vektor

*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012

V E K T O RM E N U

V e k t o r

Pengertian vektor

Penulisan Vektor

Panjang /besar Vektor

Vektor Sama

Vektor Lawan

Penjumlahan Vektor

Pengurangan Vektor

Perkalian skalar dengan vektor

Vektor basis

Perbandingan vektor

M E N U

M E N U

M E N U


V E K T O RPerhatikanlah tayangan berikut ini !

Vektor !.....coy, gaya dorong!

Vektor Juga! ...Brur, grafitasi !


Perhatikan juga tayangan yang berikut ini !

Vektor Juga! ...Brur, kecepatan !





Vektor juga itu namanya...Coy !


Vektor

Vektor



A. Pengertian Vektor

Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Sebagai contoh dalam fisika, misalnya seperti gaya, grafitasi, kecepatan, percepatan, medan magnit, dll. Vektor bersifat kekal atau tetap sehingga tidak berubah karena pergeseran

Secara geometri sebuah vektor digambarkan mengunakan anak panah atau segmen garis berarah .

Panjang anak panah menunjukan besar atau panjang vektor, dan arah anak panah menunjukan arah dari vektor tersebut.

Untuk membedakan sebuah vektor dengan vektor yang lainnya, maka vektor diberi nama dengan cara membubuhkan huruf kapital pada titik pangkal dan titik ujungnya.

Contoh vektor secara geometri :

A B

D

E

C

D G

H

F

E

TERUS


1. Penulisan Vektor

c. Huruf kecil tebal, seperti : “ u “.

TERUS

Contoh :

A

B

u

Ditulis u, u, u, atau AB adalah menyatakan sebuah vektor yang berpangkal dititik A dan berujung di titik B.

u

Secara aljabar, vektor dapat dituliskan dengan berbagai cara, yaitu menggunakan :

a. Huruf kecil dengan garis bawah, seperti : “ u “

b. Huruf kecil dengan tanda panah di atasnya, seperti :

ABd. Pasangan huruf kapital dengan tanda panah di atasnya, seperti :

a. Penulisan Vektor di Ruang Dimensi 2 ( R2 )


Perhatikan juga contoh vektor berikut ini !

x

y

O

A(a,b)

u

Vektor di atas berpangkal dititik O(0,0) dan berujung di titik A(a,b) disebut sebagai vektor posisi, dan ditulis sebagai berikut :

OA = u =ab

a dan b disebut komponen- komponen vektor dari vektor posisi . OA

Next

Disebut vektor kolom

OA = u = ( a, b ) Disebut vektor baris


Perhatikan beberapa vektor posisi berikut !

X

Y

O

A(–6, 4)

B(–2, 8)

C(0,7)D(5, 6)

E(13,3)

O

OA = a = –6 4 Adalah vektor posisi dari titik A

OB = b = –2 8

Adalah vektor posisi dari titik B

b

OC = c = 0 7

Adalah vektor posisi dari titik C

cd

OD = d = 5 6

Adalah vektor posisi dari titik D

e

OE = e = 13 3 Adalah vektor posisi dari titik E

Next

Next

Next

Next

Next

a


2. Mengubah sebuah vektor menjadi vektor posisi

x

y

P(a,b)

Q(c,d)

u

NextPQ adalah vektor yang berpangkal di titik P(a,b) dan berujung di titik Q(c,d).

PQ dapat digeser hingga titik pangkal P berimpit dengan O, dan titik ujung Q berimpit dengan U.

O

U

Sehingga didapat u=PQ =c – a d – b OU =


Contoh : Ubahlah vektor vektor berikut menjadi vektor posisi !

X

Y

O

A(–1,7)

B(–5,1)

Next

u

AB

Penyelesaian :

=

u =

–5 – (–1) 1– 7 =

–4 –6

C(10,3)

B(2,7)

v

BC =

u =

10 – 2 3 – 7 =

8 –4

Next Next

C(13,3)

D(7,8)

w

CD =

w =

7 – 13 8 – 3 =

–6 5

Next

D(16,2)

E(20,7)

x

DE =

x =

20 – 16 7 – 2 =

4 5


b. Penulisan Vektor di Ruang Dimensi 3 ( R3 )

Perhatikan vektor di R3 berikut ini !

