VECTORESEs un elemento matemático el cual representa a toda magnitud física vectorial (comopor ejemplo) Velocidad, Aceleración, Fuerza, Campo Eléctrico etc.

ELEMENTOS DEL VECTOR:

0 Origen

Línea de Acción

α Dirección

A

A

Línea de Referencia

Modulo del vector: esta representada por la longitud del vector

Vector A

Extremo

REPRESENTACIÓN CARTESIANA DE UN VECTOR

Según los puntos: M (X1, Y1) y N (X2; Y2)

X1 X2

Y1

Y2

X2 – X1

Y2 – Y1M

N

ӨExtremo del Vector

Origen del Vector

MN = Extremo - Origen

MN = (X2 ; Y2) – (X1 ; Y1) M - N

El Modulo del Vector lo hallamos por el teorema de Pitágoras:

MN = (X2 – X1)2 + (Y2 – Y1)2

Ejemplo: dado el diagrama y los punto M (2;5) y N(6;8) hallar el modulo del vector

2 6

5

8

M

N MN = (X2 – X1) – (Y2 – Y1)

MN = (6 – 2) – (8 – 5)

MN = (6 - 2 ; 8 - 5)

MN = ( 4 ; 3)

MN = (X2 – X1) + (Y2 – Y1)

MN = (4)2 + (3)2

MN = 16 + 9

MN = 25

MN = 5

CLASIFICACION DE LOS VECTORES

1) VECTORES COLINEALES:Son aquellos vectores que se encuentran en una misma línea de acción.Como por ejemplo:

A B

Los vectores y son Colineales A B

2) VECTORES PARALELOS: Son aquellos vectores cuyas líneas de acción son paralelas. como por ejemplo

A

B

C

Los vectores y son ParalelasA B C

3) VECTORES CONCURRENTES: Son aquellos vectores cuyas líneas de acción se cortan en un punto.como por ejemplo

AB

CD

E

FO

Los vectores A, B, C, D, E y F son vectores Concurrente.

4) VECTORES OPUESTOS: Son aquellos vectores que presentan igual modulo pero direcciones contrarias.como por ejemplo

A

- A

5) VECTORES COPLANARES: Son aquellos vectores que se encuentran contenidos en el mismo plano.como por ejemplo

P

A

B

C

Los vectores A, B y C son Coplanares

OPERACIÓN CON VECTORES

Tenemos las operaciones de Suma, Resta y Multiplicación

SUMA VECTORIALConsiste en representar un conjunto de vectores por unúnico vector llamado vector suma o vector Resultante.Ejemplo.

AB A

B

EJEMPLO: el siguiente conjunto de vectores determinar el vector resultante

A

BC

D A

B

C

D

R = A + B + C + D

METODO DEL TRIANGULO:Consiste en operar con 2 vectores.como por ejemplo

A

BB

A

R = A + B

METODO DEL POLIGONO:Consiste en operar con mas de 2 vectores colocándolosuno a continuación del otro.como por ejemplo

A

B

C

D

A

B

C

D

CASO ESPECIAL: cuando el POLIGONO presenta los vectores sucesivos, es decir noobservamos intersección de cabezas de flechas, no existe resultante ( R = 0 )

A B C

D

EF

A + B + C + D + E + F = 0 R = 0

METODO DEL PARALELOGRAMO: Sirve para 2 vectores, para hallar su vectorresultante es unir sus orígenes y luego es trazar sus paralelas a dichos vectores,la resultante será la unión del origen y la intersección de las paralelas de losvectores.

AB

A

B

El modulo del vector suma lo calculamos así:

R = 𝐴2 + 𝐵2+2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠𝜃Ө

B

A

AHORA CALCULAMOS EL MODULO DEL VECTOR DIFERENCIA

R = 𝐴2 + 𝐵2−2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠𝜃𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜

𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠

CONCLUSIÓN:

Vector Suma o ResultanteR = T + S

D

Vector DiferenciaR = T - S

Ө

Ө

S

T

Nota: para el vector diferencia : la flecha del vector diferencia que coincide con la flecha de uno de los vectores ese será el vector positivo y el otro será su vector opuesto

Ejemplo: hallar el modulo del vector resultante de los siguientes vectores

3

5

60°

R = 𝐴2 + 𝐵2+2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠𝜃

R = (3)2+ (5)2+ 2 3 5 𝐶𝑜𝑠60°

R = 9 + 25 + 30(1

2)

R = 34 + 15

R = 49

R = 7

R

D

D = 𝐴2 + 𝐵2−2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠𝜃

D = (3)2+ (5)2− 2 3 5 𝐶𝑜𝑠60°

D = 9 + 25 − 30(1

2)

D = 34 − 15

D = 19

D = 4,36

CASOS PARTICULARES: Modificando el ángulo “Ө”

a) Ө = 0° ( A B ) : entonces se obtiene el máximo valor del modulo de la resultante

A

B

R máx. = A + B

Resultante Máxima

b) Ө = 180° ( A B ) : Se obtiene el menor valor posible de la resultante

Ө AB R min = A - B

Resultante Mínima

c) Ө = 80° ( A ⊥ B ) : Se obtiene aplicando el Teorema de Pitágoras

A

B

𝑅 = 𝐴2 + 𝐵2

APLICACIÓN DE VECTORES

1) Del siguiente conjunto de vectores, determinar el modulo del vector resultante

A B

C

A = 3

B = 4

D = 6

60 °

D

SOLUCIÓN:

𝐶 = 𝐴2 + 𝐵2

𝐶 = (3)2+(4)2

𝐶 = 9 + 16

𝐶 = 25

𝐶 = 5R = 𝐶2 + 𝐷2+2𝐶𝐷𝐶𝑜𝑠𝜃

R = (10)2+ (6)2+ 2 10 6 𝐶𝑜𝑠60°

R = 100 + 36 + 120°(1

2)

R = 136 + 60°

R = 196

R = A + B + C + D

R = C + C + D

R = 2C + D

R = 14 u

2) De la siguiente figura hallar el modulo del vector Resultante a) 6 ub) 10 uc) 11 ud) 14 ue) 12 u

Si: AB = BC = 2u

A

B

C

SOLUCIÓN:

ab

c

d

f

gh

e

f

g

x

R = a + b + c + d + e + f + g + h

ab

e

x = f + g

x + h = e + a + b

c

d

x + h = c + d

R = a + b + e + d + c + f + g + h

R = x + h + x + h + x + h

R = 3(x + h) R = 3( 2 + 2 )

R = 3( 4 )

R = 12

3) De la siguiente figura hallar el modulo del vector Resultante:a) Cerob) ac) -ad) be) f

ab

cd

i

hg

e

f

SOLUCIÓN:

R = a + b + c + d + e + f + g + h + i

R = a + i + d + e + f + h + g + b + c

a

die

f

a + i + d + e + f = 0

ab

c

hg

a + b + c + h + g = 0

R = 0 + h + g + b + c

b + c + h + g = - a

R = 0 + - a

R = - a

4) Halla en el plano cartesiano, la dirección del vector C = 6i + 8j

SOLUCION:

8

6

αX

Y

𝑇𝑔𝛼 =𝐶. 𝑂

𝐶. 𝐴

𝑇𝑔𝛼 =8

6

𝑇𝑔𝛼 =4

3

𝛼 = 53°

37

53

3

54

5) En el recuadro se muestra las componentes (x;y) de dos vectores A y B ; halle el modulo del vector resultante

SOLUCION:

A B

X 4 2

Y -11 3

A = 4i – 11j

A = (4; – 11)

B = 2i + 3j

B = (2; 3)

A + B = (4;-11) + (2;3)

A + B = (4 + 2; -11 + 3)

A + B = (6; 8)

R = 6i + 8j

𝑅 = (6)2+(8)2

𝑅 = 36 + 64

𝑅 = 100

𝑅 = 10

6) Usando el esquema determinar el vector m

m

10

3

-3

m = Extremo - Origen

m = (-3;3) – (1;0)

m = (-3-1 ; 3 - 0)

m = ( -4 ; 3 )

7) Calcule el modulo del vector resultante en el diagrama mostrado

4

5

53°

SOLUCIÓN:

53°

B = 5

R

R = 𝐴2 + 𝐵2+2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠𝜃

R = (4)2+ (5)2+ 2 4 5 𝐶𝑜𝑠53°

R = 16 + 25 + 40(3

5)

R = 41 + 24)

R = 65

8) Con los siguientes datos; halle 𝑚 ; 𝑛 = 3; 𝑚 + 𝑛 = 13,𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑚 𝑦 𝑛 120°

Solución:R = 𝑚2 + 𝑛2+2𝑚𝑛𝐶𝑜𝑠𝜃

13 = (𝑚)2+ (3)2+ 2 𝑚 3 𝐶𝑜𝑠120°

13 = 𝑚2 + 9 + 2(𝑚)(3)(−0,5)

13 = 𝑚2 + 9 − 3m

𝑚2 + 9 − 3m – 13 = 0

𝑚2 − 3m – 4 = 0

(m - 4)(m + 1) = 0

m = 4 m = -1

9) En la figura 𝐶 = 20 𝑦 𝐷 = 40 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝐶 + 𝐷

D

C

80° 20°

SOLUCIÓN:

D

C

R = 𝐶2 + 𝐷2+2𝐶𝐷𝐶𝑜𝑠𝜃

R = (20)2+ (40)2+ 2 20 40 𝐶𝑜𝑠60°

R = 400 + 1600 + 1600(1

2)

R = 400 + 1600 + 800

R = 2800

R = 400 𝑥 7 R = 400. 7 R = 20 7

10) La figura muestra un cuadrado de lado “a” M y N son los puntos medios de sus respectivos lados hallar la resultante de los vectores.

SOLUCIÓN:

a

a

N

M

a

a

a 2=

a 2 𝑎 2

=2a 2

11) En la figura mostrada hallar el vector resultante

SOLUCION:

AB

C

D

E

F

G

R = A + B + C + D + E + F + G

R = A + B + C + D + E + F + G

G = A + B + C + D + E + F

R = G + G R = 2 G

12) SI “R” es el vector resultante de los vectores A; B; C; D mostrados en la figura, determinar el modulo del vector “ R – 2D “a) 2b) 3c) 4d) 0e) 5

A B C

D

SOLUCIÓN:

BC

D

A

D = A + B + C

R = A + B + C + D

R = D + D

R = 2 D

Nos piden R - 2D

R - 2D = 2D - 2D

R - 2D = 0

PRACTICA DIRIGIDA DE VECTORES

1) Un automóvil viaja 3 Km hacia el Norte y 2Km hacia el Este,encuentre la magnitud del vector desplazamiento resultante, en Km

SOLUCIÓN: N E

d3 Km

2 Km

𝑑 = 22 + 32

𝑑 = 4 + 9

𝑑 = 13

2) En la figura 𝐴 = 3; 𝐵 = 5 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑒𝑠𝑒 𝐴 − 𝐵

A

B

C

SOLUCION:

C + B = A

𝐶 = 𝐴 − 𝐵

𝐶 = 𝐵 2 − 𝐴2

𝐶 = 5 2 − 32

𝐶 = 25 − 9

𝐶 = 16

𝐶 = 4

3) Tres vectores A, B y C tienen componentes “X” y “Y” como se muestra en la tabla, halle la dirección del vector resultante.

A B C

X 4 -1 5

Y -2 0 10

SOLUCION:

A + B + C = (4 ; -2) + (-1 ; 0) + (5 ; 10)

A + B + C = (4 -1 + 5) + (-2 + 0 + 10)

A + B + C = 8i + 8j

A + B + C = (8 ; 8)

Tg α = ∆𝑦

∆𝑥

Tg α = 8

8

𝑇𝑔𝛼 = 1

𝛼 = 45°

4) En el triangulo vectorial encuentre el modulo de la suma de vectores; 𝐴 = 3; 𝐵 = 4; 𝐶 = 6

SOLUCIÓN:

CB

A

R = A + B + C C = A + B

R = C + C

R = 2 C

R = 2 (6)

R = 12

5) Dado un polígono cruzado, calcule el vector resultante

p

q

n

m

SOLUCION:

R = m + n + p + q q = m + n + p

R = q + q

R = 2q

6) Varios vectores se muestran en el plano. Calcule el modulo del vector resultante.

5053°

SOLUCION:

5053°

37°

40

30

A

B

CD

R = A + B + C + D

A + B = C + D

R = A + B + A + B

R = 2A + 2B X

X = A + B

R = 2(A + B)

R = 2( X )

R = 2 (40)

R = 80