vasikes gnoseis ipourgio

Σελίδα 1 από 18

Β α σ ι κ έ ς κ α ι π ρ ο α π α ι τ ο ύ μ ε ν ε ς γ ν ώ σ ε ι ς θ ε ω ρ ί α ς

Στοιχεία άλγεβρας 1. Αριθμοί Σύνολο Φυσικών αριθμών: 0,1,2,3,...

Σύνολο Ακέραιων αριθμών: ..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...

Σύνολο Ρητών αριθμών: α

/α,β ακέραιοι με β 0β

Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. 33, 7, 2,... Το σύνολο Πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς. Τα σύνολα 0 , 0 , 0 , 0 τα συμβολίζουμε * * * *, , , αντίστοιχα.

2. Αντίθετοι – Αντίστροφοι (ιδιότητες στο ) Αν α τότε υπάρχει ο α που ονομάζεται αντίθετος του α και ισχύει α α 0 .

Αν *α τότε υπάρχει ένας νέος αριθμός *1α που ονομάζεται αντίστροφος του α και ισχύει

1α 1

α , α 0 .

3. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) παραστάσεων Όταν έχουμε δύο ή περισσότερες παραστάσεις, ονομάζουμε ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) αυτών την ελάχιστη παράσταση που διαιρείται από καθεμία των προηγουμένων. Το ΕΚΠ σχη-ματίζεται από τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες γραμμένους μια φορά ο καθένας με το μεγαλύτερο εκθέτη. 4. Διάταξη στην ευθεία των πραγματικών αριθμών Ορίζουμε: α β α β 0 Ιδιότητες:

Αν α 0 και β 0 τότε α β 0 , αν α 0 και β 0 τότε α β 0 Αν α β και γ 0 τότε α γ β γ Αν α β και γ 0 τότε α γ β γ Αν α β και γ δ τότε α γ β δ Αν α β και γ δ και α,β,γ,δ θετικοί τότε α γ β δ

Αν α β 0 τότε ν να β , ν

Αν α β και α,β ομόσημοι αβ 0 τότε 1 1α β

Αν α β και β γ τότε α γ Αν α β α γ β γ

Αν α

0β αβ 0 (ομόσημοι), β 0


Αν α

0β αβ 0 (ετερόσημοι), β 0

5. Απόλυτη τιμή Η απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται α και ορίζεται ως εξής:

α, αν α 0α

α, αν α 0

Γεωμετρικά η απόλυτη τιμή α παριστάνει την απόσταση του αριθμού α από το μηδέν, πάνω

στον άξονα x ' x . Επίσης, η απόλυτη τιμή του α β α β παριστάνει την απόσταση των αριθμών α και β πάνω

στον άξονα x ' x . Ιδιότητες Απολύτων: 1. α 0 , α α , α α

2. 2 2α α

3. 2α α

4. α α

5. α β α β

6. αα

β β , *β

7. α β β α

8. α β α β α β (τριγωνική ανισότητα)

9. o ο οx x δ χ δ χ χ δ , δ 0

10. α) Αν θ 0 τότε x θ χ θ ή χ θ

β) χ α χ α ή χ α

γ) Αν θ 0 τότε x θ θ x θ

δ) Αν θ 0 τότε x θ x θ ή x θ

6. Ταυτότητες

2 2α β α β α β

2 22 2 2 2α β α 2αβ β α β α β 2αβ

2 2 2α β α 2αβ β

3 33 2 2 3 3 3α β α 3α β 3αβ β α β α β 3αβ α β

3 3 2 3 3α β α 3α β 3αβ β

3 3 2 2α β α β α αβ β

3 3 2 2α β α β α αβ β

2 2 2 2α β γ α β γ 2αβ 2βγ 2γα

2 2 2 2α β γ α β γ 2αβ 2βγ 2γα

7. Τριώνυμο Κάθε παράσταση της μορφής 2f x αx βx γ , α,β,γ , α 0 ονομάζεται τριώνυμο.

