vibração fornada harmonicamente
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Vibração forçada harmonicamente com e sem amortecimento.TRANSCRIPT
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P r o f .
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u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
Vibrações
Livre Forçada
SemAmortecimento
Comamortecimento
SemAmortecimento
Comamortecimento
[ ] [ ] [ ] ( )t F xK xC x M =++ &&&
[ ] [ ] 0=+ xK x M &&
[ ] [ ] [ ] 0=++ xK xC x M &&& [ ] [ ] ( )t F xK x M =+&&
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE SEM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
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VibraVibraçção forão forççada:ada: Existe uma fonte externa adicionando energia ao sistema.
4.1 – Introdução
F(t)
t
( ) ( )φ +Ω= t senF t F o
Fo
F(t)
xx
mmkk
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x(t) harmônica monofreqüência
x(t) harmônica multifreqüência
x(t) aleatória
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Excitação & Resposta
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Excitação & Resposta
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Excitação & Resposta
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Excitação Harmônica
( ) ( )t it F eF t F t i ω ω ω sincos00 +== (4.1)
( ) t F t F cos0= ( ) t senF t F ω 0= (4.2)
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Excitação Harmônica
SISTEMAF(t) harmônica x(t) harmônica
ωωωω0 = ωωωωnRESSONÂNCIA
x(t) muito grande, podendoocasionar a falha do sistema
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Excitação Harmônica
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Exemplos de Excitação Harmônica
Máquina rotativa desbalanceada : se o automóvel trepida, a carroceria vibra
ou o volante oscila, ele pode estar desbalanceado.
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Exemplos de Excitação Harmônica
Automóvel deslocando-se sobre estrada de perfil senoidal
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4.2 – Modelagem
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4.2 – Modelagem
)(t F kx xm =+&&
(4.3)
∑ = amF rr
t F kx xm o cos=+&& (4.4)
t m
F x
m
k x o ω cos=+&& (4.5)
m
k n =ω (4.6)
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4.2 – Modelagem
t At sen A x nnh cos21 +=
(4.9)
(4.8)0=+ xm
k
x&&
SoluSoluçção Geral do Movimento:ão Geral do Movimento: ph x x x += (4.7)
SoluSoluçção da equaão da equaççãoão homgêneahomgênea SoluSoluçção da equaão da equaçção particularão particular
EquaEquaçção Homogênea:ão Homogênea:
A soluA soluççãoão éé aamesma do caso demesma do caso de
um movimento livreum movimento livre
não amortecidonão amortecido
SoluSoluççãoãoEquaEquaççãoão
Homogênea:Homogênea:
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Tende a desaparecer quando
há amortecimento;
representa a resposta transienteRepresenta a
resposta permanente
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4.2 – Modelagem
ph x x x +=
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Fim da resposta transiente eFim da resposta transiente eininí í cio da resposta permanentecio da resposta permanente
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4.2 – Modelagem
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4.2 – Modelagem
SoluSoluççãoão
EquaEquaççãoão
Particular:Particular:
( ) ( ) t F t Ak t Am o ω ω ω ω coscoscos2 =+−
t A x ω cos= t sen A x −=& t A x ω ω cos2−=&&
t F kx xm o cos=+&&
t F t mk A o ω ω ω coscos2 =−
2mk
F A o
−= (4.10)
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4.2 – Modelagem
ph x x x +=
t At sen A x nnh cos21 +=
t A x p cos=
2mk
F A o
−=
t mk
F t At sen A x onn ω ω ω coscos 221
−++= (4.11)
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0)0( x x =
0)0( x x && =CondiCondiçções iniciaisões iniciais
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4.2 – Modelagem
t mk
F t At sen A x o
nn ω ω ω coscos221
−++=
t senmk
F t sen At A x onnnn ω
ω ω ω ω ω
221 cos−
−−=&
220ω mk
F A x o
−+=
10 A x n=&
202ω mk
F x A o
−−= (4.12)
n
x A
ω
01
&= (4.13)
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4.2 – Modelagem
t mk
F t At sen A x o
nn ω ω
ω ω coscos221
−++=
n
x A
ω 0
1
&=
202ω mk
F x A o
−−=
t mk
F t mk
F xt sen x x on
on
n
ω ω
ω ω
ω ω
coscos 2200
−+
−−+= & (4.14)
t m
F
t m
F
xt sen x
xn
o
n
n
o
n
n
ω ω ω
ω ω ω
ω ω
coscos22220
0
−+
−−+=
&(4.15)
÷÷÷÷÷÷÷÷ mm ÷÷÷÷÷÷÷÷ mm
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4.2 – Modelagem
MMááxima Amplitude da Equaxima Amplitude da Equaçção Particular:ão Particular:
k ÷2mk
F A o
−=
21 ω k
mk
F
A
o
−
=
2
1
−
=
n
o
k F
A
ω
ω
2
1
−
=
n
o A
ω
ω
δ
2
1
1
−
=
n
o
A
ω
ω δ (4.16)
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4.2 – Modelagem
Fator de Amplificação, Fator de Ampliação ou Coeficiente de Amplitude:
oδ
A Representa a razão entre a amplitude dinâmica
e a amplitude estática do movimento.
o
AFA
δ = (4.17)
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4.2 – Modelagem
Relação de Freqüências:n
r ω
= (4.18)
2
1
1
−
=
n
FA
ω ω (4.19)
21
1
r FA
−= (4.20)
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Resposta em Freqüência:
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4.2 – Modelagem
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Caso 1:Caso 1: 0 < r < 1 21
1
r
AFA
o −==
δ
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Análise da Resposta em Freqüência
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Caso 2:Caso 2: r > 1 ⇒ 1 - r2
é (-) ⇒ A é (-)
onde a amplitude A é redefinida como:
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Resposta permanente: t At x p cos)( −= (4.21)
k m
F A
−
=20
ω (4.22)
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Resposta na Ressonância
ARESSONÂNCI⇒= nω ω
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Caso 3:Caso 3: r = 1 ⇒ A → ∞
t tsent x nno ω
δ
2)( = (4.23)
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Determine a resposta do sistema considerando os seguintes dados:m = 10 kg, k =1000 N/m, x 0 = 0,v 0 = 0.2 m/s, F = 23 N, ω = 2ωn
rad/s202 == n
EXEMPLO 4.1
N/kg3.2kg10
N23===
m
F f o
o
m02.0rad/s10
m/s2.00 ==n
x
ω
&rad/s10
kg10
N/m1000===
m
k nω
t m
F
t m
F
xt sen x
xn
o
nn
o
nn
ω ω ω
ω ω ω
ω ω
coscos22220
0
−+
−−+=
&
(4.15)
m108s / rad)20(10
N/kg3.2 3222222
0 −×−=−
=−ω ω n
f
t mF
t mF
t sen x
xn
o
n
n
o
n
n
ω ω ω
ω ω ω
ω ω
coscos2222
0
−+
−−=
&
t xt xt sen x 20cos10810cos1081002.0 33 −− +−=
Ã
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P r o
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Fenômeno do Batimento
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Ocorre quando a excitação harmônica tem uma freqüência muito próxima
(mas não exatamente igual) à freqüência natural do sistema.
t mk
F
t mk
F
xt sen
x
x o
no
n
nω ω ω ω ω ω coscos 220
0
−+
−−+=
&
(4.14)
Consideremos a solução geral
Sejam ambas as C. I. nulas (sistema inicialmente em repouso):
t mk
F t
mk
F x o
no ω
ω ω
ω coscos
22 −+
−−= (4.24)
ÃO O O O O44
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RelaRelaçções fundamentaisões fundamentais
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Fenômeno do Batimento
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t
mk
F t
mk
F x o
no ω
ω
ω
ω
coscos22
−
+
−
−= (4.24)
)cos(cos /
)cos(cos)(22
02
0 t t mF
t t
mk
F t x n
n
n ω ω
ω ω
ω ω
ω
−
−
=−
−
=
(4.25)
)22
2( / )(22
0 t tsensenmF
t x nn
n ω ω
−+
−= (4.26)
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Fenômeno do Batimento
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE SEM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
Consideremos ω um pouquinho menor do que ωn:
ε 2=−n (4.27)
onde ε é uma quantidade positiva muito pequena
Por outro lado, se ωn ≈ ω, então
2≈+ n (4.28)
Multiplicando as eqs. (4.27) e (4.28):
εω ω ω 422 =−n (4.29)
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P r o
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t senmF
.)2
/ ( 0 ε
ε
Fenômeno do Batimento
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE SEM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
Substituindo as eqs. (4.27), (4.28) e (4.29) na eq. (4.26):
t sent senmF
t x ω ε εω
).2
/ ()( 0= (4.30)
Como ε << ω, sen εt varia lentamente, sendo seu período 2π / ε grande.
