verizni razlomci1
TRANSCRIPT
![Page 1: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/1.jpg)
Део образложења курикулума математике у Сингапуру
«Математика је одлично средство за развој и унапређење интелектуалних способности
личности, логичког резоновања, просторне визуализације, аналитичности и апстрактног
мишљења...Математика је предмет уживања и узбуђења, која нуди ученицима могућности за креативни
рад и тренутке просветљења и радости...»Визуализација, проналажање правила,
вербализација.
![Page 2: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/2.jpg)
Верижни разломциВера Ивковић,
Осма београдска гимназијаВериге - ланци
....2
12
12
12
112
++
++
+=
......
11
11
11
11
11
++
++
+=φ
[ ]23110
2
13
11
11
10
16
9,,,;=
++
++=
![Page 3: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/3.jpg)
Шта је верижни разломак?Верижни разломак је разломак облика
Где су позитивни цели бројеви, осим некад .
Правилни верижни разломак је разломак облика
Краће се записује ...
11
11
43
2
1
0
++
++
+=
aa
aa
ax
,...a,a,a 210
0a
[ ],...a,a,a;ax 3210=
...4
43
32
21
10
++
++
+=
a
ba
ba
ba
bax
![Page 4: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/4.jpg)
Историја
Први који је увео “степенасто” записивање разломака је први председник британске Краљевске академије William Brouncker
(1620-1684.)
...++
++
+=π
27
2
52
32
11
1
4
2
2
2
2
![Page 5: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/5.jpg)
Први који користи израз “continued fraction” (непрекидни разломак) је
John Wallis (1616-1703.)
![Page 6: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/6.jpg)
И, наравно, Ојлер(1707-1783.)
......
e
++
++
++=
++
++
+=−
54
4
33
22
11
11
55
4
43
32
211
![Page 7: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/7.jpg)
Сриниваса Рамануџан(1887 -1920.)
[ ],...,,,,,; 1165391322974 =π
( )( )
( )( )
...ee
ee
...ee
ee
+−
+−=φ−φ−
++
++=φ−φ+
π−
π−
π−π
π−
π−
π−π
11
112
11
112
3
25
6
4
25
2
![Page 8: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/8.jpg)
Коначни верижни разломак представља рационалан број.
Нпр.:
13
35
13
92
9
131
2
9
41
12
4
91
1
12
4
12
11
12 ==+=
++=
++=
++
+
![Page 9: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/9.jpg)
Задатак 1:
Приказати број као верижни разломак.
Решење: 17
24
3
12
12
11
3
71
2
11
7
32
11
7
171
117
71
17
24
++
+=+
+=+
+=+=+=
![Page 10: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/10.jpg)
Негативни бројеви
[ ]6,1,3;2
6
11
13
12
6
73
12
7
271
227
72
27
61 −=
++
+−=
++−=
+−=
+−=−
[ ]6,1,2,1;3
61
1
12
11
13
27
203
27
61 −=
++
++−=+−=−
![Page 11: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/11.jpg)
Еуклидов алгоритам за НЗД
Верижни разломци се добијају као део Еуклидовог алгоритма за налажење
највећег заједничког делиоца.
Нпр.: Наћи НЗД за 126 и 38.
012612
212338
12383126
+⋅=+⋅=
+⋅=
61
3
13
122
3
13
12381
338
123
38
126
++=
++=+=+=
[ ]63338
126,;=
![Page 12: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/12.jpg)
Реципрочни бројеви45 = 2 * 16 + 13
16 = 1 * 13 + 3
13 = 4 * 3 + 1
3 = 3 * 1 + 0
[ ]
[ ]3412045
16
341216
45
,,,;
,,;
=
=
![Page 13: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/13.jpg)
Још један начин
Написати у облику верижног разломка 9/16.