Ορίζουμε τη διακρίνουσα 2Δ β 4αγ Ρίζες τριωνύμου


Αν Δ 0 τότε το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες 1 2ρ ,ρ με 1

β Δρ

2α

, 2

β Δρ

2α

Αν Δ 0 τότε το τριώνυμο έχει μια διπλή ρίζα την 1 2

βρ ρ

2α

Αν Δ 0 τότε το τριώνυμο δεν έχει ρίζες στο , δηλαδή η εξίσωση είναι αδύνατη στο Παραγοντοποίηση τριωνύμου

Αν Δ 0 τότε 21 2αx βx γ α x ρ x ρ

Αν Δ 0 τότε 2

2 βαx βx γ α x

2α

Αν Δ 0 τότε το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται Τύποι του VIETA

1 2

βS ρ ρ

α

1 2

γP ρ ρ

α

2 2αx βx γ 0 x Sx P 0 Πρόσημο τριωνύμου 2f x αx βx γ

Αν Δ 0

Αν Δ 0

Αν Δ 0

Γραφική παράσταση τριωνύμου


8. Πολυώνυμο – Παραγοντοποίηση πολυωνύμου Πολυώνυμα ν ν 1

ν ν 1 1 οP x α x α x ... α x α , ν ν 1 1 οα ,α ,...,α ,α και ν .

Κάθε πολυώνυμο έχει το πολύ τόσες ρίζες όσος είναι ο βαθμός του. Πιθανές ακέραιες ρίζες της ν ν 1

ν ν 1 1α x α x ... α x α 0 με ν ν 1 1 οα ,α ,...,α ,α , είναι

οι διαιρέτες του σταθερού όρου α. Ένα πολυώνυμο P x έχει παράγοντα το x ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του P x ,

δηλαδή αν και μόνο αν P ρ 0 .

Παραγοντοποίηση πολυωνύμου γίνεται ποιο γρήγορα με το σχήμα Horner.


9. Εξισώσεις – Ανισώσεις που μετατρέπονται σε πολυωνυμικές

Ανισώσεις της μορφής

A x0

B x ή

A x0

B x

A x0

B x A x B x 0 με B x 0

A x0


A x0


A x0


Στις ρητές και στις άρρητες εξισώσεις ή ανισώσεις προσέχουμε τους περιορισμούς. Δηλαδή:

A x0

B x πρέπει B x 0

A x κ πρέπει A x 0

A xλ

B x πρέπει B x 0

10. Δυνάμεις – Ρίζες πραγματικών αριθμών Ορίζουμε ν *α α α ... α ν φορές , ν και ν 2

Ιδιότητες δυνάμεων κ λ κ λα α α

κ

κ λλ

αα

α

κκ κα β α β

κκ

κ

α αβ β

, β 0

Αν α 0 , 0α 1 , νν

1α

α

Αν ν περιττός τότε ν νx α x α

Αν ν άρτιος τότε ν νx α x α ή x α

Ρίζες πραγματικών αριθμών Αν α 0 , η α παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης 2x α και ονομάζεται τε-

τραγωνική ρίζα του α . Αν α 0 , η ν α παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης νx α και ονομάζεται νι-

οστή ρίζα του α . Ιδιότητες ριζών

2α α

α β α β με α 0 και β 0

α α

ββ με α 0 και β 0

Αν α 0 τότε νν α α και νν α α

ν ν να β α β με α 0 και β 0

ν

νν

α αββ

με α 0 και β 0


μ μ νν α α με α 0

ν ρ μ ρ μνα α με α 0 , *ν

κκν να α με α 0 , *ν,κ

νν να β α β με α 0 και β 0 , *ν

Αν α,β μη αρνητικοί αριθμοί τότε ισχύει ν να β α β

Η εξίσωση νx α , α 0 και ν περιττός , έχει ακριβώς μία λύση, την ν α

Η εξίσωση νx α , α 0 και ν άρτιος , έχει ακριβώς δύο λύσεις, τις ν α και ν α 11. Μετατροπή κλάσματος με άρρητο παρονομαστή σε ρητό παρανομαστή

α β α βα

ββ β β

με β 0

2 2 23 3 3

2 33 3 33

α β α β α βαββ β β β

με β 0

α γ δ α γ δαγ δγ δ γ δ γ δ

με γ δ και γ,δ 0

α γ δ α γ δαγ δγ δ γ δ γ δ

με γ δ και γ,δ 0

Τριγωνομετρία 1. Ορισμοί τριγωνομετρικών αριθμών σε ορθογώνιο τρίγωνο και σε τριγωνομετρικό

κύκλο.

