varios - cultura y aprendizaje 05 - numeros decimales por que y para que.pdf
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NUMEROS
DECIMALES
¿PORQUE? ¿PARAQUE?
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Colección:
MATEMATICAS
:
CULTURA
Y
APRENDIZAJE
1.
Area
de conocimiento:
didáctica
de las
matemáticas
Angel
Gutiénez,
Bernardo
GómezAlfonso,
JuanDíaz
Godino,
Luis Rico
RoÁe.o,
M.
Sierra
Vázquez
2. Números y
operaciones
Luis Rico
Romero,
Encarnación
Castro
Mafínez,
Enrique
Castro Martínez
3. Numeración y
cálculo
Bernardo
Gómez Alfonso
4. Fracciones
Salvador
Llinares
Ciscar,
M." Victoria
Sánchez
García
5. Números
decimales:por
qué y
para qué
Julin
cntenoórez
ó.
Números
enteros
Jo¡é
1,, Conzdlcz
Marf, M.'Dolores
lriarte
Bustos,
Alfonso
Ortiz
Comas, nmaculada
Vargas-
Mnchuca, Manuela
Jimeno
Pérez,
Antonio
Ortiz Villarejo,
Esteban
Sanz
Jiménez
7. Dlvlslbilidad
Modcsto
SienaVázquez,
ndrés
Ga¡cía,M."
T.
González
studillo,
Mario González
costa
8. Problemas
aritméticos
escolares
Luis Puig
Espinosa,
ernando
erdán érez
9. Estimación en cálculo y medida
Isidoro
Segovia lex,
Encarnación
astroMafínez,
Enrique
Castro
Martínez,
Luis
Rico Romero
10.
Aritmética
y
calculadora
Frederic
Udina Abelló
Ll.. Materiales
para
construir
la
geometría
Carmen urgués
lamerich,
laudiAlsina
Catalá,
osep
M." Fofuny
Aymemi
12. Invitación
a la
didáctica
de Ia
geometría
ClaudiAlsina
Catalá, osep
M." Fortuny
Aymemi,
Carmen
urgués
lamerich
13.
Simetría
dinámica
Rafael Pérez
Gómez,
Claudí Alsina
Catalá,
Ceferino Ruiz
Garrido
14. Proporcionalidad
geométrica y
semejanza
Grupo
eta
15.
Poliedros
Gregoria Guillén Soler
16. Una metodología activa
y
lúdica
para
la enseñanza de la
geometría
Angel
Martínez Recio, Francisco Juan
Rivaya
17. El
problema
de la medida
Carmen Chamono Plaza,Juan
M. Belmonte
Gómez
18. Circulando
por
el círculo
Francisco Padilla Dfaz, Arnulfo Santos
Herniíndez,
Fidela
Velázquez,
Manuel Femández Reyes
19. Superfrcie
y
volumen
M." Angeles del Olmo Romero,
Francisca
Moreno Carretero,Francisco
Gil
Cuadra
20.
Proporcionalidad directa
M."Luisa iolMora, oséM."
Fortuny
ymemi
21.
Nudos
y
nexos. Redes en la escuela
Moisés Coriat Benarroch, JuanaSancho
Gil,
Antonio Marín
del Moral,
Pilar
Gonzalo
Martín
22. Por los caminos de la lógica
Inés
Sanz
Lerma,
Modesto Arrieta Liarramendi, Elisa Pardo Ruiz
23.
Iniciación al álgebra
Manuel Martln SocasRobayna, Matías Camacho Machín,
M."
Mercedes
PalareaMedina,
JosefaHernández Domínguez
Z.
Enseñanza dela
suma
y
de
la
resta
Carlos
Maza
Gómez
25.
Enseñanza dela multiplicacién
y
de
la
división
Carlos Maza Gómez
26. Funciones
y gráficas
Jordi
Deulofeu Piquet,
Carmen
Azcárate
Giménez
27,
Azar
y probabilidad
Juan Díaz Godino,
Carmen
Batanero Bemabéu,
M." Jesús
Cañiza¡esCastellano
28.
Encuestas
precios
AndrésNortesCheca
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29.
Prensa
y
matemáticas
Antonio
Fernández
Cano,
Luis
Rico
Romero
30.
ordenador y
educación
matemática:
algunas
modalidades
de
uso
José A.
Cajaraville
Pegito
31..
Ordenar
y
clasificar
Carlos Maza
Gómez,
Carlos
Arce
Jiménez
32.
Juegos
y pasatiempos
en Ia
enseñanza
de ra
matemática
eremental
Josefa
Fernández
Sucasas,
M."
Inés
Rodríguez
Vela
33. Ideas y
actividades
para
enseñar
álgebra
Crupo
Azarquiel
34.
Recursos
en
el aula
de
matemáficas
Francisco
emán
iguero,
lisa
Carrillo
uintela
NUM"EROS.f}EC
¿POR
QUE?
¿PARA'Q
Consejeeditor:
I
uis
Rico
Romero,
José
M." Fortuny
Aymemi,
Luis
puig
Espinosa
tj
- - - .
- ; ' - '
. : i t - '
l
;
JULIA CENTENO PEREZ
:
'--profeioii't'ifúiái
I
del Departamento:deiMatd¿itied
Logrons dp
la.Uniye¡sidad
4q
Zarugoza
dc
EDITORIAL
SINTESIS
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Compra Canie
-
Donación
techa eadqursrción
Año-
Mes
-
Fecha
e
Procesamiento
Año-
Mes
-
Proveedor-
Día
A
mi madrc,
que
no
ha csc'ritt¡ in¡¡rin
ihnt
ni
plantado
arboles
pero
tiene
diez hijos
I)eseo en estas íneas expresar mi
agradecimientoa los amigo.t
que
mc han
u.tutdado
animado
durante a
redacción
de este ibro.
,4 Luis Rico,
miembro del
Comité
Editorial,
porque
me
propu.to
u idau dc
harerlo,
me apoyó con
sus onsejos su confianza
y
ha aportadoalgunasmotlilica-
doncs
para
mejorarlo.
A
Efraim
Centeno
que
estuvocerca de mí
desde os comienzos, olaboró en la
preparación
de
ichas
bibliográficas
y
ha aportado algunas deas
para
facilitar
la
letlura
del texto.
A BegoñaMelendo,
y
TeresaRodríguez.
Sus observacionesme han sido muy
ütila,r.
A Francisco
Javier Centeno
que
ha hecho con
gran precisión y
cuidado los di-
httio,t.
A Guy Brousseaude quien he aprendidomucho de lo que cuento en este ibro.
tiul
orientaciones
ueron
decisivas
ara
la
redacción
inal
que
presento.
Mi
agradeci-
ml.,nlo es
grandepor
haber aceptado
hacer a
presentación
e este exto.
Muy
particularmente
a JoséManuel
Calzada
que
ha consagradomuchas
horas
u
lu
lectura
y
mejora
de aforma de
presentarlo.
Quiero
expresarle
quí mi
reconoci-
Hlento
por
su
generosa
competente
olaboración.
l"inalmenle a todos
os
que
cerca de mí han sufrido los efectos
de este rabajo
y
se
alegran
conmigo de sus
esuhados.
Día
-
?;ocesado
or
'Eiblioteca
ls¡d;iñ-l
[$dj
Primera eimpresión:
diciembre 1997
Diseño
de cubierta: uan JoséYázouez
Reservados
odos os derechos.Está
prohibido,
bajo as
sanciones
enales
el
resarcimiento
ivil
previstos
n
las eyes,
eproduci¡ registrar o transmitir esta
publi-
cación, ntegra
o
parcialmente, or cualquier
sistema
de
recuperación por
cualquiermedio,seamecánico,
electrónico,
magnético, lectroóptico,
or
fotocopiao
por
cualquier otro, sin a autorización
previa por
escrito
de Editorial
Síntesis, . A.
@ Julia Centeno Pérez
o EDIToRTALÍNTEsrs,.A.
Vallehermoso,
4. 28015Madrid
Teléfono
{'91\
593
20
98
h tp://www.sintesis.com
Depósito le gal: M-43.829
1,997
ISBN: 84-7738-028-7
Impreso en España Printed n
Spain
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Indice
PRIMERA PARTE:
¿POR
QUE
LOS NUMEROS
DECIMALES?
Prólogo
13
lntroducción
17
l. La realidad
social
de
los
números
ecimales
19
1.
. Usos
y
contextos
mássignihcativos n
los
que
aparecen 19
1.2.
¿Qué
ignihcan
sos úmeros on coma?
¿Para
ué
sirven? ...
2l
1.3.¿Pueden xpresarseos mismos conceptos in utilizar números
con coma?
22
1.4.
¿Son
ndispensables
os númerosdecimales?
22
1.5. Reflexiones ejercicios
25
2. Los
decimales
n la
Enseñanza
bligatoria
2.1.
La educaciónmatemática:
reparación
ara
a vida
en la socie-
dad...
2.2. Losdecimalesn loscuestionariosorientacionesficiales.....
2.3. Los números
decimalesiguran
en todos os
programas
e
Ense-
ñanzaPrimaria.. . . .
2.4.
Relación
de los números
decimales on otrasáreas el
currículo
2.5. Pistas
e
reflexión
SEGUNDA PARTE:
¿QUE
SON LOS NUMEROS
DECIMALES?
3. Antecedentesistóricos
de
los números
decimales:
esde a antigüedad
hasta
el siglo
xIx
3.1. ntroducción
.
3.2.
Sistema abilónico
de numeraciónde
posición
3.3. El sistema
osicional
e los
sabios hinos .
3.4.
Sistemamaya
de numeración
de
posición
3.5. El
origendel sistema
osicional
ndio ..
3.6. El sistema e numeraciónárabe:propagación el sistema e nu-
meraciónndio
..
3.7.
Consolidación el
sistema e numeración
decimal: os números
decimales
e Stevin
27
27
29
32
34
35
39
39
40
4l
43
44
45
47
9
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3.8. Establecimiento
er
Sistema
Métrico
Decimal:
su nterés
pedagó-
grco.. .
3.9.
Ref lex iones
ejercicios.. . . . .
4.
El
número
decimal:
objeto
de
saber
4.1.
Introducción
4.2.
El
número
decimal:
obieto
de saber
4.3.
Los
números
eales:
edekind,
Cantor
v
Hilbert
4.4.
Pistasderef lexión
.. . . . . . .
El
número
decimal:
conocimiento ara
enseñar
5.1.
Insuficiencia
e os números
naturales ara
esolver
lgunos
ro-
blemas
5.2.
Construcción
e os racionales
de os
decimales
5.3. Fracciones
ecimales:
us
ventajas
5.4. Escritura ecimalde un número racional
5.5.
Escrituras
quivalentes:
u mportancia
en la
enseñanza
5.6.
Otras
escrituras
ecimales
5.7. Relación
de
orden
en el
conjunto
de os
números
decimales.
. .
5.8.
Adicióny
sustracción
n
el conjunto
de números
ecimales
"-..
5.9.
Mult ip l icación
e números
ecimales
.. . . . . . : . .
8.
Relación
on
el saber:
as situaciones
....
8.1.
ntroducción
.
8.2.
Situaciones
edagógicas situaciones
matemáticas
. .
"
8.3.
La teoría
de
as situaciones
idácticas
e
Brousseau
8.4.
Algunas
sugerencias
ara
seleccionar
construir
situacioncs
c
aprendizaje
8.5.
Situaciones
idácticas
ue permiten
analizar
as condicioncs
lc l
funcionamiento
el conocimiento
obre
os decimales-mcdida
8.6.
Conclus ión
..
8.7.
Pistas e
reflexión,
ctividades
talleres
9. Dificultades,
errores'
conflictos
y
obstáculos
9.1. ntroducción..
9.2.
Errores
más
recuentes
elacionados
on
el concepto
e
número
decimal,
con su
escritura
con
susoperaciones
. . .
9.3. Agrupar os errores ara dentificarniveles e comprensión ' ' '
9.4.
¿Son
útiles
ciertos
errores
n
os
procesos
e aprendizaje?
' "
'
'
9.5.
¿Son
os errores
nicamente
ndices e
un aprendizaje
ncomple-
io
o de
un
fracaso?:
lgunas
eflexiones
idácticas
obre
as cau-
sas
de
os errores
9.6.
Dificultad,
conflicto,
obstáculo,
rror
.
9.7.
Identificación
e algunos
obstáculos
pistemológicos
n
los
nú-
merosdecimales.. . .
9.8.
Pistas e
reflexión
10.
Articulación
e
os aprendizajes:
rogresión
10.1.
ntroducción.
10.2.
Objetivos
e
a enseñanza
e
os decimales
10.3.
Bosquejo
del
proceso
e
articulación
que
propone desarrolla
Brousseau
Otra
forma de
articular
as enseñanzas
e
os decimales
Conclusión
Ejercicios pistas e reflexrón
50
52
53
53
54
I lJ
l l3
l13
i l5
i l f{
l1 9
l .1 l
t3 2
135
135
13 6
138
140
t42
t44
t47
14 8
151
l5l
lt i
r53
r57
l6 l
16 2
i.
55
58
59
6l
59
5.10.
5.11.
División
de números
decimales
66
69
70
72
73
74
t5
76
78
jercicios
TERCERA
PARTE:
EL PROBLEMA
DE
LA
ORGANIZACION
DE
LA ENSEÑANZA
DE
LOS NUMEROS
DECIMALES
6. Primeras
ecciones
ara
ntroducir
os
decimales
6.1.
Como
extensión
atural
el sistema
e numeración
ecimal
.. .
6.2. A
partir
de
a
medida
ó.3. Presentación partir de funciones uméricas
6.4.
Conclus ión
.. . . . .
6.5.
Pistas
e
reflexióny
ejercicios
Materiales y
ocasiones
e a vida
corriente
en as
que
pueden
ncontrarse
los
decimales
7.1.
ntroducción
.
7.2.
Las regletas
e
Cuisenaire
7.3.
Bloques
ritméticos
multibase
e Dienes
7.4.
Ábacos
7.5.
Minicomputador
e
Papy
7.6.
Introducción
de
os
decimales
on la
calculadora
e
bolsillo . . .
7.7.
Otros materiales
situaciones
e
a vida
corriente
7.8.
Algunas
eflexiones
obre a
utilización
de materiales
CUARTA
PARTE:
SITUACIONES
PARA
ENSEÑAR
DIFERENTES
ASPECTOS
DE
LOS
NUMEROS
DECIMALES
lnlrrducción
16 5
I
l,
Situaciones
obre
epresentación,
ignificado
lecturade
decimales
.
. 167
I l. l. Juegos
e estimación
e
medidas
16 8
I
1.2.
Adáptación
e
a situación
<reproducir
n
segmento>)
168
11.3.
Pasar e
a escritura
raccionaria
e
os
racionales
ecimales
su
escritura
ecimal.
uegos
obre
a recta
umérica
....
16 8
11.4.
Diversos
uegos
obre
a recta
umérica
..
-.
17 2
I 1.5.
nstrumentos
e
medida
17 5
I 1.6.
Utilizar
la calculadora
e
bolsillo
175
8l
83
83
ó)
97
99
105
10.4.
10.
.
r0.6.
1
90
93
93
95
95
95
10 9
11 0
l l l
l2
0
7.9.
Pistas
e reflexión
ll
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Sobre
l usodel
cero
y
su
signifrcación
n a escritura
..... . . .
Areas
de regiones
de
papel
cuadriculado
Pasar
e racciones
decimales
viceversa
. . . . . . . . . .
j .
Escrituras
decimales
equivalentes
Sobre
el orden
en los
decimales
Sobre a
densidad
de los
decimales
. . .
Algunas
reguntas
biertas
¡.... . . .
Adición,
sustracción,multiplicación y
división
de
números
deci-
males
Sustracción
e
números
decimales
Situaciones
ue permiten
dar
significado
al
producto
de
dos deci-
males
EI
número
decimal como factor
de
proporcionalidad,
Proporcio-
nalidad,
porcentajes,
scalas
201
I l"
tl,
Situaciones
ue
permiten
dar signiñcado
a
división
de
números
decimales
205I l. I 9. Pistas e reflexión,
jercicios
talleres
206
t .1.
r .8.
1.9.
1.10.
l . l L
t .12.
r . l
J.
1.14.
i l t5
IL ló .
| .11,
17 8
18 0
183
185
18 7
18 9
19 4
19 5
r98
199
209
Prólogo
¿Os
habéis rjado
alguna
vez
en
una rueda
de
bicicleta?Es un
prodigio
de
igere-
za,
de
robustez
y,
aparer'temente, e sencillez.
¿Habéis
apreciado
adecuadamente
itoda
a
ingeniosidad
e su construcción?
Pesos onsiderables
ueden
suspendersee
los
radios
que,
en
forma
de tela de araña,endurecen
a llanta
y
la mantienen n el
' planoque
cortaa
os
dosconos
que
orman; os adios
penetran
angencialmenten
el
cubo
para
mpedir a rotaciónde éste
especto
e
a llanta;
pero
como
para
ello
deben
cruzarse e
es nserta
alternativamente
a derechae izquierda del collarín del
cubo,
debiendo enerésteexactamente
l espesor decuado;
¿cómo
ograr
que
as
roscas
e
os radiosno
seaflojen
nunca solas?...
Nunca acabaríamos e enumerar odas
as nvencionesmecánicas e
las
quc
csta
maravilla
es el
resultado.Pero
¿quién
iene necesidad e
maravillarsc
c
su
bicicleta?
asta on
que
ruede.
Los
números
decimales e
parecen
astante
estos bjetos
amiliares
rctlados
de
matemáticas, e ciencia
y
de tecnología,
ero
cuyo
uso no exige
prácticamente
ningúnconocimiento. u nvenciónempezó n el albade a historia con el ojo de
Horus
y
las medidas ecimales hinas-
y
no
se
ha
terminado
prácticamente
asta
Dedekind v
la matematización
de
los reales.
Se
trata de una estructura muy ingeniosa, apta
para
resolver
problemas
muy
complejos
a
veces
nclusoaparentementeontradictorios,
las
puertas,
lavez,
del
álgebra del análisis.
Por
esto
plantean
un
problema
original a
la
enseñanza.
Por
una
parte,
se
parecen
anto
a
los naturales
que
es
muy fácil
emplearlos
y
Bprender
muy
pronto
una cierta
manera
de usarlos:
ueron nventados
ara
eso.
Pero,
por
otra
parte,
esta
primera
comprensión se convierte en obstáculo
para
un
uso
más
efinado
para
una buena omprensión e cuestiones
undamentales,
ara
Gl
estudio
de
las matemáticas.
ace
alta mucho
iempo
para
olvidar
sus
primeros
reflejos
aprendero
contrario
de aquello
que
nosha
permitido
esolver umerosos
'problemas
prácticos.
¿Cómo
organizar,
por
tanto,
la
enseñanza
lo largo
de una
ridad obligatoria
ue,.
oy
día -felizmente-,
va
más allá de a mera nicia-
IJ
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En
este
ibro,
Julia
Centenoseñala as aportacionesmás recientes
e os
diversos
tipos de investigación
en esta materia
y
muestra
los caminos
que
se abren ante
profesores
educadores.
sta obra seapoya
en un
importante
trabajo
de documen-
tación, de orígenesmuy
diferentes,cuya sÍntesis,
causade
la variedad
de
puntos
de
vista,
presentaba
ificultades
que
me
parece
han sido
aquÍ
felizmente
superadas.
Habiendo
tenido acceso
a
fuentes
odavía no
publicadas
y
a
investigaciones
oco
conocidas,
a
autora
presenta
muchas deas nuevas
e interesantes
ara
todos los
públicos,
sin rechazar
ampoco
os
enfoquesmás
clásicos.Ofrece ademásotras
proposiciones,
esultado
e
reflexiones investigacionds
ersonales.
No
era tarea
fiicil, habida
cuenta
de
los
torbellinos
y
reformas
que
no
dejan de
agitar
a
pedagogía,
a
psicologÍa
ognoscitiva
y
la
didáctica de las matemáticas.El
resultadomuestra
un
muy loable
esfuerzo lavez
de eclecticismo de
precisión
que
merecerá,
in duda, a
estimade
os ectores.
Debo
decir,
por
último,
que,
en cuanto
rabajode síntesis,
esulta
e
gran
actua-
lidad
ya
que
el
problemaque
hemos
planteado
al
principio
no
se
resolverá
asta
que el conjunto de los interesados: rofesores e distintosniveles,matemáticos,
organizadorese
programas
evidentementeambién el
público,
no
se
haga
cons-
cicnte
dc
la naturaleza
ultural
y
no solamente
écnica, dministrativa
científi-
ca- dc lassoluciones
proponer.
4:
Guy
Brousseau
PRIMERA
PARTE:
¿POR
QUE
LOS
NUMEROS
DECIMALES?
t4
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 10/108
Introducción
Los números decimalesse
han convertido
en
los
últimos
años en
protagonistas
de
todos los cálculos
-hasta
el
punto
de
que
en
la
práctica
desplazancompleta-
mente a
las fracciones- debido
a la disponibilidad
creciente
del uso de calculado-
ras
y
de ordenadores
que
hacen
as
operaciones
on ellos.
En
opinión
de BnowN
(
198
): <<Puesto
ue
el sistemadecimal
ha sido
adoptado
para
as calculadoras los
ordenadores, areceprobableque los decimalesse utilizarán cadavez más en las
aplicaciones;
el uso de
las fraccionesdecaerá
gradualmente.>
Según esto, una
primera
respuesta
ngenua a la
pregunta
con
la
que
iniciamos esta
primera
parte
rría:
<<Nos
cupamos
de los decimales
porque
las calculadoras
los ordenadores
;alculan con decimales.>>
Con
el
fin
de
acercarnosa una
respuestam¿is
satisfactoria
presentamos
en el
capÍtulo
primero
algunassituaciones
amiliares en
las
que
la información
cuantifi-
cadase transmite
por
medio de unos símbolos
numéricos escritos
con una
coma,
Ilamadoshabitualmentedecimales.
Nos
interrogamos a continuación sobre
la signiñcación de estas
escrituras
y
rerca
de su utilidad.
En
un
principio,
la
palabra
<<decimabiene la acepción
que
se
le atribuye habitualmente,
que
sueleser equivalentea
la
expresión:
<<números
on
:oma),
por
oposición
a números sin
coma
o números enteros.
Pero necesitamos
:Dnocer1o
que
les
caracteiza
por
sÍ mismos.
Para
ello,
podemos
cuestionarnos obre
a
posibilidad
de sustituirlos -en
algu-
úrs casos-
por
números
enteros,
sin
que
varíe
el significado
de la fraseen la
que
ry.recían con coma. Es decir, buscamosaquellassituacionesen lasque seaposible
;rescindir
de
los números con coma.
)' finalmente indagaremoscuáles son las situacionesen
las
que
no
es
posible
nm¡smitir una información numéricadisponiendo
sólo
de
los
números
enteros.
Son
rsas situaciones as
que
permitirán
dar sentido a
los números
decimales,
que
no
¡ureden
caracterizarse
por
la manera de estar escritos sino
por
la función
que
cum-
¡im.
En el
capÍtulo
segundo ecogeremosas distintas
progresiones ue
sobreel
tema
,rmnmeros ecimales>>ncontramos en los cuestionariosoficiales de los últimos
mg'
rta
años
para
la enseñanzaobligatoria,
y
nos interrogaremos acercade la idea
de
rmr€ro
decimal
que
se ransmite
en ellos.
T7
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 11/108
1.
La realidad
social
delos números ecimale
I.1.
USOS
Y
CONTExTOS vrÁS SIGNIFICATTvOS
EN LOS QUE APARECEN
Para NewroN,
la
base de
toda teoría
es
la
práctica
social. Observemos
cuál es la
práctica
social de los números decimales.
Basta
abrir un
periódico por
la
página
de
economía o la de deportes
para que
encontremos expresiones como
las
siguientes:
o
<La
inflación
acumulada en el año se dispara hasta el 2,9
0/o
a causa de la
carestíade
alimentos>
El
Pah, 19
de agostode
1987).
o <<Ena Rioja el I.P.C.subeel 1,7
0/oy
en Cantabriael 0,6Vo>>EI País, 18de agostode 1987).
o
<Medidas
para
lograr
el 5 % de
inflación
en
1987,
ras
la
subida del 0,9
% en
septiembre.
Indice
de
precios
al consumo
desde nero
hasta
septiembre e
1987>
20
de
octubre
de 1987).
2,t
_2p.
? r,o
iit¡t:.ttiij
j:i: :ii:
:i:,9
;i*n
i
t
AMJ
AS
OND
r
<}¡cidir
las
pagas
de Europa: Salario medio
anual en
millones
de
pesetas>>Actualidad
l;:
:,w^;
1¡ro,
-7
de
unio
de
I
987):
l9
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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[ED[I
rns
nc¡s
¡ unopr
(Salario
cdio anúal n millom ds
pesetas
e
os altos
diGlores üBp€osl
_
Pais General
tinanciero Persoml
I 6.1 5.1
6,4
4,1 4.3
8élgrca
5.7 4,3
4,3
fusrra: E¡ecutive onpensat¡o[ery¡*, ilialde
a consultora yatt
6ranEretana
l 'rincipales
onsumidores
undiales
e
petróleo.
n millones
de toneladas:
l)l
petróleo
[f ¡il.s
de loñelddas
7
t
Princ ipales
pr(i l r(. lor
r\
l;
+
r: -
q;
T
a¿
¡j
+jlr:
+
- :
,;
7
..+
+.-:
-¿
-i
-+
.i-
_t
II
a-
--
.+
,. j
o'*##
r''itrt
22.15%
,F
,rd-
4.5d/o
o
Bonos
del
Estado: Estemes,hasta l día 25
puede
uscribirlos
l 12,85o/o.>>
.
Deportes:
erwald,
pivot
de
veintiseis ños
y
2,07m de estatura...>>
mundial
de
os 100m
es
9,84segundos...
Los dueños
e
as uedas:
el
mercado
e
motocicletas n España, n unidades
porcentajes,
n 1986.
URSS
450
1518o/a
224. l
i ,+^\, ol
3
Bgo/o
Chjna
9l
F¡Ocr¿
3,246Á,
86.8
3 A'a/N
En un
análisis e sangre eemos nformaciones
el
tipo:
<ácido
úrico 2,99
mg
¡ror
ada
100
mI...>
Oímos
por
la radio
que
un
radioaficionado
omunica
ue
cstá
mitiendo
un a
longitud
de onda de
7,000000
ertzios.
Cuando
amos
poner
gasolina
n el cochemiramos
l contador ¡uc lurt'rr os
l i tros(10,
0. , 10,2...) ,elquemarcaelpreciodelagasolinaporl i t rovcl
¡ t r t i r r t l r t ' r
ltrs
esetas.
n los res
existen ubdivisiones
ntre
as
unidadcs ntcr¿rs.rrnt¡ut'st'
lcclondean
as
pesetas,
ado
que
en
a
práctica
o existenos
cóntinros.
os
.tr¡nrerr
con coma siguen
pareciendo
ara
expresaros itros
que
se
han
comprado.
Son
numerosos
os
contextos n los
que
aparecen stosnúmeros
escritos on
runa oma-o con un punto en los países nglosajones-.Los encontramos n la
('ompra
en os alleres;
rquitectos ingenierosos
utilizan
continuamente.
odo
ciudadano
os necesita
n mayor
o
menor
grado
ya
sea
para
su rabajoo
ya
sea
ara
¡xrder
nterpretar
orrectamente l
signihcado e muchas nformaciones
ue
e
vie-
ncn a través
de
a
prensa.
a radio
o la televisión.
1.2.
¿QUE
SIGNIFICAN ESOS NUMEROS
CON COMA?
¿PARA
QUE
SIRVEN?
Forma
parte
del
conocimientode
toda
persona
medianamentenstruida
saber
(lue
esos úmeros
on signos e
un
lenguaje
ue permite
expresar
una
vez
ijada
l¿r nidad- medidas e cantidades
enores
ue
ella.
(Reparto
del
mGrcado G mtm¡cletas en España,
en unidadm
t0
2l
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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Se
miden
longitudes,
superficies,
olúmenes, iempo,
fenÓmenos
ociales,
olíti-
y
económicos.
Y
en
todos
os casos
a coma separa
as
unidades
enteras
de
las
raccionarias.
lamamos
medida de una
cantidad
al número
de
veces
ue
unidad
está contenida
en
la
cantidad
que
medimos.
Pero aunque
la
expresiÓn
de
vecey>
ólo
tendría
sentido si
la
medida es un
número
entero, en
la
las ocasiones
l resultado
de una
medida
no es un
número entero.
Por ejemplo,
cuando
escribimos
2,07 m sabemos
ue
significa
2
veces l
metro
y
más
que
es
menor
que
otro
metro.
¿PUEDEN
XPREFARSE OS MISMOS CONCEPIOS
SIN UTILIZAR
NUMEROS CON COMA?
En
cada
uno de
os
ejemplos
omados
de
os
periódicos
¿serÍa
osible
omunicar
misma
nformación sin utilizar
números con coma?
¿Qué
ventajas endría
supri-
¿Qué
nconvenientes?
En la
frase <<el alario
medio anual
de un director
general
en
España
es 6,3
esposiblesuprimir la coma cambiando a unidad' PodrÍamosdecir:<<63
100000ptas.>;
o
<630 veces
0000ptas.>; o
<6
300
veces
1000ptas.>;
300 000
ptas.>,
conservando
en todas
las
expresiones
a misma
informaciÓn.
,9
0/o
es
o mismo
que
29
por
mil
y
2,07
m esequivalente
207'tm. En
ue
aparecen
on
mayor frecuencia
en
la vida corriente comproba-
que puede
evitarse
a
coma
con un
cambio adecuado
de
la unidad.
Sin
embargo,
el cambio
de unidad
necesario
ara
dar ciertas
medidas,utilizando
enteros, omplica
as
escrituras.
Hoy nos es
más ácil escribir
6,3
millones
cualquiera
de
las otras escrituras
osibles
sin
coma, sobre
odo cuando
se rata
comparar
os
números
(los
salarios
en este caso),
o
cuando es
necesario
hacer
on
ellos.
La escrituracon
coma
nos
permite
utilizar
números de un
familiar
y
evitar
números
grandes.
Para comparar,
por
ejemplo,
el
consu-
de
petróleo
de los
principales
paÍses
onsumidores
e
ha tomado como
unidad
millón de
oneladas,
ello
permite
codificar
el consumo
con
los números
733,8;
450l '220,7;.. .
Pero, a la
postre,
as situaciones
en
las
que
podemos
codificar
la informaciÓn
de
la
coma
no
nos
permiten
comprender
a
naturalezaesencial
del
úmerOdecimal,pgrquecon frecuenciaestosnúmerosse nterpretan COmo nteros.
¿soN
INDISPENSABLES
OS NÚMEROS
DECIMALES?
Señalemos
n
primer
lugar
que
debemos
distinguir
bien cuándo
hablamos
de un
úmero
y
cuándo
nos
referimos a una
de sus diversas
ormas de
representarlo.
Hablamosde un
número cuando
nos ocupamosde
su unción, de
os
problemas ue
permite
resolvero de
las
propiedades
ue
le
distinguen
de otras
clases e
números.
o
Si buscamos,
or
ejemplo,
el
número
que
multiplicado
por
4 nos dé
1,
sabe-
os
que
esel
racional
/4
y
quepuede
escribirse
5l100 o 0,25.
Estamos
or
tanto
en'presencia e
un número decimal.
Y
decimos
que
<1114s un
número decimal
porque
puede
escribirse
en forma de
fracción decimab>
de
su correspondiente
escritura
on coma.
22
o
Pero
supongamos
ue
nos
proponemos
encontrar
un
número
que
multiplica-
do
por
3
nos
dé 1, lo
que
es equivalente
a
dividir I entre
3. El resultado
es
el
número
racional
l/3,
que
no
es un número
decimal
porque
no
existe ninguna
fraccióndecimal
que
seaequivalente
a l/3. Diremos
que
1/3 no
se
puede
eprescn-
tar en
forma
de decimal
con un número finito
de cifras. Pero veremos
en cl capítu-
lo 4
que
os
decimales
,3, 0,33,
0,333,0,3333,
,33333,.. . os
permitcn
ohtcncr
una
aproximación
an
grande
como
queramos
al racional
l/3.
a
Consideremos
horael
problema
siguiente:
e
desea mbaldosar
na
piscina
circular
que
tiene 10m
de diámetro
y
2 m
de
profundidad.
Necesitamos
onoccr
cuántosmetros
cuadrados
e baldosas arán
falta.
Para resolver
este
problema
hay
que
hallar
la
superficie otal
de un
cilindro:
Superficie ateral:2¡Rh
:
2n
x 5 x2
:
20n;
Superficie
de a base:
nR2 25n
Superficie
otal: 4
5nm2.
Si
queremos
dar un número
que
exprese
a medida
en metros
cuadrados
de la
superficie
ebemos allar
el
producto
de 45
por
n
(45
x
n). Sabemos
ue
el número
¡
es a relación
de a longitud
de
un círculo a su
diámetro,
y
desdeel tiempo
de los
griegosesconocidoque la circunferenciano puedemedirseexactamenteomando
por
unidad el
diámetro. Esto
se expresa
diciendo
que
la
longitud
de
una circunfe-
rencia
y
la
de su diámetro
son ongitudes
nconmesurables.
os
encontramos,
ues,
con
que
no
existe ningún número
ni
entero ni fraccionario
que
sea
una medida
cxacta
de
la longitud
del círculo. La
única forma
de calcular
con 7res
darle
valores
aproximados
por
exceso
o
por
defecto
y
los
decimales
permiten
aproximarse
a n
tanto como
se
quiera.
3
<n<4
3,1 <n<3,2
3,14
<¡<3,15
3,141
<n<3,142
3.1415
<n<3.1416
3.14159<r<3.1416. . .
.
Otro
problema
clásicoes
el de hallar la medida
de la diagonal
de un cuaclra-
do, omandocomo
unidad
el
ado.
Sabemos
ue
esa iagonalmide
{2
y que
no hay
ningún número
natural ni
siquiera acional
que
exprese
stamedida. Y
sin embar-
go,esun número, porqueesel cocientede una ongitud respecto e otra que hemos
tomado como unidad. La
única forma
de
poder
calcular con estenúmero
esdar
de
él aproximaciones
an finas
como la situación o
exija
y
eso
podemos
hacerlo
gra-
cias a
los
números
decimales.
Tendremos:
t< , ,12<2
t ,4<,12<1,5
l ,4t< ,12<1,42
1,4t4<, ,12<1,415
t ,4142<, l .2<1,4143
n,
igura
1.5
.
otra situación
que
hace
aparecerel número
{2
puede
obtenerse
or
medio
del
plegado
de
papel,
de
la manera
siguiente:
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 14/108
Tomemos
un
folio
din 44. Las medidas
de sus
dimensiones
on
respectivamen-
te <<ar <<b>.
ortándolo
por
la mitad
-según
indica
la figura-
obtenemos
un
rectángulo de
dimensiones
<(a>) <<b/2>>.
eiterando la
operación
obtenemos
un rectángulo
<<bl2>>
<<al2>>.l rectángulo
siguiente
endrá de dimensiones<<b/4>>
<<a/2>>
así sucesivamente.
1E
igura
1.6
h---
t
Observamos
ue
la relación
del lado mayor
al
menor
es siempre a misma, las
que obtenemos ienen a misma proporción y esprecisamente 2. Se rata de
de las mprentas
que
coincide
con el descubrimiento
griego
sobre
proporciones
GrvrNrz
J.
y
FonruNv
J. M., 1984).
Lo
que
aquí
nos
nteresa
es
que
no existeningún número,
ni natural ni{raccio-
que
nos
permita
dar exactamente
sa
proporción,
y
que para
calcular
con ella
obligados, omo
en
os
casos nteriores, hacerlo
on
valores
ecimales
De
todos
os
ejemplos
que preceden
se
deduce
que
los números
decimales
per-
resolver
roblemas
elacionados
on la medida
que
no tienen solución
con
enteros. os
decimales os
proporcionan
a
posibilidad
e aproximar-
anto como
queramos
cualquiernúmero
real.También
os números aciona-
ienen
a
propiedad
de aproximarse los reales
anto
como se
quiera,pero
os
frecen
a ventaja
de
permitir que
os
cálculos eanmássencillos
orque
puede
alcular
on elloscomo
si
fueran
enteros.
En la
práctica,
el dar
una
mejor
aproximación
de
la
medida
de una
magnitud
dependede la
precisión
de los instrumentos
on los
que
medimos.
La
de medir
cadavez
con una
mayor
precisión
se
pone
de manifiesto
si
que las leyes ísicasson válidas sólo para un cierto grado de precisión.
eorías
envejecen
uando se hace
posible
medir
con mayor
precisión.
Por
n
flenómenos
omparables
on
la velocidad
de a luz las eyes
de Newton
son
válidas.
Se dice
que
ErNsruN
ahrmó
que
el
mejor
destino
que
él
podía
para
su teona serÍa
que pudiera quedar
algún día como
caso
Ímite
de una
general,
una teorÍa
que
a
contuviera. Daba
por
cierto
que
con el
progre-
precisión
de las medidas
se leganan
a encontrar casos
en
que
su teoría no
válida.
Las magnitudes
en
las
que
se ha
conseguido
hasta
el
presente
una
mayor
pre-
y
la
longitud. Actualmente
se
pueden
apreciar
enómenos
de una duración
de l0
18
segundos
un
Attosegundo
s una unidad de tiem-
o:
l0-ts
segundos;
n Femtosegundo
s
una unidad
de tiempo:
l0-18
segundos).
ctividadesndustriales
n as
que
cada
día senecesita
na mayor
precisión
las medidas.
Las máquinas
de control numérico, necesitan,
or
ejemplo,
una
r
I
.D/t, .
Tt---l rT--r
t
t+tt I
l l l '¿ l is l
l t
I
i r
t i i
-b/z
¿
,:t 2.
precisión
n
micras.
Podemos
firmar
que
os
númerosdecimales on
nsustituibl
I
la hora de darnos
la
posibilidad
de acercarnos
anto como
queramos
-y
los
instrumentos
e
medida
o
permitan-
a
las medidas
e magnitudes
ontinuas.
Pero
as situaciones
ue permiten
descubrir
a
significación
del
número
dccinrlr
no
son
áciles
e
comprgnder
la edaden
que
se
empiezan
aprender
st()s
ltlrne
ros.
En estos
problemas
stán
mplÍcitos
os conceptos
e
inhnito
y
dc eonlinrto
(luc
aunque ueron
planteados
n
a Greciaclásica
o han sidoelaboracios
nalcttlil
licamente
hasta
a
construcción
e
los números
eales
or
CnNlon,
Dt,l>t,rtntr
y
llrI.BERT n el siglo
XIX. Trataremos revemente
ste
punto
en el capítulo
4.
I.5.
REFLEXIONES
EJERCICIOS
l. Elaboreuna
lista de situaciones e
a
vida
cotidiana en
las
que
ntervengan
os
númerosdecimales.
Busque
espuestas las
preguntas
iguientes:
-
¿Qué
números decimales
e utilizan en
las tiendas,en
relación con el
peso,
ongi-
tud,
capacidad, tc.?
¿Qué
grado
de
precisión
se exige
en cada caso?
-
¿Qué
números
decimales e utilizan en
agrrcultura?
-
¿Qué
decimales
e utilizan
en
la
bolsa?
¿Qué
precisión
se exige?
-
¿Y
en
farmacia,en medicina, en
biología,en
química...?
-
¿Qué
utilización
de
los números decimales
hace un mecánico de
garaje?
¿Qué
precisión
se e exige?
2. Propongaa
los alumnos buscar
situaciones
recisas
enunciar
problemas
ea-
les sobre situaciones
en
las
que
se utilizan
los decimales.
Puede sugerirles
quc
cn
pequeños rupos
nterroguen
a distintas
personas
ue
realicen rabaiosdifcrontcs
para
que
elaboren
uego en común
una amplia
relaciónde situacioncs
n
las
quc
ticrtc
sentidoutilizar
los números decimales.
3. Proponga
los alumnos
eflexionar obre
asconsecuencias
c
los
orrorcs
n la
precisión
de
las medidas.
En
qué
casos
puede
ser
grave
nterpretar
mal un
núnlc¡'tr
decimal.
Por
ejemplo
si
no
secalculan
bien
os
espacios
e
holgura
que
es
preciso
dcjar
en las
piezas que
se calientan
-y ello dependerá
del coeficiente
de dilatación
del
material de que se rata-. ¿Quéproblemaspuedenocasionarse?
4. El
19
de
febrerode
1985 hubo un accidente
aéreoen el
que perdieron
a
vida
las 148
personas ue
viajaban
en el
avión
<Alhambra de Granadar>.
egúnun
informe
oficial de
la comisión
nvestigadora el accidente:
<<La
ripulación
del Boeing
727 de
Iberia
que
seestrellóen
el monte Oí2, al chocar
con
las antenas e elevisión
nstaladas
en su cumbre,
realizó
numerosas ncorrecciones
n su
maniobra
de
aproximación
al
aeropuerto e Sondica...
Se
produjeron,
según
a Dirección General
de Aviación Civil,
distintos errores
de cálculo.r>
Provoqueun debate
sobresituaciones
n as
que
a falta de
precisión
en
os cálculos
o en
las ecturasde
las medidas
puedan
ener
consecuencias
raves.
...Una noticia
posterior
atribuye la causade
las
mprecisiones
e
medida a
que
el
altímetro
que poseía
l avión
no era suficientemente
reciso...
se omó
la
decisión
de
colocar
altímetros digitalesen todos
os aviones
con el
fin
de obtener una
mejor
pre-
cisión.
2
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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2.
Los
decimales
n la
Enseñarnza,bligatoria
2.r. LA EDUcAclóN vnrevrÁtlCA:
pREpAn¡,cróN[
ARA
LA VIDA EN LA
SOCIEDAD
Todos estamosde acuerdo en
admitir
que
la
escueladebe
preparar
a todo
ciuda-
dano
para
una integración
satisfactoria n la
vida
de
la
sociedad
Ia
que pertenece.
Esta ntegraciónreclama
una comprensiónadecuada e
las
realidades e la
cultura
en
la
que
vive
y
la capacidad
para
servirse de las
técnicas
necesariasen un
determi-
nado
trabajo.
Entre las
tendenciasmás nteresantesespecto
al
quehacer
matemático
del niño
en la
escuela
primaria,
la UNESCO recoge en
su
obra: Nuevas tendencias
en la
enseñqnzade la matemática (1979), las que se basan en la idea de que no hay
diferenciaentre a manera
en
que
un
niño
adquiereun saber
y
la
manera en
q¡re
el
matemático o ha
creado
y que, por
tanto,
la
enseñanza e la
matemática
debe en
gran parte
ser concebidacomo
un
redescubrimiento.
El
objetivo de
desanollar
en los alumnos
a
actitud de
investigación
aparece
en
nuestrosextos
ohciales esde
acemuchosaños.Álvano Bu¡
GItrleNo
1968),
en
un artículo
sobre
os
problemasque plantea
a
enseñanza e
las
matemáticas
en la
escuela, ita como hnes <<actualeu
e
a
enseñanza e
las matemáticasen los
cursos
cuarto,quinto y sextode la escolaridadprimaria los siguientes:
.
Dinamismo n el razonamiento:
ue
consiste
n captar
ropiedades
nvariantes
n una
situación ada
en
ver
que,
a su vez,
pueden
olverse
inámicas sersusceptibles
e nuevas
abstracciones.
o
Aprovechamiento
el espiritu údico
que
iendea
la abstracción,
eneralización
análi-
sis.Faceta
ue
secultiva
en situaciones
eales
e
os niños.
o
Dar
ocasión l espÍritu reador,
on
el
cultivode
a imaginación nteligencia
n situa-
ciones
ue
no representen
nicamente
l aprendizaje
e écnicas automatismos.¿
activi-
dadcreadora el niño conduce modos e
pensamiento
ássimples eficaces.. Estimular osalumnos ordenar encadenaruspensamientosegún l método
e
as
matemáticas,
o
que
desarrollaa
claridad e
pensamiento
el
rigor
del
uicio.
Les
leva
al
orden,
recisión
distinción.
o
Proporcionar, través
del
poder
creador, legria
y
exaltación.
27
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 16/108
La
necesidad
de favorecer
un espirítu
creativo
se
pone
de
manifresto
cuando
observamos
a velocidad
e
aparición
e nuevos
escubrimientos
écnicos
científi-
cos.Esto hace
que
no
podamos
asegurar
oy
cuáles
erán os
conocimientos ue
necesitarán
n
su
vida
adulta
os niños
que
hoy
están
en a
escuela.
ero
sí sabemos
que
necesitarán
na
gran
capacidad
para
nterrogarse
obremuchos
problemas
que
se
es
plantearán
y para
adaptarse
nuevos
conocimientos.
Tendremos
en
cuenta
estas deas
en la tercera
parte
de este ibro,
cuando
demos
sugerencias
l maestro
para
que
pueda
crear situaciones
idácticas
que
permitan
al
niño
una forma
de adquirir
el
saber
que
le
prepare
para
seguir
aprendiendo,ya que
ha
descubierto
el
placer
de buscar
y
el de dar
significado
a
las
cosas
que
aprende.
si
nos
eferimos
lo
que
el niño
debe
aprender,
iremos
que
no
es
posible
ni
útil,
ni necesario-
transmitir
durante
os
años
de la
enseñanza
bligatoria
odo
el
saber acumulado
a lo
largo
de la
historia
sobre
un determinado
tema,
por
muy
importante
que
éste
parezca.
Pero
es de
sumo interés
elegir
bien
aquellos
aspectos
dcl saber
ue
deben ormar
parte
de a
cultura
de
cada
ciudadano
n
un momenro
dado
de a historia;
sobre
odo
es
undamental
l modo
de
ransmisión
legido,
a
quc la aclitudque os ndividuos enganhaciael saber n a edadadultadependeiá
cn
g,ran arte
de a forma
en
que
han realizado
os
primeros
ontactos
on as deas
rnate
láiicas.
sobrc
a
importancia
de os
conceptos
uméricos
n a
escuela
sobre
as com-
lx'tcnciüs
numéricas
necesarias ara
a
mayor
parte
de los
ciudadunor,
ut.o-o
itc¡trc-llas
ue
son específicas
e los
trabajos
en los
distintos
sectores:
ndustrial.
rudnrinistrativo,
omercial,
agrícola,
onstrucción,
tc.,
puede
eerse
on interés
el
lil'¡ro Númerosy
operaciones
Lurs
Rrco
y
otros,
1987),
por
lo
que
no nos
extende-
rcmos
en desarrollar
ste
punto.
citaremos,
sin embargo,
lgunas
ompetencias
uméricas
n relación
con los
números
decimales,
ue
parece
deben
ormar
parte
de a
cultura
de odo
ciudadano.
Algunas
serán
necesarias
ara
el trabajo,
otras
son útiles
para
comprender
oda
una
serie
de
actividades
situaciones
ue
nos
son familiares.
o
capacidad
para
dar
significado
a los números
decimales
que
representan
intereses,orcentajes,
escuentos
para
estimar
o
calcular
uperficies.
o
capacidad
para
pesar
y
medir
con
distintos
nstrumentos
de medida,
para
dar
los resultados on una determinadaaproximación y estimar os límites aceptables
del
error.
.
comprobar
dimensiones
tilizando
un micrómetro,
un nonio
u otro
tipo
de
alibrador.
o
Capacidad
para
rearizar
algunas
operaciones
on números
decimales
o
para
nterpretar
os
resultados
btenidos
on
una calculadora.
Dado
que
algunos
aparatos
están
graduados
en
unidadesno
métricas
seránece-
en algunos
casoshacer
conversiones
e medidas.
Aunque,
por
lo
general,
que
permiten
hacer
el
paso
de una
medida
a otra,
conviene
compren-
las
operaciones
que
permiten
este
paso
para
poder
interpretarlo
correcta-.
No
todos los
ciudadanos
necesitarán
onocer
el número
decimal
como
objeto
al
como lo veremos
en
los
capítulos4
y
5,
pero
si las
capacidades
ue
pa$cn
las
han adquirido
de forma
<<signihcativo>
o
existirá
obstáculo
para
avan-
llr
en
cl conocimiento,
i éstese
hacenecesario.
Nos
preguntaremos
ahora
cómo se
presentan
os números decimales
en
los
€Uentionarios
frciales
cuáles on
as consecuencias
e
a forma de
presentarlos.
I,2.
I,OS
DECIMALES
EN LOS CUESTIONARIOS
Y ORIENTACIONBS
OFICIALES
l,cusamos
ue
el estudiode
a
evolución
de os cuestionarios
hciales
uede
ser
un
clcmento
mportante en
la formación
didácticadel
maestro,
quien
deberá
anali-
lrr
los cambios
ealizados
lo largo de los años,
así como
los
aspectos
ue perrna-
Ireccn
nvariantes.
Puede
acompañarse
ste
estudio de una
visión
crÍtica
sobre
as
rs¿()t'tcs
e
los
cambios,
que
leve a verificar si éstoscorresponden
las ntenciones
tle
nrcjora
que
casi siempre
irguran n
la introducción
de un nuevo currículo.
Esta
uctitud en el maestro e permitirá, por una parte,evitar el quedarsenmóvil trans-
mitiendo
las mismas deassin servirsede
los
progresos
ue
se
realizan anto en
la
nlutcmática
como
en
la
didáctica
y,
por
otra,
no aceptarácualquier
cambio sin
disccrnir
us
azones sus
ventajas
ara
mejorar
el
aprendizaje n
os niños.
Los documentos
que
utilizaremos
para
esteestudio son
los siguientes:
o
Cuestionarios
acionales
ara
a Enseñanza
rimaria,de
1953.
o
Cuestionarios
acionales
ara
a
Escuela rimaria,de
1965.
o
Orientaciones
Pedagógicas
ara
a EducaciónGeneral
Básica,de
1970.
o
NuevasOrientaciones
edagógicas,e
1971.
o
Programas
Renovados
para
os
ciclos
Medio
y
Superior
de
la Educación
Ge-
neral
Básica, 981.
o
Anteproyect os e
Reformulación e
as
enseñanzas
ara
os ciclos
Mcditl
y
Superior
e a Enseñanza eneral
Básica,
e
1985.
2,2.1.
Observacionesobrecontenidos,
bjetivos
orientaciones
etodológicas
La
progresión ropuesta
or
los cuestionarios
e
1953
parte
de a
<<ideo>e
que
cl númerodecimales una forma de escribirmedidas omplejas, or ejemplo,me-
tros,
centímetros monedas.
En
ese
momento circulaba n
España a
monedade
l0 céntimos.)
En los
cálculos
sólo
se lega hasta
a milésima. Seda una
gran
impor-
tancia
a las operaciones
se
pasa
a
a idea
de
quebrado
asÍcomo a
su representación
rrpor
cifrao>.
Cuando se
habla de división de decimales
en
<<todosos casos>>stá
llaro
que
se rata del aprendizaje
el algoritmo
de
a
división
pero
no de
a
significa-
ción
que
estas peraciones
uedan
ener
ni
de sus
diferencias on
as
operaciones
n
cl conj unto de
os númerosnaturales.
Los cuestionariose
1965
proponen
que
se
nicie
en
el tercercurso
y
no
en
el
segundo ursocomo en
os
de
1953- la
<<numeración,ectura
y
escritura e toda
clase
e
números>>,sícomo as operaciones
undamentaleson ellos.
No hay
cam-
bio esencial
en cuanto a
la forma de
presentar
os
decimales.Se
sigue
proponiendo
másun aprendizaje
obreescrituras operaciones
on ellas
que
sobre
os números
en
sí.
Sin
embargo e
propone
como objetivo
estrictamente
atemático:
29
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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desarrollar a comprensión e as malcmdtit'us
<ttmt¡un sistemade
principios
nterue-
lacionados.
Esto
significa, de unu
parte,
u udquisiciónde conceptos ignificativos
e
orden cuantitalivo a travésde operaciones omo conlar, medir,
y
comparar objeti-
vos
concretos-,
y
de otra, la comprensióndel sistema numeral de
base diez.
Las
cuatro operaciones
dsicas
no
son olra cosa
que
ormas
de economizaresfuerzos l
tratar con
grupospara
hallar
<cuanto>o
(cuántas
cosas>. n estesenlido odasellas
eslán
relacionadas
con el contar
y
entre
sí. Las
fracciones
son
simplemente una
extensión del sistema numeral a cailidades menores
que
la unidad, expresadasen
forma
de
quebrados
o de
decimales,
etc.
En este objetivo se apunta a la extensión del
sistema
natural,
pero
esta
dea no se
traduce claramente,
ni
en el enunciado de los contenidos, ni en las orientaciones
metodológicas. Se dice,
por
ejemplo:
<<A
os conceptos se llegará únicamente, me-
diante una serie de ejercicios cuya
realización
conduce al dominio de
las nociones
y
garantiza
el desarrollo de hábitos
y
destrezas
pertinentesD.
En la
práctica
estos ejer-
cicios siguen siendo
los
mismos
que
los
que
se
proponen
en
los
programas
ante-
riores.
Las OrientacionesPedagógicas e 1970 releganal cuarto nivel (4.o curso) la
presentación
e
los
primeros
decimales
que
aparecen igadosa la
aproximación
de
una medida.La adición
y
sustracción e
números
decimales orrespondeambién a
este
mismo nivel.
En
el
quinto
nivel no se
dice
nada de decimales se
propone
ntroduür
experi-
mentalmente
as
fracciones.En el sexto
nivel
seconstruyeel conjunto de
os núme-
ros racionales
y
sus estructurasaditiva
y
multiplicativa.
Viene
a continuación el
estudio de
los
decimales
y
su estructura
multiplicativa
que puede percibirse
ahora
como un subconjunto
del
conjunto de
los números rabionales. a característi ca e
este
programa
es a introducción de
la matemática moderna;
se
piensa
que
el estu-
dio de
os
conjuntos
y
de as
operaciones
ntre
conjuntos
va a subsanaros defectos
constatados n
los
aprendizajes e
los
conceptos
numéricos:
...5e
vitara a memorizacióneconceptos.asoperacionesn
a aritmética ons-
Íituyenun ejemplo hamenteignificativo. radicionalmentean
sido
enseñadasn
forma
memorística,
in el
conocimiento
revio
de
a
numeración,
presentadas
n
forma
aislada
poco
coherente. hora, a etapa
reparatoria
e as
operacionesntre
conjuntos la aplicación umérica ubsiguienteubsananste efecto.
La experienciaha
probado que
no ha sido asÍ,el aprendizajememorístico
se
ha
xtendidoa
las
definicionesde
os
conjuntos, operaciones ntre conjuntos
y
estruc-
uras sin
que
por
ello
los
aprendizajes
uméricoshayan sido más significativos
para
os
alumnos.Se
ha
constatado, ntreotras
cosas.
ue
el
cambio
de os
contenidos
o
uede
esolverel
problema
de
la
enseñanza e
las matemáticas.
.2.2.
Observaciones
obre os objetivos,contenidos, metodologia
de
as
orientaciones
e
los
años
1971,
98l
y
1985
En el curso
l97l-1972
y
siguientes
uedan prorrogadas
as
orientaciones
peda-
ógicaspara
los
planes
de estudio de diciembre de
1970
y
se completan con las
<Nuevasrientaciones)>
ue
se
reheren
particularmente
a
la
segundaetapa de
la
.G.B.
0
Las
orientaciones
metodológicas
que
se
refieren
al tema
que
nos ocupa son las
riguientes:
<<Parece
onveniente
hacer
a construcción
del conjunto de los números
rücionales
positivos
a
partir
de
la noción
de operador, legando
a
la
de
número
rucional
mediante a
clasede operadores
quivalentes.>>
Respeclo
a Ia ordenación, bastará
que
el
alumno sepa decir, dados lt¡.s
t¡tin¡(nt.:
racionales
positivos,
cuál de los dos
es
mayor.
Por
primera
vez
se da
una orientación
metodológica sobre los decimalcs:
se
pueden
nlroducir
como sistemasde numeracíón.Después
e
puede
hacer ver
al
alumno
que
también se
pueden
considerarcomo
racciones
cuyo denominador
es
la unidad
seguida de ceros,actuando
por
ejemplo 1/10
como operador sobre
una
cuarfilla.
Es interesanle
estudiarlos
bajo dos aspectos
ara poder
ustiJicar
las operaciones:
por
la
primera
forma
la adición
y
la sustacción,
y por
la segunda a
multiplicación
y
la división.
Los Programas
Renovados
de
1981
proponen que
se haga la introducción
de
lracciones de forma intuitiva,
sin automatizar operaciones,
y
dejan abierta la
posibi-
lidad de
plantear
situaciones
en
las
que
las fracciones
aparezcan
en contextos
dife-
rentes
y
con sus
distintos significados: cociente de
dos
números
enteros; aproxima-
ción
de una medida;
y
como
operador.
Proponen
además
que
se aprecien las
distintas clases de números: naturales,
enteros,
racionales
y
decimales no racionales
(o
irracionales,
a los números
decimales los
llama
decimales exactos).
En el
Ciclo Superior se estudia el
conjunto de los números racionales
y
aparecen
algunos
números
no racionales.
En
estos
programas
se
propone
eliminar
el estudio de
las
estructuras
de
grupo y
cuerpo
por
considerar
que
su estudio sólo se
justifica
cuando
se
han
mancjado
muchos casos
particulares
y
se
puede
abstraer
la noción
de estructura. Y no
cs cl
caso en
estos
niveles.
Sobre fracciones
y
decimales se dan las
orientaciones siguientes:
La noción de racción puede introducirse,en principio, como el cocientede dos
númerosnaturales
seguidamente
omo aproximaciónde una medida.
Sin embargo,
hay una terceraforma
para
su introducción,
es como operador.En
principio puede
parecer
no
aplo
para
estenivel,
pero
bastaexponeruna seriede ejercicios
para que
el
alumno lo
comprenda
perfectamente.
or ejemplo, ndicándole
que
dibuje I
/3
de
un
queso,
o, mejor
aún la tercera
parte
de
un
queso,que
serd hechosin
diJicultad.
Seguidamente,
se le dice
que
dibuje los 2/3
y
los 3/3. Podrá
ponerlo
después
ya
como operador2/3(...)
:
Finalmente,
que
a los 2/6
del
queso
e sume los 3/6.
De una
forma
gráJica
va
comprendiendo
que para
Ia adición de
fracciones
es
necesario
ue
enganel mismo
denominador.
Al comparar 1/3
y
2/6
verá
que
a
parte
rayada
ei la misma,
o
que
e hará intuir
lo
que
son
<<fracciones
quivalentest
y,
en consecuencia,
que
para
la adición de
dos
fracciones
de distinto denominador
ha de transformarlas
en otras equivalentes,
pero
con
el
mismo
denominador.
Por últímo,
debe relacionar
las tres
formas
de intoducir
el conceqfo
de
fracción.
JI
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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La
noción
e
racción
omo
ociente
e
dosnúmeros
osibilitard
l estudio
enúme-
ros
decimales
través
e
racciones,
ero
imütindose
n
estenivel
Ciclo
Medio)
sólo
a los decimales
xactos.
Los
anteproyectos
e
reformulación
de as
enseñanzas
ue
están
actualmente
en
estudio
proponen
una
progresión
en la
que
se introducen,
en
primer
lugar,
las
fracciones,
aciendo
aparecer
el
número
decimal
a
través
de
las
fracciones
decima-
les.
Se insiste
en
que
se
pretende
sobre
todo
describir
el
proceso
necesario
para
onseguir
os
objetivos
propuestos.
eamos
a lo
que
se lama
proceso
en este
pro-
ecto:
o
Reconocer
a
décima
y
la
centésima
pafte
mediante
actividades
manipulati-
as
y gráficas.
.
Reconocer
a fracción
decimal
como resultado
de dividir
la
unidad
de l0
v
100
partes
guales.
o
Leer
y
escribir
números
decimales
hasta a
centésima.
En
el
ciclo Superior
se
propone
que
se manipule
con números
decimales
hasta
milésima.
LOS
NUMEROS
DECIMALES
FIGURAN
EN TODOS
LOS
PROGRAMAS
DE
BNSEÑANZA
PRIMARIA
Partiendo
de un buen
número
de ibros
de texto
y
cuestionarios
flrciales
arala
rimaria
de diversos
países,
sí
como
de distintos
documentos
de a
uNES-
podemos
afirmar
que,
con
algunas ariaciones
eferentes
la edad
y
al
método
os
números
decimales
orman
parte
de as
exigencias
e todos
os
de estudio
para
dicha
etapa.
A
título
de ejemplo
reproducimos
aquí
-del programa
del Ministerio
de Edu-
1980-
parte
del
capítulo
titulado <<Escribir,
ombrar y
comparar
decimaleu>,
omado
de Contenidos
de
ormación
en
a escuela
lemen-
medio
corresponde
nuestros .oy 5.ocursos e E.G.B.).
úmeros
o
Al
terminar
l cicloelemental
tcrcer
ño
de
enseñanza
rimaria)
os
niños
onocen
números
aturales.
iversas
ituacit¡nes
ermitirán
os
niños
omar
onciencia
e
a
e
disponer
eotros únrcros.
a
Algunaselaciones
uméricas
¡uc c
han
cstudiado
nteriormente
o
están
efinidas
odosos
números
aturales.)or
jr:nr¡rlo.a
'unciónsustraer
5¡> o
esüi
efinida
nN
osnúmeros
, 1,...
4; a funcirin tlividir
ror
100>>
nN no
está
efinida
ara22,para
tc.
Para
xtendera
definición
c estls i¡ncioncs,
c ntroducirán
ás
arde
tros úmeros
según
l caso:
nteros cgativos
llun('t.os
.acionales).
El
conjunto
de
os
números
ccirnulcs
¡rrc e
estutlia
n el
ciclomedio,
debe
er al
que
as
por
100>,<clivirlir'
xrr
l(xx)u,
lc.
cslón
definidas
ara
odo número
na-
I
Cuando se
quiere
expresar
a medida
de
la longitud de un objeto con una unidad
ele¡idu,
el conjunto de
los números naturalesno es suficiente
porque
no
permite
transmitir
UA¡
nfbrmación
precisa
en
la mayor
parte
de
los
casos.
Objetos
de
longitud muy diferentc
puldcn
tener
a misma medida:
<<entre
y
8>
por
ejemplo.)
a
Es útil
representar l
conjunto
de los números naturales
por
medio
de
puntos
dc una
rccla
graduada.
Pero a muchos
puntos
no les corresponde
ingún número natural. Sc
¡ruc<lc
ht¡¡cur
hacer
corresponder n
número
a otros
puntos
de
a recta;
por
ejemplo: al
punto
nrctlio
del
regmentodeñnido
por
el
<<punto 02>
y
el
<<punto 03>>.
a
Algunas ituaciones e
repartonos hacen
caer
en la cuentade la
insulicicncia
c
los
¡tlnreros
aturales
por
ejemplo:
epartir8 entre
5
ó I entre3),
o
que
conduce
introducir as
llncciones.
El estudiode os númerosdecimales parece ntonces omo el de
os números
que:
f'ueden scribirse n forma
de fracciones ecimales
8/5
:
16/10 1,6).
,
l)crmitirán, ulteriormente,
aproximar
por
encuadramiento tras
racciones
0,3
<
+
<
0,4
I
ó
0,33
1- <
0,34etc.).
J
.
Los maestros legirán a
forma
(o
las formas)
de estas
ituaciones
ue
les
parezcaque
pucdenayudarmejor a caer en a cuentade a necesidad e ntroducir númerosnuevos.Estas
¡iluaciones
no
son equivalentes
uesto
que
cada una lavoreceun aspectou
otro del estudio
de
los números decimales: onviene
asegurarse e
que
al final no se
ha
descuidado
ningún
objetivo.
Es un hecho
que
el conjunto
de los números decimales
no
permite
describir
o
traducir
lodas
as
situaciones
ue pueden
encontrar os
niños,
pero permiten,
sin embargo,aproximar
tanto
como se desee
ualquier número no decimal
que
intervenga.
o
Al mismo
tiempo
que
se introducen
números nuevos,
es
preciso
designarlos
por
ercrito
y
oralmente-
y
organizarlos
rolongando
el orden
y
las
operaciones onocidas
ara
el
conjunto
e los
números aturales: s i
3,23
<
4,4 ó 8,6
<
9;
1,07
+23,4;18,2
-
13,5;
3,2
x 7;4,4 x 0,13 ienenentonces n
sentido.
El
modo de
introducción
que
se
haya utilizado
para
os
números
decimales
etermina en
¡fan
parte
la elección de
las
situaciones
que
conduci¡án a
prolongar
las
operaciones.
as
distintas
nociones
(designación,
orden, operaciones)
o
pueden
separarse
n la
progrcsión
pedagógica.
as
designaciones e
os números decimales volucionan,
por
ejemplo, a
mcdida
que
el conocimiento del orden
y
de
las
operaciones
e enriquece.
llscribir
y
leer númerosdecimales
Es mportanteque os niños conozcanmuchas ormas de escribirun número decimal. Por
ejcmplo:
,23;7,230;7
+0,23; '7 +0,2 +0,03; '1 +
(2
x
0,1)
+
(3
x
0,01);
8-0, '7 '7;
l0
-
2,77;7
+
2ll0
+
3/100;
7
+
231100:'7231100:'
stas scrituras esignanodas
el mismo
número. Cada una de ellas evoca aspectos
articulares
del
conocimiento de estosnúmeros.
'Iumbién
son
posibles
arias ecturas.
(lomparar
números
decimales
El aspectomás mportante
y
nuevo de esteconjunto de
números
es
a manera de estar
ordenado.
Entre
dos
números decimales
hay siempreuna infinidad de
números.Los
reflejos
quc
se han adquirido
sobre os números
naturalesno sirven
para
los
decimales:
7,013 tiene
una
escritura
más arga
que
7,3
y
sin
embargodesignaun
número más
pequeño.
Se
puede
encontrar el
número
que precede
109
en el
conjunto de
os números naturales
mientras
que
este
problema
no tiene significación
en el conjunto de
los números decimales.
Algunas
formas de leer los
números
decimales
pueden
también
ser fuente de errores:
rdiecisietecoma tres>
es un
número mayor
que
<diecisiete
oma doce¡>.
Debe hacerse n trabajo
a fondo sobre el orden de
los números decimales.
Por ejemplo
3;
. ,&.
it N
j
il:
&i
ri:.
JJ
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 19/108
7'0l3estáentre7,0ly7,02;entreTyT, lperomuchomáscercadeT;7,3estáentre7y7,5,
más
cerca
de 7,5
que
de
7.
Estos
comentarios pueden
acompañarse
e
una representación or
puntos
de una recta
graduada
en a
que
las
graduaciones
e van
haciendo
cadavez
más
inas
de forma
que
permi-
tan situar
más
números.
Por
ejemplo,
para
intercalar
números
entre 7,05 y
7,06
los
niños
deben
pasar
a una
graduación
más
fina,
lo
que
se
raduce
por
una escritura
más
arga.
Utilizar
los números
decirnales
Además
de las
situaciones
e introducción,
los
niños
deberán
econocer
otras
situaciones
que
hacen
ntervenir
escrituras
omo a
*b,
a x
b,
a
-
b
y
frases
omo
a
<
b en
as
que
a
y
b
designan
úmeros
ecimales.
El
estudio
de
tales situaciones
es
una ocasión
para
poner
en
práctica
os
conocimientos
relativos
a los
números
decimales,
e reforzarlosy
de ampliar
incluso
su
significación.
Desde
el ciclo
elemental
2P
y
3.",
curso),
antes
del estudio
de os
decimáles,
os
niños han
encontrado
escrituras on
coma,
por
ejemplo
12,50
m
que
nterpretan
como
escritura
omple-
ja
(12
m
y
50 cm)'
Es conveniente
establecera
relación
que
hay
entre
estas
escrituras
los
números
ecimales.
Conoceros númerosdecimales o prohÍbeutilizar,en algunas casiones,scriturasom-
plejas
que
tienen
un
sentido
práctico:
<<dos ilogramos
cuat¡ocientos
incuenta gramos>
en
lugar
de <dos kilogramos
cuarenta
y
cinco>>.
in embargo
si
se rata
de realizar
un cálculo,
se
trabajará
con
la
escritura 2,45
(lo
mismo
que
para
facturar
un
tiempo
de reparación
un
mecánico
eemplaza
2 h
45
min
por
2,75).
e
sobre as
operaciones
on
decimales
e
propone
a
extensión
e as
operaciones
+,
-,
x,
+)
que
los niños
ya
conocen
con los
naturales,
buscando
situaciones
ue
permitan
dar
un
significado
a estas uevas
operaciones.
on
particularmente
nteresantes
as ndicaciones
efe-
rentes
a la
división.
Se
presenta
el
estudio
de la
división
como
una ocasión
de reorganizar
odo lo
aprendido
sobre a
adición, a
sustracción,
a multiplicación y
el orden
de os
números.
La
adquisición
de
los
algoritmos
exige a
utilización
combinada
de
todas
estasadquisiciones.
Se
lega
a las
técnicas
codificadas
algoritmos
habituales
que
los niños
deberán
dominar
después
erfectamente)
aciendo
evolucionar
as
écnicas
ntermedias,
algunas
de
as
cuales
e
han
encontrado
ya
en los
cursos
anteriores.
Proponen
así
una
progresión
que
no
se apoya sobre
el ir
aumentando
progresivamente
l
divisor
(primero
con
una cifra,
uego
con dos cifras,
etc.),
sino
sobreuna
búsqueda
e
procedi-
mientos adavezmáseconómicos.
Se estudia
primero
la división
euclidiana,
determinando
el cociente
entero
y
el resto
en el
conjunto
de los
números
naturales,y
después
se
prolonga
este
estudio
al conjunto
de
los
números
ecimales...
2.4.