Então, a eq. (4.30) pode ser vista como representando uma vibração de
período 2π / ω e amplitude variável
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O senωt desenvolve vários ciclos, enquanto que o sen εt desenvolve apenas umciclo:
Fenômeno do Batimento
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t sent senmF t x ω ε ε
).2
/ ()( 0= (4.30)
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Fenômeno do Batimento
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Período do Batimento:
Freqüência do Batimento:ω ω
π
ε
τ
−
==
n
b
2
2
2(4.31)
ω ω ω
τ
π ω −=⇒= nb
b
b
2(4.32)
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE SEM AMORTECIMENTO 1 GDL44
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 37/161
37
P r o
f . A l e x a n d r e E d u a r d o –
C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e
c â n i c a s
Exemplo de BatimentoExemplo de Batimento:: duas máquinas de mesma rpm nominal,
montados sobre a mesma base.
Fenômeno do Batimento
Ç O O Ç O C S O C O G4 4
EXEMPLO 4.2
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 38/161
38
P r o
f . A l e x a n d r e E d u a r d o –
C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e
c â n i c a s
Uma bomba alternativa com 150 lbf de peso está montada no meio de uma placa
de aço de 0.5 in de espessura, 20 in de largura e 100 in de comprimento, presa por
braçadeiras ao longo de duas bordas.
Durante a operação da bomba, a placa é sujeita a uma força harmônica
F(t) = 50cos62.83 t [Lbf] .
Determine a amplitude de vibração da bomba.
EXEMPLO 4.2
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 39/161
39
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o –
C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e
c â n i c a s
Solução:
A placa pode ser modelada como uma viga fixa nas duas extremidades:
( )( ) 433
in0.2083
12
5.020
12
=== bh
I
Rigidez devido a flexão:
( )( )( )
( ) in
lbf 1200
100
2083.010301921923
6
3 ===
x
L
EI k
EXEMPLO 4.2
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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40
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o –
C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e
c â n i c a s
Solução:
Amplitude da resposta harmônica:Amplitude da resposta harmônica:
in0.1504
srad 62.832
ftin12
*sft
32.2
lbf 150inlbf 1200
lbf 50
2
2
−=
−
= A
2mk
F A o
−=
g
PmgmP =→= .
O sinal negativo de A, indica que a resposta x(t) está defasada da excitação F(t) .
EXEMPLO 4.3
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 41/161
41
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o –
C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
Deduzir a equação do movimento e achar a resposta permanente do
sistema da figura para o movimento de rotação em torno do ponto O,
para os seguintes dados: M = 50 kg, m = 10 kg, k1 = k2 = 5000 N/m, a = 0,25 m,
b = 0,5 m, l = 1 m, F0 = 500 N e ω = 1000 rpm.
EXEMPLO 4.3
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 42/161
42
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o –
C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
Solução:
EXEMPLO 4.3
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 43/161
43
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o –
C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
Solução:
EquaEquaçção de Movimento para movimento rotacional ao redor do pontoão de Movimento para movimento rotacional ao redor do ponto OO::
( ) ( ) ( )( )lt senF lF bk ak Ml J oo ω θ θ ..2221
2 ==+++ &&
SoluSoluçção Particular:ão Particular: t sen p θ θ .=
EXEMPLO 4.3
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 44/161
44
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o –
C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
SoluSoluçção Equaão Equaçção Particular:ão Particular:
t sen p θ θ .= t p ω ω θ θ cos.=& t senω ω θ θ 2.−=&&
( ) ( ) ( )( )lt senF lF bk ak Ml J oo ω θ θ ..2221
2 ==+++ &&
( )( ) ( )( ) ( )( )lt senF t senbk ak t sen Ml J oo ω ω θ ω ω θ ..... 22
21
22 =++−+
( ) lF bk ak Ml J oo ... 22
21
222 =++−− θ ω ω
EXEMPLO 4.3
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 45/161
45
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o –
C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
22
21
222 .. . bk ak Ml J lF
o
o
++−−= ω ω θ
( ) 22
21
22
.
bk ak Ml J
lF
o
o
++−−=
ω θ
( ) ( ) 2222
21
.
ω θ
Ml J bk ak
lF
o
o
+−+=
( ) ( )
t sen
Ml J bk ak
lF
o
o p ω
ω
θ ..
222
2
2
1 +−+
=
Solução:
EXEMPLO 4.3
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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46
P r
o f . A l e x a n d r e E d u a r d o –
C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
( ) ( ) t sen
Ml J bk ak
lF t t sen
o
onn ω
ω ω θ ω θ θ .
.cos
2222
21
21+−+
++=
ph θ θ θ +=
Solução:
t t sen nnh θ θ θ cos21 +=
( ) ( ) t sen
Ml J bk ak lF
o
o p ω
ω θ ..
2222
21 +−+
=
EXEMPLO 4.3
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 47/161
47
P r
o f . A l e x a n d r e E d u a r d o –
C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s 0)0( θ θ =CondiCondiçções iniciaisões iniciais
( ) ( ) t sen
Ml J bk ak
lF t t sen
o
onn ω
ω ω θ ω θ θ .
.cos
2222
21
21+−+
++=
Solução:
20 θ θ =
EXEMPLO 4.3
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 48/161
48
P r
o f . A l e x a n d r e E d u a r d o –
C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
0)0( θ θ && =CondiCondiçções iniciaisões iniciais
( ) ( ) t
Ml J bk ak lF t sent
o
onn ω ω
ω ω ωθ ω ωθ θ cos..cos
2222
21
21+−+
+−=&
( ) ( )ω
ωθ θ 22
2
2
1
10
.
Ml J bk ak
lF
o
o
+−+
+=&
( ) ( ) ω
ω ωθ θ .
.222
22
110
Ml J bk ak
lF
o
o
+−++=&
Solução:
EXEMPLO 4.3
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 49/161
49
P r
o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
e c â n i c a s
Solução:
( ) ( )ω θ ωθ
222
21
01
.
Ml J bk ak
lF
o
o
+−++−=− &
( ) ( )[ ]ω ω ω θ θ 22
22
1
01 . Ml J bk ak lF
o
o
+−++−=−
&
( ) ( )[ ]2222
21
01
.
ω ω ω
θ θ
Ml J bk ak
lF
o
o
+−+−=
&
EXEMPLO 4.3
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 50/161
50
P r
o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
e c â n i c a s
Solução:
( ) ( ) t sen
Ml J bk ak
lF t t sen
o
onn ω
ω ω θ ω θ θ .
.cos
2222
21
21+−+
++=
( ) ( )[ ]2222
21
01
.
ω ω ω
θ θ
Ml J bk ak
lF
o
o
+−+−=
&
( ) ( )[ ]
( ) ( ) t sen
Ml J bk ak
lF t
t sen Ml J bk ak
lF
o
on
no
o
ω ω
ω θ
ω ω ω ω
θ
θ
..
cos
.
.
2222
21
0
2222
21
0
+−++
++−+−=
&
&
EXEMPLO 4.3
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 51/161
51
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
e c â n i c a s
Solução:
( )( )
232
kg.m33.331103
1
3
1
=== ml J o
( ) ( )[ ]
( ) ( ) t sen
Ml J bk ak
lF t
t sen Ml J bk ak
lF
o
o
n
n
o
o
ω ω ω θ
ω ω ω ω
θ θ
.
.
cos
..
2222210
2222
21
0
+−++
++−+
−=
&
&
M = 50 kg, m = 10 kg, k1 = k2 = 5000 N/m, a = 0,25 m,
b = 0,5 m, l = 1 m, F0 = 500 N e ω = 1000 rpm.
rad/s104.6760
2.1000 ==
π ω
EXEMPLO 4.4
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 52/161
52
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
e c â n i c a s
Um automóvel desloca-se sobre uma
pista ondulada com velocidadeh
km x 80=&
(a)(a) Determine a amplitude da vibração
forçada do automóvel de peso P, cuja
suspensão cede de uma altura h sob o peso
do carro, em condição estática. A pista tem
um perfil harmônico
=
L
xsen y
o
..
π δ
Adote os seguintes valores :
δo = 0.03 m; L = 12 m; h = 0.1 m;
(b)(b) Qual a velocidade do automóvel para
qual haverá ressonância na vibração
vertical ?
EXEMPLO 4.4
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 53/161
53
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
e c â n i c a s
Solução:
ok P δ = ok mg δ =o
g
m
k
δ =
rad/s9.90410.081.9
====o
n
g
m
k
δ ω
Hz1.582
904.9
2 ===
π π n
n f
FrequenciaFrequencia natural de vibranatural de vibraççãoão
EXEMPLO 4.4
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 54/161
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
e c â n i c a s
Comprimento de ondaComprimento de onda
Solução:
f T
1=
t
S V
∆
∆=
T V
λ = f v .λ =
Distância percorrida durante 1 oscilação completa!
f T
..22
π ω == λ π ω
v..2= vv
L
v.262.0.