γ

συνΒα

β

ημΒα

β

εφΒγ

γ

σφΒβ

Ορισμοί στον τριγωνομετρικό κύκλο συνω x τετμημένη τουΜ

ημω y τεταγμένη τουΜ

Eεφω y τεταγμένη του Ε

Eσφω x τετμημένη του Σ


χχ ' άξονας συνημιτόνων

yy ' άξονας ημιτόνων

ε ευθεία εφαπτομένων

δ ευθεία συνεφαπτομένων

1 συνω 1 1 ημω 1

Μοίρες – ακτίνια

Ο τύπος που μετατρέπει τις μοίρες μ σε ακτίνια α (rad) και αντίστροφα είναι ο εξής: ο

α μπ 180

2. Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών τόξων και γωνιών

Γωνία ω Τριγωνομετρικοί αριθμοί σε μοίρες σε rad ημω συνω εφω σφω

o0 0 0 1 0 -

o30 π6

12

32

33

3

o45 π4

22

22

1 1

o60 π3

32

12

3 33

o90 π2

1 0 - 0

3. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

2 2ημ ω συν ω 1

ημω

εφωσυνω

συνω

σφωημω

εφω σφω 1

22

1συν ω

1 εφ ω

2

22

εφ ωημ ω

1 εφ ω

4. Σημαντικοί τριγωνομετρικοί τύποι συν α β συνα συνβ ημα ημβ

συν α β συνα συνβ ημα ημβ

ημ α β ημα συνβ ημβ συνα

ημ α β ημα συνβ ημβ συνα

2 2 2 2συν2α συν α ημ α 1 2ημ α 2συν α 1

2 2 2α α ασυνα συν ημ 1 2 ημ 2 συ

2 2 2

εφα εφβεφ α β

1 εφα εφβ


εφα εφβεφ α β

1 εφα εφβ

σφα σφβ 1σφ α β

σφβ σφα

σφα σφβ 1σφ α β

σφβ σφα

ημ2α 2 ημα συνα

2

2 εφαεφ2α

1 εφ α

2σφ α 1

σφ2α2 σφα

2 1 συν2ασυν α

2

2 1 συν2αημ α

2

2 1 συν2αεφ α

1 συν2α

2

2 εφαημ2α

1 εφ α

2

2

1 εφ ασυν2α

1 εφ α

5. Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο – Τριγωνομετρικοί αριθμοί γύρω από τις θέσεις

π2

και 3π2

οσυν 180 θ συνθ

οημ 180 θ ημθ

οεφ 180 θ εφθ

οσφ 180 θ σφθ

συν θ συνθ

ημ θ ημθ

εφ θ εφθ

σφ θ σφθ

οσυν 180 θ συνθ

οημ 180 θ ημθ

οεφ 180 θ εφθ

οσφ 180 θ σφθ

οσυν 90 θ ημθ

οημ 90 θ συνθ

οεφ 90 θ σφθ

οσφ 90 θ εφθ



οεφ 90 θ σφθ

οσφ 90 θ εφθ



οεφ 270 θ σφθ

οσφ 270 θ εφθ



οεφ 270 θ σφθ

οσφ 270 θ εφθ

6. Επίλυση απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων Αν συνx συνθ τότε x 2κπ θ ή x 2κπ θ , κ Αν ημx ημθ τότε x 2κπ θ ή x 2κπ π θ , κ Αν εφx εφθ τότε x κπ θ , κ Αν σφx σφθ τότε x κπ θ , κ

7. Βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις (περιοδική-άρτια-περιττή συνάρτηση, μονο-

τονία-ακρότατα συνάρτησης) Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός α-

ριθμός T 0 τέτοιος ώστε για κάθε x A να ισχύει: o x T A, x T A


o f x T f x T f x

o Ο πραγματικός αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος της f π.χ. Περιοδικές συναρτήσεις είναι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις: f x συνx ,

f x ημx , f x εφx , f x σφx

Μια συνάρτηση f : A λέγεται άρτια αν:

o Για κάθε x A ισχύει x A o f x f x για κάθε x A

Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy '.