RELACIÓN
CON
OTRAS ÁRBAS
DEL
CURRÍCUT,O
Aunque
las
situaciones
más
significativas
en
las
que
aparecen
os números
deci-
males
son
las
relacionadas
con
la
continuidad y
la
aproximación
de medidas
es
osible
encontrar
en
las
distintas
áreasdel
currÍculo
situaciones
ue
exüan
para
su
escripción
a
utilización
de números
decimales.
por
ejemplo
en ciencias
naturales:
lasificar
plantas
por
el tamaño
de as
hojas;
apreciar
el crecimiento
de os vegetales;
aves
por
la longitud
de las
alas;
analizar
suelos
por
el
tamaño
de los
34
lfH¡¡s
(gravas,
rena,
imos,
arcilla);
ordenar
peso
y
talla
de
los cuerposl
medir
la
[a,,,p.ruiuru
ambiental
y
la temperatura
corporal;
hallar
distancias
entre
diversos
¡r¡tscs
tilizando
un
mapa; conocer
el
tamaño
de
los
microbios,
de
los
virus,
as
r'dlulas
las moléculas,
tc.
2.5.
PISTAS
DE
REFLEXION
l.
Elabore
na
istade
situaciones
ue
tengan
significado
ara
os
niños
dc ciclo
rlcdio
y
cuya
descripción
umérica
exija
a
utilización
de números
decimales'
2.
Amplíe esta
ista añadiendo
ituaciones
daptadas
los
alumnos
del
ciclo
su-
l)crror.
3.
Compare
os contenidos
objetivos
e
os documentos
ñciales
itados
seña-
lc cn cada
uno
de ellos
cuáles
on
os aspectos
e
os números
decimales
ue
aparecen
cxplÍcitamente
cuáles
on
os
que
no se
mencionan.
Qué
propiedades e
os
núme-
ros decimales esultanprivilegiadas n cadacaso?
5.
Teniendo
n cuenta
odos
estos
uestionarios,
labore n programa ueperml-
ta
poner
en evidencia
el
número
decimal,
os contextos
principales en
que
aparece
sus
propiedades
aracterístlcas'
O.
¿e*i.t.n
diferencias
ignihcativas
en cuanto
el
número
decimal
se
refiere-
cntre
loi contenidos
del
progiama
de
1953
y
los
proyectos de
reformulación
de
las
enseñanzas
e
1985?
3
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 20/108
SEGUNDAPARTE:
¿QUE
SON
LOS
XÚrvrEROS
DECIMALES?
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 21/108
3.
Antecedentes
istórico
de los númerosdecimales
desde
a
antigüedad
asta
eI
siglo
XIX
3.r. rNrnonuccró¡{
La regla
numeral,
que
consiste
en atribuir
a un signo
un valor
distinto
según
el
lugar
que
ocupa
en la
escritura,
ha
sido maginada
sólo
cuatro veces
n la
historia
de
la
humanidad,
según
nos
relata
el
maravillos
ibro
de G¡onc¡s
Irnnu
09gl):
É/¡i-
toire
Universelle
des
chffies.
cuando leemosel número 3333,3 atribuimos al símbolo 3 valores
difereúes,
según
el
lugar
que
ocupa
en la
escritura.
Así,
el
primer
3
de
la
derecha epresenta
tres
veces
a
décima
parte
de
la
unidad,
el
3 anterior
representa
res unidadei y,
a su
vez,
tres
décimas
del valor
representado or
el 3
que
tiene inmediatamente
a su
izquierda,y
así
sucesivamente.
Para
interpretar
este
número
hemos
utilizado
dos
principios
importantes
en
matemáticas,
laborados
lo
largo
de muchos
siglos
y que
no
aparecieron
simultá-
Deamente
n
la historia.
El primero es el llamado <<principio e posicióo>,cuyo invento revolucionó la
ciencia
por la
simplificación que
supuso- facilitando
a
escritura
de
os
números
enteros
y
simplificando
as operaciones
on los
mismos.
El
segundo
principio
no
es más
que
la
extensión
del
anterior
<<principio
e
posicióo>
a la
escritura
de números
nferiores
a la
unidad.
- -Para
comprender
mejor
este
segundo
principio,
que
dará
origen
al nacimiento
de los
números
decimales,
haremos
un'breve
recorrido
histórico qoe
ttor
permitirá
conocer
a
aparición
y
evolución
de
la idea
esencial
que
subyace
la
numeración
de
posición.
Según
rnnu,
los
sabiosde
Babilonia, probablemente
a
principios
del
segundo
milenio
a.c.,
utilizaron
un sistema
de numeración
de
posicién.
gúalmente
ap¿uece
39
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 22/108
esta dea,
ndependiente
de
toda influencia
exterior,
entre
os
sabios
chinos,
y
€ntre
los
astrónomos
mayas
de los
siglos
ur
al
¡x.
Aunque
ninguno
de
estos
res
sistemas
posicionales
ue
tan
perfecto
como
el sistema
de numeración
de los indios,
el más
cercano
al nuestro.
Dado
que
estos
uatro
sistemas
on os
antecesores
e nuestro
sistema
de nume-
ración
decimal,
y pueden
considerarse
eslabones
históricos
en la
génesis
de los
números
decimales,
ablaremos
e
algunas
de
sus
características
de
as
diferencias
entre
ellos.
3.2.
SISTEMA
BABILÓNICO
DE
NUMERACIÓN
DE
POSICIÓN
Los
matemáficos
astrónomos
babilónicos
ueron
quienes
uvieron
por
primera
vez
en la
historia
la idea
de
un
sistema
de numeración
de
posición
-di
base
60_
que_les
ervÍa
para
representar
números
enteros
y
fraccionei.
pste
sistema
ue
el
más
perfecto
de los
creados
en
la
antigüedad (que
siguieron
principios
aditivÁ, multipli-ativos, eroglíficos,hieráticos,etc.).
En
el
sistema
babilónico
sólo
se
utilizan
dos signos y
no
59,
como
pareceía
si
ensásemos
n nuestras
nueve
cifras).
Los
primeros
cinJuentay
nueve
nú-"ro,
,,
epresentan
on la
ayuda
de
dos
signos
de a notación
cuneiforme:
un
clavowertical
a
unidad
y
una
espiga
para
a
decena.
La
notación
de los
números
nferiores
se hace,
por
tanto,
en
un
sistema
de
base
decimal
y
siguiendo
un
principio
I
Y
Y7
TN
Y
wwr
v
8
Tq
W"V"?
<{
(4r
q"q
s"{{
It IT
rffi
rrw
<rffi
{{l
Yv
4flW"444<
4Y
46
áw
ú7Y
úw
4
w
2
9 l6
52
3
t0
25
55
4
20
27
59
5
30
32
6
40 39
7
50
4l
3.1'
Representación
e las
59 unidades
ignificativas
el
sistema
bstracto
e os
sabios
abilónicos.
Pero
o
que
aquÍ verdaderamente
os nteresa
es
que para
os números
superio-
a
60 utilizaron
un verdadero
sistema
de
posición.
Así los
números
61,
62
y
69 se
escriben espectivamente:
"T\ " V
TW
0'1. '1 60'1.2
l; g
60'1'9
Figura
.2
Esta
notación
significa I x 60
+
I
(una
sexentena
una
unidad).
Para escribir
as fracciones
sexagesimales
tilizaron
un clavo
doble en
lnicial.
posición
l r
0; 1
{v
0; 4
{1.
0; 9
d
{Éllf
0;53
{{ {t(
0
;0;
30
{
ff{d?.4
0 ;
6
;37;40
=
0ol '
=
0'4',
=
009'
=
0'53'
=
0"0'30'
=
0'6' 37',40"
Fl¡ura
3.3. Escriturasexagesimales
e
os
babilonios escrituras
ctuales e
racclones
e-
xagesimales.
La
doble espiga a
utilizan aquí
para
designar
a
ausencia
e unidades,es decir,
el cero,que puedeconsiderarsecomo el primer cero de la historia, aunque todavía
no
tenga a condición
de
número.
Este
sistema de numeración
sólo se
diferencia del
nuestro
en la formación
de las
cifras
y
en la
base,
pero
el
principio
de
numeración
es
el
mismo,
y
su nfluencia
en
cl
mundo
cientlfico ha sido
tal
que,
a
pesar
de
la naturaleza
decimal
de
nuestros
¡istemas
de numeración
y
de medida,
seguimos odavía
utilizando el sistemasexa-
gesimalpara
expresar as medidas
de tiempo
(en
horas,
minutos
y
segundos), sí
como
para
as
de arcos
y
ángulos
en
grados,
minutos
y
segundos).
3.3.
EL
SISTEMA POSICIONAL
DE LOS
SABIOS
CHINOS
Para
expresar
cantidadesabstractas
de todas
clases,
os
matemáticos
y
calculado-
ros
chinos
utilizaban
un
ingenioso
sistema
de numeración
que
combinaba regular-
atr?ñérñ ñ ñlCfÓlf^
i
4l
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 23/108
I
rl|
ur
uil
TI[r
F
I;
u*
lF
=J
l¿
llll
;
r
T=
lll
T
X
llll
-
X
mft¿ -Tr
ilt+T=
ffr
1 8617
38759
-
Tl- | lill
: ¡r
¿-
t trt
3764
--.-;-_-_
3xl0.7xl0a6xl0+4
Figura
3.4.
Escritura
de números
en
el sistema
de barras
numerales
hinas.
mente
barras
horizontales
y
barras veficales.
parece
que
lo
utilizaron ya
en los
iglos rII
y
ur
a.C.
G' IFMFI
nos
hace
observar
que
en
estaescritura
combinaban
alternatfvamente
barras horizontales
con las verticales
para
distinguir
los
órdenesde
unidades
y
evitar
ambigúedades.
Este
sistema,
ue
se raguó
ndependientemente
e oda nfluencia
exterior,
y
no
que
ver
con la numeración
china de
uso común,
esanálogo
al nuestro
en
que
es
estrictamente
posicional
y
decimal.
pero
se diferencia
en
que
sus
cifras
signifrcativas
se representaban
por
medio
del
principio
aditivo,
a
partir
signo
especial
para
a
unidad
y
de
una
figura
simbólica
para
el
cinco.
7
,
5
r
1
r---
O
Escritura
del número
76
400
TT
I
i l t l
7
0
0
Escritura
del número
70 064
Figura
3.5
A
partir
del
siglo
vur,
los
sabios
hinos ntroducen
en su
numeración
de
posición
especial
representado
por
un
pequeño
círculo-
para
señalar
a
ausencia
unidades
de un
cierto orden.
Desde
este momento
el
progreso
de
la matemtÍtica
china
escrita
no encuentra
ninún
obstticulo. Todas
las reglas
aritméticas
o algebraicas
relativas
a los
números
enteros,
raccionarios
o irracionales
alcanzaron rdpidamente
un
grado
de
perfeccio
namiento
semejante
al
que
se expone
actualmente
en
la enserianza
cimtíJica
(lr*.r'ln,
l98
.
+J
lo
l lo
f
o
l ;0
2i0 7
:0 .
-T0-
-0'-
T
loT*l l
*
|
=
TI
ooo
1;t , ;7;0;0;0;0
106929 1470
00
Figura
.6.
Usos el ceroen el sistema
ebarras
umeraleshinas.
En
particular pudieron
representar
y es
o
que
a
nosotrosnos nteresaaquí-
números
nferiores
a
la
unidad de una forma muy
próxima
a la
nuestra.
G.
IrneH
cita
los ejemplos
siguientesde escritura de
fraccionesdecimales
omadas
de un
documento
de
la
época
mongola.
3.4.
SISTEMA
MAYA DE NUMERACIONDE POSICIÓN
Los sacerdotes astrónomos
mayas
emplearon
un sistemade numeración escri
to
en
base20,
en el
que
as cifras ecibíanun
valor,
dependiendo e su
posición
en la
escritura.
oooTl-
T-
f
-o+
0006 6 7 7 3
0
8
=t or l l l l l
021 0
7 5
0,21
0,75
0,006677308
Figura
3.7. Fracciones
ecimales.
I
oi
. . .
o
i
. . . .o
:
-o
I
¿o.l
7
:
o
: l
:o: l
g¡" i l
:o
l l
:
" ' l l
:
" : l l
t3
3j o ; l l
=oi l l
=ol l l
*
" . l l l
*
" : l l l
=
" : l l l
=" [ l
2 8
t4
3
I
t5
16
t,
t0
17
5
l l
tg
6
12
l9
Figura
3.8.
Escriturade
los números
nferiores a 20.
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 24/108
-
cada
número
superior
a 20
se
escribía
en una
columna
vertical que
tenía
antas
lÍneas
horizontales
como
órdenes
de
unidades
había.
Se
leía
de
aniua
aua¡o
en
orden
de
valores
decrecientes,
de
esta
manera
a
línea
nferior
estaba
socia¿a
tas
unidades
de
primer
orden,
a
segunda
a los
múltiplos
de 20,
lu
ter"e.ul
ros
múlti-
plos
de
360
:
lg
x 2l,lacuarta
a los
múltiplos
de 7200
='lg
x Zú,
I
asisucesi_
vamente.
E1e
sistema
poseía
un
cero,
que
se corocaba
anto
en
posición
inal
como
enre
las
cifras;
aunque
debido
a la irregularidad
que
presenta
partir
del
tercer
qqden
de
unidad-es,
ste
cero
no
puede
ser
operador,-puétto
que
añadir
un
cero
al
final
no
multiplica
el número por
20.
.
i l
Q¡o
'
;l
.
if
@io
o
oi 2
O
io
g>¡o
20
36
400
Figura
3.10
.5.
EL
ORIGEN
DEL
SISTEMA
POSICIONAL
INDIO
La
primera
numeración
escrita
que
tuvo
una
estructura
déntica
a la
nuestra
y
uyos
signos
gráficos
han
constituido
la
prefiguración
de nuestras
cifras
actuales
ació
con
toda
probabilidad
en a India
septcntrional
hace
aproximadamente
uin-
siglos.
Esta
numeración
entraña
una
gran
ngcniosiclucr
aparece
omo
muy
superior
a
sistemas
e numeración
anteriores.
Sus
cilias
son
signos
ue
no
haceí
referencia
objeto
concreto y
la regla
dc
p.sicirln
sc
aflica
iiguiendo
las
potencias
e la
base
diez.
I¿s
nueve
primeras
ifras
de a
antigu.
nr¡mcrucitrn
rámi
y
los
nueve
primeros
aa
1-____
x7200
l7____
17x360
8-- -__
8x20
lq r
q
7200
(17
x
360)
+
(8
x
20)
+
15
Figura
3.9.
Escritura
del número
13
459.
nombresordinariosde
os númerosde
a lengua
sánscrita
ueron totalmente adapta-
dos
a
la regla
numeral
de
posición
siguiendo
a base
10.
Junto con el
principio
de
posición
aparece l del cero
que
constituyó, sin duda,
el
hallazgomás decisivosin el
que
no
podría
maginarseel
progreso
de
as matemá-
ticas,
de
las
ciencias
y
de
las técnicasmodernas.
Debido a su
gran
ngeniosidad, l invento de
a numeración decimal de
posiciirn
y
el del
cero se coloca en
primera
fila
de
los descubrimientos
undamentales
lc
a
Humanidad.
Ha tenido una difusión an excepc ional
ue
se ha
convertidoen el único enguajc
universal
Inneu,
1981).
(Este
punto
estáampliamente ratado en el
libro de Bernardo Gómez
A., Nume-
ración
y
Cdlculo.)
3.6. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN ÁN¡.gT: PROPAGACIÓN
DEL
SISTEMA
DE NUMERACIÓN
INDIO
3.6.1.
Al-Huwarizmi
y
su
Tratado de aritmética
La
propagación
el
sistemadecimal
de
posición
a llevaron a cabo
os árabes.
a
primera
obra
que
se conoce
-en
la
que
el sistemadecimal
y
las
operaciones
e
cálculo
en este
sistemason objeto
de explicaciones
etalladas-
es el
Tratado de
aritmética
de AI--HuwnnIzrrtI
(780-850).
En este ratado,
Al-Huwnnlzltl
nos dice
que
decidió
exponer
a manera
de
contar de
los indios con
ayuda de
los nueve
caracteres,
demostrar
cómo,
gracias
a su sencillez
y
concisiÓn,estos
símbolos
permiten
expresar odos
os números.
Después e
explicar con todo
detalle el sistema
decimal de
numeración
de
posi-
ción
por
medio de
las cifras ndias
y
en
particular
empleando
un circulo
pcqucño
parecido
al cero,
AL-HuwARIzlrc explica
cómo
pronunciar
los adjetivos
numcrales
en
los casos e
números
grandes
utilizando
los conceptos
de unidad, de
decena,dc
centena
y
de millar,
y
acaba
describiendo
as operaciones
e cálculo.
Otra
parte
de
la obra de aritmetipa
de
AI-HUwIRIZMI trata
de las
fracciones,
empleandonombresparticularespara las fraccionesque tienen por numerador la
unidad,
hasta
a fracción /10.
Describe
en
particular
as fracciones exagesimales
los cálculosde duplicación
y
división
que
habÍan
ugado
un
papel
muy
importante en
as matemáticas gipcias,
pero
no
pareceque
conociera
as fraccionesdecimales.
Digamos,
por
último,
que
el objetivo de
Tratado
de aritmética
de
Al-
Huw¡.nIzvI es eminentemente
pedagógico,
omo él
mismo señala:
Estaobra
pretende
<facilitara tareade odo
el
quequiera
aprender
a aritmética,
tanto los números
randes
omo os
pequeños
todo
lo
que
se
refierea ellos: a
multiplicación,
a división también
a adición la
sustracción.
45
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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3.6.2.
Af
Uglidisi
y
La
llave
de s
aritmétr'c¿
de
Al-Kasi
Al-ucI-r¡rsr,
matemático
rabe
ue
vivió
en
952
enDamasco,
uvo
a
ambición
de
recopilar
toda
la
aritmética
de
su
tiempo,
tanto
de
origen
náio
como
gnego
o
árabe.
En
su
obra
utiliza
de
forma
natural
las
fraccion.J¿..i-ut.,
f
se
muestra
experto
en los
cálculos.
Emplea
una
notación
muy
cercana
la
nuestra,
on
un
signo
de
separación
ntre
a
parte
entera y
la
parte
fraccionaria
de
un
número.
por
ejemplo:2'35
designa
uestro
2,35
y
se ee:
i2
unidades
35
de
cien¡.
Ar-ucllorsr
realiza
fácilmente
multiplicaciones
y
divisiones por
las
potencias
de 10 y
muestra
haber
comprendido
las
ventajas
d-elsistema
decimal.
También
explica
una
de as
azones ue
obstaculizaronlapenetración
del
sistema
oe
numera_
ción indio
en
el mundo
árabe.
Escribe ue
el
sistema
e
calcular
de los
ndios
se
propagó
hacia
el
oeste
por
medio
del <<tablero
e
areno>
o <<tablero
e
contan>
que
utiliz-aban
os
astrólogos
mbulantes ue
venían
de as
ndias,
astrologos ue
enían
una
ama
dudosa.
AL-ucLrDISr
eñala
ue
el ablero
no
esun instruméntoindispen_
sable,
que
la
tinta
y
el
papel
son
suficientes,
que
si
se eme
utilizar
las
cifras
se
pueden
sustituir
por
las
nueve
primeras
etras
del alfabetogriegoo árabe.Pero mucho más conocido que Al-uclrolsl
fue
el
aJ.oriomo
y
matemático
AL-KASr,quien
contribuyó
al desarrollo
último
del
sistema
e numeráción
de
posi-
ción.
Escribió
un
tratado
de
aritmética,
La
llave
de a
aritmétiro qu",
pá.
su
conte-
nido,
claridad y
elegancia,
uvo
una
gran
difusión
en
toda la
literatura
dcla
Edad
Media.
En
el
primer
capítulo
del
segundo
ibro
de
La
llave
de
a
aritmética.
consagrado
a
las
fracciones,
Al-K¡,sr
nos
dice
que
ha
introducido,
basándose
n las
fracciones
sexagesimales,
racciones
ompuestas
e las
potencias
sucesivas
e
un
décimo.
Lla_
ma
a estas
potencias:
décimas,
segundos
ecimales,
erceros
decimales,
tc.,
y
a las
fraciones,
racciones
decimales.
Explica que
ha
creado
un sistema
en
el
que,
como
en
el
sistema
sexagesimal,
odas as
operaciones
e
efectuarán
exactamente
omo
con los
números
enteros
pero
que,
apoyándose
n la
base
0
utilizada
corriente-
mente'
será más
accesible
los
que
no
conozcan
el
cálculo
de los
astrónomos
(cálculo
exagesimal).
Su
ercer
ibro
trata
del
sistema
exagesimal
e numeración
de
posición,
aplicán_
dolo
al
cálculo
de los
astrónomos.
xplica
a
escritura
iectura
áe
un
número
en
sistema
sexagesimal,
sÍ
como
las
operaciones
de muitiplicación
y
división
con
fracciones exagesimalescon fracciones ecimales.Dedicauna atenciónespecial
a
conversión
de fracciones
exagesimales
n fracciones
ecimales
viceversa.
ara
acilitar
los
cálculos
establece
ablas
muy
concisas,
con
ayuda
áe
las
cuales
se
ueden
expresarpor
medio
de fracciones
sexagesimales
úmeros
decimales
de la
orma:
au
l0n,
ara
10
<
n
<
l0
y
au: 1,2,. . . ,9
cuando
un
número
en
base
sexagesimal
o
puede
expresarse or
una
fracción
finita
(una
fracción
decimal
siempre
se
puede
expresar
éxactamentepor
sexagesimal),
L-KASr
edondea
os valores
aproximados
de una
for_
que
hoy
nos
es
amiliar.
Por
ejemplo
8' 29"
44"'(la
parte
raccionaria
e
n)
es gual
a 0,r415g2que
da
t
,*
&
í
todavfa
un
resto de 35'
33"
20"' de
la última
cifra
decimal -luego
más
de
la
mitad-
por
lo
que
redondea
a
fracción decimal
aumentando
en
I la última
cifra.
Parece
ue
AI-KISI
no conoció
os
trabajos
de At--UCt-rotSI,
i otras
entativas
históricas
de utilización
de
los decimales,
porque
reivindica
categóricamentc
u
invcnción.
Perosea
o no el
inventor
de
os decimales
ue él
quien por
primcra
vcz
cxplicó
claramente
una
teoría de
as
racciones ecimales,
e
a noción
dc
nt'tmcro
V
en
¡rarticular
e
a noción de
número decimal.
Las
racciones
ecimales
e
Al-KnSl
estuvieron
en
boga en
Turquia
en
la sc¡lrttt-
du
mitad del
sigto
v
y
en el
siglo
xvL Un
testimonio
de
ello
son dos
problcmas
rucados
e
una colección
izantina,
de un
autor
anÓnimo
del
siglo
xv. Se
eeen el
¡rroblema
número 36 de
esta obra:
<<Losurcos
hacen
las multiplicaciones
y
las
{ivisiones
siguiendo
un
procedimiento
particular
de cálculo.
Han
introducido
sus
lit¡cciones
desde
que
reinan en
nuestro
país.>>
l
procedimiento consistía
en trans-
l'rlrmar
raccionesordinarias
en
fracciones
decimales:
Paramultiplicar
os úmeros
53/2
y
16
/4, sesustituye
/2
por
5
y
l/4
por
25.
Se separan uego as cifrasqueocupanas tres últimasposiciones n el producto
1535
1625
=
2
494
375
o
sue
da
2494,375.
e ndica
que
a
parte
raccionaria
s
igual
a 3/8.
Pero estecálculo
se
hace utilizando
letras
griegas
ue
representan
as cifras
y
la
parte
raccionaria
se separa
por
una
raya.El cero
(
=
nada) se
ndica
por
un
punto
como
en árabe.
3.7.
CONSOLIDACIÓN
DEL SISTEMA
DE
NUMERACIÓN
DECIMAL:
LOS NÚMEROS
DECIMALES
DE STEVIN
Aunque,
cOmo
hemoS
visto,
los árabes
poseían a
los
números
dccimalcs
y
algunos
Labían descubierto
que
era
más
fácil calcular
con
fracciones
dccinralcs,
sc
puede
decir
que
durante
oda
a
Edad
Media se
utilizaban
más
as racciones
omu-
nes en
los cá1culos,
que
las fracciones
eran
con
mayor
frecuencia
sexagesimales,
como una supervivenciadel cálculo de los babilonios transmitido
por
griegos
y
árabes,
rincipalmente
en
los cálculos
astronómlcos.
Fue
preciso
legar al siglo
xvr
para
que
algunos
matemáticos
edescubrieran
comprendieran
mejor
que
se
puede
utilizar
para
números
nferioresa uno
la misma
escritura
que para
números
mayores
que
uno.
El redescubrimiento
de
los
números decimales
aparece
asociado
a una
época
rica en transformaciones
ociales.
Es el
nacimiento
de
la ciencia
moderna
de
CO-
pÉRNrco
1543),
delos
Principios
matemáticos
de lafilosofía
natural
de
Npwrox
(
1687),de
as
grandes
ransformaciones
e
a religión,
a filosofia
y
la economía.
Se
produce
una
¡ueva
estructura
sociológica
en
Europa ocasionada
por
los
grandes
descubrimientos
y
expansiones
de
los siglos
XVI
y
xVII.
La navegación
obliga
a
situarse
correctamente,
elegir
rumbo,
y
esto
hace necesario
alcular
distancias
y
plantea
problemas
que
exigen
cálculos
astronÓmicos.
En estaépoca
se desarrolla
gualmente
el
comercio
de
forma
que
el cálculo
se
47
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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convierte
en
una necesidad,
debe
por
tanto
ser conocido
por
todos.
Los repartos
de
terrenos, a
producción
de a
primera
máquina,
a
constitución
del
primer
banco
son
situaciones
ue,
unto
con
la
navegación,
explican
el contexto
social
que
va
a
favorecer
el interés
por
los
números
decimales.
Los
protagonistas
e
a <<invención>>
sobre
odo
de
a
extensión
de os
números
decimales
n occidente
ueron
el francés
FRANCoTs
rcrr
(1540-1603)
el belga
S¡lroN
SrrvrN
(1
548-1620).
vrÉTE
en su
canon mathematicus
seu
ad triangula,
en
el
que
utiliza
de
forma
sistemática
os números
decimales.
Desea
promover
el uso
de estosnúmeros y
dice
que
as
racciones
exagesimales
eberían
ser utilizadas
esporádicamente
sencilla-
mente
eliminadas
de las
matemáticas,
mientras
que
deberían
emplearse
asi
exclu-
sivamente
os
múltiplos
y
submúltiplos
e diez.Para
escribir
os números
ecimales
utiliza
diversos
métodos.
Escribe,
por
ejemplo,
a apotema
de un
polígono
regular
de 96 lados nscrito
en
un círculo
de diámetro
2000
de esta orma:
99
946145
75.
Otrasveces
scribe
l mismo número
con la
expresión
imbólica:
99 9464s
?5/10000.
Y
de esta
onvención
e
eicritura
pasa
a 99
g46as87s,que
stá
muy próximade a nuestra ue sería99 946,45875.
A
pesar
de las
sugerencias
ue
hizo vl¡re
para
a
utilización
de los números
decimales,
stosno
se
extendieron
ompletamente
asta a
publicación
de a
obra
de
Srevn
en
1585.
SIntoN
Sr¡vrN
se
propuso
omo
objetivomostrar
que
os
cálculos
lai
medidas
pueden
simplificarse
onsiderablemente
on
la
utilización
de
los
decimales.
Nos
dice
que
es una
cosa
an sencilla
ue
no merece
l nombre
de invención;
pero
ve
tanto
nterés
en
calcular on
decimales
ue pide
se<<ordene
a
dicha
décima
parti-
ción
para
que
todos os
que
quieran
puedan
usarlo>.
En 1585
publica
un
libro
de
36
páginas,
La Disme,
título
que
signif,rca
la
décima>,
rimer
libro
de a historia
que
trata
únicamente
e
os
números
decima-
les.
Sedirige
a todos
os
utilizadores
e os números:
los
astrólogos,
grimensores,
medidores
e apicerías...
en
general
todos os
comerciantes,
ara
mostrar
que
el
descubrimiento
e los números
decimales
implifica
numerosas
ificultades
ue
existían
n el cálculo
con fracciones.
StgvrN
asegura
ue
él enseñaa
calcular ácilmente
sin utilizar <<números
otos>>
o
quebrados
que
todas as
cuentas
ue
se
encuentran
n los negocios
umanos
pueden acerseon a misma acilidadquesehacen on ashchas cálculos en os
ábacos-
o
con
los
números
enteros. os
cuatro
principios
de
a
aritmética
que
se
llaman
añadir,
sustraer,
multiplicar
y
dividir
por
números
enteros
ueden
hacerse
con
odos os números.
nsiste
n
que
en a <Disme>
o hay
ningún
número
oto.
El libro
de SrEvtN
consta
e
dos
partes.
En la
primcra
enuncia
uatrodehnicio-
nes
y
en la segunda
explica
cómo
se
pucclcn
hac:cr
as
cuatro
operaciones
on
números
decimales, aciendo
observar
quc
cl rinico
problema
consiste n
elegir
bien,
al
final
de
a
operación,
a
parte
entcra.
Def,rnea <<Disme>>
omo
una espccic
c alitnlttic:a
c¡ue
ermite
efectuar
odas
las
cuentas
tilizando
únicamente nlcros.Lucgtr
stublccc
ue
<<cualquier
úmero
ue
vaya
al
principio
sedice
"comienzo".
y
su srgno
s
0>.
Se
eñere
asía
la
parte
ntera
ue
marca
el
principio
de una
proglt'siorr
lt'r'irli¡l
:n a
que
arazón
es /10.
n las
otras
dos deñniciones
lasifica
us
¡losit'iorrcs
lct'inlalcs
ucesivas
e a
pro-
/10
se lama
<<primero>
scdcsi¡inrr
)()r
l).
I/l(X)
sc lama
segundD>
se
designa
or
@; ...
y
los
números
epresentados
or
O, O,
@, ... se
laman números
decimales.
A
lasdeñniciones
iguen
as aplicaciones.
or ejemplo:
3
A 7 @ 5
@
que
se
ee
<3
primeras,
segundas,
terceras>>
orresponde
l
número 0,375.
Nos
muestraen
su Segunda
arte
CómO
alcular
con
números
escritos c
csla
frlrmautilizando,
por
ejemplo,
para
a adición
a disposición
iguiente:
oo@@
que
ahora
eemos:
47 enteros,
eis
décimas,
ero centésimas
dos milésrmas.
Rey
Pasron
cita
la
multiplicaciÓn
0,000378
x
0,54
tomada del
libro
StrvrN:
o@
20412
@o@o@
Las reglas
ue
da
Sre,vlN
ara
calcular
on
números
decimales
cln
as
nisntas
que
utilizamos
actualmente.
demás
explica
laramente
as
ventajas
uc
scclcriva-
rian de
tener
un sistema
e
medidas,
pesos
monedas
basado
en
las
divisioncs
decimales,
compañando
usexplicaciones
on
diversos
jemplos.
or
último,
aun-
que
conserva
ara
el cÍrculo
a
división
en 360
grados
ugiere
ivisiones
ecimales
de grado.
La notación
de Srsvltl
fue sustituida
a
partir
de
1620
por
la notaciÓn
actual,
gracias
a
los trabajos
del coinventor
de
los logaritmos,
JOHN
N¡.plEn.
La
<<como
-que
en
los
paÍses
nglosajones
s un
punto-
aparece
sícomo
un
símbolo
que
permite
Separar
a
parte
entera
de
Ia
parte
<<decimal>>n
os
ogaritmos,
a caracteís-
tica
de
a mantisa.
De
todos
modos cualquier
cambio
de
método es
siempre
muy
lento
y
en
las arit-
méticas
estinadas
los
comerciantes,
os autores
incluso
en
pleno
siglo
xvIII-
despreciaban
l
cálculo
con
decimales,
ue
tenía
poca
utilidad,
dada
a arbitrariedad
del
sistema
e
medidas.
Sólo
cuando
os
países
ueron adoptando
el sistema
métrico
fue
cuando
el cálculo
con
decimales
adquirió
todo
su
interés
en
la
vida
práctica.
28312
41929
78
54
l5t2
r890
de
@
3
49
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 27/108
3.8.
ESTABLECIMIENTO
DEL
SISTEMA
MÉTRICO
DECIMAL:
SU INTERÉS
PEDAGÓGICO
Las
unidades
de medida que
son
hoy
casi
universales
parecieron
elativamente
tarde-
En
algunos
países
su
establecimiento
es
muy
reci-ente
en
otros
todavÍa
convive
con medidas
no
métricas,
omo
es
el
caso
de os
Estadós
nidos
de
Amé_
nca.
Hasta
el siglo
xvrrr,
cada
país
y
hasta
cada
pueblo
tenía
sus
propias
unidades
de
me.d-ida,
o
que
obligaba
a. cálculos
muy
complicados.
por
etio
se
penso
en
una
unidad
que
fuera
indep_endiente
el hombre,
ulgo
qu"
se refiriera
a la
tierra y
no
a
una
nación
particular.
Se midió
la longitud
del
meridiano
terrestre
entre Barcelona
y
Dunquerque,
de
esta
medida
se
dedujo
la
del meridiano,
y
a ra
rongituo
de la
40
millonésima
parte
del
meridiano
se a
llamó
metro. (Esta
definición-del
metro
ha
variado
a medida que
ha
sido
posible
una
mayor
precisión
en la
medida.
La
derrni-
ción-de
1983
decreta ue
el metro
es a
longiiud-del
rayecto...ooido.n
er vacío
por
la
luz
láser
duranre
un
tiempo
de t12997g245g
ségundos.)
e
ecidió
crear
múltiplos y submúltiplosdel metro, multipricándolo iividiénáoro po. 10, 100,
1000,
etc.,
de
forma
que
el
cálculo pu.u
puiur
de uno
a otro
fuera
sencilro,puesto
que
se
reduce
a
desplazar
a
coma
a
la
derecha
o
a
la
izquierda.
Fue
en Francia
donde,
en 1793,
e
estableceor
primira
vez
el
Sistema
Métrico
Decimal,
y
se
hace
con
un
objetivoprinciparmente
olítico,
pues
se
propone
definir
unidades
de
medida que
no
sean
únicamente
regiónales
o locales
,iné uar¿u,
.n
odo
el territorio
nacional,
evitando
las
divisioriés
ncómodas
para
tos
cálculos y
ambién
los
fraudesque
resultaban
de
ellos
en el
comercio.
pero
uunqu.
la
defini_
ión egal
del
metro
sehace
en
1799,
ólo
se
produce
l
cambio
cuando
as
medidas
se hacen
obligatoriaspara
todo
el
ierritorio
francés
a
partir
¿e l¡+0.
pn
se hace
obligatorio-el
S.M.D.
por
Ley
de 19
de
utio
d'e rsa%-I" que
no
el
que
durante
muchos
años
sigan
conviviendo
as
medidas
métácas
con
las
medidas,
mucho
más
complicadas,
pero
familiares,
que
encontramos
en los
libros
escolares
asta
más
allá
dé 1940.
El
nt#s
peáagogico
¿el
Métrico
Decimal
es
el
que
propone
SrEvlN
en
la
conclusión
de la
Disme:
de
un
sistema
de
cuantificación
de
magnitudesque
no
esté
disociado
de
estrategia
e cálculo.
para
LnpLacr (astrónomo,
matemático
y
físico
francés,
fue profesorde la escuela ormal superiorde pans) la sencillezdel S.M.D. do
accesible
los
niños,
aunque
rastorne
as
costumbres
de
los
maestros>).
Nos
parece
de interés para
los
maestros
eproducir
aquÍ
este
exto
de LApLACE
de
su
discurso
en la
Escuela
Normal
Superior
¿i
pa¡s,
el l r
Flórear,
del
(1794).
Intenumpo
oy
el orden
e as
ecciones
ematemdticasara
hablaros
el
siste-
ma de
pesas
medidas
ue
acaba
eser
definitivamente
ecritado
or
a Convención
Nacional.
Uno de
los
objetos
más
útiles
de
los
que
os
ocuparéis
uando
volvtiis
a
vuesfras
rovincias
erd
l
hacer
onocer vuestros
onciudadanos,
especialmente
los maestros
e
as escueras
rimarias,
este
beneficio
e
ras
iencias
de ra reroru-
ción.Lo voy
a exponer
quí
en detalle
ebido
su mportuntia.
s
nimaginable
l
número
rodigioso
emedidas
n
uso,
no solamente
n o:;
Ji.stintosuebtos,
tno
en
una
misma
nación;
us ivisiones
uriosas
ncómodasaru
ltss
:álculos;
a dificul-
tad
de conocerlas
de compararlas;
n
in,
los
apuros
los
'raudes
ue
de ello
se
0
deduceen el comercio.
Uno de
los
mayores emicios
que
as ciencias los
gobierno
podrían
hacer
a
la humanidad
es,
por
tanto, a adopciónde un
sistema
mético
cuya
divisiones
uniformes
e
presten
o más
iicilmente
posible
al crÍlculo,
que
se obteng
de la manera menos
arbitraria
posible
de una medida
undamental,
ndicada
¡nr
lu
misma naÍuraleza.El
pueblo que
se diera un sisfemasemejanlede medidu.s niríu u
la
ventaja
de
recoger
l los
primeros
rulos,
la de
ver
su ejemploseguido
tr
lo.t
t¡tn¡
pueblos,
de los
que
se convertiríaasí
en
bienhechor
uestoque
el imperio lentrt,
prr,t
irresistiblede a
razón, vence
la larga as envidiasnacionales todoskt tit.¡tticult¡.
que
se oponenal bien
de
una utilidad,
generalmente
entida
por
todos.
i.\to.\
ik'rott
los
motivos
por
los
que
a asamblea onstituyenrc
ecidió
encargara la Acudatniu
dt
las Ciencias
este mportante objeto de estudio.El nuevosistemade
pesas
y
mcdidus
es
el resilfado
del trabajo de sus omisarios, yudados
or
el celo
v
las ucesde
varios
míembrosde a
representación
acional...
Para
facilitar
el cálculo del oro
y
de la
plata
fina
contenido en las
piezas
de
moneda, os comisariosde a academiahan
propuesto
lfabricarlos con una aleación
de un décimo,
y
de igualar su
peso
a múltiplos decimalesdel
gramo.
Por
último,
la
uniJbrmidad del sistema métrico de
pesas
y
medidas les ha
parecido
exigir
que
el día
fuera
dividido en diez horas, a hora en cien minutos, el minuto en cien segundos, tc.
Esta división
del día,
que
se
va
a hacer necesaria los astrónomos, s menosútil en
la
vida
civil,
donde
hay
pocas
ocasiones
e emplear el tiempo como multiplicador o
como divisor. Aunque
a dificultad de adaptarlosa los
relojes
y
nuestras
elacione
comerciales n
relojería
con os extranjeroshan hechosuspenderndeJinídamente u
uso.Se
puede
creer,sin embargo,
que
a la larga, a división decimaldel día sustituird
su división actual,
que
contrastademasiado
con as divisionesde las otras medidas
para que
no sea abandonada.
Tal
es el
nuevo
sistema de
pesasy
medidas
que
los sabios han ofrecido a la
convenciónnacional,
que
se
ha
apresuradoa aprobarlo.
Este
sístema,
undado
en
la medida
de
os meridianos errestres,
onvienegualmente
a
todos os
pueblos:
no se
relaciona
con
Francia
mtis
que por
el arco de meridiano
que
la atraviesa,
pero
la
posición
de estearco -cuyas exÍremidades legan a los dos mares
y
se
corla
por
el
paralelo
medio- es an
venlajosa
ue
os sabiosde todas as nacioncs,
cuniút:s
punt
fijar
la medida universal,no hubieran
podido
hacer olra electión. Por tuttto
ttt).\
'.\td
permitido
esperar
ue
un día estenuevosistemaserá
generalmentt'
dtt¡ttudtt.
'..t, tirr
comparación,mds sencillo
que
el antiguo, anlo en susdivisioncsu)t11()'tt vt
tt()nt(tt-
clatura
y presentará
muchasmenosdificultadesa la infancia.
Vosotros
endréisdificultadescuando o expliquéisa los
tnacstnts,
u
hts
que
unu
larga costumbre a
amiliarizado
con as antiguas medidas.
Les
parecerri
muy
com-
plicado, pues el hombre se nclina naturalmentea atribuir a la complicaciónde las
cosasel esfuerzo
ue
sus
prejuicios y
sus costumbrese ocasionan
ara
concebírlas
pero
vuestro
elo luminado superaráestosobstáculos
L'histoire
des
mathématique
pour
les
colleges,
.
55).
La
progresiva
adaptación del Sistema
Métrico Decimal en casi todos
los
países
del mundo
favoreció la
extensión de
los
cálculos con decimales.
Estos números
siguen
siendo los
de SrEvlN
y
conservan su carácter
práctico
sin una condición
defrnida
hasta
finales del siglo
xIx,
cuando CeruroR
y
otros
matemáticos
empeza-
ron a interesarseen
los fundamentos
de
las matemáticas.
51
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 28/108
Y EJERCICIOS
l.
Compara
os
sistemas
e
numeración
babilónico,
chino,
maya
e
indoaníbigo
teniendo
en cuenta
os
criterios siguientes:
a
Número
de símbolos
que
es
necesario
prender
para poder
escribir números
an
grandes
omo se
quiera.
o
Espacionecesario
ara
escribir un número
grande.
o
Mayor o menor facilidad
para
eer un número
una
vez
que
se conocen os
sím-
bolos.
.
Mayor o menor facilidad
para
escribir
números
nferiores
a
la
unidad.
2.
¿Qué
ventajas
e
inconvenientes
iene cada uno?
.
Para
escribir los números
¿es
el sistema ndoanábigo
el
más
fiicil de aprender?
o
¿Qué
ventajas
iene
el sistemade numeración
posicional,
decimal, con cifras
árabes
ara
escribir os números
nferioresa la
unidad?
o Para hacer as operaciones on númerosenterosy paraextenderlas los núme-
ros decimales,
qué
ventajas
iene
el sistemade
numeración
actual?
¿Qué
nconvenien-
tes
iene a
la
hora de aprenderlo?
a
¿Cómo
se escribiría
un
número
decimal en el sistema
de numeración maya?
3.
¿Qué
efecto
produce
añadir un cero al final
de un número escritoen el siStema
de numeración maya?
4. Para
comprendermejor las facilidades
que
aporta
un sistemade
pesas
medi-
das
que
se beneficia de la sencillez
de calcular con decimaleses nteresante recordar os
cálculoscomplicados
a
que
obligaban as
distintas
medidas
existentes n Españahasta
el establecimiento obligatorio
del Sistema Métrico Decimal. la
Gaceta de Madríd de
26
de diciembre de 1852
publica
cuatro
páginas
de
equivalencias ntre las distintas
medidas
que
seutilizaban
en asdiferentes
rovincias
españolas
suscorrespondientes
medidas
métricas.
Citaremosa título de ejemplo
algunasde
las
que
se refieren
a
Logroño:
La
vara
equivalente la
de
Albacete
0
metros, 837 milímetros.
La libra
de Castilla
0 kilogramos,460093 miligramos.
La
cántara ló litros, 04
centilitros.
Un litro I cua rtillo, 995 milésimasde cuartillo.
La fanega
superficial
19 áreas,0l centiárea,
96 decímetros uadra-
dos,
2ó centímetros
uadrados.
En la Rioja se
utilizan actualmente a cántara
para
el
vino,
y
la
fanega
para
os ce-
reales.
53
4.
El número
decimal:
bjeto
de saber
4.1. INTRODUCCION
Utilizaremos
a
expresión
<<objeto
e saben>,
al
como aparece
n CHEvALLARD
(1985),
porque
nos
parece
mportante
hacer a distinción entre lo
que
es
hoy
el
concepto
de decimal
para
el
matemático
-(objeto de saben-; lo
que
tiene
que
saber
el maestro
que
tiene
que
enseñarlo
a
lo
que
llamaremos
((conocimiento
para
enseñaD)-;
y
lo
que
en
realidad
éste deberá enseñaren
los
niveles
básicos
-<<objeto
de enseñanzo>.
Para
que
un objeto de saber
matemático
-que
ha
sido el resultadode a activi-
dad
matemática
de
os hombres
durante muchos siglos- seconvierta en
un
objeto
de
enseñanza, s necesario acer una
adaptacióndidáctica
que permita
a
los
alum-
nos
una mayor
o
menor
aproximaciónal objeto de saber.Cuevnluno
llama
dransposición
didáctico a ese
procesopor
el
que
un elemento
del sabercientífrco
ge
convierte en
un
(conocimiento
para
enseñaD) después n un
<objeto
de ense-
ñanza¡>.
La transposicióndidácticavaría,por ejemplo, en función del nivel de os alum-
nos a
quienes
estádirigida
a
enseñanza. n un curso de universidad
podrá
abordar-
tc
un concepto matemático en toda su
pureza
y
enunciarsecon un
mínimo
de
concesiones
la
transmisión didáctica.Por el contrario, en un
primer
acercamiento
¡
un
concepto
de una enseñanza ásicaes
preciso
hacer muchas concesiones
ara
adaptar
el conceptoa las
posibilidades
e comprensióndel alumno
y
a sus ntereses,
necesidades
motivaciones.
En cualquierade los casos, o obstante,nos
parece
mportante
que
el
profesor
conozca
o mejor
posible
el objeto matemático
que
debe enseñar,
porque
ello
le
permitirá
evaluar el
grado
de transposición didáctica
que
ha
de
realizar
en cada
etapa
del aprendizaje. De esta orma, la
adaptación
que
se
haga
podrá
lograr
que
el
¡lumno
se acerqueal concepto
matemático
y
no aprenda
cosas an alejadasde él
que
nada tengan
que
ver
con el
concepto al
que
pretenden
hacer
referencia.Un
qjemplo
muy
conocido es el de
la <<teorÍa
e conjuntos
que
ha
pasado
de disciplina
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 29/108
a
vocabulario
basedel hacermatemático;
y
de
vocabulario
matemá-
vocabulario
nfantib, JAvTER E LoRENZo
19'l'l),
totalmente
desconectado
<objeto
de saben> riginario.
EL NÚMERO DECIMAL:
OBJETODB SABER
El <<objeto
e sabeo matemático lamado <<número
ecimab> stáhoy
asociado
en significado,
que
tiene
el estatusde concepto matemático
por
una sólida
eoría
matemática
que
e define
y
le da consistencia
l
interior
espaciode
problemas
cuyo tratamiento implica
conceptos
procedimientos
s lases n estrecha onexión.
Pero antes
de
llegar
al estatusde concepto matemático, el
decimal,
ha
pasado
distintas tapas
ue
constituyen ormas
diferentes e
pensarlo.
Durante
siglos
ha funcionado
de
forma
implícita sirviendo
exclusivamente
ara
y
representar
cantidades
lo
mismo
que
servían
os
sexagesimales
e
los
sin ser econocido i como objetode estudioni comr: nstrumento e
la resolución
e
problemas.
Los
trabajosde Al-Huw¿.nIzlt
-unificación
del cálculo
de
os naturales
on el
as
azones
eométricas
ntroducción
e
a numeración
ecimal- van a
permi-
que
el número decimal aparezca
omo
instrumento matemático
de áirroxima-
de
racionales
de
radicales.
Con AI-UcIIDISI
-su
primer
nventor- el decimal eutiliza conscientemente;
e reconoce
se e nombra
pero
no
se
e
trata todavía como un objeto de estudio.
AI--K¡sgl
-su
segundo
nventor- lo reconoce omo un descubrimientomate-
pero
no existe odavía una teorÍa
que
hje
su definción, sus
propiedades
su
epistemológica.
Es
todavía
la
traducción del
sistema
sexagesimal
e los
a un sistema
más
cómodo
para
los
cálculos.
<<Se
uede
suponer
que
os
decimales stán
potencialmente
resentes
n la cultura
y
su
en evolución>,
Bnousseeu
1981).
Con Sr¡vIN, los decimales se convierten en un
objeto
de conocimiento
ser enseñado
utilizado en aplicaciones
prácticas;por
ejemplo, en
los
las raícesde
una
ecuación
polinomial.
Para resolver un
de hallar una cuarta
proporcional
SrpvlN
plantea
la ecuación:
300x
+
33 915024
y
demuestra
ue
se
puede
aproximara la solución anto
quiera
con sólo
reiterar un
procedimiento
de tanteo, utilizando
la
escritura
Pero el estatusmatemáticode
os
decimales
no seráhnalmente econocidohasta
los reales leguen a su
vez
a ser objetos
matemáticos
y
los
procedimientos
de
unciones
ue
utilizaba
SrsvlN adquieran ambiénuna denti-
matemática.
En efecto,el número decimal como objeto
de saber iene su signifrrcado ltimo
real.
Un
número decimal es un
número
real
y
no
puede
número decimal si no se comprende
el número real. Pero
para
mbosno suele er sufrciente
aceruna descripción e los axiomas
ue
os
definen,
ino
que parece
ecesarioonoccr os
caminos
argos
por
los
que
ha evolucionado l
concepto c
númcro, os
obstáculos
ue
ha
<Á
sido
necesario encer
y
los
conceptos
ue
han
tenido
que
sermatematizados
revia-
mente
hasta legar a la formalización actual. En el
punto
siguiente
haremos
un
breve
recorrido de los
principales
elementos
que
intervienen
en
la formalización
de
los números reales
y
veremos
en
líneas
generales
iferentes
ormas de cons-
truirlos.
4,3. LOS
NUMEROS
REALES:DEDEKIND.
CANTOR
Y HILBERT
4.3.1. La
construcción e Dedekind
La formalización
de
los números reales e hace en el siglo xIX
y
corresponde l
deseo
de algunos matemáticosde encontrar
para
las matemáticasun
fundamento
científico
que
fuera
puramente
aritmético -sin apoyarse n
la intuición
geométri-
ca-.
Los r abajos e
CnucHv
1821)
WEIERTRASS
1815-1879),
undamentand
el análisisen el conceptode ímite de una función, fueron os antecedentesnmedia-
tos
para
a
construcciónde os números eales.Pero el dominio de
variación
de
las
variables
que
era
a recta eal-
estaba
leno
de
vaguedades
confusiones.
Parece
que
históricamente ue necesario
asarprimero por
una dehnición
irreprochable
de
la continuidad de funciones ealesantesde
legar
a una construcción
igurosa
de os
números eales. fue
una
preocupación
idáctica o
que
levó
a
DroerclNo
1831-
1916) a buscar
y
encontrar una construcción del conjunto de
los números reales
partiendo
de los
enteros.
Sobre l conceptoeuna
magnitud ariable
ue
iende
aciaun
valor
ímite
tjo
y,
en
particular,
araprobar
l
eorema e
que
odamagnitud
ue
recendelinidamen
te,
perc
no másallá del ími te,debe ecesariamenteender aciaun
valor
ímitc.
ut
buscaba
efugio
n asevidencias
eométricas.
ncluso hora, dmitirusí a intuicititt
geométrica
n a
primera
nseñanzaelcálculo iferencial
e
parec¿',
t.ulcd
punt(,
de
vista
didáctico, xtraordinariamentetil, incluso
ndispensublc.¡i no ,st ¡uiarc
perder
iempo. ero
adie egard
ue
estamanera
e
ntroducirlo o
putda
dc ningu-
na
manera
retender
ener n cardcter
ient{ico.Mi sentimientoe nsatisJacc'ión
ua
enfonces
an
poderoso ue
omé a
Jirme
decisión
e reflexionar astaencontrar n
fundamentouramenteritmético perfectamenteiguroso e osprincipios elana-
lisis nJinitesimal
se
eJiere 1858 Io escribe n 1872).
DEDEKIND iente a necesidad e definir todos
os númerosutilizando
una
pala-
bra
genérica
que
no
evocara
el
número
-sobre
el
que
había muchos
problemas
en
su
época-.
Buscaba
n conjunto
que pudiera ponerse
en correspondencia iunÍvo-
ca con
los números
y que
pudiera
describirsedesde el exterior.
Ello
le lleva a
encontrarsu
método
de construcciónde
os
reales
ue
conocemos on el nombre de
<Cortaduras e Dedekinó>.
Paracomprender o
que
es
una cortaduradigamos
que
si sehiciera
una cortadu-
ra en
N
consistiríaen
(cortaD>
N en dos clases repartirlo en dos conjuntos
bien
diferenciados,
e al manera
que
odos os elementos
e
a
primera
clase ean nfe-
rioresa todos
os
de la segunda.
n
estecaso, a
primera
clase endrá
un último
elemento
la segunda
n
primer
elemento.
55
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 30/108
Pero
no
ocurre
o
mismo
cuando
se hace
una
cortadura
en
e.
cuando
se
(cor-
tD)
el conjunto
de los
racionales
en
dos
clases,
e
manera
que
iodo
número
de la
primera
sea
menor
que
todo
número
de a
segunda,
uede
ocurrir
que
obtengamos
pares
de clases
n os
que
a
primera
clase
no
tenga
úliimo
elementoy
la
segunda
o
tenga
primer
elemento.
por
ejemplo,
si hacemos
una
cortadura
en
e-formada
por
la
clase
A,
(que
contiene
el conjunto
de los
números
acionales
riyo
cuadrado
es
menor
o igual
a 2),
y
la
clase
A,
(formada
por
todos
os
racionales
cuyo
cuadrado
seamayor que
2).
Dicho
en
términos
matemáticos:
^
A,
.
l rn . l .T ,
<21
Ar:
fn
In2
>2l,elpar(A,,A2)esunacortaduraenlaque
A, no
tiene
último
elemento
A,
no
tiene
primer
éleñento.
para
Deo¡xrND
esta
cortadura
efine
el número
rracional
1f
.y
cadavez
ue
una
cortadura: A,,Ar)
no
está
producida
por
un número
racional
crea
un número
irracional perfectamente
definido por
esacortadura.
De
esta
orma
DroerIND
construye
el
conjunto
de los
números
reales
como
<<el
onjunto
de todas
las
cortaduras
de racionales>>.
ste
conjunto
contiene
a los
números
acionales
se ha
enriquecido
on
otros
nuevos
números
que
son os
rracionales.
Estaconstrucciónesabstracta la intuición que tenemos
asociada
Ia
idea
de
cortar
no
corresponde
on la
noción
matemática
de <<cortaduro>.
o
es ácil
imagi_
nar
una
recta
que
se
corta
en
dos
trozos
y que
son
tales
que
el
primero
no
termina
nunca
y
el
segundo
o
empieza
nunca...
Además
en
ei
ejemplo
dado---usi
legi_
mos
un número
cualquiera
<<o>
e A,
podemos
encontrar
siempre
otro <<b>¡
-uyó,
ue
(0')
pero
menor que
{2.
por
ejemplo
1,414142
s
un número
de a
clase
A,;
el
número
1,41421
s
superior
a r,4142
pero
nferior
a
112.
n la
clase
A,
podríamos
alejarnos
ndefrnidamente
con valores
crecientes
in aicanzar
nunca
el
himero
{2,
y
en la
clase
A,
podríamos
acercarnos
ndefinidamente
con valores
decrecientes
in
llegar
al núme¡o
{2.
Y
ello
polque
el conjunto
de los
racionales
no
es <continuo>>,
ya que
es
posible
avanzar
ndefinidamente
por
él
pero
tiene lagunas.
Aunque
el conocimiento
e os
números
eales
o forme parte
de a
experiencia
del
hombre
de la
calle,
un
profesional
de la
enseñanza
s
capazde
ener
de
él
una
intuición
rica.
La
construcción
de
Cantor
una segundaconstrucciónde los números realeses la de Geoncns cnxroR
854- 9 I
8)
que parte
como Dporrluo
de os
racionales.
,cNroR
parte
de a
defr-
de as
sucesiones
undamentales
e números
acionales,
onocidas
oy
con
de sucesiones
e
cnucgv.
A
continuación
efine
una relación
e
equiva-
en el
conjunto
de sucesiones
undamentales
llama
número
eal
a
una
clase
equivalencia.
l
conjunto
de as
clases
e
equivalencia
s
para
cRNron
el con-
de os
números
eales.
Tanto
Dro¡rrND
como
cnNroR llegan
a
probar
que
si se eitera
el
proceso
e
e
R
se lega
al mismo
conjunto
clcntimeros,
o
que
muestiu
qu"
"sre
onjunto
escompleto.
También
muestran
xplÍcitamente
l isonrrlrfisnro
ue
existe
ntre os
números
y
los
puntos
de la recta.
U
i
g
t
é
4.3.3.
El
punto
de
vista de
Hilbert
Hllnpnr
reconoce
un
gran
valor a
las
construcciones
e
DepBrINo
y
de
CnN-
'toR,
a las
que
llama los
métodos
genéticos,
les
concede
obre
odo
un
interés
pedagógico.
ero él
prefiere
un método
axiomático
que
es el
que
desarrolla
1899).
Para
ello introduce
una
familia de
números, notados
x,
y,...
de tal
forma
quc
cslll
f'amilia
constituye:
a) un
cuerpo onmutativo
especto e
asoperaciones
e adiciÓn
de
multipli-
cación;
b)
un cuerpo otalmente
ordenado;
c)
un
grupo
ordenadoarquimediano;
d) todo
sistema
que
cumpla
las condiciones
a), b)
y
c)
no es
posible
ampliarlo,
aunque
se añadan
nuevos
elementos.
La
construcción
axiomática
de
los números
reales esulta
muy cómoda
bajo
muchospuntos de vista,pero enmascaraa génesis istóricay el aspecto onstruc-
tivo.
4.3.4. Construcción
por
el
procedimiento
decimal
Esle método consiste
en:
r
Llamar
número
real
positivo
a una
expresión
de
la forma:
k,
x,x, ...
Xn..., iendo
k
un
número natural,
y
xn
perteneciendo
l conjunto
11,2,3,...9|para
odos
os
valores
de
n. Admitiendo
que
las expresiones
el tipo:
0,1999...
0,20000...
epresentan l
mismo
número
real.
a
Ordenar
exicográficamente
as expresiones
ue
definen
os
reales.
o
Demostrar
que:
<<todo
ubconjunto
no
vacío, acotado,
de
números
realcs
positivos
posee
un
extremo
superionr.
Con
esta nociÓn,
se
puede verificar
quc
x
:
h, x,x, ...
xn... sel extremo
uperior
e
a sucesiÓn
"(x):
h, x,x,
...xnO...
.
.
Definir
la
adición
de dos
números
reales
positivos:
Extremosuperior
de
(q"(x)
+
q"(y))
-
x
+
y
con
n
>
l.
.
Demostrar
ñnalmente
que
el conjunto
que
se
ha construido
así
-una vez
que seha simetrizado- es un cuerpoabeliano,arquimediano, otalmenteordena-
do
y
completo.
Es
por
lo
tanto
el conjunto
R, isomorfo
a los conjuntos
obtenidos
por
los
otros
procedimientos.
Este azonamiento
se
ha
utilizado
desde
hnalesdel
siglo
XtX,
ya
en
forma
deci-
mal
(o
en una
basecualquiera),
ya
en forma de
fracciones
continuas.
Pedagógicamente
e tendería
a
pensar
que
esta
presentación
s a
que
mejor se
adapta
a la enseñanza
ecundaria,
orque
eproduce ejor a
idea ntuitiva
de
a
medida,
porque
clara
as verdaderas
iJicultades:
a
no existencia
e una escritura
decimal
nica
para
cadanúmero
la existencia
e
un número
eal
nverso
e un
decimal
ualquiera
Duorvrnnrs,
.,
y
otros,
1978).
57
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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4.4.
PISTAS
DE REFLEXIÓN
1.
Sabemos
ue
hay
tantos
números racionales
omo números
naturales
porque
podemos
encontrar
un
procedimiento
para
asociar
un número
natural
a cada número
racional.
¿cuiil
es ese
procedimiento?
Pruebe
que
hay
tantos
números
decimales
como
números
acionales.
2.
¿Se
uede
decir o mismo
de
los
números
reales?
usque
a
demostración
que
hizo
cantor
para
probar
que
no
puede
ponerse
en
correspondencia
iunívoca
el con-
junto
de os
puntos
de una recta
y
el conjunto
de los
números
naturales.
Esto
equivale
a
probar
que
el conjunto
de
os
números
eales
omprendidos
entre
0
y
I no
puede ponerse
en correspondencia
biunívoca
con el
conjunto
de los
números
naturales.
lo
que
es
o
mismo,
el conjunto
de os números
eales
omprendidos
ntre
0
y
I
no se
puede
contar,
es o
que
se lama
un <<infinito
no
numerablo>
58
59
f
5.
El
número
decimal:
conocimiento
ara
enseña
5.T.
INSUFICIENCIA
DE
LOS NUMEROS
NATURALES
PARA
RESOLVER
ALGUNOS
PROBLEMAS
LOS úmeros
naturalesSirven
para
enumerar
coleccioneS
para
contar
y
permi-
ten dar
la
medida de
una
magnitud
discreta.
Suponemos
onocido
el
sistemade
os
números
naturales,
sus
propiedades
y
operaciones
-que
son
objeto
tratado
en el
libro
NúVenOS
e esta
colección-
y
vamos a
probar que
os números
naturales
no
nos bastan
para
cubrir todas
as
necesidades
uméricas
que
necesitaremos
mpliar
el
sistema
numérico
hasta conseguir
un
sistema
completo
que
permita
resolver
todos
os
problemas
numéricos
eóricos
y
prácticos
que
puedan
plantearse.
La
insuficiencia
de
os números
naturales e
pone
de
manifiestobajo
dos
puntos
de
vista,
que
han estado
siempre
presentes
n
la
génesis
istÓrica
de
los conceptos
matemáticos:
práctico
y
teórico.
o
Desde
el
punto
de
vista
pnlctico,
los números
naturales
se
muestran
nsufi-
cientescuando tratamos de medir magnitudescontinuas como son la longitud,
área,
volumen,
peso,
masa,
ntensidad
de
corriente,
presión
del
aire,
ntensidad
de
sonido,
etc.
Todas estas
magnitudes
ueden
medirse con
instrumentos
de
medida
adecua-
dos-
una
vez fijada la uni@d.
Y observamos
que
la medida
de
una cantidad
respecto
de una
unidad de
la
\nisma
especie
uede
darse
por
un
número
natural,
pero
puede
ocurrir
-y
ocurrerfrecuentemente-
que
la medida
esté
comprendida
entre
dos
números
naturales.
Dada una
cantidad
M
de
una
magnitud
cualquiera
y
una
unidad
<<u>>
e
la
misma
especie,
uede
suceder
que
exista un
número
entero
<<p) al
que
la
medida
de
M
sea
exactamente
veces
<<u>,o
que
podemos
escribir:
medida
de
M
:
u'F
(p
veces<<u>).
ero también
puede
suceder
que
no exita un
número
entero
de veces
<(u>
que
sea
gual a
M. Nos encontraremos
entonces
con
que
la
medida
M está
cOmprendida
entre
(<p),
eces
<1rr>
<(p
+
l>>
eces
<<u>>,o
que
escribiremos
e la
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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manera
siguiente:
u .p<[M]
<u.(o+t¡
En
este
segundo
aso os
números
naturales
no
permiten
dar
una
medida
exacta
de la
magnitud
M
con
la
unidad <<u>
debemos
decir
que
dicha
medida
está
comprendida
ntre
p
y p
+
l.
o
Desde
el
punto
de
vista
teórico,
los
conceptos
matemáticos
ienen
una
exi-
gencia
ntrÍnseca que
los
hace
ender
a
una
generalización
que
permita,
por
una
parte,
completar
as
eorías
existentes
uprimiendo
restricciones
haciendo
as
am-
pliaciones
necesarias , por
otra
parte,
hacerlo
sin referencia
lguna
a las
situaciones
concretas
ue
iniciaron
la
teoría.
AsÍ.
el
conjunto
de los números
naturales
iene
una
estructura
de semigrupo
ordenado
conmutativo
respecto
de la
adición
y
respecto
de la
multiplicación.
pero
es
ácil
plantear
con
números
naturales
ecuaciones
ue
no
tienen
solüción
en
N. La
primera
extensión
de
N nos
permite
encontrar
un conjunto
Z
que
contiene
al
conjunto
N
y
en el
que
a sustracción
stá
siempre
eñnida,
o lo
que
es o
mismo:
todas as
ecuaciones
e la forma:
a
+
x
:
b, con
a
y
b números
naturales,
ienen
soluciónen Z.
De
nuevo
nos
encontraremos
n Z
ecuaciones
ue
no
tienen
soluciones
nteras,
por
ejemplo:
l)
a.x
=
b, con
a
y
b enteros
i b no
es múltiplo
de
a.
La
construcciÓn
eórica
de os números
racionales
onsiste
en llenar-esta
aguna
fabricando
números que
permitan
que
todas
esas
ecuaciones
engan
solución.
Se
trata
de
construir
un
conjunto
que
contenga
z
y que
enga
adem?s
odos
os
ele-
mentos
necesarios
ara
dar solución
a las
ecuaciones
e a forma (1) para
todos os
valores
enteros
de
a
y
b.
Por
otra
parte,
a <<recta
umérico> permite
una representación
ráfica
o inter-
pretación
geométrica
de los
números
naturales
y
nos
ofrece
al miimo
tiempo
la
intuición
de a
insuficiencia
de
estosnúmeros
si
se
quiere
atribuir
uno
a cada
punto
de la recta.
En
efecto,
cuando
el
único
bagaje
que
poseemos
s el
conjunto
de
los
números
naturales
a llamada
recta
numérica
es un
conjunto
infinito
de
puntos
aislados
situado
sobre
una
semi-recta
que
tiene
su
origen
en
un
punto
<o>>
l
que
hemos
atribuido
el número
cero
y
en
la
que
hemos
elegido
una
dirección
positiva
que
señalamos
on una
flecha,
un
punto
al
que
hemos
atribuido
el número
.
.Llama-mos
Do,
a
la
recta
en la
que
hemos
f,rjado
un
origen,
un
sentido
y
una
unidad. una vez firjados l cero y el uno, podemosencontrarun punto en la semi-
recta
para
cada
número
natural.
Tendremos
así una <<recta
e
puntos
aislados>>
ue
podemos
lamar
D*
y que
es
un subconjunto
e a
recta
Do,.
Buscar
oluciones as
ecuaciones umúricas
n as
que
nterviene
a
multiplica-
ción
y
la
adiciónse raduce
gráficamentc
¡r
buscar
úmeros
ue
puedan
atribuirse
a ciertos
puntos
de
a recta.
Las
sucesivasnr¡rliaciones
e os
números
conespon-
den
a la
búsqueda e un número
para
cadu
rrrnto
lc la
recta
y
sólo
el conjunto
de
60
los
números
eales os
permitirá
tener un
número
para
cada
punto.
Hasta
que
no lo
hayamos
onstruido,
a recta numérica seguirá
eniendo
nñnitas lagunas.
5.2. CONSTRUCCIONES
E LOS RACIONALES
Y
DE LOS DECIMALES
5.2.1.
Construcción
partir
de a
medida
Volvamos
al caso onsiderado n
5.1.Sea
M
una
magnitud
una
longitud,
por
cjemplo-
y
(<u>)
na unidad de
la misma especie
que
M. Supongamos
que
no
existe
un número
(e>
tal
que p
veces<<u>
u'
p)
sea
gual a
M,
tendremos
que
M es
igual a
p
veces<(u>más un t rocito
que
es menor
que
(<u>).
sta situación
a
escribi-
mos:M
:
u.p
+
r
(llamando
al
resto
o trocito
que
sobra).
Figura 5.2
-F
rl*l
Si consideramosahora
la unidad
<u
dividida
en un
número <<n>>e
parte
iguales, ada una
de ellasserá
a
enésima
parte
de
<<u>
l/n
de
<<u))
ue
representa
mos u/n).
Supongamos
ue
existe
un
número
(q>)
al
que q
veces
u/n es
gual a la magni-
tud
<<o>.stasituación
a
escribiremos:
:
(p.
n. uin)
+
q.
u/n
y
diremos
que
a
medidade
M, respecto e
a
unidad
<<u/n>>
s el
número
(p'
n
+
a).
medida
M]
=
(p'n'u/n)
+
(q'u/n)
=
(p'n+d'u/n
:
m/n'u
(haciendo
'n
a
g
=
m)
decimos
ue
m/n es
a medida
de
M con
a
unidad
<<u> llamamos
número
a
la fracción m/n.
Considerando
n caso
particular:
ea
a longitud M
(Fig.
5.3),
y
la
unidad
<<u
Vemos
que
M
contiene
3
veces a longitud <u>
y
sobra un t rozo
que
es a longitud
<<u>>12.a medida de M con la longitud <<u>>erá712; M : (3'2'ul2) + ul2
:3u
*
u/2:712u.
F---c-----{
¿t-l
Figura
5.3
O J
2 3V2
Este
procedimiento
supone
que
se
puede
subdividir
indefinidamente a unidad.
Si
una cantidad
M
contiene
m de esas
artes,
su
medida se designa on el símbolo
m/n.
Y
estesímbolo
se lama
razón o fracción.
Sólo
nos
queda
lamar números a estasmedidas
y
verificar
que
es
posible
operar
r-_l
t
r
r
01231h
Figura
5.1
6l
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 33/108
con estos
números.
Para
ello
deltniremos
as
operaciones
e adición, sustracción,
multiplicación
y
división
que prolongan
as mismasoperaciones e
os númerosna-
turales.
Las
operaciones
de adición
y
multiplicación se definen
con
las fórmulas si-
guientes:
para
odo,
a, b, c,
d:
alb
+
cld:
(ad
+
bc)/bd
b
y
d distintos
ecero
alb' cld
:
ac/bd
a/a :1
a lb c ldsi a 'd
:
bc
Las operaciones e
sustracción división
seobtienen como
as
operaciones
nversas
de
las
de adición
y
sustracción,
espectivamente.
