Vektorska algebraLinearna (ne)zavisnost vektora:

1. Ispitajte linearnu (ne)zavisnost vektora:!a = !i +!j +!k , !b = 2!i !j + 3!k i !c = !i 5!j + 3!k .

Rjeenje: Vektori su linearno zavisni. !c = 3!a + 2!b .2. Napiite vektor !a = !i 2!j + 5!k kao linearnu kombinaciju vektora:

!u = !i +!j +!k , !v = !i + 2!j + 3!k i !w = 2!i !j +!k .Rjeenje: !a = 6!u + 3!v + 2!w .

3. Zadani su vektori !a = !i + 2!j +!k , !b = 2!i +!j +!k , !c = !j + 2!ki!d = 2

!i +

!j . Pokazite da su vektori !a ;!b i !c linearno nezavisni, a

vektor!d prikazite kao njihovu linearnu kombinaciju.

Rjeenje:!d = 2!a + 2!b + 3 !c :

Okomiti (normalni) vektori i kut meu vektorima:

4. Odredite vrijednost parametra za koju su vektori !u = !i + !j 3!ki !v = 2!i 5!j + 4!k okomiti.Rjeenje: = 2.

5. Odredite vrijednost parametra za koju su vektori !u +!v i !w okomitiako je zadano !u = 6!i +!j +!k , !v = 3!j !k i !w = 2!i +3!j +5!k .Rjeenje: = 1.

6. Dane su tocke A (5; 2;1) ; B(1;3; 4); C(2; 1; 3) i D(2; 6;2): Odreditekut izmeu vektora

!AC i

!BD:

7. Koji kut zatvaraju jedinicni vektori !m i !n ako su vektori !p = !m + 2!ni !q = 5!m 4!n meusobno okomiti.Rjeenje: = 3 .

8. Dani su vektori !a (2; 1; 1), !b (1; 3; 0) i !c (5;1; 8). Odredite takoda vektor !a zatvara jednake kutove sa vektorima !b i !c .Rjeenje: = 14 .

Primjena na dijagonale paralelograma:

1

9. Dani su vektori !a = 2!u +!v !w , !b = 3!u +!v !w ; gdje su !u ,!v i!w jedinicni vektori koji zatvaraju kutove: ](!u ;!v ) = 6 , ](!v ;!w ) = 56i ](!u ;!w ) = 6 . Izracunajte duljine dijagonala paralelograma konstruira-nog nad tim vektorima.

Rjeenje: d1 =p9 + 4

p3, d2 = 5.

10. Naite duljine i kut izmeu dijagonala paralelograma nad vektorima !a =2!m + !n i !b = !m 2!n gdje su !m i !n jedinicni vektori koji zatvarajukut od 3 .

Rjeenje: d1 =p7, d2 =

p13, cos(

!d1;!d2) =

4p91

91 .

Skalarna projekcija (duljina ortogonalne projekcije) vektora:

11. Ako su !a = (2; 0;3) i !b = (3; 5; 2) odredite skalarne prijekcije vektora!a na !b i vektora !b na !a :Rjeenje: proj!

b!a = 6

p38

19 ; proj!a!b = 12

p13

13 .

12. Izracunajte duljinu ortogonalne projekcije vektora !a = 2!p 3!q navektor

!b = !p +!q ako je zadano j!p j = 2, j!q j = 3 i kut izmeu vektora!p i !q je 3 .

Rjeenje: proj!b!a = 22

p19

19 .

Vektorski umnozak vektora:

13. Naite vektor okomit na ravninu odreenu tockama P (1; 3; 2),Q(4;1; 1)i R(3; 0; 2).

Rjeenje: !n = !PQ!PR = 3!i 2!j !k .14. Prikazite vektor !a (!b !c ) preko vektora !b i !c ako je !a (2; 0; 1),!

b (1;1; 0) i !c (1; 1; 1).Rjeenje: !a (!b !c ) = 3!b 2!c .

15. Pokazite da su vektori !a (1; 3; 2), !b (2;3;4) i !c (3; 12; 6) kompla-narni i naite njihovu linearnu zavisnost.

Rjeenje: !a (!b !c ) = 0; !c = 5!a +!b .

2

16. Naite projekciju vektora!d = !a (!b !c ) na vektor !b ako je !a (0; 1; 2),

!b (2; 1;1) i !c (2; 1; 1).Rjeenje: proj!

b

!d = 11

p6

3 .

Primjena vektorskog umnoka na povrinu i obujam:

17. Zadane su tocke A(2; 4; 3), B(3; 2; 1) i C(2; 1; 0). Naite povrinutrokuta ABC.

Rjeenje: P = 11p2

2 .

18. Nai povrinu i visinu BD trokuta ABC ako je A(1;2; 8), B(0; 0; 4) iC(6; 2; 0).

Rjeenje: P = 7p5, BD = 2

p213 :

19. Neka je j!a j = 5,!b = 5 i ](!a ;!b ) = 4 . Naite povrinu paralelograma

nad vektorima 2!b !a i 3!a + 2!b .

Rjeenje: P = 100p2.

20. Zadani su vektori !p ,!q i !r . Ako je poznato da vektori !a = 2!p !qi!b = !p + !q razapinju kvadrat povrine P1, a vektori !c = 4!p + !r i!d = !p !r kvadrat povrine P2, izracunajte omjer povrina tih dvajukvadrata.

Rjeenje: P1P2 =925 .

21. Ispitati da li tocke A(1; 0; 1); B(2; 1; 4); C(1; 1; 1) iD(6; 2; 10) pripadajuistoj ravnini. Ako ne pripadaju istoj ravnini izracunati:

(a) Povrinu piramide ABCD.

(b) Obujam piramide ABCD.

(c) Visinu piramide ABCD iz tocke D.

3