416 E. Waetzmann, IHeft 5

V e r s u c h e iner V e r s ~ h n u n g der H e l m h o l t z s c h e n T h e o r i e der K o m b i n a t i o n s t ~ n e

u n d der R. K ~ n i g s c h e n T h e o r i e der Stol~t6ne. yon E. Waetzmann.

(Eingegangen am 16. April 1920.)

In einer ill Hef t 4, S. 271--282 dieser Zeitschrift verSffentlichten Arbeit ,Verzerrung yon Schwingungen infolge unsymmetriseher Ver- h~ltnisse ~' habe ieh darauf hingewiesen, dab sich die dort entwickelten Gedankengange ftir die Theorie der KombinationstSne (K. T.) nutzbar maehen lassen. Das sell in der. vorliegenden Mitteilung geschehen. Es liegt in der Natur der gestetlten Aufgabe, dal3 hierbei auf zahlreiche 51tere Arbeiten eingegangen werden nlU]]. Vm Weitschweifigkeiten und Wiederholungen nach MSgliehkeit zu vermeiden, muff die genaue Bekanntschaft mit den zitierten Arbeiten vorausgesetzt werden. Einzelheiten, die sich aus dem Studium der ~lteren Arbeiten yon selbst ergeben, k6nnen der Kiirze halber gar nicht oder nur andeutungs- weise besprochen werden.

w Die T h e o r i e v o n R . K S n i g l ) . Naeh K S n i g bilden StSBe yon hinreichender Frequenz eiuen StoBton (St. T.). Fill" die Zahl der St6Be und damit die HShe der St. T. gibt K S n i g eine Regel, dis man folgendermal~en ausspreehen kann: Jedes Prim~rtonintervall ~o:q, wobei p >~/ sei, gibt zwei Arten yon StSBen, , u n t e r e " und ,,obere". Dis Zahl der untoren StSBe +~ ist gleich p - - n ~ / und die der oberen m' gleich ( n + 1)q--p, wobei nq und (~ + l )q zahlenm~i~ig diejenigen harmonisehen Oberschwingungen yon q sind, zwischeu denen als n~ehstbenachbarten p liegt. Damit ist nicht etwa gemeint, dab die Obert6ne (O. T.) yon q mitwirken, vielmehr sollen zwei reine Prim~ir- t6ne (P. T.) p und q diese beiden Gruppen yon St6~en und St. T. crzeugen. Igeben diesen beiden Arten von ,primSren" St6~en sollen noeh ,sekund~re" St6Be auftreten, welche aus den beiden primiiren St. T. in entspreehender Weise entstehen wie die prim~ren StSBe aus den P . T . K S n i g ~) selbst gibt abet an, einen sekund~iren St. T. nut in zwei F~i]len beobaehtet zu habeas. Einmal beim Intervall p ---~ 2816

i

1) R. K~nig, Pogg. Ann. 157, 177, 1876 u. Quelques experiences d'Acoustique, Paris 1882, S. 87.

~) R. KSnig, L c., S. 198--199 und 215.

1920! Versuch einer VersShnung der lqelmholtzsehen Theorie usw. 417

und q ~ 9.048 (Doppelsehwingungen); hier wurde neben j0 - - q ~ 768 und 2 q - - p ~ 1280 aueh ( 2 q - - p ) - - ( p - - q ) ~ 3 q - - 2 p m - 512 beobaehtet. Entspreehendes ergab das Intervall p - - 3 3 2 8 und q ~ 2048.