Μια συνάρτηση f : A λέγεται περιττή αν: o Για κάθε x A ισχύει x A o f x f x για κάθε x A

Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων O 0,0 .

Μονοτονία συνάρτησης: Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της,

όταν για οποιαδήποτε 1 2x ,x Δ ισχύει:

Αν 1 2x x τότε 1 2f x f x

Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της,

όταν για οποιαδήποτε 1 2x ,x Δ ισχύει:

Αν 1 2x x τότε 1 2f x f x

Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότο-

νη. Ακρότατα: Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει ελάχιστο στο ox A όταν

of x f x , για κάθε x A . Η τιμή of x λέγεται ελάχιστο της συνάρτησης f .

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει μέγιστο στο ox A όταν of x f x ,

για κάθε x A . Η τιμή of x λέγεται μέγιστο της συνάρτησης f .

Μελέτη τριγωνομετρικών συναρτήσεων f x ημx , x , 1 ημx 1


Η f είναι περιοδική με περίοδο 2π και για αυτό τη μελετάμε σε διάστημα πλάτους 2π π.χ. 0,2π

Η συνάρτηση f x ημx είναι περιττή γιατί f x ημ x ημx f x και έτσι η γραφι-

κή παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή O 0,0 των αξόνων. Ακόμα έχει μέγιστο στο

o

πx

2 με

πf 1

2

και ελάχιστο στο 1

3πx

2 με

3πf 1

2

.

f x συνx , x , 1 συνx 1

Η f είναι περιοδική με περίοδο 2π και για αυτό τη μελετάμε σε διάστημα πλάτους 2π π.χ. 0,2π

Η συνάρτηση f x συνx είναι άρτια γιατί f x συν x συνx f x και έτσι η γραφική

παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy '. Ακόμα έχει μέγιστο στα 1x 0 , 2x 2π με

f 0 1 , f 2π 1 και ελάχιστο στο 3x π με f π 1 .

f x εφx , π

x κπ όπου κ2


Η f είναι περιοδική με περίοδο π και για αυτό τη μελετάμε σε διάστημα πλάτους π π.χ.

π π,

2 2

Η συνάρτηση f είναι περιττή γιατί f x εφ x εφx f x και έτσι η γραφική παρά-

σταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή O 0,0 των αξόνων. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο

π π,

2 2

. Οι ευθείες π

x2

, π

x2

είναι κατακόρυφοι ασύμπτωτοι της γραφικής παράστασης

της f . f x σφx , x κπ όπου κ

Η f είναι περιοδική με περίοδο π και για αυτό τη μελετάμε σε διάστημα πλάτους π π.χ. 0,π

Η συνάρτηση είναι περιττή γιατί f x σφ x σφx f x και έτσι η γραφική παράστα-

ση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή O 0,0 των αξόνων. Η ευθεία x π και ο άξονας yy ' εί-

ναι κατακόρυφοι ασύμπτωτοι της γραφικής παράστασης της f . Η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,π .

Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση 1. Εκθετική συνάρτηση (Μελέτη και μονοτονία) – Επίλυση εκθετικών εξισώσεων – α-

νισώσεων


Εκθετική συνάρτηση ορίζουμε τη συνάρτηση f : 0, με χf x α , α 0 και α 1 , δη-

λαδή α 0,1 1,

Αν α 1 τότε για την xf x α ισχύουν:

o έχει πεδίο ορισμού το o έχει σύνολο τιμών το διάστημα

0,

o είναι γνησίως αύξουσα στο δηλα-δή για κάθε 1 2x ,x , αν 1 2x x

τότε 21 xxα α o η γραφική της παράσταση τέμνει τον

άξονα yy ' στο σημείο Α 0,1 και

έχει ασύμπτωτη τον αρνητικό ημιά-ξονα των x .

Αν 0 α 1 τότε για την xf x α ι-

σχύουν: o έχει πεδίο ορισμού το o έχει σύνολο τιμών το διάστημα

0,

o είναι γνησίως φθίνουσα στο δηλα-δή για κάθε 1 2x ,x , αν 1 2x x

τότε 21 xxα α o η γραφική της παράσταση τέμνει τον

άξονα yy ' στο σημείο Α 0,1 και

έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα των x .

