso a extremidade do eixo
onde x -. ssuma ue - *,/ m0 # / m10 2 +,/ x $*34a e5 +6** "!m7.
AP6ICA8"& 9re(:7ncias Nat)rais !orcionais
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S"6$8"& euao da onda para o prolema torcional dada por
2
2
2
2 ),(.
),(
x
txG
t
tx
=
8azendo a separao de variveis, 9 (x,t) 9(x).(t), podemos
escrever a euao anterior como:
)().(".)().( tTxGtTx
=
2
)(
)("
)(
)(. k
x
x
tT
tT
G
==
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euao ue define os modos de virao , ento:
0)(.)(" 2 =+ xkx
%u;a soluo dada por:
)cos(.)(.)( kxBkxsenAx +=
plicando a condio de contorno no en!aste, ou se;a, 9(*) *
0
)0.cos(.)0.(.)0(
=+=
B
kBksenA
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plicando a condio de contorno na outra extremidade, ou se;a,em 9(-), temos:
2
2
1
),(),(..
t
tLJ
x
tLGJ
=
)().(.)().('.. 1 LtTJtTLGJ
=
==
Gk
tT
tT
L
L
J
GJ.
)(
)(
)(
)('.
. 2
1
JLkJL
.)(..)('
2
1
= como ).cos(..)(' LkAkL =
J
LksenAkJLkAk
.
).(...).cos(..
2
1
=
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JLksenAkJLkAk
.).(...).cos(..
2
1
=
kJ
JLk
.
.).tan(
1
=
-? para resolver a euao acima, e
lemrando ue a fre'&ncia natural @n ".c, encontra=se os
se!uintes valores para as fre'&ncias naturais:
Hz14501=Hz4821= Hz24101=
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6IS!A DE E;ERC#CI"
$) As mdulos de elasticidade e a densidade de um eixo dealumBnio de $ m valem E 6,$ x $*$*4a, 2 +,6 x $*$*4a e 5
+,6 x $*7 "!m7. %ompare as fre'&ncias naturais torcionais com
as fre'&ncias naturais lon!itudinais para um eixo semi=
en!astado.
+)