Die K S n i g s e h e Theorie der aus zwei P. T. ,resultierenden ~ TSne besagt also, dab diese TSne im engsten Zusammenhang mit dem PhRnomen der Sehwebungen, deren Maxima ja die St6fe sind, stehen. Seine Annahme freilieh, d a f e s zwei Ar t en von primiixen St6]]en gibt~ hat sieh nieht aufreeht erhalten lassen. K S n i g ist hier zweifellos dutch die Mitwirkung yon O.T . und DifferenztSnen (D. T.) getiiuseht worden~ obwohl er das ausdriieklich in Abrede stellt. K r ~ i f t i g e S c h w e b u n g e n e n t s t e h e n nu r be i v e r h R l t n i s m R f i g k l e i n e n I n t e r v a l l e n , u n d das g l e i e h e g i l t f i i r k r ~ f t i g e r e su l - t i e r e n d e TSne . D i e s e r l e t z t e r e n e x p e r i m e n t e l l e n T a t s a e h e w i r d d ie K S n i g s e h e T h e o r i e de r r e s u l t i e r e n d e n T 6 n e , d ie s ie e b e n a ls S t .T . a u f f a f % vol l und g a n z g e r e e h t . Das ist der erste Hauptpunkt seiner Theorie, der also zugunsten K S n i g s zu buchen ist. I)er zweite Hauptpunkt betrifft nun die Art~ wie der erw~ihnte Zusammenhang zwischen StSfen und resultierenden TSnen zustande k ommt bzw. zu deuten ist. Das geschieht durch K S n i g in der denkbar einfaehsten Weise, indem bekanntlieh angenommen wird~ daft St(ire yon einer bestimmten Frequenz genau so als TSne empfunden werden wie Sinusschwingungen yon der gleichen Frequenz. Fiir geniigend kleine Intervalle kSnnte hierbei sogar noeh der Versuoh gemacht werden~ diese Annahme fiir den Ton p - - q mit der Resonanz- theorie des HSrens zu vereinen~ wenn man niimlieh das Prinzip der spezifischen Sinnesenergien in der speziellen H e l m h o l t z s e h e n Fassung aufgibt. Fiir die weiteren resultierenden TSne 2 q - - p usw. ist des aber nieht mehr m6glieh. Somit steht and f~llt mit dem zweiten Hauptpunkt der K S n i g s e h e n Theorie, zumal wir seine oberen StSfle als nicht real ablehnen, die Resonanztheorie des t tSrens, ein hin- reiehender Grund~ um die K S n i g s c h e Theorie ~iuferst kritisch zu bewerten.

Diese Theorie der resultierenden T~ine hat bekanntlieh sehon vor K S n i g existiert und ist naeh ihm noeh vielfaeh bearbeitet und aueh weiter ausgebaut worden. Ffir alle diese Arbeiten benutzen wir der Kiirze wegen den Sammelnamen , K 5 n i g sehe Theorie". Das ist bereehtigt, well sieh an seinen Namen der bertihmt gewordene Streit mit H e l m h o l t z kniipft, und weil seine Arbeiten auf diesem Gebiete, die zu den sehSnsten akustisehen Untersuehungen iiberhaupt gehSren, grundtegend gewesen sind. Wir bezeichnen die TSne p - - q~ 2 q - - p usw.

Zeitschrilt ~ir Physik. 19fiO. 27

418 E. Waetzmann, [Heft 5

als resultierende TSne, sobald das notwendlg erscheint, um jede Ver- wechselung zwischen der KSnigschen Auffassung (St. T.) und der Helmhol tzschen Auffassung (K. T.) auszuschliei]en.

Wir k6nnen die K6nigsche Theorie allgemein folgendermal]en charakterisieren: Sie e n t h a l t e r s t ens in ~ b e r e i n s t i m m u n g mit dem E x p e r i m e n t eine enge A b h a n g i g k e i t der S t a rke der r e s u l t i e r e n d e n TSne v o n d e r Fo rm der aus den be iden P .T . durch u n g e s t S r t e S u p e r p o s i t i o n e n t s t a n d e n e n S o h w i n g u n g . Und sie e n t ha l t zwei tens durch die spezie l le Ar t , wie sie diese A b h a n g i g k e i t begr i inde t , e inen W i d e r s p r u c h gegen die R e s o n a n z t h e o r i e des HSrens.

2. Die T h e o r i e yon He lmhol t z l ) . Im Gegensatz zu K6n ig kiiramert sich die Hehnhol tzsche Theorie tier resultierenden TSne um die St6Be zunachst iiberhaupt nicht. Dafiir ergibt sie fiir jeden der resultierenden T6ne eine reine Sinusschwingung yon tier betreffenden Periodenzahl, womit alle Schwierigkeiten ffir die Resonanztheorie be- seitigt sin& Sie erreicht das bekanntlich dadurch~ dab sie n icht mehr n n g e s t 6 r t e S u p e r p o s i t i o n der be iden P .T . annimmG sondern dem yon be iden P . T . e r r e g t e n Massenpunk t ein q u a d r a t i s c h e s , und zwar u n s y m m e t r i s c h e s K r a f t g e s e t z ( a x + b x s) zuschre ib t . Es resultieren dann neben den T6nen p nnd q noch die D.T. und Summationst6ne (S. T.), yon H e l m h o l t z zusammenfassend als K. T. bezeichnet. Die Gr61]e des P. T.-Intervalls spielt bei H e l m h o l t z nur eine untergeordnete Rolle. Bei kleinem Intervall lassen sich die K6nigschen St. T. zahlenmal]ig in die Reihe der Helmhol tzschen K. T. einordnon, wahrend die yon K 6 n i g be- haupteten St. T. bei groBen Intervatlen auf die Mitwirkung yon O. T. zur/ickzufiihren sin& Da, wie gesagt, die H e l m h o l t z s c h e n K .T . mit der Resonanztheorie im Einklang stehen, ist die K 6 n i g s c h e Theorie von physikalischer Seite fast allgemein abgelehnt worden. Sowei t sich diese A b l e h n u n g auf den zwei ten H a u p t g e d a n k e n K6nigs bez ieh t , ist sie b e r e c h t i g t ; bezi igl ich des e r s t en Haup t - gedankens aber nicht. Denn d i e H e l m h o l t z s c h e T h e o r i e ver- mag i h r e r s e i t s ge r ade b e s o n d e r s hervors tech lende experi,- m e n t e l l e T a t s a c h e n , die aus de r K6n igschen T h e o r i e ganz zwanglos fo lgen , n icht w iede rzugeben . So ist die in vielen Fallen enorm grol]e Starke yon 2 ~ q , die nach K6n ig selbstverstiindlich erscheint, nicht verst~indlich, wenn p - - q , wie es bei He lmho l t z tier Fall ist, nut als Sekund~ireffekt auftritt,