12. ===
π π ω
s
rad 5.822
km1
m1000
3600s
1h
h
km 800.262.262.0 =
== vω
FrequenciaFrequencia de excitade excitaççãoão
EXEMPLO 4.4
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 55/161
55
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
e c â n i c a s
Solução:
(a) Amplitude de vibra(a) Amplitude de vibraçção forão forççadaada
2
1
−
=
n
o A
ω
ω
δ m A 0458.0
904.9822.5
1
03.02 =
−
=
(b) Velocidade cr(b) Velocidade crí í tica do automtica do automóóvelvel
Igualando as frequencias natural e forçada ⇒ ωωωωωωωωnn == ωωωωωωωω
nv =*262.0 904.9*262.0 =vh
km 136
s
m 37.8vc ==
EXEMPLO 4.5
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 56/161
56
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
e c â n i c a s
O conjunto motor-bomba de peso de 2500 N está apoiado sobre quatro molas
de constante de 3800 N/m cada uma. O motor só pode se mover na vertical, e a
amplitude de vibração é de 0.020 m a uma velocidade de 600 rpm.
Sabendo-se que a massa desbalanceada é 6 kg , determinar a distância entre
seu eixo de massa e o eixo de giro.
EXEMPLO 4.5
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 57/161
57
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o
– C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
e c â n i c a s
N2500P =
m
N
152004xm
N
3800k eq ==
kg254.84m =
Solução:
FrequenciaFrequencia natural de vibranatural de vibraççãoão
s
rad 7.72
84.254
15200===
m
k eq
nω
FrequenciaFrequencia de excitade excitaççãoão
s
rad 62.83
rot1
rad2π
60s
min
min
rot600 ==ω
EXEMPLO 4.5
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 58/161
58
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o
– C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
e c â n i c a s
Solução:
Amplitude de vibraAmplitude de vibraçção forão forççadaada
22
11
−
=
−
=
nn
o k
P
A
ω
ω
ω
ω
δ m
N 15200keq =
s
rad 7.72=
n
ω
s
rad 62.83=ω
N2500P =
m xk
P
A
n
322 1053.2
24.65
164.0
72.783.62
1
152002500
1
−−=−=
−
=
−
=
ω
ω
EXEMPLO 4.5
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 59/161
59
P
r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o
– C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
e c â n i c a s
Solução:
2.. ω emF c = 2.ω m
F e c= ( )
mm13m0.01383.62.6
3042 ===e
( ) N304020.015200. =
== m
m
N xk F eq
EXEMPLO 4.6
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 60/161
60
P
r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o
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e c â n i c a s
O diagrama esquemático de uma turbina de
água tipo Francis está mostrado na Fig. , na
qual a água flui de A para as lâminas B e caem
no conduto C.
O rotor tem uma massa de 250 kg e um
desbalanceamento (me) de 5 kg.mm.
A folga radial entre o rotor e o estator é 5
mm. A turbina opera na faixa de velocidades
entre 600 e 6000 rpm. Considerar 0.8 da
velocidade ω1 e 1.2 de ω2.
O eixo de aço que suporta o rotor pode ser
assumido como engastado nos mancais (livre
para girar).
Determinar o diâmetro do eixo de forma que o
rotor não entre em contato com o estator em
todas as velocidades de operação da turbina.
Assumir que o amortecimento é pequeno.
m2l
/ 2.07x10E
rpm6000n
rpm600n
m0.005mm5A
kg.m0.005kg.mm5
kg250m
211
2
1
=
=
=
=
==
==
=
⊗
m N
me
Dados
EXEMPLO 4.6
S l ã
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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61
P
r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o
– C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
e c â n i c a s
Solução:
2
2
ω ω
mk me A−
=
+= m A
me
k
2
ω
3
4
3
4
3
4
3147.0
64
3643
3
l
Ed
l
Ed
l
d E
l
EI k ==
== π
π
+= m
A
me
l
Ed 23
4
147.0 ω
+= m
A
me
E
ld
147.0
. 324 ω
+= m
A
me
E
ld
324 .
791.6 ω
Amplitude de vibraAmplitude de vibraçção forão forççadaada
Rigidez dinâmicaRigidez dinâmica
Diâmetro do EixoDiâmetro do Eixo
Rigidez flexionalRigidez flexional
EXEMPLO 4.6
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 62/161
62
P
r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o
– C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
e c â n i c a s
Solução:
Faixa de velocidades de operaFaixa de velocidades de operaçção da turbinaão da turbina
21 ≤≤
s
rad 62.83
s
rad 20π
60
2π x600
60
2π xω 11 ==== n
s
rad 628.31
s
rad 200π
60
2π x6000
60
2π xω 22 ==== n
21 2.18.0 ≤≤
Faixa de velocidades de operaFaixa de velocidades de operaçção da turbina considerando uma margem deão da turbina considerando uma margem de
seguranseguranççaa
97.75326.50 ≤≤
31.62883.62 ≤≤
EXEMPLO 4.6
k250m
⊗ Dados
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 63/161
63
P
r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o
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e c â n i c a s
Solução:
Diâmetro do EixoDiâmetro do Eixo
+= m
A
me
E
ld
324 .
791.6 ω 97.75326.50 ≤≤
m2l / 2.07x10E
rpm6000n
rpm600n
m0.005mm5Akg.m0.005kg.mm5
kg250m
211
2
1
==
=
=
====
=
m N
me
4
321
1
.791.6
+= m
A
me
E
ld
ω
4
322
2
.791.6
+= m
A
me
E
ld
ω
( ) ( )4
11
32
1 250005.0
005.0
1007.2
2.26.50791.6
+=
xd m0.1131 =d
( ) ( )4
11
32
2 250005.0
005.0
1007.2
2.97.753791.6
+=
xd m0.4402 =d
EXEMPLO 4.6
S l ã
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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64
P
r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o
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e c â n i c a s
Solução:
+= m
A
mek
2ω
FrequenciaFrequencia naturalnatural
k k
m
k
n
0632.0250
===ω
11 0632.0 k n =ω
22 0632.0 k n =ω
211 251ω =k
222 251ω =k
srad 50.3226.50*2510632.02510632.0 22
11 === ω ω n
97.75326.50 ≤≤
s
rad 754.9397.753*2510632.02510632.0 22
22 === ω ω n
+= m
A
me
E
ld
324 .
791.6 ω
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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65
P
r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o
– C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
e c â n i c a s
Vibrações
Livre Forçada
Sem
Amortecimento
Com
amortecimento
Sem
Amortecimento
Com
amortecimento
[ ] [ ] [ ] ( )t F xK xC x M =++ &&&
[ ] [ ] 0=+ xK x M &&
[ ] [ ] [ ] 0=++ xK xC x M &&&
[ ] [ ] ( )t F xK x M =+&&
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4 3 C d d
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66
P
r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o
– C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
e c â n i c a s
ModeloModelo comcom ExcitaExcitaççãoão porpor
desbalanceamentodesbalanceamento dede massamassa
ModeloModelo comcom ExcitaExcitaççãoão ExternaExterna
Transmissibilidade de Força
ModeloModelo comcom ExcitaExcitaççãoão de Basede Base
Transmissibilidade de Deslocamento
4.3 – Casos a serem estudados
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4 3 1 M d l E it ã E t
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67
P
r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o
– C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
e c â n i c a s
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
Sistema em OperaSistema em Operaççãoão Gerar ForGerar Forççasas Produzir VibraProduzir Vibraççõesões
IndesejIndesejááveisveis
Podem ser reduzidasPodem ser reduzidasProjetar os suportesProjetar os suportesReduzir seus efeitosReduzir seus efeitos
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4 3 1 Modelo com Excitação Externa
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68
P
r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o
– C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
e c â n i c a s
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4 3 1 Modelo com Excitação Externa
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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69
P
r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o
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e c â n i c a s
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4 3 1 Modelo com Excitação Externa
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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70
P
r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o
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e c â n i c a s
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
∑ = amF rr
t senF xckx xm o+−−= &&& t senF kx xc xm o=++ &&& (4.33)
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4 3 1 – Modelo com Excitação Externa
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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P
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e c â n i c a s
t senm
F x
m
k x
m
c x o ω =++ &&&
(4.34)
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
mk
c
m
c
c
c
ncrit .2..2 ===ω
ζ (3.149)
Da Equação 3.149:
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4 3 1 – Modelo com Excitação Externa
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P
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e c â n i c a s
t senm
F x x x o
nn ω ω ζω =++ 22 &&& (4.35)
4.3.1 Modelo com Excitação Externa
m
k n =ω
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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73
P
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4.3.1 Modelo com Excitação Externa
SoluSoluçção Geral do Movimento:ão Geral do Movimento:
ph x x x += (4.36)
SoluSoluçção da equaão da equaççãoão homgêneahomgênea SoluSoluçção da equaão da equaçção particular:ão particular:
parte do movimento que continuaparte do movimento que continua
enquanto a forenquanto a forçça F estiver presentea F estiver presente
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
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74
P
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– C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
4.3.1 Modelo com Excitação Externa
EquaEquaçção Homogênea:ão Homogênea:
A soluA soluççãoão éé a mesma do caso de um movimento livre amortecido.a mesma do caso de um movimento livre amortecido.