A
partir
de estasdefiniciones
pueden probarse
as
propiedades:
para
odos
a, b, c,
números acionales
o la adición y la multiplicación son asociativas;
[ (a+b)+c i
:
[a+(b+c)] ; [ (a 'b) 'c ]
[a ' (b 'c ) ]
o
la multiplicación es distributiva
respecto
de
la adición;
la ' (b+c)
=
[a'b+a'c]
o
la
adición
y
la
multiplicación son conmutativas;
la+b
:
b+al ;
[a 'b
b'a]
Esta
orma
de construir
los
números racionales
proporciona
unas defrniciones
que
hacen
posible
a existenciade
números
<<obtenidos
e
las medidas>>.
sta cons-
trucción
se apoya en
la
geometrÍay
en
la intuición
geométrica
de
que
es
posible
hacer ndefinidamente
as subdivisiones e
la unidad.
El
<<número>>acional
de
los
griegos,que
prevaleció
en
la antigúedad,
procedía
de
a intuición
geométricaque proporciona
a medida. Se dentifrcabauna
razón de
dos
magnitudes
M, M'que se epresenta
/M' con una
fraccióncomo si
M
y
M'
fueran enteros.
Hasta la segunda
mitad del siglo
xx no se aclara el estatus
de las
<<razones/número$)se
haceconstruyendo
os números
acionales realesa
partir
únicamente e
os enteros.
5.2.2.
Los
puntos
acionales
obreuna
recta
Volvamos a
la representación
eométrica
planteada
con
anterioridad.
Compro-
baremos
que
ahora
podemos
distribuir
un número a
muchos
más
puntos
de
la
recta,
haciendosucesivas
ubdivisiones:
0
h t,
Vz
1 3/2
2
3
Figura
.4
Para odo
número
racional será
posible
encontrar un
punto
sobre
a recta
y
el
orden
de
los
puntos
en
la
recta
vendrá
dado
por
la relación:
<<o>
recede
a
<<b>>
[a
>
b],
si
y
solamente
si
existe un
elemento
(<c>
que
verihca
la igualdad:
62
[a=b+c] ,s iendoa,bycnúmerosrac ionales ,y(D),<(b)>y<<c>>lospuntosc
pondientes
en la
recta.
Y constatamos, demás,
que
los
números racionales
se distribuyen de
manera
<denso> obre toda
la recta.
Entre
cada dos
racionalesa
y
b es siempre
posible
colocar
otro, basta on
hacer
a+b)12.
El hechode
poder
colocarsiempre
puntos
ntermedios ace
que
os racionalcs
sirvan
perfectamente ara
representar as medidas.Utilizando tantos
puntos
intcr-
medios
omo
queramos odemos
hacer
cada
vez más ina la escala e
medidas
medir con tanta
precisión
omo
nos
permitan
os nstrumentos e
medida.
Pero aunque los números
racionales
se distribuyan de
forma densa sobre
la
recta,ello
no signif,rca
ue
tengamos
ya
un
número
para
cada
punto
de a recta. La
realidades
que
el conjunto de
os números acionales iene odavía
agunas
ue
sólo
se
eliminan cuando
seextiendeel coniunto de
os
racionales, on
la
construcciónde
los números
eales
R) .
5.2.3. Construcciónalgebraicadel conjunto de
los racionales
Hemos visto
que
en
los
números naturales
N)
la
sustracción
o
era siempre
posible.
Para superaresta
dificultad se construyen
os
enteros
Z)
como conjunto
numérico
que
amplíaN
y
en el
que
todas as ecuaciones
e
a forma
[a
+
x
=
b],
(con
a
y
b como elementos
e
N)
tienen solución.
Del mismo modo,
en
os numeros
enterosa divisiónno
essiempre
osible.
as
ecuacionese
a forma
[a.x
:
b]
(con
a
y
b elementos e
Z,
y
a distinto de
cero)
sólo
ienen solución cuando b es
múltiplo
de a. Para eliminar
estedefectose cons-
truye un conjunto más amplio
que
el de
los
enteros en el
que
la división
sea
siempre
posible con
la
condición de
que
el
divisor seadistinto de cero). De la
misma
orma
que
la
sustracción e
defrrne n términosde adición:
a
+
x
:
b] es
equivalente
[x
:
b- a],
podemos
definir la división
en términosde
multiplica-
ción:
a'x
:
b] es equivalente
[x
:
b + a].
En la
ecuación
2.x
:
31,x cs cl
número
que
multiplicado
por
2 da 3
y,
por
tanto, x es
el cocientede 3
por
2
y
podemos
epresentarlo
or
el símbolo312,
que
lamamos racción.
Nos
proponemos
horaconstruirun conjunto en el
que
a
división sea
posible
para
odo
par (a,b)
de enteros,de forma
que
el cocienteb/a tenga siempresentido
y que, por tanto, la ecuación a.x : b], con a distinto de cero, enga siempre
solución.
El cociente
/a essoluciónde
a
ecuación
a.x
:
b]
y
cada
racción epresenta
un
número
en el nuevo conjunto.
Sin embargo,
os números
de esteconjunto no
son simples
racciones,
sino
amilias
de
racciones,
puesto que
muchas racciones
pueden
epresentar
l
mismo número.
Por
ejemplo,
as fracciones 11,812,
1213,
2015,y otras
muchas
epresentan l número 4. Todas
as racciones
ue
representan
el mismo número
decimos
ue
forman
una familia.
Si omamosdosde as racciones
e una misma amilia,
por
ejemplo812
1213,
vemos
que
8 x 3
:
12 x 2. Esto nos
da
la idea
de cómo están ormadas as fami-
lias de fracciones<<equivalentes>.
Y
si consideramos
odos
los
pares
ordenados
de enteros ales
que
el
primer
ef
mentodel
par
seadistinto de
cero,
por
ejemplo
6,2), 5,7), *
4,7),
-
3, 8)...,
(3,0)
tc,escribimosos
cocientese
os
números 16,I15,71
4, -81-3...,013.
OJ
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 34/108
Podemos
asociar cada fracción
a una familia
de fracciones
de acuerdo con la
regla
siguiente:La familia
de fracciones
igadas
a
la fracción
b/a
(con
a distinto
de
cero) está o rmada
por
todas as fraccionesv/u
(con
u distinto
de cero) tales
que
[b/a
:
v/u]
o lo
que
es 1o mismo
el
producto
de b
por
u es gual
al
producto
de a
por
v
[b'u
:
&.v],.y la representamos
sí:
b/a].
Una familia
es o
que
lamamos
número
racional. Por
ejemplo,
en
a
familia
que
define
al
número
racional
2/3
están as racciones
16,619, 0/15...,2000/3000...
Cualquier racción
de a familia
puede
epresentar
l número
l2l3l,
y
en
a
práctica,
se utiliza
el símbolo 213
para
representar
l número
racional.
Las fracciones
y
las
familias
a las
que
pertenecen
erifican las
propiedades
i-
guientes:
o
Cada racción
pertenece
su
propia
familia:
213
pertenece
la familia
[2/3],
y
en
general,
a fracción
a/b
pertenece
la
familia
[a/b].
o
Si una fracción
pertenece
la familia
de otra, ambasson de a misma
familia:
4/6
pertenece
la
familia
de 8112, as
dos
fracciones
pertenecen
la familia
[2/3].
o Cada racción pertenece un número racional y sólo a uno.
Por
ejemplo, 3/4
pertenece
l
número racional
13l4l.El
criterio de
pertenencia
un
número
racional
sirve
para
reconocer
a igualdad
de dos racciones.Es
decir, os
números acionales
albl
y
[cldj
son guales
si
y
solamente
i el
producto
de
a
por
d
es
gual
al
producto
de
b
por
c
[a
x d: b xc],
y
ello cualquiera
que
sean as
fracciones
/b
y
c/d de os racionales
onsiderados. or
ejemplo, as racciones
9/ I 2
y
15120
on guales
orque
9 x 20: 15
x
12.
Todo lo
que precede
e
puede
decir
en otro lenguaje
equivalente:
o
Definimos
en el conjunto Z x Z* la relación,
[(a,b)
R
(c,d)]+[a
x
d
=
b x c].
o
Demostramos
ue
la relación R
es una relación
de equivalencia.
o
Llamamos
Q
conjunto de números racionales
al conjunto
de
las
clasesde
quivalencia
ue
la relación R
determina en Z x Z*.
Un número racional
será,
por
tanto,
una clasede equivalenciade fracciones.Y
en
u conjunto se definen las operaciones e adición y multiplicación,se prueba que
stasoperaciones
son compatibles
con
la relación
de equivalencia
y
se
verifican
las
que
dan a
Q
una estnrctura de cuerpo conmutativo,
ordenado
y
arqui-
ediano.
El
conjunto construido
es al
que
contiene
os números
enteros
que
son os racio-
alesde a forma
[a/l]
dondea esun número
entero
positivo,
negativo
o igual a cero.
ara
poder
decir esto se
define una correspondenciaen Z con imágenes
en
Q
que
ace
corresponder cadaentero
<<¿D)
l racional
a/1].
Este
procedimiento
nos
penni-
identifrcar
Z con
una
parte
de
Q
y
cada elemento de Z con su
correspondiente
Q;
por
ejemplo: el número
3
lo identificamos
con el número
13trl.
En conclusión:no hemos
perdido
os enteros hemosobtenido
un conjunto
más
rico en el
que
la
división es siempre
posible
y, por
tanto,
todas as
ecuaciones e la
forma:
[a'x
:
b] tienen solución
porque
el cociente
b/a es
ahora un número.
64
5.2.4.
Construcción e
os
decimales
Existen
diferentes
ormas de construi r
matemáticamente l conjunto de
os deci-
males.
Éstas
e
diferencianen
as
proposiciones
ue
admitimos
como
punto
de
parti-
da
y
en
los métodos
de demostración
que
elegimos.
El resultado será siempre el
mismo,
ya que
os conjuntos
que
obtenemos
on
somorfosal conjunto de
os núme-
ros decimales
D).
Distinguimos
as construcciones irectas
en las
que
os
decimales
eobtienen
por
extensión
e
los númerosnaturales
N)
de
as
construcciones
ue pasanpor
la cons-
trucción
previa
de
los números acionales bteniendodespués
D como una
restric-
ción de
Q.
a
Construcciones
irectas omo xtensión
eN:
a) Una
forma de construir
los números decimalesconsisteen
encontrar las
soluciones
e
a ecuación:
l0n'x
:
a], siendo un
númeroentero
y
n
un
número
natural.Para
ograrlo
dehnimos
en Z x N
la relación
de equivalencia:
(a,n) (b,P)
a'
lOP
b'
lo n
La clase el
par (a,n)
seescribe
a/10'],
y
esel conjunto de
racciones
quivalentes
a
la fracción
a/10n,
que
lamamos número decimal.
Por
ejemplo:
000x
:
67]
esequivalente lx: 67110001.
La clase
67
11031
ontieneuna
infrnidad
de
fracciones quivalentes 6711000.
s
el
número
decimal 67
11000.
l
conjunto
D de os númerosdecimales
s
el
conjunto
de
las clases
ue
la relaciónde equivalencia
R
determina
en el conjunto
Z x N; los
elementos e
D
son
os números
decimales.
Las operaciones e adición
y
de
multiplicación
(compatibles
on
la relación
dc
equivalencia)
ue prolongan
as
de N se
pueden
definir de
la manera
siguiente:
(a,n)
(b,o) (a'
100 b'
10n, +P)
(a,n) (b,p) (a'b,
p 'n)
El conjunto
D
está
ordenado
por
la relación:
(a,n)< (b,P) a' 10P b' 10 n
Las operaciones e
adición
y
de
multiplicación
y
sus
propiedades
onfieren
a D la
estructura
e anillo conmutativo,
unitario,
íntegro
y
totalmente
ordenado.
Si en
ugar
de buscar
odas
as soluciones e
a ecuación
10''
x
:
a] con
(a,n)
en
el
conjunto
Z x N, buscamos
as soluciones n
N x N
(a
y
n números
naturales),
construimos
el conjunto
D+ de
os númerosdecimales
ositivos.
Para defrnir en
D+ las operaciones
ue prolongan
a adición
y
la multiplicación
de N buscaremos
uáles eben
ser
os resultados ll0"
+
b/10-
y
all0"
x
b/10-
para
que
se conserven
as
propiedades
e
estas peraciones
n N.
Para ello las dos opera-
ciones ienen
que
ser
asociativas
la multiplicación
debeser distributiva
respecto e
la adición.
También
puede
definirse
a
sustracción
se
puede
probar que
la
división
no
es
una operación
nterna en el conjunto
D: El
cociente
de dos
números
de
la
forma
a/10",b/10- esa/b
que
no
es
siempre n elemento e
D.
65
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 35/108
b) Otra
construcción
e D+
Se
puede
hacer
ambién
una extensión
de N añadiendo
un solo elemento
d tal
l0
d: l. Por
este
procedimiento,
el
conjunto
de
los
decimales
positivos
es
or
todas as
potencias
de <ó>;
por
sus
productos
y
sus sumas
con
un
de
los
demás elementos.
Este
método
parece
más
sencillo
porque
apreciar o
mínimo
que
se
ha
añadido
a N,
pero
exige
el caeren a
cuentade
que
representan
as
operaciones
osibles
de
un elemento
con los
otros,es decir,
el
de
os
polinomios
con
coeficientes aturales
N[x],
que
iene una
estructu-
más
compleja
que
la utilizada
en las
otras
construcciones
e D.
Const¡ucción
asandoor
a construcción
e
Q
Esta
construcción
se hace
por
restricción.
Una
vez
definida a estructura
general
nos
imitamos
a tomar
sólo una
parte
de sus
elementos. n
este aso, os
decimales
as racionales
ue pueden
escribirse
n
forma
de fracción
decimal.
DBCIMALES:
SUS VENTAJAS
Si
volvemos
a
pensar
en la representación
eométrica
e
los númeroi'racionales
recta
graduada,
emosvisto
que
Q
nos
proporciona
un conjunto
de
números
es denso
en
la recta;
es
decir
que
entre
cada dos números racionales
iempre
encontrar
un
racional
y por
tanto una infinidad). Y
aunque
sabemos
ue
un número
para
cada
punto
de
a
recta,
porque
hay más
puntos
que
números
en
Q,
podemos
decir
que
la recta
estácubiefa
de
números
densa.
Pero no hay
que pensar
que
el único conjunto
de númerosdenso
en
la recta
sea
No
es
necesario
omar
todos os racionales
ara
cubrir la recta
con un conjunto
de
densoen toda ella,
ya que
muchos
subconjuntos
e
Q
cumplen
estamisma
Si consideramos,
or
ejemplo, os números
obtenidos
por
subdivisiones
en 2,
4,8,
16,32,
etc.,
partes
guales,
btenemos
l conjuntode
inarias-que también es densoen la recta-, conjunto que tendría sus
a
la
hora
de estudiar os racionales
de ampliarlos
para
conseguir
n con-
de números
que
lene
oda
a recta.
Pero a
eleccióndel sistema
e
numeración
nos hace
privilegiar
as racciones
ecimales son as
que
vamos
a considerar
puntos
de a recta
graduada.
Consideremos n la recta D6,, los
puntos
obtenidos
por
subdivisiones
e cada
etc. segmentosguales.
Los
puntos que
obtenemosasí
a las fracciones
decimales.Por
ejemplo, el
punto
0,37
=
3ll0
+
corresponde
l
punto
situado
en el
ntervalo
entre
0
y
l,
en el tercersubinterva-
de
ongitud lll0,
y
en
el séptimo subintervalo
de
longitud
l/100.
Si una
fracción decimal iene
n cif ras después e
la coma,
puede
escribirse.
l :
z
*
a,
10-l
+
arl0-2
+
...
+
an
10-ndondezesunenteroylascifrasat,a2
anpertenecenalconjunto
f0,
,2,3,4,5,6,7,8,9,Ieindicanlasdécimas,centé
mas, tc.
El número
f
se
representa n el sistema
ecimalen
la forma abreviada
, a,a,
ara4...
n
y
puede
ambiénescribirse
n
forma
de
fracción
p/q,
siendo
q
una
potcrl-
cia
de 10.
Por
ejemplo,
el número:
2,347
:
2
+
3
l0
+
4 l0
+
7/ 1000
2347 1000.Si
p
y
q
tienendivisores
omu-
nes,
puede
obtenerse
na fracción equivalente
cuyo denominador
no sea una
po-
tencia
de 10,
pero
será iempre
ivisor de
l0n.
Por otra
parte,
ninguna
fracción irreducible cuyo denominador
tenga
actores
distintos
de
2
y
de 5
puede
venir representada
or
una
fracción decimal.
Por ejemplo,
12
:
5ll0
:
0, 5
t l2s0
:4/1000
:
0,004
En cambio
1/7 no
puede
scribirse omo
númerodecimalcon un
númerohnito
de cifras, porque no existeen la familia de fraccionesequivalentesa l/7 ninguna
fraccióndecimal.
Si
l/7 fuera
gual
a: b/10n,
endríamos:
/7
:
b/10"
:
lOn:7b
lo
que
esabsurdo
porque
7 no
esdivisor de
ninguna
potencia
de
10.
Resumiendo:
¡
Fraccióndecimalesuna
fracción
cuyo
denominador s una
potencia
de 10.
o
Número decimalesun
número acional
que posee
l menosuna escritura n
forma de
fracción
decimal.
Un
número n
esdecimal
si
puede
escribirse e
a forma
n:
all}p, siendoa
y
p
números
enteros.
egún sto,un
número entero
positivo
o
negativo s ambién
un número decimal.
o
Las
ventajas
e
las racciones ecimales
especto e
las
otras
racciones on
las
que
sederivande su densidad
n la recta
y
de su escritura.
omo consccucncir
estaúltima del
sistema e numeracióndecimal.
.
Precisión e
enguaje
Se mponeuna precisión e lenguaje ue nospermitadistinguirclaramentea
dilerencia
ntre un objeto.su
nombre
y
las distintas epresentaciones
escrituras
del
mismo.
La
expresión
<númeroecimal>>sambigua
porque
a
palabra
númeroexigeun
adjetivo
que
se
efrere
a su
naturaleza ntrÍnseca.
Por
ejemplo,
os
adjetivos
natural,
racional,
eal,nos
permiten
dentificar
a naturaleza
e
os númerosde
que
habla-
mos.Naturaleza
ue
es ndependiente e
a forma de representar stos
úmeros
y
en
particular
del sistema
e numeraciónelegido.
En cambio, la
palabra
<(decimab>,
ue procede
de
la
palabra
<<diez>,ace refe-
renciaa
la
basede
numeraciónmás
extendida,
lamada ambién numeración eci-
mal.
Por
el
hecho
de escribirun
número en el sistemade numeracióndecimal
podemos
lamarlo
decimal.
De la misma
orma,
si escribiéramos
os númerosen
un
sistema e numeración e base os,
hablarÍamos
e
números
<binarios>,
i escribié-
ramosen base inco
hablaríamos e números
<quinarios>,
tc.
Con una dehnición semejante
la
que
hemos dado de númerosdecimales,
67
Figura
5.5
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 36/108
llamaríamos
úmeros
binarios
a los
números
que
ienen
al menos
una
escritura
n
forma
de racción
binaria,
es
decir,
una fracción
on
denominador otencia
e
dos.
Por
ejemplo
110
=
0,1
serÍa
l número
correspondiente
l
punto
p
en a figura
adiunta:
ffi
ht | | | I
u
P'
1
Figura
5.6
p
corresponde
la mitad
de
la
unidad.
Si
consideramos
n sistema
e base
el mismo
símbolo
epresentaria
l
punto
p'
situado
en la
quinta
parte
del
ue
tiene
sus
extremos
n los
puntos
0
y
l.
Hemos
visto
que
l/7
no
es
un número
decimal,
pero
puede
escribirse
omo
uyo
denominador
ea
una
potencia
de a
base,
i la base
uera
7. En
este
1/7
se
escribirÍa
,1 .
o
Por
otra
parte,
odo
número
decimal
en
basediez
puede
ener
una
escritura
coma.En
lenguaje
orriente
seacostumbra
confundir a
expresión.,<número
decimal>>
<escritura
on
comD),
empleando
a ocución
ambigua
<<núme-
decimal>>
orque
no
sedistingue
iempre
un número
de su
escritura.
cuando hablamos
e racional
decimal
o de racional
binario -y
más
en
general
racional
k-ario-,
damos
una
propiedad
del racional
que
es ndependiente
el
e numeración
utilizado.Esta
propiedad
puede
visualizarse or
una
elec-
el
sistema
e
numeración dos,
res...,
iez,k)
obteniendo
ntonces
escritura
on
coma.
La expresión
<número
on
coma
en base >,
a
pesar
e
que
sigue
iendo
ambi-
iene a ventaja
de
dar, alavez,
una
propiedad
el número
y
un
procedimiento
pone
en
evidencia
sta
propiedad.
Si nos referimos,
n
particular,
al
sistema
e
decimal,
obtenemos
istintas
escrituras
e números
decimales.
omo
n
el cuadro
adiunto:
Escritura
fraccionaria
Otra escritura...
r00
l0
I
r0
r /100
/
r00(
Escritura
con
coma
t5 l3
'16431100
35 /50
7
t0
3/ 000
5
76+41
0+31 00
7+21
00
3/1000
7
5
o
7
A
0
'l
3
2
3
5
76,43
7,02
0, 7
0.003
cmbargo,
ue
os abusos e
enguaje
ean onscientes
conocidos
or profesores
alumnos,
e
orma
que
no exista
mbigúedad
i confusiÓnn el discurso.
5.4.
ESCRITURA
DECIMAL
DE UN
NUMERO
RACIONAT,
Hemos
visto
que
una
primera
ventajade
as racciones
ecimales s
a
fircilidatl
de
escritura,
ue
se raducirá
en
una simplificación
de
los algoritmos
dc
c¿ilctrlo.
Pero
a importanciade
as
racciones ecimales
, por
tanto,
de
los númerosdcci-
males
que
representan e
extiende
a los otros
números
acionales
incluso
a los
irracionales.
odemos onvertir
una
fracción
decimal
en escritura
ecimal
haciendo
la
división
del
numerador ntre
el denominador
obtenemos
na escntura
ue
nos
resulta
muy cómoda.
Así: 3/4
:
3:4
:
0,75,
o también
314
7 51100 0,75,
etc.
Pero si
intentamosaplicar
el
mismo
procedimiento
al
número
racional
1/3 nos
encontramos
on
que
a división
no se ermina
nunca,
siempre
ueda
un
resto.La
fracción
/3,
por
tanto,
no
tiene
escritura
ecimal
inita.
Ya sabemos
ue
l/3
no
es
un
númerodecimal.
Pero,
¿qué
ignihca
a
escritura
limitada 0,3333...,
ue
obtene-
mos al hacerel cociente e I entre3?
Si
consideramos
a sucesión
e
números ecimales:
,3;0,33;
0,333; ,3333...,
vemos
que
estasucesión stá
elacionada
on
la fracción
/3
porque
cada
érmino
de
a
sucesión
s un cociente
proximado
de
a división
I + 3.
Si tomamos
0,3 como
valor
de
l/3, cometemos
un
error
que
es
igual a:
t/3-0,3=t130.
Si tomamos
0,33 como
valor de l/3, cometemos
un
error
que
es
igual a:
t l3
-
0,33:
l/300.
En estecaso ometemos
n
error
nferior,
porque
1/300
<
l/30.
Si continuamos
l
proceso
eremos
ue
aunque
no
existe
una escritura
ecimal
limitada del
número l/3
podemos
aproximarnos
su
valor
tanto
como
qucramos
tomando
tantas cifras decimales
omo exija
la
precisión
deseada:
,33
cst¿im¿is
próximo
de
l/3
que
0,3;0,333
está
más
próximo
que
0,33,
y
asísttccsiv¡r'r]c¡tc
Decimos
que
a
sucesión
,3; 0,33;
0,333...,iene
<<comoímite
l/3)' cuando
cl
número de érminos
<<tiendeinhnito>>
ara
significar
ue
a
diferencia
ntrc
I
3
y
un término de
la sucesión
uede
hacersean
pequeña
omo
queramos
basta
on
alejarnos
uficientemente
omando
un
mayor
número de
cifras).Si
por
ejemplo
quisiéramos ar el valor de 1/3con un error nferior a 10
7,
tendríamos ue omar
el
decimal0,3333333;
sabemos
ue
os nfinitos érminos
estantes e
a
sucesión
estánen
el
intervalo
0,3333333,
/3]. Estoes
o
que
entendemos
uando
decimos
que
a escritura ecimal
limitada 0,3333...,
epresenta
l
número 1/3.
En
general,
n
decimal
limitado
-o
una escritura
ecimal
limitada-
repre-
sentaun
número
acional i el
límite de a sucesión
e decimales
imitados
obte-
nidos omandocada
vez más
cifras
después
e a coma-
esese
número,cuando
el
número de
términosde
a sucesión
iendea
infinito.
Otra
forma
de considerarlo
seríaobservando
ue
a expresióndecimal
limitada
0,3333...
epresenta na sucesión
nfrnita
de
intervalos
encajados
ue
contienen
todosel
número 1/3.Así
podemos
ecir
que
1/3
es
mayor
que 0, pero
menor
que
I .
Si
hacemos na
primera
subdivisión,
bservaremos
ue
1/3
mayor
que
0,3,
pero
menor
que
0,4;en
a subdivisión
iguiente
el
ntervalo
0,1
,4]
observaremos
ue
1/3 es
mayor
que
0,33,
pero
menor
que
0,34...,
así
suc'
'/amente.
En la
práctica
se
comete
un abuso
de lenguaje
cuando
se dentifica
<escritura
comD)
y
<número
decimab>.
ero
os
abusos
e
enguaje
on ndispensables
n
escolar
y
hasta
en todo
discurso
matemático-, porque
hablary
escribir
máxima
precisión
alargaría
ndefinidamente
as
frases.
Es
importante,
sin
69
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 37/108
l1r
; l
r . r
r f ' ' r
r
r
r r
,
I
i
o,¡
_
'1
F------9t----t
Figura
5.7
Si se
prosigue
ndehnidamente
a
subdivisión
construimosuna sucesión
nfinita
e
intervalos,cada uno contenido en
el anterior
y
tales
que
su única intersección s
el
número /3.
(Si
hubieramásde un
número
en
a intersección eguiríamos
ubdi-
vidiendo
el intervalo.)
Podemos er o mismo con otro ejemplo:0,7777
.., es un decimal
limitado.
La sucesión ,7;0,77;0,77'7...,
de decimales
imitados iende al
número 7/9
uando el
número de términos de
la
sucesión
iende a
infinito, lo
que
signihca:
1/10
+
71100
+
7
1000
+...
:
7
9;
no
quiere
decir
que
sumemosnfinitossuman-
os, sino
que
el
límite de esta suma, cuando el
número de sumandos iende
a
inñnito,
es719
en el sentido
que
hemos
precisado
en el
párrafo
relativo a la fracción
l/3.
Como en el caso
nterior,diremos
ue
el decimal
limitado
0,7777...
etermina
una sucesión
nf,rnitade intervalosencajados, uya ntersecciónesun solo elemen-
o.
Digamosen conclusión
ue
aunque odos
os
números acionales o so4 deci-
males,éstos
permiten
dar
aproximaciones an
flrnas
omo
queramos
de
os raciona-
les. Y
que, por
tanto, todo
número racional se
puede
epresentar
or
una escritura
ecimal
limitada
o
ilimitada).
5.5.
ESCRITURAS
EQUIVALENTES: SU
IMPORTANCIA
EN
LA ENSEÑANZA
5.5.1.
Escrituras ecimales
quivalentes e
números acionales
Son escriturasequivalentes
quellas
que
representan l
mismo número.
Ya las
hemos
encontradoen
varias
ocasiones en
particular
en el cuadro
de
a
página
62.
Teníamos5/3 = 5,pero ambién odemosscribir : 5,0= 5,00= 5,000.. .
76431100
76
+
4/ t0
+
31t00:
(7x
0)
+
(6x
1/10)
(3x
/100)
y
también643/100
76,43
: '16.430
76.4300...
Todo número
que posee
na escriturá ecimal
imitada
(esto
es, odo
número
decimal),
posee
además
nfrnitas escrituras
decimales
imitadas
y
dos escrituras
e-
cimales
limitadas: na de ellas,
a
que
seobtiene
utilizando
el cerocomo
período
la
otra cambiando
por
n- I la última cifra significativa
<<n>
e
a
escritura
imitada
seguida el
nueve como
período.
Así1,000000. . . :
y0,9999. . . :
t.2
=
t.t9999...
t .37
=
t.36999...
70
Probemos,9999...
I
0,9999... 0+9/10+91100+9 /1000+
. .
-
9/ t0
l
+
t/10+1/100+...)
Llamemos
al
paréntesis
l
+
l/10+
1/100+/1000+...)
_ l toqtn
[x:
I
a- - ' -
x ]e[ l0x=
0+x]+[9x:
l0]+x=
*
:0,999. . . :
:
+= l
tu9t09
Los números
acionales
ue
no
son decimales
oseen
ólo una escrituradecimal
ilimitada,
que
es
periódica.
La importancia
de as escrituras quivalentes
e un
número
se
pone
de manifies-
to en
la realización
de
los
cálculos,
porque permite
elegir en cada caso aquella
escritura
que
conviene
mejor
a
la
situación en la
que
interviene el número. Vere-
mos
que,
desde
el
punto
de
vista
didáctico, se
producen
muchos errores
porque
no
se han comprendido as
diversasescrituras
posibles
de
los números.
5.5.2.
Paso
de la escritura
decimal
periódica
de un racional a su escritura
en forma
de
fracción
Ya hemos visto que una expresión decimal ilimitada periódicarepresentaun
número decimal.
Si nos
nteresa
podemos
ambién
transformarla en su
fracción
ge-
neratriz.
Consideremos,
or
ejemplo,el número
p
=
2,777...Buscamosa fracción
a/b
que
da origen
a estaexpresión ecimal
periódica.
Hacemos ,7777...
a/b,
y
nos
servimos en un
primer
método- de la
división euclidiana en
Q:
a
=
2b
+ 0.777...
l0a=27b+0,77'1. . .
Y
restando a
primera
gualdad
de a
segunda;
a
:
(27
-2)b
=
a/b
=
2519.
Otro
método
consiste n llamar
x al número
0,'777...
operar como hcmos
hecho
antes.Por
ejemplo,
sea
q
:
0,33222...
l
número
cuya fracción
gcncratriz
buscamos:
q
:
33/100+
0-3.2
(l+
l/10+
/100+...)
l+l /10+l/100+l/1000+...
l / ( l - l /10)
=
l0/9
suma
e érminos
euna
progre-
sión
geométrica
e
razón
/10.
q = 33/100+2.0-3 l0 /9 33/ too+2/ t000.0/9 2991900
La
demostración
en el
caso
general
es
esencialmentea misma,
pero
requiere
una
notación
general.
Sea un decimal
eriódico eny
"
p
:
0,araza¡....b,
br... n
Pongamos
, br...bn:B.
de
rl
:ra
que
B
representaa
parte
periódica
el decimal.
Enton^ces
p
puede
escribirj
asÍ:
p=O,araza¡...
an+ O-m
B
(l
+
lO-n
+
lg-:n l0-3n
. . . )
.'
La expresión
scrita
ntre
paréq
t es
unaserie
eométrica
e azón
=
l0-n,
su suma
es:1/l
-
l0-n,
y por
anto
btened
o
:
O,araza:....+ lO-mB/l
l0-n.
7 l
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 38/108
5.6. OTRAS ESCRITURAS
DECIMALES
Además
de
las
escriturasdecimales imitadas y
periódicasque
hemos
encontra-
do,
existen
otras escrituras limitadas
que
no
son
periódicas.
Para
probarlo
basta
con fabricar
una de ellas,
por
ejemplo:0,1234561891011121314...
l /10+
21t00
3/
1000 4/
10000
.. .
Es
evidente
que
estaescriturano representa
n número racional,
porque
no
existe
ninguna racción
que
sea
equivalente
ella.
Si
pensamos
de nuevo
en
la
representación
obre
a
recta
vemos
que
teórica-
mente es
posible
considerar os nfinitos intervalos
que
define estaescritura
y
que
su
intersección
no
puede
ser un
punto
racional, ni
puede
ser un agujero
(porque
en-
tonces a rectano
sería ontinua).Decidimos,
or
tanto,
que
es un
punto
<irracio-
nal>>
al número correspondiente
e llamamos
ambién número rracional
-no
racional-. Es
una
manera
ntuitiva,
elemental, e dar existencia
esosnúmeros
que
completan los
racionales. l
procedimiento
tilizadoaquí
no
esmuy
diferen-
te del
que
nos hemos
servido
para
ampliar N, Z
y
Q,
ya
que
consiste
n
llamar
<<números>>esos bjetos ue necesitamosaraqueel conjuntode números ea al
que
nos
permita
tener uno
para
cada
punto
de la recta:
para que
el conjunto
de
números
sea ompleto.
Por
otra
parte,
a
existencia
de
números rracionales
está
probada
porque
e4isten
magnitudes
nconmensurables,
omo
la longitud
de
un
cÍrculo
y
su diámetro
o e l
lado
de un cuadrado
y
su diagonal. En estos
casos,el
número irracional
puede
situarse
on
precisión
mediante
una
sucesión
e
ntervalos
ncajados
el decimal
ilimitado
asociado
dichasucesión. or ejemplo, i
buscamos l
punto
cuyadistan-
cia
a 0
sea
gual
a
la
longitud de a
diagonal.
Figura
5.8
Observaremos n
primer
lugar sobre a hgura
que
el
punto
d estásituado
entre
I
2, luego
el decimalcorrespondientempieza
or
la
cifra
l. Después
e subdividir
ntervalo
entre
y
2
observamos
ue
d está omprendido
ntre
1,4
y
l,5,luego
el
a
<<d>
iene como
primera
cifra decimal
4.
Se
puede
comprobar
1,4 x 1,4 1,96
que
es
nferiora2),
y
1,5
x 1,5 2,25
qtees
superiora ).
el
proceso
e subdivisión, btenemos na
sucesión e
intervalos
n-
un decimal limitado
para
epresentarla.
ay
un solo
punto
en
a ntersec-
de
esta
ucesión:
sel
punto
cuyadistancia 0 es
a
longitudde a
diagonal el
Pero
no
hay ningún
númcro racional
igado
a este
punto.
Por
tanto, el
limitado
que pertenece
csta
succsi(in
e
ntervalos
ncajadosepresenta
número
rracional.
72
Vemos,
por
tanto,
que
as escrituras limitadas no
periódicas
corresponden los
números
rracionales en la rectaa los
puntos
rracionales.
Finalmente,
i consideramosodas asescrituras ecimalesenemos:
as
escritu-
ras initas,
que
representan los números
decimales;
as
escrituras
nfinitas
periódi-
cas,
que
representan los
números acionales;
,
en
último lugar,
as
escrituras
infinitas no
periódicas, ue
representan los números rracionales. stas on las
escriturasdecimales
de
todos os números reales.
Pero
como
los
cálculos os hacemos iempre on decimales
que
nos
permiten
aproximarnos los racionales
a
los rracionales
anto como
queramos) ensamos
con
Fnpuo¡NrHnr-
1973)que
<si
en a escuela
ay
que
crear os números eales, l
procedimiento
más adecuado
es el de comprenderlose
interpretarlos
como
fraccio-
nesdecimales binarias>.
Y
una
vez
que
hemos visto la
cualidad
principal
de
los
decimales
que
es
permitir
aproximaciones
an
finas
como
queramos
a
los reales- nos
queda
ver
cómo seorganizan
os
decimales, stoes,cómo estánordenados cómo se
puede
operarcon ellos.
Antes de terminar este
punto queremos
hacerdos
precisiones
obreel lenguaje.
La
primera,
respecto
de la
palabra
<<ilimitado
cuando se aplica a una sucesióno a
una escritura. Se
presta
a
confusión
y
algunos alumnos
la interpretan
como
(<sin
límite>.
Sin embargo, acabamosde decir
que
toda escritura limitada defrne una
sucesión e
ntervalos
ncajados
ue
contieneun solo elemento omo
ntersección
y
sabemos
ue
esteelementoes
el
límite
de
a
sucesión.
or
eso
hemos
sustituido
algunas
eces
limitada
por
infrnita,
pero
bastará
recisar
los
alumnosel
signiñca-
do
que
seda a las
palabras,
obre odo
cuandoéstas
uedan
esultar mbiguas.
La segunda
precisión
hace
referencia
a
la
distinción
que
ya
hemos hecho
entre
número
y
escritura e un número o numeral.Es
evidente
ue
en el lenguaje
sual
no
hacemos
a distinción
de
número
y
escrituradel número, cometiendoasÍ un
abusode enguaje
dmisible, iempre
ue
no
nos
levea confusión.Una
vcz hccha
la
precisiónpodremos
escribir
y
hablar del
<<número
,67>>,
or
ejempkr.aunqr¡c
sabemos
ue
<3,67>>
s una escritura e eseobjeto
numérico
del
quc
cstamos
ha-
blando.
5.7. RELACIÓN
DE
ORDEN EN EL CONJUNTO DE
LOS
NUMEROS
DECIMALES
Los núme'.s
decimales
stán
ordenados
egúnuna
relación
que prolonga
a
<<relación
e len>>
efrnidaen los naturales.
alb>a'/b'
a/b-a'/b'
>
0 La relación <>>>e
define n
Q,
y por
antoen
D.
No
prese
ninguna
dihcultad
probar que
esta elación es eflexiva,antisimétri-
ca
y
transiti
lue
cumple
as
propiedades
e un orden otal
y
arquimediano.
En la re1 rtación
gráfrca,
a
expresión
p
>
q
significa
que
el
punto
(p)
estáa
la
derecha
rnto
(<e),
si hemos elegido el orden
crecientede
izquierda
a dere-
cha.
Para
com¡.
-¿r
doselementos e
Q
tenemos,
n a mayor
parte
de
os
casos,
ue
reducir as
racciones
común denominador;
pero
es
mucho más
ácil comparar os
t)
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 39/108
números
decimales,
para
los
cuales
existe el algoritmo
de
ordenación,
que
a conti-
nuación
describimos.
Sean
y q
dos números
decimales:
:
a'brbzb¡...
n;
q
:
c'd,d,dr...
.
a
y
c sonnaturales,
r, b2,
b3,. . . n ,dr,d2
dj,
. .d* ,
sonci fras
, 1,2,3,4,
5,. . .9
.
Si
a es superior
a c deducimbs
que
el número
p
es
superior al núme ro
q.
o
Si
a
y
c son guales
y
b, es superior
a d, se deduce
que p
es superior
a
q.
o
Si a
y
c son guales
y
b,
es
nferior
a d, se deduce
que
p
es
nferior
a
q.
¡
Siaycsonigualesyb,esigualad,,nosepuedeconclu i rysedebencompararbryd2.. .
y
asÍ
sucesivamente...
l algoritmo
de
comparación
se educe
al algoritmo
de comparaóiónbe
los naturales.
5.8.
ADTCLON
SUSTRACCTON
N EL
CONJUNTO
DE
NUMEROS
DECIMALES
En la prácticaescolary también en todos oscálculosquenecesitamos acercon
úmeros
decimales
peramos
como
si se
ratara de
enteros
y
sólo
debemos
ener
en
correcta
situación
de a coma.
Antes
de dar las reglas
e
adición
y
susrrac-
decimales
sconveniente
ue
os
alumnos as
deduzcan,
ien a
partilde
la
decimal
de
los
números,
o
bien a
partir
de la adición
de fracciones.
Ejemplos:
,347
O,5g
2347/1000
59/100
234711000
590/1000
293711000
2,937
Si
os
decimales
ehan
obtenido
sin
pasar
por
las racciones,
as reglas
e adición
sustracción
e apoyarán
en el sistema
de numeración.
Ejemplo:
,347
0,59
2.347
0.590
Las
reglas
de adición
y
sustracción
son
evidentes
y
pueden
ser enunciadas
por
I. Escribir
el número
decimal
de
forma
que
las
comas
coincidan
en co-
2. Añadir
los
cerosnecesarios
ara
que
todos os números
engan
el mismo
de
cifras
después e a
coma.
3.
Adicionar
o sustraer
iguiendo as
reglas
de adición
o sustracción
de núme-
naturales.
4.
Colocar a
coma
en el resultado,
n
columna con la
de los
términos
de
a
(o
sustracción), e forma
que
la suma
(o
la
diferencia)
enga
el
mismo
de cifras
después
e
a
coma
que
cada
uno de os érminos
de
a
adición
o
Las
propiedades
e
a
adición
de?ecimales
on asmismas
ue
as
de a
adición
los
enteros.
l
conjunto D
con la
operación
e adición
iene una
estructura
e
abeliano,
otalmente
ordenado.
4
5.9.
MULTIPLICACION
DE NUMEROS DECIMALES
5.9.f A[unas reflexiones
obre
as
operacionesn
D
Esta
operación xigeuna
mayor
atención
que
as
de
adición
y
sustracción,
or-
que
suele
plantear
algunas
iñcultades.
Al realizar,
por
ejemplo,
as
operaciones
siguientes:
6+2=8
0,6+0,2:0,8
0,6x0,2:0,12
7,l -o
0.7+0.2:0,9
0, ' l
x0,2:0,14
se
ve
que
en
la
adición o
sustracciónde
decimales eaplican
as mismas
eglas
que
se conocen
para
la adición o sustracción
con
los enteros.
Pero
cuando
se rata de
multiplicar,el productoya no tiene el mismo número de cifrasdecimales
ue
os
factores. a extensión e
a multiplicaciónde
naturales
los
decimales
o
es
nme-
diata.
Por otra
parte,
el
modelo de
multiplicación
que
se ha aprendido
para
os
naturales,
ue
consiste n
hacer
un
número
más
grande
uandose
e multiplica
por
otro,
ya
no
sirveaquí
y
es
preciso
onstruir
una nueva
multiplicación
que
engaen
cuenta
otrosnúmeros demás
e
os naturales en
particular
os números nferiores
a la unidad.
5.9.2.
Algoritmo de a
multiplicación
Las eglas
e
multiplicación e osdecimales
ueden
ambiéndeducirse
como
en el casode
a
adición
y
de a sustracción- del cálculocon
fracciones. on assi -
guientes:
1. Multiplicar os númeroscomo si
fueran
enteros.
2. Poner a coma eniendoen cuenta
que
haya antascifras decimales n el
resultado omo a sumade cifrasdecimales e
os factores.
Ejemplo:,79x27,3: 8+79l100) (27+31t0) : 879/100) (273110) :
: (879
273/1000)
23996711000
239,967
.
Multiplicación
or
una
potencia
e
0
Para multiplicar un
número
por
una
potencia
de
l0
bastadesplazar
a coma
hacia a derechaantos
ugares omo
ndique a
potencia
e 10
por
la
que
se
multi-
plica.
Este
principio
es una consecuencia
nmediatadel
principio
de
a multiplica-
ción de
naturales
por
una
potencia
de l0
y
estábasadoen el sistema
e numeración
decimal.
Ejemplo: 45.789
l0)
:
34578.9
345,789 300
+
40
+
5
+
7lt l
+
81100 9/1000
Multiplicar
or
100
l
número 45,789smultiplicar
or
100
ada node os érminos
e
la suma, btenemos:0000
+
4000
+
500
+
70
+
8
+
9/10
34578,9.
75
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 40/108
.
Notacién
ientíIica
La notación
cientÍfica
es un método
para
escribir
números
en
términos
de
po-
tencias
de 10;
Por
ejemplo,
el
número:
23
x 108
esotra forma
de escribir
el número
2300000000; y
23
x l0-8
es otra forma
de
escribir
el
número
0.00000023.
n
general,
a
escritura
a,bcdef
x lOn
significa
que
la
cifra
<<o>
cupa
el lugar
de
las
unidades
y
el
número
<<ru>
ndica
cuántos
ugares
enemos
que
desplazar
a
co-a
y
en
qué
dirección
para
escribir
el número
en su forma
habitual.
a,
b, c, d,
e,
f,
y
n son
enteros.
Si
el exponente
es un número
positivo,
tendremos
que
desplazar
a
coma a
la
derecha<<n
ugares>>,
si es negativo,
deberemos
desplazarla
acia
a izquierda
para
obtener
a
escritura
completa
del número,
La notación
cientÍfica
es muy
útil
para
escribir
anto
los números
muy
grandes
como los
muy
pequeños,
educiendo
al máximo
el
número
de cifras
necesarias
ara
representarlos,
Por
ejemplo:
los rayos
láser
permiten
apreciar
una
potencia
tan
pequeña
como
0,0000000000000000000000000001
atios,
en notación
científi-
ca
escribiremos:
1,0
x 10-28
educiendo
a seis
-en lugar
de 29-
el
número
de
cifras necesarias
ara
representar
ese número.
un electrón
tiene una cargaeléc-trica de -0,00000000000000001602 culombios (en
notación
cienrífica:
-1,602 x
l0-r7) .
[¿
coma
del
número
-1,602
x 10-17
se lama
(<coma
lotante>>
orque
am-
bién
podría
escribirse
16,02
x l0-16.
La
mayor
pafe
de as
calculadóras
dbolsi-
llo
y
los
ordenadores
utilizan
la notación
científica
con
coma
flotante
para
dar
números
o
valores
aproximados)
que
exceden
su capacidad
de visualización.
con los
números
escritos
en notación
cientÍfica
podemos
operar
teniendo
en
cuenta as
propiedades
e
la
operación
de exponenciación:
amxan=am+n
om,/an
=
¿m-n
[am]n:
¿m n
Para
estimar
el resultado
de una operación
puede
allar la
intuición
cuando se
acen
cálculos
con
números
muy
grandes
o
muy
pequeños.
¿
notación
científica
ermite
dar rápidamente
valores
aproximados.
DE
NÚMEROS DECIMALES
Observemos,
n
primer
lugar,
que
el
cociente de
dos
números
decimalesno
es
un número
decimal,
por
tanto,
el conjunto
de
os
números
decimalesno
es
para
la
división.
Por
ejemplo, ll2+314
:
2/3;
l/2
y
3/4
son
números
pero
2/3 no
es un número
decimal. No
existeningún
número
decimal
multiplicado
por
3/4
dé
|
12.
En
escritura
decimal:
el
número
<<0,5
0,75> no
es
número
decimal.
En
segundo ugar, veamos
que
el modelo
de división válido
para
los
números
ampoco se
puede
extender
a
los
números
decimales.En
efecto.
cuando
se
natural
(dividendo) por
otro número
natural
(divisor)
se obtiene
n
número
más
pequeño
cociente) ue
el
dividendo.
Sin embargo,
uando
ü
f)
s)
f)
ñ
unnúmerodecimalporotronúmerodecimalesposibleobtenercomo
unnúmeromayorqueeldiv idendo.Porejemplo,0,T+0'2:3'5 '
Ioi..tot
en
os
que
ei
resultado
e
a divisiÓn-9t
19t
números
ecimales
s
esta
operación
es
a inversa
de
la multiplicación'
probár
que
esto
es
asÍ
analizando
as
siguientes
multiplicaciones:
0,?x0,09=0,063
0,005x0,09=0,00045
9,6"$:4,8
0,002x900=1,800
9,9"1,5=l '3
8x0,75=6
E¡condemos
hora
uno
de
los
factores
de
cada
multiplicación.
En
cad¿
rna
de
ira
no.
plantean
dos
posibles
problemas
que
se
resuelven
mediante
divisiones:
'ejemplo,
ii ¿ó"ál
es
el
número
que
multiplicado
or
0,09
da
0,063?:
0,09x : 0'063
¿óuál
esel
número
que
multiplicado
or
0,7
da
0,063?:
0,7
x
=
0,063
b)
¿Óuál
s
el
número
que
multiplicado
or
0,005
da 0,00045?:
0,005
:
0,00045
e)
iu¿l
.t
el
número
ue
multiplicado
or
0,9
da
l;35?:
0,9
x
=
1,35
¿óud
es
el
número
ue
multiplicado
or
1,5
da
1,35?:
1,5
=
1,35
En
el
primer
problema
a)
podemos
reguntarnos
ué
puede
ecirse
el
factor
ialta.
Puesto
que
un
factor
(0,09)
iene
dos
cifras
decimales
el
producto
ttene
cli.ur
¿eci*ales
0,063)deducimos
ue
el
factor
que
falta endrá
sólo
una,
que
r,
por
tanto,
0,7.
Éi
et
proutárna
b),
el
número
de
cifras
decimales
el
producto es 5
y
el
número
cif.as'decimales
el
factor
conocido
3;
luego
el
número
de
cifras
decimales
del
;orescondidoes5-3:2-
En
cada
caso
podemosverificar
que
el
número
de
cifras
decimales
del
cociente
,-el factor que sebusca- sepuededeterminarhaciendo a sustracciÓn el número
he
lfrur
deóimales
el
dividendo
(producto)
y
del
divisor
(factor
conocido)'
.-Elprocedimientohabitualparahacerlasdivis ioneseselsiguiente:
'
I.
En el
divisor
se
corre
la coma
hacia
la derecha
antos
lugares
como
sea
lnecesario
ara
que
tengamos
un
número
entero,
y
en
el
dividendo
se
cgTe
la coma
thacia
a direchá
tantoJ
ugares
como
haya
sido
necesario
acerlo
en
el divisor'
2.
Se
realiza
a divisiÓn
utilizando
el
algoritmo
habitual
de
los
númeroS
€nt€:
'ros,
teniendo
en
cuenta
que
el cociente
deber¿
ener
el
mismo
número
de cifras
decimales
que
el
nuevo
dividendo'
Si
deseamos
er
lo
que
sucede
uando
se
aplica
el
punto
l,
volvemos
a
la divi-
sión
(b):
0.00045+0,005
0,00045/0,00s
0,00045x
000/0,005x
000
6'45;5
:0'09
't'7
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 41/108
Hemos
considerado
a
división
como si fuera
una fracción,
pero
con números
decimales,
uego
hemos
multiplicado
el diüsor
por
una
potencia
de l0
(en
este
caso
1000)
para
obtener
como
denominador
un entero.
y
para
conservar a
equivalen-
cia, hemos
multiplicado
el numerador
también
por
1000.
En
el
punto
I
l.l8'hacemos
algunas eflexiones
obre
situaciones
idácticas
que
pueden
dar significado
a la
división
con números
decimales.
5.11. EJERCICIOS
2.
1.
5.
7.
¿Cuál
e
os números
, b,
c o d esmayor?
a
=
0,0000000000123456'7
9+
0,0000000000987
54321
b
:
0,0000000000t23456789-
,0000000000987
54321
c
:
0,0000000000
23
567
9+ 0,000000000
987
5
432
d
:
0,0000000000
23
56789x
0,000000000
987
5
432
Realiceoscálculos iguientesin calculadora.ompruebeos resultadoson
calculadora.
a)
0,85
+
0, 2
b) 0,002
0,32 1,5
c) 6,801
0,9999
d)
2,8
x 0,49
e) 0,003x
0,002
0
0,048
6
Busque
situaciones
oncretas
n
las
que
seanecesario
acer
cada una
de estas
operaciones.
Una
calculadora
da
0,0000001
como respuesta
para
la
multiplicación
0,00037
x
0.00054.
a)
¿Cuál
es
a
respuesta
orrecta?
b)
¿Cómo
se
puede
hallar
la respuesta
onecta
con la
calculadora?
c)
Otra
calculadora
da como respuesta
1998 -07.
Inrerprete
esm espuesta.
El
decimaf
correspondienre
Ia
fracción
3/t06to6i'li'l
ll
¿es
imitado
o ilimi-
tado?
¿Es
periódico?
¿Cómo
puede
saberse
in hacer a
división?
¿Qué
racciones
ienen
escrituras
ecimales?:
a)
¿limitada
con cuatro
cifras?
b)
¿periódica
on
cuat¡o
cifras?
a) Encuentre
na
escritura
ecimal
para
/13,1119,1123,
/29, l /31,
l /3 j,
|
4t .
b)
¿Cuál
es
el
perÍodo
en
cada caso?
c)
¿Cómo
halla¡
más
cifras
que
las
que
da
la
calculadora?
d)
¿Qué
ienen
en común
los
denominadores?
e) Encuentre
una relación
entre
el
período
y
el
denominador
de cada frac-
ción.
Si
escribimos
os números
acionales
n un
sistema
de
base 12,
¿qué
racciones
podrán
escribirse
on
una escritu¡a
<<duodecimab>
inita?,
¿que
racciones
en-
drían
una
escritura<<duodecimab>
limitada periódica?,
¿qué
racciones
endría
una
escritura
<<duodecimal>
limitada
no
periódica?
g)
0,048+
0,6
h)
0,048
+ 0,06
i)
0,048
+ 0,000006
$?
j\
0,224s9
+ 0,037
k)
0,015989
5. 9
8
TERCERA
PARTE:
EL
PROBLEMA
DE
LA
ORGANIZACION
DE
LA
ENSEÑANZA
DE
LOS
NUMEROS
DECIMALES
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 43/108
6.
Primeras eccione
para ntroducir os decimale
Describiremosen este capítulo distintas
formas
-ómadas
de
autores diver-
sos-
de
presentación
o introducción de
los números decimalesen la
enseñanza
elemental.Lasaquí expuestas, un no siendo odas asposibles, on asmás usuales.
No
establecemos na
relación
con
el contexto en
que
se utiliza
cada una sino
que
nos limitamos a señalar
que
todas ellas ienen
en común
la idea
de
una
presenta-
ción
que
contiene
a
deñnición
y
de
la
cual
parece
que
se
podrán
derivar
las
propie-
dades.
6.1. COMO EXTENSIÓN NATURAL DEL SISTEMA DE
NUMERACION DECIMAL
El sistemade
numeración
decimal
permite
escribir
números
tan
grandes
como
se
quiera
con sólo tener en
cuenta
que
cada
ugar representa
díez
veces
el
valor
del
lugar situado a su derecha. Por consiguiente,
el
valor
que
representa
cada cifra
dependedel
lugar
que
ocupa.
Por
ejemplo:
seael
número
88
I
l0
(10=l0x l)
100
(100:
l0 x l0)
1000
(1000:
100x l0)
10000
10000=
1000x l0)
El
primer
8 de
la
derecha
epresenta
8
unidades,
y
moviéndonos
de derechaa
izquierda,
el segundo8
representa
8
x
l0) unidades,el
tercero
(8
x 10 x l0)
uni-
dades..., así sucesivamente.
De
la
misma
forma
podemos
decir
que
cada ugar situado
a
la
derechade
uno
dado
representaa décima
parte
del
valor
del
lugar
precedente.
si,
el mismo núme-
8x
8x
8x
8x
8x
83
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 44/108
ro
podemos
eerlo
de otra
forma:
8
8
8
8
8
x 10000
x 1000
(1000:
l /10
x 10000)
x 100
(100:
1¡16
x 1000)
x
l0
(10 =
l /10
x 100)
xl
( l=l / l0xl0)
El
primer
8 de
la izquierda
representa
80 000
unidades;
y,
moviéndonos
de
izquierda
a derecha,
el segundo
8 una
décima
pañe
de éstas,
stó
es
g
000
unidades;
el
tercero
800
unidades
y
así sucesivamente.
Parece
natural
extender
hacia
a
derecha
este
proceso
que
consiste
en
que
cada
lugar
representa
a
décima
parte
del
valor
del lugar
precedente,
para
representar
cantidades
nferiores
a
la
unidad. Basta
con
separar,
de
alguna
manera,
a
parte
entera
de la
parte que
llamamos -de
forma
impropia-
<<decimab>.En
realidad,
los númerosque sólo tienen parte entera ambién son decimales.)
De la
misma
forma
que
a las
potencias
e la
base
de numeración
as
hemos
llamado:
decenas,
entenas,
nidades
de mil,
etc.,
podemos
nombrar
a
las
unidades
fraccionariasque
resultan
de dividir
la
unidad
por
potencias
de 10,
llamándolas
décimas,
entésimas,
ilésimas,
tc.
.rr,
Una
vez
ntroducidas
y
nombradas
as
escrituras
ehacen
ejercicios
de ectura
y
escritura
de <<números>>,
e
comparan
escrituras
sehacen
operaciones
ntroducien-
do algoritmos
de
adición,
sustracción,
multiplicación
y
división
de <<escrituras>.
a
lectura y
escritura
de estos<<númerou
se hace
eniendo
en
cuenta
el
paralelismo
con
las
escrituras
de números
enteros
en
nuestro
sistema
de numeración
decimal.
Porejemplo,
l número
j63:
(8
x 1000)
(l
x
100)
+
(6
x l0)
+
3
:8000
+
700
+
60
+
3
Io
leemos:
ocho miles
siete
ientos
seis
dieces
y
tres;
y
también
: :ocho
mil
setencientos
esenta
tres.
El número
0,8763
podrá
eerse:
cho
décimas,
iete
entésimas,
eismilésimas,
tresdiezmilésimas
también
8763
diezmilésimas.
Pueden igualmente introducirse escrituras para las fracciones decimales
queaparecenporesteprocedimiento,yescribiremosg
l/10
+
7
x 1/100
+
6 x
l/1000+3x
l/10000.
Esto
no
supone
haber
ntroducido
as racciones
n
general,
ino
solamente
as
que
han
aparecido
omo
extensión
atural
del
sistema
e numeración
decimal.
Esta
forma
de introducir
los
decimales
iene la ventaja
de
poder
operar
fácil-
mente
con
estas scrituras,
xtendiendo
os
algoritmos
e las
operaciones
on nú-
meros
enteros.
En realidad,
o
que
se introduce
de es ta forma
son
escrituras
cómodas para
operar
con
ellas
pero
que
no
tienen
odavÍa
el estatus
e número.
Estas
scrituras
han
aparecido,
e forma
natural.
como
extensión
e as
escrituras
e
os
números
naturales
ue
ienen
para
os niños
un
estatus
ien
dehnido:
saben
ue
sirven
para
contar,
que
se es
puede
omparar,
ue
se
puede
operar
on
ellos; o
que
odavía
no
esel
caso
on las nuevas
scrituras.
84
Antes
de
pasar
a la descripción
de
algunas
de
las
presentaciones
ue
pueden
hacerse
partir
de
la medida,
hagamos
una
aclaración
sobre
os distintos
signihca-
Para
que
los niños
puedan
dar
el significado
de
números
a estas
escrituras
es
iSO
ue
descubran
que
se
puede
hacer con e llas
o mismo
que
con
los enteros:
ordenarlas,
hacer operaciones;
que
estas
elaciones
y
operaciones
a
relaciones
operaciones
e
medidas
de
magnitudes.
En
una
palabra,
si
no se combina
esta
ntroducciÓn
con otras
que
perm¡tan
Cubrir
que
estas
scrituras
epresentan
úmeros
nuevos, istintos
de
os enteros
y
permiten
resolver
problemas
que
no
podíamos
resolver únicamente
con
los
ros,
endremos
el
peligro
de
reducir el
aprendizaje e
os números
al de algunas
sus
ormas de
escribirlos.
6,2,
A PARTIR
DE
LA
MEDIDA
Figura6.1
0
dOsque seda a la
palabra
<<medida>.
Aunque
para
una
información
más completa
rcbre
este
ema
aconsejamos
l
lector el libro de C. CHltr¡onnOy J. M' BELMOT'IT
núm.
l7 de
estacolección.)
o
Desde
primero
de
E.G.B.
os
niños empiezan
a
<<medio>on
el
palmo,
con
el
pie,
con unidades
arbitrarias.
En estos
casos
se
rata
de atribuir
un
número
a una
hagnituA
-generalmente una
longitud-.
En esta
actividad
a idea de
medida
que
funiiona
consiste
n
averiguar
uántas
unidades
ontiene
a magnitud
medida.
Pero
Cl
resultado
de esta
operaciÓn
s
mpreciso
si no
se rata
de un
número
entero.
o
Una
segunda
dea de
la
medida
viene dada
por
las distintas
graduaciones
e
Ciefos
instrumentos
(por
ejemplo,
una
regla
g¡aduada,
un
peso
de
personas,
un
termómetro,
un cronómetro,
etc.).
En todos
ellos
existen
marcas
que
indican una
<cierta
medido>
de
peso,
de temperatura
o de tiempo.
Para
que
una
graduación
permita
dar
informaciones
sobre
a medida
debe
cons-
truirse
utilizando
las
propiedades
e aditividad:
para
una
graduaciÓn
on
enteros,
l
número
cero
debe
ser
el origen
de
as marcas
y
corresponder
a
magnitud
nula.
La
marca
D>
debe
ndicar
que
seha
levado
<n>
eces
a
unidad
de
medida a
partir
del
origende la graduación.En general,de la marca <<o> la marca (n + ¿¡¡), e iene n
veces o
nu.
d
n,U
n. q
Ejemplos
de ello
pueden
ser
a
medición
de
longitudes
con
una
regla
graduada;
de
tiémpb
con un
cronómetro;
de
temperatura
con un
termómetro;
de
capacidades
con
una
probeta.
o
Finalmente,
existe
a medida
propiamente
dicha,
que
consiste
en establecer
una
correspondencia
ntre
los valores
de
una
magnitud
-por
ejemplo una
longi-
tud-
y
los
números,
una
vez fijada
la unidad.
85
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 45/108
Para
que
esta
correspondencia
uede
definida para
todos
os
valores
de ra
mag-
nitud
considerada
por
ejemplo, para
todas
las
lbngituder),
ió,
n,i,,,.ros
enreros
resultan
nsuficientes
y
se necesita
l
conjunto
¿e
os
ñri-"rí,
,.¿",
óritivos
(R+
).
or
ejemplo,
una
vez
que
hemos
elegido
una
u¡idad
de
ongitud
u,
a toda
longitud
(a)),
se
puede
asociar
un
número
real
y
uno
sólo,
que
la-ai.rno,
,neáidu
d.
u
"on
a
unidad
(<uD
notaremos:
mu(a).
Recíprocamente,
cada
número
real
b,
se
puedc
asociar
una
longitud
B
y
una
joh
tal
que
m,,(F)
-U.
Esta
correspondencia
ebe
verificai
las
siguientes
ropiedades
l):
o
Si una
longitud
a
se
obtiene
añadiendo
dos
ongitudes
3¡
y
a2,
se
iene:
m,(a)=m,(ar)+m,(a:)
La
medida
de
a
es gual
a la
suma
de
las
medidas
de
a,
y
a,.
,r..r ,
tt
una
longitud
a
se ha
obtenido añadiendo u""", la misma longitud a se
m"(a)=m"(kb)=k¡¡"16¡
La
medida
de
a es
gual
a la
medida
de kb
e igual
a k veces
a
me&a
de
b.
o
Si
ar
es
una
longitud
inferior
a
a",
entonces:
m"(ar)
<
mu(az)
La
medida
de
a,
es nferior
a la
medida
de
ar.
De
esta orma,
la
medida
hace
corresponder
ras elaciones
operaciones
ntre
cantidades
e
una
misma
magnitud,
relaiiones
y
operaciones
ntre
números
reares
(ello
es
válido
para
odas
as
magnitudes
sobre
as
que
se
puede
definir
una
medida).
Presentación
e
los
decimales
a
partir
del
sistema
métrico
consiste en introducir el número decimal como una forma de codificar una
que
ese
código
nos
permita
pasar
de
una
expresión
de
la
medida
en
de
dos
o
más
unidades
a
una
e>qpresiónue
sólo
haga
ntervenir
una
uni-
citemos
un
ejemplo
de
estemodo
de
presentación,
omado
de
R¡y
pnsron
y
Ao¡.v
(1940):
Antes
de
ahora
hemos
hablado
de
una
longitud,
como
g
dam
3 m 4
dm,
cuya
rye{a3
estd
compuesta
e unidades
e
diversos
irdenes.
alta
a la vita
la
incomodi-
dad
de
manejar
en ra
escrituraprdctica
números
<complejos,
e
iiia'forma.
aas
cómodo
erd
poner
g34
dm, es
decir,
reducir
<a
ncomjrejo,t
de
Ia
iiidaa
inferior.
Pero
aún
iene
esto
sus
nconvenientes.
-
Supongamos
u:
cory
paratos
c
mator prki.sión
legdramos
determinar
a
tonsitud
de
8
dam
3
m
4
dm
7
cm s
mm.
,a
ridtu,c,ión
i;;;;p¡;;";ii
¿orio
onoro
83475
mm.
La
unidad
e a
notacitjn
ctrucida
rerá,
ue,r,
istiiti
segun
a
precisión
de
os
aparatos
e
medida.
e
evitu
a:¡tt¡
tnnandoio
^ir^i;;i;;-;;
referencia
fundamental,
única
que
se consigna,
y
conservando a
posición
de las cifras,
pero
separando con una coma
las
que
indican unidades enteras de las
que
indican
partes
fraccionarias.
Así, tomando
por
unidad elvnetro, expresaremos
aquellas ongitudes de
estemodo; 83.4m 83.475m.
En resumen,
e aplica el mismo
principio
del
valor
relativo
utilizado en a numc-
ración de enteros, eniendo en
cuenta
que
cada cifra
representa
unidades diez
vc<'t:;
mayores
que
la
que
le sigue a la derecha,
y
señalando con una
coma el
lugar
de
lu.t
unidades
enteras.
Esta
misma
notación vale,
pues, para
toda clase de medidas en las
que
as unida-
des sucesivas igan Ia ley decimal. Por
ejemplo, 3
kg
ó dag
9
g
5 cg
puede
expresarse
así:
3069,05
g
tomando
por
unidad
el
gramo,
3,06905kg tomando
por
unidad el kilogramo,
y
lo mismo escribiríamos
ara
medidasen itros
y
susmúltiplos
y
submúltiplos.
Podemos,
pues,
enunciar la
siguiente
regla: Para representar
un número compues-
to de unidades
decimales enteras
yfraccionarias,
se escriben
as cifras
que
represen-
tan el número
de cada
una,
comenzando
por
las de orden
superior
y
poniendo
un cero
para ocupar el pueito de las unidades no contenidas en el número, y se separancon
una coma las unidades enteras
de las
fraccíonarias.
-Estos
números se laman
abre-
viadamente
números
decimales. también
fracciones
ecimales.
El número decimal 83,475
m
apareceentonces
como otra
forma
de
escribir
t3
475
mm .
'
Esta
presentación
uede
ener algunos nconvenientes:
a)
Puede
conducir al
niño a creer
que,
con
un cambio conveniente
de unidad,
'podni
prescindir
siempre
de
los números
decimales.
b)
Los números decimales
no se
perciben
como
números nuevos,sino como
<otra
formo> de escribir
os
enteros.
Esta dea se
refuerza
en algunos
ibros,
que
definen
el
número
decimal como
<<dos
artes
separadas
or
una coma: a
la izquier-
da
una
parte
entera,
y
a
la
derecha
a
parte
decimab.
Por
ejemplo,
I m 235 mm
=
1,235
.
No debeextrañarnos,
ues,que
os
niños
comparen
estos
números
y
operencon
ellosutilizando las mismas eglasque sirvenpara os enteros,peroconsiderandoas
<<dos
artes
por
separado>>.
or
ejemplo,
1,38
será
menor
que
1,275
porque
38 es
menor
que
275,
y
0,3
x 0,3 será
0,9
porque
3 x 3 es 9.
a
Versión
moderna eestemétodo
Se
parte
de
recodiñcar
un
número
entero.
El número de habitantesde
Madrid
.
es,
por
ejemplo, 4 727 986. Si tomamos
por
unidad el
millar, la
población
seexpre-
'
sará
por
el
número
decimal
4727,986,
y
si se
oma
por
unidad el
millón la
pobla-
ción
vendrá
representada
or
el
número 4,727986.
Se
es hace observara
los ni-
ños
que
las escrituras
pueden
ransformarse in
que
cambie
a
cantidad
a
la
que
se
reheren.)
Esta ntroducción
suele
r acompañada e numerososejercicios
de reducción de
una escritura
a otra con el cambio correspondiente
e unidad. Los libros
que propo-
nen estemétodo
suelen
combinarlo
con la utilización de
los
materiales
y
las repre-
8'l
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 46/108
sentaciones
ue
han
servido
para
presentar
el sistema
de
numeración
decimal;
por
ejemplo, os bloques multibase
de Dienes
que
veremos
en el capítulo 7.
Para hacer
comprender mejor la
significación de la coma, se
suelen
proponer
ejercicios
en
los
que
se codifrca un número
tomando otra base
distinta de
10.
Supongamos,
or
ejemplo,
que
sedesea xpresar
l
número
de alumnosde a
clase
en base
3
y
obtenemosaescritura221
quesignifica:
2
x
9)
+
(2
x 3)
+
t
:
Z: .
Si decidimosomar como
unidadel
grupo
de
3 alumnos,
a
escritura
ue
representa
el número
de alumnos de
a
clasees22,1 La
coma señala iempre
el
lugar
del
grupo
que
seha
tomado como
unidad.
De
todosmodos, os números
on coma
que
aparecen
mediante
estos
métodos
estánmuy lejos
de dar una
imagen
pertinente
de los números
decimales.
Cómo
podrá
imaginar
el alumno
que
se
puede
ntercalar
siempreun número
decimal
entreotros
dos,
y que, por
tanto,
pueden
ntercalarse
na
inhnidad?
Si sólo
posee
estas
mágenes
e os
decimales eguirá reyendo
ue
el
número22,2
es
<<el
iguien-
te> del número 22,1 o
mismo
que
222
es
el número
entero
que
siguea
221.
Además
con estas epresentaciones
e la idea
de decimal difícilmente se apren-
deráa consideraros decimales omo números on osquesepuedenmedir magni-
tudescontinuas.
6.2.2. Presentación
partir
de un
cambiode unidad
$
Otra manera de llevar
a cabo una
presentación
de los decimales
a
partir
de
la
medida
consiste n construiruna conespondencia
ntre
una
magnitud
y
los núme-
ros
que
veriñcan
as
propiedades
l)
citadas n
el
punto
6.2.
Consideremos,
or
ejemplo, a longitud.