1) H. Helmholtz, Pogg. Ann. 9(J~ 497, 1856.

1920] Yersuch einer u der Helmholtzschen Theorie usw. 4=19

w 3. D ie T h e o r i e von W. V o i g t 1). Infolgedessen ist nieht nut yon Physiologen, sondern aueh yon Physikern, die sich eingehender mit unserem Gegenstand besch~iftigt haben, der Versuch gemacht worden, die KOnigschen Ansehauungen wieder zu Ehren zu bringen. V o i g t hat eine aUgemeine Theorie aufgestellt, welche sowohl die St. T. als aueh die K .T . umfassen will Der richtige Grundgedanke yon V o i g t ist der, dab fiir die EntBtehung der resultierenden T6ne in erster Linie die spezielle Form der aus den beiden P . T . durch ungestSrte Superposition entstandenen Sehwingung maBgebend sein mnB. V o i g t sehliel~t sieh also hiermit dem ersten Hauptgedanken K S n i g s an und baut ihn nur noeh weiter aus. Die Art dieses Aus- baues kann aber nieht als befriedigende LSsulJg des Problems an- gesehen werden~). Aul~erdem sehliel~t sieh V o i g t hierbei dem zweiten Hauptgedanken K 6 n i g s an, so dab aueh d~e K 6 u i g - V o i g t s e h e Theorie mit dot Resonanztheorie unvereinbar ist. D e r V o i g t s c h e Versueh b l e i b t a b e r t r o t z d e m i n t e r e s s a n t , well h i e r zum e r s t en Male yon a u t o r i t a t i v e r p h y s i k a l i s e h e r Se i t e im G e g e n s a t z zu H e l m h o l t z au f die K S n i g s c h e T h e o r i e z u r i i c k g e g r i f f e n w u r d e .

w D i e A n n a h m e n d e s V e r f a s s e r s 3 ) . In der eingangs dieser Mitteilung zitierten Arbeit habe ieh gezeigt, dab eine aus p und q additiv zusammengesetzte Primarschwingung, welehe starke Amplitndon- schwankungen enth~ilt, dutch ganz verschiedene Ursachen immer in dem a~imlichen Sinne verzerrt werden kann. Die P r i m i i r s c h w i n g u n g wi rd e ine r Ar t G l e i c h r i e h t e r w i r k u n g u n t e r w o r f e n , so da/~ die M i t t e l l i n i e der A m p l i t u d e n m i n i m a g e g e n i i b e r de r Mi t t e l - l in ie der A m p l i t u d e n m a x i m a e i n s e i t i g v e r s e h o b e n wird. Der Erfolg ist dann der, dab in der verzerrten Sehwingung neue Sinus- komponenten enthalten sind, und zwar die s~hntliehen K . T . A l s G r a n d fiir die V e r z e r r u n g b a t t e n sieh u n s y m m e t r i s c h e V e r - h~tltnisse s eh r v e r s e h i e d e n e r A r t e r g e b e n .