SoluSoluçção Equaão EquaççãoãoHomogênea:Homogênea:
+=
−−−
−+−
− t t
t
h
nnn beaee x
ω ζ ζ ω ζ ζ ζω
11 22
(4.38)
( )θ ω ζω += −t sen Ae x a
t
hn .. (4.39)
0=++ kx xc xm &&& (4.37)
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
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75
P
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ç
SoluSoluçção Particular:ão Particular:
t Bt Asen x p cos+=
t Bsent A x p −= cos&
t Bt Asen x p ω ω ω ω cos
22
−−=&&
t senF kx xc xm o=++ &&&
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4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
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76
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ç
SoluSoluçção Particular:ão Particular:
t senF t kBt kAsent Bsenct Act Bmt Asenm o ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω =++−+−− coscoscos22
( ) ( ) ( ) t senF t Bt Asenk t Bsent Act Bt Asenm o ω ω ω ω ω ω ω ω ω =++−++− coscoscos
2
0≠t sen 0cos ≠t
( ) ( ) t senF t BmkB Act senkA Bc Am o ω ω ω ω ω ω ω =−+++−− cos22
( ) oF kA Bc Am =+−− ω ω 2
02 =−+ BmkB Ac ω ω
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4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
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77
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o
– C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
SoluSoluçção Particular:ão Particular:
( ) oF kA Bc Am =+−− ω ω 2
02 =−+ BmkB Ac ω ω
( ) oF Bc Amk =−− ω ω 2
( ) 02 =−+ Bmk Ac ω ω
=
−
−−
02
2oF
B
A
mk c
cmk
ω ω
ω ω
222
2
)()(
)(
ω ω
ω
cmk
mk F A o
+−
−= (4.40)
( )
( ) ( )
2222
22
...2 ω ω ζ ω ω
ω ω
nn
on F A
+−
−=
222 )()( ω ω cmk
F c B o
+−
−= (4.41)( ) ( )2222 ...2
....2
ω ω ζ ω ω
ω ζ
nn
on F B
+−=
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
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78
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222
2
)()(
)(
ω ω
ω
cmk
mk F
A o
+−
−
=222 )()( ω ω
ω
cmk
cF B o
+−
−=
Substituir
t Bt Asen x p cos+=
( )222
2
)()( cos)(ω ω
ω ω ω ω cmk
t ct senmk F x o p+−−−= (4.42)
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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79
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– C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
( )222
2
222 )()(
cos)(
)()( ω ω
ω ω ω ω
ω ω cmk
t ct senmk
cmk
F x o
p
+−
−−
+−=
)()()( 222
φ ω ω ω
−+−
= t sencmk
F x o
p (4.43)
222
1
2
1
2
)(
tan
r
r
mk
c
n
n
−
=
−
=
−
= ζ
ω ω
ω
ω ζ
ω
ω φ (4.44) Ângulo de Fase:Ângulo de Fase:
( )222
2
)()(
cos)(
ω ω
ω ω ω ω
cmk
t ct senmk F x o p
+−
−−=
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
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80
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– C u r s o d e V i b r a ç õ e s
M e c â n i c a s
SoluSoluçção Geral do Movimento:ão Geral do Movimento:
ph x x x +=
( ) )()()(
..222
φ ω ω ω
θ ω ζω −+−
++= −t sen
cmk
F t sen Ae x o
a
t n
(4.45)
( )θ ω ζω += −t sen Ae x a
t
hn ..
)()()( 222
φ ω ω ω
−+−
= t sencmk
F x o
p
Resposta Transiente Resposta em regime permanente
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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81
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s
M e c â n i c a s
( ) )()()(
..222
φ ω ω ω
θ ω ζω −+−
++= −t sen
cmk
F t sen Ae x o
a
t n
(4.45)
Resposta Transiente Resposta em regime permanente
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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82
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M e c â n i c a s
SoluSoluçção Geral do Movimento:ão Geral do Movimento:
( ) )(.. φ ω θ ω ζω −++= −t sen At sen Ae x oa
t n (4.47)
A e θ ⇒ Constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
São diferentes daquelas obtidas para o caso de resposta livre.São diferentes daquelas obtidas para o caso de resposta livre.
222
0
)()( ω ω cmk
F A
o +−=
(4.48)
( ) )()()(
..222
φ ω ω ω
θ ω ζω −+−
++= −t sen
cmk
F t sen Ae x o
a
t n
(4.46)
Resposta Transiente Resposta em regime permanente
Ao
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83
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M e c â n i c a s
Condições iniciais:
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
( ) )(.. φ ω θ ω ζω −++= −t sen At sen Ae x oa
t n
θ
φ
sen
A x A
o cos0 −= (4.49)
( )( )
+−+
−=φ ζω φ ω ζω
φ ω θ cos
cos00
0
non
oa
sen A x x
A xarctg
&(4.50)
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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84
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s
M e c â n i c a s
Portanto, a resposta permanente tem a mesma forma da excitação (função harmônica),
tem a mesma freqüência ω, porém está atrasada em relação à excitação de um ângulo de
fase φ.
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4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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85
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M e c â n i c a s
222
0
)()( ω ω cmk
F Ao
+−=
(4.48)
222
0
)()( ω ω cmk
F Ao
+−= k ÷
222
0
)1()( ω ω ck k
mk k
k
F
Ao
+−
=
22
22
0
)2.
1(1 ζω ω ω ω
ω n
nn
o
mm
k
F
A
+
−
=
n2mω
c=ζ ζ n2mω=c
mk nn .m
k 22 ω ω =→=
Usando resposta de vibraUsando resposta de vibraçção forão forççada para medir as propriedades de um sistemaada para medir as propriedades de um sistema
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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86
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M e c â n i c a s
22
2
0
)2.
1(1 ζω ω ω ω
ω n
nn
o
mm
k F
A
+
−
=222
0
21
+
−
=
nn
ok
F
A
ω
ω ζ
ω
ω
222
21
+
−
=
nn
oo A
ω ω ζ
ω ω
δ
(4.51)
Usando resposta de vibraUsando resposta de vibraçção forão forççada para medir as propriedades de um sistema.ada para medir as propriedades de um sistema.
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
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M e c â n i c a s
222
21
+
−
=
nn
oo A
ω
ω ζ
ω
ω
δ
(4.51)
222
21
1
+
−
=
nn
o
o A
ω
ω ζ
ω
ω δ (4.52)
Usando resposta de vibraUsando resposta de vibraçção forão forççada para medir as propriedades de um sistema.ada para medir as propriedades de um sistema.
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
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88
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o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s
M e c â n i c a s
o
oδA
Representa a razão entre a amplitude dinâmica e a
amplitude estática do movimento.
Fator de Amplificação, Fator de Ampliação ou Coeficiente de Amplitude:
o
o AFA
δ = (4.53)
222
21
1
+
−
=
nn
FA
ω
ω ζ
ω
ω (4.54)
Usando resposta de vibraUsando resposta de vibraçção forão forççada para medir as propriedades de um sistema.ada para medir as propriedades de um sistema.
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4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
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o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s
M e c â n i c a s
Fator de Amplificação: n
r ω
= (4.55)
[ ] [ ]222
..21
1
r r
FA
ζ +−
= (4.54) 2
1
..2tan
r
r
−
= ζ
φ
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s
M e c â n i c a s
222
21
+
−
=
nn
oo A
ω
ω ζ
ω
ω
δ
(4.51)
DeterminaDeterminaçção daão da frequênciafrequência dede ressonânicaressonânica ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ Amplitude da respostaAmplitude da resposta éé mmááximaxima
AAoo será a amplitude máxima se o denominador é um mínimo.