Una
vez
ijada a
unidad,
os números
enteros
permiten
asociarun
número
a algunas ongitudes.Pero
no a todas.Y
si se
eligeuna unidad más
pequeña
por
ejemplo, un submúltiplo de a
unidad dada-
se
puede
asociar un número
a
nuevas
ongitudes, con lo
que
las longitudes
que
tenían una cierta
medida
en
la
primera
medición
cambian de medida. Pero nos
encontramos con el mismo
problema,
ya
que
es necesariomodihcar
todo
para
medir nuevas ongitudes,
y
ademásno
se
puede
epetir ndehnidamente
el
proceso.
m(AB): l ;m(AB)": 6
Fli
ffi
Figura
ó.2
in cambiar
a
unidad
\
a) Subdivisiónde a unidad: otro
método consiste
n
presentarlos
onservando
a
unidad
pero
nventandonuevosnúmeros
quc
nos
permitan
medir muchasmás
ara
ener
en
cuenta odas as
ongitudcs
eríanecesario l conjuntode
os números eales,
ue
no
seestudia
hasta ." clc l.LJ.P.,
ero
o importanteen a
nseñanza ásicaes
plantear
el
problema y
buscar
sos
nuevosnúmeros
que
nos
ermitan
medir un mayor número dc
lon¡¡itutlcs,)cscubrir
que
no las medimos
88
lOdas
on
los racionales,
pero
descubrir
ambién
que
los decimales
permiten
dar
¡proximaciones
an finas
como
se
quiera
de cualquier
eal
y, por
tanto,
de cualquier
medida.
Figura é.3
ffi
k k. l
Si
para
una
ongitud
, existe
n entero
k tal
que
a
longitud
I
esté
omprendida
entre
k veces
y (k
+
l)
veces
:
ku
< I
<
(k
+
l), entonces
es
gual
a la
longi-
tud
ku
más un
resto:
l :ku+r,conr<u
El
problema
se
educeahora
a
medir
r.
Si
sesubdivide
a unidad
u
en n
partes
guales, ada
una
de
as
partes
obtenidas
tiene
como
ongitud
1/n(u);
a medidade
cada
parte,
con
a unidad u,
es
por
tanto
I
ln .
Así l/n aparece
omo
el
número
que
multiplicado
por
n da
l: n x
l/n
:
1'
Si se
encuentra
n
entero
p
tal
que
r
:
P
x
(l/n)u,
tendremos
:
(p/n)u,
don-
de
p/n
significa
x
l/n
Se
ntioducen
así
algunas
racciones
ue
permiten
nombrar
las nuevas
medidas.
Y entre
las fracciones
que
aparecen
se
hace hincapié
en
las fracciones
decimales
porque
permiten
calcular
más
fácilmente.
b)
En
lugar de subdividir
la
unidad
se
puede
ntroducir
la fracciÓn
p/n
por
Conmensur1cidr¡.
ste
método consiste
como veremos
n
el capÍtulo
9- cn
rc-
petir
r
un
cierto
número de
veceshasta
obtener
una
longitud
que
sea
múltipltt
de
a unidad.
Cuando
esto
es
posible
se obtienen
dos
enteros
n
y
p
sicndo
<n
vc-
ces
D
igual
a
(p
vecesu>,
lo
que
escribimos:
.r
:
P.u,
de donde
se
deducc
/r \
r: l:l u. El significado e n/p vienedadopor: n x p/n : p.\n /
3u 4r;
r:
(3/4)u
Fl--'t
r#
r----rt------------_1
Figura
6.4
F--u--'l
Se
puede
dar
fácilmente a estos
símbolos
p/n)
el estatus
de número
porque
se
pueden
comparar
y
se
pueden
haceroperaciones
on ellos
que prolongan
as opera-
ciones
e
os
naturales. steesel
modelo
que
utiliza
BnOUSSpeu
1976),
para
cons-
truir
los números racionales
los decimales-medidas.
Ahora bien,
para
asociar
a cada
punto
de una
recta un
número,
habiendo
tjado
89
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 47/108
una
unidad
(cualquiera
que
sea
el
método
utilizado
para
crear as
racciones)
ecesi-
tamos
un sistema
de numeración
en
el
que
podamos
codifrcar
os
nuevos
números
que
vamos
creando.
Pienso
que
este
sistema
puede
ser,
en un
principio,
el sistema
binario,
porque
presenta
algunasventajas
sobre
el sistema
decimal:
o
En
el
sistema
decimal,
os
alumnos
calculan
de forma
automática
y
utilizar
el
sistema
binario les
obliga
a
reflexionar
sobre o
que
hacen.
o
En
el
sistema
binario,
resulta
posible
dibujar
cinco
o más
graduaciones
uce-
sivas,
o
que
hace
aparecer
de forma
evidente
a reiteración
del
procedimiento,
mientras
que
en el
decimal
se
pueden
dibujar
a lo
sumo
dos,
y
es
preciso
ecurrir
a
imaginar
el
efecto
de lupa
para
seguir
haciendo
más
subgraduaciones.
o
En
cada
etapa
es más
fiícil
situar
un
punto
en
el
sistema
binario,
pues
sólo
hay
dos
posibilidades,
mientras
que
en el
decimal hay
diez.
o
Los
alumnos
trasladan
iicilmente
al sistema
decimal
os
procedimientos
que
utilizan
en
el sistema
inario.
.
o' f i i
i i r ioT
m¡¡m¡
lo
i o
Figura
6.5.
Subgraduaciones
inarias
de una
recta.
.3. PRESENTACION
A PARTIR
DE FUNCIONES
NUMÉRICAS
Se rata
de
crear una
situaciónnumérica
que
ponga
en evidencia
a necesidad
e
uevos
números
a
partir
de os
conocimientos
ue
ya
tienen os
niños.
Esta orma
abordar los números
decimales
supone
haber trabajado
previamente
algunasen N. Por ejemplo, as funciones , g, h:
[f:n
-+
n
+
a];
[g:n
+ n
- a];
h:n+nxa].
a) Se
plantea
a función
<<dividir or
2>>
+
2)
actuando
sobreN:
0+
l+
2+ l
3
---->
4+ 2
5+
ó+ 3
1
8_)4
9+
Figura .6.
Representación
ráfica
e
a función + 2) en N.
Se
hace
o mismo
para
as unciones
<dividido entre
3>>
+ 3);
<dividido
entre 5>>
(
+ 5)
y
<dividido
entre
10> +
10).Si se
observa
uáles on
os números
que
ienen
imagen
en cada
una de
estas
unciones,
veremos
que
sólo
os
múltiplos de
2 tienen
imagen
por
la
función
<dividido
entre
2>>, ólo
os
múltiplos de
5 tienen
magen
por
la
función
(
+
5)...,
y
únicamente
os múltiplos
de
10 ienen
magen
por
la
funciÓn
(
+
10).
Esta
observación
nos lleva
a darnos
cuenta
de
que
no hay en
los
números
naturales
ingún
número
que
multiplicado
por
2 nos
permita
obtener
1,
3,
5,...
observando
cómo son
las mágenes
e los
números
por
la funciÓn
+2)
nos
preguntaremos:
Cuál
debería
ser
a imagen
de
1, de 3, etc.?
Puesto
que
la imagen de
un
número
par
se obtiene
dividiendo
el
número
por
2
(2
+
2
:
l,
lo
que
se
puede
escribir
212
:
l),
parece
que
deberÍa
haber un
número
que
fuera
a mitad de
l, otro
que
fuera
a mitad de
3, etc.
En
la representación
ráhca
es
posible
hallar
un
punto
que
estéen
a mitad entre
0
y
1, otro
que
estéen
medio de
I
y
2,etc.
Se rata,
por
el
momento,
de
codificar
esios
puntos,
extendiendo
as
propiedades
observadas
n
N,
y
se
obtienen
las si-
guientes
escrituras:
(3+2): (3 /2)
?..-
'
:
(stz)
Podemos ntonces ecir que hemos abricadounos númerosnuevosque nos
permiten
respondera las
preguntas
ue
nos habíamos
planteado.
La representación
gráfica
os ha
permitido
ampliarel conjunto
de
os números
que
ienen
magenen
la función
(+2) y
hemos
visto
que
podemos
ncontrar
en
la recta
numérica odos
los
puntos
que
necesitamos
ara que
cada
uno de
os
puntos que
corresponden
os
números
naturales enga
una imagen
por
esta unción.
Se
hace
o mis mo con
as unciones + 5),
(
+
3), +
l0),
y
seestudian espués
as
funciones
x
10"),
+10'),
actuando
sobreN,
por
ejemplo,
as funciones
x
l0),
(+
l0),
(x
102),
+
102),
x
103),
+
103).. .
Llegados quÍ, el
maestro
provoca
observaciones
obre
a
acción
de estas
uncio-
nessobre
as escrituras.
os alumnosdescubren,
or
ejemplo.en
particular
que
en
la tablade
a función
(+
100)no saben ómo
escribir
as mágenes e algunos
ú-
meros.
Se
proponen
ejercicios, omo
el siguiente,
que
consiste
en completar cuadros
de
las
unciones:
x 1000; x 102;
x 104
Enrrl¡l-,
1982).
9l
0
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 48/108
x1000
-
'72
1430
120
00
i:'
r0
000
ióu
100 00
500
x
10 2
-
78
000
540
x
lO a
4
25
72
r00
00
2 300000
14 0
10 6
104
l3
400
104
l0
1430
ib,
bo
Estas
actividades
permiten
poner
en evidencia
algunas
propiedades
e las fun-
ciones<<multiplicar
or
10n),
y
<dividir
por
lOn>,
or
ejemplo:Los niños
observan
algunas mágenes
e la función
(
x 1000I.
ts
+
10 0
+l
72
x
1000
72000
't2000
r 72
000
72 000
73
000
'72000
72
000000
+
100
00
+ 1000
x
1000
'72
t72
72
73
Si a
diferenciade
dos
números
es 100, a
diferencia
de sus mágenes
s
100
000.
Si
la
diferencia
e dos números
es l, la
diferencia
e sus
mágenes
s 1000.
Si un número
se multiplica
por
1000,
su magen
esulta
de multiplicar
por
1000
la
imagen
del
primero.
Estos
ejercicios
pretenden
que
los
niños
dominen
estas
propiedades
dineales>>,
con el fin
de
que puedan
extenderlasmás
arde a los nuevos
números.
Para ograrlo,
se asociaesta
presentación
situaciones
oncretas
de
proporcionalidad.
Por este
procedimiento
os
decimalesaparecen
tiavés de as funciones
<<dividir
por
10>,<dividir
por
100>,<dividir
por
1000>...
e ntroducen
así os números:
I lL0, 2110,
/10,. . .
61
0,. . .
/100.. .
/1000.. . .
tc .
Por
este
mismo
camino se abordan as opcraciones
e os números
decimales.
Pero
si esta ntroducción
no se
asociaa otras,en
particular
a situaciones
ue
lleven
92
a
la medida
de
magnitudes
continuas,
puede
esultar excesivamente
ormal
y
poco
adaptada
a
la enseñanza
ásica.
POrotra
parte,
aunque
quede
clarO
que
Se
ha tratadg
de enContrar
uevos
númc-
ros
para
intercalar
entre
los naturales,
este
método
no transmite
a
los
niños la
intuición
de
que
entre
dos
decimales
siempre
se
puede
encontrar
otro.
Ni tampoco
dice
nadade
a relación e
os decimales
on
os acionales
ue
se
han construido
l
mismo
tiempo.
6.4.
CONCLUSIÓN
Hemos
visto
algunas
de
as diversas
ormas
de
presentar
a
los niños
os
primeros
números
<<decimales>>.
os contextos
en
que
aparecen
on diferentes
y
cada
uno
de
ellos
permitirá
que
os
niños tengan
mágenes
e
situaciones
ue
dan
un significado
a estos
números,
signifrcado
muchas
veces
ncompleto
y
que
incluso en
algunos
casospuededar lugar a erores. Pero es
posible
que
debamos
aceptar
esta
imita-
ción.
Que
debamos
presentarlos
rimero
de
forma
incompleta(como escrituras on
coma,
por
ejemplo)
y
que
sólo
más tarde
podamos
ntroducirlos
realmente
como
números
decimales
con
todas
sus
propiedades.
No
importa
que
lo hagamos
así,
si
estamos
eguros
e
que
después
odremos
corregir
as concepciones
rróneas
que
hayan
podido
producirse.
6.5.
PISTAS
DE
REFLEXION
Y
EJERCICIOS
l.
Examina
varios ibros de texto
para
os cursos
4.o,
5.o
y
6.o
de
E.G.B. Compara
las ormas
de
ntroducir
los números
decimales.
En
qué
ponen
el énfasis?
Se
ntrodu-
cen
números o escri turas?,
se
aborda
sólo el
cómo se
hace?,
o
¿por
el contrarro
sc
interroga sobre
el
porqué
y
para qué
de
los decimales?
2.
En el sistema
ecimal
de
numeración,
as lracciones
/2,
ll4
y
l/5, tiencn
escrituras
quivalentes
on
coma,
se es
lama
números
decimales.
Cuáles
e
entrc
as
fracciones
12, l13,
/4, l16,
l/5, l l12
pueden
scribirse
on coma
en
el sistema
e
numeraciónde base12?
3.
Sea
el segmento
AB, marcar
0 en
A
y
1
en
B
¿Cuál
es
el número
que
corresponde
X, tal
que
1l
AX
:
AB?
Figura
6.7
4.
¿Cuál
es el
Punto
Y
tal
que
AY
:
l0
AX?
5.
¿Cuál
es
el
punto
que
corresponde
Ztal
que
100
Z
:
AB?
6. Construye
en
la recta
Do, el
punto
al
que
corresponde
el
número
l0l.0l10l
l0l l0l10...
(en
os ejercicios
al 6
los números
stán scritos
n
el sistema
binario).
93
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7.
Materiales
y
ocasiones e
la vidacorrienteen lasque pueden
encontrarse
os
decimales
7.1. INTRODUCCION
Otras
formas
de
introducción
de los decimales utilizan las
ideas
asociadasa
ciertos materiales.En
todas
ellas
se
parte
de la
premisa
de
que
la manipulación
de
materiales
estructurados
avorece
os aprendizajes eseados.Haremos en
este
capí-
tulo una
breve descripciónde
los más
usuales describiremosalgunas
situaciones
escolares n las
que
se
utilizan. Incluiremos,
además,algunas
ormas
de
presentar
los
decimalesmediante situaciones e la
vida
corriente
o manipulación
de materia-
les no
estructurados. "$
7.2. LAS REGLETASDE
CUISENAIRE
Este material,
creado
por
Geonces CurseNnrne,
maestro
de
Thuin
(Bélgica),
empezó
a conocerse n
1952
con la
publicación
del
libro les nombres
en
couleur,
¡r¿ducido
al castellanoen 1952.En 1957
G¡,rrscNo escribeen castellanoAritméti-
ca con númerosen color y extiende a muchos paísesel método de enseñar as
matemáticas
on
las regletas
de CurseNelRr.Parece
que
España ue
el
país
donde
los maestros
omaron con másentusiasmo as regletas
su
papel
en
la
enseñanza
e
bs matemáticas.
''1.2.1.
El material
y
su
funcionamiento
El material
de
Números
en color constade un
juego
de
241 regletas
de colores:
l0naranjas
l0cm
de longitud),20amaril las
5cm),
ll azules
9cm).
16verdes
ccuras
(6
cm),
33 verdes
claras
3
cm),
l2 marrones
8
cm).
25 rosas
4
cm).
50 ro-
ias
(2
cm), 14negras
7
cm)
y
50 blancas
l
cm).
Todas
ienen
un ctntímetro
cua-
95
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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drado de sección. s
posible
onsiderar
amilias
entre as
egletas:
o
Familia
roja: roja,
rosa,
marrón.
o
Familia
azul:
verde
claro,
verde
oscuro,azul.
r
Familia
amarilla:amarilla,
naranja.
o
La
blanca
y
la negra
están
olas.
Representaremos
as
regletas
on los símbolos:
b
para
la
regleta
blanca,
r
para
la roja, v
para
la verde
claro, R
para
la rosa,
a
para
a
amarilla, V
para
a verde
oscuro,n
para
a
negra,m
para
a
marrón,
A
para
la
azul
y
N
para
a naranja.
Las regletas
on
un conjunto
de
objetos
estructurado
de tal forma
que
-conve-
nientemente
utilizado
por
el maestro-
permite
descubrir
algunas elaciones
entre
ellas
que pueden
ayudar
a comprender
as
mismas elaciones
ntre os
números:
e
pueden,
or
ejemplo,
descubrir
as relaciones
e
equivalencia
e color
y
de longi-
ud; relaciones
e orden
de
ongitudes...
s
posible
hacer
ubconjuntos
e
regletas
numerarlos; estánadaptadas ara poder definir con ellas as operaciones e
dición,sustracción,
multiplicacióny
división.
con las regletas,
stas peraciones
mismas
propiedades
ue
en el conjunto
de
os
números
acionales
, por
G¡'rrecNo
las
presenta
omo un <modelo>>
oncreto
de los números
acio-
¿Cómo
ntroduce
Gattegno os
decimales?
M¡'n¡I-AlNr
Gouuno
(
1967)
escribe
res ases
n
a
utilización
del material
de
investigación
mpírica,
esfuerzo
e sistematización
dominio de las
eremos
a introducción
que
hace
Gnrr¡cNo de os números
decima-
exponiendo
revemente
ómo
aplicacada
una de estas ases.
a) Investigación
empírica:
propone
a los niños
que
midan
la regletaverde
claro
la regleta
naranja,
sirviéndose
de diferentes regletas.
De
esta
forma
la misma
puede
escribirse
e diferentesmaneras.<<Se
scribe3/10
cuando se ha
con la
regleta
blanca. Perosi
se
miden
las
dos
regletas
on
la regleta
naranja
escribirá ,3. Esta
noción reemplaza
3110)ll,
y
se ee
cero,
coma res",significa
tenemos regletas aranjas 3/10 de a regleta aranja.>
A continuación,
Gerr¡cNo
añade
que
no
se rata de
una
nueva
fracción,
sino
de escribir la fracción
que
tiene
la
regleta naranja
como
de medida. Y
propone
inmediatamente
a
los
niños
que
escriban<<en
sta
decimal>>
a medida
de cada
una de las regletas
on la regletanaranja.
Para
pasar
a las centésimas
G¡ttr,cxo
propone
emplear 0
regletas
naranjadas
por
sus
extremos,con lo
que
se
tiene una longitud igual
a lO0regletas
Con
esta ongitud
(formada
por
l0
regletas aranjas
nidas
por
sus
extre-
se
pueden
medir
todas as egletas
se
pueden
escribir
así
as
respuestas:
(7;100)
o
7
l00
si es a regleta
egra a
que
semide
y
(23;100)
231100
i es
a
longitud 3 a
que
semide.
Utilizando a nueva
notación
de
os <<números
ecimales>>
100
seescribe
.07
231100
eescribe
,23.
Como 100/100
s
(1;0)
o
ll l
ó l, seescribirá
ambiónasí: 1,0;
1,00;
como
l51100 100/100
l51100,
e
puede
scribir
.15.
Despuésextiende
el
mismo
principio
a
fraccionescuyo
denominador
sea
l0
000.
100
000.
etc.
b)
Esfuerzode sistematización:
as
operaciones
e deducen
de
las operacioncs
con
fracciones.
os
niños
buscan
i
hay otras
racciones istintas
e
as
que
tiencrr
como
denominador
10, 100,
1000, tc.,
que puedan
escribirse
n forma dc
<<núlnc-
ros decimales>>.
Finalmente
os
niños buscan
entre las
fracciones
ue
conocen
aqucllas
uya
familia
de equivalencia
ontiene
una
fracción
que
iene
por
denominador
10,
100,
1000. tc.
No se
puede
hablar en este
caso
de dominio
de as estructurcs,
a
que
se imita
a
hacer
as operaciones
e adición,
sustracción,
ultiplicación
divisiónde
decima-
les
obteniendo
as
reglas
para
operar a
partir
de
las operaciones
on las
fracciones:
<Los
númerosdecimales
dice
a
los niños- tienen
as mismas
propiedades
ue
los números
enteros;basta
saber
dónde hay
que
colocar
a
coma...>>
7.3.
BLOQUES
ARITMÉTICOS
MULTIBASE
DE
DIENBS
7.3.1.
Descripción
el
material
Estematerial
-orientado
hacia el concepto
del
valor de
posición-
se
presenta
en cajas,
correspondiendo
ada
una de
ellas a un
valor
diferente
de
la
base'
Por
ejemplo,
en
la caja
para
la
base
cuatro aparecen
as
piezas
representadas n
la
Fig.7.l.
Existencajas
para
as bases ,
4, 5
y
10.
f f imff in
FiguraT.r
W
Las
piezas
e
una cajason
prismas
ormados
or
cubitos
y
reciben
os nombres
de unidades,barraso filas, placasy bloques.
El volumen de
las
piezas
sucesivas
e una
seriecrece
en
progresióngeométrica
cuya
razónes
a base.
Por ejemplo,en
la caja
para
a base
,
los
volúmenes
e
las
piezas
erán:
,4,16,64. En cada
ajase
prevé
el
númerode
piezas
uficientes
ara
que
os niños
puedan
esolver
os
problemas
ue
ellos
mismosse
planteen.
DIsNss
propone según
el
principio
dinámico
de construcción
e
os concep-
tos
matemáticos-
que
los
niños
ueguen
ibremente con
el
material antes
de orga-
nizarjuegos
estructurados.
Durante
esta ase
os niños adquieren
experiencias
obre
las
piezasy
sobre
as relaciones
ue
existen
entre ellas.
Para
DIeNrS, os aprendiza-
jes
que
los niños
hacen en esta
fase, aunque
son
implícitos,
llevan al concepto
matemático
que
se
quiere
ransmitir:
<<Esmpensable
ue
un
periodo
breve
de
uego
no desemboque n
una experiencia
que
lleve
más tarde a
la
estructura
que
se
va
a
estudian>
DIENES,
943.Traducción
1970).
En una segunda
ase
DlrN¡s
propone
uegos
ue
levena
os
niños
a comparar
l
número de
piezasque
cada
uno tiene
(y que
ha
podido
obtener
por
tiradas
con
fi:
b
$
'i.
&
tr
$
i
f
97
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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dados,
por
ejemplo).
Para
comparar
endrán
que
distinguir
as
unidades,
arras,
placas
bloques;
intentar
cambiar
odas
as
piezas or
el número
equivalente
e
unidades lo que
exigiria
más
bloques
nidad
que
os
que
hay
en unacaja-.
Será
necesario,
ues,
comparar
entre sí
os
bloques,
placas,
barras
y
unidades
después
e
haber
hecho
os
cambios
posibles
bteniendo
l mayor
número
posible
de
bloques,
de
placas,
tc.
Los
niños
comprenderán ue
tiene más
madera
el
que
tiene
un
número
mayor
de bloques.
cuando
los niños
han
asimilado
a
estructura
del material,
Dr¡N¡s
propone
Juegos
structurados ue
piensa
pueden
levarles
las
cuatro
operaciones
ritméti-
cas
de adición,
sustracción,
ultiplicación
y
división.
La mayor
parte
de
los niños -después
de
haber
ugado
ndistintamente
on
todas
as
cajas-
descubren
or
sí mismos
el
papel
"sp".ial
de la
caja
de base
10.
<Cuando
an
escrito,
or
ejemplo,
2
bloques,
placas,
barras
g
unidades,
om-
prenden
ue
en realidad
han
escrito
2
miles,
6 centenas,
decenas
g
unidades.
s
decir, ó48
unidades.>
Buscando
n
paso
máshacia
a
abstracción
r¡Nes
propone
abricar
otrosmate-
rialessegúnel mismo principio. para ello es suhciente isponerde unas cuantas
fichas
e
cuatro
o
cinco
colores.
e
decide,
or
ejemplo,
ue
5 fichar
amarillas alen
tanto
como
una verde,que
cinco
verdes
e
pueden
cambiar
por
una roja
y que
cinco rojas
equivalen
una azul.
Para
hacer
a
adición
de
dos colecciones.áe
cñas
se decide
que
primero
se
obtenga
l mayor
número
posible
de unidades
e orden
superior
es
decir,
cambiando
inco
ichas
de un
color
por
otra del
color
superior).
DIEN¡s
afirma
que
a
mayor
parte
de
os
niños
escapaz
e
abstraer
a estructura
el
ejercicio
on
sólo
estos
os modelosque,
aunque
muy
distintos
desde
l
punto
de
vista
perceptual,
epresentan
l mismo
concepto.
1.3.2.
Introducción
e os
decimales
on
os
bloques
multibase
Sesupone
ue
seha
utilizado
ya
estematerialpara
nstalar
el significado
e os
e numeración
se
ecurre
ambién
a
él
paraplantearse
uéuas
ituaciones
e números
con
coma.
La
presentación
e
estosnúmeros
consiste
n
codificar
una
cierta
cantidad
de
omandopor unidadel bloque,queesun cubode 10cm de ado;o la placa,
es a
décima
parte
del
cubo;
o
la
barra,
que
es,
a su
vez,
a
décima
parte
de a
Se
pregunta,
por
ejemplo,
a los
alumnos
cómo
escribinan
3Tcubitos
si se
ue
a
unidad
sea
a
barra
de l0cubitos.
Se epresenta
l resultado
rimero
un
cuadro
de valores
similar
al utilizado
en el sistema
e numeración
de-
137
cubitos
13
barras 7
cubitos
I
placa
3
barras 7
cubitos.
Si sedecide
ue
a
unidad
sea a
barra,
el número
seescribirá
13,7,
ue
significa
barras
7
cubitos.
El
cubito
es
asíun
décimo
de a
barra.)
Pero
si
ahora
se
decide
que
a
unidad
sea
el cubo
grande,
l número que
repre-
estacantidad
es
ahora
0, 37,
que
se
puede
eer:
0 cubos,
placa,
3 barras
y
cubitos.
Estas
diferentes
escrituras
epresentan
a
misma
cantidad.
Las
escrituras
son
8
distintas
orque
en cada
caso
se
ha decidido
que
la unidad
seadistinta,
pero
cl
número
de
cubitos
sigue
iendo
el
mismo.
Esta
orma
de
haceraparecer
a décima,
a centésima
la
milésima
pucdc
scr
interesante
i se
presenta los niños como
un
problema
que
hay
que
resolvcr:
l
problema
e
escribir
el
númerode
cubitoscambiando
a
consigna
ue
dctcrnrirllt
lt
unidad.
Pensamos
ue
si se
utiliza
esta
orma de
introducir
diferentes
scrituras
'otl
coma,
os
niños deben
manipular
el material,
hacer
os cambios
neccsarios
rttlt
pasar
e
una escritura
otra, enviar
mensajes
on distintas
odificaciones
intcr-
pretar
os
mensajes
nviados
por
otros
niños, utilizando
para
ello el
cuadro dc
unidades
frases omo
<<damena
placay
37
centésimas
e
placo, <un
cubo
y
37
barras>>,
tc.
De esta
orma,el
material
onstituye
arte
de
os datos
del
problema
ue
esuel-
ven.
No parece ue
el
solo
hechode
ver os dibujos
en el
libro de texto
pueda
ser
suficiente
ara
que
el
niño resuelva
l
problema
de
extensión
e
a numeración
e-
cimal.)Se abandonaestaactividad cuando os niños seancapaces e interpretar correc-
tamente
os mensajes
ue
ellos se
envían
y
los
que
les envía el
maestro,
o
que
significa
ue
-en
esta
situación-:
o
Saben
que
hablarde décimas,
entésimas
milésimas
iene un
sentido
que
depende
e
o
que
se
haya lamado
unidad.
o
Han experimentado
ue
para
codihcar
una
misma cantidad
se
pueden
utili-
zar distintas
escrituras.
o
Han adoptado
a escritura
on coma
para
señalar
a
posición
de
a unidad.
o
Han
utilizado
el
vocabulario
<décimo,
centésimo>,
milésimo,
en un
sen-
tido
muy concreto.
Dentro
de este
mismo contexto
eorganizan
ambién
actividades
ue
dan
lugar
a
operaciones
e
adición,
sustracción
multiplicaciÓn
or
un entero.
Los bloques
multibase irven
así
para
epresentar
l
proceso
e
formación
dc
las
unidades
ecimales,
ero
de
manera
muy
limitada,
porque
no es
ticil
imaginar
a
décima
parte
del cubito,
ni su
centésima
milésima
parte'
7.4. ÁB,{COS
7
4.1.
Descripción
<Un ábaco
es
un cuadro
de
madera
con
alambres
orizontales
o
verticales)
paralelos,
unas
bolas
_agujereadas
ue
cofren
a
lo
largode éstos,
sado
para
hacer
iálculos
aritméticos.>
staes
a definición
de ábaco
que
encontramos
n
el diccio-
nario
Larousse.
Pero si
queremos
saber
más
sobre
el ábaco
aprenderemos
ue
ha
sido
un
instrumento
mportante
en
a
historia
del cálculo.
Su
nvención
correspon-
de a
los iempos
más
emotos,
l momento
en
que
os
hombres mpezaron
contar
abandonando
a
práctica
de
las
muescas
una
por
cada
unidad-
y
tuvieron
a
ideade
hacer
agrupaciones
iversas
contar
unidades
grupos
e
distintos
rdenes.
99
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 52/108
Los
ábacos
no
sólo
sirvieron
para
contar,
sino
también
para
hacer
cálculos
muy
complicados;
ún
hoy
no
se
ha
perdido
el
uso
der
ábaco
en
uigr;o, puÍr.s
como
china,
R-usia
Japón,
donde
es
osible
todavÍa
encontrar
comerciantes
ue
hacen
sus
cálculos
on
un
ábaco...,
tienen
una
al
habilidad
para
calcular
on
este
nstru_
mentoque
legan
ncluso
a
hacer
as
operaciones
an
deprisa
omo
con
una
calcula_
dora.
Cuenta
G. Irna'
(19g5)
en
un
iibro
sobre
as
cifras
ecientemente
raducido
al
castellano
1987)
a
siguiente
nécdota:
Llegó
a
haber
en
Japón
un
auténtico
orneo, ue
enfrentó
r
aponés
Kiyooshi
Matsuzaki,
campeón
e
soroban
e
ra
ofcina
a/ ilirr"í
iü'Mi;ir;í;i"
de
Correos,
contra
r
americano
homas
athan
wóods,
ordado
"
,rei"¿i
liiii'de
ta
240
sec_
ión
financiera er
cuarter
Generar
e
ras
Fuerzas
r.á.¿o,
ulÁ-
ln
Japón,que
había
sido
nombrado
*,ir
"tptno
opiiádo,
de atcutailla,
"t¿rir¡iá,
der
ejército
amer¡cano
n
Japón>.
uvo
ugar
n
noviembre
e 1945,
iri¿,
árr"r"io
ra
segunda
Guerra
Mundiar.
os.
ombrel
er
generar
ac
Arrhur
se
esforzaban
n
demostrar
;:rl:í"*t^
vencidos
a
superioíidad
de
tos
método,
Áidi*ii
L
origen
occi_
Erpartidosedesarroró ncinco iempos ue rogresivamenteban eniendo
pe_
actones
rttméticas.
ás
complicadas.
l
japonés con
su
marcador
e
bolas_
anó
4
a I,
con
yarios
rrores or
parte
del
vencido.
Actualmente
s ,ácir
ncontrar
n
er
comercio
rgunos
moderos
e
ábácos ue
se
utilizan.en
a
escuera
también
como
curiosidad
n
¿uu"o
"rrino
que-io
se
ut¡liza
en
occidente.
Los
ábacos
scolares.suelen
star
ormados
por
un
cuadro
de
madera
on
alam_
bres
horizontales
verticares
bolas
móviles,
que
son
con
frecuencia
e
colores
diferentes.
e
esta
orma,
se
pretende
istinguir
os
distintos
órdenes
e
unidades
por
el lugar
del
alambrey por
el
color
de ras
olas.
por
ejemplo,
0
bolas
azules
n
la
primera
ila
pueden
ambiarse
or
una
bola
amarilla
en
a
segunda
ila;
l0
bolas
amarillas
e a
segunda
ila
pueden
ambiarse
or
una
bola
azulen
la
tercera,
así
sucesivamente...
Más
nteresantes
ara
epresentar
l
principio
de
posición
son
os
ábacos
n
los
ue
as
bolas
son
odas
der
mismo
coloiy
sólá
cambia
su
posición
en
as
rlas.
or
ejemplo'
el
número
1328podemos
epresentarlo
on
ocho
¡olu.
*
iu
p¡mera
fira
de
a
derecha,
os
en
la
segunda,resen la tercera una en la cuarta.
I
3
2
I
Figura7.2
Se
suelen
tirizar
estos
bacos ara
epresentar
os
números
como preparación
a a
numeración
scrita.
or
eilo,
. .onréruun
as
mismas
onvenciones
n
el
orden
de representaci Ón
e as
unidades,
unque
on
f.Lcuencia
os
niños
ienen
dificulta-
des
cuando
e
es
presenta
n
ábaco
hoiizontal.
Sin
embargo,
rt.
o,"i.¡"1
se
presta
a favorecer
a
comprensión
e
ros
agrupamientos
e
distiritós
.¿"n",
qu,
podnan
representarse
gualmente
de
derecha
a izquierda
o
de
izquierda
a
derecha si
el
r00
ábaco
s
vertical); de abajoa
arribao de
arribaa abajo
si
el ábaco
eshorizontal).
y
no deberÍa
erexclusivamente
n
paso
a la escritura
onvencional.
El ábaco
el marcador on
bolas
chino esun
instrumento
ue
se
prescntil
olrt()
un
bastidor
ectangular e
madera.Estácompuesto
or
un determinado
útllcro
lc
barritas
palillos
sobre
os
que
hay ensartadas
iete
olas
móviles.Una barra
ralts-
versal
divide
el
marco en dos
partes,
de
forma
que
en cada
palillo
qucdan
cirlt'tt
bolas
abajo
y
dosbolasarriba.
Las
bolas
pueden
acercarse
la barra ransvcrsal.
as
de
abajo
moviéndolas
acia
arriba
y
las
de aniba
bajándolas
acia a barra.
'ada
palillo
de este
ábaco orresponde
un
ordendecimal
y
seadmite
a convención
c
que
un
palillo
situado
a zquierda e
otro
posee
n
valor diez
veces uperior este
último.
Figura7.3
7.4.2. Introducción e
decimales
on ábacos
Los
distintos
ábacos
orman
parte
de
los modos de
representar antidades
dis-
cretas
ue
os niños conocen
y
se utilizan
ambién
en el
momento de extender
el
principio
de
a numeracióndecimal
a otros
números.
Sabemos
ue
asadiciones
multiplicaciones
mplícitasa
la
escritura
ompren-
siva
de
os númerosenteros
onuna de
ascausas
rincipales
e a dificultad
que
os
niños
ienen
para
aprenderlos.
stas ihcultades
eben
estarsuperadas
ara
poder
ordenarlos,
acer
operaciones
on ellos
y
para
planteary
resolver
roblemas uc
tengan
entido on
estos
úmeros.
Por ello,antes e
niciar
a extensión cl
sistenra
de
numeracióndecimal
a números
menores
ue
a
unidad,
el
maestro cbc
ascgtr-
rarse
de
que
los niños dominan
el sistema e
numeracióndecimal
para
ntittrcrtls
enteros,
s
decir,
que:
o
Son
capaces e
nterpretar
escrituras omo
as
siguientes:
9653:
(9x
1000)+(6x00)+(5x
0)
+3
.
Saben
asar
de
a escritura
olinómica
a
la escritura
intética e un
número
entero.
.
Saben
acerdiversas escomposiciones,
or
ejemplo,
9653
9000+600+50+3
:
9600+53
9650+3,
etc.
Por interpretar coffectamente
as
escrituras
e entiende
que
hayan adquirido
el
significado
e a numeración
de
posición:
o
Saben
gruparen
paquetes,
uando
as cantidades
on
pequeñas.
o
Saben
que
el
valor
que
se da a cada cifra
tiene un
significado
relativo a
las
cifras
más
próximas
a ella,
o
que
es
permite
dar
a
cada
ugar
diez
veces
l
valor
atribuido
al
lugar
que
e
sucede
la décima
parte
del
valor
que
e
precede.
10 1
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 53/108
o
saben
que
a
unidad
es a
única
posición
que
tiene
signifrcado
ndependiente-
mente
de los
otros lugares.
Los
que
eligen
estemodo
de introducción
de los
decimales
uelen
empezar
por
la
lectura
de mensajes
odifrcados
en ábacos
conocidos,
por
ejemplo:
<el
día
g
de
enero
de 1956
nació
el
padre
de mi
amigo,
¿cuántos
ñoscumple
su
padre
en enero
de 1987?>.
os
números
1956
y
1987
os
representan
e
a
manera;iguiente:
l l l l tJ l l
| | | |
HJI
et ¿;o
-l-l-Lde
Ene¡o
e
.l-ll-lno.¡¿
mí
podre
¿Cuo'ntos
ños
cumpte
en Enero
det
oñ o
Figura
7.4
Luego
proponen
a los
niños
que
se ntercambien
mensajes
aciendo
ntéi:venir
ste
ipo
de representaciones.
Otros
problemas
ue
se.plantean:
r
¿cuáles
son los
números
que
pueden
representarse
n un
ábaco
de
cinco
arillas
utilizando
tres f,rchas
olamentey
colocándolas
odas
en la
misma
varilla?
situamos
as
unidades
en la
primera
varilla
de la
derecha.
observarán-que ueden
epresentar
os
números
3,
30,
300,3000 y
30000,
l lugar
donde
decidamos
olocar
as
ichas.
o
¿Qué
números puedes
epresentar
n el
mismo
ábaco
colocando
3 fichas
en
dos
en
otra?
l+ l r l l l l t | | r l
l l l l l l l l l l l l . l l l ll l t l l l l l l { i l¿ --L
J2
23
32 0
32 0
0
Figura7.5
Darán
resultados
omo
32,23;.1Ae,230,
3200,2300,
0
002,20003,
etc.
Estos
y
otros
ejercicios
imilares
pueden
amiliarizar
a los niños
con
el algoritmo
ecimal,
hasta
hora
utilizada
sólo
para
escribir
úmeros
enteros.
A
continuación
se
plantean
problemas
adaptados
los
niños
cuya
solución
exija
uevos
úmeros.
Por
ejemplo,
problemas
encillos
e
división:
se desea
n el
ábaco
el resultado
de repartir
3 entre
2.
¿Cómo
podremos
hacerlo?
Se
puede
decidir
representar
as
unidades
n
la
segunda
arilla
-empezando
la
derecha-
y
tendremos
res ichas
en
estavarilla;
ambión
se
pueden
epre-
on
dos ichas
n a varilla
de as
unidades
l0 fichas
n a varilla
situada
a
derecha
de
las unidades.
Hemos
descompuesto
unidades
en dos unidades
y
dicz
décimas.
s
ácil ahora
hallar a mitad
de
(2+
l0 x
0,1)
que
seráuna unidad
y
cinco
décimas.
En un
principio
no se escribe
con
símbolos, sino
que
se hará co¡ cl
material
y
los niños
dirán
lo
que
han
representado
lo
que
significa.
| | l l l {
| |= | t l
| i l | t t
Figura 7.6
2.10 01
¿Qué
epresentarían
res
ichascolocadas
la derechade
a
varilla en
que
hemos
representado
as unidades?
os niños
verán
que
siguiendo
el
mismo
procedimiento
que
antes,.una
rcha situada
a la derecha
de otra
representa
iempre
a décima
parte
de
lo
que
representa
a anterior.
En este
caso el
número
representado
erá
<fres
décimoy>
para
decidir
bómo
representarlo
asta
observarel
resultado
del ejercicio
anterior 3, 30, 300,...Y adoptar una escrituraque permita situar también respecto
del
lugar
de las unidades
os lugares
situados a
la derecha
de
las unidades.
La
introducción
de
la coma
puede
aparecercomo
una
convenciÓn
que
nos
permita
distinguir
el lugar de
las unidades:
escribiremos
0,3
para
significar
que
no hay
unidades
las
res
hchas
estánen el
lugar
nmediatamente
a
la derechadel
lugar de
las unidades.
Figura 7.7
I l l
t l t l
l l l l
n' ?
¿Y
una
hcha colocada
n
a
segunda
arilla
a
la
derecha
e a de
las unidades?
ll _l l_l
igura 7,8
0'01
0'0
0
1
Hemos
epresentado
l
número 0,01.
¿Y
una
ficha colocada
en la tercera
varilla
a
la derecha
de
la
de
las unidades?
Hemos epresentado
l
número 0,001
Se
puede
seguirel
procedimiento
que
no ofrece
ya
ninguna
dificultad,
los
niños
pueden
divertirse
escribiendo
un
número de
muchas
formas,
ya
que
una
hcha
puede
siempre
sustituirse
por
l0 de
la varilla contigua
a su derecha.
Y
podrán
intercambiarse
mensajes
numéricos
que
deben
descifrar,
representando
úmeros
colocando
ichas a
la
derecha
y
a la izquierda
del
lugar de
las
unidades'
10 3
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 54/108
Se
ve
que
no
tiene razón
de
ser el limitarse
a sólo
hablar
de milésimas
porque
el
procedimiento
de representación
na vez
comprendido
es el mismo
hacia
a
dere-
cha
que
hacia
a
izquierda,
y permite
representar
números
o muy
grandes
hacia
la
izquierda-
o muy
pequeños
hacia
la
derecha.
3
t 't
Figura
7.9
Es
interesante
combinar
esta forma
de encontrar
los
primeros
decimales
con
ctividades
e medida.
Por
ejemplo,
os
niños
disponen
e una
cuerda
de
l0
m
de
que
se
considera
a
unidad;
pueden
cortarla
en l0
partes
guales
y
cada
será
una
décima
(0,1);
a su
vez,
pueden
dividir
el metro
en l0
partes
guales,
lo que puedenservirsede la regletanaranja (regletas ursrNllne) o sencilla-
de una regla
dividida
en dm.
un
dm será
aquí la
centésima
arte
de la
0,01).
Se es
proponen
cuestiones
el tipo:
é
¿cómo
representaremos
dm
en el
ábaco?
¿En
qué
varilla
colocaremos
as
observarán
que
tienen
que
decidir
qué
varilla
representará
as
unidades
caso l0
m-:
I
m se representará
n la
casilla
contigua
a la
derecha
y
dm en la
contigua
a esta
última.
t0mlm
dm
Figura
.1 0
Con ayuda
del cuadro
de
valores que
se ha
utilizado
en la
numeración
decimal
Ésta
es a
situación
lásica
ue
suele
parecer
n muchos
ibros
de exto,
consiste
el
cuadro
de
valores
que
ha
servido
para
escribir os
números
naturales
el sistema
decimal,
y que
se utiliza
ahora
prolongándolo
hacia
la
derecha
del
de las
unidades
para
representar
nidades raccionarias:
écimas,
centésimas,
tc.
Nombre
de
os
lugares
Centenas
Decenas
Unidades
Décimas
Centésimas
Valores
de los
lugares
10 0
100
l0x 0
l0
l0
l0
I
I
I
t /10
0, 1
I
t0
1/
00...
0,01
l/ l0x 0
7.5.
MTNTCOMPUTADOR
E
PAPY
7.5.f
Descripción
El minicomputadorde
Pnpv es un ábaco
particular
que
combina
el sistcnrl¡
decimal on
el sistema inario.Sometido
unas
determinadas
eglas
leyes.
crrni-
te numerosas
epresentacionese
números
naturales decimales.
unciona
colrrrl
un
pequeño
ordenador, on
el
que
se
realizade
manera mecánica
o
quc
cn cl
cálculoes automático.
Propicia una
situaciónexcepcional
e
aprendizaje
or
las
múltiplesactividades e cálculo
de
razonamiento obre
os cálculos
uepermite.
El
minicomputador consisteen
placasque
siguen
as
reglasde la
numeración
binaria
(en
cada
placa)y
decimal
(de
placa
a
placa).
AsÍ,
para
representar
os núme-
ros
enteros
en
el sistemadecimal-
las
unidades
se colocan
en
la
primera
placa
de a derecha,
as
decenas
n
a
segunda,
as centenas
n
a
tercera...,
asÍsucesiva-
mente.
MMEff i
FiguraT.rr
|
| |
|
| |
| | l ' le l
Cada
placa
está dividida
en
cuatro casillas,
cada una
de un color:
blanco
(b)'
rojo
(r),
rosa
R)
y
marrón
(m).
Estoscolores
son
os
correspondientes
las regletas
de
Culs¡NtlnE
para
epresentar
los números
1,2,4
y
8,
respectivamente.
Cualquier
distribución
de
fichas sobreel
minicomputador
representa n
núme-
ro.
Para
reducir una distribución
a
su formación
-distribución
que
permite
la
lectura
nmediata del
número- basta
aplicar
las reglassiguientes:
R,:
Dos fichasen
a casillablanca,
equivalen
una
ltcha en
la
casilla
oja'
H=H
FiguraT. l2
I l ' l
l ' l
I
Rr: Dos hchasen a casilla oja equivalen una ficha en la casilla osa.
l-Tl=E
FieuraT.t3
"l I
I
I I
Rr:
Dos frchas n
la
casilla
osaequivalen
una
en la marrÓn.
TTi=M
FiguraT.t4
| I | | | |
Ro: Una
hcha en
la casilla oja
y
otra en
la
niarrón
equivalen
a una
ficha en la
casilla lancade
a
placa
siguiente.
10 5
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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maestro
o
hace,
argunos
iños protestan
iciendo
que
ahoraya
no
tenemos
sino
0 -comportamienro
interesante
orque
significa
;;
;;;
;;;;;.;;ñ;
bien que
ñadir
un
cero
a un
número
entero
o
muttlptica
por
l0-.
surge
ra
necesidad
e
onerse
e
acuerdo
enconfrar
un
criterio
qu.
r.pu."
de
alguna
o.-uiu
placa
que
epresenta
as
unidades
e
la
nuevaplaca
que
hemos
añadido
y
que
nos
permitirá
resolver
el
problema
porqu.e
podrembs
epresentar
a
décima parte
de
los
números
ue
repfesentamos
n la
placa
de las
unidades.
Se
suele
oroiu.-"r"
ti"*
amanlla
:^1:.."'io
color-
para
hacer
esta
eparacián.'si
o
se e
ocurre
a
ningún
alumno
srempre
que
ro
hemos
utilizado,
a
idea
ha
nacido
en a
crase-1
iüulrr.o
pu.o.
sugerirla
irecta
o indirectamente,
eniendo,
or
ejemplo,
a vista
una
praca
upre_
entaria.
na
vez
colocada
a
nuevaplaca,
ós
niños
extienden
spontáneamente
l
rincipio.de
osición
y
las
eglas
e
vi.c.
h;";;
i;
derecha
aparece
l
número
de
a
anera
iguiente:
m i-n rnlr.rr rTr
trr=t-1.¡=I lEl =ffi
3:(2.1):
3x j
:
Z,l
. (dg.0,2)=2,1.
2,A?, .2x0'2
FiguraT.2l
I'a
escritura:
rl2)
x
3
=
1,5
es
aquí
nmediata.
Los
niñosproponen
encontrar
un
símbolo
que
epresent.
ll
tt*
u-u.ilru,
y
como
odos
han
visto
escritos
úmeros
on
coma,
suele
aparecer
icilmente
esta
onu.n.ión.
Si
no
,u.gi..u'r"rpontánea_
ente,
el
maestro uede
ntroducirla
diciendo
que
para
separar
as
unidades
nteras
as
decimales
e
pone
una
coma.
Este
método
permite
hacer
aparecer
muy
f,icilmente
a
escritura
con
coma:
os
úmeros
nuevos
que
han
aparecido
.
"on'po.tun
igual que
",
v"
""*"idos;
y
ros
iños
calculan
on
ellos
con
rapidez.
otra
ventaja
es
que
as
escriiuras
quivalentes
o
presentan
inguna
diñcultad.
ejemplo,
i
el
maestro.coloca
na
;".uu;i;;u
vacÍa
a la
derecha
e
a
placa
de
as
décimas,
os
niños
escribirán
l/2)
x:
:' i.jO.
1 ^ Tl-l
7.'=l-T¡
Figura
7.22
{
*
&
t
f
.t
:r
$
t
&
*,
#
;
f
g
tr
E
€
ü
#
h
g
' ,
jj
t'
:
7.6,
INTRODUCCIÓN
DE
LOS DECIMALES
CON
LA CALCULADORA
DE BOLSILLO
La
calculadora
ha
podido
servir
para
nterrogarse
or
primera vez sobre
a
signi-
licación
de esos
números
que
aparecen
scritos
on
un
punto,
debido
a
quc
llts
calculadoras
tilizan
la convenciÓn
e
los
países
e
lengua
nglesa.
Hay
muchas
formas
e
organizar
ctividades
pafir
de
a calculadora.
or ejemplo.
ucdc
scrvir
para
explorar
l
mundo de
esos
úmeros,
bservar
ómo
se
comportan
rsc
sum¿rn'
restan,
multiplican
o
dividen.
Puede
observarse,
ambién,
qué
números
divididos
por
dos
dan
un
número
cntero,
y
cuáles
dan
un
número
con
coma
o
número
decimal.
La significaciÓn
inmediaia
que
aparece
or
este
amino
es
a de
concebir
el
número
decimal
como
resultado
e una
división.
A
partir
del
primer
contacto
con
estos
números
pueden
organizarse
ctividades
y
juegos
que
lleven
a
nombrar
o
repr€sentar
números
decimales.
La calculadora
OfreCe uy prontoa losniñosunosnúmerosqueno sonenteros queaparecen' n
la
pantalá,
escritos
con
un
punto. El maestro
puede
utilizar,
si
lo desea,
sta
eali-
dai
que
está
hoy al
alcance
de
todos
os
niños
para
hablar
por
primera vez de
los
números
ecimales.
Si se
ha dado
a
los niños
la
posibilidad de trabajar
con
la calculadora
para
explorar
propiedades e
os números,
para
hacer
conjeturas
para
verificar
resulta-
dos;
si
han aprendido
a interrogarse
sobre
as cosas
nuevas
que
aparecen'
muy
pronto
se
encóntrarán
rente
a números
que
se
escriben
on
un
punto.
Por ejemplo,
ii
r.
propon.n el hacer
a división
(l
:2) aparece
n
la
pantalla
0.5,
que
es
nuevo
para
ellos
porque
no es
un
número
entero.
A
partir
de
esta
situaciÓn
uede
el
maestro
roponer
a
los niños
actividades
ue
permitan
dar
un
sentido
a
los núme-
ros decimalés.
i
los niños
han comprendido
bien
el sistema
e
numeración
deci-
mal
para
os enteros
ncontrarán
ronto
un significado
ara
0,5
y
podrán
obtcncr
este
mismo
número
a
partir
de otras
muchas
divisiones,
o
que
es
levará
a clcsctr-
brir
escrituras
equivalentes:
(18:3ó)
(8:
16)
(9:
18)
= (2 :4) :
'.
:0,5
La utilización
de
a
coma
o el puntoaparece omouna convención eescritura.
Se
pueden
proponer
distintás
formas
de
obtener
con
la calculadora
0,1;
0,Ol,etc.;
y
también
puede
ser útil
la calculadora
ara
consolidar
as
reglas
de
funcionamiento
el cuadro
de
a
numeración
de
a
codihcaciÓn
e
números
on
coma.
Una
utilización
adecuada
e
a calculadora
puede
amiliarizar
muy
pronto
a
los
niños
con
los
números
decimales
con
muchas
de
sus
propiedades'
pero
si se
ha utilizado
para
descubrirlos
es
necesario
aportar
otras
situaciones
para
que
estas
odihcaciones
dquieran
el estatus
de
número
y
puedan
servir
para
resolver
problemas.
Es evldente
que
este
poderoso
nstrumento
que puede
acilitar
los aprendizajes
numéricos
debe
utilizarse
acompañado
de
cálculos
escritos
y
mentales'
No debe
utilizarse
en
estas
edades
a calculadora
para
evitar
el
hacer
cálculos,
sino
para
poder hacer
más,
para
poder
investigar
propiedades
verificar otras:
en
una
pala-
A
partir
de
este
momento
se
pueden
plantear
operaciones
on
los
números
sin
problemas
oncretos.
e
puede,
oiejemplo,
pedir
que
representen
/4
e
l,
y
obtienen
sin
dificultad
a
escritu.á
js,
,.
puede
pasar
a nombrar
estos
uevos
números'
a
operar
con
ellos.
Todas
as
reglas
el
M.C.
funcionarán
como
os
enteros.
Con
este
método
aparecen
uy
fácilmente
os
números
,1,
0,01,
0,001,...
,4 ,
etc', y
se
puede
calcular
"on
"rto, "ñ;.;;
decimares
ún
antes
de
que
los
sepan
escribirlos.
otra ventaja
ue
ofrece
l
minicomputador
s
que
as
descomposiciones
e
estos
on
nmediaras.
or
ejemploj0,g
+
0,2
:
l;
0,2
+
0,2
:
g.4...
8
-i
10 9
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 57/108
:'[*lox'i"::3,?:,ffiXffi";,".*:de
os
rumnos.
n
er
apÍturo
proponemos
Es
preciso,
in
embargo,
"n.."n
.u.nta
que_con
a
calculadora
o
obtenemos
l
onjunto
de
todos
os
números
¿""i-ular,"Jiro
únicamente
una
(<pequeñu,>
arte
de
,?;
ll,,ll#
l|
f
#H.ff":i:i?
j:l**.1:''
rre
en
as
aractensrica,
p."iu-
sobre
las
reglas
de
la
a¡tmetica
"o"lu'.ul."ladora
puede
reerse
on
interés
el
;Í:':l:.::*:3:ü:l'r?l?flo'u'
iu'üiái
"
"quiuo"an,,
en.
rúne
re80),
er
o
Los
ntimeros
de
ra
carcuradora
no
se
distribuyen
de
orma
homogenea
en
ra
ecta
numérica:
esfdn
muv
concentrados
treaeao,
a"o;';:r;';
dispersando
a
f,:f i"Xlíy'atejamos1¿
o
i
r"""í
otra
irección,-náríi
iío*o,
etnúmero
.u,,,,,"{i) 1,,nii:Kí:í:,:;:;í;í:::;;:,"ij ,i:; #,,,runodetos
';;i'##,";5:;:;::;;"de
números
a
iatcutadoia
l;;;',;;;;;'
)t
,ú*,,o
o
to
o
Er
conjunto
de ros úmeros eracarcuradoraoescerrado araraadiciónyaue a sumadedls
n(ryeros
¿"
n
*liüo"ra
puede
uperar
us
ímites.
,",l,fflt/:simpttJicación
d"
ta
simá'de
:,i;;;";;;';'ríiíí|,*ar*os
obte_
.
La
suma
-de
n(ytergs.de
a
calculadora
o
es
asociat¡va.
,r:,"';#:" :'l:',:;#'"
''
n'i*"iol
ñ'b
'o¡';i";;;';;';
asociativa
d¡,t,¡bu-
Aunque
es
conveniente
ue
el
maestro
onozca
ien
as
imitaciones
e
a
calcu_
adora.
s
seguro ue
éstas
parecerán
u.un.,ania
n
os
cursos
n
que
se
ntroducen
os
decimales
n
la
escuera-'El
,r,n.io
¿l'i .,rur.,
con
el
que
se
puede
ugar
es,
lllrTlill:
suficienre
ara
os
cárcuros
ue
os
arumnos
muchos
durtos
ecesita_
7.7.
OTROS
MATERIALES
Y
SITUACIONES
DE
LA
VIDA
CORRIENTE
"rái?x#ilJj::::¿ilt"*n
la ntroducción
e
os
ecimates
on
a
utilización
e
ü¿¡,Juáo
lliü'e::T*il?filffii'*:;T::::*j:;:*l';iljl*
uméricas.
Muchas
de
esras.
iiuaciot"r;;;;;lacionadas
con
la
medida
y
han
sido
ratadas
en
el
libro
EI
problema
¿,
to
^il¡Ai,-ya
.itaCo.
También
existen
leunos
uegos
en
er
comertio.(Jonol
Esrrv¡
y
JoequiN
Jrur-
ez'
1987)'
principalrient
do-inór,
q;;;;;
srrven
para
relacionar
racciones
l:l
rartes
ib
ja¿u'
ot-'
iu'u-..ü.iona.
;;";;;
#ár
on
r.¡
-
El
hecho
de
que
en
nuestra,moneda
o
tengamos
a
en
circulación
una
fracción
ecimal
de
a
peseta
nu.::l:lo.:
"ir*
"á
Jiri""gan
de
este
mo¿eto
como
oe
atgo
que
res
acirite
a-
omprensión
de
rás
primeros
decimales.
Decirles
que
ntes
habÍa
monedas
de
l0
céntimor
";
";;;;;e
en
famiriar
.ri"
.""ria"¿,
ya
que
0
no
forma
parte
de su entorno. Pero
as medidas
de ongitud,
pesoy
capacidad Í
que
forman
parte
del bagaje
amiliar
de
los niños
y
deben,
por
tanto,
privilegiarse
en el
momento
del aprendizajede
os
decimales,
ue por
otra
parte
seaprendensimultá-
neamente
on
la medida.
También se
puede proponer
a
los niños
que
inventen
problemas
en
los
c¡uc
deban
aparecerestos
números
que
no son enteros.Serán
problemas
de
repaños o
problemas
elacionados on las medidas.
7.8.
ALGUNAS
REFLEXIONES SOBRE
LA
UTILIZACIÓN
DE MATERIALES
En la
mayor
parte
de
los
casos
que
hemos
presentado
en este capítulo,
las
cscrituras
de
los
<<nuevos
úmerov> aparecen igadas a un material
-particular-
mente
estructurado
para
a representación
e
os mismos-
y
la idea
que
subyace
todasellases a de extender a numeración de los enterosa números nferioresa la
unidad.
Si se
elige
utilizar algunos
de estosmaterialeses muy importante saber
qué
puede
esperarse e su uso
y qué
no
debe esperarse e ellos. Cualquiera
de los
materiales
puede
servir
para presentar
situaciones n
las
que
el niño se enfrente a
relaciones nt re objetos
representaciones
<concretay>
e
números)
que podrán
ha-
cerle
eflexionar,buscar espuestas,
ormular
soluciones,
lantearse
uevas
pregun-
tas,
descubrir estructuras,
repararle,
en una
palabra,
a la matematizaciónde rela-
ciones
y
operaciones
uméricas.Pero os
conceptos
matemáticos
que
el niño
debe
elaborar
-con
la ayuda del maestro- no están en
ninguno
de
los materiales,
de
forma
que pudieran
abstraerse e ellosempÍricamente
como
ocurre,
por
ejemplo,
con
otrosconceptos omo el color,sino
que
se
ormarán
por
la
acción
nteriorizada
del
niño,
por
la
signihcación
ue
él
lleguea dar a susacciones,
las
ormulaciones
que
enuncia,
lasverihcaciones
ue
realiza... o resulta ácil compartirel optimis-
mo de DIeNes,
araquien
a solautilización
por
los niños
de
materiales
uc posccn
una determinada structura ebe
necesariamente
roducir
en los niños
quc.jucgan
con ellos el conocimiento de esaestructura.
Una segunda
eflexión
concierne
la forma
de utilizar
os materiales. unquc
parece ue gran parte
de ellosson conocidos
inclusoutilizados n muchasescue-
las, nos parecenecesario nterrogarnos sobre cómo se utilizan. No es lo mismo
utilizar un
material
como
instrumento
de comunicación
para
el maestro
que
expli-
ca, mostrando objetos
que
sólo él
maneja,
que
dejarlos
ealmente
en
manos de los
niños, haciendo
que
ellos
nterpreten as
consignas
ue
se es dan,
resuelvan
proble-
mas
y
se
planteen
otros
nuevos.
Muchas
veces
observamos
ue
os materialeso
las representaciones
oncretas
e
utilizan en
el momento
de
introducir
una
noción,
como
apoyo del discursodel
maestro;
pero
una
vez
que
se legaa los cálculos
ya
no interesa
el contexto en
el
que
se
ha
querido
darles significación.
Es
como
si la situación
que
ha
servido
para
introducirlos hubiera
sido
un andamio
que
se
quita
cuando se
ha
construido
el
edihcio.
No
queremos
decir
que
haya
que
estar siempre rabajando
sobre objetos
materiales,
sino
que
las
concretizaciones
ue
han servido
para
elaborar
nociones
matemáticas
ueden
seguir iendo
para
os
alumnos
situaciones las
que puedan
volver
espontáneamente
ara
verificar
unas
propiedades,
omprender
otras,etc.,
111
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 58/108
que
sigu€n
eniendo para
ellos
una
significación.
Y
esto
sólo
se ogra
si ha
habido
en
los
comienzos
una
verdadera
acción
por
parte
del niño y
no
solo"una
eproduccion
de lo
que
el
maestro
ha
dicho.
7.9.
PISTAS
DE
REFLEXIÓN
l.
Busque qué
formas
de
utilización
de
materiales
se sugieren
en
los libros
de
texto.
¿Quién
utiliza
el material,
el niño
o el
maestro?
cuántJ
dura
la
utilización
de
los
materiales?
¿Se
utilizan
los
ábacos
on
el fin
de
que
el
alumno
pueda
comprender
a
numera-
ción
o
solamente
omo
un
paso
previo
a la
escritura
e os
números?
,
¿Se
ropone
a los
niños
que
h4gan
operaciones
on representaciones
uméricas
en
un ábaco?
¿o
se
abandona
en
cuanto
se
ha
pasado
de os
números
a
su escritura
deci-
mal?
¿Se
iguen
tilizando
en
3.o, .o,
5.o
y
6.o
a a hora
de
comprender
uevas
ropieda-
desde os números?
2.
considere
iversas
epresentaciones
el número
g254
sobre
n
ábaco
omando
convenciones
istintas
én
cuanto
a la
posición
de
as
unidades,
decenas,
entenas,
tc.
Utilice
para
ello ábacos
horizontales
verticales.
Realice
adiciones y
sustracciones
tilizando
cada
una
de
las
representacionq
sin
recurrir
a las
operaciones
scritas.
eué
dificultades
aparecen?
3.
¿Puede
ecirse
que
sehan
creado
<<nuevos
úmero$)
en
cada
una
de as
opcio-
nes
que
hemos
mostrado?
11 3
8.
Relación
con el saber:
las
situacione
8.I. INTRODUCCION
Si
pensamos
n
las
presentaciones
e
los
decimales
ue
hemos
descritoen
los
dos capítulos
ue preceden,
odremos reguntarnos:
¿qué
signiñca
ara
el
niño lo
que
se hace
en cada una de ellas?,
qué
cosas prende
ealmente?,
qué
elación
existe ntre os distintos
aprendizajes?,
cuáles
on ascondiciones
ue permitén
el
funcionamiento
de
los
decimalesen los niños?,
¿qué
relaciones
stablece on
el saber con los
objetos
ue
se suponedebieran ransmitirlo?
Para esponder
estas
reguntas
ecesitamos
nte odo identificar
as situacio-
nes
en
las
que
se
ealizan
os aprendizajes.
omo
la noción
de situaciónha
evolu-
cionadode forma
decisiva n
los
últimos años rataré,
por
una
parte,
de exponcr
qué
seentiende
or
<situación>
esde
GnrrpcNo a
Bnoussp¡,u.
Y
como no es
posible
resentar
n el contextode
este
ibro
el desarrollo omplc-
to de
a
génesis
e os decimales n situación
escolar
ver
Bnoussenu,
1976; 9U0;
1986;1987) oy
a servirme e una
de
as
situaciones laboradas
or
él
para
mostrar
las condiciones el funcionamientode los decimales.Daré ademásejemplosde
situacionesomadasde otros autores
ue
siguen l
mismo
esquema.
8.2. SITUACIONES EDAGÓGICAS
SITUACIONES
MATEMÁTICAS
Se ha
escrito
y
habladomucho sobre<<situaciones
edagógicas>>,
situaciones
matemáticas>,<situaciones
e aprendizaje>>,<situaciones
e creatividad>>,tc.Pien-
so
que
estos érminos
pueden
nterpretarse
e formasmuy diferentes.ncluso me
pareceque
tendencias
pedagógicas
puestas
como
pueden
ser una
<<pedagogía
por
objetivos> una <pedagogía
biertu-
pueden
utilizar los mismos
érminos,
teniendo deasmuy
diferentes obre o
que
esel aprendizaje.
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 59/108
La
primera
noticia
que
tenemos
sobre
<pedagogia
e situacione$)
en
a
enseñan-
a
de
as
matemáticas
e
emonta
a
GntrgcNo,
fundador
en
l
g50
de
a
comisión
nternacional
para
el
.estudio
y
la
mejora
de la
enseñanza
e
las
matemáticas
.'I'E'A.E.M.).
Escribió
sg.ure
a
,.p.."Ép.ion
y
la
acción
como
uases
er
pensa_
miento
matemático)
1967),
ot..
".uiJ¡ui.,
pu.u
a
enseñanza
e as
matemáti_
as)),
desarrollÓ
principalmente
en
el
aula- (sus
onferen"i;;;;;
casi
siempre
lases
ue
daba
en
púbrico
a los
ninos
uoiuntu.ro,
que
acudían)
dos
situaciones
atemáticas:
as
regretas
e
culsrN¡,rnE
o
(números
en
colon
'_fue
él
mismo
i,lT9iu
por
toda
Esnaña.en
os
años
60- y
er
Geoprano,
Áate.iat-i¿eado
or
él
rsmo'
con
el
que
desarrollaba
na
parte
de
a
geometna
lemental.
Una
<situación
edagógicu
es
p¿rra
eiiicNo (codo
o
que
pone
al
alumno
en
::,:X.,,."rI
de
aprender
por
sÍ
mismó,
reaccionando
rente
"
"U¡.t",
ár.
se
e
ponen
una
<situación
matemática)
es
una
situación
pedagógica
on
un
contenido
atemático;
s
decir,que
permite
descubrir
elaciones.;ói;;;j;r.
Pero
con
una
definición
así
poco
sa¡e-os
ie
lo
que
es ealmente
na
situación
atemática.
as
regletas^uisenaire,mal comprendidas, an sido muchasvecestilizadas ara
un
aprendizaje
mpirista,
Áe.anicista
y perjudicial.
Er
término
(.nú_
meros
en
colon>
a
llevado.a
muchos
maestros
presentar
na
regleta
ros
niños
iciendo:
<esro
s
er 5>>,
r
tiempo qu.
-orüüilr";ú;;;;;"üjí"#uy
rejos
esta
ste
comportamiento
de
la
riqueza
nmensa
de
relaciones
u,ná¡"u,
qu¿,
según
arece,
G,qrr¡cNo
hacÍa
descubrir
a ros
niños
sirviendose
"-i;;;;ek*;r.
No
pode_
mos
atribuir
este
error
a los
maestros,
ino
a
una
nsuficiente
nformacion
sobre
a
tilización
de
Ias
egletas.y
-los eligios
qu.
.ánr"ua
er
apricarlas
in
conocer
ien
o
q¡e
se
puede
esperar
de
ellas
v
ro-qu.
""
ñ0"
obtenerse.
otro
matemático
asociado
-tos
Áouimiá.rto,
o. <<reforma
e la
enseñanza
e
as
matemáticas>
n los
años
60
es
Gponc¡s
p¡pv
quien, unto
con
su
esposa
neoentque,
desarrollaron
y
experimentaron
un
gran
número
de
<<situaciones
a-
emáticas>>
ara
preescolar
y
enseñanra
p.ima.ii
v
t..unJu¡i-rr"'i"¡,
que
han
ido
muy
criticados
ero
que
pensamos
o
se
conocen
uficientementÉ
"o-o
puru
odo
lo que
de
positivo
hay
en
ellos.
Para
PRpv,
as
situaciones
matemáticas
o
pueden
describirse
erfectamente:
que.vivirlau,
guarque
nadiepueoe
expticar
na
sinfonÍa
e Beethoven:
<si
e
uiere
saber
o
que
es hay que
oírlu.
papy
enuncia, i";ñ;;;, átgunu,o. tu ,aracterÍsticas ue debe tener una <<buena
ituación
p.¿ugógi"ir.
Élü
o.¡.
,".
apaz
de:
o
Motivar y
estimular
a
actividad
de
los
alumnos,
revándoles
r
pracer
de
uscar,
e nvestigar,
e
trabajary
de
descubrirjuntos.
o
Provocar
actividades
iversificadas,
e ras
que
siempre
brotan
nuevas
nterro_
ue
desembo.un...n.otra
ctividad
que
prolongada
espués
e
la
clase
a nuevos
aprendizajes.
o
Ser
ealizada
n
grupo
y
hacer
ntervenir
os
distintos
actores
el
trabajo
en
rupo.
o
Estimular
a
creatividad
e
cada
uno
de los
miembros
del
grupo.
o
Movilizar
os
distintos
canales
ensoriares
ros
distintos
ipos
de
actividades
erbales
no
verbales.
4
o
Plantear
numerosas
nterrogaciones
distintos
niveles
de
complejidad.
r
Posibilitar
distintos
ipos
de
razonamiento,
aciendo
ntervenir
desde
a in-
tuición
creativa
hasta
a deducción
G.
Puv,
1976)'
Para
P¡,py,
o
mismo
que
para
GlrrECNO,
<<unauena
situaciÓn
matcrrrliticlt
s
una
buenasituación
pedagÓgica
on
un
contenido
matemático>.
No
hay
pr()g¡cs()
cualitativo
en
cuanto
a
la concepción
descripción
e
as situaciones.
as carrtctt'-
rísticas
ue,
según
Pnpy, seexigen
a una
buena
situación
matemática
c
Iros littt
a
conocer
a través
de
situaciones
ividas...
Pnpy,
G¡,rreCNO,
CeSrul.Nuovo,
SI,R
vnrs, FLetCHen,
PUIC
ADAM...,
an dejado
numerosos
scritos
ue
relatan
o
quc
fue en
os años
60
la corriente
de
renovaciÓn
e
a enseñanza
e
as
matemátlcas.