Y

X

Z

O

P( a,b,c )

u

a

b

c

Next

vektor di atas adalah vektor posisi pada R3 dan dapat ditulis sebagai berikut :

Next

u =

OP =

a b c

u =

OP =

atau [ a, b, c ]


Mengubah sebuah vektor menjadi vektor posisi di R3

X

Y

Z

P(a,b,c)

Q(d,e,f)

u

Next

u =

PQ =

d – a e – b f – c

A

O

OA=

u OA=

Adalah vektor posisi dari PQ Dapat cari sebagai berikut :


Contoh :

Ubahlah vektor vektor berikut menjadi vektor posisi !

1. Titik pangkal A(1,2,3) dan titik ujung B(9,7,6)

2. Titik pangkal P(1,–2 ,–3 ) dan titik ujung Q(–9 ,–7, 6)

3. Titik pangkal C(–1, 2, –3 ) dan titik ujung D(9, 3, 4)

Penyelesaian :

Misalkan : u =

ABAdalah vektor posisi dari maka u

9 – 1 7 – 2 6 – 3

=

8 5 3

Misalkan : v =

PQAdalah vektor posisi dari maka v

–9 – 1 -7 + 2 6 + 3

=

–10 -5 9

Misalkan : w =

CDAdalah vektor posisi dari maka u

9 + 1 3 – 2 4+ 3

=

10 1 7

Next

Next

Next


Panjang atau Besar Vektor

a. Panjang Posisi Vektor Di R2

x

y

O

P(a,b)

u

Next

Panjang Vektor u =

OP dinyatakan dengan uI I atau OPI I dan

dengan bantuan teorema Pythagoras dirumuskan sebagai berikut :

uI I2 =

OPI I2 =

Next

a

b

a2 + b2

uI I =

OPI I =

22 ba


I I PQ

b. panjang vektor di R2

x

y

P(a1,b1)

Q(a2,b2)

u

Next

Panjang Vektor u =

PQ dinyatakan dengan uI I atau I I PQ dan

dengan bantuan teorema Pythagoras dirumuskan sebagai berikut :

uI I2 =

I I2 PQ =

Next

a2 – a1

b2 – b1

(a2 – a1)2 + (b2 – b1)

2

uI I =

=

212

212 bbaa


c. Contoh soal


uI I

c. Panjang Vektor Posisi Di R3

P(a,b,c)u

O

I I OP

X

Y

Z

NextPanjang Vektor posisi u =

OP dinyatakan dengan atau I I OP dan

dengan bantuan rumus panjang diagonal ruang dirumuskan sebagai berikut :

uI I2 =

I I2 OP =

Next a2 + b2 + c2

uI I =

=

222 cba

atau


d. Panjang Vektor Di R3

X

Y

Z

P(a,b,c)

u

I I PQ

NextPanjang Vektor u =

PQ dinyatakan dengan uI I atau I I PQ dan

dengan bantuan rumus jarak dua titik dirumuskan sebagai berikut :

uI I2 =

I I2 PQ =

Next(d – a)2 + (e – b)2 + (f – c)2

uI I =

=

222 cfbead

Q(d,e,f)

O

atau


Vektor-vektor yang Sama

Dua buah vektor u v=

=

ab

cd

u =

v

dan adalah sama, jika dan hanya jika memiliki

panjang dan arah yang sama. Dengan kata lain ↔

perhatikan illustrasi berikut :

x

y

R

S

u

O

Q

v

P

u =

↔

v

ac

Next

Next

b

d

a = c dan b = d

a = c dan b = d


4. Vektor Lawan

perhatikan illustrasi berikut :

x

y

P

Q

u

O

Q

– u

P

Next

Dua buah vektor di atas memiliki besar atau panjang yang sama, tetapi memiliki arah yang berlawan dikatakan dua vektor tersebut saling berlawanan.

u lawan dari vektor dinyatakan dengan – u dan disebut juga negatif vektor u atau lawan dari vektor PQ adalah – PQ atau dapat ditulis

sebagai QP


c. Contoh soal


1. Penjumlahan Vektor

a. Penjumlahan Vektor Secara Geometri

A a

1) Aturan segitiga

B

a

C

b

+ b

Operasi Antar Vektor

2) Aturan jajaran Genjang

A a B

a

C

b + b

Next

D


Penjumlahan Vektor Secara Aljabar atau Analitik

X

Y

O

Penjumlahan Vektor di R2

A(a,b)

B(c,d)u

v

Next

Untuk vektor u =

a b

dan v =

c d

maka u +

v =

a b +

c d =

a + c b + d

Perhatikan gambar di atas !

u +

v

C(a+c,b+d)

u

v

ac a+

c

b

d

b+

d


Penjumlahan Vektor di R3

Untuk vektor u =

dan v =

maka u +

v =

+

=

Perhatikan gambar di atas !Next

A(a,b,c)

B(d,e,f)u

v

u +v

C(a+d,b+e,c+f)

u

v

y

x

z

a b c

d e f

a b c

d e f

a+d b+e c+f

O


2. Pengurangan Vektor

A

B

u

C

v

u – v

v–

u+ – v( )

KLIK

Jika vektor AB mewakili u dan

AC mewakili v maka : AB – AC = CB ↔ u – v = u + – v( )

Perhatikan pengurangan vektor secara geometrik berikut !

Dan secara aljabar atau analitik didapat :

a. Untuk u dan v Di R2 :

jika =

a b dan v =

c d

maka u –

v =

a b –

c d =

a – c b – d

b. Untuk u dan v Di R3 :

jika u =

dan v =

maka u v =

=

a b c

d e f

a b c

d e f

a – d b – e c – f

–

–

u


3. Perkalian Vektor dengan Skalar

X

Y

O

u

A(ka,kb)

a

b

KLIK

ka

kbA(a,b)

uk

KLIK

Jika k adalah sebuah skalar

u adalah sebuah vektor, maka :

a. Untuk u di R2 didapat : uk = k a b =

k a k b

b. Untuk u di R3 didapat : uk = k = a b c

k a k b k c


4. Vektor BasisPerhatikan illustrasi berikut !

1

1

1

i

j

k

i

KLIK

=

1 0 0

Adalah vektor yang panjangnya 1 satuan sejajar dengan sumbu x

j = 0 1 0

Adalah vektor yang panjangnya 1 satuan sejajar dengan sumbu y

k = 0 0 1

Adalah vektor yang panjangnya 1 satuan sejajar dengan sumbu z

i

j

k

dan,

i , j dan k Saling tegak lurus dan membentuk sistem putaran tangan kanan

disebut vektor basis

y

x

z

O


y

x

z

x1

y1

z1

ij

k

O

u

Perhatikan illustrasi berikut !

Vektor posisi

KLIK

OP = u dapat ditulis sebagai kombinasi dari vektor basis

i , j , dan k yaitu :

=

x1 y1 z1

u = x1 i + y1 j + z1 k

i

j

k

P(x1,y1,z1)

x1

y1

z1


Perbandingan Dua Vektor

O A

B

P

a

b

pm

n

O A

B

P

a

b

p

mnKLIK

KLIKa. Dalam Bentuk VektorJika titik P membagi dua garis AB dengan perbandingan AP : PB = m : n, maka vektor posisi titik P :p = a + AP , AP =

mm+n AB , AB = b –

a , AP =m

m+n b –

a( )

p = a +m

m+n b –

a( ) = (m+n) a + b –

a )(m( m+n)

=ma + na + mb –

ma( m+n)

p =na+ mb( m+n )

Jika P merupakan titik tengah AB maka : p =a + b

2

KLIK

vektor

Documents