( ) ( )( ) 021 222 =+− r r dr
d ζ (4.56)
( ) 0421 2224 =+−+ r r r d
d ζ (4.57)
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4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
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o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s
M e c â n i c a s
( ) 0421 2224 =+−+ r r r dr
d ζ
0844 23 =+− r r r ζ ( ) 0844 22 =+− ζ r r
02122
=+− ζ r
SoluSoluçção:ão:0844 22 =+− ζ r
0=r
22
21 ζ −=r
221 ζ −=r (4.58)
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4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
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o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s
M e c â n i c a s
221 ζ −=r (4.58) Para:
( ) ( ) ( ) ( )222222 2121 r r
k
F
r r
A
o
oo
ζ ζ
δ
+−=
+−=
22 1212 ζ ζ ζ ζ
δ
−=
−= k
F
A
o
o MAX
(4.59)
212
1
ζ ζ −= MAX FA
(4.60) ζ 2
1)( =resFA (4.61)
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4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s
M e c â n i c a s
Fator de Qualidade (ou Agudeza de Ressonância)
( ) aressonanciFAQ = (4.62)
ζ 2
1=Q (4.63)
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4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
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P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d
o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s
M e c â n i c a s
Para pequenos ζ (< 0.2)
Largura da banda ∆ω∆ω∆ω∆ω
Fator de Qualidade
122
1
ω ω ζ −== n
Q (4.64)
nζω ω ω ω 212 =−=∆ (4.65)
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.1 – Modelo com Excitação Externa
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 95/161
95
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d
o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s
M e c â n i c a s
Frequências da Banda
−+=
QQn 2
1
4
11
21 ω ω (4.66)
++=
QQn
2
1
4
11
22 ω ω (4.67)
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 96/161
96
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d
o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s
M e c â n i c a s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 97/161
97
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d
o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s
M e c â n i c a s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 98/161
98
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d
o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s
M e c â n i c a s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 99/161
99
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d
o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s
M e c â n i c a s
EXEMPLO 4.3
EXEMPLO 4.7
Um compressor a ar com massa 100 kg é montado sobre uma base elástica.
Foi observado que quando uma amplitude de força harmônica de 100 N é
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 100/161
100
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d
o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s
M e c â n i c a s
q q p ç
aplicada no compressor, o máximo deslocamento foi de 5 mm obtido a uma
rotação de 300 rpm.
Determine as constantes de rigidez e amortecimento da base elástica.
EXEMPLO 4.3
EXEMPLO 4.7
Solução:
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 101/161
101
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d
o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s
M e c â n i c a s
rad/s10π60
300x2πrpm300n
N;100F
kg;100mm;0.005mm5
:
max
o
==→=
=
===
⊗
ω
o A
DADOS
EXEMPLO 4.3
EXEMPLO 4.7
METODOLOGIA PARA SOLUMETODOLOGIA PARA SOLUÇÇÃO:ÃO:
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 102/161
102
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
212 ζ ζ −=
k
F
A
o
MAX
(4.59)
m
k n =ω
(4.6)
n
r ω
=
(4.55)
mk
c
m
c
n .2..2 ==ω
ζ
(3.149)
221 ζ −=r (4.58)
EXEMPLO 4.3
EXEMPLO 4.7
Solução:
212 ζ ζ −= k
F
A
o
MAX
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 103/161
103
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
ζζ
k k
m
k n 01.0
100 ===ω
n
r ω
= 2
21 ζ −=r
22101.0
ζ ω
−=k
22101.0
10ζ
π −=
k
22101.0
4.31ζ −=
k
22101.0
96.985ζ −=
k 202.001.0
96.985
ζ −=k
EXEMPLO 4.3
EXEMPLO 4.7
Solução:
N;100F
kg;100m
m;0.005mm5
:
o =
=
==
⊗
o A
DADOS
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 104/161
104
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
212 ζ ζ −= k
F
A
o
MAX
202.001.0
96.985
ζ −=k
2
2
12
00201.0985100
005.0ζ ζ
ζ
−
−= ( )2
2
00201.0
12
985
100005.0
ζ
ζ ζ
−
−=
( )2
2
00201.0
12
985
100005.0
ζ
ζ ζ
−
−=
( )2
2
00201.0
12030.0005.0
ζ
ζ ζ
−
−= 0998.0=ζ
rad/s10π60
300x2πrpm300n max ==→= ω
EXEMPLO 4.3
EXEMPLO 4.7
Solução:
m;0.005mm5
:
==
⊗
o A
DADOS
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 105/161
105
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
rad/s10π60
300x2π
rpm300n
N;100F
kg;100m
max
o
==→=
=
=
ω
mk c
mc
cc
ncrit .2..2 ===ω
ζ (3.149)
nm
c
ω ζ
..2= N.s/m633.396..2. == nmc ζ
EXEMPLO 4.3
EXEMPLO 4.8
Determinar a resposta total de um sistema com 1GDL, com os seguintes
parâmetros::⊗ Dados
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 106/161
106
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
0x m;0.01xiniciaisCondições
N/m4000k N.s/m;20c kg;10m
:
00 ==→
===
⊗
&
Dados
a) Uma força F(t) = Fo.cosωt atua no sistema com Fo = 100 N e ω = 10 rad/s;
b) Vibração livre com F(t) = 0 .
EXEMPLO 4.3
EXEMPLO 4.8
SoluSoluçção Geral do Movimento:ão Geral do Movimento:
( ) )(.. φ ω θ ω ζω −++= −t sen
F t sen Ae x o
a
t n
(4 46)
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 107/161
107
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
( ) )()()( 222
φω ω +− cmk
a (4.46)
Resposta Transiente Resposta em regime permanente
( ) )(.. φ ω θ ω ζω −++= −t sen At sen Ae x oa
t n (4.47)
[ ] [ ]222222
0
.21)()( r r cmk
F A oo
ζ
δ
ω ω +−=
+−=
(4.48)
θ
φ
sen
A x
A o cos0 −
= (4.49)
( )( )
+−+
−=
φ ζω φ ω ζω
φ ω θ
cos
cos
00
0
non
oa
sen A x x
A xarctg
&(4.50)
21
..2tan
r
r
−=
ζ φ (4.57)
EXEMPLO 4.3
EXEMPLO 4.8
0x m;0.01xiniciaisCondições
N/m4000k N.s/m;20c kg;10m
:
00 ==→
===
⊗
&
Dados
Solução:
FrequênciaFrequência NaturalNatural
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 108/161
108
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
Hz3.18rad/s20kg10
N/m4000==== m
k nω
FrequênciaFrequência NaturalNatural
Deslocamento EstDeslocamento Estááticotico
m0.025N/m4000
N100===
k
F ooδ
Razão deRazão de FrequênciasFrequências
5.020
10===
n
r ω
EXEMPLO 4.3
EXEMPLO 4.8
a) Uma força F(t) = Fo.cosωt atua no sistema com Fo = 100 N e ω = 10 rad/s;
b) Vib ã li F(t) 0
Solução:
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 109/161
109
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r
d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
0x m;0.01xiniciaisCondições
N/m4000k N.s/m;20c kg;10m
:
00 ==→
===
⊗
&
Dados
b) Vibração livre com F(t) = 0 .
( )( )05.0
1040002
20
22 =====
mk
c
m
c
c
c
ncrit ω ζ
Fator de AmortecimentoFator de Amortecimento
FrequênciaFrequência amortecidaamortecida
( ) Hz3.18rad/s19.9720.05.01.1 22 ==−=−= na ω ζ ω
EXEMPLO 4.3
EXEMPLO 4.8
0x m;0.01xiniciaisCondições
N/m4000k N.s/m;20c kg;10m
:
00 ==→
===
⊗
&
DadosSolução:
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 110/161
110
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r
d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e
s M e c â n i c a s
Amplitude da Resposta em Regime PermanenteAmplitude da Resposta em Regime Permanente
[ ] [ ]222222
0
.21)()( r r cmk
F A o
o
ζ ω ω +−=
+−=
(4.48)
[ ] [ ] ( )[ ] ( )( )[ ]m0.025
5.005.0205.01
025.0
.21 222222=
+−
=+−
=r r
A oo
ζ
δ
21
..2tan
r
r
−=
ζ φ (4.57)
Ângulo de FaseÂngulo de Fase( )( )
( )o81.3
5.01
5.005.0.2tan
2 =→
−= φ φ
EXEMPLO 4.3
EXEMPLO 4.8
Solução:
m;0.01x:
0 =⊗ Dados Ângulo da Resposta TransienteÂngulo da Resposta Transiente
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 111/161
111
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r
d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e
s M e c â n i c a s
m-0.00234A
rad/s;10
rad/s;20ω
0.05;
;3.81 m;0.033A
rad/s;19.97
0x
n
o
o
0
0
=
=
=
=
=
=
=
=
ω
ζ
φ
ω a
&
( )
( )
+−+
−=
φ ζω φ ω ζω
φ ω θ
cos
cos
00
0
non
oa
sen A x x
A xarctg
&
(4.50)
( )( )( )( ) ( )( )( )
o
senarctg 96.83
81.3cos2005.081.310025.001.02005.0
81.3cos025.001.097.19=
+−
−=θ
o96.83=θ
θ
φ
sen
A x A o cos0 −= (4.49)
Amplitude MAmplitude Mááxima da Resposta Transientexima da Resposta Transiente
m0.023096.83
81.3cos033.001.0−=
−=
sen A
EXEMPLO 4.3
EXEMPLO 4.8
S lS l ã G l d M i tã G l d M i t
0
0
rad/s;19.97
0x
m;0.01x
:
=
=
=
⊗
ω a
Dados
&
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 112/161
112
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r
d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e
s M e c â n i c a s
SoluSoluçção Geral do Movimento:ão Geral do Movimento:
( ) )(.. φ ω θ ω ζω −++= −t sen At sen Ae x oa
t n (4.47)
( ) )81.310(025.096.8397.19.0230.0 20*05.0 oot t sent sene x −++−= −
o
n
o
o
84.39
m-0.00234A
rad/s;10
rad/s;20ω 0.05;
;3.81
m;0.033A
=
=
=
==
=
=
θ
ω
ζ
φ
Um sistema massa-mola-amortecedor está sujeito a uma força harmônica.