8.3.
LA
TEORÍA
DE LAS
SITUACIONES
DIDÁCTICAS
DE
BROUSSEAU
De G,qfrECNOa BROUSS¡AUas <<situaciones>>e han convertido en algo más
estructurado.
Se aspira
al
estatuto
de
ciencia
parala
didáctica
de
as
matemáticas
ello
exige
que
las situaciones
e
aprendizaje
e
los conceptos
matemáticos
ean
experirnentidas
puedan
eproducirse
en condiciones
emejantes.
ara ello
ha sido
neiesario
dentificar
los elementos
que
determinan
el signilicado
de
as acciones
el
maestro
de
os
alumnos,
las condiciones
el
aprendizaje'
La teoría
de
las
situaciones
idácticas
e
BnOUSSrnu
ermite.
por
una
parte.
analizar
odas
as acciones
el
maestro
y
de
os alumnos
en el
aula,
y
su
relaciÓn on
el conocimiento
ue
se
construye;
por
otra,
desarrollar
na
<<ingenierÍu
idáctica
que
fabricasituaciones
specÍficas
e
os conocimientos
ue
se
quieren
enseñar.
Para
BnOuSSr¡,u,
a situación
didáctica
es
el
medio
que
tiene
el
maestro
dc
hacer
comprender
l alumno
o
que
quiere
que
éste
aprenda'
El
profcsor
cligc trn
conjunto
de
relaciones
el
alumno
con
el
<medio>
para
que
éstas
c aytldcn
rl
construir
un
conocimiento
or
adaptaciÓn
la situación.
Dicho
con
sus
propias
Palabras:
una
situación
idrictica
s
el conjunto
e
elaciones
stablecidas
xplí<'i1,t
'/tt
rnplii-
tamentenfte nalumno ungrupo ealumnos.ncierlomedioqut u,mprandL
instrumenlos
objetos-
y
el
profesor
on
elfn
de
hacer
ue
os
alumnos
eapropien
un saber
onstituido
en
vías e
constitución
Bnoussr¡u, 986)'
Y la situación
didáctica
es
a atmósfera
elaborada
por
el maestro-
en la
que
respiran
cada una
de
las situaciones
e aprendizaje
que
debe
protagonizarel alum-
no.
En éstas,
el saber,
asociado
a un
<<medio e
referencio>'
unciona
como
solu-
ción,
respuesta
adaptación
del alumno
a
la situaciÓn.
BROUSSEAU
a
puesto
en
evidencia,
recisamente,a
importancia
que
tiene
un
aprendizaje
utónomo
por
adaptación
autoestructuraciÓn
el
alumno
en
relacióncon
el
medio.
Una situación
de aprendizaje
es,
pues,
una
determinada
organizaciÓn
de
las
interacciones
provocadas
por
el
maestro
n
a clase-
entre
el alumno
y
el saber,
entre
os
alumnos
a
propósito
el
saber,
entre
alumnos
maestro
obre se
mismo
saber.
11 5
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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Ahora
bien,
para
que
se
dé una
autoestructuración
por parte
del alumno,
el
maestro
debe
saber
omar -una
vez
que
ha
creado
as
relaciones-
una
cierta
distancia
que
deje
al alumno
confrontado
a
una
situación
de aprendizaje
autó-
nomo.
Las
relaciones
el
alumno
con
el medio
se nterpretan
en esta
eorÍa
en términos
de <juego>>,
n
el
sentido
de
que
hay
unas
reglas
de
juego
(o
consigna),
que
es
preciso
elaborar
estrategias ara
ganar,
y
que
las
distintas
eslrategias
e*ben
ermitir
la
anticipación
de una
estrategia
anadora.
Para
que
la
situación
funcione
de esta
forma,
el maestro
deberá
realizar
una
triple <devolución>>:
e la
regla
de
uego,
del
problema
y
de la
decisión.
<<Devolu-
ción>>
ue
es
en
resumen-
la
acción
por
la
que
el maestro
raspasa
a responsabi-
lidad
al
alumno,
que
es
quien
debe
querer
aprender,
sumiendo
as
eglas
e
uego,
tomando
decisiones,
aciendo
nticipaciones
verificando
us
conclusiones.
Pero
el
aprendizaje
no
serÍa
utilizable
posteriormente
i
el maestro
no interviene
en
una
última
fase,
que
consiste
n
atribuir
la
condición
de objeto
matemático
autónomo
al nuevo
conocimiento
dquirido
por
a
dinámica
mismade a situación.En el actode institucionalizar os conceptosadquiridos
el maestro
dentifica
o
que
los
alumnos
deben
retener.
Y
a
partir
de
este
momento
será
posible
aplicar
a otro
problema
o
que
el alumno
ha
aprendido
en
el contexto
de
una
detérminada
i-
tuación.
Analicemos
hora cada
uno
de
esos
spectos
e una
situación
de
apr&dizaje.
o
La
devolución
e
a
regla
de
uego.
Las
consignas
eben
poder
ser
comprendi-
das
por
el
alumno,
lo
que
significa
que
los
conocimientos ue
posee
el alumno
deben
sersuficientes ara
nterpretar
orrectamente
as
condióionés
las
nforma-
ciones
que
definen
a
situación.
La
acción
que
provoca
a
situación
endrá
que
apoyarse
n
modelos
que
tienen
significaciónpara
el alumno
a
quien
se e
presenta.
o
La
devolución
el
problema.
a
situación
debe
plantear
un
problema
que
el
alumno
no
sabe esolver
on los
conocimientos ue posee.
Si el
alumno
supiera
responder
la
situación
esolviendo
l
problema
que
se
plantea,
ésta
no
serÍa
un
problema
la
situación
endría
a
condición
de ejercicio
e aplicación,
e refuerzo,
de consolidación,
tc.
.
La
devolución
e la
decisión.
El
alumno
debe
poder
elegirentre diversasosibilidades ser capazde considerarque existe una relación
áe
causa
a efecto
as
decisiones
ue
toma
y
los
resultados ue
obtiene.
El maestro
ebe
conse_
que
el
alumno
sesienta
esponsable
e
susdecisiones.
o
Las
acciones
del
alumno.
El
aprendizaje
se realiza
a través
de la
acción
del
en
tanto
en
cuanto
toma
decisiones
n
contacto
con
una
determinada
ue
e
permite,
gracias
los
problemas
ue
resuelve,
ar
signif,rcado
lo
aprende.
Enfrentado
a una
situación
que
le
plantea
un
probleml,
el alumno
a
solución
produce
acciones
ue
pueden
levarle
enóont.ar
na
estrategia
acciones
ue
no
deben
confundirse
on la
simple
manipulación
de
órmulas,
ímbolos
representaciones.
Esposible
manipulai
materiales
los lamados
didácticos-
sin
que
ninguna
acción
pertinente
e
produzca
or
del
alumno
ni
por
parte
del
profesor.)
a
acción
a a
que
aquí noi
referimoi
es
ntelectual
aunque
n algunos
asos
ehagaa
partir
de a
manipula-
de objetos
oncretos),
ssobre
odo
una forma
de funcionar
del saber.
16
Cuando
BRoussEAU habla de
<<situaciones
e accióo> está hablando de:
la
primerafunción
del
saber,
que
es
permitir
elecciones urante
a acción.Para ellt¡
no es necesario
que
el saber se exprese,
e
pruebe,
ni siquiera
que
sea.litrmuluhlr.
Toda situación de enseñanza
odrd
ser analizada
sólo bajo el
punto
de
vistu
dt
lu,s
acciones
ue
el alumno debeemprender, e sus
motivaciones, e las retnu¡it¡nt.t,t
las
que
sesometen,de las
posibílidades
de evoluciónde as estrategial; <'laltttttttt, t'
de as
represenlaciones
ue
se obtienende estamanera.
Para Bnousselu:
El
alumno aprendeadaptdndose un
medio
que
es
actor
de
contradicciones,
e
dirtcuhades, e desequilibrios,
arecido
a como o hace a
sociedadhumana.
El sa-
ber,
ruto
de a adaptacióndel alumno a
las situaciones, e
manifiesta
por
las
respues-
tas nuevas,
que
son a
prueba
del aprendizaje
1986).
o Las formulaciones del alumno:
La
segunda
unción
del saber es
permitir
Ia descripciónde las situaciones,es
decir, a
formulación
de las
representaciones. el
componente
e las situacionesde
aprendízaje
que
ustifica
esta
ormulación
es la comunicación,
y
si llega el caso, la
autocomunicación.
as
adaptaciones
el alumno
y
de su lenguajea esfas ítuaciones
son muy tmporlanles.
En
las
situaciones de comunicación
el alumno debe elaborar un código
verbal
o
escrito
que
le
permita
comunicar
relaciones
entre
los objetos de la situación
y
anticipaciones
sobre
los resultados
posibles
de la aplicación de una estrategia de
solución.
La
comunicación
puede
conducir a debates,
pruebas,
justificaciones,
y
todo
ello en el seno
mismo
de
la clase,
por
la lógica
misma
de
la situación.
o
Las
pruebas
o
justificaciones
del
alumno:
La tercerafuncíón
del saber es apoyar a c onviccióndel
sujeto madiantc
pruchu;;
organízadas
éstas,en algunos casos,
en
teorías.
El componente e Ia siluación
de
aprendizajeque ustifica esta act¡vidades el debatede la prueba,de a validezde lo
que
se ha
propuesto.
Esta
validez
debeaportarsea
un igual, igualmente nformado.
Esta situación
que
hacesurgir tanto os
problemasy
las cuesliones omo as
respues-
tas es bastantediferente
de la sítuaciónde comunicación.
o
La institucionalización
que
hace el maestro:
La cuarta
unción
del
saber es la
referenciacultural a la escala
de un
grupo
pequeño,
de una clase, de
un medio de investigadores
o de
profesores
o de una
sociedadentera.
Las
relaciones ocialesutílizan saberes
ue
se apoyan en
un
tejido
de convenciones.
l componmte de las
siluacionesde
enseñanza
que
regula
este
aspectodel conocimiento
es a
instilucionalización
por
la
que
un
grupo
da un estatus
a
lo
que
se ha
producido
en relacióncon o
que
se
practica
en a sociedad...
l maestro
define
as
relaciones
ue pueden
ener os comportamientos
las
producciones
ibres
del alumno con el saber
cultural
y
cientíJico
y
con el
proyecfo
didtictico.
t t7
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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Para
articular las
exigencias
eóricas
y
las
proposiciones
idácticas
Bnoussp¡.u
sugiere
ue
se
sepa n
cadamomento
a
qué
uego
debe
ugar
el alumno
paraque
as
estrategias
ás
eficacesmpliquen
el
uso del
saber
que
se
quiere
enseñar.
que
este
juego
pueda
er
comunicado
l
alumno
para
que
o
comprenda.
s necesario
ue
el
alumno
pueda
ealizar
nmediatamente
na
estrategia
ue
aunque
no le
permita
ganarpueda
permitirle
seguirjugando
on la esperanza
e
ganar.
En resumen:
Los
dos
ipos
de
uego
principales
el maestro
on: a
devolución la
institucio-
nalización.
Y
del alumno
se
esperanres
ipos
de
producciones:
cciones,ormulaciones
pruebas.
A las
situaciones elativas
a la
génesis
scolardel
concepto
de racional
y
de
clccimal,
noussreu
ha dedicado,
or
ejemplo,
un cuidadoso,
iguroso
muy com-
plcto
estudio
que
contiene
a
descripción
consignas,
comportamientos
e
los
alumnos,
estrategias
el maestro,
esultados
observaciones
iversas-
de 65 se-
cuencias
didácticas
ealizadas
n la
Escuela
Jules Michelet
de Burdeos
N. y
G. Bnoussreu, 1987).Describiremos n el punto8.5 una situaciónde comunica-
ción, la
primera
del
proceso
que
lleva
a los niños
de diez
años
a
inventar
os
racionales
ositivos.
omo
lo
prueban
as nvestigaciones
echas
n Burdeos
ue
muestran,
demás,
ue
os
niños,
una
vez
que
han
construido
e*,
+,
<
),
coloca-
dos
ante a necesidad
e ordenar
o
de adicionarvarias
racciones,
legan
d utilizar
con
preferencia
as fracciones
ecimales
a
ver
que
con ellasse
pueden
acercar
tanto
como
quieran
a cualquier racción.
8.4. ALGUNAS
SUGERENCIAS
PARA
SELECCIONAR
Y
CONSTRUIR
SITUACIONES
DE APRENDIZAJE
Admitimos
que
os
conocimientos
e
construyen
n ese
uego
de
nterrelaciones
-que
es a
situación
idáctica-,
en
contacto
on conocimientos
a
adquiridos,
os
cuales e
generalizan,
e
amplían
o se
ponen
en entredicho
n el desarrollo
e
una
situación.
Una situación
plantea
un
problema,
y éstehace ntervenir,en general, ariosconceptos. ada
uno
de ellos iene
significado
n relación
con los
otros concepros
implicados
en el
problema.
Esta
diversidad
aparece
obre
odo
si el
problema
se
puede
ormular
en campos
diversos
ntre os
que
se
pueden
establecer
orrespon-
dencias
por
ejemplo:
campo
de la física,
campo
geométrico,
ampo
numérico,
campo
gráhco).
cada uno
de
los
campos
sirve
de
referencia
al otro
y
contribuye
a
dar
signifrcación
l
problema.
una sola
situación
no
basta
para
nstalar
un
concepto.
Son necesarias
arias
situaciones
ara que
un concepto uncione
en sus
diversos
spectos
para que
aparezcaa multitud
de
relaciones
ue
iene
con
otrosconceptos.
demás,
araque
el
nuevo
concepto
se ntegre
con los
anteriores
y pueda
utilizarse
para plantear
y
resolver
uevos
problemas,
s
preciso
ue
sea
suficientemente
amiliar
como
para
poder
apoyarnos
n él
para
nuevos
aprendizajes.
an
importantes
omo as
situa-
ciones
e aprendizaie
on as
situaciones
e
consolidación
de refuerzo.
Si estamos
e acuerdo
en
quc
t<ldas
stas
xigencias
on necesarias
ara
una
11 8
bucna
génesis
e
os conocimientos
matemáticos n
os niños,
no
podremos
menos
de
reconocer
ue
osconceptos
e orman a
o largode un
gran
período
e iempo.
y
tumbién
ue
necesitamosos
maestros u aprendizaje
ontinuo
para
mejor orgarli-
¿ür
eSaS ituaciones
ue permiten
hacer funcionar
el conocimiento.
)cbcnlos
u¡rrcnder
os
maestros no transmitir
conocimientos
echos
sino a
platrtcitl
rrs
siluaciones
ue
harán
que
os niñoselaboren
us
propios
onocimientos.
Es
mportante, demás,ener
en cuenta
el
trabajo
colectivo,
uesto
uc
:t rt¡rro-
piación
olectiva
uedepreceder
la apropiación
ndividual
y
los conllictos
ocit¡
cognitivos
ueden
acelerar iertas
adquisiciones.
as investigaciones
e
PI'RRLI-
('r.e
uoNr
(
198
)
han
demostrado
ue
cuando e
ponen
untos
dos
niños
uno
dc
loscuales
iene
adquiridoel concepto
e conservación
e os
íquidos
y
el
otro
no lo
¡rosee
odavía
pero
no
está
muy lejos)- el
simple
problema
de distribuir
zumo de
liuta en
partes
guales
on
vasos
e sección
iferente
ermite,
alavez,
al
<<conserva
don>
eforzar
u
convicción
y
susarfumentos,
al no conservador
acerse onser-
vador
de
manera
permanente.
En
las
situaciones
ue
describiremos
n el
punto
siguiente
l conocimiento
un-
cionaen la pequeña ociedadormadapor el maestro los alumnos,y el trabajo
colectivo
s esponsabilidade
cadauno de
ellos.
8.5.
SITUACIONES
DIDÁCTICAS
QUE
PERMITEN
ANALIZAR
LAS CONDICIONES
DE
FUNCIONAMIENTO
DEL
CONOCIMIENTO
SOBRE
LOS DECIMALES-MEDIDA
Nos
parece
mportantedescribir on
todo detalle
algunade
as situaciones
ue
permiten
analizar
as
condiciones
el
funcionamiento el
conocimiento
e
os nú-
meros ecimales,
que
a manerade
levar
a cabo
una situación
s
muy
importarrtc
si
queremos
acersurgirel conocimiento
e
a
acción
de
os niñosen
contaclo
c()r'l
una
situación.
Nos ocuparemos,
or
tanto, de descubrir
n
algunos asos:
. El materialque seutiliza.
o
Las
deas
principales
ue
se
hacen uncionar
y
los objetivos
ue
se
pretende
alcanzar.
o
El
proceso
e
aprendizaje
ue
se
quiereprovocar.
El
proceso
e aprendizaje
stádiseñado
e manera
que
permite
esponder
las
siguientes
reguntas:
¿Cuál
es
el
punto
de
partida?
Qué
deben
saber
os niños
para poder
participar
de
forma
personal
activaen el
problema
que
se
plantea?
Qué
conceptos
eben
fluncionaren
los niños a lo largo del
proceso
que
se
sigue?
¿Pueden
utilizar esos
conceptos?
De
qué
forma los utilizan?
¿De
orma implÍcita?
¿Explícita?
Qué
pro-
gresos ueden
realizaral
término de
la
secuencia?
Mientras
que
la actuación
del
maestro
debe
dar
respuestaa
las
preguntas:
¿Cómo
organiza
a clase?
De
qué
forma transmite
asconsignas?
Cómo
provoca
a
acción?
¿Cómo
participa
durante
a acción?
¿De
qué
manera
produce,
anima
y
11 9
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 62/108
sostiene
a
comunicación?
¿cómo
aprovecha
as
situaciones
e debate
que
se
crean
en la
clase
o
que
él mismo
provoca?
¿Cómo
ermina la
secuencia?
Institucionaliza
si ha lugar?
¿Aprovecha
de
forma
sistemática-
todas
as .eacci,oner
e
la
clase
para
devolverlas
sintetizadas,
eformuladasy
estructuradas
n relación
con lo
que
los
alumnos
conocen
y preparando
quizás
aprendizajes
osteriores?
En
el
proceso
e
adquisición
e os números
decimales,
nouss¡¡,u
distingue a
adquisición
de
los
<decimales-medida>
e la
de los <<decimales-aplicación
ineab>.
En
los
dos
casos, os
decimales
e
presentan
como racionales
simple
escritura
de
fracciones
ecimales- y
se nicia
cada
proceso
por
la
construcción
de
los
raciona-
les.
El
proceso
de
construcción
de los
decimales-medida,
escrito
y
experimentado
por
a
escuela
e Bnouss¡nu,
comienza
on esta
ituación
ue
presentamos
conti-
nuación.
8.5.1.
Medir
el
espesor
e una
hoja
de
papel
r
Material
necesario
o Unas 2000hojasde papeldel mismo amaño medio olio, por
ejemplo),
el
mismo
color,
pero
de
5
grosores
iferentes
papel
de calco,
olios
no.máles,
artuli-
nas,
etc.).
Sedistribuyen
en
10
cajas,
os de
cada
grosor,
que
contienen
ada
una
lrededor
e
200
hojas.
o
Calibradores
de
plástico
(dos por
cada
grupo
de cinco
alumnos).
o
un
biombo
o una
cortina
que
permita
dividir
la
clase
en
dos. se
puede
de esto
si el local
es bastante
grande
como
para
separar
a
los
alumnos
en
grupos
de forma
que
no
puedan
er
os
niños
de
un
grupo
o
que
hacen
os
de l
grupo.
Objetivo
Se
rata
de una situación
que
permite
a los niños<<inventan>
os
números
acio-
Para
poder
medir
el espesor
e ashojas
con
el calibrador
ecesitan
ogerun
de
ellas.Esta
medida a
daránmediante
os
números:
l
primero
será
de
hojas
que
han
cogido
y
el
segundo a
medida
en milímetros
de l
el
paquete
de hojas
medido.
Estos<<objetou
pares
e números),
irven
nombrar los espesores, sepuedencomparar,sepuedensumar, restar,multi-
por
un
número
natural,
y
también
dividir.
Sirven
además
ara
medir
magni-
y
se
verá
gualmente
ue
engloban los
números
naturales,
ero
sólo se es
el
nombre
de números
uando eshayamos
ado
al identidad.
onvendremos
escribirlos
n
forma
de fracción.
Organización
e a
clase
La
situación
e
desarrolla
través
e
ochoactividades,
ue
se ealizan
lo largo
nueve
ecuencias
e 60
a
70
minutos
cada
una. Llamaremos
,
s.....S^
a las
describiremos
n
detalle
únicamente
a modo
de
ejemplo-
ia
pri-
como
siempre,
l maestro
uega
un
papel
undamental, rovocando
n
verda-
contacto
e os niños
con el
conocimiento
través
e a
situación
que
plantea.
20
Las
nteracciones
ue
se
producen en
la clase
sobre el conocimiento
que
se
está
elaborando-,
y
lai
relaciones
e
os
niños
con
la situación
dependen
en
gran
partc
de
a
interven.iOn
d.l
maestro.
Desde
el
momento
en
que
se
nicia
la
actividad
y
a
lo
Urgo
¿.
toda
la acción
él
es
responsable
e
crear
esas
nterrelaciones,
e
relanzar
la
actluidad
si
existen
bloqueos,
de
recoger
os
resultados
de devolverlos
a la clasc
institucionalizados,
i
ha ugar,
o
planteando
nuevas
cuestiones
ue
permitan a
evolución
de
os
conocimientos
e
os
niños'
Todo
es
mportante
en
a organizaciÓn
e
a
clase,
esde
a
manera
de disponcr
el
local,
el
material,
la
pizarra
y
la forma
de
utilizarla,
hasta
as
palabras
que
sc
pronuncian
cómo
y
cu'ándo
e
pronuncian.
Todo tiene
o
debe
ener-
relación
con
el conocimiento
que
se está
elaborando'
El
esquema
de
organizaciÓn
e
la clase
que
propone
BRousstnu,
es
con
ligeras
variacionls
el
mismo
para
cada
una
de
las
secuencias
n
que
se
divide
la
situación'
Hay
acciones
ndividuales,
en
grupos
pequeños,
puestas
en
común
entre
grupos
pequeños,
uestas
n
"o,nin
de
odi
la
ilase
y
tiempos
destinados
hacer
a sÍntesis
ie'to
aOquirido,
que
suelen
r acompañados
e
una
institucionalización
e
los
conocimiéntoseiaborados.Sepone el nombre a los objetosmatemáticosque han
funcionado
en
la acción
o
se
plantean nuevas
preguntasen
vista de
acciones
u-
turas.)
pára
niciar
la situación
espesor
de
una
hoja de
papeb>,
edivide
el
aula
en
dos
partes
on
un
biombo
o
similar,
y
en
cada
parte
secolocan
inco
cajas
onteniendo
cada
una
200
hojasde
PaPel.
Situados
os
niños en
una
de
las
partes
del
aula,
el
maestro
os distribuye
en
gruposde4ó5Ylesdice:
-
<Mirad
las
hojas
que
he
preparado
en
as
cajas
A, B, C,
D,
E' En
cada
caja
odas
las
hojas
iene
el
mismo
"rplroi
y
cada
caja
iene
hojas
de
espesor
istinto.
¿Podéis
up.l.iu.
fur diferencias
e
unos
"ip.tot"t
a
otros?
Se
hacen
ircular
entre
os alum-
ni,
utgunut
hojas
de
forma
que
odos
os
niños
puedan
ocarlas
compararlas.)
-
¿Cómo
podemos
distinguir
unas
hojas
de
otras?
Algunos
niños
responden
ue
por
el
peso'
--Debéis
inventar
otra
manera
de designar
reconocer
ada
uno
dc
cstos
tptts
de
papel,
de tal
forma
que
os
podamos
distinguir
sÓlo
or
el
espesor'>
Lós
niños
ntentan
al
principio
medir
el
espesor
e
una
hoja
pero
pronro
sc
liln
cuenta
de que no .r poribl" y después e una primerareacciÓn ue puedcscrclc
desaliento
ieyendo
ue
no es
posiUte
medirlo,
empiezan
medir
paquetes e
hojas,
las
cuentan
ya
tienen
un
cÓdigo
ue
puede
ervir
para
designar
os
espesores.
an.
por
ejemplo:
70
hojas3
mm; 50
hojas
3
mm;
etc'
'
Cuanáo
en
todós
los
grupos
se
ha encontrado
este
sistema
de
designaciÓn
e
trojas
se
pasa
a
un
njuegote
iomunicación>>.
Cada
grupo
se
subdivide
en
dos: uno
de
emisores
el otro
de
lectores.
Para
proúar
el código
elaborado,
odos
os emisores
e
colocan
en
una
de
as dos
partes
dei
aula
y
los eclores
en
el
lado
opuesto.
Los emisores
eligen
una
de
as
cajas
y
escriben
mensajes
que
envían
a los
niños
con
los
que
han
elaborado
antes
el
.O¿lgo.
Los
ectorés
deben
econocer
a
hoja
de
que
se
rate
y
para
asegurarse
e
que
et cidigo
ha
funcionado
deben
comunicar
después
on
los emisores.
Cuando
los
receptores
an
acerlado
asan
a
ser
emisores'
Él
maestro
pasa
os
mensajes
e
unos
a
otros,
recibe
as
respuestas
verihca
con
I,
t2 l
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 63/108
odo
el
equipo
si se ha
acertado
o
no.
para
escribir
los
mensajes
ha
preparado
reviamente
unas
tarjetas
en las
que
los
niños
deben escribir
el número
de su
mensajes
nviados
numerados:
uego
número
,
iuego
número
2,
etc.)
sido
acertados
o
no.
Durante
el
juego
se
observan
res
actitudes
diferentes
entre
los
niños:
o
Algunos
cuentan
un mismo
número
de hojas
y
miden
el
espesor.
a
Otros eligen
un
espesor
cuentan
el
número
de hojas.
o
Otros
no tienen
método
y
eligen
a\ azar
número
de hojas
y
espesor.
Esta
situación
a hemos
ealizado
on alumnos
de 2.o
curso
de magisterio
con
de
6." de E.G.B.
y
hemos
bservado
n ambos
asos
as eaccionJs
escritas.
cuando
todos os
equipos
han
hechovarios
uegos,
todos os
niños
han
sido
y
receptores
más
de una vez,
se
uzga
que
el código
ha
funcionado
por
y
se
pasa
a una
tercera
fase,
que
consistirá
en
una
puesta
en común
de
os
equipos.
Todos osgruposvuelvena suspuestos
n
a
clase.
El maestro
a
hecho
previa-
en la
pizarra
un cuadro
de doble
entrada
(equipos)
(cajas)
ver
cuadro).
equipo
envía
entonces
un representante
lapizarra
para
ranscribir
los
men-
que
habían
escrito.
+
El
cuadro
que
presentamos
continuación
es el resultado
de esta
actividad
or
alumnos
de 2.o
de Magisterio en
el marco
de a
clase
de
didáctica-
clase
e
6." de E.G.B.
Equipon.o I
Equipo n.o 2 Equipo
n.o
3
Equipo
n.o4
A
l0h; lmm
16h; 2mm l0h;
lmm 15h;
2m m
B 12h1'2mm
24h;
3m m 13 h;2 mm
13h;2m m
c
15h; 2mm
30h;
4m m
4h; I mm
18 h;2 mm
D l0h; lmm
27h; lmm
15h; lmm
ll h; I mm
E l0h; 2mm
32h;4mm
l0 h;2 mm 13h; 3m m
La
secuenciaerminará
con
el análisis
e os
pares
btenidos,
los niños
protes-
iciendo
que
algunosno
pueden
estarbien:
no
puede
ser
que
l0
de A m idan
igual
que
l0
hojas
de D,
y
si 10 hojas
de A miden
I mm
habrá
ener 20
hojas
para que
midan
2 mm
y
no 15
como ha
dicho
el equipo4.
Un
dice
que
habrÍa
que
cogermás
hojas
paraque
a
medida uera
más
exacta.
Este
cuadro será
el
punto
de
partida
de
la
secuefcia
siguiente
y
servirá
ambién
vez
corregidos os
errores)
a
la
hora
de ordenar os
pares,
umarlos,
etc. Damos
continuació n
na dea
de cómo se
desarrollaa
situación,
nunciando
a
actividad
los niños
deben
realizar
en cada
una de las
secuenoias.
2
r
Desarrollo
e
a situación
or
secuencias
S,.
Deben
elaborar
un
código
que
les
permita
expresar
a medida
del
espesor
c
las
hbjas,
y
comprobar
que
el
cÓdigo
es
bien
interpretado
en
la clase'
Sr.
Comparar
os espesores
pares
de
números)
y
hallar
pares
equivalentes.
S".
Determinar
clases
e
equivalencia
de
pares
de
números,
observando
quc
un
misnio
espesor
e
puede
epresentar
or
muChos
ares,
ue
Son
por
tanto
cquiva-
lentes.
So.
Hallar
el
espesor
e
una
hoja
gruesa
ormada
por
dos
hojas
pegadas
esto
llevai
dar
signihcado
a multiplicac ión
de
espesores
fracciones-
por
un
núme-
ro natural).
Sr.
Generalizar
os
procedimientos escubiertos
alculando
sumas
de
espeso-
res.
Su.
La diferencia
de
dos
espesores
ermitirá
a
los
niños
dar signiñcado
a
la
diferencia
de
fracciones.
Sr.
Dar significado
al
producto
de espesores
or
un
número
natural,
hallando
el
espeio.de un cartón grueso ormado por variashojas del mismo grosor(producto
de
un
racional
por
un
natural).
Sr.
Evaluar
ól
"rp.sot
de
un
cartón
comparándolo
on
un
milímetro
(se
rata
de
sabei
si
una
fracción
es
mayor,
menor
o igual
a un
milÍmetro)'
Sn.
Conocido
el espesor
e un
cartón
ormado
por
un
número
de
hojas
de
gual
erp6o.
hallar el
espesor
e una
hoja.
Estaactividad
dará
significado
a la división
de
un
racional
por
un entero.
Sobre
a evolución
de
esta
situación
podemos
aportar
algunas
observaciones
ue
pudimos
hacer
personalmenteen
la
Escuela
Michelet
de
Burdeos,
en
una clase
b.fuf.
Z
(niños
de diez
a
once
años)
el dÍa
I I de
noviembre
del año
1987.
La
lección
observada
orresponde
a la secuencia
Sr: ordenar
os tipos
de
hojas
por
su
espesor.
e
ealizó
en
un trabajo
del
grupo
clase
irviéndose
e
a
pizarra
y
de
ios resultados
que
todos
habían
retenido
de
las secuencias
recedentes.
La maestra
olocó
en
lapizarralas
etras
de
os cinco
ipos
de
hojas:
A, B,
("
I),
E,
y
los niños
ueron
completando
lgunos
ares
ue
habÍan
etenido
de
a sccucn-
cia
anterior,
de
la manera
siguiente:
A
B
c
D
E
(90
h
4 mm)
(22
h I mm)
(23
h I mm)
( l l
h I mm)
(22
h
2 mm)
(88
h 8
mm )
(20
h 2
mm )
(80
h 8 mm)
(10
h I mm)
(45
h 5
mm )
(18
h 2 mm)
(9hlmm)
40hl0mm
16h
4m m
8h
2m m
En
un
principio
os niños
habÍan
puesto
n
a columna
C el
par (84
h
8
mm), un
niño dijo
<<esalso
porque
4
x 20
:
80,
y
2 x 4
=
8,
hay una diferencia
de cuatro
hojau.
Había sin
embargo
niños
que
no comprendían,
a
maestra
propuso
comprobarlo
con
las
hojas,
perO
no
fue necesario
pues
antes
de empezar
a
contarlaS
e dieron
cuenta,
y
dijeron
que
si el
montón
era cuatro
veces
más
grande
enía
que
medir
cuatro
veces
más,
otro
niño añadió:
<es
roporcional>.
TZ J
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 64/108
La
maestra
propone
a los
niños
escribir
otros
pares
que
no
están
en
el cuadro,
y
lo
hacen
sin recurrir
a
las hojas;
el concepto
de
pares
equivalentes
mpieza
a funcio-
nar
con los
números,
aunque odavía
en
relación
con la
situación.
En
poco
tiempo
se
añaden os
pares
de
E:
(32
h
8 mm),
(4
h 1 mm),
(g0
h
20 mm),
(64h
16
mm),..
Y
un niño
dice <<no
s necesario
scribirlos
odos...>>.
Mientras
los
niños
añadían
pares
del
tipo
E
un niña
dijo: <<yo
me he
dicho:
si
cojo 100
hojas
de
una caja
¿cuántos
mm
tendréb,
y
se
disponía
a hacer
eso
para
todos los
tipos de hojas.
Parece
que
esta niña
había
descubierto
que
todos los
cálculos
son
más fáciles
si se oman
fracciones
decimales.
ero
la
maestrano
reco-
gió
la
observación
e
la
niña
porque
era
todavía
demasiado
pronto
para
el resto
de
la
clase.La
prueba
es
que
para
ordenar los
pares
cada niño
retuvo
un
par
como
representante
e
cada tipo
de
papel
y
ningún
otro niño
pensó
en ver
si se
podÍa
hacer
cogiendo
siempre
pares
que
empiecen
por
100.Hubiera
sido
prematuro
privi-
legiar
en esta
situación as
racciones
decimales
que
hubieran
ntroducido
demasia-
o
pronto
problemas
de
aproximación.
Para
que
los niños
leguen
a descubrir
el rol
que
las racciones
decimalesjuegan
conjunto de las fraccioneses necesarioque manejan primero <<today>as
racciones,
ue
las
ordenen,
operen
con
ellas
y
se
amiliaricen
con fracciones
equi-
alentes.
Proceso
eaprendizaje
Analizamos
ahora el
proceso
de aprendizaje
que
se
siguea ro largo
de estas
cho
secuencias.
conocimientos
y
habilidades
previas.
Se ha
trabajado
a medida
con
las
reglas
ue permiten
medir
en milímetros,
además os
niños
deben
saber
utilizar
calibrador
para
medir
longitudes.
También
sehan hecho
ejercicios
en situaciones
e
proporcionalidad
precio
proporcional
al número
de kilogramos
o de
conocido
el
precio
de un kilogramo
o
de un objeto;
gasto
de
gasolina
con un
coche
proporcional
al número
de kilómetros;
cantidad
de mantequilla
pro-
al número
de itros
de eche.
Dadas
as
cantidades
e harina,
azúcar, eche
huevos
necesarios
ara
hacer
una tarta
para
cuatro
personas
allar
las
cantidades
se
necesitarán
ara
seis
personas,
tc.).
punto
de
partida
y
de
llegada
de cada
secuencia
En la
primera
secuencia
e
parte
de la
necesidad
de
distinguir
unas hojas
de
de
otras utilizando
para
ello los
instrumentos
de
que
se
dispone: reglas
y
omo ven
que
una sola hoja
no
puede
medirse,
os
niños
adoptan
el
montoncitos
de hojas.
construyen
un cuadro
que
recoge
as
distintas medi-
Los
resultados
obtenidos
en cada
secuencia
S,, asi
como las
cuestiones
ue
se
plantado,
son el
punto
de
partida
para
a
secuencia
iguiente
S,*,.
Sr. Arranca
de la
observación
e los
errores
que
se
producen
al medir las
hojas
se han
cogido
pocas,
o la
diferencia
de
hojas
de un montón
a otro es muy
los
niños llegan
a
adaptar
el
número
de hojas
a la necesidad
e medir
espesores.
Sr.
Parte
de
la
necesidad
e
ordenar
estos
pates
de números
que
representan
4
los espesores
corresponde
a ordenar as hojas de
a más hna
a
la más
gruesa-. y
sehallan os
paresque
designan
gual
número de hojas
para
cadauno de
os
ipos dc
papel.
So.Se
nicia
con
una interrogación:
Estos
<objetos>>
ue
nos han
servido
para
medir
os
espesoreserán ambién
números? eha
visto
ya
que
se
pueden
rdurar,
¿se
odrán
ambién sumar?Se
plantea
el
hallar
el espesor
e una hoja
gruesa
urnra-
da
por
dos hojas
de distintos
espesores. e lega a sumar
<<fracciones>>
on denonri-
nadores
distintos antesde
haber
sumado
racciones on igual denominador.
Sr.Se
plantea
i es
posible
umarcualquier
ar
de
fracciones
uscando
enerali-
zar los
procedimientos
obtenidos en la secuencia nterior. Se
favorece
el cálculo
mental
y
se establece
n
método
para
sumar
fracciones.
Su.Se
propone
dar un
significadoa
la
diferencia
de dos
fracciones través
de la
diferenciade
dos espesores. e
parte
de
a situación
anterior
y
se
legaa
que
cuando
secogeel
mismo número de hojasde cada
espesor
fracciones
on
igual denomina-
dor)
es muy fácil
hacer a
diferencia,
que
se
educea la diferenciade
as medidasen
milímetros
(los
numeradores).
S, y Sr. Plantean a necesidad e hallar el espesor e un cartón formado por un
cierto
número de
hojas
de un
mismo espesor.
Se hace
para
cartones
obtenidos
pegando
un cierto
número de
hojas
de cada
uno de
los tipos de
que
sedispone.
Se
llegaa
ver
que
se rata de
multiplicar un número
entero
por
una
medida en
milÍme-
tros, es el
producto
de una
fracción
por
un
número entero.
Sn. Se apoya en
la multiplicación obtenida
en
la
secuencia
anterior
para
dar
signihcado
a la división.
<<He
egado
nueve
hojas del mismo espesor
he
obtenido
un cafón
que
tiene
l8l7 de espesor
siete
cartones
untos
miden
18 mm de espe-
sor),
¿podríamos
aberel espesor e
una hojab.
Se lega al
resultado:
<<Como ay
nueve hojas
pegadas,
cada
hoja
tiene un
espesor e
217 mm, el espesor
el cartÓn
es
nueveveces2/7>>escriben:
217)
x
9
:
l8l7
lo
que
es levaa
escribirdirecta-
mente 8/7) :9
=
217
¿Qué
aprenden os niños?
¿Qué
conceptos
uncionan
en la acción,en
conludo
()tt
la situación?
o
Sedan cuenta
de a insuhcienciade os
númerosnaturales
para
medir
esp€so-
res an finos como el grosorde una hoja de papel.
.
Elaboran
un código
que
les sirve
para
resolver el
problema
de
medida. El
código consisteen utilizar
pares
de
números.
o
Encuentran
pares
de
números
que
coffesponden
al
mismo
grosor.
o
Dado
un
par
de
números
entre
los obtenidos
en a clase- saben
encontrar
el
grosor
de
papel que
representa.
o
Descubren
que
si cogen
40
hojas de una
caja deben obtener el
doble de la
medida
que
obtienen si cogen
20
de
a misma caja.La exigenciade
a
proporciona-
lidad
de
las medidascon el número de
hojas es leva a corregir os errores
que
se
cometen, corrigen
os resultados eniendo en cuenta
as
propiedades
ineales
de
la
función <<medida
e espesores>>.
o
Cuando
los números de hojas
que
se
miden de dos tipos de
papel
distinto
están
muy
próximos
uno del otro observan
a dihcultad de evaluar
a diferenciade
los
espesores deciden
cogerun mayor número
de hojas.Comprenden
que
de esta
t25
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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forma
las
probabilidades
de error
son
menores
y
adaptan
el número
de hojas
a las
necesidades
e medir
espesores.
sto
les
lleva
a encontrar
pares
que
designan
el
mismo
papel,
y
adquieren
un
conocimiento
experimental
de
la equivalencia
de
fracciones
sin
haber
dado
ninguna
definición
y
sin haber
puesto
nombre
a la
equivalencia.
o
ordenan
los
pares
equivalentes
e menor
a
mayor
reduciendo
odos os
pares
l mismo
número
de
hojas,
o
bien a igual
medida
o espesor.
o
Saben
escribir
os
pares
en forma
de fracción
para
designar
el
espesor
e las
hojas,
y
encontrar
racciones
g rales.
o
Sabenhallar
la
suma
de fracciones
de denominadores
distintos
siempre
que
espesores
e hojas
de
papel
y que
la
reducción
al mismo
número
de
seaevidente,
or
ejemplo,
5/25
v
80/200.
o
Prog¡esan
n la reducción
de fracciones
a común
denominador y
adquieren
ue
les
permiten
sumar
cualquier
par
de
fracciones que para
ellos
son
espesores).
o
La
sustracción
e fracciones
unciona
como
el
proceso
nverso
a la
operación
se ejercitan en encontrar fraccionesequivalentespor procedimientos
por
ejemplo,
haciendo
istas
de múltiplos
de los
denominadores
hasta
encuentran
uno
común
a los
de os
denominadores
e as
racciones
de as
que
dar
la diferencia.
En
cadamomento
pueden
controlar
os
resultados
olvien-
creen
necesario
la
manipulación
de
las
hojas.
o
Multiplican
fracciones
por
un número
entero
y
aprenden
a distinguir
esta
de la
de hallar
fracciones
equivalentes
una
dada.
o
La
división
aparece
asociada
a
la
multiplicación
como
operación nversa y
un signihcado
preciso
en estecontexto.
Todos
estos
conceptos
uncionan
de forma
implÍcita
y
asociados
a
la
acción.
que
funcionen
en otros
contextos
seránecesario
acer
que
aparezcanen
iver-
situaciones
conexas.Los
números
que
han
construido
para
medir
espesores
servir
para
medir
otras magnitudes,
poco
a
poco
se rán
descontextualizan-
y
constituirán
un
conocimiento
que
los
niños
puedan
utilizar
en
otras
situacio-
no
escolares.
Reproducirun segmento on una unidad no convencional
Material
necesario
Hojas
de
papel
blanco
sin líneas
y
tiras
de cartulina
aproximadamente
de
9 cm
y
de anchuras
diferentes,
ue
servirán
de unidad
de longitud.
(Debe
haber
lo menos
una
para
cadaalumno.)
Ideas
lave
objetivos
.
utilizar fracciones
para
designar
medidas
de longitud
que
-con
la
unidad
se
pueden
designar
con números
enteros
y para
calcular
con
esasme-
a
Explicitar
relaciones
entre
dos
unidades
de medida
<(u, >,
y
entre las
medi-
correspondientes
e una
misma
ongitud.
¡
Proceso
e aprendizaje
Punto de
partida:
Para
poder
hacer esta secuencia,os niños
deben estar acos-
tumbradosa
realizar
comparaciones
adicionesde
longitudes
en situaciones
ivcr-
sas:
ebensaberhacer
comparaciones irectasmediante
superposición utiliz.anclo
como
unidadesun bolígrafo,
por
ejemplo; han comparado as longitudcs
dc los
pupitres
on ayudade iras
de cafulina;
han medido
segmentos los han rcprodr,r
cido;
dadauna unidad
saben
raduar
un segmento
e
recta
con
números
entcros...
Las
acciones
ue
desarrollanos niños
a
o largo
de esta ecuencia
ueden
acer-
les
progresar
n la
comprensiónde a
necesidad
e ntroducir
otros números
distin-
tos
de los naturales. spontáneamente
an
a utilizar
las fracciones
l2, ll4, ll8,
1116...,/5, l/10...,
que
obtienen
encillamente
or
el
plegado
e a
unidad.
Tam-
bién
podrán
observar a necesidad
e encuadrar a medida
entre dos enteros
y
de
ponerse
de acuerdosobre una aproximación
aceptable.Estosconceptos uncionan
de
orma mplÍcita.
Corresponderál
maestro
ealizar l final
una
puesta
n común
de los resultados
estrategias tilizadas,
para
obtenerlos
ecogiéndolo
odo en una
institucionalización
explícita de lo
que
se
ha
conseguido
de
lo
que
todavía no se
ha hecho. Por ejemplo, as fraccionesque han aparecidoson, por el momento, la
medida
de
algunas ongitudes,
pero
todavía
no
sesabesi se
podrá
encontrar
una de
estas
racciones
ara
cada
punto
de un segmento, estas racciones o
tienen aún el
estatutode número. Para
que
lo
tengan
será
preciso
sumarlas,compararlas
y
am-
pliar
a
ellas
as
operaciones
e
los naturales, o
cual no es an
obvio como
pudiera
parecer.
Puede
observarse,
or
ejemplo,
que
la mitad de 12
es 6
y
sin embargo
plegando
l
papel
se
ha visto
que
a mitad de lll2
es
/24...
Y todo
esto
quedapor
haceren
situaciones ucesivas.
Tan
mportante
es
para
el
maestro onducir
el
proceso
e
a
acción
que
se
leva
a caboen una secuencia
omo
dejarla
abierta a un nuevo
progreso,
racias
a las
preguntasque
plantea
cada situa-
ción.)
r
Organizacióne
a
clase
Se distribuyen os
alumnosen
grupos
de 2: emisor
y
receptor,
olocados
icn
separados
no de otro
paraque puedan
rabajar
ndependientemente
no
¡ructlan
ver
o
que
hace
el compañero.
ada
alumno
esemisorde un mensaje irigido a urr
compañero receptor e otro mensaje ue provienede este ompañero dc otro.
El maestro
enuncia
claramente
a
consigna:
Cada uno
de
vosotros
ebe
hacer
una raya
(el
maestro
utilizará el
lenguaje
l
que
os niños
esténacostumbrados)
n su
hoja
de
papel
y
deberáenviar un mensaje
escrito a otro compañero
para que
realice
en su hoja de
papel
otra de la misma
longitud. De esta orma
todos endréisdos rayas: a
vuestra,
y
la
que
hayáis eprodu-
cido con
ayudadel mensaje. os mensajes
nviados
o
pueden
er
dibujos
y
tampo-
co se
puede
usar a regla
en
os mismos.
Si
el receptorde
un
mensaje
iene
necesidad
de más nformación
puedepedirla
por
escrito.
Finalizada
esta
primera parte,
cada
emisor comparacon su receptorsi
el
mensa-
je
ha
sido bien interpretado
y
si el segmento razado reproduce
exactamente
a
longitud
pedida.
No
sueleocurrir
que
los
segmentos eproducidos
puedan
superponerse xacta-
mente
con
los
originales,
o
que
lleva
a
los
alumnos a analizar as causas
de
la
r21
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interpretación
ncorrecta:
nas veces, or
ejemplo,
porque
el
mensaje
o
era
bas-
tante
preciso
o su enguaje
era
complicado;
otras
porque
el
receptor
ná habia
sabido
captarlo.
En
la
puesta
n común,
por
parejas,
e os
resultados
cuerdan
n
código
que
les
permita
reproducir
o
más
exactamente osible
el segmento
ibujado.
Se
dan
cuenta
de
que
en la
mayor
parte
de los
casos
a reproducción
xacta
no
será
posible
y
se
pondrán
de acuerdo
sobre
el <<e.'oD)
ceptable.
por
ejemplo,
podrán
aceptar
omo
válido
un
mensaje
ue
es
permita
aproximarse
asta
l cúarto
doblez
de a
unidad.
Esto
dará
ugar
a mensajes
e
este
ipo: <una
vez
a
unidad,
más
una
vez
la
cuarta
parte,
más
una
vez
la
octava
parle)).
En
este
caso
saben
que
el
error
cometido
será nferior
a
ll16
de a
unidad.
Esta
actividad
puede
proponerse
de
dos formas
distintas y
en ciefto
modo,
pro-
gresivas.
i
damos
a los
niños
a
unidad
antes
de
que
hayan
dibujado
el
segmento,
muchos
niños
o
dibujarán
de forma
que
contenga
n número
exacto
de
veces
a
unidad
y
no
existirá
ningún problema
pa.a
.ep.oducirlo,
puesto
que
el mensaje
s
fácil
de nterpretar.
Si,
por
el contrario,
no
damos a
unídad
hasia
que
los
niños
hayan
dibujado
el
segmento
a
actividad
se
complica
y
se
enriquece.
ue
utilizan
los
niños
para
elaborar
los
mensajes
a) Al
principio
pueden
pensar
en
dibujar
un
segmento
que
pueda
describirse
on
la hoja,
pues
odas
son guales,
in utilizar
a medida.
puedün,
por
doblar
a
hoja
por
la
mitad y
trazat
un segmento
n
la
doblez
que
va
de
a
lado,
o
trazar
una
diagonal.
Si
estos
procedimientos
e
dieran,
el maestro
mponer
una
condición
más
a la
consigna:
xigir
que
el
segmenio
o
toqu"
borde
de a
hoja.
b) Llevar
a
unidad
tantasveces
omo
se
pueda
sobre
a
longitud
elegida.
Se
l
problema
a
evaluar
el
trozo
que
queda.
Este
esto
es
a diferencia
ntre
a
y
n veces
a
unidad.
l -nu=r
ff iFigura8.r
r
Si el resto
es
muy
pequeño,
falta
un
poco
para
legar
a un
número
entero
de
e
desprecia,
el mensaje
uele
er
dres
eces
a
unidad
y
un
poquito>>,
n
poquito
para
que
sea
resveces
a
unidad>.
o
Si el resto
es
grande
en
relación
con
u-
sebusca
una forma
de medirlo.
recuente
s obtener
una nueva
unidad
v,
que
suele
er a
mitad
de
u.
Se
plegando
l
papel
como
en a
situaciónprecedente,
e
raslada
sobre
el resto
si
v
es mayor
que
el resto
se vuelve
a
plegar
el
papel,
pudiéndose
epetir
esta
asta
res
o cuatro
veces.
c)
otro
procedimiento
s
rasladar
l resto
sobre
a
unidad
y
ver
cuántas eces
contenido
en ella. Si
es un número
exacto
de
veces,
aproximadamente,
n-
8
tonces
el
resto es de la
forma
(u/n)u.
Si
hay mucha diferencia
se
abandona
estc
procedimiento.
ReclNe Dou¡,ov
(1984)
cita la
respuesta iguiente
dada
por
un
niño:
<Trazóun segmento
e
ongitud un
poquito
más
pequeño ue
a
unidad
rr c
hizo
una señal
sobre ¿l
levando el
resto
sobre
a longitud
l. Después lcvti la
longitud
12
veces
obre
y
por
tanto
l3
veces
n u,
y
escribió:
:
(l2ll3)trt
Figura
8.2
Una
vez realizada
sta
primera
parte
veamos
os tres tipos de
mensajes
ue
aparecen,
ómo os een
os niños,
y
cómo
evolucionan:
o
El emisordescribe n engua
usual
as
acciones
ue
realiza.
El mensaje
uede
ser suhciente
ara
reproducir
el
segmento
ero
también
puede
ser ambiguo
y
no
transmitir
nformación
pertinente.
Esto
sucede ncluso cuando esta actividad
se
realizacon alumnos
de
magisterio.Por
ejemplo,
pueden
decir:
<<coges
a tira de
papel,
a
colocas obre
a raya,
haces na señal, sobra
un
poquito...>,
Algo más
largo
que
a
unidaó>;<Doblas l
papelpor
la mitad,
subes n
poquito
hacia a
dere-
cha.. .>.
o
El emisor
envía
ndicaciones
obre
a
medidade su segmento,
or
ejemplo,
<mi
segmento
mide
dos
veces
a unidad
y
la mitad
de
a unidad
y
la
cuarta
parte
de
la unidad>,o
<mi
segmentomide
un cuartode
a longitud
de
a
unidad
+
l/10 del
cuarto)).
o
El emisorenvía un mensaje
odificado
numéricamente
ompletao
parcial-
mente.Por
ejemplo:
<2u
(112)u
(ll4)u>;
<<(l12)u
un
medio
dcl cuarto
lc
u>>.
Los mensajes
onal
principio
del
primer
ipo
y poco
a
poco
van
evolucioni¡ndo.
Lo
que permite
mejorar
un
mensaje
s a confrontación on el compañr:ro
¡uc
lr
tenidoque nterpretarlo. os errores ue producen os mensajes oco prccisoslc-
van
a los alumnosa
descubrir uevosmensajes on mayor
precisión,
asta ¡ucsc
ponen
de acuerdo on os mensajes uméricos
ue permiten
eproducir
l segme
to
sin ambigüedad,
ceptando
legar
hastauna tercerao cuarta subdivisión
que
les
permita
una buenaaproximación l
segmento legido.
En
estaactividad
s
muy importante
ómo
a
conduzca l maestro. uel e currir
que
os niños
-y
los
alumnosde magisterio uando
se
hace
con
ellos-
son
poco
exigentes n a
precisión,
econformancon una
<reproducción>
ue
difiere
bastan-
te del
segmento riginal,
y
si el maestro no recuerda a
consignade
que
debe
reproducirse
xactamenlea longitud
del segmento
uedenquedarse
n
los
prime-
ros mensajes,
argos,
mbiguos
no
numéricos. on o
que
no se
consigue l objeti-
vo
propuesto.
Al
finalizar
estaactividad os niños han sentido a <<necesidad>>
e
introducir
números
distintosde os naturales. an
aparecido
as
racciones 12, ll4,...espon-
táneamente
legando
a
unidad.Han utilizadoestas racciones
ara
designarmedi.
129
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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das de longitud
y
han
explicitado
relaciones
entre
dos
unidades
de
medida.
v
entre
medidas
correspondientes
e
una
misma
longitud.
8.5.3.
Utilización
de una
graduación
decimal
para
medir
longitudes
¡
Descripción
Se
pretende
con
esta secuencia
nriquecer
a
correspondencia
ntre los
puntos
de a
graduación
las medidas
e ongitud.
r
Material
Cada
niño recibe:
¡
un folio
sobreel
que
se han
dibujado
ocho
o
diez
segmentos,
istribuidos
en
direcciones
diferentes.
Las
longitudes
de los
segmentos
on
muy
parecidas
por
ejemplo:8cm,
2cm,9cm,
l0cm,
l l
cm, l0,5cm, 13,5 m,9,75cm,
,25cm).
Figura
8.3
\
-ttt
\
o
una
tira
de cartulina
(de
6
ó
7
cm
de largo)
que
servirá
de unidad
de lon-
.
Una
tira
de cartulina
de uno 20
cm.
Proceso
Punto
de
partida:
os niños
han medido
ya
longitudes
utilizando
reglas
gradua-
con números
enteros.
A lo
largo
de esta
secuencia
tilizarán
la
graduacién
para
longitudesy
deberán ntroducir las medidasno enterasque encuentren.Espaso
hacia
el estatuto
de números
para
estasmedidas.
Organización
e a
clase
La
primera
aJs
es un
trabajo individual.
La consigna
es:<<ordenar
os
segmen-
su longituó>.
Los
segmentos
e han
colocado
en
la
hoja
de forma
que
los niños
no
puedan
a
ojo sino
que
se vean
obligados
a
adoptar una
estrategia
ue
es
permita
Las
estrategias
osibles
son:
.
Medir
los
segmentos
on la unidad
u
y
comparar
as
medidas
obtenidas.
.
o
Trasladar
as ongitudes
de
os
segmentos
obre a
tira
de
papel
a
partir
de un
origen,
y
deducir
el
orden
de
los
segmentos
el
de sus
extremidades.
0
a
Graduar
previamente
a
tira de
papel
con
la unidad
u,
matcar algunas
rac-
ciones,
y
sobre
esta
graduación
rasladar
os segmentos
ue
deben
ordenar.
La segunda
ase
es
una
puesta
en común
de
las estrategias
eguidas
de
las
dificultades
que
han
tenido
para
medir los segmentos
para
ordenarlos.
Se
pucdcn
comparar
demás
os ófdenes
ue
han dado
os niños
y
verihcar
si odos
coincidcn'
Para
ello el
maestro
puede
hacer
en la
pizarra
un
cuadro
de doble
entrada
segmcn-
tos-niños)
y
copiar
el orden
que
han obtenido.
Los
casos
e
discrepancia
ueden
scr
particularmente
nteresantes
orque
revelarán
as
dificultades
que
han tenido.
Sc
van a enc6ntrar
con
fraCciones
ue
deberán
comparar
y
algunas
con denominado-
res
diferentes.
No se rata
aquí de
hacer un
aprendizaje
sistemático
de
reducciÓn
a
común
denominador
sino
que
las
compararán
por
otros
procedimientos
asociados
a la signifrcación
dada
a las
racciones,
por
ejemplo,
comparándolas
on
la unidad,
con
la mitad de
la unidad
o sencillamente
epresentándolas
obre una
recta.
Al
terminar
esta
asecada
niño tiene
graduada
a tira
de cartulina
de
20 cm.
La tercera
ase
es otra
vez
ndividual.
Cada
alumno
recibe
una
hoja en
a
que
se
dan ciertas
medidas
de segmentos
n función
de
u,
para
que
las intercalen
en la
graduación.Se es ha dado, por ejemplo(ll2)u,
QlQu,
(314)u, l/12)u' (lls)u,
( t l tO)u. . .
Deberánbuscar una
estrategia
ue
les
permita
ordenar
odos
os segmentos,
os
que
tienen
dibujados
y
los
que
sólo tienen
por
sus
medidas.
Para ello
pueden
utilizar
procedimientos
distintos:
o
Dibujar
los segmentos
e los
que
se conoce
a
medida
y
trasladarlos
a
partir
del origen
sobre
a semi-recta
raduada,
o
que
es
permite
compararlos
con
los
que
ya
tenían
representados.
o
Comparar
os números
que
obtienen
midiendo
los
segmentos e
la
primera
fasecon
los números
que
se
han dado en
esta ercera
ase.
Este modo de
proceder
plantea
en este
momento muchas
dificultades
porque
todavía
no comparan
fácil-
mente
racciones
on
distintos
denominadores.
Puededesembocar
sta
situación
cn
actividades
e
subgraduaciones
ucesivas.
ntre
las racciones
que
van
aparocicnclo
han salido
racciones
e
a forma
I
ll0,
2/10...,
pero
odavía
no
se
es ha dado
un
estatuto
especial
orque
se espera
que
los niños
lo descubran
en
actividadcs
postc-
rioreS.
or el
momento enemos
racciones
ue
han aparecido
6mo
necesarias
la
hora de medir,perOno nos detenemOsn ver cómo se elacionan ntreellas, ómtl
están
situadas
unas respecto
de
otras
y
cómo
se
Opera
con ellas.
Nos
parece
máS
importante
multiplicar
las situaciones
en
las
que
estos
nuevos
números aparezcan
como
necesarios.
Las situaciones
.5.2
y
8.5.3
que
acabamos
e
describir
orman
parte
del
proce-
so
de construcción
de
los
números
decimales
elaborado
por
R.
DOUeoV
y
del
que
nos
ocuparemos
en el
Punto
10.4.
8.6.
CONCLUSIÓN
En cada
una de
las situaciones
escritas
odemos
nterrogarnos
sobre
el
tipo de
relaciones
ue
el niño establece
on el saber.
Podemos
preguntarnos
ambién
cuáles
l3 l
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 68/108
os
problemas
de
articulación
de
Os
conocimientos
que
se
van
a
presentar
n
a
en la realización
de estassituaciones.
El
problema
de
la
articulación
de
los
es
objeto
de
numerosas
nvestigaciones,
uyo estudio
está uera
del
de este ibro. No
obstante,
podemos
reflexionar
sobre
este aspecto
de
la
e
los
decimales
y
ocuparnos
de algunosde los
problemas
que plantea
articulación
de
estosaprendizajes,
osa
que
haremos
en el
capítulo
10.
DE REFLEXIÓN,
ACTIVIDADES
Y TALLBRES
l.
Compare a
noción
de situación
didáctica
propuesta
or
Bnoussreu
con la
idea
de aprendizaje
que
se deduce
de la teoría
de DreNrs sobre
el aprendizaje
de las
matemáticas.
Podrá eerse
el capítulo
itulado <<Una
eoría del
aprendizajematemáti-
co>
DrENes,
964).
¿Cuál
es el
papel
del maestro
en la
conducción de las situaciones
ropuestas
or
Bnousse¡u,
y
cuál es el
papel
que
le
corresponde
al maestro
en las situaciones
ue
proponeDIENES?
¿Qué
se espera
del niño en uno
y
otro caso?
2.
Sobre
a
elección
de
libros
de texto.
Muy importante
es a
cuestiónde saber
qué
libros
de
texto
ponemos
en manqs
de
los
alumnos.
SegúnSreeHrNWrLLocHBy<el
ibro
de texto esel factor
más mportante
para
determinar
qué
matemáticas
e enseñan>>
Arithmetic
Teacher,
crubre 1986)
¿Cómo
elegirlos?
Qué
criterios seguir
para
seleccionarlos?
Seha recomendado
or
el N.C.O.T.M.
(
1980)
que
a
resolución
de
problemas
ea
el
enfoquede a enseñanza
e las matemáticas
n los
años80. Se
propone
que
os
alum-
nos aprendan
a:
<<formular
uestiones
lave,analizar
y
conceptualizar
roblemas,
defi-
nir el
problema
y
su objetivo,
descubrirmodelos
y
semejanzas. btener
os datos
apro-
piados,
experimentar
nuevas estrategias,
ransferir
comportamientos
y
estrategias
situaciones uevas>.
Podemos
preguntarnos
n
primer
lugar
cuiil es
el
nivel
de
as
actividades
ue pro-
pone
el libro
y
cuál
es a
proporción
de actividades e
cadauno de os niveles
cognosci-
tivos
que
aparecen n
é1.
¿Qué
proporción
de ejercicios
proponen
actividades
en las
que
se
pide
al alumno
una
respuesta
ue
le
exige: ecordar, econocer
o repetir?
¿Quéproporción de situaciones ecesitan araresolverse ctividadesmentales ales
como:
comparar,sustituir, clasificar?
¿Cuál
es el
porcentaje
de
problemasque
exijen:
ustificar,
explicar, hacerhipótesis,
generalizar,
xperimentar,diseñar...?
El
criterio de considerar
el
nivel
cognoscitivo
de
las
actividades
que
se
proponen
debeservirnos
anto
para
elegir os libros
de texto como
para
analizar nuestra
propia
tareade
enseñanza.
Es
evidente
que
todas
las
tareas no deben
ser del nivel más elevado,
sino
que
debemos nterrogarnos
obre
a
proporción
de las
que
planteamos
eniendo
en cuenta
las
capacidades e os niños,
pero
sobre odo sin olvidar
que
as
capacidades e
desarro-
llan
en
a
acción
y
que
se
pueden
atrofiar si nos imitamos a hacer
de nuestros
lumnos
meros epetidores
mecánicos e algoritmos
aprendidos
sin
significación
para
ellos.
3. Taller: comparar as ongitudes
a, b
y
c
habiendo
ijado una
unidad de
ongitud
<u
(18
cm
por
ejemplo)
el sistema e numeración
e base .
Material
necesario:
iras de cartulina de a misma
ongitud
y
de 3
ó
4
cm de anchu-
r33
ra.
Parauna
clase
de
24 alumnos
6
grupos
de
4
alumnos)
hacen
alta
9.
En tres
iras
se
han trazado
segmentos
e
ongitud
<<¿D);n otras
fes,
segmentos
e
ongitud
<b>;
y
en
las res
restantes, egmentos
e longitud
<o.
Se
necesitan
guálmente
iras de
papel
que
permitan
el
plegado.
Eótas
últimas
sc
toman
como
unidad
de
medida
y
son
todas
guales.
Descripción:
edeben
comparar
as
ongitudes
(a),
<<b>
<<c>in
poderlas
uperp(>
n.r
potqu.
no se
ienen
simultáneamente
as res iras
sino
que
se
miden
una
despuÓs
de oira.
-Se
utilizará
el
método
de
intercambiar
mensajes
ue
hemos
visto
en
las situa-
ciones
.5.1,8.5.2
8.5.3.
La actividad
se
desarrollará
n
varios
pares
de
grupos
A
y
B. Los
grupos
A
reciben
el segmento
<<o> los
grupos
B el segmento
<<b>.ada
grupo
A intercambia
mensajes
con
un
grupo
B.
lJna-vez
hecha
a comparaciÓn
e
<an
y
<b>
y
después
e
haber
puesto
en común
los
resultados
e
distribuye
una
tira
con
el segmento
c>
a
los
grupos
B
que
deberán
enviar
mensajes
los
g,rupos
que
permitan
comparar
c con
a
y
b'
Se
ecogen
analizán
os
mensajes
nviados
se
ponen
en
común
los resultados.
e
comparan
sistemáticamente
as subdivisiones
inarias
y
ternarias
que
aparecen
y
se
descubre uáles
son
más
ventajosas
por qué.
(El
desarrollo
de esta
actividad
puede
verse n
el
libro de
O. Bnssts, 984')
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 69/108
9.
Dificultades,
errores
conflictosy obstáculo
9.r.
rNTRoDUcclóN
Numerosos studios ealizados urante os últimos años Bnouss¡eu,CnRprs-
TER,
HART,
BRowN,
Bell...)
confirman
nuestra
xperiencia
e
todos os
dÍas
acerca
de
a
lentitud
en
la
adquisición
dominio
del
concepto
de número
decimal.
Son
muchas
as
dificultades ue
os
niños
experimentan,
esde l
momento
en
que
tienen
la
primera
información
de
la
existencia
de estos
nuevos
números
hasta
que
son
capaces
e reconocerlos
n un
buen
número
de
situaciones,
utilizarlos
de
forma
correcta,
operar
con
ellos,
comprender
su significado
e intelrarlos
en sus
esquemas
ognoscitivos ersonales,
omo
nuevos
números,
que
incluyen
a los
ente_
ros -ya conocidos- peroque tienenalgunas ropiedades istintas.
El
tiempo
necesario ararealizar
este
camino
que
va
del
primer
contacto
con los
números
decimales
hasta
el dominio
de los
mismos, puede
extenderse
desde
os
ocho
o nueve
años
hasta
os
trece
o
catorce,
sin
que
se
pueda
asegurarque
a esm
edad
están esueltas
odas
as
dificultadesque
este
aprendizaje
planéa.
Los
estudios
de
clnpeNre
R
(N.A.E.P.,
198
)
nosrevelan ue
aunque
asreipuestas
e
o$
alum-
nos
experimentaban
un
progreso
del 20o/o
entre
los
trece
y
los
diecisiete
arios
(res-
pecto
de los
resultados
btenidos
a los
trece
años),
hay
algunas
dificultades
que
persistenhasta os diecisieteaños.
Los
aspectos
el
concepto
de decimal
que
provocan
mayor
dificultad
los
cono-
cemos,
en
gran
pafte,
a
través
del
análisis
de las
respuestas ue
los
alumnos
dan
a
los
problemas
que
les
planteamos
o a las
situaciones ue
resuelven.
ero
analizar
as
producciones
e os
alumnos
en
tareas elativas
l
concepto
e
decimal
es
un
traba_
jo
delicado
para
el maestro.
Exige
haber
profundizado
priviamente
en
el
proceso
de
elaboración
de dicho
concepto,
en la
manera
de aprender
de los
alumnós y,
sobre
todo,
haber
construidopara
sí mismo
un
esquema
ue
le
permita
no
solamente
detectarasdificultades ue revelan as respuéstase los alumnossino,principal_
mente,
diagnosticar
sus
causas
elaborar
nuevas
estrategias
idácticas
u"
p.ouo_.
quen
en
el alumno
a
progresión
n la
comprensión
el concepto,
l mismo
tia-po
que
la
corrección
material
de esos
signos
de incomprensión
que
son
los
errores
repetidos
persistentes
El
interés
de
este
capÍtulo
se
ustifica
por
la
necesidad ue
tiene
el
maestro
de
conocer
cuáles
son
los
aspectos
el
concepto
de
decimal
que
ofrecen
una
mayor
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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que
entendemos
or
error,
dificultad,
obstáculo
o conflicto
y
el significado
que
cada
uno de estos
spectos
iene
en su relación
con el aprendizaje.
En
cadamomento
de una
acción
didáctica
sconveniente
ue
el maestro
onoz-
ca
qué
es o
que
sabe
el alumno
-para poder
apoyarse
n
ello con
el
fin
de
provo-
car el
progreso
n el conocimient o- y
cuáles
on os <<conocimi entos)ue,
aunque
sean
alsos
e
incompletos,
merecen
ser
enidos
en cuenta en la
enseñanza.
or
eso
podemos
preguntarnos:
¿Qué
nos
enseñan os
errores?
Esos
rroresson
siempre
cosas
que
hay
que
evitar? O
por
el contrario,
¿son
ndices eveladores
e
algo
que
nos
permita
decidir o
que
vamos
a enseñar?
n
todo caso
debemosnterpretarlos
antesde
decidir o
que
vamos
a enseñar.
9.2. ERRORES
MÁS FRECUENTES
ELACIONADOS
ON EL
CONCEPTO
DE
NÚMERO
DECIMAL,
CON SU ESCRITURA
Y
CON
SUS
OPERACIONES
Puede
ser de
gran
interés
detenernos
n observar
algunos
de
los
principales
errores
ue
os alumnos
de a
enseñanzabásicay
no sólo
ellos-
producen
uan-
do
operan
con números
decimales.
os hemos
clasihcadoen
cuatro
aparta{os
que
recogen
os
aspectos
más
significativos
a los
que
se efieren
os errores.
En
caáa
uno
de os
casos
nunciamosa
pregunta
ue
sehizo
a los
alumnos
y
retenemos
lgunas
de
las
respuestas
btenidas.
9.2.1.
Errores
elacionados
on a lectura
y
escritura
e
os
números:
valor
de
posición
a)
¿Cuál
de os números
siguientes
s 37 milésimas?
,037;
0,31;37
37 000.
El
88
0/o
de
niños
de
nueve
años
y
el
40
0/o
de trece responden
37
000
(CnnnaN-
rrn,
1981).
Parece
ue
una
buena
parte
de os alumnos
de
estas dadesnterpreta
centésimas
omo
enteros,
piensan
ue
para que
haya milésimas
iene
que
haber
tres
ceros.
b) Si se
pide
a los
alumnos
que
cuenten
por
centésimas,
s fácil
obtener la
respuesta
iguiente:
4,08;14,09;
15.
4 BRowNpropusoel ejercicio iguiente: n un campode útbol hayun conta-
or
que
cuenta as
personas
ue
van
entrando.