Σχόλιο χρήσιμο για ασκήσεις με εκθετικές εξισώσεις Αν 1 2x x τότε 21 xχα α (λόγω μονοτονίας της xf x α ) οπότε με απαγωγή σε άτοπο

έχουμε 21 xx1 2α α x x

Για την επίλυση εκθετικών ανισώσεων εφαρμόζουμε τη μονοτονία της xf x α , προσέ-

χοντας αν α 1 ή 0 α 1 Στη διαδικασία επίλυσης εκθετικών εξισώσεων ή ανισώσεων μπορούμε να εφαρμόζουμε

τις ιδιότητες των δυνάμεων. 2. Έννοια λογαρίθμου (Ορισμός – Ιδιότητες) – Λογαριθμική συνάρτηση και μελέτη αυ-

τής Λογαριθμική συνάρτηση ορίζουμε τη συνάρτηση f : 0, με αf x log x , α 0 και

α 1 , x 0 . Ισχύει: θ

αlog x θ α x


Όταν α e γράφουμε ln x και έχουμε φυσικό λογάριθμο του x Όταν α 10 γράφουμε log x

Για τη συνάρτηση αf x log x ισχύουν:

x 0,

y Αν 0 α 1 , η f είναι γνησίως φθίνουσα δηλαδή αν 1 2x x τότε α 1 α 2log x log x

Αν α 1 , η f είναι γνησίων αύξουσα δηλαδή αν 1 2x x τότε α 1 α 2log x log x

Έτσι η f x ln x , όπου α e , είναι γνησίως αύξουσα.

Ιδιότητες λογαρίθμων α 1 2 α 1 α 2log x x log x log x

1α α 1 α 2

2

xlog log x log x

x

κα 1 α 1log x κ log x

αlog α 1 και αlog 1 0

xαlog α x και αlog xα x

Αν: o α 1 τότε α 1 α 2 1 2log x log x x x

o 0 α 1 τότε α 1 α 2 1 2log x log x x x

x x lnαα e , αφού lnαα e

αβ

α

log θlog θ

log β , θ 0 , α,β 0 και α,β 1

β

lnθlog θ

lnβ

β

log θlog θ

logβ

Αν: o α 1 και 0 x 1 τότε αlog x 0

o α 1 και x 1 τότε αlog x 0 Αν: o 0 α 1 και x 1 τότε αlog x 0

o 0 α 1 και 0 x 1 τότε αlog x 0 3. Επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων – ανισώσεων Από τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης προκύπτει:

Αν 1 2x x , τότε α 1 α 2log x log x , έτσι με απαγωγή σε άτοπο έχουμε ότι ισχύει:

α 1 α 2 1 2log x log x x x Εφαρμόζουμε τον ορισμό του λογαρίθμου και τις ιδιότητες. Για την επίλυση των λογαριθμικών ανισώσεων εφαρμόζουμε:

o τον ορισμό του λογαρίθμου και τις ιδιότητες


o τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης 4. Λογάριθμοι στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων – ανισώσεων Εφαρμόζοντας τους ορισμούς και τις ιδιότητες της εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης προσπαθούμε να μετατρέψουμε την εκθετική εξίσωση – ανίσωση σε λογαριθμική ή το αντί-στροφο ανάλογα με το πιο είναι πιο εύκολο.

Στοιχεία αναλυτικής γεωμετρίας 1. Διανύσματα Α1. Βασικές γνώσεις στα διανύσματα Έστω διάνυσμα ΑΒ

με άκρα 1 1Α x , y ,

2 2Β x , y

o ΟΑ ΑΒ ΟΒ

o 2 1 2 1ΑΒ x x ,y y

(συντεταγμένες του

ΑΒ

) o Οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ

είναι

1 2 1 2x x y yΜ ,

2 2

Έστω το διάνυσμα α x, y

, x 0 . Τότε καλού-

με συντελεστή διεύθυνσης λ εφω όπου ω είναι

η γωνία του α

. Είναι y

λx

, x 0 .