[ ]23110
21
3
11
11
10
16
9,,,;=
++
++=
![Page 14: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/14.jpg)
Jош један пример
[ ]2342
13
14
48
243
14
48
1681
4168
484
168
720,;=
++=
++=+=+=
![Page 15: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/15.jpg)
Теорема: Између скупа рационалних бројева и коначних верижних разломака може се успоставити обострано једнозначно пресликавање.
Доказ: а) Сваки коначни верижни разломак се може приказати у облику разломка.
б) Сваки разломак се може приказати као коначан верижни разломак
Где је Након коначно много корака
...
rr
nn
rr
nn
rn
nn
rn
n
m =+
+=+
+=+=+=
2
12
1
1
22
1
1
11
1 1111
....rrrn >>>> 321 1=kr
![Page 16: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/16.jpg)
Шта је са ирационалним бројевима?
![Page 17: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/17.jpg)
“Ирационални бројеви су племенита и сјајна домишљатост људског духа, нешто као амфибија
између бити и не бити.” Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716.)
![Page 18: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/18.jpg)
Задатак 2:
Приказати број као верижни разломак.
Решење:
2
2=x
............
x
++
++
+=
+++
++++
+==
21
2
12
12
11
11
11
111
111
112
xxxxxx
++=⇒=+−⇒=−⇒=−1
111)1)(1(1102 22
![Page 19: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/19.jpg)
Или( ) 22525,...25 rr +=⇒+=⇒=
( ) 21212,...12 rr +=⇒+=⇒=
( )
rr
rrrr
+=⇒
⇒=+⇒=++
2
1
12221 2
...
2
12
11
2
112 =
++
+=+
+=
rr
( )r
rrrrr+
=⇒=+⇒=++4
114544 2
...
4
14
12
4
125 =
++
+=+
+=
rr
![Page 20: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/20.jpg)
Месопотамија
У Месопотамији су рачунали
што је вредност разломка
12
512 =
12
51
2
12
12
112 =
++
+=
![Page 21: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/21.jpg)
Периодични верижни разломциквадратна ирационалност
Сваки квадратни корен (алгебарски број другог степена тј. решење једначине,
)је периодични верижни разломак.
Теорема (Ојлер, Лагранж): Развој у правилни верижни
разломак броја α је периодичан ако и само ако је
број α квадратна ирационалност.
[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ]
[ ],...,,,,,,,;
,...,,,,,,,,,;
,...,,,,,,,,,,,;
,...,,,,,,,;
,...,,,,,,;
,...,,,,,,,;
...,,,,,,;
66666666310
39
414141414128
41114111411127
4242424226
444444425
24
2121212113
222222212
=
=
=
=
=
=
=
=
=
022 =−x
![Page 22: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/22.jpg)
А обрнуто?
Израчунати:
Решење:
...1
13
11
13
11
1
++
++
+
2
213
2
213
0334
3
3
11
1
...1
13
11
13
11
1
2,1
2
+−=⇒±−=
=−+⇒++=
++
=
++
++
+=
xx
xxx
x
x
x
x
![Page 23: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/23.jpg)
Задатак 3:Приказати број φ (златни пресек) као
верижни разломак.
Да се подсетимо: Златни пресек је тачка која дели дуж тако да је однос целе дужи према дужем делу једнак односу дужег дела према краћем делу тј.
xa
x
x
a
−=
⇒+±−=⇒=−+⇒=−2
40
22
212222 aaa
xaaxxxaxa ,
15
2
215 −
=−⋅
=a
a
x
a
...61803398.12
51
15
15
15
2 =+=++⋅
−=
x
a
![Page 24: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/24.jpg)
Из следи
Узастопним понављањем овог поступка добија се
xa
x
x
a
−=
xa
xaxx
xa
x
xax
x
a
++=
−
+=−+=−+=1
11
111
......
x
a
11
11
11
11
11
2
51
++
++
+=+=
![Page 25: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/25.jpg)
“Божанско у броју φ је његова ирационалност.”
Лука Пачоли
![Page 26: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/26.jpg)
Који је “најирационалнији”?