En un
momento ndica:
¿Cuánto
marcará
cuando entre
una
persona
más?
Algunas
de las
obtenidas ueron:
e as explicacione s
iguientes:
136
0 6
J
a
9
6 J I
0 0
o
J
9 9 l
0 6
A
9
9
<<No
uedo
poner
el uno
en
a
primera
casilla
porque
habría
10,
ni en
a
segunda
por
la
misma
razón,
uego
o
pongo
en
la tercera.>>
'
d)
calcula
mentalmente
104
menos
doscientos.
l
resultado
rrÓneo
ucdc
ser3003
acompañado
e
a
explicación:
<Como
o
puedo
quitar
dos
cientos
un9,
quito
el
ciento
que
me
queda
a
4.>>
e) Seis
décimas
omo
decimal
seescribe
,6.
¿Cómo
escribes
res
centósimas'l
Algunas
espuestas
rróneas
btenidas:
,300;
3,00;
3,0;
3,100;
00,3;
0'3'
Estoserrores
ndican
que
el
sistema
e
numeración
decimal
no se
ha instalaclo
convenientemente
n
os
niños,
quienes
istemáticamente
ometen
estos
rrores;
estos
esultados
se
repiten
cuando
se trata
de
la escritura
de
números
decimales
menores
ue
a
unidad.
Puesto
que
a
base
de
a escritura
de
números
decimales
sel
sistema
de
numera-
ción
decimal,
no
puede
esperarse
ue
los
niños comprendan
la
escritura
de los
decimales
menores
que
a unidad
mientras
no esté
asegurado
l dominio
del
sistema
de
numeración
decimal
para
a escritura
de
números
enteros.
9.2.2. Errores relacionados on el cero
La
utilización
del
cero
forma
parte
de
mecanismos
que
funcionan
de
distinta
forma
según
el contexto
en
que
aparece.
Ejemplo
1. Algunos
alumnos
gnoran
el
ceroe
interpretan
,036
como
36,
per-
diendo
a estructura
lobal
del
número
y
viéndolosÓlo
omo
un
número
entero.
Ejemplo
2.
1,2'lseconsidera
istinto
de
l'270.
9.2.3.
Errores
elacionados
on el
orden
entre
decimales
a)
Si se
propone
a
los
niños
que
ordenen
del
más
pequeño
al
más
grande
os
números
siguienles:
,5, 4,15,
4,05; La
respuesta
más
frecuente
es
4,05
< 4'5
< 4,15; si si
les
pregunta
por
qué,
dirán
que
<<el ás
pequeño
es
el
que
ticnc ttn
cero,
y
luego5
es
más
pequeño
ue
15>.
Los
números
decimales
on
nterprcla{os
Co-O-pa.es
e
enteros,
ordenados
or
criterios
que
en
algunos
asos
r'rctlcn
lat'
lugar
a
respuestas
olTectas.
Según
raencuesta
el
I.N.R.P.
1977
Envrr-,
1982)
ara
el 37
'/o
e
alumnos
df
CM.
(niños
de
l0 a
I I años),
l
número
3,2
es
nferior
a 3,135'
b) ¿Cuál sel mayorde os números ,09;0,385;0,3;0,1814?
La
respuesta
ás
recuente
s
0,1814.
c)
Intercalar
un
decimal
entre
otros
dos.
,iEntr.
1,23
1,24
no hay
ningún
número,
1,24es
el número
que
sigue
|
,23
>>
9.2.4.
Errores
relacionádos
on
las operaciones
Algunas
operaciones,
con
los resultados
erróneos
correspondientes'
mere-
..n
uñu
particular
atención
por parte
del
maestro.Consideremos
os
ejemplos
si-
guientes:
0,70
0,40
0,20
0,130;
7,3
21,8
38,11
Hacerel
número
437,56 iez
vecesmayor.
Respuesta:
37
'560
3.15
l0: 30.150
a)
b)
c)
respuestas
LJI
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 71/108
d) 3,15 l0:
3,150
e) 2,3x 2,3
4, 9
l )
4x2,3:8,12
C)
2,12:2 1,6
h) A la
pregunta,
cuál
e os
pares
e
operaciones
iguientes
a a respuesta
ayor?
8.4x 4:8:4
8x0,4;8:0,4
0,8 0,4;
,8 0,4
Un bue n número
de alumnosde todas as edades
ustifica
que
multiplicar
es
hacer
un
número más
grandey
dividir
es
hacerlomás
pequeño.
Estos resultados,
omados de
diversos rabajos citados en la bibliografia, los
encontramos
on
mucha frecuencia
n nuestros
lumnosde 5.o
y
6.ode E.G.B.
y
nos revelan
cómo
para
estos
alumnos
as
reglas
que
siguen uncionando
son
as
de
los númerosnaturales,
que
os números
con coma son
percibidos
omo
pares
e
númerosnaturales.Parece
ue
os
errores
que
cometen
os niños
están
elacionados
con una cierta manerade comprender.
En este
punto
hemos
presentado
n cierto número de
erroresagrupados egún
una clasificación
primaria.
¿Pueden
gruparse
lrededorde algunas deashomogé-
neas obtenerniveles,
ategorías,tc.?Éste
es
el fin de os
rabajos e
BRow¡
que
exponemosn el
punto
9.3.
9.3. AGRUPAR LOS
BRRORES PARA IDENTIFICAR NIVELES
DE
COMPRBNSION
Los
errores
y
los resultados orrectos
obtenidosen diversos estsescritos, egui-
dos de
algunas
ntrevistas,
an
levadoal equipo
C.S.M.S.
BRowN,
1981)
a deter-
minar 6
niveles
de
comprensióndel tema:
<<lugar
e
posición y
números dec
males).
Se estudió si los
escolares
ngleses
e once a
quince
años
poseen
el
significado
del
valor
posicional
para
os números
enteros
y para
os decimales,
si saben ómo
funcionan
y
cómo se apli can en
distintassituaciones n
las
que
intervienen.Los
tópicoscubiertospor los cuestionarios ueron los siguientesson os que figuran en
la mayor
parte
de os
currículos e este
nivel):
a,/ Correspondencia
ntre
nombre
lugar
de
posición.
h) Las levadas
n la
adición,
0
en un lugar
esequivalente I situado
n el lugar
inmcdiatamente
a zquierda.
c)
El
complicado
enojoso specto e a sustracción,
ue
esel inverso
e á/,
I
en un
lugar sequivalente
l0 del ugar ituadonmediatamente
a derecha.
d) Otns relaciones
ntre ugares,ncluyendo
a comparación
e dosnúmeros.
r,/ Correspondencia
isual
on racciones,ongitud
área omo
eusan
ara
eerescalas.
l)
Representacionos
aproximaciones.
l )
Resultado
e multiplicar
or
un múltiplo
euna
potencia
e 10.
h)
Resultado
edividir
por
un múltiplo
euna
potencia
e 10.
r)
La noción
e
que
multiplicar
or
un
número nfbrior
I eshacer
más
pequeño
l
número,
ientras
ue
dividirlo s
hacerlo
ás
rande.
r38
j)
La
naturaleza
nfrnita
del
conjunto
de
los
números
eales'
b
co.o.inlianto
del
tipo
de
situaciones
eales
n
as
que
se
usan
normalmente
os númc-
ros
decimales.
Del
resultado
de
los tests
escritos
se
obtuvo
un
conjunto
de
cuestiones
quc
p..*i i..on
identifrcar
un
grupo relativamente
homogéneo
y
de
este
grupo se obtu-
vieron
seis
niveles,
por
un
froiedimiento
que
permite
agrupar
los
alumnos
según
cl
nivel
de
facilidad
que
manifiestan
en
sus
respuestas
escritas.
El
nivel
de
facilidad
o
de
difrcultad
de
las
preguntas se
mide
-en este
trabajo-
por
el
porcentaje de
respuestas
correctas
o
incorrectas
según
las edades'
Los
niveles
obtenidos
ueron
os
siguientes:
o
Nivel
l:
valor
posicional e
números
enteros
mayores
ue
1000'
-
^^
cuestiones
ípicas
de.rt
nit.r,
subraya
el
mayor
de
os
números
20
100
y
20
0951
scribe
un
número
entre
4
100
Y
4200.
o
Nivel
2: decimales,
écimas.
cuestiones ípicas en estenivel fueron semejantes las
que
presentamos
en
el
párra-
fo
I 1.8.
Éste es
el
cuadrado
unidad,
el
área
sombreada
s:
Dar
la
resPuesta
omo
un
decimal'
-
5
r----"1
b
Figura
9.1
Este
número
es:
Subraya
el
número
mayor
entre
4'06
y
4'5'
o
Nivel
3: decimales,
entésimas,
milésimas'
Cuestiones
ípicas
de
este
nivel
fueron:
Seis
décimas'como
decimal
es 0,6.
¿Cómo
podrías
escribir
tres
centésimas?,
scribc
un
número
entre
0,41
Y
0,42.
ff i
2'7
¿ó
Figura .2
Este
número
es:
¡
Nivel
4: decimales,
elación
con
los
lugares
a
la
izquierda'
Cuestiones
ípicas
de este
nivel
fueron:
Snbraya
el
número
-ar
p.o-i*" a 0,l8
entre
os
números:
0,1;
10; 0,2;20"
0'01;
2'
Multiplica
por
diez
5,13.
Figura
9.3
Este
número
es:
o
Nivel
5:
relaciones
más
complejas
de
lugar'
13 9
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 72/108
Cuestiones
Ípicas
e
este ivel
ueron:
Cuatro
écimas
s o
mismo
que...
entésimas.
Divide
,7
por
una
centésima.
En
5214,
l 2 representa
cientos.
En
521400,
l 2 representa
.. .
'
Nivel
6:
decimales
omo
esultado
euna
división.
úmero
nfinito
dedecimales.
Cuestiones
ípicas
e este ivel
ueron:
Divide
or
20:
24,..
;
16...
¿Cuál
s
el número
ue
e
parece
ás
próximo
e 59
+ 190?
¿Cuántos
úmeros
ueden
scribirse
ntre
O,4l
y
0,42?
BRowNy
su
equipo
legan
on
este
estudio
a
las
conclusiones
iguientes:
o
El 50
0/o
de los alumnos
de
quince
años
iene
un conocimiento
azonable,
pero
no
completo,
de los
decimales,
mientras que
el 50
0/o
restante
iene lagunas
considerables,
o
que
no
significa
que
estos
alumnos
no
sean
capaces
e utilizar
correctamente
os
números
decimales
en
situaciones
oncretas
familiares,
como
son a mediday lasmonedas.
o
Se han
encontrado
odos os
niveles
de comprensión
en
cada uno
de
los
grupos
de 12,
13,
14
y
15
años,
aunque
en
proporciones
iferentes
e año
en año.
o
Existe
una
particular
dificultad
en a
comprensión
e a
centésima,
.é1lo
es
hace
pensar
ue
muchos
alumnos
necesitan
modelos
isuales
e décimas,
entési-
mas,
etc.,
para
comprenderlas
n
un
sentido
correcto,
o
que
leva
a los
autores
e
rabajo
a
proponer
el
uso
de
os
bloques
multibase
e DrsNes,
sencillamente
apel
cuadriculado.
Es
posible
ue
os
maestros
e os
alumnos
de
estas
dades
iensen
ue
os
niños
adquirido
el
dominio
de estas
deas
a
los
once
años, o
que
no
pureó"
..
el
caso
Las
conclusiones
e
este rabajo
destacan
a necesidad ue
tiene el
maestro
un
diagnóstico
esmerado
e cómo
progresa
ada
ndividuo
en
las
cuestio-
que
recubren
el
tópico
analizadoy
en otras
similares.
Hemosvisto
una
manera
de
utilizar
os
errores
ue
procede:
or
una
enumera-
de
emas
caracterÍsticos
el dominio
escolar
e
un conceptó,
n
nuestro
aso,
números
decimales;
elabora
un
cuestionarioque
permite
decretar
el
grado
de
o de dificultad de cadauno de los aspectos ue comprendeel concepto;
on
ello lamar
a
atención
del
maestro
obre
a
necesidad
e diagnosticar
grado
de conocimiento
que
tiene
cada
alumno
y
la
manera
de
progresar
ue
e
es
y
propone,
finalmente, que
se utilicen
materialesqu.
pé.rnItun
<<concreti-
a
décima.
a
centésima,
tc .
¿SON
Úrn ns
CIERTOS
ERRORES
N
LOS
PROCESOS
DE
APRENDTZAJE?
\
¿Qué
pueden
evelarnos
iertos
errores?
Los
errores
que
no
sedeben
a
distracciones,
ino
que
se eproducen
sistemática-
en
situaciones
imilares,
son
muy interesantes
orque
nos revelan
a
existen_
0
cia
de
modelos
mplícitos erróneos.
Estoserrores
no
aparecen
islados,
ino
quc
están
elacionados
on una
cierta
manerade Conocer
ue permite
detectar
as csis-
tencias
a evolución
de un concepto,
sto
es,
os obstáculos
pistemológicos.
:s le
desear
ue
os modelos
mplícitoserróneos
ehaganexplícitos
roduciendo
rrorcs
que,
en el
decir de
ANN.q
KRYGOWSKA,
odemos
alificar
de
<<errores
cltditos>.
porque
nos
ponen
sobre
a
pista
de
malentendidos
ue
se
nstalan
se
cclnsoliclalr
i
no Se
muestranexplÍcitamente.
os
comportamientos
el alumno
pucdcn
scr co-
rrectos,
veces urante
mucho iempo,
aunque
stén
ostenidos
or
modelos
álsos.
Si
el
maestrono conoce
os modelos
erróneos
e
los alumnos
-lo
que
no
han
comprendido
o
han comprendido
mal-
dificilmente
podrá
crear
as condiciones
necesarias
ara provocar
el
progresoy
la
reorganizaciÓn
e
las deas.
Los conocimient oS
nsultcientes
eben
considerarse
omo
una
etapa
necesaria
para
el
progreso
del conocimiento,
y
el
que
aparezcan
es de
gran
utilidad
para
el
maestro.
stono
quiere
decir
que
debamos
rovocar
os errores,
ero
sí
as
situacio-
nes
que
puedanponer
de
manifiesto
a signihcaciÓn
ue
los niños dan
a lo
que
dicen,
escriben
o hacen
espectode
una
idea matemática.
La utilidadque se econoce l errorpermitedistinguirel modelode pedagogía.
El error,
por
ejemplo,
no tiene
una
función
ni
un
lugar
en una
pedagogÍa
mpirista
en
a
que
el maestro
o
analiza
os errores
inO
que,
Si
éstos e
producen,
uelvea
repetir
a lección,
hasta
que
se
aprenda...,
no
aparezcan
máserrores.
En las situa-
ciones idácticas
radicionales
l
alumno
que
comete
un efror
essancionado
or
el
maeslro;
pero
si
no comprende
o
que
hace,
no
puede
ener una
actitud
reflexiva
sobre
u actividad
esto
e
conduce
elaborar
ábitos
ue
uncionan
como
reflejos
condicionados,
n
os
que
no hay
posibilidad
e
situarel
error. Sin
embargo,
uede
conseguirse
ue
el error
uegue
un
papel
mportante,
i se
e hace
uncionar
como
motor de
a acción
y
de
a reflexión
Bnoussenu,1983), n siluacione.s
propiadas,
en
las
que
el alumno
que
ha fracasado
n
la resolución
de un
problema,
puedc
analizar
u
fracaso
en
términos
de error-,
puede
volvera considerar
u cstratc-
gia -volviendo a
la acción
para
ver
por
qué
no le
ha salido bicn-,
y
pucdc
rectificar
u
modo
de hacer
al
final de
un
proceso
e adaptación
la situat'ioll
¡l
el
que
ha sido
protagonis ta e su aprendizaje.
9.4.2,
Enseñanza
or
el método
<<conflicto>
Algunosautores
roponen
el
empleo
sistemático
e un enfoquc
<conflicto>
n
la enseñanza. onsiste
n
provocar
en
los alujnnos
eflexiones
debates
obresus
propios
efTores
lagunas e conocimiento
en un
tema
preciso.
MelCOlV SWRN
(1987)
ha
comparado,
or
ejemplo,
a enseñanza
el
valor
posicional
ecimal
por
un
método
<<positivo>>
la
forma tradicional
de
presentar
as nociones)con
la ense-
ñanza
por
el método
<conflicto>.
Las
lecciones
por
este
segundo
método tienen
cuatro
fases.
a) Se
da a
los
alumnos
una
tarea oral
o escrita.
Las
cuestiones
e
han
prepaia-
do
cuidadosamente
eniendo
en cuenta
os
errores
etectados
n
un
pre-test.)
b) Se
vuelve a dar la
misma tarea,
pero
esta
vez
ienen
que
realizarla
usando
al
menosuna de
asalternativas
ue
el
maestro
ropone:
or
ejemplo
a recta
numéri-
ca o
la
calculadora.
t4l
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 73/108
4
Se
provoca
una
reflexión
y
un debate
en
el
que
se
dan cuenta
de lo
inade-
cuado
de
algunas respuestas
reconocen
a necesidad
de nuevos
métodos
o de
nuevos
onceptos.
Estos
debates
suelen
provocarse
dando
a un niño
los
ejercicios resueltos
por
otro,
con errores
que
él no
ha
cometido.
d) En la
cuarta
fase
se refuerza
el
concepto
correcto,
utilizándolo
adecuada-
mente.
Al
final, los
alumnos
proponen
ejercicios
esueltos
or
un
alumno imaginario y
diagnostican
ellos mismos
os
errores.
Los
autores
de
este rabajo
señalan
que
habiendo
utilizado
en los
dos métodos
de
enseñanza positivo
y
por
conflicto-
los mismos
materiales hchas
de
ejerci-
cios,
calculadora,
tc.),
el método
conflicto fue
más
significativo
para
corregir
las
incomprensiones
los
effores.Y
concluyen
que
a
enseñanza
or
conflicto
permite
una más
profunda
comprensión
conceptual,
aunque
exigemucho
más
esfuerzo
por
parte
del maestro.
9.5.
¿SON
LOS
ERRORES
NTCAMENTE
XOlCnS
DE
UN
APRENDIZAJE
NCOMPLETO
O DE
UN FRACASO?:
ALGUNAS
REFLEXIONES
DIDÁCTICAS
SOBRE
LAS
-
CAUSAS
DE
LOS
ERRORES
.
Conocimiento
nsuJiciente
e as reglas
e a numeraciótt
ecimal
No
parece
necesario
nsistir
más
sobre la necesidad
de
dominar la
escritura
ecimal
para
los números
superiores
a la
unidad,
antes
de
poder
extenderla
de
forma
comprensiva
a la
escritura
de números
nferiores
a
l.
.
Conocimiento
uficiente
e os naturales,
ero
rcsístente
l cambio
de estatus
Es
el
caso
de
los
niños
que
nterpretan
correctamente
as
decenas,
entenas
e mil,
pero
no asocian
as
escrituras
e décima,
entésima,
tc.,al mismo
o llegana verquese rata deextender n mismomodelode representa-
(10
unidades
hacen
una
decena
es
lo
mismo
que
diez
décimashacen
una
esta dea
an
sencilla
s muy lenta
en su
elaboración
ognoscitiva.
currir
que
as deas
más
sencillas
o
son as
primeras
n se.
comprendidas
debe
extrañarnos
ue
los niños
necesiten
mucho
tiempo
para
hacer
suya
esta
que.sabemos,
or
otra
parte,
uvo
una larga
génesis
istórica.
No
debemos
que
sólo a
partir
del siglo xvr forma
parf€
del
bagaje
de los matemáticos.
prender
os
maestros
todos os
que
de alguna
manera
omos
espon-
e 1o
que
exigimos
los niños,
que
no
ganamos
ada
ntentando
aceleraros
i
estosno
están
preparados.
ólo
conseguiremos
ecanismos
a-
de
significación
además
y
estoes muy
triste- les
privamos
de la
alegría
proporciona
l descubrir
comprender.
42
o
La
orma
en
que
se
han
presentado
os
decimales
los
niños
El
origen
de
algunos
enores
hay
que
buscarlo
en
la
introducciÓn
ue
sc
hl t
hecho
de
los
decimales.
p;;;;;-;t,
si
la situación
en
la
que ha
aparecido
por
primera
vez
el
número
decimal
es
para
expresar
el
número
de
habitantes
dc
un¡
ciudad,
omando
olno
"ri;uJ
"i
tnlt
o
el
millón,
el
número
decimal
es
percibidtt
ilr;;
;;;;;."
ru
vu*tupotitiÓn
de-dos
números
enteros'
eparados
or
unil
coma,
y
lo
mrsmo
rt,.*ttuil""oducido
por
la
medida'
En
ambos
casos
basta
cambiar
a
unidad
pu.u
qut
át*purezca
la
coma'
que
sÓlo
había
servido
para dislia-
zar
un
número
entero'
Ejemplo:
1'23
m
:
l¿5
cm'
*-
E;t"
presentación
acént,ia
a
idea
de
que
a
todo
natural
-que
expresa
una
medida-
se
puede
uro"t'-""
ttút"t'o
decimal
con
un
cambio
de
unidad
adecua-
do,
y
que
a
todo
¿."i'nui
*
put¿" asociar
un
número
natural'
Pero
deja
en
la
sombra
las
diferencia,
qu"-.*irt*
entre_la.topología
discreta
de
los
naturales
y
la
topología
densa,
aunque
no
continua'
de
los
decimales'
Elmismoproblemapuedepresentarsecuandosehanintroducidolosnúmer
decimalescomoelresultadodeenumerarunacoleccióndecubitos,barras,pla
;Ñ;
1000 ubitos, omandocomo unidad a placa'
Ejempto:
6
cubitos,
4
barras,
2
placasse
escribirá
2'46
que
es
o
mismo
que
246
si
se
oma
como
unidad
"i""Uít"
icomo
hemos
visto
en
el
punto 7'2)'
No
es
de
extrañar
q"*riálÁ"den
de
decimal
leve
al
niño
a decir
que
2,47
es
el
número
que
sigue
az,qá-,pátq""
Uá""
añadir
un
cubito'
y
que
por
tanto''enfte
2'46
y
2,47
no
hay
ningun
nil;;"'
Y
también
el
número
2'46
se
verá
distinto
del
número
2,460.
Enresumen, todaslasformasdeint roduci r losnúmerosdecimalesqueno
mitan
su
aparición
como
números
nuevos,
on
algunas
propiedades
istintas
de
os
naturales,puedeno"u, 'onu'ou'táculossuplem"' ' tu' io'queseañadenalosobst
los
epistemolÓgicos
sociados
l
concepto'
o
Teoremas
mplícítos
ue
e
abrican
os
alumnos
Muchasveceslosalumnossefabr icanreglasdeacciÓnquelespermi tcn
resultados
orrectos,
asta
el
punto de
que
estas
eglas
ueden-no
er.conociclas
tl r
el
maestro
i
no
llega
;i;"G"t
las
ocaÁiones
n
ai
que a
regla-no
irvc
v
conducc
al error. Por ejemplo,
"í;;;;t;;;l"s
lmpticitas sobreel modo de ordenar os dcci-
males
pueden
ser:
<<Es
nfuo.
el
número
que
tiene
más
cifras
después
e
a coma'>
il;"¿;I"
;,r.
.,
fui*
puede
producir
buenos
resultados
en
algunos
casos:
12,04
12,4;
petot uclsu'a
a hoia
de
ordenar
12'413
l2'4;
ola
que
hemos
visto
funcionar
.r,
to,
.rro.JJr"ü*
"i
"i¿.n:
se
aplica
el
algoritmo
de
ordenación
de
los
enteros
os
números;;h"y
antes
e
a coma
y
a
os
que
hay
después
e
a coma'
io
qu.
¿u.¿
4,15
>
.4,5
porque
5
es
mayor
que 4'
Es
sumament.
,-port"ni.
conocer
q,ré
rigttift"u.iÓn
dan
los
niños
a
las
opera-
ciones
que
hacen,
y nl..r-q".
las
definicionei
o
teoremas
que
se
han
fabricado
se
hagan
explícitos
para
páá.iu..pturtos
si
son
válidos,
o
rechazarlos
n
caso
contra-
rio.
143
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 74/108
t
Aplicaciones
situaciones
rdcticas,
eares
mds
o menos
amiliares
para
ros
iños
otra
causa
de os
errores
puede
ser
a
ausencia
e
situaciones
ignificativas
n as
ue
el
niño
encuentre
os
números
decimales.
Fuera
de las
me¿i"áas-v
a
moneda
-y
ésta
sólo
en
algunospaÍses-
no
existen
ituu.i*.t
r".iir".",
"
los
niños que
den_sentido
algunas
de las
operaciones
án
decimales.
Hemospedido
a 500
alumnos
de
5.o
y
6.o
de
E.G.B.que
enunciaran,
or
ejem_
lo,
un
problema
al
que
correspondiera
a
operación
,75
5.
El
análisis
de
las
respuestas
os
ha
llevado
a
las
conclusiones
iguientes:
o
Todos
los
problemas
que
<<inventan>
os
niños
son
de
repartir
algo,
o
que
revela
as
situaciones
scolares
ue
aprendieron
n
3.o
de
E.G.B.
con
números
natu-
rales.
o
un
gran
número
d^e
lumnos
reparte
cuerdas,
bombones,
alambres,
pasteres
y.'.
¡céntimos
parecen.0,75
rozos,
0,75
pasteles,
',zs
Ln
á"i;;;;"r...
o
Algunos
alumnos
hacen
sencilla."nt.
d.rupurecer
a
coma y
dividen
75
en_
tre
5.
Probablemente
as
situaciones
que
dan
significado
a ros
decimares
a
ciertas
operaciones
on
ellos
sean
ólo
situaciones.esiolares,
ero
estas
eben-adaptarse
las
operaciones.
os
resultados
btenidos
nos
revelan
que
no
se ha
hecho
el
faso
de
la
división
con
números
naturales
la
división
con
los
números
decimales.
omo
no
se ha
creado
un nuevo
significado,
no
es
<ie
extrañar que
se
produzcan
estos
otro
problema
que
se
planteó
a los
mismos
alumnos
ri.ii,r.ngo
unu
de
0,800
m
de larga.
Deseo
hacer
cuerdas
de 0,g
m
¿. l"rgá.
jcrántas
cuer_
puedo
hacer?>>
El
43'5
% de
los
niños
dan
una
respuesta
rrónea.
Todos
los
errores
muestran
ncomprensión
bsoluta
e
as
r..ituru,
decimales
"
,"
;;;;;.'
El 23'76
0/o
dan
por
respuesta
00
después
e haber
hecho
a
¿i"irio"
o.
0,g00
m
0,8
m.
Lo
que
rnuestra
una
desconexión
bsoluta
entre
los
nrimeros
y
ta
Los
niños
que
dan
esta
espuesta
acen
una
operación,
dan
un
resurtado,
son
incapaces
e
compararlo
con
la
realidad,
o
que
les
p";;iiil;"orregrr
er
(CeureNo.
1987).
DIFICULTAD,
CONFLICTO,
OBSTÁCUIO,
ERROR
dificurtad
s
algo
que
mpide
ejecutar
ien
o entender
ronto
una
cosa.
as
pueden
proceder
de
diversas
ausas,
eracionadas
on
"t
"on""pto
qu.
aprende,
con
el
método que
utiliza
el maestro,
con
la
preparacion
ante¡or
del
o
con
su
propia
disposición
ara
aprender.
conflicto
significa
choque
u
oposición
entre
formas
contradictorias
de interpre-
una
misma
situación.
Se
habla
de
conflicto
cognoscitivo
uando
dos
deas
on_
chocan
y producen
un
desequilibrio
que
puede
provocar
duda y produ-
errores.
La
noción
de
conflicto
qqrgnoscitivo
ace
referencia
a la
teoría
de
plnc¡t
sobre
<equilibración
mayoranteir.
ara
prec.r,
cr
conocimiento
rogi"ru
pasan¿o
e
4
Un
estado
de equilibrio
a otro
a través
de
una etapa
de transición
durante
la cual
lXiste
un
desequilibrio.
Éste se
produce
porque
las
relaciones
que
se tenian
como
V¿li¿as
n una
etapa
anterior
entran
en contradicciÓn
on otras
nuevas
o con
una
n¡eva
reorganización
de
las antiguas.
La
fase de
conflicto
se
supera
durante
un
período
de
reorganización
de coordinaciÓn
que
desemboca
n
un
nuevo
estadodc
iquilibrio,
en
un conocimiento
más
amplio
que
el
anterior.
El
nuevoconocimientcr
permite
ntegrar
el
antiguo
y
comprenderlo
mejor,
porque
se
e ha situado
en una
estructura
más
rica
que
la
precedente.
En el diccionario
eemos
que
obstáculo
s
algo
que
hacedifícil
o
imposible
el
paso
,
en
sentido
hgurado,
impedimento
dificultad
que
se
nterpone
a
la conse-
cuciOn
de
un
fin>>. a
palabra
obstáculo
parece
ser una
dificultad
mayor.
En didác-
tica
existe
na
nociónde
obstáculo
ue
sedebe
a
BnCHsLenn,
uien
en
su
ibro
l¿
,fttrmation
e I'Esprit
ScientÜique
Vnlu,
1975)
plantea
el conocimiento
ientífico
en
érminos
de
obstáculos.
Losobstáculos
dice-
aparecen
n el acto
mismo de
conocer.
omo una
necesidad
uncional
de
lentitud
y
de
confusión.>>
nCH¡LIRD
introduce
a nociónde
obstáculo
n
a
adquisición
e
os conocimient os
e a
fisica;
posteriormente, os obstáculoshan sido objeto de diversosestudiosmuy intere-
iantes
y
la
noción
ha
pasado
ser
de
mportancia
especial
n didáctica
e
a mate-
mática.
Para
B¡,CHELARD
n
física
y para
BRouSSr¡u
1976)
en
matemáticas,
n obs-
táculo
esun conocimiento
ue
es
válido en un
determinado
ontexto,
ue
como
al
puede
durar
mucho tiempo
mientras
no apafezca
n conflicto.
Este legacuando
ápu..c.
una
situación
que
parece
emejante
aquellas
n
las
que
funcionaba
el
cóncepto,
ero
que
aplicándolo
ellas
conduce
l error.
El conocimiento
e
evela
insufrciente
rente
a la
nueva situación
y
para
resolverla
es
preciso
eestructurar
el
conocimiento
anterior:
<Se
onoce
contra un
conocimiento
anterior,
destruyendo
conocimientos
mal
hechos
o
hechosde
otra
forma,
incompletos
o
mal adqui-
ridos>>.
LOSobstáculos
ponen
una
resistencia
l
cambio
necesario
ara
accptar
un
modelo
másamplio,
y
esta
esistencia
uede
explicar
a lentitud
de
a cvolucitin
clc
algunos
onceptos
incluso
su retroceso.
Por ejemplo,
en
el conjunto
de
números
naturales,
l
producto
de dos
númcl'tls
es
mayor
que
cada
uno de
os
actores,
si dividimos
un
número
a
por
b, sicn{o
a
mayorque b, el cociente s siempreun númeromáspequeño.
Pues ien,
aunque
os
niños
hayanaprendido
ien
estas os
eglas e
a
aritmÓti-
ca
de{es
naturales,
ncontrarán
n obstáculo
la
hora de
encontrar
multiplicacio-
nes
y
divisiones
on
números
nferiores
la unidad'
o
Obstticulos
pistemológicos
Se
laman
obstáculos
pistemológicos
estas
oncepciones
ue
son
constitutivas
del
conocimiento.
Como
tales
dependen
nicamente
el concepto
mismo,
son
n-
herentes
la
noción
a
que
se refieren
y,
por
consiguiente,
ualquiera
que
desee
adquirir
esa
noción
deberá
uperar
sos bstáculos.
o es
posible
prescindir
e
os
obsláculos
pistemológicos,
uesto
que
superarlos
orma
parte
del
conocimiento.
Por otra
parte,
os
obstáculos
pistemológicos
ecaracterizan
orque
son
eproduci-
bles
aparecen
n
situaciones
emejantes),
on
resistentes
l cambio
y
se
oponen
t4 5
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 75/108
tanto más
al
cambio
cuanto más
sólido haya
sido
el aprendizaje
anterior.
Es mpor-
tante
para
el maestro
saber
que
el
conocimiento
anterior
no
será
sólo un
apoyo
a la
hora
de instalar
un nuevo
conocimiento,
sino también
un
obstáculo
que
hay
que
superar.
Los
obstáculos
pistemológicos
eencuentran,
además,
n
el desarrollo
histórico
de
os
conceptos
su huella
existe
en
los
modelos
espontáneos
e os
alumnos.
El
concepto
de obstáculo
no
puede
confundirse
con
el de
difrcultad,
pues
para que
podamos
hablar
de
obstáculo
-en
el sentido
de
Bnoussenu-
deben
darse as
cuatro
ondiciones
ue
citamos:
o
Primera.
Debe
ser
un
conocimiento,
bien
que
sea also
o
incompleto.
Ello
permite
reformular
la
dificultad
de
que
se
rate
en términos
de conocimiento
v
no
de
ausencia
e conocimiento.
o
segunda.
El
conocimiento-obstáculo
iene
su dominio
de
validez y
de efica-
cia:
en unas
situaciones
esulta
pertinente
y
adaptado,
pero
en otras resulta
also
v
conduce
l error.
o
Tercera.
Es resistente
l establecimiento
de
un nuevo
concepto
o al cambiode a condicióndel concepto ntiguoen uno nuevo.
.
cuarta. No
es fruto
de
un error
pasajero
que
bastarÍa
corregir
o
de una
ignorancia
que
se
podría
colmar,
ni
tampoco
es
una falta
de
aptitud.
puede
resultar
e circunstancias
ulturales,
sociales
económicas;
ero
estas agsas
e
acrtualizan
que
duran
una vez
que
as
causas
esaparecen.
on
éstos os
obstáculos
ue
en
cuanto
que
el conocimiento-obstáculo
orma
parte
del saber,
está
en los
modelos
mplícitos
de los
alumnos
y
debe recibir
un
tratamiento
ue
pasa
or
el reconocerlosarapoder
echazarlos
BRoussenu,
9g3).
Además
de los
obstáculos
de origen
epistemológico,
BRoussEAu
ha
estudiado
Obstáculos
de origen
ontogénico:
os
que
provienen
de limitaciones
(neurofisio-
entre
otras) del
sujeto en
un momento
dado de
su desarrollo
mental.
obstáculos
de
origen didáctico:
os
que
dependen
de la elección
de un
proyecto
educativo. Refiriéndose,
n
particular,
a los
obstáculos
idácticos
elati-
a
los
números
decimales, RoussEAU
scribe:
La presentaciónctualde losdecimalesn el nivelelemental
s
el
resultado
e
una
arga
evolución
n el marco
de
una elección
idtictica
hecharpor
os
enciclopedis-
tas
y
después
or
a
Convención
siguiendo
naconcepción
u/se
remonta
Stevin);
teniendo
n
cuenta
u utilidad,
osdecimales
ban
a ser
enseñados
todoel mundo
o
antes
osible,
sociados
un
sistema e
medida referidos
las écnicas
peratonas
de os
enteros. sí,
aún
hoydía,
osdecimales
on
ara
os
lumnos
eE.G.B.
nteros
naturales
on
un cambio
e unidad,
or
tanto,naturales
con
oma)
medidas.
sta
concepción,
ñadida
a una
mecanización
el
alumno,
serti
un obstáculo
asta
a
universidad
ara
unabuena
omprensión
e losnúmeroseales.
Error
se
utiliza
aquí en
el sentido
de concepto
equivocado,
de
uicio
falso,
con-
a
la verdad.
Los
errores
pueden
producirse
por
ignorancia,
por
dudas,
o
por
casualidad.
Las
dificultades,
obstáculos
conflictos
pueden
ambién
producir
errores.
pero
no deben
ratarse
odos
de
a misma
forma
sin
buscar
as causas
e
donde
proceden'
No
es
o
mismo
un
error
producido
por
distracciÓn
inadvertencia
que
un
error
producido
por
un
obstáculo
ien
caracterizado.
nllcuEFF
(1981)
propone
que
sc
i"r.-.
la
palabra
error
para
su
significado
en
matemáticas
diferencia
entrc
cl
valor
real
y
el
valor apro*imado
de
una
medida-,
debido
a
que
el
error
así
considc-
rado
es
un
objeto
matemático,
sujeto
a una
defrnición
y
a una
teorÍa.
En el
caso
quc
no,
o.rrpu,
ei
mismo
autor
profone
que
se
hable
de
faltas
como
se
hace
con
las
faltas
de ortografia,
de
cálcu|c,
áe
razonamiento,
etc.
Por otra
parte, os
psicÓlogos
áirá.,
q.r"
h
falabra
falta
tiene
una
connotación
moral
y
puede
producir culpabili-
dad
enire
os
niños.
Quizás
o
más
mportante
no sea
a
palabra
que
utilizamos
para
nombrar
os
resultados
nexactos
que
producen
con
frecuencia
os alumnos,
sino
a
interpretación
que
les damos
y
sobre
todo
la utilidad
que
pueden tener,
como
veremos
más
adelante.
Seguiremos
lamándolos
efrores'
aunque
sin
confundirlos
con
otros
significados
ue
esta
palabra iene
en
contextos
diferentes.
g.7.
IDENTIFICACIÓN DE
LOS OBSTÁCULOS
EPISTEMOLÓGICOS
EN
LOS NUMEROS
DECIMALBS
BROUSSEAU
ropone
que
se
haga
a distinción
de dos
grandes
ruposde
obstácu-
los
sucesivos:
I .Elgrupodelosobstáculosoriginadosporlapersistenciadelempleod
propiedadJs
d"
tu,
representaciones
specíficas
e
los
números
naturales
en
cir-
cunitancias
en
las
que,
in
embargo,
está
muy claro
que
se deben
echazar'
2.
El
grupo
de
los obstáculos
originados
por
la
persistencia
el
empleo
de
las
situaciones
articularesdiferentes
que
son
signos
de
concepciones
istintas.
mlen-
tras
que
,rttá
ho-og"neización
serÍa
posible
y
necesaria'
Este
segundo
rupo
aparece
omo
una
consecuencia
e
os efectos
cl
primcrrl
sobre
el
aprendizaje.
En
los
números
naturales:
as
nociones
e
medida
y
enumeraciÓn;
c
raztitl
y
múltiplo;
de
multiplicaciÓn
homotecia;
e
orden
y
diferencia;
on
muy
scrrlc'iar
tes,seexplicanmutuamente
seconciben
n
relación
irecta
con
esquemas
pcra-
torios
muy
primitivos.
Para
medir,por ejemplo, asta ontar;un productosecxprc-
,u
po.
un .á.dinal
que
representa
i
número
de
veces
ue
se
ha
repetido
un
factor"'
<Comprenden>
uerrá
decir
((conservar
ste
parecido>'
Por
eso'
para
os
alumnos
(y
u
u...i
para los
maestros),
a
persistencia
de
los conocimientos
de
los
números
naturalei
constituye
en
sÍ
misma
pares
de
obstáculos:
o
Reducir
el
producto de
os decimales
<<medidas>>
la
multiplicaciÓn
de
natu-
rales.
o
Concretar
as
racciones
omo
medidas
y
en
paficular como
medidas
entera
con
una
unidad
definida
por
el
denominador'
-"".
-i"t".pi.t"rel
ordende
os decimales
on
las
deas
del
orden
de
os
naturales'
Existen
otros
pares
de
obstáculos
que
no
citamos
aquí,
aunque
recogerem
todavía
algunas
ehe*iones
las
deas
de
este
punto forman
parte
de
un
artículo
de
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 76/108
odavÍa no
publicado)que
nos
parecepueden
ayudar
a comprender os
ue
deben superarse
ara
comprender os números
decimales.
Cuanto más
nos
aferramosal modelo
de los naturales
ya
sea
por
referencia
al
ecimal de medida,
ya
seamultiplicando
todos os números
por
una
poten-
de
10,
o
lo
que
es
o
mismo eligiendo
una
unidad suficientemente
más se refuerza
a
confusión.
Y
el asunto se complica,
puestoque
estosesfuerzos
or
aferrarnos
al
modelo
de
naturalesno
pareceque
sirvan
para
mucho
ya que
una sencilla división
por
3
apareceruna
escritura
decimal ilimitada,
un número"
evidentementeno
del
que
sólo
podremos
dar
valores
aproximados.
Los
conceptos
que
permiten
explicar el carácter
aproximado
de
los
decimales
e los números
que
se
necesitan
para
medir,
por
ejemplo) también
tien-
a hacer gnorar
las
diferencias
de
naturaleza
que
existen
entre
los
decimales
a
partir
de un
cierto rango
se
puede
<<desprecian
l
<<erroD>,
edon-
contentarse
on
una cierta
precisión.
Para
aproximar
las
escriturasdecimales
real nos
contentamos
con escrituras
de diferentes ongitudes
no acotadas los decimales).Pero, de hecho se conduce a los alumnos a
únicamente
escrituras
decimales
de
longitud
frnita
acotadas.
Por
ejem-
2, 3,
ó
4
cifrasdespués
e la
coma) e
incluso
con
frecuencia
omogéneas,
s
naturales
escritos
de forma
un
poco
diferente.
+
Esta
concepciónncrementa
odavíamás as
dificultades
e comprensión
e
a
que
aumenta
de forma
imprevista
el
número
de cifras
después e
Incluso
a sencilla
operación
de contar os números
se
hace
mposible:
en efecto,
decimales
on tan numerables
omo los naturales
no
hay más
decimales
ue
ero
esto no
se
puede probar
con el
orden ordinario.
Del
hecho
de
poder
siempre ntercalar
decimales
ntre dos decimales
istintosse
oder
describir
el continuo
pero
esto
no
es asÍ.Nos
encontramos on
obs-
igados
l
infinito.
Por
otra
parte,
as diñcultades
para
ratar estas uestiones an
dejado huellas
en
cultura
que
hacen
que
ante
explicaciones lementales
aestros alumnosvuel-
a
referirse los
naturales...
DB REFLEXION
l. Busque
en
libros
de texto
de la enseñanza bligatoria actuales
y
antiguos-
definiciones
presentaciones
e
los
decimales
ue puedan
nducir
a consideraros
númerosdecimales omo
pares
de
números naturales
separados
or
una coma.
2.
¿Cuáles
e
os
errores
presentados
n este
capítulo
pueden
atribuirsea la ausen-
cia de conocimiento el
sistema e numeración ecimal
para
os
númerosenteros?
3.
¿Cuáles
on os
errores
que pueden
atribuirse a
la
forma
de enseñar
os núme-
ros
decimales?
4. Busque
en
libros
de texto
definicionesde
os
decimales
ue
dejen entender
que
los números
enterosno son
decimales.
5. Comparando diversas
efiniciones
y
tratamiento de los
decimales n
libros
de
texto correspondientes los
años 50, ó0,
70
y
80.
¿es
posible
observaruna
progresión
8
hacia
una
presentación
más
próxima al concepto
matemático
de
decimal?
o,
por
el
contrario,
iguen
siendo
os décimales
e
a
práctica,
os
decimales
e
Stevin,
os
que
se
enseñan
en
la escuela?
6.
Elabora
un cuestionario
en el
que
intervengan
as
caracteísticas
principales
dc
los
números
decimales.
Analiza
las respuestas
ue
dan
alumnos
de
5'o,
6'0
y
7'')
dc
E.G.B.¿Cuálessonloserroresquesecorrigendeunañoaotro?¿Cuálessonlosqu
p€rsisten?
'
7.
¿De
ué
formas
puede
provocarse a aparición
de
modelos
mplÍcitos?
¿Cues-
tionarios?
¿Entrevistas?
Debates?...
-
¡,
¿qüe
significado'dan
os
niños
de
5.o,
6.0,
7.o
y
g.o
a
los
números
ecimales
a
las operaciones
on
números
decimales?
--
t:
;dti"terés
didáctico
iene
el
que
los niños
hagan
muchas
cuentas
de dividir'
.orr.uihlu,
cifras
decimales
n
el
dividendo
y
en
el divisor?
¿Cuál
es
el
interés
de esas
nllrlrlu,
operaciones
n
la
vida
práctica
de
los
alumnos?
¿No
sería
más eficaz
y
más
i"i.i.*"tl
emplear
el tiempo
en
buscar
situaciones
que
permitan dar
significado
a
estos
números
y
a
las operaciones
on
ellos?
10.
co.pá..
las dás
ormas
de
utilizar
el error
citadas
en
os
puntos
9.2.1
y
9.2.2.
respectivamente.
Revelan
as
dos
una
misma
concepción
del
aprendizaje?
Qué
dife-
rencia esencialeiiste entre ellas en cuanto a la forma de organizar a situación de
aprendizaje?
t49
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 77/108
10
Articulación
de
los
aprendizaje
progresió
ro.r. rNtnoruccróN
\
Si queremosorganizar a enseñanza e los decimalesde forma que los alumnos
construyan
os
distintos significados
que
pueden
ener estos
números,
es necesario
pensar
en una estructura
global que
muestrecómo
pueden
articularse
os
aprendiza-
jes
que
se
hacen.Tendríamos
que
ver
cómo se
pueden
rabar
dentro de
cada
nivel
y
cómo
puede
hacerse l
paso
de un
nivel
a otro.
Vemos,
por
ejemplo,
que
los números
decimales
empiezana utilizarse
en 4.o
de
E.G.B. Los niños
aprenden a hacer operacionescon estos
números,
que
en ese
momento
tienen
el significado
de una
medida. Pueden saber
lo
que
significa
4 x 0,37 m porque lo asociancon la multiplicación de números naturales <euatro
veces
,37>>erá:0,37
+
0,37
+
0,37
+
0,37.
Más tarde,
en
6.0
y
7.o
van
a resolver
problemas
en
los
que
aparecen peraciones
como 0,37 x 0,37 sin
que
estosnúmeros seanmedidas
y
sin habersedado
cuenta
-porque
nunca
se
ha
hecho explícitamente- de
que
el número decimal
no es
siempreuna medida
y
de
que
existenotros significados el
producto
de
dos núme-
ros
decimales.
Los momentos
más delicadosen
la
articulación de
las
enseñanzas on
aquéllos
en los que las propiedadesanto de los númeroscomo de las operaciones on lós
números naturalesno
pueden
extenderse
a
los
números
decimales.
Hemos
visto
que
son
precisamente
estasocasiones
as
que provocan
más errores
y
constituyen
obstáculos
que
es
necesario
uperarsi
se
quiere que
un conocimiento significativo
se
nstale
en
los niños.
Los
diferentessignificados
que puede
tener el número decimal:
medida,
razón
de dos magnitudes,
cociente
de
dos
números,
operador
o
aplicación
ineal...
deben
aparecer
a los
niños
como solucionesa
problemas
diferentesdebidamente
articula.
dos. Sólo esto espermitirá dar significadoa sus acciones.Por el contrario,
la
falta
de articulación
de
las enseñanzas
roduce
ncomprensión
de
lo
que
sehace
<<üp:
turo> de significación.
151
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 78/108
¿Pero,
cómo llevar
a cabo esa articulación? Para Bnouss¡eu
(1981):
Una exposiciónarticulada como
un discursomatematicono
puede
constituir una
progresiónquepermita
a los
niños controlaren cada momentoel
signiJicado e o
que
hacen.
Es
preciso
asegurarse
onstantemente e la capacidad
de la
planificación
general
del
proceso
ara permitir
la invención, a organización
y
el desarrollo
de
as
situacionesocales.No
puede
evitarseun ir
y
venir
entre
a
generación
el
proceso
la
de las situaciones
que
deben
provocar
aformación del conocimiento.
Empezaremos
por
describir brevemente los
objetivos de la enseñanza
de
los
decimales en la
educación básica
para,
a continuación,
proponer
dos
ejemplos de
articulación
de dichas enseñanzas, el
primero
tomado de
la
obra
ya
citada de
BRouss¡nu
y
el segundo
de
RpcrN¡ Dounoy.
10.2.
OBJETIVOSDE LA
ENSEÑANZADE
LOS DECIMALES
Los
objetivos
lásicos
e
la
enseñanza
e
los
decimales
on conseguir
ue
los
alumnos
seancapaces
e
resolver
problemasque
hagan ntervenir
las
operaciones
el ordencon
estos
úmeros.
Esto
supone:
o
El empleo
de
as
medidas
ecimales
sexagesimales.
o
Un dominio
suficientede las
situaciones
que
contienen aplicaciones ineales
clccimales
racionales:
escalas, ambio
de unidades,
porcentajes,
ntereses, eloci-
dades, olumen,
superficie,
ensidades,
tc .
En
general
en los
problemas
particulares
se suele
pedir
a los
alumnos
que
repre-
senten os resultados
n
los
términos
de
a
situación
propuesta.
or
ejemplo,
si
l2
botellasde vino
cuestan2 257
pesetas,
¿a
cómo
salen5 botellas?
Seespera omo
soluciónel resultado
e
la
operación(2257
x 5ll2)
que
es un
número
racional.
Después
e da un número
decimal
<<próximo>>
eseelemento
de
Q*.
En realidad1o
que
se ha hecho
es
pasar
de os racionales
ositivos
Q+)
a
los
ecimales
ositivos D+), pero
nada se
dice de ello. A lo sumo: <(saca
os o tresdeci-
males>>.
Veamosotro ejemplo, omado de un libro de texto para 6.0 de E.G.B.: <La
tiqueta de control
de unas botellas
es cuadrada
y
tiene
una superhcie
de
4l
cm2.
Cuánto
mide
cada ado?
¿Qué
debeshacer?
Sacados decimales.>>
Seespera
ue
el alumno
aplique el algoritmo delaraízcuadrada
al número 4l
y
btenga
una aproximación
con un emor inferior a
una centésima.La
expresión
<Sacar
ecimaleu>
ignifica aquí aplicar
un algoritmo. En la mayor
parte
de los
asos,el
alumno no
puede
controlar el significado
de su acción,
que
consisteen
asar
de un número
que
no esni siquiera acional
a una
de susaproximaciones
e-
imales.
o
Los
cálculos
que
se
han
aprendido con los <<decimales-medido
eberÍan
per-
itir
más
arde
a reorganización
eórica de a noción
de
número
decimal
que
debe
acerse
n B.U.P.,
así como su utilización
en
la forma
matemática
ctual
o
nota-
ión científrca.
Estos
objetivos
comprendenadquisiciones
eóricas,habilidades,
ocabulario,
al-
l) ¿
goritmos,
etc.
Y todo esto
no
es
ndependiente
sino
que
debe existir
un
equilibrio
entre
todos
estosaspectos
el saber
si se
quiere
respetaruna
génesis
uténtica
del
mismo.Los saberes
eóricos
ue
no se
saben plicar
no
sirven
para
mucho,
pero
una
práctica
ue
no
se
sabejustificar
onduce
aprendizajes
or
condicionamiento
uc
se
convertirán
en
verdaderos bstáculos
n
las etapas
iguientes.
Al término
de su aprendizaje
el
alumno debe
saber
calcular
con
números
racicl-
nales
positivos
semi-cuerpo
*)
y
en
particular
en el semi-grupo
Q+
-l0f'
x) .
Esto significa
que
los alumnos deben
saber
explicar
el significado
del
producto
de
dos
números
que
se
presentan
os dos
en
forma de operadores
o
aplicaciones
lineales.
BRoussEAUita
dosejemplos
e
ipos de
problemas
uya
esoluciÓn
arece
ue
podría
representarel
final del
proceso
de
aprendizaje
de
los decimales.Son
los
problemas
siguientes:
l.
¿Cuál
s a distancia
ecorrida
or
una ueda
e 0,38
m de
perímetro
n
4,25
vueltas?
(en
este
problema
enemos
n
número
decimal
ue
aparece
omo operador
el otro
que
significa
a medida
euna
ongitud)
4,25x 0,38es gual 4 veces ,38más2 décimasevez0,38más5 centésimasevez
0,38.
s
ambién
251100 0,38.
2. Seestima
ue
el
reparto e
un
presupuesto
amiliar
de
vivienda sel siguiente:
Alquiler: ,68;
Gastos:
,18;Calefacción:
,14.
La
parte
e su
sueldo
ue
una
persona
a
previsto
astar
ara
ivienda s0,23.
¿Cuál
s
a
parte
ue
esta
ersona asta
ara
el alquiler?
Cuánto
asta ara
a calefacción?
Señala
sin embargo,
que
no se ha
probado
que
el
hacer bien estos
ejercicios
implique
que
se
saben
hacer odos
os
demás.
Las
nvestigaciones
obre
as
erar-
quÍas
entre
os aprendizajes
las dependencias
ntre
os
conocimientos
dquiridos
en situación
escolarson
muy
interesantes,
ero parece
que
no se
han obtenido
todavÍa
conclusiones
ecisivas.
Todos
os estudios ctuales
KIEREN,
976y
198 ; BnowN,
198
; Lt,s l l .
97t),
etcétera),
elativosa
los
procesos
e adquisición
el concepto
de
númcro racional
-y
por
consiguiente
e decimal-
ponen
en
evidencia
a necesidad.
esdc l
punttt
de
vista
didáctico,
de tener
en cuenta
os distintosobjetivos
señalados. ólo
quc
estos studios
ratanel
problema
más
bien
desde l
punto
de
vistadel
psicÓlogo
no
pareceque desarrollenuna articulaciónde as enseñanzasesdeel ángulo en quc sc
sitúael
malemático especialista
n didáctica.
steúltimo debe
onstruir
al mismo
tiempo
las situaciones
specíficas
e cada uno
de
os
aprendizajes
ue
debehacer
el
alumno
y
la forma de articular
las
enseñanzas.
10.3.
BOSQUEJO
DEL
PROCESO
E
ARTICULACIÓN
QUE
PROPONE
Y DESARROLLA
BROUSSEAU
El
proceso
estáelaborado
a
partir
de
las siguientes
pciones:
o
Sigue
dos
procesos
istintos,
el
primero para
la adquisición
de
los números
decimales omo
medidas el
segundo
ara
a construcción
e
os
decimales
omo
aolicaciones.
r53
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 79/108
o
En los
dos casos
os
decimales
se
presentan
como
una
simple
escritura
de
fracciones
ecimales.
Y
en
as
dos
etapas
e
construyen
en
primer
luiar
los
números
racionales.
o
Los
niños
eligen
as
fracciones
<<decimales-medidu
ara
dar valores
aproxi_
mados
de os
números
acionales orque
descubren
ue
es más
ácil
calcular
con las
fracciones
decimales.
Este
descubrimiento
se
hace
én la
resolución
de
problemas
topológicos
que
exigen
numerosas
omparaciones
cálculos
de
intervalos,
os
cua-
les
ponen
en
evidencia
as
propiedades
el
orden
natural
de os
números
acionales
-y de los
decimales- que
son
distintas
de las
propiedades
e los
naturales.
o
Por
el
contrario
en
el
estudio
de las
aplicaciones
ineales
racionales
no
se
reproduce
el enfoque
opológico.
o
se
intenta
hacer
adquirir
-o
funcionar
si se
han
adquirido-,
los
modelos
implÍcitos
antes
de
provocar
as
ormulaciones
o
el análisis.
Seadmite
que
os
niños
poseen
n modelo
mplícito
de a
proporcionalidad
on números
naturales.
.
o
Las
sumas
y
las
diferencias
de
aplicaciones
acionales
se
utilizan
pero
no
se
hace
una
teoría
de ellas
ni
se nstitucionalizan.
103.1.
Primera
ase:
de as
medidas
acionales
las
medidas
ecimales
El
objetivo
de esta ase
es
construir
los
números
racionales:
e
rata
de.que
os
niños
nventen
números
nuevos
y
los
utilicen
para
medir
diversas
magnitudei.
Esta
fase
omporta
as
etapas
iguientes:
o
La
primera
permite
a los
niños
nventar
los acionales or
un
método
de
paso
al cociente
en un
conjunto
de
pares
de naturales.
Estos
números
-aunque
todavía
sin
estatus
ognoscitivo-
aparecen
omo
so-
lución
a una
situación
adecuada
<<medir
l
espesor
de una
hoja
de
papeb>
ue
hemos
descrito
n 8.5.1).
La
solución
plantea
problemas
orque
éttot
ob¡éto,
pu.-
den
tomar formas
equivalentes.
El
maestro
provoca
un
debate
preguntando
a los.niños
si esos
bjetos
nuevos
on
números.
Este
debate
es
el motor
de la
segunda
etapa
5
secuenciaJ)
ue
leva
a los
niños
a identificarlos,
a
adicionarlos,
sustraerlos,
multiplicarlos
y
aiviairtos
por
un
número
natural, y
a compararlosy
ordenarlos.
A partir de estemomento, las fraccionesse reconocencomo números nuevos
que
contienen
a los naturalespero
que
tienen
algunas
propiedades
iferentes.
o
En
la
tercera
etapa
os
niños
utilizan
los
nuevos
números
para
medir
otras
magniÍudes:
apacidades, esos
longitudes,y pasan
de a
idea
delracción
definida
por
conmensuración
a la
clásica
defrnición
constructiva.
o
Y
en la
cuarta
los
números
decimales
aparecertin
omo
medio
para
estudiar
os racionales.
as
propiedades
uevas
que
se
buscan
en los
racionalespara
abricar
edidas
son sobre
odo
propiedades
opológicas:
e
quiere
que
entre
áos números
e
pueda
siempre
colocar
uno nuevo
para
poder
medir
todos os
intervalos que
se
btengan.
Para
explorar
a
estructura
opológica
de
e+
sehace
un
uego
en
el
que
os
niños
a <(cercaD>
os
racionales
or
medio
de <<redes>>
filtros)
cadavez
más
rnas.
pero
que
entre
odas as
operaciones ue
se
pueden
hacer
con los
racionales
n
su
fraccionaria,
as
adiciones
y
sustracciones
on
precisamente
as
más
argas
y
15 4
complicadas.
Por
razonesde ehcacia,
os niños
eligen
muy
pronto
las
fracciones
decimales
ntre
as racciones
acionales
porque
permiten,
ala
vez,
hacer
os
cálcu-
los con
mayor
rapidez, dar
una
representaciÓn
ómoda
aproximada
e
as
medi-
das
racionales.
o
La
quinta
etapa
iene
por
objeto
a
construcción
estudio
de
D:
las raccioncs
decimales
e
prestan
a
una
escritura
simpliñcada
que
permite
extender
as
eglas cl
cálculo
adición,
ustracción
multiplicación
por
un
escalar)
e
os naturales
los
decimales
on
pocas
modificaciones.
c
Densidad
de
D en
Q..
en esta
última
etapa
se trata
de
ver
que
todos
los
raCionales
o Son
decimales
ero
que
Se
puede
dar
un
valor
tan
aproximado
como
se
quiera
de
cualquier
racional.
Este enfoque,
una
vez
organizado,
estandarizado
institucionalizado
permite
convertir
en decimal
el
resultado
de una
división
de un
racional
por
un
natural
y
dará
implÍcitamente
el
método
para
dividir
un
decimal
por
un
número
natural.
En
toda esta
primera
fase os
niños
manejan
os
números
como
medidas.
Hay,
por
tanto,
algunas
imitaciones
en el
signifrcado
ue
deben
ser
espetadas.
or ejem-
plo, los únicosoperadores tilizablesserán os naturales.Los niños sabenmultipli-
óaro
dividir
por
2,3,...
pero
odavía
no tienesentido
ara
ellos
multiplicar
o dividir
por
2l'7 ni
por
2,5.
Estos operadores
naturales
no se
introducen
además
como
óU¡etor
matemáticos,
ino
que
funcionan
como
un
modelo
mplícito
lineal
tomado
de
los
naturales.
Y
el
método
estáconcebido
de tal
forma
que
el
proceso
no se
modifica
sensible-
mente
si
-en
esta
ase-
los niños
no aprenden
a utilizar
los
decimales
para
las
medidas
o no aprenden
a
hacer
as
operaciones.
or el
momento
no
se
nstituciona-
lizan
éstas
no se
aprenden
os
algoritmos.
f03.2.
Segunda
ase:de
as
medidas
las
homotecias
e
D+
Esta
asese desarrolla
gualmente
en
variasetapas:
as res
primeras
ntroduccn
las aplicaciones
ineales:
o
La etapa
I.1
consiste
n
pedir
a los alumnosla
ampliación
dt'tttt
ltu::lc,
trozo
por
trozo, sin
precisar
e
ninguna
manera
o
que
quiere
decir
<amplian>'
c
manera
que
el
lado
que
mide
4 cm
mida
7 cm
en
la ampliaciÓn.
os
niños sc
empeñan n ntentardiversosmétodos aracalcularas mágenes e as ongitudcs
de
os
adosdel
puzzle,
hasta
que
legaun
momento
en
el
que
algún
alumno
hace
corresponder
a suma
de
mágenes
e dos
ados
a
la imagen
de
la suma
de
esosdos
lados.
Es la única
forma
de
que
las
piezas
del
puzzle
magen
puedan
encajar
y
se
conserve
a misma
oma. Lo
que
os
niños
hacen
empíricamente
s
un conjunto
de
algunos
pares
origen,
magen)
que
no
tiene todavía
nombre.
La aplicación
ineal
7/4 funciona
únicamente
a
nivel de
la acciÓn,
stá
en
los esquemas
e
acciÓn
pero
no se
ha formulado.
Es el
momento
preciso
de
encontrar
a
imagen de
longitudes
decimales
fraccionarias.
o
La eiapa
II.2 reproduce
una
situaciÓn
casi
déntica
a
la
precedente:
a am-
pliación
de un
mosaico
egular,
pero
cuyos
ados
ienen
ongitudes
decimales.
En
los
debates
emerge
a necesidad
e
hallar
la
imagen
de
I
para
poder
hallar
las otras
imágenes
la división
de un
decimal
por
l0n,
siendo
n un
elemento
e
N'
o
La etapa
I.3 comienza
por
una
situación
parecida.
Se
colocan en la
pizarra
155
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 80/108
seis
otocopias
del dibujo
de
un barco
obtenido
con
ampliaciones
diferentes.
Cada
alumno
prevé
desde
su sitio
las ongitudes
de todos
os
iegmentos
eproducidos
en
las fotos.
Pueden
r
a
verificar
el
resultado
de
sus
previsiones
volver
a comenzar
si es
necesario hay
ampliaciones
reducciones).
Después
e es
muestran
nuevas
otoco_
pias
y
se
rata
de
encontrar
el modo
de nombrar y
de
ordenar
todas as
fotos
para
ganar
en
un
juego
de comunicación.
Llegan
a descubrir
que
lo
que
les
permite
ordenarlas
nombrarlas
es a
imagen
de l.
De
estamanera
os
niños
identifican y
nombran
aplicaciones
ineales
mediante
números
decimales,
ólo
que
estos úme-
ros
siguen
igados
a una
de las
fotos,
esto
es:
a un
conjunto
de valores.
Se
vuelve
a hacer
el
juego
cambiando
cadavez
el modelo y
de esta orma
el
cálculo
de imágenes
e hace
amiliar.
El
vocabulario
y
los
debaies
se refieren
a las
ampliaciones
a las
reducciones.
os
alumnos
aprenden
sí a
designar
plicacio-
nes ineales
e os
racionales ositivos
e*)
en
e*
y
de os
decimaleJpositivos
D+)
en D+.
o
En la etapa I.4 seproponenalgunassituaciones n lasque intervienen apá'-
qciones
ue
no
son
lineales.
Los
alümnos
buscan
ejemplos
y
<<contraejemplooi
e
ineales,
o
que
es
leva
a utilizar
un lenguaje articular:
sóahi,
ntere_
orcentajes...
.
Durante
la
etapa
I.5 los
alumnos
buscan
una significaciónpara
el
producto
de
dos
decimales.
legan
a hacerl,o
nterpretando
no
de los
omo
aplicación
ineal
operando
obre
el
otro. En
este
momento,
se ecu-
el
vocabulario
tradicional
describiendo
el
producto
de un
racional
operador
ejemplo,
una fracción
aplicada
a un número,
un
porcentaje,
tc.).
Las relacio-
entre
multiplicar,
dividir,
ampliar,
disminuir
son
objeto
de
debates
se ormali-
e
institucionaliza
l cálculo
con imágenes
e
aplicaciones
ineales.
o
En
la
etapa
I.6 los
alumnos
descubren
a
composición
e
dos aplicaciones
utilizando
un
pantógrafo.
Estudio que
no
puede
desarrollarse
onveniente_
hasta
ue
as
racciones
los
decimales
o
sehan dentificado
omo
conjun_
aplicaciones
ue
((operan)>
obre as
fracciones
los
decimales-medida.
o
Y hnalmente
en a
etapa
I.7
se dentifican
mediante
una institucionalización
aceptada
por
todos-
los
racionales
positivos
como
medida y
los
positivos como aplicacionesineales.Ello permite unificar las expresio_
las
explicaciones
articulares
que
se
han
producido
durante
odo
el
proceso
y
n
un nuevo
enguaje.
Una vez
concluida
la
segunda
ase,
a
actividad
final
consiste
en identificar
las
omo
medida,
as
fracciones
como
aplicaciones
inealesy
las
fracciones
razones
e
dos
números.
Será
necesario ara
esto.
er
capaz
de
manejar
a
composición y
la
descomposi-
de las
aplicaciones
acionales
aciendo
abstracción
del
papel
áe los
pares
<<ob-
para
poder
proporcionar
diversas
descomposiciones
e
una misma
Para
erminar
este
punto
señararé
ue
este
proceso
ue
aplicado
en
una
preexpe-
n
1974-1976
n dos
clases
e niños
de nueve
á once
años
ciclo
medio
y
2)
en
a
escuela
. Michelet
de Talence.
u reproducción
urante
os
años
1977
a
ha
sido
objeto
de numerosas
bservaciones
estudios
Bnousspeu,
19g7),
iéndolo
asta
el
presente.
56
I0.4.
OTRA
FORMA
DE
ARTICULAR
LAS
ENSEÑANZAS
DE
LOS DECIMALES
R. Dounny
(1980,
1984,
1986)
a
puesto
n evidencia
n
modelo
mplícito
dc
números
ue puede
uncionar
en
os
niñosde ocho
a diez
años
cuando
e
escoloca
en
una
problemática
uténticamente
ientíhca,
unque
sea
en un
nivel elemental.
Para
ograr el funcionamiento
de
los
números decimales,
esta
autora
pfoponc
que
se
es
planteen
los
niños en
situación
scolar
roblemas
n os
que
os
númc-
ros
uegan
el
mismo
papel
que
en
asmatemáticas
en
a
fisica.
Paraello,
ntroduce
los decimales
n situaciones
n
as
que
os números
naturales
on nsuf,rcientes
ara
proporcionar
na
solución,
los
númerosdecimales
portan
soluciones
proxima-
das.
La articulación
de
las enseñanzas
ue
propone
parte
de una
ampliación
del
conjunto
de los
números
naturales,
ampliación
que
realiza en cuatro
etapas:
1.
Los
primeros
números
que
los
niños
van a utilizar
para
completar
os natu-
rales -en situacionesde medida en las
que
los enteros
no son
sufrcientes
para
describirlas-
provienen
de
as subdivisiones
ucesivas
e
a unidad de medida: 1/2,
t l4,
r18.. .
2. Después
e
va
enriqueciendo
el campo
de
as racciones
tilizadas
y
s€cons-
truyen
<cadpnas>)
ue
continúan
creciendo
mediante
subdivisiones
ucesivas
n
dos:
t13, /6, lt2,
1124,tc .
l l5 ,
l l l0 , 1120,
tc .
3.
Se
nventanmuchas
racciones
p/q)
en
os cálculos.
l uso
de
as racciones
decimales
s
particularmententeresante
n
las situaciones
n
las
que
hay
muchos
cálculos
comparaciones
ue
hacer
o en aquéllas
n
as
que
os números
naturalcs
no
permiten
dar
una
respuesta
xacta
a
Sea
orque
ésta
no existe
es
el
casodc la
búsqueda
e un cuadrado
e
área38
que
se reduce
a buscar
un
númertl
x sic¡dtr
x2: 38)
o
porque
no
hay
posibilidad
e
encontrarla
uego
del explorador,
cltlc-
jante
a
los
que presentamirs
n
ll.3
y
ll. l2,
que
consiste
n encuadrar
mcdiantc
intervalos cadavez másprecisosuna fracciÓndesconocida).
4.
Se
buscauna
solución
para
a
ecuación
x2:
p].
Se encuadra
a solución
mediante
úmeros acionales.
stasituación
uscita
n
os niños
acciones
afirma-
ciones
que
algunas
eces e acompañan
de
ustihcaciones.
ligiendo
algunas
de
estas
af,irmaciones
tomándolas
como
axiomas,
R.
DOU¡,Oyobtiene
una
descrip-
ción
axiomática
el conjunto
R de
os números
eales.
10.4.1.
Resumen e a
progresión:
ituaciones
o
Correspondencia
ongitudes-números.
.
Representación e
longitudes
y
de
sus
medidas.
o
Utilización de una
graduación
para
medir
longitudes.
Las
situaciones
idác-
ticas
que
hemos
descrito
en
los
puntos
8.5.2
y
8.5.3
corresponden
esta
primera
parte
de a
progresión
e R.
Douaov.)
15 7
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o
Utilización
de las
fracciones
para
codificar
áreas:
e rata
de utilizar fraccio-
nes
para
codificar
el área
de
porciones
de hojas
de
papel
considerando
omo
unidad
de referencia
a
hoja
entera.
Dos
porciones
de hoja
pueden
ser
codificadas
por
la
misma
fracción
sin
que
las
partes
puedan
superponerse,
o
que
no
ocurre
con las
longitudes.
Las
actividades
van
a consistir
en reproducir
un
puzzle
mediante
uegos
de
comunicación.
Para as
piezas
del
puzzle
se
eligen ormas
ales
que
un cierto
núme-
ro'de
cada
una
de ellas
pueda
cubrir
la
hoja.