Bei dieser Art der Herleitung der K .T . spielt also - - in yeller Ubereinstimmung mit dem ersten Hauptgedanken der K S n i g - schen and ebenso der Voig t sehen Theorie ~ die Form der dutch

z) w. Voigt, Wied. Ann. 40, 652, 1890. Eine kurze Darstellung dieser Theorie findel; sieh aueh iu Auerbachs Akustik, ~Vinkelmanns Handbuch der Physik, Bd. II, 1909, S. 636 ff.

u) In einer ~ilteren Arbeit, Phys. ZS. 12, 231, 1911, habe ich bereits ge- zeigt, da~ sich die u Theorie, obwohl sie viel :Besteehendes hat, nicht aufreeht erhalten l~Bt. ~V. Volgt hat mir seinerzeit mitgeteilt, dal~ er gegen meine ablehnende Kritik seiner Theorie niehts einzuwenden babe.

8) E. Waetzmann, 1. e . Ferner: &nn. d. Phys. (4) 42, 729, 1913. Verh. d. D. Phys. Ges. 16, 424, 1914. Phys. ZS. 21, 122, 1920. Ann. d. Phys. im Druck. E. Waetzmann u. \V. :Moser, Verh. d. D. Phys. Ges. 1S, 13, 1917.

420 :E. Waetzmann, [1-1eft 5

ungestSrte Superposition entstandenen Prim~irschwingung eine aus- schlaggebende Rolle. p - - q wird in jedem Falle mn so starker, je ausgepr~gter die Maxima und Minima der Prim~rsehwingung, also je kr~iftiger die StilBe sind. Dagegen braucht nicht, ira Gegensatze zu K S n i g and Vo ig t , dem Ohre die F~ihigkeit zugesehrieben zu werden~ die versehiedenen Gruppen yon StSi~en, in welehe V o i g t die Ampli- tudenmaxima der Primiirschwingung unterteilt~ direkt als TSne auf- zufassen. W i r e r h a l t e n au f d iese W e i s e also K . T . , w e l e h e e r s t e n s in i h r e r St~irke yon de r F o r m d e r P r i m ~ i r s c h w i n g u n g abh~ingen and w e l e h e s ieh z w e i t e n s wie die H e t m h o l t z s e h e n K . T . in n i c h t s meh r :con g e w S h n l i c h e n T S n e n u n t e r s e h e i d e n , so dab sie s ieh de r R e s o n a n z t h e o r i e u n t e r o r d n e m Der t I e l m - hol tzsche Ansatz stellt einen Spezialfall unserer al]gemeineren Vor- stellung dar, der praktiseh jedenfaUs nnr eine nntergeordnete Rolle spielt.

w 5. V e r s u e h e von H. P i p p i n g 0. Ein Spezialfall einer Ver- zerrung der Prim~irsehwingung in dem von mir angegebenen Sinne ist von P i p p i n g besehrieben worden. Er finder, dab die triehter- fSrmige Membran des Hensensehen Sprachzeiehners ~zu jeder Vibra- tion mit weehselnder Elongation eine Sehwingung addiert, deren Extreme sieh an denjenigen Punkten befinden, wo die prim~ire Schwingung die grSl~te bzw. die geringste Elongation zeigt". Und P i p p i n g f~ihrt fort: , W e r mit der Literatur fiber die ,sekund~iren Klangerscheinungen' (K. T. usw.) einigermaBen vertraut ~st, wird sofort einsehen, dal3 sich dabei Perspektiven erSffnen, welche wohl als neu bezeichnet werden mfissen, obgleioh H e l m h o l t z gelehrt hat, da~ die Unsymmetrie der schalleitenden Organe die Laftschwingungen deformieren muI~ . . . . " Vielleicht werden nur wenige Physiker geneigt sein, dieser Auffassung P i p p i n g s beizupfliehten, well ja tats~iehlich seine Resultate in dem He lmho l t z schen Ansatz enthal~en sind; ieh mSehte ihm abet vollkommen darili beistimmen, daI~ seine Unter- suehung die Erkenntnis des physikalisehen Vorganges, der dureh den Ansatz a x + b xa gegeben ist, wesentlich vertieft hat. Eine Nutzbar- maehung seiner Resultate fiber den yon ihm behandelten Spezialfall hinaus hat P i p p i n g aber nioht versueht. Jedoeh glaube ieh sagen zu diirfen, da~ die Versuehe des Verfassers P i p p i n g s Voranssage be- st~itigt haben.

Allgemeiner als P i p p i n g hat schon vor ibm A u e r b a c h : ) die Bedeutnng einer mSgliehen Deformation der additiv aus p and q zusammengesetzten Sehwingung hervorgehoben, and zwar auf Grand

1) H. Pipping, Acta soeietatis seientiarum Fennicae 42, No. 3, 1913. 2) F. &uerbach, 1. c., S:641.