Determinar a amplitude de movimento e o ângulo de fase.
EXEMPLO 4.9
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 113/161
113
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r
d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e
s M e c â n i c a s
400sen30tF
N/m;10000k
N.s/m;150c
kg;5m
:
=
=
=
=
⊗ Dados
EXEMPLO 4.9
Solução:
Amplitude da Resposta em Regime PermanenteAmplitude da Resposta em Regime Permanente:
400sen30tF
N/m;10000k
N.s/m;150c
kg;5m
:
=
=
=
=
⊗ Dados
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 114/161
114
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r
d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e
s M e c â n i c a s
[ ] [ ]222222
0
.21)()( r r cmk
F A o
o
ζ
δ
ω ω +−=
+−=
(4.48)
Hz7.16rad/s72.44kg5
N/m10000====
m
k nω FrequênciaFrequência Natural:Natural:
Razão deRazão de FrequênciasFrequências:: 6708.072.44
30===
n
r ω
( )( )3354.0
5100002
150
22 =====
mk
c
m
c
c
c
ncrit ω ζ Fator de Amortecimento:Fator de Amortecimento:
EXEMPLO 4.9
Solução:
N/10000k
N.s/m;150ckg;5m
:
==
⊗ Dados
Deslocamento EstDeslocamento Estááticotico
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 115/161
115
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e
s M e c â n i c a s
400sen30tF
N/m;10000k
=
=
[ ] [ ] ( )[ ] ( )( )[ ]m0.0563
6708.03354.026708.01
04.0
.21 222222=
+−
=+−
=r r
A oo
ζ
m0.04N/m10000
N400===
k
F ooδ
21
..2tan
r
r
−=
ζ φ (4.57)
Ângulo de FaseÂngulo de Fase
( )( ) oarctg
r
r 29.39
6708.01
6708.03354.02
1
..2tan
22 =
−=→
−= φ
ζ φ
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
Isolamento de vibraIsolamento de vibraçções:ões:
4.3.2 – Modelo com Excitação de Base
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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116
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e
s M e c â n i c a s
Isolamento de vibraIsolamento de vibraçções:ões:
1) Isolar a m1) Isolar a mááquina de deslocamentos provenientes da base (fundaquina de deslocamentos provenientes da base (fundaçção)ão)
devidosdevidos ààs vibras vibraçções provocadas por equipamentos situados nasões provocadas por equipamentos situados nas
vizinhanvizinhançças.as.
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.2 – Modelo com Excitação de Base : Transmissibilidade de Deslocamento
Supondo x > y:
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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117
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s M e c â n i c a s
2a Lei de Newton:
xm y xk y xc &&&& =−−−− )()(
( ) y xk − ( ) y xc && −
0)()( =−+−+ y xk y xc xm &&&&
(4.67)ky yckx xc xm +=++ &&&&
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
(4 67)kyyckxxcxm +++ &&&&
4.3.2 – Modelo com Excitação de Base : Transmissibilidade de Deslocamento
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e
s M e c â n i c a s
t Ysen y b= t Y y bb cos=&
(4.67)ky yckx xc xm +=++
Movimento da base:
Substituindo na EDOL:
t Yksent Yckx xc xm bbb +=++ cos&&& (4.68)
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.2 – Modelo com Excitação de Base : Transmissibilidade de Deslocamento
t Yksent Yckx xc xm +=++ cos&&& (4.68)
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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119
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e
s M e c â n i c a s
Trigonometria:
Associando P = ωt e Q = α
Multiplicando por A:
PsenQQsenPQPsen coscos)( −=− (4.69)
t sent sent sen α coscos)( −=− (4.70)
t Asent Asent Asen coscos)( −=− (4.71)
Yc AsenYk A == - e cos (4.72)
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.2 – Modelo com Excitação de Base : Transmissibilidade de Deslocamento
t Yksent Yckx xc xm +=++ cos&&& (4.68)
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 120/161
120
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e
s M e c â n i c a s
[ ] ( ) ( )[ ]t senk t cY t sen At Asen +=+− coscoscos
[ ] ( ) ( )[ ][ ]22 coscoscos t senk t cY t sen At Asen ω ω ω ω α ω α +=+−
[ ] ( ) ( ) t senk t cY t sen At sen A ω ω ω ω α ω α 22222222222 coscoscos +=+
[ ] ( ) ( )2222222 cos k cY Asen A +=+ ω α α
t Asent Asent Asen coscos)( −=− (4.71)
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.2 – Modelo com Excitação de Base : Transmissibilidade de Deslocamento
[ ] ( ) ( )2222222 cos k cY Asen A +=+ ω α α
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 121/161
121
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e
s M e c â n i c a s
22
)( ω ck Y A += (4.72)
k
csentgα −== cos (4.73)
−= k
carctg
ω α (4.74)
s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.2 – Modelo com Excitação de Base : Transmissibilidade de Deslocamento
Logo, a EDOL pode ser rescrita como:
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 122/161
122
P r o f . A l e x a n d r e E d u a
r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e
s M e c â n i c a s
( )−=++ t Asenkx xc xm &&& (4.75)
ou:
( )α ω ω −+=++ t senck Y kx xc xm
222&&& (4.76)
Conclusão:
o deslocamento harmônico da base
equivale à excitação de uma força harmônica de amplitude A,
atuando diretamente sobre a massa m.
s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.2 – Modelo com Excitação de Base : Transmissibilidade de Deslocamento
Algumas RelaAlgumas Relaçções Importantes:ões Importantes:
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 123/161
123
P r o f . A l e x a n d r e E d u a
r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
( ) ( ) ( )α ω ω ζ ω ω ω ζω −+=++ t senmmY x x x nnnn
22222 2.2 &&&
nm
c
ω ζ 2=
m
k
n
=ω
ζ nmc 2=
mk n .2ω =
( )α ω ω ζ ω ω ω ζω −+=++ t senY x x x nnnn
22242 42 &&& (4.77)
s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.2 – Modelo com Excitação de Base : Transmissibilidade de Deslocamento
A resposta em regime permanente da massa pode ser expressa:
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 124/161
124
P r o f . A l e x a n d r e E d u a
r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a s
( ))(
)()(
1222
22
α φ ω
ω ω
ω −−
+−
+= t sen
cmk
ck Y x p (4.78)
2221 1
2
1
2
)(tan
r
r
mk
c
n
n
−=
−
=−
= ζ
ω
ω
ω ω ζ
ω
ω φ (4.79)
Ângulo de Fase:Ângulo de Fase:
Que é semelhante a expressão 4.43.
)()()( 222 φ ω ω ω −+−= t sencmk
F
x
o
p (4.43)
a s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.2 – Modelo com Excitação de Base : Transmissibilidade de Deslocamento
Pode-se colocar a eq. (4.78) numa forma mais conveniente:
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 125/161
125
P r o f . A l e x a n d r e E d u a
r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a
( ))(
)()(1222
22
α φ ω ω ω
ω −−
+−
+= t sen
cmk
ck Y x p (4.78)
)()( φ −= t Xsent x p (4.79)
onde:( )
( ) ( )222
22
ω ω
ω
cmk
ck Y X
+−
+= (4.80)
φ φ += 1 (4.81)
a s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.2 – Modelo com Excitação de Base : Transmissibilidade de Deslocamento
onde φ1 e α são dados, respectivamente, por
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 126/161
126
P r o f . A l e x a n d r e E d u a
r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a
após simplificações
−
=21
ω
ω φ
mk
carctg (4.82)
−=
k
carctg
ω α (4.83)
)
)2(1
2(
22
3
r r
r arctg
ζ
ζ φ
+−
= (4.84)
a s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.2 – Modelo com Excitação de Base : Transmissibilidade de Deslocamento
Usando:nm
c
ω ζ
2= ζ nmc 2=
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 127/161
127
P r o f . A l e x a n d r e E d u a
r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a
( ) ( )( ) ( )2222
222
22
ω ω ζ ω ω ω ω ζ ω
nn
nn
mmmmm
Y X
+−+=
mk
n =ω mk n .2
ω =
222
2
)2()1(
)2(1
r r
r
Y
X FA
ζ
ζ
+−
+== (4.85)
Fator de amplificaFator de amplificaçção:ão:
a s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.2 – Modelo com Excitação de Base : Transmissibilidade de Deslocamento
Se uma massa deve ser isolada de um indesejado movimento harmônico da
b t i ibilid d d d l t d i l d é d d
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 128/161
128
P r o f . A l e x a n d r e E d u a
r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c a
222
2
)2()1()2(1
r r
r
Y
X T d
ζ
ζ
+−
+== (4.86)
base, a transmissibilidade de deslocamento do isolador é dada por
Qual a freqQual a freqüüência em que a amplitudeência em que a amplitude éé mmááxima?xima?