Esto
permite
evaluar
cada
pieza
respecto
e a
hoja.
una
de as
situaciones
ropuestas:
os
alumnos
están
de dos
en
dos. El
maestro
distribuye
a cada
grupo
un
sobre
que
contiene
as
piezas
e
un
puzzle,
ecortadas
n
hojas
de
colores
de las
que
cada
grupo
tiene
un
ejemplar.
La
consigna
es
que
deben
encargar
mediante
un mensaje
a
cantidad
exacta
de
papel
necesaria
ara
reprodu-
cir el
puzzle.
Luego
deberán
eproducirlo.)
para
escribir os
mensájes
os
niños
deben
dar la
medida
de cada
pieza
respecto
de la
hoja
tomada
como
unidad.
por
ejemplo,
si
una
pieza
se
puede
colocar
l0 veces
para
cubrir
la hoja
el mensaje
enviado
erá
/10
de hoja.Posteriormente
on
os
niños
os
que
construyen
l
puzzle
y
envÍan
mensajes
sus
compañeros
ara
que
éstos o reproduzcan.
o
Situar
una fracción
entre
dos
enteros.
Esta
ituación descrita
n
el
punto
ll.l2.l) -que
forma
parte
gualmente
e
a
progresión
e Bnoussrnu- permite
ver
a relación
entre
as racciones
la
división
de un
entero
por
otro
con
una
precisión
arbitraria.
e
utilización
de
nuevos
números
en
problemas
de
proporcionalidad.
A
medida
que
aparecen
nuevas
racciones
se
utilizan
en situaciones
istintas
de
aquéllas
en las
que
han
aparecido.
De
esta orma
las
fracciones
adquieren
poco
a
poco
el
estatus
de número.
Además,
as nuevas
raccionespermitén
a
los
niños
producir
nuevas
escrituras
que
se
utilizan
en
nuevos
problemas.
De
esta orma
se
nriquece
l
conjunto
de números
disponibles.
Se
rata
ahora
de
utilizar
las
escrituras
raccionariaspara
resolver
problemas
de
roporcionalidad
entre
magnitudes
continuas.
por
ejemplo as
conocidas
situacio-
es
de la vida
corriente:
o
Precio
pagado
por
una mercancÍa
en función
de la
masa.
o
Consumo
de
gasolina
n función
de a
distancia
ecorrida.
o
Distancia
ecorrida
en función
del
tiempo
en
un movimiento
uniforme...
o
Relaciones
ntre
dimensiones: erímetro
y
área
de un rectángulo.
En
esta ase
se utiliza
el
campo
geométrico
para
hacer
avanzar
os
conocimien-
de os
alumnos
sobre
os
números:
alculando
a medida
del
área
de rectángulos
da un
significado
al
producto
de fraccionesy
las fracciones
decimales
aparecen
más
adaptadas
ara
dar
una medida
aproximada
del lado
de un
cuadrado
que
se
conoce
el
área.
Las representaciones
ráficas
proporcionan
un
tercer
que
reemplaza
al
papel
y permite
otra
representación
e
los
problemas
que
58
Dado un
rectángulo,una
vez
que
se
han fijado las unidades
en
estecaso
cm
y
cm2-,
se ienencuatro
números: asmedidas e asdimensiones
y
b, del
períme-
tro
P
y
del
áreaA. Existen
elacionesentre estos uatro
números:
P
=
2 x
(a
+
b)
:(2xa)+(2xb);A:axb.
Cada
vez
que
se
ija uno de los cuatro
números,sedefine una
familia de
recl1¡n-
gulos y
se
pueden
estudiar
as relaciones
que
existen
entre
los
otros tres
números.
Esto
da
lugar a
las
actividades
iguientes:
t
Búsquedae
rectdngulos
ue
ienenuna dimensión
iia.
Cdlculodel drea
y
del
perímetro
Estaactividad
leva
a dar
significadoal
producto
de un natural
por
una
fracción
y
al
producto
de
dos racciones.
Los alumnos rabajanen
grupos
e cuatro.Se
da a cadaequipoun
valor
de a en
centímetros:
Ejemplos:
:
5;a
:
7 ;a
:
3
+
l /2 ;a
:
8
+
l/2;a
:
2
+
314:.a 4
¡
6110.
Cada equipo debe
repartirse l tr abajo. Cada alumno dibuja cuatro o cinco
rectángulos istintosque tenganuna dimensión gual a la que es han dado.Para
cada ectángulocalculan
el
perímetro
en centímetros
y
el área en centÍmetroscua-
drados.Todos
os resultados e organizanen un cuadro.
t
Búsqueda e
rectóngulos
ue
ienenun
perímeto
iio.
Calcular
el drea
En la situación
precedente
os alumnos enían
a
posibilidad
de elegiruna
di-
mensión
y podían
elegirla
entera.
Esta
vez
el
perímetro
se
ija de antemano
y
hay
pocas
solucionesenteras:
si se elige
un
valor
bastante
pequeño
del
perímetro
los
alumnos e
ven
obligados
elegir
ectánguloson
asdosdimensiones
raccionarias.
Se ermina con
la institucionalización
e
la
técnica
de multiplicación
de dos
frac-
ciones.
t Área
ija.
Colorear na
cuadrícula
Con
estaactividadse
consigue: ar signifrcado
l
producto
de dos
fract:ittncs
en
particular
os racciones ecimales;
acer uncionar
a
propiedad
e
a
<distribu-
tividaó>del producto especto e a adición;y buscar oluciones xactas aproxi-
madasde
as ecuaciones e
a forma
a
.
x
:
b.
Los alumnosdisponen e
hojasde
papel
cuadriculado.
esuele
utilizar el cua-
driculadoen
pulgadas
décimos e
pulgadaspapel
para
el ordenador).
razan
dos
ejes
ectangulares
los
gradúan
omando un cuadrado
grandepor¿nidad.
El maes-
tro eligeun
número k. Cada
punto
de a cuadrícula
de
coordenadas
a,b)
epresenta
un
rectángulo e dimensiones
a,b).
El
punto (a,b)
se
pinta
de un
color distinto
según
ue
el
áreaA
:
a x b sea
mayor, menor o
igual
a
k.
Se
hatomado
k
:
24
y
los
colores
ojo, verde
y
negro.
Al
terminar
estaactividad
se resumen
as
observaciones:
o
Los
puntos (a,b)
que
correspondena
los rectángúlosde área
24 forman la
fronteraentre
os
puntos
ojos
que
corresponden
los rectángulos e áreasuperior
a24
y
los
puntos
verdes
ue
corresponden los
rectángulos e área
nfeÁora24.
ls9
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o
Sobre
cada
vertical
hay
un
solo
punto
negro;
debajo
sólo hay
puntos
verdes
encima
sólohay
puntos
ojos.
o
De igual
forma,
sobre
cada horizontal
sólo
hay
un
punto
negro;
antes
sólo
hay
puntos
verdes
después
ólo
hay
puntos
ojos.
.
Dado
un valor
de
a
(por
ejemplo
a
:
7)
el valor
de
b
que
corresponde
l
punto
negro
esb
:
24/a
(24/7).
Para
algunos alores
es más
fácil
situar
el
punto;
para
otros es
más
dificil;
se
trata
de buscar
una forma
de
aproximarse
é1.
En
todos
os
casos,
4lafoma
un nuevo
significado:
o
es solamente24
l/a.
sino
que
es a
solución
de a ecuación
'
X
:
24.
y
eslamedida
en
centÍmetros
e
una
de as
dimensiones
e un rectángulo
e área
24
y
cuya
otra dimensión
es
a. La
traducción
l campo
numérico
de este
problema
es:24/a
es
el número
que,
multi-
plicado
por
a,
da
24.
Estos
esultados
os vuelven
a utilizar
en la
secuencia
iguiente
n la
que
los
alumnos
rabajan
por
equipos
on
valores
iferentes
ara
el área.
Aproximaciones
ecimales.
aso
la
escritura
on
coma
En
primer
ugar
se epite
a
actividad
de colorear
os
puntos
como
en el
qiercicio
nterior
omando
el
valor
A
:
27.
con
estasituación
ebusca,
or
una
parte,
que
os
niños
hagan
más
cálculos
on fracciones , por
otra,
proporcionar
suficiente
numérica y gráfica
para
abordar
convenientemente
a
situación
de
de un
cuadrado
de área27.
Búsqueda
e un
rectdngulo
e
irea 27
cm2
con
esta
actividad
e
busca:
ue
os niños
utilicen
as
racciones
n
un
problema
aproximación;
ue
descubran
asventajas
e as racciones
ecimales
ara
hacer
cálculos
que
leguen
inalmente
a la
escritura
on
coma
de as racciones
eci-
En
primer
lugar
se
pregunta
a
los
niños
si entre
los rectángulos
de área 27
hay
queseaun cuadrado. os niñospiensan ue ienequehaberuno,que ieneque
un número
que
multiplicadopor
sí mismo
dé 27,
pero
no
lo
saben
ncontrar,
ue puede
haber
uno entre
as racciones.
Se
plantea
el
problema
de
otra forma:
se
pide
ahora
que
busquen
cuadrados
de
an
próxima
a 27
como sea
posible.
Cuando se
propone
este
problema
a los
ellosno
saben
odavía
hacer
divisiones
on números
decimalei.
por
tanto, a
posibilidad
ue
ienen
esensayar
alores
mejorar
poco
a
poco
a
aproxima-
encuadrando
l lado
del
cuadrado
ue
buscan.
En
un
primer
tiempo
llegan
a
encuadrar
x
de la
manera
siguiente:
5
+
l/g
x
<
5
+
l/4.
Pero
tienen
que
hacer
muchos
cálculos
y
algunos
descubren
es más ácil
hacerlos
on fracciones
ecimales,
ensayan
+
l/10,5
+
2/10.
a dar:
5
+
l/10
< x <
5
+
2110.
a
búsqueda
e
soluciones
proximadas
y poco
a
poco
descubren
ue
lo
más fácil
es
seguir
omando
l/100,
etc.
Descubren
ambién
que
la
representación
que
ha
servido
de
soporte
para
el
60
cálculo-
ni sirve
ya
ni la
necesitan.
Con
las
fracciones
decimales
os cálculos
son
más
ticiles
y
se
acercan
cada
ez
mása 27
Pero
a escritura
es
muy
pesada
ésta
va
a
ser
a ocuiión
para
que
el
maestro
ntroduzca
la convenciÓn
de
la escritura
con
coma,
que
aparece
omo
una
forma de
simplifrcar
as escrituras
de
las
fraccioncs
decimales.
El
último
punto
de
a articulación
propone
os aprendizajes
e
as écnicas
de
as
operaciones
on
decimales:
dición,
sustracción,
multiplicación
y
división.
La idea
de
la construcción
e
los decimales
ue
R. Dourov
(1980)
expone
y
lleva a cabo
con
los niños es
a de
construir
los decimales
positivos
a
partir
de
un
problema
que
no tiene
solución
en
este
conjunto.
Se
pone
asÍ
de
manihesto
la
óspecificidad
e
os decimales
que
es
ser aproximaciones
écnicamente
prácticas
de
los
reales.
La
progresión
de
las enseñanzas
ue
hemos
resumido
ha sido
experimentada
por
el équipo
que
trabaja
con
R.
DOUADY
n
clases
e una
escuela
ercana
a
París
desde
1972.
I0.5. CONCLUSIÓN
En las dos
progresiones
ue
hemos descrito
vemos
que
la enseñanza
oherente
de
os decimales
orma
parte
de
un
proyecto
global
de
a enseñanza
e
as
matemá-
ticas
y
no
puede
maginarse
si
no es
en estrecha
elación
con
todos
os otros apren-
dizajés
que
hacen
os
niños en
os
añosde
a enseñanza
ásica.
Las operaciones
Ólo
se
nácen
cuando
se
iene
necesidad
e
ellas
y
cuando
el
resultado
iene
un
significa-
do
para
os alumnos.
Los algoritmos
y
la mecanización
de
los
mismos
vienen des-
pues
de
haber
construido
el
signihcado
de
las operaciones,
recisamente
n el mo-
mento en
que
los
niños
necesitan
algo
que
les
permita hacer
los cálculos
más
deprisa.
Seevita
así
ese
malestar
que produce
a
repetición
de
cálculos
mpuestos
sin más
objetivo
que
<<haceruentas>.
161
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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10.6.
EJERCICIOS
Y
PISTAS
DE
REFLEXIÓN
I
volvamos
a las
situaciones
ue
propone
R. Dounov:
Búsqueda
e rectáns;;
:l-n
nu
dimensión
rja'
álcuto
er
enmerro.
¿rculo
et
rea-r1.i"i¡"1.,r?i"j""-
clones.
Estudie
cada
uno
de estosprobremas
dando primero
distintos
valores
a
las vana_
bles,
haciendo
después
as
representaciones
ráficas
correspondientes,
nalizando
os
esultados
pasando
inarmente
ar estudio
gán.*i
á.
estas
unciones.
o
¿Qué
puede
decirse
el.área
e
un rectángulo
especto
e
a
dimensión
variable?
¿Qué
puede
decirse
de ra
función
{,
(u
un"idad
e
medida
de
ongitud)
que
asocia
a
medida
A
del
área
de
un rectángulo
a'la
medida
b
O.l lu¿o
variable?
o
¿Qué
se
puede
decir
de
la
función
qu.
uro.iu
a cada
varor
b
de la
dimensión
ariable,
l
perímetro
e
un
rectángulo
a,
ü)t
¿Es
una
función
inea',
eü
-"'--^'
2.
Organice
n
taller
con
alumnos
de 6.0
proponga
a cada
equipo
de
cuatro
un
;ó,n:i?..,1,:erÍmerro
e
un ecrángulo.
or
ejempló,
0cm,
+.,i,,
s.illl.rn,
Proponga
los alumnosque_cada no busque uarroo clnco rectángulos,odosistintos, que
cada
equipo
ecoja
os
esurtado;
n
un
cuadro.
Haga
uego
una
repre-
sentación
ráfica
de ros pares
obtenidos.
¿eué
observaciones
ueden
hacerse
obre
os
esultados?
¿Qué
álculos
eben
hacer
oi
i¡¡osl-
Proponga
después
ailar
el.área
de ros
rectángulos
ue
han
obtenido.
pregunte
a
adagrupo
si entre
os
ectángulos
ue
hun
.n.ontiuáo
hay
uno
que
sea
un
cuadrado.
Sugiera
los
niños
que
elios
se
pranteen
pr"guntur
o.
aproximaciones
ue
puedan
responder
n
este
roblema.
62
CUARTA
PARTE:
SITUACIONES
PARA ENSENAR
DIFERENTESASPECTOS
DE
LOS
NUMEROS
DECIMALES
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Introducció
Pensamos
ue,
en el estado
actual
de la escuela,
n maestro
no
puede
utilizar
en
su
totalidad
ninguna
teoría refinada
de la
enseñanza
e
los
decimales,
porque
seria
muy particular, poco conocida,demasiadodificil de llevar a cabo, y porque las
condiciones
de enseñanza
número
de
alumnos
por
aula, necesidad
é
adaptarse
lo
que
hacen
es
demás, ormación
matemática
nsuficiente,
ibros
de textos,
exigen-
cias
de
padres...)
o lo
permiten
por
el momento.
considero
que
actualmente
no
se
puede
poner
en
práctica
una
progresióñ
cohe-
rente
con una
teoría
didácticaválida.
Los
libros
de texto, los
programas
las
condi-
ciones
actuales
de la escuela
obligan
a un
eclecticismo
que
yo
adopto
en
este ibro,
en
particular
en la
parte
cuarta,
en la
que presentaré
ituaciones,
jercicios,
alleres
y actividadesomadosde diversosprogramasy agrupados n torno a la ideade dar
un significado
a lo
que
los niños
deben
aprender
sobre los
decimales.
Ésta
nos
parece
a
solución
más
razonable
en
el momento
actual.
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11
Situaciones
obre epresentació
significadoy lectura de decimale
Hemos
tratado en la tercera
parte
diversassituaciones
que
permiten
introducir
los números
decimalesen la
enseñanza ásica:situacionesbasadas n
la
prolonga-
ción del sistema
de
numeración
decimal
y
en
la
utilización de materialesestructura-
dos; situaciones ue hacensurgir os decimales n relacióncon la medida,bien
utilizando las fracciones
que
van
apareciendo l
subdividir
la
unidad, bien
pasando
previamente
or
una construcción
e
los números acionales.
Nos
proponemos
ahora
enfatizar el signifrcadode las
distintas
representaciones
que
han
aparecido
y
presentar
lgunas
más-
proponiendo
actividades
ue per-
mitan instalar
y
relorzar
en los niños la significación
que
dan a
los
símbolos
en las
escrituras
demás epresentaciones
ue
utilizan.
Pensamos
ue
cualquiera
ue
sea a forma
que
se
haya
elegido
para
ntroducir
ios númerosdecimales spreciso edicaruna atenciónespecial , por consiguiente.
un
buen
número
de actividades conseguir
ue
os niños
dominenel significado
e
cada una
de
las representaciones
tilizadas
y
en
particular
el de
las
cifras
en la
escritura
ecimalde un número
decimal.
El
número 0, ,
por
ejemplo,
ha
podido
suryirde la
extensión el sistema e numeración
con
el fin de tenerun número
para
representar
a
décima
parte
del metro-, ha
podido
nacer materializado
en el
ralor
de la regleta
blanca respecto
de
la
regletanaranja
-en
las regletas
Cuisenai-
re-:
ha
podido
surgir
de
la necesidad
e
representar
l
resultado
de repartir I
entre
iU sirviéndosedel minicomputador; de la división de la unidad en diez partes
rguales
ara
aproximar mejor
una medida;
quizá
se
haya
encontrado
por primera
¡ez
en la
calculadora
al
hacer
una división;
se
ha fabricado
para
tener una imagen
rs,-proca
de
I respecto
de
la función
x
10;
se ha
podido
asociar,en
hn,
a una
.iLarigtud,
un reparto,
etc.
En todos os
casos
s
mportante
que
el alumno
aprenda
que
el objeto matemáti-
r¡
-el
número
0,
-
esel mismo. De
esta
orma,
el significado
ue
da
al
número
sr
enriquece
progresivamente
medida
que
aumentan las
situacionesen
que
ese
r:rrlero tiene sentidoparaé1.Aprenderáa pasarde una situacióna otra cuandosea
,mmesario.
cada
situación le aportará
algún aspecto
del
número
que
le
permita
comprenderlo
mejor.
t67
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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De
acuerdo
con lo
que precede, ropondremos
a
continuación
algunasactivida-
que
faciliten
la
lectura,
escritura
y
representaciones
omprensivas
e números
11.1.
JUEGOSDE
ESTIMACION
DE
MEDIDAS
Tienen
por
objeto
el
que
los niños
adquieran
una
cierta facilidad
para
estimar
<<a
jo>>,
ue
uego
comprueban
y
representan.
e
puede
ugar
a estimar a
en metros
de las dimensiones
e
a
clase,de os
pupitres
de
os
alumnos,
de
e un
bolÍgrafo,de un
cuaderno,
de un
coche,de una
bicicleta,de
un
brázos,
piernas,
de
la
anchura
de
los
dedos,
de as manos,
de un
gato,
etc. Se
puede
proponer
a
los
niños
(suelen
olaborar
con
entusiasmo)
hagan
una lista Io
más arga
posible
de
todas as cosas
ue pueden
medir
dando
primero
en metros,
uego
precisando
centímetros
y
llegando
hasta
milÍ-
Cuando
se
tiene una lista
muy larga
se
puede
ugar
en la clabe a estimar lade uno de os objetoscontenidos
en
la lista;gana
el niño
o el equipo
que
se
a la medida
obtenida
por
veriñcación
y
cada niño
puede
escribir
en
columna as
estimaciones
obremedidas
de objetos amiliares,
y
en otra
colum-
medidas
eales.No
desarrollamos
más
este
punto
ya que
ha sido
ampliamen-
tratado en
el
libro
sobre a
medida
de C. Cunuonno
v
J. M. Brluoxre.
DE LA
SITUACIÓN
(REPRODUCIR
UN
SEGMENTO>
La situación
de reproducir
un segmento
punto
8.5.2)
puede
modificarse
de
que
sirva
para
ejercitar a los niños
en
la
signihcación
que
dan a las cifras
en
decimal de
un
número.
Se
puede,por
ejemplo,
proponef
que
reproduz-
un segmen to
ue
mide 0,258m.
Más interesante
es
que
ellos
mismos
se
envíen
mensajes
ara
conseguir
que
os
dibujos de objetos
cuyos contornos sean
segmentos ectilí-
enviando
como mensaje as medidas
y poniendo
como condición
que
no
ser númerosenteros).Puedenenviar los mensajes tilizando cualquierade
isponibles
en
a
clase:escrituranumérica
en base
0
(o
en otra
si algún alumno
tiene a idea
de
hacerlo),
en a calculadora,
n el minicompu-
de
P,qpy,
en la recta numérica,
en instrumentos
de medida.
etc., o combinan-
modos
de
representación,
e forma
que
se habitúen
a
pasar
de uno a
PASAR DE
LA ESCRITURA FRACCIONARIA
DE
LOS
RACIONALES DECIMALES
A
SU
ESCRITURA
DECIMAL.
JUEGOS
SOBRELA RECTANUMÉRICA
Existenmuchos
ejercicios
que
tienen como
objetivo ayudara los niños
a
visuali-
una
recta numérica,
primero graduada,
en unidades, uego
en
décimas,
centési-
8
mas
y
milésimas
de apuerdocon
las
exigencias el
problema
que
se
pretende
esol-
ver. En
un
principio
los niños
pueden
utilizar
reglas
graduadas
en centímetros
y
milÍmetros
pero
es conveniente
que
cada
niño fabrique
su
propia
recta numérica
-con
una unidad
arbitraria-
que
se
va
enriqueciendo
a
medida
que
conoce
más
números, situándolos
unos
respecto
de otros. Podemos servirnos
de algunos dc
estos
uegos
para pasar
de la
escritura de un
número
como fracción
decimal a su
escritura
decimal.
11.3.1.
Representación
n
a recta
numérica
descomposición
de
las fracciones
decimales
Se
pueden
realizar,
por
ejemplo,
resjuegos con
algunas
variantes:
o
Acertar
una
fracción
pensadapor
el maestro:
el
maestro
elige una fracción
que
a
clasedebeacertar
o
encuadrar.Escribe a
fracción
(por
ejemplo
2361100)
n
un
papel
y
lo
esconde, la escribe
detrásde
lapizarra
donde los niños no
puedan
verla.
Los niñ'os,
en
grupos
de dos o tres escriben ntervalos
posibles
en sus
cuader-
nos. Cuando todos los niños han buscadoalgún intervalo se haceel juego en co-
mún. Los
niños
preguntan:
<<¿Está
ntre
I
y
2?>.
<No>>.-
<<¿Entre
y
10?>
-<<No>.-
<<¿Entre
y
3?>>.
SÍ.
La fracción
estáen el
intervalo
[2,
3]. Las
pregun-
tas
y
respuestas
ontinúan hasta
que
los niños
encuentranel intervalo.
Se es nvita,
entonces,a intentar
acertarexactamente a f racción
propuesta.
El
maestro
dibuja en la
pizana
un segmento
e
recta
graduada
en unidades
de
I
a
l0:
Figuralt.t
ff i
y
destaca l
intervalo
2,3]
pintándolo
de
rojo.
Los niños
deben
seguir
preguntando
hastaacertar
a fracción. A
cada
pregunta,
el maestro respondesí o
no,
aceptando o
rechazando os intervalos
propuestos.
Puede
ocurrir
que
os niños
empiecen
reguntando or
intervalos
en centésimas
por
ejemplo:<<¿Estántre2001
00
y
2
0/
100?>.
<<No>>.
l maestro achael
inter-
valo
200/100,
10/100].
<<¿Está
ntre
210/100
2201100?>.
<No>.
AsÍ,hasta
que
leguena
12361100,
37
l00l,
momento en
que
el maestro ice:
<Acertado.
(Es posible
ambién
que
los niños
preguntenprimero por
las
décimas:
<¿Es
entre 23110 24110?>.(<Sí>- y paraacercarsemáspasena preguntar ascentési
mas.)
Cadavez
que
se da un
intervalo
correcto,el
niño
que
lo ha dado
va
a
represen-
tarlo
a la
pizana.
Se
puede
agrandarel
intervalo
12,
3l
parapoder
subdividirlo en I 0
partes
guales lo mismo
puede
hacerse
on
el intervalo
123/10,24/10lparapoder
subdividirlo
en centésimas. ambién se
puedenpintar
de otro color
as subdivisio-
nes
en décimas,
y
en un color distinto
las subdivisiones n centésimas.
23
,ffi
{ü+}'
1236
Figura
tI .2
10 0
169
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 87/108
Para
que
los
niños
comprendan
mejor
la
descomposición
de la
fracción y
la
asocien
on
la
medida
se
puede
utilizar
una
cinta
para
medir
con
ella 236110d.
-
El maestro
regunta:
¿Cuántas
nidades
mide?
R:
2;
¿Cuántas
e
l/10?
_R:
3l
¿Cuántas
e l/100? R:
6.
El maestro
scribe
o
que
han
medido:
2
+
3ll0
+
61100
los niños
hacen
a
suma,
y
obtienen
2361100
se
dan
cuenta
de
que
han
descompuesto
a fracción.
o
Se
puede
ugar
de
a
misma
orma
pero
con fracciones
n as
que
ntervengan
milésimas.
Sesitúa a
fracción
en la
recta
y
luego
se
descompone.El
maestro
ropone
a
los niños
descomponer
as
fracciones
ncontradas
n
secuencias
recedentes.
e
encontrarán
on
fracciones
ue
no
pueden
situar
en una
recta
graduada
en
décimas,
centésimas,
ilésimas, or
ejemplo
13. La
podrán
encuadrar
ero
no
atrapar.
o
Adivinar
na racción
lanteando
reguntas
obre
u descomposición
un
alumno
uega
contra
sus
ompañeros.Sale
de a
clase
mientrasoscompa-ñeroseligenuna fracciónque él debeadivinarhaciendopreguntas
elativas
su
descomposición.
upongamos
ue
a
claseha
eregido
57
1000.
Las
preguntas
ue
hace
el alumno
son,
por
ejemplo:
¿cuántas
e l/10
tiene?
R:
3;
¿cuañtas
nida-
des?
R:
0;¿Cuántas
e l/1000? R:
7;¿Cuántas
e l/100?
ñ: 5.
Todos
os
niños
anotan
elresultado:
/10
+
7/1000
+
5/100
357/1000.
Algunos
escriben:
arillas
e
l:
0; varillas
de l/10:
3; varillas
e l/100:
5:
varillas
e l/1000:7.
Es
conveniente
hacervarias
partidas,
aumentandoprogresivamente
a
dificultad
or
ejemplo,
números
on
ceros ntermedios
n el nume.ador.
Este
uego
es
permite
econocer
na fracción
decimal
descompuesta
n
décimas,
entésimás,
ilésimas,
tc.,
aunque
estén
adas n
distinto
orden
y
les
permite
saber
asar
e a
27511000
la
escritura:
0+21t0+11t00+5/1000
Paso
de a
escritura
raccionaria
e os
racionales
ecimales
la
escritura
decimal
El mismo
uego
colectivo
de la
secuencia
recedente
ero
en
el cual
el maestro
escribir
os
resultados
n el
cuadro
sieuiente:
Valor
de os
intervalos
r / t0 t / t00
l /1000
Todos
os
niños
ienen a
ocasión
e
salir
alapizarray
escriben
n
este
uadro
racciones
e os
ejercicios
recedentes.
e epite
el
uego
varias
eces,
mientras
siendo
nteresante ara
os
niños.
A veces
os
niñós
quieren
añadir
al cuadro
asillas
/10000,
I
/100000...
cuando
seha
legado
quí
esmuy
fácil
hacer
entir
a necesidad
e un
signo
que
distinguir
el lugar
de las
unidades
diferenciar
os
números
cuando
no
70
están escritosen el cuadro.
Con el fin de hacer
surgir esa necesidad, l
maestro
escribe
uera del cuadro
os números:
I98 8
I 988
1 88
l 988
y pregunta
si es
el mismo número,
os
niños
responden
ue
escritoasí es el
mismo número
pero
si se escribeen
el
cuadro
puede
ser
que
seannúmerosdis-
tintos:
Valor
de
os
intervalos
Ll t0
l /100 l /1 00 0 l/ 10 00 0
r98
l9
I
0
ó
8
9
I
8
8
9
8
8
8
El maestrocoloca
os números
como en el cuadro
precedente
pregunta
si
tienen una
dea
de cómo
podrían
escribirse
ueradel cuadro
para que
sepamos e
qué
número se trata. Al darse cuenta de la
necesidad
de distinguir dónde
están
situadas
as
unidades, l
maestro ntroduce a convenciónde la coma
que
sirve
precisamenteara
señalar l lugar
de
as unidades:
1988/10
eescribe
98,8
1988/100
e scribe
9.88
1988/1000
e scribe
,988
1988/10
00 e scribe,1988
El maestro
icecómo se
een
estas
scrituras
<cientooventa
ochocomaocho
décimas>>, ciento noventay ocho unidadesocho décimas,etc.
Se
hacen
ejerciciosde
lectura
y
escritura
de esta nueva forma de escribir
los
números, de
pasar
de fraccionesdecimalesa escr itura con coma
y
viceversa,
de
lectura
de
fraccionesdecimales,
en décimas,
centésimas, tc.,
y
de escriturascon
coma.
Estasactividadesno ofrecen ninguna
difrcultad
si se ntroducen después e
un
largo
camino
para
crear a significaciónde
las nuevas
escrituras.
Otros
uegos
pueden
servir
para
aftanzar o aprendido. Se
puede,por
ejemplo,
fabricar un
juego
con tarjetasde dos clases
A y
B). En
cada arjeta
A
está
escrito
con
etras: na
décima, res
milésimas, uatrocentésimas,
eintiuna
entésimas,os
milésimas,cuarenta
y
tres unidades,etc.
(la
dificultad se
puede
adaptar a
la
edad
y
al
nivel
de
os niños);
en cada arjeta
B hay
un
número:0,234;5,003;43,027, tc.,
de
manera
que para
representar l número
de una tarjeta
B esnecesario
ue
el niño
utilice
varias
arjetas
.
Para componer,
por
ejemplo,0,234 tendrá
que
utilizar:
veintiuna
centésima, os centésimas
cuatromilésimas, cualquier tra
recompo
t7 l
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 88/108
sición
que pueda
hacerse
on las
arjetas .
(Es
necesario,
or
tanto,
que
as
arje-
tasA
permitan
el
mayor
número
de combinaciones
posibles.)
Se
reparten
a cada
seis
u ocho
ta{etas A
y
éstos
van
tomando
por
turno una carta
del mon-
tón B.
cuando
un
ugador
no
puede
no
sabe
omponer
l número
de
as
arjetas
con las
arjetasA,
deposita a
tarjeta B
en el mazo
y pasa
su turno
al siguiente.
Cada
vez
que
un
ugador
compone
on sus
arjetasA el número
B
consigue
icha arjeta.
El
objetivo
es
ograr
el mayor
número
posible
de tarjetasB.
Las consignas
ueden
adaptarse
l nivel
de
la
clase
y
al tipo de
ejercicio
que
sedesee agan
os niños,
y
el
pueden
hacerlo
ndividualmente
o
por
parejas.
Este
mismo
ipo de
uego
sehace
on
dominós
que
permitan
emparejar
scritu-
ras
diferentes
e
un
mismo
número.
11.4.
DIVERSOS
JUEGOS
SOBRE LA
RECTA
NUMÉRICA
ll,4.l.
Buscar
un número
escondido
Puedeugar en primer ugarel maestro ontra a clase.El maestro ice:<<Estoy
n número entre
0
y
l0>>
o
lo
escribe n un
papely
lo
esconde.
Hace
el dibujo
siguiente
en la
pízana:,
Figura11.3
Los niños
hacen
propuestas.
upongamos
ue
ha
pensado
,75,
y
un niño
dice
el
maestro
esponde:
<<Es
emasiado
grande>>
coloca cinco sobre a recta,
aña-
que
no es
su
posición
exacta ino
aproximada
que
o
que
mporta
es
que
el
pensado
s
más
pequeño ue
cinco.
0 5 l0
Figura
l. 4
Otro niño
dice: 3; el maestro esponde:
<Demasiado
equeño>>
representa
0
3 5
t0 Figura
l. 5
Otro
niño
dice 4
-y
el
maestro
dice:
<Demasiado
equeño>
lo representa
a recta.
Otra
posiciónpuede
ser4
y
medio.
<Demasiado pequeño>>
el
ice:
<<¿Cómo
e
puede
escribir4
y
medio?>>.
R:
4,5.
Ahora
el
número
entre 4,5
y
5. Puede
seguirse
l
juego,
ampliando si es
necesario
el
intervalo
hasta
que
quede
atrapado
el número 4,75. Es
el
mismo
uego
que
hemos
con las
fracciones.
|-------------r--+-ft--
ci
j i l 's
--¡--o
4t75 Figura
l.6
72
t73
Puedejugarse
espués
n dos
grandes
equipos,
a mitad de
a clase ontra
la otra
mitad,
o
en
gn¡pos
de
cuatro.
Es
un
juego
que
interesa
mucho a
los
niños
y
todos
quieren
escribir
números
que
cueste
más acertarlos.
Conviene
que
en cada
ugada
SeConserven
n un
cuadro
las
propuestas los
aciertos
y
desaciertos
asta
legar
a descubrir
el
número.
Se
puede
complicar
pensando
números
con
milésimas
y
haciendo
que
haya
ceros
ntermedios.
Cada
uego
se
debe
aprovechar
ara
que
a
verbalización c
lt¡s
decimales
sea
correcta.
11.4.2.
El númeroescondido
stá
epresentado
obre
a
recta
El maestro
muestraun segmento
e
recta
graduado
como el
de a
figura adjunta
y pregunta
cuáles
son
os números
a, b, c, e
y
f
que
están
escondidos
n
las
casillas.
Es
mejor
proponerlos
uno a uno,
primero
a,
luego b, etc.
Figura
l.7
0
Para
responder,
os niños deben
contar
primero
el número
de divisiones
que
se
han hecho
de a unidad.
Cada
división
es
/10
(que
escriben
'l).
De acuerdo
on
esto,el
número
escondido
n
la casilla
<a>
es
1,3,
que
deben
leer:
<una unidad
y
tres
décimas>),
(<uno
oma
res>.
Se
puede
aprovechar
ste
mismo ejercicio
araproponer
contar
de 0,
en
0' I
y
hacerlo
n alta
voz:0,1, ,2,0,3,0,4,0,5,
,6,0,7,0,8'
,9 '
, l , l ,
l '2 '
1,3, tc '
Hemos
constatado
ue
un buen
porcentaje
e
niños
de 6.oe
incluso
de
7." dc
E.G.B.
no
dominan
esta secuencia,
ino
que
cuentan
(<nueve
écimas,
0 déci-
mas...)
escriben:
0,9, ,10...>.
Puede
epetirse l
ejercicio
ontando
horade 0,2
en0,2;0,2'0'4'
0,6,0'8'
I'
1,2, tc.;de 0,3en 0,3,etc.
-
¿Cuál
es el
número escondido
en
<<b>>?
Si
los
niños no
ven
que puede
ser
2,85se
es
puedeproponer
mpliar
el segmento
ue
va de 2,8 a
2,9
y
subdividirlo
en
l0
partes
guales.
-
¿Cuál
esel
número
escondido
n c?
Para
comprender
a signifrcación
e
estas ivisiones
subdivisiones
arece
ue
no es suficiente
verlashechas
ino
que
para
una
gran
parte
de
os
niños es
necesari
haberlas
ealizado
personalmente
ara
nterpretarlas
correctamente'
-
Se
puede
proponer
haceruna serie
umando
ada
vez
0,05
a
partir
de
2,5'.
2,5,2,55,2,60,2,65,2,70,2,75,2,80,2,85,2,90,2,95,...
uchos
iños l
lega
aquÍ dirán
2,100..., es
conveniente
ue
rectifrquen
u
respuesta
bservando
a re-
presentación.
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 89/108
Figura
l.8
2' 2
Encontrar
os
números
e
y
f
presenta
na
mayor
dificultad.
La
mayor
parte
de
niños
de 6.0
y
7.o
a
quienes
emos
puesto
estos
jercicios
an
para
<e>>
l valor
sin tener
en
cuenta
el
orden
que
aparece
n a
récta
2 <
2,r
2 2,2.
para
dan
mayor recuencia l valor2,1 sincaeren a cuentadequeestáentre ,1y 2,2.
El
grado
de
dificultad
aumenta
cuando
se
propone
a
los
niños
encontrar
el
escondido
en las
casillas
el
dibujo
siguiente,
n
el
que
la
unidad
está
en
cinco
partes
guales.
a
mayor
pu.te
de
os
niños
dan
para
g
el número
y para
h
el número
5.2.
Figura
l.9
c
Si
cada
una
de as
partecitas
n
que
está
dividida
a
unidad
uera
0,
(como
ellos
nterpretado),
¿cuántas
eces
ace
alta
sumar
0,
para
ener
una uniouot
s" 1.,
nvitar
a hacerlo
,1
+
0,1
*
0,1
+
0,1
+
0,1
-
?
¿Cuántas
ivisiones
emos
hecho
entre
5
y
6?
¿eué
pañe
de
a
unidad
escada
de
ellas?
Es
preciso
dedicar
a estas
actividadesy
a
otras
semejantes
l tiempo
necesario
que
contar
en décimas,
entésimas
milésimas
enga
signifrcación ara
os
Se les
puede
proponer
escribir
el número que
corresponda
a
cada
rayita,
y
restar
primero
décimas,
uegos
entésimas,
tc.
Tambiénpuede
ayudarles
sociar
cada
ayita
el número
correspondrente;
on
sedarán
cuenta
de
que
sólo legarían
5,5
y
no
a
6 como
aparece
n a
recta
4
Para
buscar
el número
que
deben atribuir a
<<il>
ienen
que
observar
primero
en
cuántas
partes
es necesariodividir
la
unidad
para
aproximarse
o
más
posible
al
número buscado.
1I.5. INSTRUMENTOS DE MEDIDA
Las escalas
ue pueden
observarse n
algunos nstrumentos e
medida
accesi-
bles a
los niños, deben ormar
parte
de as
representaciones uméricas
que
se utili-
zan en os ejercicios
ue
se
es
proponen.
Debe
comenzarse
n 4.o
y
5.o
por
familia-
rizar a los niños con los diversos nstrumentos de
medida
empezando
por
los
de
longitud, tiempo, superficie,
peso,
capacidad...
Deben aprender a
manejar reglas
y
calibradores, on diferentesescalas.
Una
actividad nteresante s
a
de
hacer
una
lista de las diferentesbalanzas
ue
se utilizan en el
mercado, hacer fotografÍas
y
despuésdibujar sus escalas
ue,
en
general,
no
van
más allá del
gramo.
Con
los
alumnos de ciclo superior
se
puede
extender a lista haciendoque haganprácticas on calibradores emayor precisión.
Es
aconsejable
ue
sehagan
visitas
a
fábricas
talleres
de mecánica,de carpinte-
ría,etc.,
paraque
os niños
observen
istintos nstrumentos e
medida.Tambiénse
puede
proponer
a los niños
que pregunten
sus
padres
ué
medidas tilizan en el
trabajo. De
la
puesta
en común de
o
que
cadauno haya
retenido
puede
esultar
un
aprendizaje eal
y
más
próximo
a
la vida. Insistiremosen
que
no es suficientehaber
visto
los
instrumentos
de
medida
y
haber hablado de ellos, sino
que
es
necesario
que
cada
alumno
o
grupo
de alumnos
haya
enido
la necesidad
e utilizarlos,
plan-
tearse
roblemas
on ellose
incluso abricar
uno
que,
aunque
no
lleguea ser muy
exacto,
eshaga omprendermejor cómo debe
hacerse
na escala
qué
dihcultades
aparecen l
fabricarla.
No nos
extenderemos
n asactividades
ue
se
pueden
acer on a medidasino
que
volvemos remitir
al
lector
-en
lo
que
se
efrere
estas uestiones- al
libro
ya
citado de C. Csnvonno
y
J. M.
BplvoNrE. Lo
que
nos nteresa
ecir
aquí es
que
no
pueden
epararse
as
situaciones
ue pretenden
a elaboración on
os niños
del
concepto e númerodecimalde aquellas
elacionadas
on conceptos el
mismo
campoconceptual, omo
son as
actividades
obremedidas.
1I.6.
UTILIZAR
LA CALCULADORA
DE BOLSILLO
Leer
e
interpretar escrituras,
erihcar
operaciones, rganizarjrregos
uméricoso
explorar el campo de
los números,
puede
hacerse oy utilizando este
nstrumento
que
está al alcance
de todos
los niños
y
que
de alguna
forma rompe todos
los
esquemas
e
os maestros,
orque
os
niños
se
encuentran on
números
grandes
pequeños,
nteros decimales
pueden
ugar
con ellos
mucho antesde darles
signi-
hcado.
Debemosservirnosde este
nstrumento como
facilitador de aprendizajes
umé-
ricos,
pero
para
ello
es
preciso
organizar
una utilización sistemática.
Podrá
prestar
una
gran
ayuda si sabemos
nterrogarnossobre
sus
posibilidades
vencer nuestras
17 5
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 90/108
proplas
resrstenclas
or
una
especie
de
miedo
a lo
((nuevo>,
que
de
hecho
ya
no
tiene nada
de nuevo,
pero
que
no
llegamos
a aceptar
en la
realidad
de la
clase.
ll.ó.f
.
Recta
numérica
calculadora
volvamos
a considerar
algunas
actividades
sobre
a recta
numérica
útiles
para
combinar
con
el
uso
de la
calculadora.
-
Se
dibuja
una
porción
de recta
n a
pizarra.
#
100
90 0
Figura l . l0
Sedivide
a
clase
ndos
equipos y
B.
El equipoA hace parecern númeromayorde 100en a pantaila: orejempro, 67.
El
equipo
B
debe
acer
parecer
tro
número
mucho
más
grande:
ór
e¡emlto,
ars.
.
Un.alum.no
e cada
grupo
sitúa
su número
aproximadam-ente
oüre
a recta
numérica.
continuación
edan as
onsignas:
El
equipo
A
puede
tilizar
sólo
a
tecla
+
)
y
cualquier
úmero;
l equipo
B
sólo
utilizará
ecla
-)
y
cualquier
úmero.
cada
equipo
ealizará
naoperación
e orma
alternativa
omenzandoor
el
equipo
A.
El
primer
equipo
ue
encuentre
l número
el
otro
equipo
lo
pase
erri
l
perdedor.
Reproducimos
quÍ
una
de as
secuencias
btenidas
l realizar
siejuego
on
alumnos
e
también
o
hemos
echo
onniños
e
5.o
de6.0):
Equipo
A:
167
+
2OO
367.
Se ocaliza
n
a
recta
numérica.
Equipo
B:
835
50
:
785.
Se
ocaljza
obrea
recta
numérica.
Equipo
A:
367
+
3
:
370.
Se
ocaliza
obrea
recta
umérica.
Equipo
:
785
414:
371.
Se
ocaliza
obrea
recta
umérica.
Y los
alumnos
el
equipo
B
proclamaron
nmediatamente
u victoria.
El
maestro
nterviene:
<¿Estáis
eguros
de
que
el
equipo B
ha
ganarJo?
¿Hay
forma de conseguirque no gane?>>.un alumno áel equipáA dice: <<su-
una
centésima,
luego
una
milésima...))
otro niño
añade: <entonces
o
se
nuncD).
Esta
situación
es muy
interesante
orque
permite
una
ntuición
de a
densidad
decimales,
e
que
siempre
se
pueden
acercar
más
y
más
pero
que
si
uegan
ninguno
ganará
al
otro. De
todas
ormas
serÍa
conveniente
prosegui.
ei
¡uégo
os
alumnos
estén nteresados
n
ello)
porque
aunque
eóricamente
o
se
nunca,
prácticamente
legará
un
momento
en
que
la
calculadoraya
no
o
que
nos
da a
oportunidad
de
constatar
as imitaciones
e
una máquina
debemos
omprender
bien
para
que
no
nos lleve
a
cometer
errores.
-
Es
un
ejercicio
muy
útil,
ya que
al estar
as
operaciones
echas
por
la
calcu-
a
mente
está ibre
para
explorar
esosnúmeros
cada
ez
más
piqueños
que
os
niños
seacostumbran
sí
a sumar
números
muy
pequeños:
,
,
0,ó
,
0,000
etc.,
y
a
dar
un
significado
ros
númerosq.,e
escriben
uesto
ue
os
6
t
asocian a la recta
sobre a
que
han
representado os
primeros
números. Pronto
dejan de
representar
iciendo
que
ya
no
se
puede,pero
saben
muy
bien
que
está
subdividiendo n segmento.
iempre
que
hemoshecho
esteejercicioha resultad
de un interésmuy
particularpara
os niños.
El
mismo
uego
puede
hacerse
tili-
zando
como representación
l minicomputador.)
11.6.2.
Comprobar os cálculos
ue
se han hecho
con decimales
La
calculadora
uede
utilizarse ambién
paraque
os
alumnoscomprueben o
cálculos
ue
han hecho
con decimales. or
ejemplo
en
los
ejercicios
iguientes:
l. Escribe
n
cada nade as eries
edecimalesiguientesos
dos úmeros
ue
iguen:
Suma , l a
6,425-.
Suma0,1 a 4,9-
Suma0,1 a
6,98-
Resta
,1 a
2,834
e)
Resta0, l
a24-
f) Resta
,1 a 1,06
Los
alumnos
suelen ometer os
errores
que
hemos
señalado
que
se deben
a
que
siguen
ratando os
decimales omo
pares
e enteros,
operan
con elloscomo
si fueran
enteros.
Una
vez
que
han hecho
os
cálculosmentalmente,
e
es
propone
que
os
comprueben
on
la
calculadora
se es
proporciona
n hojas
olocopiada
rectas
graduadas
asta
os milímetros
para
que
representan
as
operacrones
uc
ofrecen na mayor
dificultad.
11.6.3. Descubrir
un
número
ecreto ando
algunas
istas
1.
Proponemos os
alumnos
que
resuelvan
l siguiente
roblema,
ue
consis-
te en encontrarel
número
que
falta
en estas peraciones.
2x¡: ¡66
4
xtr :100
8 x :
100
16x
=
IQQ
32 x
tr :
IQQ
Para esolverlo
ueden
usar a calculadora
i
lo
desean.
Pronto
sedan cuenta
e
que
el
factor
conocido s
en cada
operación
l doble
del
precedente
que
cada
uno de os números
escondidos
s a
mitad
del anterior.
Encuentran
ácilmente
50,25,
12,5.
Pero,
¿cómo
hallar
a
mitad
de
12,5?,
ue-
(sumar
0,2 cada
vez)
(sumar
0,3 cada
vez)
(sumar
0,02 cada
vez)
(restar ,01cadavez)
a)
b)
c)
d)
t7 7
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 91/108
den hacerlocon la
calculadora
también
pueden
darsecuenta
de
que
12,5
12,50
y
l12(12,50)
6,25.Y
¿cómo
hallar
a mitad
de 6,25?
6,25 6,250: 12(6,250) 3,125
32x3,125:100
¿Cómo
hallar a mitad
de 3,125?
3,t25 3,t2s0; l2(3,1250) 1,5625
2.
Se
pueden
utilizar unas
calculadorasespeciales
las
que
les falta alguna
tecla de operaciones
de
cifras;
por
ejemplo,
que
no
tenga
a
tecla +. O
si se rabaja
con calculadoras ormales
puede
darse
a
consignade
que
hay
teclas
que
no
pueden
usarse.Como en el modelo siguiente:
<<Encontrar
n número secreto
A
tal,
que
cuando
e
ulsan
ucesivamenre
as
eclas
tr tr
[i.lse
outienen a
pantalla
l
número 15. No sepuedeusar a tecla+).
Los niños
deben
guardar
en un cuadro
odos os ensayos
ue
hacen
hasta legar
a
acertar. La
práctica
de este
uego
permite
a
los niños
un buen
ejercicio de cálculo
mental
y
les hace
entrar
en una dinámica
activa con el fin
de encontrar
el
qúmero
secreto on el menor número
de
intentos
posible.
Los
ejercicios e
pueden
omplicar
dando
por
ejemplo:
E
t
E
:
E,
A,E r r r r,E
EE rE
Se
puede
aprovechar
este
ipo de ejercicios
para
hacer
aparecerdecimales
exac-
os
y
expresiones
ecimales limitadas.
Los alumnos
buscaránen
qué
casosapare-
en
as
unas
y
cuándo
tenemos as
otras
y
llegarán
a caracterizarlas.
Nos
serviremos ambién
de estos ejercicios
para
organízardebates
sobre
os
esultados
que
da
la
calculadora.En los
casosen los
que
la
calculadora edondea,
ando
una
respuesta
xacta,
podremos
buscar
cuál es el error
que
ha
cometido.
Y
odo estosehará
planteando
uestiones los
alumnos animándoles
araque
ellos
ormulen
nuevas
preguntas,
explorando asi el campo numér ico.
11.7.
SOBRE
EL
USO DEL CERO Y SU
SIGNIFICACION
EN LA ESCRITURA
l.7.l.
Generalidades
Sabemos ien las dificultades
que plantea
a utilización del cero en a escriturade
número. Ya
hemos
visto
que
la
génesis
histórica del cero fue muy lenta. Su
se debe a
que
sólo en un sistemade
posición
existeuna
necesidad
del cero. Y sólo una
comprensíón
operativa
del
sistema
de
numeración
hacenecesariaa
existencia el cero. Sin embargo,exigimosa
los niños
que
al mismo
tiempo:
los números
el
cero
ncluido), la manera
de
escribirlos
17 8
y
la forma
de
operar
con
ellos.
No debe
extrañarnos
que
un
tal
aprendizaje
ofrezca
ianta
dificultad.
probablemente
el
haber
aprendido
desde
pequeños
que
<(cero
s
nadD)
es
una
de
las
causas
principales de
las difrcultades
elativas
al
cero
que
sc
afrastran
a
1o
argo
de
toda
la enseñanza
ásica
y
que
llegan
hasta
a enseñanza
,..un¿u¡u.
es
mriy difícil
admitir
que
cero
sea
nada,
ausencia
e
cantidad,
y
quc
al
mismo
tiempo
pueda
cambiar
tanto
su
significado
según
el
lugar
que
ocupe
en
la
escritura
de
un
número,
y
que
un
número
pueda
ser
an
distinto
si
le
quitamos o
lc
añadimos
ceros:
Habrá
que
distinguir
entonces
distintos
significados
del
cero:
o
Ausencia
de
cantidad
o
cardinal
del
conjunto
vacío'
o
Indicador
de
un
lugar
vacío
en
la escritura
decimal
de
posiciÓn.
.
Como
operador,
acituando
e
forma
distinta
según
ea
el
número
entero
o
de-
cimal.
En cada
una
de
as
epresentaciones
uméricas
que
hacemos
odemosorganizar
actividades ue hagan eilexionara los niños sobre a importancia del uso
del cero
y
sobre
el efeóto
de
quitarlo
en
un
número
al tiempo
que
empiezan
a explorar
los
resultadosqueseobtienenalmult ip l icarodividirporunapotenciadediez.
11.7.2.
Ejercicios
sobre
a significación
del
cero
en
las escrituras
r
Completar
ustracciones
El ejercicio
siguiente
puede
provocar
una
discusión
nteresante
obre
a signifi-
cación
del cero
en
la
escritura
de
un
número.
Consideremos
as oPeraciones:
t)
1643 tr:
7043
2) 8964
D:
8904
3)
634' t
D= 347
4)
2,69
A:2,09
5)
1,56
¡:
1, 5
6)
1,65
¡=
1,05
7) 1,65¡: 1, 5
Seproponealosalumnosquebusquenlosnúmerosquefaltanyquecom
ben
ai operaciones
on
la calculadora.
l
mismo
tiempo
se
es
pide
que
ean
os
números'descomponiéndolos
ara
que
se
den
cuenta
de
la operación
que
se
ha
hecho
en
cada
caso.
En l)
<<Siete
il seiscientos
uarenta
tres
se
ha convertido
en
siete
mil
cuaren-
ta
y
tres,
uegoel
número
escondido
s
seiscientos>'
<<El ero
significa
ue
no
hay centenas
n
el
número
7043;>
El ejemplo
5) es
ambién
m.uy
ácil:
<una
unidad,
cinco
décimas-y
eis
entési
¡nur.
n.no,
seis
entésimas
ueda
una
unidad
cinco
décimas>>.
<El signihca
ue
no
hay centésimas,
también
se
puede
escribir
el
número
1,5'>>
El ejercicio
6 ofrecerá
una
mayor
dificultad,
pero
verbalizarlo
orrectament
r7 9
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 92/108
ayudará
a
resolverlo:
<(una
unidad
seis décimas,
cinco
centésimas
60 centési-
mas>:...,
o
más
;icil: <<una
nidad
sesenta
cinco
centésimas
enos
60
centési-
mas.><<Hemos
legado
a una
unidad
cinco
centésimas
estando
60
centésimas
una
unidad
sesenta
cinco
centésimas.>>
<El
ero
significa
aquí
que
no hay
décimas.>>
se
plantean
discusiones
nteresantes
se
propone
a
los
niños
que
inventen
ellos
ejercicios
semejantes que
verbalicen qué
es lo
que
ocurre
en
cada
caso,
y qué
significa
el
cero
en cada lugar.
También
se
puede
aprovechar
este
ejercicio
pára
acentuar
a
necesidad
e reemplazar
algunasveces
una escritura
por
otra
equivalen-
tc: en
el ejercicio
,
por
ejemplo,
es
más ,icil
encontrar
l número
escondido.
i en
lugar
de cinco
décimas
e
coloca a
escritura
quivalente:
0 centésimas.
Jugara hacer
esaparecer
n número
e a
pantalla
or
sustracciones
ucesivas
se
presionan
al
azar as
eclas
de nueve
cifras
y
la
de
a
coma
haciendo
aparecer
un número
sobre a
pantalla.
Por
ejemplo
el
número
64
523.g917.
El
uego
consiste
n legar
a
cerohaciendo
ada
vez
una
operación
ue
convierta
una sola cifra. Las cifras deben hacersedesaparecer n orden ascendente
epuedejugarenequiposdedosoendosgrandesequiposformadospor
clase.
Las
operaciones
ucesivás
eben
quedar
en la
pizarra
si
uega
toda
la
en los
cuadernos
e
os
niños
si
uegan
de dos
en dos.
Por
ejemplo
en
este
caso os
pasos
ucesivos
ueden
ser:
-
0,001
:
64 523,8907
-20
:
64
503,8907
-3
:
ó4
500.8907
-4000
:
60s00,8907
-500
:
60
000.8907
-o.os
:
0
.
Este
uego
se
puede
complicar
mponiendo
la
condición
de
que
sólo
se
pueda
un número
cuando
ocupa
el lugar
de las
unidades,
o
que
obliga a hacer
multiplicaciones
y
divisiones
por
potencias
de 10.
con esta
consigna,
el mismo
número,
el
uego
se
desarrollaía de la manerasiguiente:
x 1000
:
64 523
91,7
-
I
:
64 523
890,7
+
l0
000
:
6452,38907
-
2
:
6450,38907
x l0
:
64 503,8907
-
3
:
ó4500.8907
'_
9
También
se
puede
simplificar
ugando
al
principio
con números
más
pequeños.
e
puede
ugar
desde
3.oó 4.o
de E.G.B.,
complicándolo
medida
os niños
conocen
mejor
os números.
Suele
currir
que
ellosmismos
nventan
consignas
ara
complicarlo
y
hacer el
uego
más
nteresante.
80
:0
11.8. AREAS
DE
REGIONES
EN
PAPEL
CUADRICULADO
El
papel
cuadriculadoes un material
que
estásiempreal alcancede todos
nues-
tros alumnos
y
debemos
mplearlo
ara
que
os niños ecorten
dibujen
racciones
y
decimalesde
forma
que
los visualicen
en una superficie omada como unidad.
Hemos
propuesto
lgunos jercicios obredecimales
BnowN,
198
)
a alumnos
de 5.o, .o
7.o
de
E.G.B.
y
hemosencontradoasmismas
ificultades
e nterpreta-
ción
que
aparecían uando se rataba de eer o escribir decimalessobre
a recta nu-
mérica.
Uno de los ejercicios
propuestos
ue el siguiente:se es daba como unidad de
área un cuadrado
y
debían escribir en
forma
decimal
el
área
rayada
en
cada
caso.
Las respuestasueron mayoritariamentecorrectas
para
os
ejerciciosa
y
b.
Esto
inclina a
pensarque
esos
iños
comprenden
os números
decimales
ue
escriben.
Sin embargoen
los ejercicios
y
d se
producen
muy
pocas
espuestas
orrectas.
Por
ejemplo,
para
el ejercicioc
la mayor
parte
de
los
alumnos dan como
respuesta ,6;
algunoda
incluso 1,006; muy
pocos
a respuesta orrecta:
1,06,1o
que
signihca
que no han sido capaces e interpretar a representación omo: <<unanidad y seis
centésimas>.
Pero
esel ejercicio el
que
conduce
a un mayor número de errores.
Incluso algunosalumnos
que
han resuelto
correctamente dan
como respuesta
para
d:
0,2. Este
último
resultado os
confrrma
asobservacionesechas uando
os
alumnosdebÍan
nterpretar
raduaciones
e a rectanuméricahabiendo ividido
a
unidaden cinco
partes
guales. o
mismo
ocurresi sedivide
a
unidaden
20
partes:
cada
partecita
a leerán
omo una décima.
Parece,
or
tanto, de nterésmultiplicar
las situaciones n
las
que
los
alumnos deban
manejar
estas
epresentaciones:o
solamente
eerlas
y
reproducirlas
sino
recortarlas,compararlas,operar con ellas
hasta
que
estas
epresentaciones
engan
realmente
signiñcado
para
ellos.
Escribe odas
us
respuestasomo
DECTMALES.
a)
l8 l
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 93/108
b)
c)
d)
Figural.ll
La
utilización
del
papel
cuadriculado
para
representar
racciones
en
general
y
flracciones
ecimales
n
particular,
así como
para
hacer
algunas
operaciones,
e
encuentra
n
gran parte
de los
libros
de texto
que
utilizan
los
alumnos.
¿A
qué
tribuir entonces
ue
este
modelo
enga
an
poca
signiñcación
ara
a mayor
parte
e ellos?Creemos
que
se debe
a una utilización
pasiva
de las representaciones.
parecen
omo dibujos
que
dan respuestas
preguntas
ue
ellosmismosno
han
legado
plantearse.
s
preciso
roponer
as
cuestiones l alumno,
plantear
el
pro-
lema
y
habituarle
que
verifique
us
espuestas,
ue
pueda
él mismo
comprobar i
a respondido
orrectamente
no. Por
ejemplo,
en el casod, un
alumno
que
ha
espondido
ue
a
parte
punteada
s0,2
deberá xplicar
por
qué.
Si descomponea
nidad l:0,2+0,2+0,2+0,2+0,2) veráque a partesombreadas4ll0 ó 215.
as representaciones
n
papel
cuadriculado avorecen
ambién
la visualización
de
racciones
quivalentes
de a relación
entre racciones
decimales.
Se
es
puede
proponer
que
realicen,
epresentándolo
rimero
gráficamente,
a
suma /2
+
3/5.
Parahacerlo
eberán isualizar12:5110
y
315
6110
para
dar finalmente
t1lt0.
Insistimos
n
que
no
se rata de copiarlo
o de
verlo
hecho
en
lapizarra
o en el
de
resolverlo
dibujando
o
recortando
el
papel
si es
preciso.
r82
=N+=ft
-l
* -
t83
Por
ejemplo,se
puede
proponer
repartir
cuatro
unidadesentre cinco. Cada
partc
será
4 + 5,
y
haciéndolo
con el
papel
cuadriculado se
verá
que
es: ll2
¡
ll4
+
tt20
:
16120.
1T.9. PASAR DE
FRACCIONES A DECIMALES
Y VICBVERSA
Para ejercitar a
los niños
en
relacionar racciones on decimales
habituarlesa
visualizar
a/b como
fracción, como división
(a
+ b)
y
como escri tura decimal,
Mnlrc Swnv
propone
os ejerciciossiguientes:
l. Se
proporciona
los alumnosun cuadrode doble
entrada n el
que
aparecen n
columna
os números
,2,3,...10omonumeradores
losmismos
úmeros n ínea omo
denominadores,e
forma
que
en los cuad¡aditos
ue
se ormandeben notar
a escritura
decimalde
la fracción orrespondiente.
as fracciones enores
ue
a
unidad
se
pueden
representarl mismo iempoen
a rectanumérica.
a
diagonal
stá ormada e unos.
Figura
11.13
En este ejercicio
se
pide
dar
la
expresión
decimal con
una aproximación
de dos cifias
decimales.
a segundamitad del cuadro
a
pueden
ellenar os alumnos extendiendo
el mode-
lo
que
observanen
la mitad inferior. Puedenconseguir
na
mejor aproximación utilizando
la
calculadora.
Para ello los alumnos convierten
cada
racción en un
problema
de división.
Se
propone
a los alumnos
que
escriban odos
os modelos
que
han observado. e
es
puede
ayudar con
algunas
preguntas:
-
¿Por
qué
aparece
a respuesta en todas
as casillasde
la
diagonal?
-
óQué
grupos
de
respuestason guales?
¿Por
qué
son
guales sas espuestas?-
Esto
conducea hablar sobreequivalencia
de escrituras,
e o
que
nos
ocuparemos
n el
párrafo
si-
guiente.)
,
-
Si añadiéramos
ás ilas
haciendomás
grande
l cuadro
por
ejemplo,
ila I l, fila 12,
fila
13,
etc.)
¿Se
pueden predecir
las respuestas
ue
deberán
aparecer?
Verificar con la
calculadora
si las respuestas
an sido correctas.
- Observad
a novena
olumna.
¿Por
qué
no estáel
número0,99999...?
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 94/108
- Dobla a hoja
por
la diagonal
e
los unos. Multiplica os números
que
coinciden, e
pueden
hacercoincidir
atravesándolos on una aguja,
¿qué
seobserva?
¿Qué
sucede?
(Esto
conducirá hablar
de
a multiplicación
e
números
nversos especto
e
a multiplicación.)
-
¿Cuáles
on as espuestas
ue
dan un decimalexacto?¿Cuáles
son
as
que
dan
ugar
a
escrituras
ecimales limitadas
periódicas?
¿Se
pueden
observar lgunosmodelos?-
¿Qué
se
observa obre
os
dígitos e osdecimales quivalentes I
7,2/7,3/7,4/7,5/7,6/7?
Puedes
observar
que
si
escribes
os
digitos del
período
en orden alrededor
de un círculo, los
pares
opuestos iempre
uman9:
8
Figura
l. l4
Es nteresante
ara
os
alumnos xplorar
modelos
emejantes
ara
l13, l l17,l/19,.. .
2. Setrataahoradeunjuegoconcalculadoraparadosjugadores.Cadajugadorposeeuna
calculadora una
arjeta omo
as
del bingocon un cierto
número
de racciones,
or
ejemplo:
t7l t0 513
615
tl 3
8/5 7
s
', l
/4
l l /10
312
4/3
2/3 t l t0
r9/ t0 t l2 7/10
5/ 4
4/s 9
5
2/s
9lt0
r
s
I
14
3/5 314
El
primer
ugador
eligeuna
fracción
cualquiera e esta ista
y
la tachaen el
cuadro,
por
ejemplo 5/4, cambiaesta racción
por
su escritura ecimal: 1,25,usando a calculadora,
marca
su
respuesta
obre a rectanumérica
por
medio de un flecha.
Figura
l. l5
El
segundo
ugador
eligeuna fraccióndiferente, a
escribe n
forma
decimal
y
marcasu
obre a rectanumérica tilizandouna lecha
istintade
a
del
primerjugador,
de
color.
El
juego
continúa
por
turnos eligiendo racciones, scribiéndolas
n
forma
y
marcando
el resultadosobre a recta numérica.
Gana el
primer
ugador
que
consigueener res lechas onsecutivas
obre
a rectanumé-
1I.IO.
ESCRITURAS DECIMALES
EQUIVALENTES
Aunque
en otras
partes
e
este ibro nos hemos
encontrado on escrituras (lu
valentes,
eseamos
edicarun
párrafo
a tratar en
particular
esta
dea
an
inr¡rortlr
te.
Para
comparar 0,8
y
0,75,
por
ejemplo, es
convenienteconsiderarc¡u
0,8:0,80. Para
poder
ntercalar
n
número
entre
0,41
y
0,42
es neccsario (
capaz e econocer
,41
omoequivalente0,410
0,42 omoequivalentc 0.42
Veremos
gualmente
a importancia
de comprender a equivalencia e
escritur
para
nterpretar
orrectamenteazones.
roporciones
porcentajes.
De hecho,
para
comprender
el orden en los
decimales operar
con e llos e
indispensable
omprender
ue
un número
decimal
se
puede
escribirde infinita
formas
distintas, iendo
iempre
l
mismo
número.En
todas
as
epresentaciones
números
decimales
ue
hemosvisto
es
posible
hacer
hincapié
en
la
diversidad
representaciones
ara
un mismo número.
Lo acabamos
e
ver
en
el
uego
con la
fracciones,
o hemos isto
con
a
calculadora,
on
a recta
numérica
en un
prime
ejerciciocon
el
minicomputador.
Añadimos
ahora algún ejerciciomás
con est
último material,que puedeayudarmuchoa comprendermuy pronto(¡y ugando
escrituras
quivalentes
e un
mismo
número;
asícomo algunosmétodos
ara
obte
ner nuevas
scrituras
e un número,
descomponiéndolo ás
y
más.
ll.l0.l. Muchosnombres
ara
el número 000
Partiremos
e este
uego
que
suponemos ehizo
ya
ratandode conocer
ien
o
números
enteros.Consiste
en encontrarmuchas ormas
de nombrar
el
númer
1000.Lo haremos
obre as
placas
el minicomputador;
iene el alici ente
e conr
prenderse
uy
rápidamente
on sólo aplicar as eglas
e
uego.
Empezarcmos
on
seis
placas,
uatro a
la
izquierda
del
listón
que
hemos
añadido
para
scparar a
unidades e la
parte
decimal,
y
dos a la
derecha el mismo. Secomicnza
()r)ur)
sola hcha
en
la
primera
casillade
la
primera placa
de
la izquierda.
clrcnrosas
representado
l número 1000.
rtr H rtr rtrlttr H
igural l . lT
I
l ' l |
| | I
| |
|
| l l l
I
| |
I
I
¿Cómo
puede
epresentarsee otra forma saltandoa la
placa
siguiente?
m m rr rtlrl m
Figurarr.rs
|
|
l ' l
I
I
I
|
|
I l l l
|
|
I I
I
Representa:800 200.
Nuevo salto.
18 4
mff immlmE
Figurai l .remmErmlmm
18
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 95/108
Representa:
800
+
100)
(80
+
20).
Nuevosalto.
Representa:
800
+
100)
+
Nuevosalto.
TEHMHI
I
| |
|
l ' l I
l ' .1 |
|
l l Figurarr.2o
r t r r tmHlHH
I
| |
l ' l
I
l ' i
l ' l
ll
I
I I I I
I
F igurat l .2 l
Representa:
800
+
100)
1
(80
+
l0)
+
(8
+
2)
Nuevosalto.
f f i f f i f f i f f i l f f i f f iF igura,,22
(80
+
l0)
+
(8
+
l)
+
(0,8
+
0,2).
f f i f f iHff i | f f i f f i
Figura,,23
Representa:
S00
100)
(80
+
l0)
+
(8
+
l)
+
(0,8
0,1)
+
(0'08
0,02).
Pronto escubren
l modelo
ue
permite
omprender
a
gualdad:
000 999,9999...
Y de
paso
e
hanencontrado
uchas scrituras
quivalentes
el
número
000.
¿Es
posible
hacer
o mismo
con
el
número
1?
Es fácil descubrir
de
esta
orma
las equivalencias:
t
=
0.9999. . . ;
5
24,999. . . ;7 ,4
1,3999. . .
Se
propone
a los
niños
que
representen lgunos
números
decimales
obreel
y
que
den
variasescrituras
el
mismo
número
ustifrcando
os
ue
hacen.
Porejemplo
,14
2+ 0,1
+
0,04
-
I
+
I
+
(0,08
0,02)
0,04
.. .
Representar
osnúmeros:
,3; ,5;
1,86;
,93;
,85,
tc .
6
Se
pide
gualmente ue
nterpreten
as epresentaciones
iguientes:
Figura
11.24
Representar
os números
y
leerlos
ofrecemenos
dif,rcultad
ue
escribirlos. or
ello
esconveniente
acermuchos
ejercicios
e cálculomental
hasta
ue
a
escritur
aparezca
spontáneamente
or
interpretación
e as representaciones
n
las
placa
del minicomputador.
Siempre
ue
o
hemos
utilizado
con niños
desde
.o
hasta
6.0)
se
ha
producido
un
interés
sombroso,
na
gran
actividad
el
desarrollo ontinuo
de nuevas
strate
gias
de cálculo.Para
que
estematerial
enga
nterés
se
debe rabajar
con el mini-
computador
de
pizarra,
con las fichas
mantadas
que
se rasladan ápidamente
de
una casilla
otra,
y
en actividades
n
as
que participa
oda a
clase. l minicompu-
tador ndividual
nteresa
menos
a los niños
y
esnormal
que
así
sea
porque
no
se
ve
la razón
de representar
antos
puntitos
para
escribir un número.
11.11.
SOBRE EL
ORDEN
EN LOS
DECIMALES
En
el
capítulo9 hemos
citado algunos
e los erores
principales
uc
los
nirios
cometen
uando
debenordenar
números
decimales.
emos
visto
quc
suclcn
¡tili-
zar modelos
mplícitos
que
nada
ienen
que
ver
con la
significación cl nlinrclo.