1920] Versueh einer VersShnung der Helmholtzschen Theorie usw. 421

einer Arbeit yon J. D. E v e r e t t 1). Mit Reeht hebt A u e r b a c h hervor, dab dieso Miigliehkeit ,die Aufmerksamkeit der beteiligten Kreise in merkwiirdig geringem MaBe erregt hat, obgleieh sie zweifellos von groBer Bedeutung aueh fiir das allgemeine Problem ist".

w 6. A n n a h m e n yon E v e r e t t . E v e r e t t geht davon aus, da~ die Fourier-Analyse einer Sehwingungskurve auBerst labil ist. Kleine J~nderungen in der Form der aus p und q zusammengesetzten Kurve lassen Sinuskomponenten erstehen, die vorher nieht da waren, in erster Linie die Komponente, die dem Generalnenner yon 2 und q entspricht. Auf dem Wege einer Schallwelle vom AuBenraum dureh das Ohr bis zu den H6rnerven sei nun mehrfach Gelegenheit zu einer Deformation der Sehwingungsform gegeben. Es miisse also unter den resultierenden T6nen in erster Linie immer der dem General- nenner von ~ und q entspreehende Ton entstehen, der nur in Spezial- fallen mit p - - q zusammenfallt; durch diese Erkenntnis sei die H e l m - hol tzsche Theorie ihrer Bedeutung beraubt. Die Versuche, welche E v e r e t t zur Begriindung seiner Ansicht heranzieht, sind nicht be- weisend. Er stiitzt sich namentlioh auf Versuche yon Ri ieker und E d s e r 2) und yon R. KSnigS). Die Beobachtungen von Ri i cke r und E d s e r miissen sehon deshalb ausscheiden, weil sie an der Doppel- sirene angestellt sind, es sich bei ihnen also am K.T . erster Art 4) handelt, wahrend wi res bei unserem Problem, wie wohl kaum hervor- gehoben zu werden braueht, ausschlieBlich mit K .T . zweiter Art 4) zu tun haben. Die Versuche von K 6 n i g sind :lber auch nieht so einfaeh zu deuten, was ja schon daraus hervorgeht, d:d] ihnen t l e l m - ho l t z eine ganz :mdere Deutung gegeben hat. Otme genaue i~'ach - priifung des etwaigen Anteiles yon O. T. an den K6nigscheu Resultaten k6nnen gerade die yon E v e r e t t herangezogenen Beobachtungen ffir oder gegen die H e l m h o l t z s c h e Theorie nichts entscheiden. Trotzdem zweifle ich nicht daran, dab sich im Ohre 5) die yon E v e r e t t ge- schilderten Vorgange abspielen, l~borhaupt ist der Grundged,~nke yon E v e r e t t zweifellos richtig. Implizite liegt er aueh meiuen l~ber- legungen zugrunde. Jedoeh ist E v e r e t t bei den skizzierten, recht oberfl~ichlichen Bemerkungen stehen geblieben. Um eine b r a u c h - ba re T h e o r i e zu e r h a l t e n , hi i t te nun g e z e i g t w e r d e n mfissen, wie e ine V e r z e r r u n g der S c h w i n g u n g s f o r m p h y s i k a l i s e h in

~) J. D. Everett , Phil. ~Iag. (5) 41, 199, 1896. ~) Riicker u. Edser, Phil. Mug. (5) 39, 341, 1895. 3) R. KSnig, 1. c., S. 192--193. 4) E. Waetzmann, Ann. d. Phys. (4) 24, 68, 1907. 5) Auch Helmholtz (Lehre yon den Tonempfindungen, 5. Ausgabe, S. 262)

weist ausdriicklich auf diese ~ISglichkei~en hin.

422 E. Waetzmann, [Heft 5

den e i n z e l n e n F ~ l l e n z u s t a n d e k o m m t , denn eine Verzerrung gibt ja aueb schon die H e l m h o l t z s e h e Theorie. Zu einer Erg~inzung derselben konnte man nut gelangen, wenn man, wie es in den Arbeiten des Verfassers gesehehen ist, die Vorg~inge aul~erhalb des Ohres, und zwar durch objektive Registrierung d e r Schwingungen verfolgte.