[ ][ ][ ]
[ ][ ],...,,,,,,,,,;
,...,,,,,,,;
племенитNoble,....,,,,,,,,,;
.Њутн,...,,,,,,,,,,,,,;e
,...,,,,,,,,,;
212121212113
2222222212
11111111111
17141011811611411212
214131129211573
=
=
−=φ==π
....2
12
12
12
112
++
++
+=
......1
1
11
11
11
11
++
++
+=φ
...
e
++
++
++=
54
4
33
22
11
12
![Page 27: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/27.jpg)
Приближно решавање квадратне једначине
Приближно решити једначину
Решења су
0132 =−− xx
( )x
xxxxx1
313132 =−⇒=−⇒=−
3027756,0;3027756,32
133
21
2,1
−≈≈
±=
xx
x
3,3
...31
3
13
13
13
13 ≈
++
+=+
+=+=
xx
x
3,0
...31
3
1
3
1 −≈
+−+−
=+−
=x
x
![Page 28: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/28.jpg)
Проблем календара
Година је дуга 365дана 5 сати 48 минута и 46 секунди
Или 1година=Представимо то у облику верижног разломка:
Па је година једнака
43200
10463365
86400
20926365
1
46min485365 =+=+
s
s
дан
sh
43200 = 4 * 10463 + 1348 10463 = 7 * 1348 + 1027 1348 = 1 * 1027 + 321 1027 = 3 * 321 + 64 321 = 5 * 64 + 1 64 = 1 * 64 + 0
[ ]64,5,3,1,7,4;365
![Page 29: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/29.jpg)
Тј. дужина године се може апроксимирати са 365 дана и
Бројилац представља број преступних година, а именилац дужину циклуса
Прву апроксимацију је увео Јулије Цезар (Сосиген) 45.г.п.н.е. (+11 минута 14 секунди)
Трећу апроксимацију је предлагао Омар Хајам у 11.веку (8 преступних година у циклусу од 33 године)
4. (чија је грешка занемарљива – само 1 секунду) предлагао је руски астроном Медлер 1864. – да 128. не буде преступна, већ обична
Папа Гргур XIII 1582. (грешка -26 секунди) – свака четврта преступна, осим ако је дељива са 100, а није са 400 (3 пута у 400 година); тада се сматрало да је грешка +4 секунде.
[ ]
64
15
13
11
17
14
136564,5,3,1,7,4;365
++
++
++=
43200
10463;
673
163;
128
31:
33
8;
29
7;4
1
1048–1131.
![Page 30: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/30.jpg)
Миланковић је свој календар базирао на анулирању тадашње разлике јулијанског и грегоријанског
календара од 13 дана. Проблем преступних година решио је тако, што преступне године могу бити оне које
су дељиве са 4 без остатка, а секуларне године биће само онда преступне ако њихов број векова, када се
подели са 9 даје остатак 2 или 6. Све остале секуларне године су просте, што даје потпуну прецизност
календара до 2.800. године, односно до тада не може бити никаквог размимоилажења са садашњим
грегоријанским календаром.Овако конципиран Миланковићев календар је требало
кориговати тек после 28.800 година. До данас, иако је у суштини прихваћен на Свеправославном конгресу 30.
маја 1923. године у Цариграду, Миланковићев календар није примењен.
![Page 31: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/31.jpg)
Задатак 4:
Наћи однос основице и крака једнакокраког троугла чији је угао при врху једнак 108°.
Због једнакости углова
ba
DAAC
ADBDBD
AD
BD
DBAD
BD
AB
b
a 11
11
111 +=+=+=+=+==
ADC~ABC ∆∆
[ ],...,,;...
xx
xx 1111
11
11
11
11
11
11 ==
++
+=+
+=+=
![Page 32: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/32.jpg)
Задатак 5:
Наћи однос дијагонале и странице квадрата.
[ ],...2,2,2;1
...