Por
ejemplo
dirán
que
es
<(mayor
l decimal
que
ienemayor
número
de
cifias.c¡rr
3,143
es
mayor
que
3,2>
aplicando
sí a regla
que
vale
para
comparar os
númcros
enteros.
Posteriormente
emos
querido
verificar
si
nuestros
lumnos
de 6.o
y
7.o
han
resuelto
a
estos
problemas
e orden. Hemos
propuesto
un
cuestionario vanas
clases
e estenivel
y
hemos
obtenido
una mayorÍa
de
respuestas
ue
confirman
la
regla mplícita
señalada. emos
obtenidoen
casi odas as espuestas
ue
15,432
s
mayor
que
15,7
y que
2,452
es mayor
que
2,64.
Nos
proponemos
n este
punto
presentar
lgunas
actividades
ue
tienen
por
objeto
capacitar
a
los
alumnos
para
comparqr números
decimales
con distintos
números
de cifras
decimales
para
ordenarlos
e
menor
a
mayor
o
a
la
inversa.
Buscamos
ambién
que
los
alumnos
elaboren verbalicen
us
propias
reglas
de
ordenación
de números
decimales,
ustif,rcando
or qué
son
válidas
en todos os
casos.
Deberán
gualmente
servirse
de
ellas
para
intercalar
otros números
en una
serie
previamente
rdenada.
H
t t l
ttr
' t l
m
. . t I
t . . t l
m
t' l
l t . . i
ttr
t l
I-.-ft
ul
til
T-TJ
H
l ' l ' l
Tl':l
---r--t
i t ' l
Ftr
' t . l
H
ffi
r87
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 96/108
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 97/108
ll.l2.l.
Encuadrar
un
racional
entre
dos números
naturales
Se
pretende,
con
este
uego,
encontrar
en
un
tiempo
mínimo
el intervalo
entre
dos
números
consecutivos ara
encuadrar
una
fracción
entre
dos números
natura-
les
del
0 al 10,
por
ejemplo.
Para
ello
se
divide
la
clase
en
dos
equipos
A
y
B,
con
un represenante
por
equipo.
El
equipo
A
piensa
un número,
o
escribe
en
un
papel
y
lo
esconde.
os
dos
representantes
e os
equipos
salen
a
lapízanay
empieza
eljuégo.
El equipo
B
debe
encontrar
un intervalo
al
que
pertenezca
l número
pensado
pór
et equipo
A.
para
ello
tiene
que
hacer
preguntas
al representante
el
equipo
Á.-.,
¿Esta
entre
2
y
l0?>.
Supongamos ue
a fracciónpensada
aya
sido
ljr.Fjlrepiesentante
de
A
responderá.
,,Sí>r,
y
escribirá
en la
pizarra
el intervalo
t2,
l0].
La
pregunta
si-
guiente
puede
ser: <<¿Está
ntre
5
y
l0?>.
B responderá'
.si' y
esc¡firi
[5,
l0].
-<¿Está
entre
7
y
10?>.
B responderá:
<<No>
escribirá
[7,
r0]
tachado.
El
quipo
B
ya
sabe
ue
a
fracciónpensada
stá
entre
5
y
7,y
traceiapregunta:
<¿Está
ntre
5
y
6?>'
El
equipo
A
dice: <<Está
entro>.
El
uego
há
terminado
el equipo
B
un
punto.
Si la
fracción
hubiera
sido
acertada
exactamente;
i fu.iu,-
po.
0/2, el equipoB ganadospuntos.
Se
uega
varias
veces
e a
misma
forma, para
que
os
niños
aprendan
a elaborar
permitan
encontrar
el intervalo
errun
mínimo
de
pasos
y para
que
a
proponer
fraccionesque
no
puedan
ser
acertadas
ácilmente.
Después, ara
que
todos
os
niños
puedanjugar
varias
veces,
ehacen
grupos
de
de forma que
ueguen
dos
contra
dos,
que
serán
alternativamente
emisores
notando propuestas
preguntas
en
una
hoja.
El
maestro,que
ha
colocado
previamente
en la
pizarra
un
cuadro
con
cuarro
dispuestas
e la
manera
siguiente:
FRACCION
ATRAPADA
Fracción
Intervalo
elegida pedido
FRACCION
ENCUADRADA
Fracción
elegida
Intervalo
pedido
Termina
el
uego
con
una
puesta
n
común.
Los
niños
van
completando
el
cuadro
anotando
as fracciones
elegiclas
si
las
acertado
o encuadrado.
Al
terminar
esta
secuencia
odos
os niñossaben
ugar
afracciones y casi todos saben ocalizar fracciones
entre
dos naturales
0.
Con
preguntas
adecuadas
el maestro
puede
facilitar
a
los
niños
la
toma
de
de las
siguientes
ropiedades:
a
Para
comparar
algunas
racciones
no
es necesario
educirlas
a
común
de-
basta
con
dar,
para
cada
una,
el intervalo
de longitud
I
correspon-
o
Es más
fácil
estimar
el resultado
de la
suma
de varias
racciones
cuando
se
para
cada
una el intervalo
en
que
está
situada.
A
lo lárgo
de
estas
actividades,
as
propiedades
del orden
entre los
racionales
de forma
implÍcita.
Los
niños
adquieren
una
primera
ntuición
de
que
90
las fracciones
y
los
naturales
están organizadosentre
ellos de forma difcrcntc
y
empiezana
<(veD)
ue
entre dos números
naturaleshay muchas raccioncs.
.as
situaciones iguientes
ermitirán
acercarse
más
al
funcionamiento de a densidad lc
los racionales, las racciones
ecimales
esultarán
rivilegiadas,
e
forma natural,
porque
hacen
que
os cálculos eanmás áciles
porque
con ellasse
puedc
aproxi-
mar anto como se
quiera
cualquier racción
,
en
a
práctica,
e
puede rcscinclil
lc
las otras
fracciones
calcular sólo con
las
decimales.
11.12.2.
¿Se
pueden
hacer os intervalos
cada
vez
más
pequeños?
Los niños
buscan
ndividualmente arias racciones
entro de un intervalode
longitud l.
Se
puede
hacer
de
forma
que
un niño
(o
dos si trabajan
por pares)
busqueentre I
y
2, otro
entre
2
y
3, otro entre 9
y
10,etc. No hace alta mucho
tiempo
para que
aparezcan xpresiones omo <no se
acaba
nunctu>, <hay
odas
as
quequeramos>,...
El
juego
evoluciona ntroduciendo una nueva
consigna:
ganará
el equipo
que
consiga ar el intervalomás
pequeño ara
a fracciónencuadrada.
Se haceprimeroen equiposde cuatroo cinco,y se uegacomo en los uegos
precedentes:
na
parte
del equipo busca
a fracción
y
los
otros
niños
debendar
intervalos
ada
vez más
pequeños ara
encuadrarla.
Algunosniños
ienen
a idea
de dar
os
extremos el ntervalo
como
fracciones,
por
ejemplo:
<¿Está uestra
racción
entre 8/2
y
l0/2?>>
i estaestrategia o
apare-
ce, el
maestro
uede
sugerirla
ara
comunicarun
nuevo mpulso
a la
acciónsi
ve
que
os niños
ienen
mucha
dificultad
y
empiezan
desanimarse.
Al principio
es
cuestamucho
y
no suelen
ar
más
de dos ntervalos.)
Cuando
ya
han
ugado
algunas
artidas
en
grupospequeños
han sabidodar
intervalos
adavezmás
pequeños,
e
pasa
ajugar con
toda
a
clase n dos equipos.
Uno
de
ellos elige a fracción
y
envÍa un rep resentante la
pizarra
como en los
juegos
precedentes;
l representante
el otro equipodebehacer as
preguntas
obrc
el intervalo
en el
que
se encuentra a fracc ión.
Supongamos,
or
ejemplo,
quc
cl
equipoA
ha
pensado
a fracción 3l3.El
equipoB
pregunta or
intermedio
c
su
representante:<¿Estáuestra
racción
entre
812
y
l0l2?>>. l
equipoA rcsponclcrii
en este
aso:
Si>.
A
veces,
ntesde responder ecesit aeunirse
on su equipo.) :l
equipoB deberá
uscarun
intervalo
más
pequeño.
Puede
preguntar, or
ejcnr¡rlo:
<<¿Estáuestra racciónentre912y I0l2?>>.a respuesta el equipoA será:<No>,
con
o
que
el equipo
B
sabe
ue
a fracciónestá
en el
intervalo
8l2,9l2l
y
el
uego
seguirá
mientras
ean
apaces e dar
intervalos
más
pequeños.
Este
uego
plantea
muchas ificultades,
orque
comparar
racciones
uando
os
denominadores
on distintos esultacomplicado.Para
superar as dificultades os
niños dean
estrategias
iversas.
or
ejemplo, educi r os extremos
común deno-
minador,
omardenominadores
otencias
e
2: 2,4,
8,
16,...
Siemprehay algún
grupo que
tiene a idea
de
elegirdenominadores
ue
sean
potencias
e
l0: 10, 100,
1000,..., sociandoas
subdivisionese osdenominadores
con las subdivisiones
e
la
regla
con
la
que ya
han
medido en
otras ocasiones.
Como
las
preguntas ue
hacen os
que
dividen
el
intervalo
en
potencias
e l0 son
más ticiles
e
responder,
erminan
por
ser
adoptadas
or
todos.
Al
terminar estasecuencia,os niños
comprenden
ue
se
puede
ocalizaruna
19 r
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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fracción
dentro
de un
intervalo
más
pequeño
que
l,
y que
este ntervalo
se
puede
educir.
Pero
esevidente
ue
necesitan
ugar
mucho
más
para
adquirir
un método
ue
les
permita
ganar
con
un
mínimo
de
ugadas
y
haciendo
el
menor
número
osible
de cálculos.
Si la estrategia
e tomar
subdivisiones
ecimales
o
apareciera,
l
maestro
a
uede
provocar
ugando
él contra a
clase.
Seráél
quien
tenga
que
encuadrar
a
racción
ensada
or
a
clase hará as
preguntas
omando
siemprentervalos
uyas
xtremidades
on racciones
e
denominador
otencia
de 10.
Si se
uegan
variaspartidas:
en
equipos
pequeños,
n dos
grandes
quipos,
y
oda a
clase
ontra el maestro,
mpiezaa
aparecermuy
claro
que
hay
fracciones
se aciertan
enseguida:
on las
fracciones
ecimales.
i algunosniños
siguen
aciendo
ubdivisioneso
decimales
as
abandonan
ronto
pues
ven
que
os
cálcu-
son argos
complicados.
Aparecen
situaciones
ue
se
prestan
a
discusión
como,
por
ejemplo,
el
que
ue
no
se leguen
a
acertaraunque
se
subdivida
más el intervalo,
es el
casode las fracciones
l3, ll7,
2217...
Al
principio
los niños
intentan
más
pero
siemprehay
alguno
que
deja de hacerlodiciendoque hayue no sepuedenacertar
on ntervalos
ecimales
orque
10, 100,
1000
son múltiplos
de 3, ni
de
7.
Intercalar
decimales ntre
dos enteros
Podemos
ugerir
que
cadaalumno
busque
por
lo
menos
cinco
decimales
ntre
enteros,
or
ejemplo
si
hay
25 niños),
un alumno
entre
y
2,
otro entre
2
y
3,
3
y
4,
y
así sucesivamente,
e forma
que
vamos
a tener
una larga ecta
e I hasta
25.
Suele er nteresante
ar
a idea
de
que
cadaalumno
utilice
lolio
-todos
iguales-
y
se
ome a misma
unidad
que puede
er30 cm.
(Tam-
se
puede
hacer
on tiras
de
I
m de ongitud
y
4
cm de anchura.En
este
aso e
hacer
equipos
de dos alumnos
por
cadametro,
con el frn
de tener en total
que pueda
azonablemente
olocar'se
lrededor
e
la
clase.)Ello
les
hacerse
na
magen
bastantemás
amplia
que
a
que
suelen
dquirir
con
segmentos
equeños
e recta
que
ñguran
en los ibros.
El
maestro
debe
procurar
que
las
graduaciones
estén hechas
correctamente
lo cualpermitiráusar eglas- a fin de que cuandoun alumno represente,
ejemplo,
el
número
decimal
8,25 no
estésituadomás
o menos,
sino
o
más
osible.
Esta ecta
servirá
durante varias
ecciones
ara
organizar
uegos.
Se
puede
ugar,
por
ejemplo,
a adivinarun número
decimal
que
un
alumno ha
n su
segmento:
ueden
ugar
de dos
en dos a
(<atrapar
n decimal
dando
vez
ntervalos
más
pequeños),
onservando
n un
papel
os intervalos
que
dando
para
acercarse
l
número
buscado. ueden
ombinarse
os
uegos
en
on
uegos
de toda la
clase n dos
equipos: no
de
os
equipos
e
pone
de
sobreun número
decimal,elegido
entre os números
epresentados
or
alumno
del equipo;
el otro equipo
deberá nterrogar
obre
el
intervalo
en
que
encuentra,
asta
ue
vaya
acercándose,lo
atrape
i
puede.
Cada
alumno
puede
el
número
de decimales
n su segmento,
unque
en
la
práctica
no
es
posible
r másalláde
ascentésimas;
e
modo
que
cuando
quieran
precisar
más
sct t
necesario
maginar
ampliaciones
e un
intervalo.
Estos
uegos
deben
dar
ugara
puestas
n común,
comparaciones
e
os
rt:st¡ltrt-
dos,
observaCiones
obre
os decimales
ue
Seatrapan
ácilmente
los
quc
rcsrrlllt
más difícil
atrapar,
etc.
Cuando
se iene
oda
a
tira
graduada
olocada
lrededor
e
a clase,
l
nlacslltr
puede
hacerobservar
si
los niños
no
lo han hecho
antes-
que
si
sc colloccrl
<todos>os decimales
ue
hay
entre
0
y
I seconocen
ambién
<todos>
os
quc
hay
entre
y
2, entre
2y 3...,
ntre
40
y
41,etc.
ntuirán
que
no se
pueden
epresenta
todos,
porque
siempre
e
puede
añadir uno
más.
11.12.4.
¿Cómo
e
puede
ituar
un
racionalentre
dos decimales?
Damosuna
fracción
proponemos
os alumnos
que
busquen
n
qué
ntervalo
está
y
quién
puede
situarla
mejor.
Conviene
ar
una
fracción on el
numerador
astante
rande
especto
el deno-
minador,paraqueno o hagan ojo,sinoqueempiecen pensar n a división.Sea
por
ejemplo
a
fracción6524126.
Dónde
a situaremos?
provecharemos
staactr-
vidad
paraque
os alumnos
comprendan
l
proceso
ue
seSigue
ara
haceruna
di -
visión.
Se es deja
que
busquen
en equipos
una
estrategia
ue
es
permita
ocalizar
a
fraccióndada;
algunos
an
a
pensar
n
ver
cuántas
eces
ueden
quitar
26 de 6524,
o
van
a
hacer a división
que
esconduce
a
ver
que
está
situadaentre
250
y
251
y
pueden
escribir:
250<6524126<251
El
maestro
regunta:
¿Podemos
ar un
intervalomás
pequeño?>
ibuja cn la
przarra
n segmento
e recta
graduado:
00,200,300,400...,
puede
olttrcar
r
destacar
l intervalo
1250,2511.
Figura
11.25
Se
propone
entonces
os niños
que
verbalicen
n cada
etapa
o
que
buscan
lo
que
han hecho
para
encontrar
a respuesta.
En la
primera
etapa
hemos
buscado
os enteros,
ara
o
que
hemoshecho
a
división:
6524
+
26
:
200'.26 está
ontenido
200
veces.en 542
y
sobran
24
que
representa
4126.
24/26
240/260
r93
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Ahora
en a
segunda
tapabuscamos as
décimas.
¿Cuántes
eces
estácontenido
l/10
(que
es o mismo
q:ue
61260)
n 2401260?
240
+ 26
:9;
9 x 26
:
234
y quedan
6
que
representa
1260.
En
tercer ugar
buscamosas
centésimas. <¿Cuántas
eces
stácontenida /100
(que
es gual
a
2612600)
n 6012600?>>
40
+
26
:
l;
60
-
52
:
8;
quedan
8
que
representa812600...
Estas
peraciones
ueden
resentarse
n el algoritmohabitual,
aunque
nos
pare-
e
que
en os
comienzos
el aprendizaje
e a
divisiónsería
onveniente tilizar
un
lgoritmo
que
dejara onstancia
e
odas
as
operaciones
ue
se ealizan.
El algorit-
mo
puede
serel
siguiente:
250 92
250x26:6500
9
x
26
23 4
2x26:52
Seránecesario acer
muchos de
estosejercicios
ara que
los niños lleguen
a
el algoritmo
que permite
situar siempreun número racional
entre dos
i
la
actividad
11.12.1
e
ha
desarrollado uhcientemente,
l terminar
11.12.2
endránmuy
claro
que
entredos decimales iempre
e
puede
añadirotro
y
con los decimales
odemos
proximarnos los
racionales
anto como
quera-
Habrán
visto
ambién
que
hay fracciones
ue
sesitúanenseguida
que
éstas
precisamente
as
que
se
pueden
escribiren forma
de
fracción
decimal.
ALGUNAS
PREGUNTAS
ABIERTAS
En
el ciclo
superior con niños
que
dominen
as
actividades
itadas e
pueden
preguntas ue
dejen
ntuir
que
todavía no saben
odo sobre os números
i tomamosun punto cualquiera obreuna rectagraduada,
podremos
iempre n número
decimal
para
designar se
unto?
La respuesta
ega-
orque
acaban e
ver
que
hay racciones
ue
no
pueden
ituar
o
con los
decimales,
ero
creen
que
esos
puntos
corresponden
odos a
los
Podremos
ituar obrea
recta
l número
5,6789
0l ll2l3l4l51617
...?
ncuadrar senúmero
entredecimales?
uesto
ue
en E.G.B.no
se rata
problema
de la continuidad, a
comprensión
ompletade estas
ropiedades
o
ograrse:
ero
nos
parece
muy importante
que
se hayancreado ntuiciones
ómo secomportan os
decimales.
eben
saber
ue
odos
os
cálculos
hacerse
on los
decimales,
orque
nos
permiten
aproximarnos cualquier
anto
como
queramos...
4
II.I4.
ADICIÓN,
SUSTRACCIÓN,
MULTIPLICACION
Y DIVISIÓN
DE
NÚMBROS
DECIMALES
I
. l4 . l .
Adición
Las descomposiciones
ditivas
de
números
decimales
ue
hemos
enctlntLaclt
hasta
este
momento
no nos dispensan
e
dedicar
una
o
dos Secuencias
proponcr
situaciones
ue
permitan
a
los niños
construir
el significado
de
la adición
con
decimales
elaborar
modelos
de cálculo
con
estos
úmeros.
La
noción de
adición
que
poseen
os niños
se
ha construido
a
partir
de
manipulaciones
e colecciones
tiene
signihcado
con
números
naturales.
El signo
+
es
un símbolo
que
representa
para
ellos esa
operación
que ya
conocen.
Es necesario
hacerles
sentir
que
hasta
ahora
no sabemos
ómo
se
suman
os
nuevos
números
y
que
de
alguna
orma
deberán
descubrir
un
procedimiento
para
sumarlos,
apoyándose
n
lo
que
saben
hacercon
los
números
enteros.
Propongamos
lgunas
ituaciones
ue
conduzcan
a
la idea
de adicionar
decima-
leso multiplicarlos or un natural.
Primera
situaciÓn.
Tenemos
que
colocar
un
rodapié en
una
habitación
rectan-
gular.
Las dimensiones
e
la habitación
son
3,90
m
de
largo
y
2,65
m
de ancho.
¿Cuántos
metros
de
rodapié
debemos
omprar?
Distribuimos
a los alumnos
en
pequeños
quipos
araque
busquen
a solución
y
elaboren
una
estrategia
ue
deberán
explicar
a
los demás.
cuando
observamos
ue
la
mayor
parte
de
los niños
ha encontrado
una
solu-
ción
pasamos
la
puesta
en común.
Un
representante
e
cada
equipo
va a
la
pizana
para
explicar
su
método.
Las soluciones
osibles
on:
3,9
+
3,9
+
2,65
2,65
(3,9
2)
r
Q.65
> 2)
-
(3,9
+
2.65)
.2
En
todos
os
casos
ebenoperar
on
números
ecimales
decir
cómo
han hccho
para
sumarlos
para
multiplicarlos
or
un
natural.
Los métodos e calcularque puedenaparecer on os siguientes:
o
Escribir
os
datos
en
forma de
fracciones
sumarlos
espués:
3,90
39i
0;2,6s
2651100;
9/10
390/100;
65l t j j
+
390/100
65s/100
2 x 655/100
-
l310/100
-
13,10 .
a
Sumarlos
omo
si
fueranenteros:
3.9
+
2.65 6,55 ' ,2
6,55
13,10
o
Descomponerlos
n décimas
centésimas
sumarlas
ntreellas.
o
Sumar
os
metros,decÍmetros
centímetros
or
separado.
r95
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Los
métodos
que
aparecen
s ánen función
del bagajenumérico
que poseen
os
y
de
cómo se han
ido
elaborando as
operaciones. a
primera
estrategia
que
han trabajado
bastante as fracciones
decimales
que
pasan
con facili-
de una
escritura
a otra. El
sumarlos
como
si fueran
enteros
suele
plantear
on la
coma,
pero
también
pueden
legar
a
realizarlo
bien
si se ha
traba-
sufrcientemente
a representación
e los números
decimales n
el cuadro
de
El
maestro
puede
proponer
representar
na suma
de números
decimales
obreel
de unidades:
or
ejemplo a
suma
3l,764
+
27
04
+
15,6
74,404.
Los
niños
decidirán
ué
método
esmejor
y por qué,
legando
la
conclusión
e
el método
mejor
es el
que
permita
dar el resultado
correcto lo más
pronto
ara
ello
se
propondrán
lgunas umas
e decimales
ue
cadaequipq esol-
por
uno de los métodos,
de forma
que
se
utilicen
odos
y
al final
los niños
onvencidos
e
que
o
más ticil, ápido
y
seguro
ssumarlos
omo
si
fueran
pero
teniendo
en cuenta a
colocación
de
las
unidades
uyo lugar
se señala
coma,
segunda
situación.
un carpintero
debe hacer
un soporte
para
un
canalón
de un
que
iene2,9 m
de argo.Dispone
de cinco
planchas
e
madera
debeelegir
que
e
convienen
orque
no
quiere
subirlas
odasal
tejado.
Las
planchas
miden,
I m
1,57 l , l
m 1,33
0,3
m
Los
niños
deben
ayudar
al carpintero
buscando
qué
planchas
debe
subir al
Deberán
legar
a encontrar
ue
1,57
1,33
2,9.
Con
estasituación
tomada
de
Bnousspnu,
1987- los
niños legan
a encon-
métodosparasumarnúmerosdecimales.
Se
es
propone
en una
segundaase
njuego
que
conocenmuy
bien
por
haberlo
con frecuencia
on números
enteros.Para
ello se les
da una
seriede
decimales,
or
ejemplo:
0,27; :5,45;
,04; ,403:'
,9 7
Deben
legar
a obtener
con
algunos e ellos
a suma4,31.
En
este aso, a solución
es
0,27
+
0,04
+
4
:
4,31
y
pe
encuentra
ácilmente.
organizan
uevas
artidas
ambiando os
decimales
ue
sedan
y
la
suma
que
se
alcanzar.
odos os
niños
comprueban
ue para
legar
ápidamente
encon-
suma, o mejor
es
consideraros números
como
enteros
sin olvidar la
de
la
coma-
y
efectuar as
adiciones
mentalmente
siempre
que
les
sea
96
102
t0
I
t0
l / 100
l /000
J
2
I
I
7
5
'7
0
6
o
q
A
posible.
Esteejercicio
avoreceel desarrollo
del
cálculo mental
y
suele
provocar
un
gran
interés entre
os niños.
En
algún
momento
se
es
puedeproponer
que
verifrquen os cálculos
con la
calculadora
para que
compruebencómo
suma
os números
decimales.
11.14.2. Multiplicación de un
decimal
por
un
entero
La multiplicación de un decimal
por
un
número natural aparecede
forma
in-
mediata
a
partir
de
la
adición.
En el casodel
perímetro
de un
rectángulo os niños
han
visto
que
en
lugar de hacer a operación
3,9
+
3,9
podrÍan
hacer
2 x
3,9.
Cualquierade
las situaciones e
adición
que
hemos
visto
puede
modiñcarse
para que
conduzca
una situación
que permita
dar sentido
a la multiplicaciónde
un decimal
por
un entero.
Por
ejemplo,
en el casode
las
planchas
e
maderase
puede
decir
que
el carpintero
iene tres tipos
de
planchas:
5
planchas
e 0,58
m;
3
planchas
e 1,44
m; I
plancha
e 0,95
m. Deben onseguir
as
sumas: ,85; ,32; ,276,37.
Para onseguir,85
acenalta5
planchase0,85 0,85 0,85
+
0,85
+
0,85
+
0,85)
la
plancha
e0,95
m. La
operación
ntre
paréntesis
s
pronto
sustituida
or
a multiplicación
5
x 0,85
2,90.
Sedeben
hacer
arios
ejercicios
ntes e enunciarel algoritmo
de
multiplicaciOn
de
un númeroentero
por
un
decimal.
Pretendemos
ue
el alumno
posea
n
instru-
mento de control de
sus operaciones, e
forma
que
en cualquier
momento
pueda
verificar sus esultados
aunque
seaa costade
hacer argasoperaciones).
uando
ya
lo ha
verifrcado
y
ha
enunciado
sus
eglas
de
multiplicar un entero
por
un decimal,
se
e
puede proponer que
recurra al
libro
de
texto
para
ver
de
qué
manera está
enunciado l algoritmo.
Este
proceso que
es el
inversoal
que
se sigue
habitual-
mente-
es
mucho
más
efrcaz
ara
el aprendizaje ignificativo
e esta
nueva egla
para
calcular.
Cualquiera e
os materiales
resentados
nteriormente
uede
utilizarse
n estc
momento; aunqueel
más sencillo
para
representara multiplicaciónde
un entcro
por
un decimal es el
papel
cuadriculado,
porque
permite
a
los niños hacerseuna
imagen
concretadel
signifrcadode
la
operación
que
realizan.
Se es puedeproporcionarpapelcuadriculado omandocomo unidad un cua-
drado de 2 cm de
lado. Una décima
parte
será un rectángulo de
2 cm de largo
y
2 mm
de ancho.
t9'l
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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Se epresenta
x
0,2
=
0,2
+
0,2
+0,2
0,6;4 x 0,8
3,2.
Figura
11.27
¿Cómo
hallar
el área
de
los
rectángulos
dibujados
en la hgura
que precede?
sobre
el
papel
cuadriculado rectángulos
de distintas
dimensiones:
1 xl0;
0,6x4;0,5x0,7;etc.
Por
este
procedimiento
se
puedepasar
de la
escrituradecimal
a una interpreta-
gráfica
y
viceversa
es
posible
proponer
que
de
una serie
de ejerciciosdeduz-alumnos algunas eglasque parecese cumplen siempre.pueden
observar,
ejemplo, o
que
ocurre cuando
un número
decimal
se
multiplica
por
una
poten-
que
es un caso
particular
de
la
multiplicación
de un decimal
por
un
Se
les
propone
a los niños
que
hagan
una
seriede multiplicacicnes
e
decimales
or
10, 100,
1000,
tc.,
y
se
es
deja
que
utilicen
el
método
que
se es ha
dado ninguna regla,
emplearán
el algoritmo
obtenido
parala
de un entero
por
un
decimal. Después
de haber
planteado
varias
a
operación
y
de haber
analizado os resultados,
bservarán
que para
multi-
un
decimal
por
una
potencia
de
l0
basta correr la
coma hacia la
derecha
lugares
como ceros haya
en la
potencia
de
10.
Esta regla
surge
enseguida
es una
consecuencianmediata
del sistema
ecimal
que
en estemomento
onocermuy
bien. Es
conveniente acer
muchos
ejercicios
e aplicación,
in
que
es mposible
nstalar
definitivamente
os
algoritmos los
automatismos
el
SUSTRACCIÓN
DE
NÚMBROS DECIMALES
Las
situaciones
ue
conducen
a dar signiñcado
la
sustracción
e números
que
conducirán rápidamente
al algoritmo
de sustracción,
on
las
que
adiciones
ncompletas.
El
problema
del
carpinterose
puedepresentar
ho-
de forma
que
haga
surgir a necesidad
e una sustracción.
<El
carpintero
ebe acer
tro soporte
e
planchas
ara
un
ejado e3,2m.
Dispone
e
as
lanchas:
m, 1,57
m, l, I m,
1,33m, 0,3m.
Pero sta ez o
o ha
previsto
ien
ha
ejado
os
planchas:
a
que
mide
1,57m
y
la
que
mide
,3m,
y
se
dacuenta
e
que
essuficiente.
e alta
una.
¿Podéis
ecirle uál
es
a
que
e falta?>
Los niños
hacen a
suma 1,57
0,3
:
1,87
y
plantean
a
suma ncompleta:
=
3. 2
98
Se rata ahora de encontrar
el
número
que
sumado
con
1,87
dé como
resultad
3,2.
Esta operaciónsaben
que
es una sustracción,
lanteada
mediante una adición
incompleta.
La
dificultad
que
se
es
presenta
aquí
es a de hacer a sustracción
on
decimales.
La resolución
puede
dar
lugar a
diversas
estrategias
a errores
que
sc
deben a
que
un sumando iene décimas
y
centésimas
el otro sólo tiene
$écima
(3,2
-
1,87
1,47).
Pero al da rse
cuenta de
que
no hay una
plancha
de
esla
dimensiones
uelven
a la escriturade
fracciones,
o
que
les
permite
escribir:
3,2 321t0;
,87 187/100;
3.2
=
320^OO
320/100
187/100:133/100:
1,33
Y
cuando
ntentan comprender
cómo
podrían
hacerlosin
recurrir a
la
escritur
de
fracciones, e dan cuenta de
que
tenían
que
haber escrito
3,2
=
3,20.
Esta
ección debe erminar con
una
intervención del
maestro
proponiendo
que
se
adopte como
método:
<<igualar
l
número de cifras
decimalesantes
de
hacer a
sustracción>.
a
práctica
de esta
eglade cálculo
es
habitual entre os alumnos,
pero
difícilmente sabenexplicarpor qué sehaceasí.Con el procedimientoque propone-
mos,
buscamos
na
vez más el
funcionamiento
mplícito de
a reglaantesde enun-
ciarla explícitamente.
Conviene
añadir
que
no debemos
imitarnos
a
que
consideren
a sustracció
asociadaexclusivamente
a
la idea de
quitar
algo,
sino enriquecer
el
número de
situaciones
planteando
problemas
que
se
resuelvan
por
medio de una
sustracciÓ
en diferentes
ontextos
y
con
distintas
signihcaciones:
omo
complemento,
compa-
ración
y
diferencia.
11.16. SITUACIONES
QUE
PERMITEN
DAR SIGNIFICADO
AL
PRODUCTO
DE DOS
DECIMALES
Nos
proponemos
ofrecersituaciones
ue
permitan
a
os niños dar
significación
a
la multiplicación
de números
decimales
llegara enunciar
un algoritmo
para
calcu
lar el
producto
de dos decimales.
Seobservará
ue
el
producto
puede
ener
distinto
significados.
11.16.1.
Áreade un
rectángulo
La medida directa
de las áreas
permite
dar un
significado
al
producto
de
dos
números considerados
omo
medidas.
Los niños disponen
de
papel
cuadriculado
y
se
les
propone
como
actividad
dibujar
distintos
rectángulos
dar
para
cadauno
la medida de su
superficie
oman-
do como
unidad un
cuadradito.
Por
ejemplo,
pueden
dar
los
rectángulos3
x 5;
5 x
7;
8
x 9;etc.
Encontrarán
licilmente
que
el
primero
tiene
l5cuadraditos
y
dirán
que
la medida de
su superficie
es
15
si
hemos
medido con
cuadraditos.
Y lo
mismo harán con
los otros
rectángulos.
Esto supone
únicamente
ecordar una
acti
vidad
que ya
han debido
hacer anteriormente,
ya
que
uno de
los significados
qu
pueden
atribuir
al
producto
3
x 5 es
a medida de
la
superficie
de un
rectángul
19
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 102/108
(Esta
actividad
se ha
podido
hacer
muy
pronto
en 2.o
ó 3.o
de E.G.B.,
sobre
odo
si
se hace
utilizando
el
geoplano
de
Garr¡cNo.)
Les
proponemos
continuación
que
encuentren
a
medida
de la
superficie
e
los
rectángulosque
figuran
en la
hoja
de
papel
cuadriculado que
se es
da
y
que
dibujen
los
rectángulos
ue
correspondan
las
operacion"r
qu.
r" les
plantean
ver
Fig.
tt.27).
Pueden
rabajar
en
equipos
o individualmente
y
deben
encontrar
un método
para
calcular
el
producto
de dos números
decimales no
enteros.
Se
pasa
a la
puesta
en
común
cuando
se
observa
que
casi
odos
han
encontrado
or
lo
menos
una solución.
Los resultados
an
podido
obtenerlos
por
dos
métodos:
o
A
partir
del análisis
de la representación:
<si
l lado
de
un cuadradito
es un
del lado
del
cuadrado
unidad,
hay
100
cuadraditos
en
el cuadrado
unidad.
calcular
0,3 x
0,5
bastahacer
5 x 3
y
obtenemos
Scuadraditosque
son
centésimas;
uego
0,3 x
0,5
:
0,15.
o Pasando la escriturade os númerosen forma de raccióndecimal-si va se
hecho
sta
peración-
<3/10
x
5/10
l51100),
Se
comparan
os
métodos
obtenidos
por
los
niños
y
se es
propone
complgtar
a
que
se
es
ha
dado;
para
ello deberán
dibujar
otros rectángulos
hallar
sir área
cada
caso.
Finalmente
se busca
entre todos
cuál
será a
regla
para
multiplicar
rápidamente
decimales.
A
partir
de las
observaciones ue
han
hecho
se lega
fácil-
a enunciar:
<<se
ultiplican
como
si fueran
enteros,
pero
el número
de cifras
del resultado
endrá
que
ser a
suma
del número
de cifras
decimales
de
factores>>.
Hecho
esto,
se les
dice
que
comparen
la
regla
que
han
obtenido
con la
que
en
el libro
de texto.
De
todas
ormas,
antes
de
pedir
a los niños
que
den el
producto
de dos
decima-
es convenientepreguntarles
uánto
es
parece
que
va
a
ser el resultado.
una
de
mayores
dificultades
que
ofrece
el
aprendizaje
de
la
multiplicación
de números
es
que
el resultado
no
corresponde
a la intuición
que
tienen
los
niños
o
que
es
un
producto.
Mientras
sólo
multiplicaban
números
naturaleselera siempremayor que cualquierade los factores;
ahora
se
obtiene,
por
que
al multiplicar
0,5
por
0,3
se obtiene
el
producto
0,15
que
es más
que
0,3
y
más
pequeño
que
0,5. Estamos
aquí en
presencia
e un conoci-
-el que
tienen
sobre
os naturales- que
actúa
como
obstáculo
y que
debe
superado
para
construir
el nuevo
conocimiento.
para
que
los
alumnos
puedan
nuevas
ntuiciones
sobre
estosnuevos
productos
es
necesario
ue
se habi-
a
interrogarse
obre
el
resultado
aproximado
de una
operación
antes
de reali-
deberán
estimar
el
tamaño
de los
números
que
se
obtendrán
como
resultado
una operación.
Esta
práctica
de
estimar
el
orden de
magnitud
de
un resultado
hacerse
desde
el
principio
cuando
trabajan
con los
números
naturalesy
es
mportante
cuando
se rata
de
calcular
con
números
decimales.
una
base
para
ener a
habilidad
de estimar
resultados
proximados
supone
ener
ntuiciones
obre
el tamaño
de os
números.
En
el mismo
orden
áe deas
s
absolutamente
necesario
ue
se acostumbre
a los
alumnos a
interogarse sobre
a
adecuación e
un
resultadoa la realidad.
Ante cada
problema
deben
preguntarse
i
la respuesta
que
obtienen es
razonable
para
la
situación
propuesta y
no deben
aceptar
resultadosaberrantes.
Por ejemplo, si
para
encargar
una
moqueta deben
calcular
a medida de
a superficiede una
habitación cuyas
dimensiones
on 3,65
m
y
4,25
m,
deberán
ecir nmediatamente
ue
necesitarán
ásde 12
m2
y
menosdc
16m2.Si al
hacer a operación eequivocan
obtienen
155,125
m2,deberán
orre-
gir
inmediatamentesu error
comparándolo con
la estimación
prevista.
Es evidente
que
esta actitud de confrontar
los resultadoscon
las estimaciones
previas
de evaluar
a
adecuación
inadecuación e un
resultado on
a situación
propuesta
no
puede
darse
si
los
alumnos
están acostumbrados
aplicar
reglas
que
les han sido
mpuestas
que
no
comprenden.
Por eso
nsistimoscontinuamente
en
que
os alumnos enuncien
y
justifiquen
sus
propias
eglas
de
acciÓn
no acepten
o
que
no saben
ustificar.
11.16.2.
El
producto
como coeficiente
de
la
composición
e
dos aplicaciones
lineales
Si consideramos n el
conjunto de
los números
acionales os
aplicaciones
i-
neales
x
-+
ax)
e
(y
-r
by),
el
producto
a
b es
el coeficiente
de
la
aplicación
que
resultade
la
composición
de
las
dos
pi'imeras:
x
+
(a
b)x
:
(b
a)x.
Estesignificadodel
producto
de dos
númeroses
válido
para
os números
natura-
les
y
sigue iéndolo
ara
os racionales.
Estos ignificados el
producto
de dos
números os
encontramos
n
as
situacio-
nesde
proporcionalidad.
Por ejemplo, el
producto
0,3 x 0,5
puede
ener
el
signifi-
cado
de aplicar
a <<función,3>>l elemento
,5
(3/10
de 5/10)
o
la <<función,5>>
0,3
(5/10
de 3/10).
Hallar
al
300/o
e 0,5 es
aplicar
a función
0,3 a 0,5:
0,3
x 0,3=0,5
:
0,15.
Pero
esto
o estudiaremos
n el
punto
siguiente.
II.I7.
EL NÚMERO
DECIMAL COMO
FACTOR
DE
PROPORCIONALIDAD.
PROPORCIONALIDAD,
PORCENTAJES,
SCALAS
l l.l7.l. Ampliaciones reducciones
Hay situaciones
muy sencillas
e intuitivas
que permiten
una
primera
aproxima-
ción al
conceptode
proporcionalidad. odemos
roponer,
por
ejemplo,
observar
varias otocopias
mpliadas
reducidas e un
mismo dibujo.
En
cada
caso e
da a
los alumnos
el original
y
una
copia
y
se
es
pide que
haganobservaciones
obre
as
medidasdel original
y
de
la copia correspondiente.
Supongamos
ue
estamos
rente a una
fotocopia
reducida
de un dibujo
de un
coche,
e
una
máquina,
o un edificio...
Se
propone
a los
alumnos
que
busquen
n
equipos
tomando
las medidas
ue
necesiten-
hastadeducir
cÓmo
e
ha
pasado
del
original
a
la
copia.
Por ejemplo,
si
4 cm
del
dibujo
original
corresponden
1 cm
de
la capia, 8
cm corresponden
2
cm
de
la
copia,
etc',
podrán
llegar a encontrar
que
a imagende
I es0,25
y que
a fotocopiadora
a reducido
adadimensión
a 1/4
20r
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 103/108
de la
dimensión
original.
Esta
actividad
permite
encontrar
un nuevo
significado
al
decimal
que
aparece
como función (reducir
o
ampliar).
y
al
mismo
ii.-po
no,
encontramos
con
otro
significado
para
la
multiplicación
de
dos
decimales:
l
pro-
ducto
0,25
x 0,5
:
0,075
esel resultado
e aplicar a
función
0,25
aladimensión
0,5. El
decimal
0,25 tiene
aquÍ
el significado
de
una <<función
educcióor.
Para
que
os
alumnos
puedan
descubrir
as
propiedades
ineales
de estas uncio-
nes
se es
puede
proponer
que
apliquen
la función:
x
0,25
a las medidas
de
un
objeto
previamente
dibujado
-de
contornos
rectilÍneos- y
que
representen
os
valores
niciales
y
las mágenes, or
ejemplo:
x
025
3
o
r75
175
o7 5
Podrán
observar
que
si
un segmento
es
doble
de otro,
la imagen
del
pñmero
es
el
doble
de la imagen
del segundo.
que
si
hacemos
a
suma
de dos
a imagen
de la
suma
es a
suma
de
las
mágenes
e las medidas.
+
24)
=
36:0,25
36
9
:
(0,25
24)
+
(0.25
t2 )
El
estudio
de a
proporcionalidad
esemboca
n el
de escalas
mapas,
en os
roblemas
e distancias
ntre
países
partir
de la interpretación
e
una
Algunos
ejercicios
obre
utilización
de
escalas
En
una
porción
de recta
numérica
dibujamos
una
escala
on
dos
graduaciones
n a
parte
superior parecen ombrados lgunos untossegúna primera
En
la
parte
nferior
aparecen
os
de la
segunda
raduación.
as
dos
eben
ener
el origen
común.
con esta
nformación
el niño
debe
el resto
de los
puntos
y
encontrar
a
relación
entre
ambas
graduaciones.
o
En a
primera
raduación
emos
epresentado
os
números
O, 1,2,3,4,5,6;
en a
segunda
ólo os
números y
2l: 2l
que
en a
segunda
scala
ecorresponde
el 3 de la
primera.
Se
propone
a los
niños
que
completen
os númerosque
y que
expliquen
ómo
o han
hecho.
l2
24
5
7
g
2
3
4
5
6
?
I
I 10
-
@
0
21
Figura
11.28
203
o
Dibujemos
ahorauna
porción
de escala
raduada
on
os números
O,2, 4,6,
8, 10;
y
en
la segunda
graduación
26,
que
se correspondecon 2,
y
40,
que
se
conespondecon
6.
Deben
completar
a
segundaescala.
0
2
4
5 I
10
#
#----{
Figura
11.29
25 10
o
Otros
ejercicios
para
completar escalas.
4567
Figura
11.30
67 100
83
I 1.16.3.
Porcentajes
Un
porcentaje
s
sencillamente na
fracciónen
la
que
el
denominador
s 100.
También sepuedeconsiderarcomo una razón entre dos números, siendo siempre
100 el segundo.Utilizamos
habitualmente
el símbolo
o/o
ara
ndicar
precisamente
<<por
ien>r
(por
ciento>>
ero
igualmente
podrÍamos
escribir
47
I00
en lugar de
47
o/o,
lo mismo 0,47.
Los niños
manejancon dihcultad
os
porcentajes
no
los
asocian
ni a
los
decimales
ni a
la
equivalencia
de fracciones.Sin
embargo
as deas
de equivalencia
están mplÍcitas
en
todas
as
aplicaciones
e los
porcentajes,
para
resolver,
por
ejemplo, un
problema
del
tipo:
¿qué
porcentaje
de 250 es 50?, es
preciso
ominar
a equivalencia 01250
?/100.
Paradar signihcadoa
los
porcentajes
os
podemos
servir en un
principio
de
las
representaciones
iguientes
ue
permiten
manipular algunos
porcentajes
encillos
y
caer
en la cuenta de
las equivalencias
ue
entran en
uego
en
el
problema.
La
primera
sehacemediante
<<transparencias>>n
as
que
sehan dibujado
retícu-
los de
l0 x l0 cm. Se
pueden
epresentar
orcentajes
ombreando antos
cuadritos
como
indque
el
porcentaje.
Esta representación
ermite
igualmente
esolveralgu-
78
02 5
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 104/108
nos
problemas
sencillos
superponiendo
etículos
divididos
de
otra
forma.
por
ejem_
plo'
si dividimos
un retÍcuto
en cinco
partes
guales,
ada
parte
es
o,z;
v
at superpo-
nerlo
con
el retículo
inicial
se verá
que
la
quinta
parte
recubre
20
cuadritos
o
que
significa
ue
es
el 20Vo
del etículo
unidad.
Podremos
así
plantear
nuevos
problemas,
por
ejemplo:
¿Qué
porcentaje
e
25
es 0?:
l0
:
Vo
e 25.
¿Cuál
es
el 80
7o
de 20?:80
o/o
de
20
=
ffiffiffi
l--t
rtr[n
ffiTtrFflH t-+-t-+-+_-]
Hflfl-nrñ hJ-f-t-F-J
1-|-ffi
otro
modelo
es a llamada
regla
elástica:
se abrica
con
una
goma
ancha
que
se
gradúa
en
cien
partes
guales..para
alcular,
por
ejemplo,
el
301ó
de
un
segmento
que
mide
l0
cm
se
hace
coincidir
el cero
de la
goma
con
el
origen
del
segmgnto.
El
pun_to
el
segmento
que
corresponda
l
30 de
la
goma
será
a iespuesta
buscada.
Se
propone
a
os
alumnos
que
nventen
otros
problemas
den a
solución
on a
regla
elástica;
rimero
deberán
hacer
estimaciones
obre
el résultado
y
lo verificarán
después.
Pero
estos
modelos
no
pueden
usarse
omo
si se
ratara
de
una
calculadoraque
calcular
ualquier
porcentaje,
a que
son
muy
limitados.
Sólo
deben
plán-
on
ellos
problemas
adaptados
las
posibilidades
el modelo.
Sin
embargo,
el
de estas
actividades
es
que
permiten
manipulaciones
que
pueden
avorecer
construcción
de imágenes
mentalesque
ayudarán
a
comprender
as
operaciones
porcentajes.
Las
situaciones
idácticas
sobre
porcentajes
eben
nspirarse
en
primer
lugar
en
entorno
del
alumno.
Se es
pide,
por
ejémplo,
que
ricorten
dó los
periódicos
en
os
que
figure
el sÍmbolo
vo;
que
busquen
gualmente
en la
composición
productos
limenticios
en a
composición
e ós extiles.En losenvasesequesosse puede leer: 45 gode materia grasa,
60 vo,
0
o/o,etc.
En
un
bote
de
de
cerveza
eemos:
prótidos
50
yo;
Lípidos
I
0/o;
Glúcidos
3i
%.)
De
paso
se les
hace
observar
que
muchas
veces
as
composiciones
aparecen
y que
no
sabemos
n
qué
consiste
el
porcentaje
no
especificado.
El momento
de las rebajas
en las
iendas
es
una
buena
ópo.tuniouo
para
que
se
problemas
elativos
a los
porcentajes.
_
Por
ejemplo:
El
precio
de
un
abrigo
con
descuento
el
200lo
es l9000ptas.
era
el
precio
original
del abrigo?
Este
ipo
de
problemas
suele
plantear
dificultades
si
no
esüin
acostumbrados
signiñcación
a los
datos.
Aquí
deberán
ver
que
lo
que
se
paga
es
el
g0
o/o
del
nicial,
o lo
que
es o
mismo,
0,8
de
ese
precio.
El
piecio
rá.¿-un
número
que
por
0,8 nos
dé l9
000;
y
aunque
no
hayan
aprendido
dividir
por
un
decimal,
podrán
resolver
ste
problema
diciendó,
por
ejemplo,
que
l/10
del
precio
del
abrigo es
19 000 +
8
:2
375,
y
por
tanto el
precio
del abrigo
era
2375
x ¡g:23
750ptas.
Se
pueden
proponer
problemas
de
sumasde
porcentajes,
omparaciÓn
de
por-
centajes,
tc. Se
les
puede
acostumbrar
a
comparar
las composiciones
de aguas
minerales
y
de otros
productos
del
mercado.
Pero,
en definitiva,
más
que proponer
problemas,
debemos
abituar
a los niños
a
que
se nterroguen
sobre
esos
números
y
sean
llos
uienes
osenuncien.
11.18. STTUACIONES
QUE
PERMITEN
DAR SIGNIFICADO
A LA
DIVISIÓN
DE NÚMEROS
DECIMALES
Cada
una de
las situaciones
ue permite
dar
un significado
a
la multiplicación
puede
servirnos
ara
encontrar
un
significado
la
divisiÓn.
Consideremos
as operaciones
iguientesl
a\ 6,4
+
0,4
:
b) 6.4
+
0.8
:
c) 5,ó
+
0,8
:
d)
12 +0,2
:
e)
0,36+ 0,06
=
¿Qué
significado
ienen
estasoperaciones?
n cada uno
de los casos
podemos
preguntarnos:
¿Cuántas
eces
stá
contenido el
divisor en el
dividendo?,
o
lo
que
es
lo
mismo:
¿Por
qué
número
habrá
que
multiplicar
el divisor
para
obtener
el divi-
dendo?
Dividir essiempre
allarel
término desconocido
e
un
producto.
En el
caso
a) 6,4
0,4
x 16.
La
representación e
la
superficie
del
rectángulo
que
hemos
hecho
para
el
pro-
ducto
no resulta
muy adecuada
uando
se rata de
representarnos
lgunas
ivisio-
nes.Conviene
distinguir
os signifrcados
articulares
ue
tiene
a
división
en
cada
situación
en
la
que
nterviene.
Algunas
veces
odrá
ser considerada
omo
la opera-
ción
que
nos
permite
hallarun componente
e
una
medida
producto,
por
ejemplo
en
la búsqueda
e rectángulos
e área
dada,cada
vez
que
fijamos uno
de os ados
el
otro lado es el resultado e una división.
Otras
veces
aparecerá
omo
el resultado
de una
aplicaciÓn
ecíproca'
Por ejem-
plo,
hemoscomprado
naranjas
ara
hacer
zumo.
Hemos obtenido
6 kg de
zumo
que
representan2l3
del
peso
de
la
fruta.
¿Cuál
era el
peso
de
las naranjas?
I
kg
de
naranjas
roduce
/3
kg
de
zumo.
?
kgdenaranjas
roducen
kg
de
zumo.
El taller sobre
proporcionalidad
que
proponemos
al
final de estecapítulo
permi-
te
obtener un
significadode
la
división
como operación
nversa de
la multiplica-
ción:
si se
pasa
el modelo
a una de
as
eproduccionesplicando
a función
x
I,5)
para
pasar
e a
reproducción
l modelo
hay
que
hacer
a operación
nversa: plicar
la
función
:
1,5).
205
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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11.19.
PISTAS
DE REFLEXION.
EJERCICIOS
Y TALLERES
l. Expresaren
porcentajes:
a)
El
peso
de azúcar.necesario
ara
hacer
mermelada
es os
3/4
del
peso
de la
fruta.
b)
El
beneficio de un comerciantees os 2/5
del
precio
de
venta
de
los
artÍculos
que
vende.
c)
El
trigo da
los 4/5
de su
peso
en haúna.
d)
La ampliación
de un
puzzle
es
os
7/4
del
modelo.
2. En
los
problemas
de
porcentaje
ntervienen
cuatro números:
a, b, c
y
100.
Dado
que
100
es úo
podemos
educirlos
a tres:
el
porcentaje
a; un elemento
b al
que
se
aplica
el
porcentaje,
el resultado
de aplicar el
porcentaje
c. Todos los
problemas
se
pueden
reducir
a tres
clases
egún
que
el
elemento
desconocido
eaa, b o c.
una buena
écnica
es
proponer
a los
alumnos
que
nventen
problemas
de
cadauna
de estas lases.
or
eiem-
plo:
o
Hallar
el
porcentaje
que
se ha aplicado:
- De una terneraque pesaba 50 kg se han sacado 00 kg paravenderen la carni-
cerÍa.
¿Qué
porcentaje
del animal vivo
representan
os 400
kg?
-
Una
pieza
de tela de
50
m ha
encogido
un metro
después
e
lavarla.
¿eue
por-
centaje
de
la
longitud
representa
o
que
se
ha
encogido?
o
Aplicar
un
porcentaje.
- El
aire conliene
2l Vo
de oxígeno.
¿Cuál
es el
volumen
de oxígeno
contenido en
100 itros
de aire?
¿En
400
itros
de aire?
¿En
l0 litros
de aire?
-
Compramos
queso
manchego
ue
contiene
60 7o
e materia
grasa.
¿Cuánta
mate-
ria
grasa
habrá
en
750
g
de ese
queso?
o
Hallar
el número
al
que
se
ha
aplicado
un
porcentaje.
-
He
pagado
por
un
armario 35 000
pesetas.
abiendo
que
me han
hecho
un des-
cuento
del 15
o/0.
¿Cuál
era
el
precio
del
armario?
-
La
población
de una
ciudad
ha
aumentado
4
0/o
en dos años.
Si aho¡a tiene
130
000 habitantes,
¿cuántos
abitantes
enía hace dos
años?
3.
Dados
os números
0,375
y
0,87, enuncie
problemas
en
os
que
a
solución
seael
producto
de estos
números
respectivamente
l cociente
0,375 + 0,87
o 0,87 + 0,375).
Busque
ignificados
istintos
para
estas
peraciones
n situaciones
daptadas estosnú-
meros.
4. Taller sobre a proporcionalidad (realizado por alumnos de 2.o de magisterio,
inspirado
en la
situación deada
por
Bnousse¡,u:<<reproducción
e un
puzzle>>).
Seconstruye
un
puzzle
en forma
de cohete.
El
puzzle
estáconstituido
por
piezas
de
formas
geométricas
eniendo
en cuenta as
condicionessiguientes:
- Tiene
riángulos
trapecios.
- Tiene
ángulos ectos
y
otros
que
no lo
son.
-
Un
lado
de
una
pieza
coincide
con la suma
de
os
otros dos,
o un lado es
el doble
de otro.
-
Sobre os lados
paralelos
del
puzzle
no hay
el mismo número
de
piezas.
207
AúI
B
q
a
o
n
E
5
LO
NF
r
G
q
H
Y
-t
I
I
Figura
11.32
Puzzle
mor{o:
5
I
Puzzle
azul:
5
I
Serecortancuatroejemplaresidénticosdelpuzzleinicial(todosdelamismamedi
uno
para
cada
gn¡po.
Organización
del
taller:
Losalumnosdebenreproducirpuzzlesdelamismaformaperodetamañosdifere
tes.
El trabajo
se
hace
por.quipot'
Cada
equipo
debe
ampliar
o
reducir
un
puzzle' A
cada
grupo se
e
da unu
,n.ti¿u
diferente.
para
realizar
el
puzzle os
alumnos
de
un
mismo
grupo
se
repanen
sus
piezas'Hay
un.color
para
cada
Ptqttg ry::llo
putu
."J"
"q""ipi,l
por
ijemplo:
la dimensión
inicial
I
=
5
cm
deberá
convertirse
en
4 cm
p"r"
.f-'Ñtí.
rojo,
b
cm
para
el
azul,
I
I cm
para
el
morado
y
7 cm
para
el
verde'
Este
aller
es
nteresantJpatu
qu.'lot alumnos
descubran
as
propiedades
e
la
fun-
cion
áe
proporcionalida¿.
ir¿n
que
se
rata
de
una
función
lineal.
En
un
primer mo-
mento
el
gn¡po,
por
.l.rnpto'
q"t
¿ebe
pasar
de
5
a
7
'
puede nterpretar
que hay
que
añadir
2 a cada
ado,
p".o
uiluÉr..
unir
üs
piezas en
que
éstas
o
encajan...
Se
entabla,
entonces, na discusión tuttá qu. sedan cuent¿de que esnecesario ue a sumade as
imágenes
dos
ados
¿ef
nueuo
puzzle) coincida
con
la
imagen
de
la
suma
de
los
dos
i"á""r-."..irp""dientes
del-puzrf,
ini.íd;
es
decir,
si
una
dimensión
de
una
pieza
es
a
;;
ili;;ei.ensiones
de-Jos
o
más
piezas
n
el
puzzle nicial,
esto
debe
verihcarse
n
el
puzzle abricado
por.r
"quipo
iiuna
dimension
es
doble
o
mitad
de
otra
en
el
puzzle
iri.ár,.rt"
debe
verifrcarse
n
las dimensiones
el
puzzle ransformado'
Enelmomento.nqu. lo 'ulu.no,encuentranlaimagendelsepuededecirque
han
reconocido
el
modelo
de
proporcionalidad.
Ya
que'
conociendo
a imagen
de
I se
pueden
hallar
as
mágenes
.
io¿u,
las
medidas.
Al
final
se
pueden
ecoger
n
a
pizarra
io.
proc.¿imientos
y
ios
resultados
btenidos
para
cada
uno
de
los
puzzles'
l
:
r 0/100
r 0/50
=
2201t00
2,2
9
=
90/10
90/50:
180/100:
,8
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 106/108
Puzzle
verde:
5
I
'7:70/t0
' to/50:
140/100:
,4
Puzzle ojo:
5
4:40/10
r
40/50 80/100:0,8
Se observa
que
ha habido
tres ampliaciones una reducción.
5. Segundo
aller sobre
proporcionalidad:
eproducciones
e
un
robot.
Preparación:
lija un
dibujo de contornos rectilíneos
en
estecaso
un
robot).
Dibuje
en cartulinas
grandes
varias
eproducciones
roporcionales
de un
dibujo
-una repro-
ducción
n cada artulina-.
Por ejemplo
as
eproducciones:
,25;
1,7;1,87;2;0,94:
0,8; 0,6;
0,5; 0,25;0,16,
etc. Las medidas
el
modelo
en
centímetros on: ado del
cua-
dradode a
cabeza: ; oreja:0,8;
antena:5,4;boca:2,8-2-11'ombros:
10,3;
adera: 5;
lateral :
4,7;
mano:4,3-3,5-5,1;
ie:
3,4-3,4-3,3.
Figura
11.33
Actividades:
presente
a
los
alumnos
cinco de estas eproducciones
del modelo
y
propongaque
as
ordenen.
Las
unciones
que
han servido
para
dibujar
las reproduccio-
nes no aparecen
obre os
dibujos.) Algunas
preguntas
que
se
pueden
hacer:
-
¿Dónde
ituaruna
ampliación e 1,8?
-
¿Dónde
situar una reducción
de
0,65?,etc.
-
¿Cómo
se
caracterizan as ampliaciones?
-
Proponga
a
los
niños
que
caractericen
adadibujo
por
un
número
(una
función)
a
partir
del modelo.
Deberán hacer
a imagen
de
l. Verán
que
la imagen
de I
permite
encontrar a imagen
de cualquier
otro número,
y
situar cualquierampliacióno reduc-ción.
-
Dada
una ampliación
e 1,6,calcular as
dimensiones
el
robot
magen.
-
Calcular
odas as
dimensiones
partir
de una aplicación
ualquiera.
Es
iempre
proporcional?
-
Si cambiamos
el modelo,
¿qué
ocurre
con el
número
que
caracteriza ada
dibujo?
Por
ejemplo,
si tomamos como modelo
la reproducción
0,5,
¿cuál
seráel número
que
caractenzaos
otros
dibujos?
-
¿Y
si tomamoscomo
modelo0,25?
-
Para
pasar
el modelo
a la
reproducción
,5,
¿qué
emoshecho
con
cada
medi-
da?
- Y
si
pasamos
de la reproducción
0,5
al
modelo,
¿qué
haremos
con cada
me-
dida?
-
¿Hay
más
de un número
para
representaruna figura?
Se
ve
que
cada frgura a
podemos
epresentar
or
un
número
distinto
si
cambiamos
l modelo.
209
Bibliografía
AorEn,
Irving
(1964):
nitiation a la
Mathématique
d'aujourd?ui.
O.C.D'L.,
Paris.
A.P.M.E.P.
1986):
Aides
pédagogiques
our
le Cycle
Moyen. 2. Nombresdécimaux.
Patis'
BncHeuno, G.
(1977):
a Formation
de I'esprit
cienttfique.
rin, Paris.
B,rL,rCHenn,
.,
y
otros
(1981):
Formation
mathématique
des
nstituteursavec
ouverture
sur
I' nformat
que. CEDIC,
Paris.
BAssrs,
O.
(1984):
Mathématique:
Les enfants
prennent
e
pouvoir.
Pratique de
la classe.
Nathan, Paris.
Berr, S.,
y
otros
(1983):
Algebraicand
Aríthmetíc
Strtrclures.
concrete pproachfor
Elemen-
tan,
School
Teachers.Shell Cente¡
for
Mathematical
Education, Université
of
Notting-
ham.
BELL,
A.
w.
y
BEEDY,
.
(1983):
Two approaches
o the teaching
of decimal
multiplication.
S.C.F.M.E.,
niversity
of
Nottingham.
BRoussEAU,
.
(
1976):
<Les
bstacles
pistemologiques
t
es
problémes
n
mathématiqueg.
Enseignement
lémentaire
es
mathématiqaes.
REM de
Bordeaux,
núm. 18.
-
(
1980):
<Problémes e didactique
desdécimaup
. Recherches
n didactique
des mathéma-
tiques.
Yol. l. l. La Pensée auvage,
renoble.
-
(
198
):
<<Problémes
e
didactiquedesdécimaux>>
Recherches
n didactique
desmathéma'
tiques.
Yol.2.l. La
Pensée
auvage,
renoble.
-
(1983):
<<Les
bstacles
pistemologiques
t
les
problémes
en mathématiques>>.
echerches
en
didactiquede
mathématiqaes.
ol.4,
núm.
2. La Pensée
auvage,Grenoble.
-
(1986):
Théorisation
des
phénoménes
'enseignement
es
mathémati4res.
Thése d'Etat.
Bordeaux.
-
(
1987):
Représentations
t didactique
u sens e
a division>
n
Colloque
GRECO,
Paris.
-
y
Nadine
(198'1):
Rationnelset
Décimaux dans
a scolarité
obligatoire,Université
de
Bor-
deaux.
BnowN, M. y otros (1986): Children Learning Mathematics. A teacher'sguide for Recent
Research,Holt.
Rinehart and
Winston
for the
SchoolsConcil.
BRowN,M.
(1981):
<<Place
alue and decimales>.
n
K. M. Hart
(ed.).
Children's
under-
standing
f mathematics:
1-j,6.
ohn
Murray, Londres.
C¡npeNren,
T. P.
(1981):
<Decimals.
esults
nd
mplication
rom the second
AEP mathe-
matics
Assessmnt>>,
r
h
m
et
c
T
eac e
. Apnl.
Ceorc
(
1980):Histoire des
Mathématiques
polff
les colléges.IREM,
Paris
Sud.
C¡Nre
No,J.,
y
otras
1984):
Razonar
ugando:
El Minicomputadon>.
I Muestra
Nacionalde
experiencias
n
asaulasde
E.G.B.LC.E. Universidad
e
Zaragoza.
-
(1985):
<<La
alculadora
de bolsillo como
instrumento
facilitador de aprendizajeu.
Ill
Muestra Nacional
de experifncias
en las aulas de
E.G.B.
I.C.E.
de
la Universidad
de
Zaragoza.
-
(
1986):
¿Pueden
os niños
de
E.G.B.
edescubrir l significado
e
a
división?>
Muestra
Nacional
de experienciasn
asaulasde
E.G.B.Universidad
eZaragoza,Informes
.C'E.
núm
23 .
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
http://slidepdf.com/reader/full/varios-cultura-y-aprendizaje-05-numeros-decimales-por-que-y-para-quepdf 107/108
CouneNr,
R.
(
197
):
¿Qué
es a malemtitica?
Aguilar.
Madrid.
(Primera
edición
nglesa
941
.
CHevnLLeno,
Y.
(1985):
La
transposition
idactíque.
Du
savoir
savant
au
savoir enseisné.
a
Pensée
auvage,
Grenoble.
DIrNes,
z. P.
(1910):
La
construcción
de las
matemáticas.
icens-vives,
Barcelona.
-
(1978):
Cómo
utilizar
los bloques
multibase.
Teide,
Barcelona.
DHorrrnnes,
.
(1978):
Nombres,
mesure
et continu.
Epistemologie
t histoire.
cEDIc, Nathan,
Paris.
-
y
otros
(1987):
Mathématiques
au
il
des
dges. .R.E.M.
Groupe Epistemologie
t
Histoire,
Gauthier-Villars,
Paris.
Doueov,
R.
(1980):
<<Approche
es nombres
reéls
en situation
scolaire>>
enfants
de 6
á
ll
ans) n
R.D.M..Vol .
.l .
-
(f98a):
Jeux de
cadres
et díalectique
outil-objet
dans
I'enseignement
es mathématiques.
Thése
d'Etat,
Université
de
Paris
VII.
Enuer
(1982):
Apprentissages
athématiques
l'école
élémentaire.
ycle Moyen,
sERMAp.
HATIER.
OCDL,
Paris.
EscnrnE,
L.
(1983):
<<Decimals
rrencats¡>.
Revista
de didactica
de les
mathemdtiques
(núm.
l0). Departament
de
Matematiques
Estadistica.
Escola
Superior
d'Arquitectura,
Universidad
Politécnica
de Barcelona.
FnEuoENrHnr-, . (1973): Mathematics as an educational ask. D. Reidel publishing com-
pany,
Dordrecht,
Holland.
GrtrecNo,
c.
y
otros
(1967):
El material
para
la enseñanza
de las
matemáticas.
C.l.E.A.E.M.,
Aguilar,
Madrid.
c¡r'recNo,
C.
(1964):
Aritmética
con
números
en color.
Libro
5: Fracciones
ordinarias
v
decimales.
Madrid.
Gn¡No,
N.
(1981):
<Mathématiques our
e
Cycle
Moyen>,
núm. lg.
I.R.E.M.,
Grenoble.
G¡vÉNrz,
.,
y
FonruNv,
J. M.
(198a):
Mathemtitiques
er
a mestres.
.A.B., Barcelona.
J.,
y
wennNr,
D.
(1986):
conceptual
and
procedural
Knowledge:
The
casof mathe-
matics. Lawrence
Erlbaum
ass.,N.
Jersey.
G.
(1981):
Histoire
Universelle
eschffies.
Lorsque
es
nombres acontent
es
hommes.
Seghers, aris.
(1987):
Las
Cifras:
Historia
de una
gran
invención.Alianza
Editorial,
Madrid.
(original
francés,1985).
Paris VII.
(1986):
Nombres
décimaux. Liaison
Ecole-Collége.
niversité
Paris VII.
W.,
y
otros
(1978):
Mathematics
nstructíon
in
the elementary
grades.
Silver
Burett
Company,
New
Jersey.
y
LnNonu,
M.
Eds.
(1983):
Acquisition
of Mathematics
concepts
and
processes.
Academic
Press,
New
York,
London,
Montreal,
Tokio...
K. (1982):Desarrollo de losconceptos tisicosmatemdticos cienttJicos n el niño.
(Cuarta
edición.
Original inglés
1962).
Morata,
Madrid.
(1970):
Educación
General
Bdsica. Nuevas
orientaciones.
Magisterio
Español,
Ma-
drid.
(1971):
Nuevas
orientaciones
Pedagógicas
ara
la segunda
etapade
a E.G.B.
vida
Esco-
lar,
abril-junio.
Madrid.
(1981):
Programas
Renovados
e E.G.B.
Ciclo Medio
y
ciclo superior.
Escuela
Española,
Madrid.
(1985):
Anteproyectos
ara
la reformulación
de
las enseñanzas
el ciclo Medio
de la
E.G.B.
y
del Ciclo
Superior.
(1953):
Cuestionarios
Nacionales
ara
la Enseñanza
Primaria.
Servicio
de
Publicacio-
nes
de la
Secretaría
General Técnica,
Madrid.
(
1965):
CuestionariosNacionales
ara
La
Enseñanza
Primaria.
Escuela
Española.
Madrid.
D'EDUCATION
(1980):
Contenus
e ormation
pour
'école
lémentaire.
ycle
Moyen, Paris.
0
NrcELy, r.,
y
otros
1986):
The
cognitive
Contentof
Elementary chool
Mathematics
ext-
books> n Arithmetic
Teacher.October.
P¡py, G.
(1964):
MathématiqueModerne
2. Didier,
Paris, Bruxelles.
-
(
9ó8): Minicomputer.
IVAC, Bruxelles.
P¡pv, F.
(1979):
Mathematics
or
the Upper
Primary Grades
(Part
I,
part
III) Teacher's
guide.
Comprehensive chool
Mathematics
Program.
C.S.M.P.)
CEMREL,
Inc. St.
Louis,
U.S.A.
- (1978):
Mathematics
or
the
Intermediate Grades
(PartII,
III, IV). Teacher's
guide.
C.S.M.P.,
t.
Louis.
PEnnEr-CrEnuoNr,
A. N.
(1984):
La Construcción
e la inteligencia
en a interacción
social.
Aprendiendocon
os
compañeros.
isor, Madrid.
(Original
francés
1981).
ScHuurz, J.
(1982):
Mathematics
or
elementary
school teacher's.
Charles
E. Merrill. Pu-
blishing Company. Columbus,
Toronto, London, Sydney.
Sw¡rvr,M.
(1983):
The meaningand useof
decimals.ShellCenter
or
mathematicaleducation,
University of
Nottingham.
-
(
1983):Teachirig ecimal
place
value.A
comparative
tudy
of
<conflict>
nd
<positive
nly>
approaches. niversity
of Nottingham.
SrevrN,S.
1585): rsze. Reproduction e extes
nciens.
REM de 'Université e
Paris
VII.
UNESCO (1973):Nuevas endencias n Ia enseñanza e a matemdtica.Yol.III. Paris.
-
(19'19\:
Nuevas
endencias
n a enseñanza e
la
matemdtica.
Yol.IV, Paris.
YouscHrvrrcu,
A. P. Les mathématiques
rabes.
XIIIéme-XVéme
sl?cie.
Vrin. Paris.
2l l
8/9/2019 Varios - Cultura Y Aprendizaje 05 - Numeros Decimales Por Que Y Para Que.pdf
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