w E x p e r i m e n t e l l e Bes t~ i t igung de r A n n a h m e n des Ver- f a s se r s . Die vorgesehIagene Er weiterung der H elm h o 1 t z schen Theorie, welehe die Gedanken KSn igs , soweit sie richtig sind, wieder zu Ehren bringt, seheint mir nun tats~ehlieh geeignet, d a s laagumstrittene Problem der K. T. zu kl~ren. Den Ausgangspunkt bildete die Unter- suehung der im Mikrophon-Telephonkroise entstehenden K . T . Zum SehluB dieser Arbeit 1) heist es: ,Jedem, d e r m i t den K .T . vertraut ist, wird es aufgefallen sein, dal~ das Verhalten der im Mikrophon- Telephonkreis entstehenden K . T . in den meisten Punkten das gleiehe ist, wie das der sogenannten subjektiven K .T . , die im Ohre des Beobaehters entstehen. Hierdureh erld~irt sieh ja aueh, da~ man bisher in den K . T . im Mikrophon-Telephonkreis allgemein eine Be- stiitigung der H e l m h o l t z s c h e n Theorie der K . T . gesehen hat. Es ist nieht wahl~eheinlieh, dal~ diese ~bereinstimmung eine rein zufal|ige ist, und deshatb lag es nahe, unsere Ansichten fiber die Entstehuugs- weise der K. T, aueh in alien anderen Fiillen nochmals nachzupriifen. ~

Diese .l~achpriifung ergab dann auch ffir den rein meelianisehen Fall, dal3 eine einseitig belastete Membran durch p und q erregt wird, eine Verzerrung der ausp und q additiv zusammengesetzten Schwingungs- kurve in dem Sinne einer Gleiehrichterwirkung ~). Aueh hier wurde dutch Kurvenaufnahmen festgestellt, dal3 der H e l m h o l t z s c h e Ansatz zur Deutung der experimentellen Ergebnisse nieht ausreicht~ vielmehr einer Ergiinzung im Sinne des ersten Hauptgedankens von K S n i g bedurfte. Fiir die friiher vorgesehlagenen Erg~inzungen und Ab- auderungen s) des H e l m h o l t z s c h e n Ansatzes ergab sicb das gleiche. In einigen dieser Ans~itze ist der Versfieh gemacht, die H e l m h o l t z - sche Forderung der Unsymmetrie fallen zu lassen, t teute seheint mir abet a u f Grund meiner Versuche endgfiltig festzustehen, clal3 gerade die Umsymmetrie in den meisten und wichtigsten, wenn nioht in allen F~llen~ yon aussehlaggebender Bedeutung ist. F e r n e r z e i g t e s ich , e b e n s o Wie im F a l l e de r M i k r o p h o n - T e l e p h o n t S n e e ine w e i t g e h e n d e U b e r e i n s t i m m u n g h i n s i e h t l i e h der H S h e und

1) E. Waetzmann, Ann. d. Phys. (4) ~2, 743--744, 1913. �9 2) WaetzmannoMosel-, 1. c. und Waetzmann, Ann. d. Phys. 1920. a) C1. Schaefer , Ann. d. Phys. (4) ~ , 1216, 1910 und F. A. Schulze,

Ann. d. Phys, (4)84, 817, 1911.

1920] Versuch einer VersShnung der Helmholtzscheu Theorie usw. 423

S t ~ r k e d e r r e s u l t i e r e n d e n T S n e m i t den , s u b j e k t i v o n ~ K . T . Das ist eine indirekte Bestiitigung dafiir, daft die ,subjektiven :: K. T. ebenfalls unter unsere Annahmen fallen (vgl. E v e r e t t , w 6).

Welches sind nun im einzelnen die hervorsteehendsten Beobach- tungen an ,objekt iven" und ,subjektiven ~ K . T . , welche in dem speziellen H e l m h o l t z s c h e n Ansatz keine genfigende Begrfindung fiuden, sondern zugunsten unserer erweiterten Theorie sprechen?

Erstens k6nnen die beiden K.T. p - q und 2 q - - p, und zwar nur diese beiden, aul3erordentlich grol~e St~irke bositzen. Alie iibrigen sind bezfiglich der St~rke ,dutch eine groI~e Kluft a 1) von ihnen getrennt. Die grol~e St~rke yon p - - q ist fiir kleine Intervalle naeh unseren Vor- stellungen selbstverst~indlich und bildet ja direkt den Ausgangspunkt derselben, w~ihrend naeh H e l m h o l t z p - - q aueh bei kleinen Intervallen nur als Effekt zweiter Ordnung auftritt. Daft aueh 2 q--10 (ganz ab- gesehen yon der Mitwirkung des O. T. 2 q) erhebliehe Stiirke erreichen kann, habe ich in der eingangs zitierten Arbeit besprochen. ]ch persSnlich habe tibrigens niemals einen Ton 2 q - - p beobachtet, der an St~irke einem unter giinstigsten Bedingungen erzeugten p - - q gleiehkam.