12
12
12
12
12
12
1111
111
=⇒
=
++
+=+
+=+=⇒
++=+=+===
+=+=+==
a
dx
xx
x
xAF
FB
AF
FBAF
AF
AB
EB
DAx
EBDADA
EB
DA
EBDE
DA
BD
a
d
![Page 33: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/33.jpg)
Чему служе верижни разломци?
![Page 34: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/34.jpg)
Верижни разломци брзо конвергирају па се користе за апрокцимацију реалних бројева
разломком, за израчунавање децимала броја π и других ирационалних бројева.
![Page 35: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/35.jpg)
Апроксимација ирационалних бројева
[ ],...,,,,,,,,,,,,,,,,,,;
...
222211214131211129211573
2
11
11
11
1292
11
115
17
13 =
++
++
++
++
+=π
![Page 36: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/36.jpg)
Може се уочити да стварна вредност броја лежи између две суседне оцене
Архимед 3. век п.н.е. Adriaen Antonisz 1585.
....113
355;
106
333;
7
22;3
...2
11
11
11
1292
11
115
17
13
π<π>π<π>
++
++
++
++
+=π
![Page 37: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/37.jpg)
Првих 7 рационалних апроксимација су:
3 (као у Библији); (Архимед), а затим
Уколико заокруглимо број на 4 децимале 3,1416 правимо 100 пута већу грешку него
уколико узмемо разломак
7
22
,...66317
208347,
33215
104384,
33102
103993,
113
355,
106
333
[ ]11573 ,,;
![Page 38: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/38.jpg)
Инжењерски проблем
Уколико је потребно да је однос брзине окретаја два зупчаника буде једнак нпр.
Уколико су зупчаници са 70 и 99 зубаца, грешка је само 0,007%.
2
,....,,,,
...
70
99
29
41
12
17
5
7
2
32
12
12
112
++
++=
![Page 39: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/39.jpg)
Кристијан Хајгенс(1629-1695.)
• Ораријум из 1682.• Холандски математичар,
астроном и физичар • Патентирао сат са клатном и
џепни сат• 1682. утврдио да су дужине
ротација Земље и Сатурна 7 и 206, тј. у односу 29,46
![Page 40: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/40.jpg)
Куда иду истраживања верижних разломака?
• Carl Friedrich Gauss (1777-1855.) посматрао вероватноћу појављивања одређених цифара у верижном разломку.
• Alexandar Khinchin (Алекса́ндр Я́ковлевич Хин́чин 1894-1959.)
• Paul Lévy (1886-1971.)
![Page 41: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/41.jpg)
Закључак
• Сваки коначни верижни разломак је рационалан број.
• Сваки рационалан број може се написати као коначан верижни разломак.
(најмање две цифре )• Сваки ирационалан број се на јединствен начин
може представити као бесконачни верижни разломак, али обрнуто не важи.
• Ирационални бројеви са великом прецизношћу могу апроксимирати верижним разломцима.
• Сваки правилни бесконачни верижни разломак конвергира (Worpitzky – ова теорема 1865.год.)
[ ]202
1;=
![Page 42: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/42.jpg)
“Човек је као разломак у коме је он бројилац, а његово мишљење о себи именилац. Што је већи именилац, то
је мањи разломак.”
Лав Толстој
![Page 43: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/43.jpg)
...3
11
12
11
11
11
1292
11
115
17
13
++
++
++
++
++
+=π
Наставиће се.....
![Page 44: Verizni razlomci1](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042801/5882b0121a28abd75a8b5f09/html5/thumbnails/44.jpg)
ЛИТЕРАТУРА
• Бескин Н.М. - Замечательные дроби• Ланселот Хогбен – Стварање математике• Continued Fraction by John D. Barrow,
Gresham Professor of Geometry and other Mathematical Sciences (YouTube)
• An Introduction to the Continued Fraction • Проф. др. Душко Летић, проф. др. Ненад
Цакић – Сриниваса Раманујан Принц бројева