Δηλαδή για το ΑΒ

ισχύει 2 1ΑΒ

2 1

y yλ

x x

, 1 2x x

Μέτρο του διανύσματος α x, y

: 2 2α x y

Έτσι για το ΑΒ

είναι

2 2

2 1 2 1ΑΒ x x y y

δηλαδή η ευκλεί-

δεια απόσταση μεταξύ των σημείων Α, Β. Δύο διανύσματα 1 1α x , y

και 2 2β x , y

είναι παράλληλα δηλαδή α β

, εάν και μό-

νο εάν η ορίζουσα det των συντεταγμένων τους είναι μηδέν δηλαδή:

1 11 2 2 1

2 2

x yx y x y 0

x y


Α2. Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Έστω 1 1α x , y

, 2 2β x , y

Καλούμε εσωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων

τον αριθμό α β συνω

.

Άρα α β α β συνω

ή 1 2 1 2α β x x y y

Ισχύει 1 2 1 2

2 2 2 21 1 2 2

x x y yσυνω

x y x y

2. Ευθεία Β1. Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας, εξίσωση ευθείας, παράλληλες και κάθετες ευθείες, γωνία τεμνόμενων ευθειών Μια ευθεία δ καθορίζεται από τη διεύθυνση της. Ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης

αυτής λ εφω όπου ω η γωνία της δ με τον άξονα Οx . Ισχύει: 0 ω π

Εξίσωση ευθεία: o o oε : y y λ x x , αν ο συντελεστής διεύθυνσης της λ και η ευθεία περνάει από

το σημείο o oΑ x , y . Αν π

ω2

δεν υπάρχει λ και τότε ox x .

Αν δίνεται σημείο Α με παραμετρική έκφραση για να ορίσουμε την ευθεία πάνω στην οποία κινείται το Α εργαζόμαστε ως εξής: Έστω A 2λ 1,λ 2 . Θέτουμε x 2λ 1 και y λ 2 και απαλείφουμε την παρά-

μετρο λ δηλαδή λ y 2 άρα x 2 y 2 1 x 3y 4 1 x 2y 5 0 .

o ε : Αx By Γ 0 με A B 0 αν B 0 τότε ε

Αλ

Β

Αν 1 2δ δ τότε 1 2λ λ

Αν 1 2δ δ τότε 1 2λ λ 1

Για να βρούμε τη γωνία δύο ευθειών 1 2δ , δ εργαζόμαστε ως εξής:

Λαμβάνουμε διάνυσμα 1α δ

και 2β δ

Βρίσκουμε τη γωνία των διανυσμάτων α,β.

Β2. Απόσταση σημείου από ευθεία

Απόσταση d σημείου o oA x , y από την ευθεία ε : Αχ Βy Γ 0 : o o

2 2

Ax By Γd

Α Β

Β3. Εμβαδόν τριγώνου (ΑΒΓ)


Εμβαδόν τριγώνου (ΑΒΓ) όπου 1 2A x , y , 2 2B x , y , 3 3Γ x , y :

1E det AB,AΓ

2

, όπου det AB,AΓ

είναι η ορίζουσα των

συντεταγμένων ΑΒ

, ΑΓ

. 3. Κωνικές τομές Γ1. Κύκλος – Εξισώσεις κύκλου

2 2 2ο ox x y y ρ , όπου o oK x , y είναι το κέντρο του και ρ ακτίνα του

Όταν το κέντρο είναι η αρχή των αξόνων η εξίσωση γίνεται: 2 2 2x y ρ και η εξίσωση της εφαπτομένης ε σε ένα σημείο του 1 1Α x , y είναι

21 1ε : xx yy ρ

2 2x y Ax By Γ 0 όταν 2 2Α Β 4Γ 0

Ο κύκλος τότε έχει κέντρο Α Β

Κ ,2 2

και ακτίνα 2 2Α Β 4Γ

ρ2

Γ2. Μέγιστη – Ελάχιστη απόσταση σημείου του κύκλου από την αρχή των αξόνων ΟΑ ελάχιστη απόσταση από το Ο 0,0

ΟΜ μέγιστη απόσταση από το Ο 0,0

Γ3. Παραβολή

Η εξίσωση παραβολής C με εστία p

Ε ,02

και διευθετούσα p

δ : x2

είναι 2y 2px

Η εφαπτομένη της παραβολής 2y 2px στο σημείο 1 1Μ x , y έχει εξίσωση:

1 1yy p x x

Εξίσωση παραβολής C με εστία p

Ε 0,2

και διευθετούσα p

δ : y2

είναι 2x 2py

Η εφαπτομένη της παραβολής 2x 2py στο σημείο της 1 1Μ x , y έχει εξίσωση:

1 1xx p y y

Γ4. Έλλειψη Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία Ε ' γ,0 , Ε γ,0 και σταθερό άθροισμα

2α είναι: 2 2

2 2

x y1

α β όπου 2 2β α γ


Η εφαπτομένη της έλλειψης C στο σημείο της 1 1Μ x , y έχει εξίσωση 1 12 2

xx yy1

α β

Η εκκεντρότητα της έλλειψης ορίζεται ως γ

ε 1α

ή 2 2α β

εα

, άρα 2β1 ε

α

Αν 1Μ , 2Μ είναι δύο οποιαδήποτε σημεία της έλλειψης συμμετρικά ως προς Ο τότε το

ευθύγραμμο τμήμα 1 2ΜΜ λέγεται διάμετρος της έλλειψης και ισχύει 1 22β Μ Μ 2α

2α μήκος μεγάλου άξονα 2β μήκος μικρού άξονα

Γ5. Υπερβολή Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία Ε ' γ,0 , Ε γ,0 και σταθερή διαφορά

2α είναι: 2 2

2 2

x y1

α β όπου 2 2β γ α

Η εφαπτομένη της έλλειψης C στο σημείο της 1 1Μ x , y έχει εξίσωση 1 12 2

xx yy1

α β

Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία Ε ' 0, γ , Ε 0,γ και σταθερή διαφορά

2α είναι: 2 2

2 2

y x1

α β όπου 2 2β γ α

Αν α β τότε έχουμε 2 2 2x y α που λέγεται ισοσκελής υπερβολή

Οι ασύμπτωτες της υπερβολής 2 2

2 2

x y1

α β είναι

βy x

α ,

βy x

α

Οι ασύμπτωτες της υπερβολής 2 2

2 2

y x1

α β είναι

αy x

β ,

αy x

β

Η εκκεντρότητα της υπερβολής ορίζεται ως γ

ε 1α

ή 2βε 1

α

Η εφαπτομένη της υπερβολής C στο σημείο της 1 1Μ x , y έχει εξίσωση 1 12 2

yy xx1

α β

Αριθμητική – Γεωμετρική πρόοδος 1. Αριθμητική πρόοδος


Αριθμητική πρόοδος (Α.Π.) λέγεται μια ακολουθία να , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον

προηγούμενο του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού, τον οποίο ονομάζουμε διαφορά της προόδου και συμβολίζουμε με ω. Δηλαδή ν 1 να α ω ν 1 να α ω

Οι όροι της Α.Π. είναι 1 1 1 1α ,α ω,α 2ω,...,α ν 1 ω

Άρα ν 1α α ν 1 ω , *ν

Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. αν και μόνο αν ισχύει α γ

β2

ο β λέγεται αριθμητικός μέσος των α και γ Το άθροισμα των ν πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου να , με διαφορά ω είναι:

ν 1 ν

νS α α

2 ή ν 1

νS 2α ν 1 ω

2

2. Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική πρόοδος (Γ.Π.) λέγεται μια ακολουθία να , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον

προηγούμενο του με πολλαπλασιασμό επί το ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό, τον οποίο ονο-μάζουμε λόγο της προόδου και τον συμβολίζουμε με λ.

Αν λ 0 ισχύει ν 1 να α λ ή ν 1

ν

αλ

α

Οι όροι της Γ.Π. είναι: 2 ν 11 1 1 1α ,α λ,α λ ,...,α λ

Έτσι ν 1ν 1α α λ , *ν

Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π., αν και μόνο αν ισχύει 2β α γ

Ο β λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου να με λόγο λ 1 είναι

ν

ν 1

λ 1S α

λ 1

Αν λ 1 τότε το άθροισμα των άπειρων όρων της γεωμετρικής προόδου είναι: 1αS1 λ

vasikes gnoseis ipourgio

Documents