Zweitens sind auch p - - q und 2 q - - p nur bei verhiiltnism~il~ig kleinen Intervallen kr~ftig, bis z u r O k t a v e ; besonders kraftig nur bis etwa zur Quinte. Der Untorsehled zwisehen kleinen und grogen Intervallen ist so kraI~, daft S t u m p f a ) fiber die Interval|e jenseits der Oktave sagt: ,Zun~iehst wird selbst der Geiibte iiberhaupt nichts yon K. T. beobachten. Und hat man dann einen schwachen Ton ge- funden, so erweist sich moistens, dab O. T. sehuld waren odor schuld sein konnten, die mit einem .P.T. eih Intervall diesseits der Oktave bildenJ ~ Dabei ist s bei kleinen Intervallon und unter sonst gtinstigen Bodingungen direkt ,brfillend" laut. Auch diese Tatsache ist fiir unSere Annahmen selbstverst~indlieh, da bei sehr grol~en Inter- vallen in der aus 10 und q additiv zusammengesetz~en Schwingung keine ausgesproehenen Maxima Und Minima mohr vorhanden sin& Schon L. H e r m a n n 8) hat in seiner - - vielfach fibrigons nicht sehr gliicklichen - - Kritik der H e l m h o l t z s o h e n Theorie darauf hingewiesen, dag , in der Tat periodische Maxima und Minima der resultierenden Amplitude zur Erzeugung yon D . T . unerl~iBlieh sind, was in der Helmh~) l tzschen Theorie nieht zum Ausdruck kommt".

Drittens existiert fiir die Erzeugung objektiver, und subjektiver K . T . ein Optimum des Intensitatsverh~iltnisses yon p und q. Ffir den

1) Vgl. die grundlegende Arbeit yon C. Stumpf, ZS. f. Psychol. ~ , 188, 1910. ~) C. S t u m p f , 1. c. 8. 125. a) L. t t e rmann , Arr f. d. ges. Physiol. 122, 423, 1908.

424 E. Waetzmann, [Heft 5

D . T . 2 - - q ist eiuigermal]en gleiehe St~,rke von p und q giinstig. Aus unseren Annahmen folgt das wieder ohne weiteres~ da wir ja ausgesprochene Sehwebungen in der Prim~h'sehwingung brauehen~ w~hrend es nach HIe lmho l t z a u f das Verh~ltnis der Intensit~iten you p und q iiberhaupt nicht, sondern nur auf das Produkt ankommt.

Viertens ist p - - q bei groIler H6henlage der P . T . viel starker als in tiefen Lagen. Entsprechend zeigte sieh bei der Priifung der Ursachen fiir die relative Verschiebung der Mittellinie der Maxima und Minima in den objektiv registrierten Kurven, dab die Gr61~e dieser Verschiebung mit wachsender HShenlage von 20 und q zunehmen muB. Wiihrend der H e l m h o l t z s c h e Ansatz hier wieder versagt~ wfirde iu diesem Punkte aueh schon eine yon CL S c h a e f e r 0 vor- gesehlagene J~nderung (ax + b~2) dessolben Abhilfe schaffen. Erw~ihnt Sei noch, dab die Theorie der mit dem Sehalldruek entstehenden K. T. 2) ebenfalls eine Zunahme der St~irke der K. T. mit waehsender HShenlage ergibt.

D ie e rw~ihnten T a t s a c t ~ e n g e h 6 r e n zu den a u f f a l l e n d s t e n u n d w i e h t i g s t e n B e o b a c h t u n g s e r g e b n i s s e n a n K . T. S i e d f i r ~ t e n s o m i t h i n r e i c h e n d se in , d ie R i e h t i g k e i t u n s e r e r V o r s t e l l u n g e n zu b e w e i s e n . Weitere Punkte zu bespreehen~ wtirde zu welt ffihren, zumal die Verh~iltnisse im einzelnen ungeheuer verwickelt sind and des Beobachtungsmaterial noch zu lfiekenhaft ist. ]:)as letztere gilt namentlich betreffs der O. T , die naeh der H e l m h o l t z s c h e n Theorie in vielen Fiillen sehr kr~iftig gleichzeitig mit den K . T . auftreten miil~ten, wiihrend sie nach unseren Anschauungon nur in Ausnahme- f~llen eine Rolle spielen kSnnten. Soweit man bisher fiberhaupt ur- teilen kann, stimmt das Experiment abet aueh hier viel besser mit uuseren Annahmen iiberein als mit der speziellen H e l m h o l t z s e h e n . Im iibrigen ist der fiir Einzelheiten interessierte Leser ohne weiteres iu der Lage, an Hand der zitierten S t u m p f s e h e n Arbeit und der Kurvenaufnahmen des Verfassers Punkt ffir Punkt selbst durehzu- priifen. Erw~ihnen mSchte ich noch, daft bei den ,objekt iven ~ K . T. die Intensitatsverh~ltnisse dureh Resonanzwirkungdn leicht geiindert werden kSnnen~ and dab bei den ~:subjektiven ~ K. T. die physikalisehen Intensitaten nur mit grSBter Vorsicht naeh dem beurteilt werden diirfen, was man ~heraush5rt".

