vectores · 2016-01-06 · 06/01/2016 5 •propiedad fundamental de los vectores libres...
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Vectores 1) Vectores en 𝑹𝟐
• Vector fijo en el plano • Elementos de un vector fijo ( módulo, dirección, sentido,
origen y extremo) • Vectores equipolentes • Vector libres • Propiedad fundamental de los vectores libres • Definición de vectores • Operaciones ( gráficas) de vectores libres.
Vectores 2)Coordenadas y base
• Combinación lineal • Vectores linealmente dependiente • Bases. Bases canónica
3) Sistema de referencia Euclídeo • Vector de posición • Coordenadas de un vector fijo y libre • Operaciones analíticas de vectores • Módulo y argumento • Punto medio de un segmento. • Puntos alineados.
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Vectores 4) Producto escalar
• Producto escalar
• Propiedades
• Expresión analítica del producto escalar
• Interpretación geométrica
• Ángulo de dos vectores
1) Vectores en 𝑅2 • Vector fijo en el plano
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• Elementos de un vector fijo ( módulo, dirección, sentido, origen y extremo)
Ejercicio: relaciona los vectores fijos siguientes. Fíjate en dirección, sentido y módulo
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• Vectores equipolentes
• Vector libres
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• Propiedad fundamental de los vectores libres
• Definición de vectores
• Vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo (o extensión) nulo. Se representa como 0 .
• Vector unitario tienen de módulo la unidad.
Normalizar un vector consiste en obtener otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado. Para normalizar un vector se divide éste por su módulo.
• Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si sus direcciones son perpendiculares ( forman 90°); es decir si su producto escalar es cero.
• Dos vectores son opuestos , si tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.
• Vectores concurrentes tienen el mismo origen.
• Dos vectores son ortonormales si: Son ortogonales (Su producto escalar es cero.) y si los dos vectores son unitarios.
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• Operaciones ( gráficas) de vectores libres.
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2) Coordenadas y base • Combinación lineal
El vector 𝑎 se dice que es combinación lineal (C.L.) de los vectores 𝑢, 𝑣 si existe dos números reales 𝛼 , 𝛽 𝜖 𝑅 que cumplan
𝑎 = 2𝑢 + 4𝑣
𝑎 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣
• Vectores linealmente dependiente
Los vectores 𝑎 , 𝑢 , 𝑣 se dice que son linealmente dependiente (L.D.) si existe entre ellos una combinación lineal; es decir, si existe dos números reales 𝛼 , 𝛽 𝜖 𝑅 que cumplan 𝑎 = 𝛼 ∙ 𝑢 + 𝛽 ∙ 𝑣
𝑎 = 2𝑢 + 4𝑣
𝑎 , 𝑢 , 𝑣 son L.D
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SÍ
Indica una combinación lineal entre ellos
¿Son linealmente dependientes los vectores de la figura?
𝑤 = 3𝑣 + 2𝑢
¿Existe otra combinación lineal entre ellos?
SÍ 𝑤 − 2𝑢 = 3𝑣
𝑤 − 2𝑢
3= 𝑣
𝑣 = 1
3𝑤 −
2
3𝑢
𝑤 = 3𝑣 + 2𝑢
Dos vectores 𝑎 , 𝑢 se dice que son linealmente dependiente (L.D.) si existe un números reales 𝛼 𝜖 𝑅 que cumplan 𝑎 = 𝛼 ∙ 𝑢
𝒂
𝒃
𝒄
= 𝟐 ∙ 𝒂
= −𝟏
𝟐∙ 𝒂
𝒂 𝒚 𝒃 (L.D.)
𝒂 𝒚 𝒄 (L.D.)
Dos vectores 𝑎 , 𝑢 se dice que son linealmente dependiente (L.D.) tiene la misma dirección
Dos vectores 𝑎 , 𝑢 se dice que son linealmente independiente (L.I.) NO tiene la misma dirección
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Dados dos vectores libres 𝑢, 𝑣 con diferente dirección; es decir (L.I.), cualquier otro vector 𝑤 se puede expresar como combinación lineal (C.L) de ellos;
𝑏 = 𝑢 + 𝑣
• Bases.
En este caso, se dice que B= 𝑢, 𝑣 es una base y que 𝛼 , 𝛽 son las coordenadas de 𝑤 respecto a la base B
B= 𝑣 , 𝑢 es una base
𝒃
Indica una combinación lineal
del vector 𝒃 con respecto a la base B= 𝑢, 𝑣
Indica una las coordenadas del
vector 𝒃 respecto a la base B= 𝑢, 𝑣
𝑏 = (1 , 1)
𝑊 = 𝛼 ∙ 𝑢 + 𝛽 ∙ 𝑣
𝒄
𝑐 = −3𝑢 + 𝑣 𝑐 = (−3 , 1)
?
Las coordenadas del vector 𝐵𝐶 respecto a la base B= 𝑢, 𝑣 es 𝐵𝐶=(3,-3)
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Prueba corta 1) Expresa los vectores 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 en función de 𝑢 y 𝑣
2)
Si los vectores que forman la base tienen direcciones perpendiculares se dice que es una base ortogonal, y si además sus módulos son unitarios, la base es ortonormal
La base canónoca está formada por los vectores 𝑖 , 𝑗
• Base canónica
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Combinación lineal del vector 𝒂 con respecto a la base canónica B= 𝑖 , 𝑗
𝑎 = 4𝑖 + 3𝑗
Las coordenadas del vector 𝒂 respecto a la base canónica B= 𝑖 , 𝑗
𝑎 = (4 , 3)
Todos los vectores equipolentes tiene las mismas coordenadas respecto a la base canónica, es decir, todos los representantes de una mismo vector libre tiene las mismas coordenadas
𝑢 y 𝑣 son equipolentes
Las coordenadas respecto a la base canónica son 𝑢 = 𝑣 = 2 , 3 Su combinación lineal respecto la base canónica es 𝑢 = 𝑣 = 2𝑖 + 3𝑗
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Suma de vectores dados sus coordenadas
Como combinación lineal
Producto de un número real por un vectores dados sus coordenadas
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Módulo de un vectores dados sus coordenadas
Utilizando el teorema de pitágotas
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑢 2
𝑢 = 𝑥2 + 𝑦2
Argumento de un vectores dados sus coordenadas
Se llama argumento de un vector, al ángulo que formado dicho vector con la parte positiva del eje X
𝛼 = arg (𝑢) = 𝑎𝑐𝑡𝑔𝑦
𝑥
El ángulo correspondiente al vector se debe elegir teniendo en cuenta el cuadrante al que pertenece el vector
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Halla las coordenadas de otro vector con la misma dirección y sentido que 𝑢 pero con módulo 1 unidad
𝑤 =2
13,−3
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3) Sistema de referencia Euclídeo • Vector de posición
• Coordenadas de un vector fijo y libre respecto al sistema de referencia Euclídeo
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1º) Actividad en clase. Demostración
2º) Actividad en clase. Encontrar de forma razonada los puntos M1 y M2 puntos que dividen tren partes iguales un segmento