Qual o ponto de mQual o ponto de mááxima amplitude?xima amplitude?
ζ
ζ
2
811 2++−=r (4.87)
c a s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.2 – Modelo com Excitação de Base : Transmissibilidade de Deslocamento
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 129/161
129
P r o f . A l e x a n d r e E d u a
r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c
2=nω nω ω *2=
c a s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.3 – Comparação entre as Curvas de Transmissibilidade de Deslocamento de Força
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 130/161
130
P r o f . A l e x a n d r e E d u a
r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e c â n i c
c a s
EXEMPLO 4.10
A figura abaixo mostra um modelo simplificado de um veículo motorizado que oscila na
direção vertical (1 GDL) enquanto move-se sobre uma estrada ondulada.
A carroceria suspensa do veículo tem uma massa de 1200 kg e o sistema de suspensão
tem constante equivalente de mola de 400 kN/m e constante de amortecimento de 20
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 131/161
131
P r o f . A l e x a n d r e E d u a
r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ
e s M e c â n i c
kNs/m .
Se a velocidade do veículo é de 100 km/h , determine a amplitude X do movimento da
carroceria.
Sabe-se que a superfície da estrada varia segundo uma senóide com amplitude Y = 0.05
m e λ = 6 m .
m6
m;0.05Y
km/h;100v
N/m;000400k
N.s/m;20000c
kg;1200m:
=
=
=
=
=
=⊗
λ
Dados
c a s
EXEMPLO 4.10
Solução:
k1200
:⊗ Dados
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 132/161
132
P r o f . A l e x a n d r e E d u a
r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ
e s M e c â n i
m6
m;0.05Y
km/h;100v
N/m;000400k
N.s/m;20000c
kg;1200m
=
=
=
=
=
=
λ
( )( ) ( )
2
1
222
2
2121
+−
+=
r r
r
Y
X
ζ
ζ (4.75)
i c a s
EXEMPLO 4.10
Solução:
km/h;100v
N/m;000400kN.s/m;20000c
kg;1200m
:
=
==
=
⊗ Dados
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 133/161
133
P r o f . A l e x a n d r e E d u a
r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ
e s M e c â n
m6
m;0.05Y
;
=
=
λ
FreqFreqüüência Natural:ência Natural: rad/s26.181200
400000===
m
k nω
Fator de Amortecimento:Fator de Amortecimento:
( )( ) 46.03.1812002
20000
2 ===nm
c
ω ζ
n i c a s
EXEMPLO 4.10
Solução:
:⊗ Dados
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 134/161
134
P r o f . A l e x a n d r e E d u a
r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ
e s M e c â n
m6
m;0.05Y
km/h;100v
N/m;000400k N.s/m;20000c
kg;1200m
=
=
=
==
=
λ
rad/s29.089
ciclo6
rad2π
s3600
1h
km1
m1000
h
km 100 =
=ω
n i c a s
EXEMPLO 4.10
Solução:
6.123.1809.29 ===
n
r ω
Razão deRazão de FrequênciaFrequência::
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 135/161
135
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ
e s M e c â n
mm42.5m0.0425)6.1*5.0*2()6.11(
)6.1*5.0*2(105,0
222
2
==+−
+= X
( )
( ) ( )
21
222
2
21
21
+−
+=
r r
r
Y
X
ζ
ζ (4.75)
n i c a s
EXEMPLO 4.10
Solução:
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 136/161
136
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ
e s M e c â n
85.005.0
0425.0 ==Y
X
6.123.18
09.29===
n
r ω
n i c a s
Isolamento de vibraIsolamento de vibraçções:ões:
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
2) Isolar a base (funda2) Isolar a base (fundaçção) de forão) de forçças geradas pela mas geradas pela mááquina (casos dequina (casos de
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 137/161
137
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ
e s M e c â mmááquinas rotativas, alternativas, prensas, etc.)quinas rotativas, alternativas, prensas, etc.)
â n i c a s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.3 – Modelo com Excitação de Base : Transmissibilidade de Força
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 138/161
138
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ
e s M e c â
Força transmitida a massa principal = Força no suporte
t F y xk y xc xm =−+−=− )()( &&&& (4.88)
â n i c a s
)( φ −= t Xsen x p
Resposta permanente:Resposta permanente:
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.3 – Modelo com Excitação de Base : Transmissibilidade de Força
)cos( φ −= t X x p&
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 139/161
139
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ
e s M e c â esposta pe a e tep p p
)(2 φ ω ω −−= t Xsen x p&&&
Substituindo na Eq. 4.88:
t F xm =− &&
t F y xk y xc xm =−+−=− )()( &&&& (4.88)
( )φ ω ω −−−= t XsenmF t
2 ( )φ ω ω −= t XsenmF t
2
( )φ −= t senF F T t (4.89)
X mF T
2ω = (4.90)
Valor mValor mááximo a forximo a forçça transmitida a base:a transmitida a base:
â n i c a s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.3 – Modelo com Excitação de Base : Transmissibilidade de Força
X mF T
2ω = (4.90) ( )
( ) ( )
21
222
2
21
21
+−
+=
r r
r
Y
X
ζ
ζ (4.75)
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 140/161
140
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ
e s M e c â
( )
( ) ( )
2
1
222
22
21
21
+−
+=
r r
r
Y
m
F
n
T
ζ
ζ ω ( )
( ) ( )222
2
221
21
r r
r
Y m
F
n
T
ζ
ζ
ω +−
+=
( )( ) ( )222
2
2
2
2121
r r
r
Y m
X m
n ζ
ζ
ω
ω
+−
+= (4.92)( )( ) ( )222
22
2121
r r
r r Y
X T F
ζ
ζ
+−
+==
( )
( ) ( )222
2
21
21
r r
r
kY
F T
ζ
ζ
+−
+= (4.91)
c â n i c a s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.3 – Modelo com Excitação de Base : Transmissibilidade de Força
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 141/161
141
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ
e s M e c
c â n i c a s
Deslocamento da massa em relaDeslocamento da massa em relaççãoão àà basebase
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.3 – Modelo com Excitação de Base : Movimento Relativo
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 142/161
142
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ
e s M e c y x z −= (4.93)
EDO:EDO:
0)()( =−+−+ y xk y xc xm &&&&
(4.94) ymkz zc zm &&&&& −=++
(4.95)t Ysenmkz zc zm ω ω 2=++ &&&
c â n i c a s
Resposta Permanente:Resposta Permanente:
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.3 – Modelo com Excitação de Base : Movimento Relativo
2ω Ym
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 143/161
143
P r o f . A l e x a n d r e E d u
a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ
e s M e c
( ) ( )
)()( 1
22
2
φ ω
ω ω
ω −
+−
= t sen
cmk
Y mt z (4.96)
Amplitude Z:Amplitude Z:
( ) ( )222
2
ω ω
ω
cmk
Y m Z
+−=
(4.97)
( ) ( )222
2
21 r r
r Y Z
ζ +−= (4.98)
c â n i c a s Ângulo de FaseÂngulo de Fase φφφφφφφφ11::
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.3.3 – Modelo com Excitação de Base : Movimento Relativo
−=
21ω
ω φ
mk
carctg (4.99)
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 144/161
144
P r o f . A l e x a n d r e E d u
a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e
−= 21
2
r
r arctg
ζ φ (4.100)
( ) ( )222
2
21 r r
r
Y
Z
ζ +−= (4.101)
e c â n i c a s
Uma máquina pesando 3000 N está
colocada sobre uma fundação elástica.
A deflexão estática da fundação devida ao
peso da máquina vale 7,5 cm.
EXEMPLO 4.11
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 145/161
145
P r o f . A l e x a n d r e E d u
a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e
Observa-se que a máquina vibra com uma
amplitude de 1 cm quando a base da fundação
é submetida a uma oscilação harmônica de
amplitude 0,25 cm e freqüência igual à
freqüência natural do sistema.
Determinar:
(1) coeficiente de amortecimento da fundação;
(2) amplitude da força transmitida à base;
(3) amplitude do deslocamento da máquina em
relação à base.
e c â n i c a s
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ DADOSDADOS::
W = 3000 N ⇒ m = 305,81 kg
δst = 7,5 cm = 0,075 m
X = 1 cm
Y = 0,25 cm = 0,0025 m
Sistema em ressonância:Sistema em ressonância:
nr ω ω ω
=⇒== 1
Solução:
EXEMPLO 4.11
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 146/161
146
P r o f . A l e x a n d r e E d u
a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e nω
rad/s44.11075.0
81.9====
st
n
g
δ ω ω
Na ressonância: r = 1r = 1 ( )
( ) ( )
2
1
222
2
21
21
+−
+=
r r
r
Y
X
ζ
ζ (4.75)
ζ
ζ
ζ
ζ
2
)2(1
)2(
)2(1 2
2
2 +=
+=
Y
X
e c â n i c a s
Solução:
EXEMPLO 4.11
1291.040025.0
010.0
2
)2(1 2
=⇒==+
ζ ζ
ζ
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 147/161
147
P r o f . A l e x a n d r e E d u
a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M e
44,111291,081,305222
x x xmcm
cn
n
==⇒= ζω ω
ζ
N.s/m051.903=c
(1) coeficiente de amortecimento da funda(1) coeficiente de amortecimento da fundaççãoão
e c â n i c a s
22 )2(1 r
rTζ +
=
(2) Amplitude da for(2) Amplitude da forçça transmitidaa transmitida àà base;base;
Solução:
EXEMPLO 4.11
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 148/161
148
P r o f . A l e x a n d r e E d u
a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
222
)2()1( r r
r T f
ζ +−
=
Na ressonância:
ζ
ζ
2
)2(1 2+= f T
41291.0*2 )1291.0*2(1
2
=+= f T
r = 1r = 1
M e c â n i c a s
kY
F T T
f
= kY T F f T =
N/m51.4002244.11*81.305 22 === nmk ω
Solução:
EXEMPLO 4.11
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 149/161
149
P r o f . A l e x a n d r e E d u
a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
N400.220025.0*51.40022*4 ==T F
( ) ( )222
2
21 r r
r Y Z
ζ +−
=
mm9.67m00968.0
1291.0*2
0025.0
2
====
ζ
Y Z
Obs.:Obs.: Z = 0,00968 mZ = 0,00968 m ≠ XX -- Y = 0,01Y = 0,01 -- 0,0025 =0,0025 = 0,0075 m0,0075 m
por causa da diferença de fase entre x, y e z.
Na ressonância:
r = 1r = 1
M e c â n i c a s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.4 – Desbalanceamento Rotativo
Pequenas irregularidades na distribuição de massas rotativas de eixos de
máquinas rotativas, quando em movimento, podem causar vibrações devido ao
desbalanceamento rotativo.
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 150/161
150
P r o f . A l e x a n d r e E d u
a r d o – C u r s o d e V i b r a ç õ e s M
M e c â n i c a s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.4 – Desbalanceamento Rotativo
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
http://slidepdf.com/reader/full/vibracao-fornada-harmonicamente 151/161
151
P r o f . A l e x a n d r e E d u
a r d o – C u r s o d e V i b r a ç
õ e s M
m 0
k
c
e
ωωωωr
e = excentricidade;
m o = massa de
desbalanceamento
ωωωωr = frequência de rotação
Esquema do
desbalanceamento
rotativo de uma
máquina
M e c â n i c a s
m 0
e
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.4 – Desbalanceamento Rotativo
m 0
R x
ωωωωr
t esen x r r =
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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152
P r o f . A l e x a n d r e E d u
a r d o – C u r s o d e V i b r a ç
õ e s M
k
c
ωωωωrt e
0
θ θθ θ R y
ω ωω ω r t e x
r r r
ω ω cos=&
t esen x r r r ω ω 2−=&&
t ememam R
t senemsenemam R
r r or o y y
r r or o x x
ω ω θ ω
ω ω θ ω
coscos 220
220
−=−==
−=−==(4.102)
M e c â n i c a s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.4 – Desbalanceamento Rotativo
2 sino r r
mx cx kx m e t ω ω + + =&& & (4.103)
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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153
P r o f . A l e x a n d r e E d u
a r d o – C u r s o d e V i b r a ç
õ e s
2 2 2 sinon n r r
m x x x e t
mζω ω ω ω + + =&& & (4.104)
( ) sin( ) p r
x t X t ω φ = − (4.105)
M e c â n i c a s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.4 – Desbalanceamento Rotativo
( )
2
22 2(1 ) 2
om e r X
m r r ζ =
− +(4.106)
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154
P r o f . A l e x a n d r e E d u
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õ e s
Na ressonância r = 1 :
m
em X
ζ 2
0= (4.107)
122tan
1r
r ζ φ − = −
(4.108)
M e c â n i c a s
VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE COM AMORTECIMENTO 1 GDL4 4
4.4 – Desbalanceamento Rotativo
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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155
P r o f . A l e x a n d r e E d u
a r d o – C u r s o d e V i b r a ç
õ e s
s M e c â n i c a s
Uma máquina rotativa apresenta os seguintes dados: deflexão na ressonância
é 0.1 m, ζ = 0.05 e a m0 = 10% do valor de m.Determinar o valor da excentricidade (e) e a quantidade de massa adicional (∆m)
necessária para reduzir a amplitude máxima para 0.01 m.
EXEMPLO 4.11
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156
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç
õ e s
;*1.0m
m0.1X
0.05;ζ
:
0 m
DADOS
=
=
=
⊗
s M e c â n i c a s
Na ressonância r = 1
Solução:
EXEMPLO 4.11
ζ m
em
X 20
= (4.108) ;*1.0m
m0.1X
0.05;ζ
:
0 m
DADOS
=
=
=
⊗
ExcentricidadeExcentricidade
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157
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç
õ e s
( )( )( ) m0.1101.005.0220
==
=m
m X e ζ
Agora, para calcular a massa para reduzir a amplitude de vibração:
m
m0
X
0.1 m
= 10
101.0
01.0
0
=
∆+
m
mm
( )10
1.0
01.0
1.0 =
∆+
m
mmmm *9=∆
s M e c â n i c a s
A seção do rotor da cauda do helicóptero é composto por quatro hélices, cada uma de
massa 20 kg, motor tem massa 60 kg, tendo uma rigidez de 1x105 N/m.
A seção de cauda está ligada ao corpo principal do helicóptero por uma estrutura elástica.
Durante o vôo o rotor opera a 1500 rpm.
Assuma que o sistema tem uma relação de amortecimento de 0,01.
EXEMPLO 4.12
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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158
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç
õ e s
Durante o vôo 500 g de partículas se prendem a uma das hélices, a 15 cm a partir do eixo
de rotação.
Qual é a amplitude de vibração causada pelo desequilíbrio rotativo resultante?
e s M e c â n i c a s
DADOS
kg;60m
N/m;10x1k
:
motor
5
=
=
⊗
EXEMPLO 4.12
Solução:
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159
P r o f . A l e x a n d r e E d u a r d o – C u r s o d e V i b r a ç
õ e
rpmn
m
m
r 1500
;15.015cme
0.01;
g;500kg.50mkg;20m
0desb
helice
=
==
=
====
ζ
e s M e c â n i c a s
FrequênciaFrequência dede rotarotaççãoão::
EXEMPLO 4.12
Solução:
rad/s157rev
rad2π
60s
min
min
rev
1500rpm1500 ===r ω
m
DADOS
g;500kg50m
kg;20m
kg;60m
N/m;10x1k
:
helice
motor
5
===
=
=
=
⊗
FrequênciaFrequência natural:natural:
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160
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õ e
45.4rad/s35.24
rad/s157 ===n
r ω
( ) ( )rad/s35.24
kg60kg20.5N/m1x105
=+
==m
k nω
rpmn
m
m
r 1500
;15.015cme
0.01;
g;500kg.50m 0desb
=
==
=
===
ζ
RazãoRazão dede FrequênciaFrequência::
( )
2
22 2(1 ) 2
om e r X m r r ζ
=− +
(4.106)
e s M e c â n i c a s
Amplitude deAmplitude de vibravibraççãoão::DesbalanceamentoDesbalanceamento rotativorotativo
EXEMPLO 4.12
Solução:
( )( ) ( )45.415.05.0 2mkgm
DADOS
g;500kg50m
kg;20m
kg;60m
N/m;10x1k
:
helice
motor
5
===
=
=
=
⊗
( )
2
22 2(1 ) 2
om e r X m r r ζ
=− +
(4.106)
7/17/2019 Vibração fornada Harmonicamente
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161
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õ e ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) m0.00345.401.0245.41
5
5.20
5050222 =−−= kg
mkg
X
rpmn
m
m
r 1500
;15.015cme
0.01;
g;500kg.50m 0desb
=
==
=
===
ζ
Na ressonância r = 1
ζ m
em X
2
0= (4.107)
( ) ( )0.5 kg 0.15 m 10.183 m or 18.3 cm
20.5 kg 2(0.01) X = =
rpm336.52min
60s
rad2πs
rad 35.24 rad/s35.24 ===
revr ω
AA mmááximaxima deflexãodeflexão ocorreocorre nana velocidadevelocidade::