w 8. Z u s a m m o n f a s s u n g . In der vorliegenden Mitteilung sind die bisher in den versehiedensten Arbeiten anderer Autoren und

1) CI. S c h a e f e r , 1. c. S. 1221. 2) E. W a e t z m a n n , Verh. d. D. Phys. Ges. 16, 424, 1914; F. Kiistner,

Ann. d. Phys. (4) 50, 941, 1916.

192o] Versuch einer VersShnung der Helmho]tzschen Theorie usw. 425

namentlich des Verfassel's verstreuten Beobaohtungsergebniss~ und t3ber]egungen zusammengestellt, welohe nach Ansicht des Verfassers eine ersch6pfende Theorie der K . T . zweiter Art ergebsn. Um diese Aufgabe auf wenigen Seiten durchftihren zu kSnnen, mufite die ge- nane Bekanntsehaf~ mit den zitierteu Originalarbeiten vorausgesetzt werden, lch hoffe aber, da]~ der Hauptinhalt der gegeniiber H e l m - h o l t z erweiterten Theorie trotz der Kiirze der Darstellung deutlich zum Ausdruek gekommen ist. Er besteht in folgendem:

Zahlreiehe Beobachtungsergobnisse sind aus der speziellen H e l m - hol tzschen Theorie der K. T. nieht zu deuten. Dagegen folgen sie ohne weiteres, wenn man mit K S n i g einen passenden Zusammenhang zwischen den K . T . und den St6fien annimmt. Wir schliefien uns also dieser Annahme K 6 n i g s an. Der gesuchte Zusammenhang be- steht tats~iehlieh; allerdings nicht in der Form, wie es sich K S n i g gedaeht haL, daft n~imlich das Ohr die St6l~e als T6ne empfindet. Wir entnehmen v ie lmehr der H e l m h o l t z s e h e n Theorie die Erkenntnis, dal~ sieh die K . T . yon gew6hnlichen TSnen nicht unterscheiden. Ferner ful~en wir auf H e h n h o l t z , wenn wir dem Gedanken der Un- symmetric, der bei ihm allerdings nur eine nebens~ichliche Rolle spielt und vielfach sogar als stSrend empfunden worden ist, eine aussehlag- gebende Rolle zuteilen. Wir erhalten dann den gesuchten engen r Zusammenhang zwischen K . T . und St61~en dadm'ch, dal~ die Art der durch irgendwelche unsymmotrisehen Verh~ltnisse bedingten Ver- zerrang der aus lo und q additiv zusammengesetzten Primarschwingung dutch die Fo~m dieser Prim~irsehwingung gegeben ist: Starke K . T . k6nnen dana in Ubereinstimmung mit dem Experiment nur entstehen, wenn die Prim~rschwingung ausgesproehene Maxima und Minima der Amplitude, also, subjektiv gesprochen, starke St6~e enth~ilt.

t t i e r n a e h g l a u b e ieh s agen zu d t i r f e n , dal~ u n s e r e v e r - a l l g e m e i n e r t e T h e o r i e w i r k l i e h e ine V e r s 6 h n u n g de r H e l m - h o l t z s e h e n und de r K 6 n i g s e h e n T h e o r i e de r r e s u l t i e r e n d e n T 6 n e d a r s t e l l t . U n t e r d i e se k o m b i n i e r t e T h e 0 r i e l a s s e n sieh al le E r s e h e i n u n g e n u n t e r o r d n e n , wahrend der spezielle t t e l m - hol tzsche Ansatz zwar gelegentlich auch einmat zutreffen dtirfte, aber praktisch nut eine untergeordnete Rolle spielt. Unsere Erweite- rung tier Theorie wird vielleicht auch dazu fiihren, dal3 man den an sich a.usgezeichneten K6nigsehen Untersuchungen, die bisher in der physikalischen Liter~tur meistens nut in negativer Weise zitiert warden, wieder mebr Gereehtigkeit widerfahren l~iBt.

B r e s l a u , Pbysikalisehes Institut, April 1920: