variáveis aleatórias - inf.ufsc.brmarcelo/variaveisaleatorias01.pdf · – tempo de resposta de...
TRANSCRIPT
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 20041
Variáveis AleatóriasVariáveis Aleatórias
Conceitos, Discretas, Contínuas, Propriedades
Itens 5.1 e 6.1
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 20042
Variável aleatóriaVariável aleatória
• Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios.
• Exemplos:– número de coroas obtido no lançamento de 2 moedas;– número de itens defeituosos em uma amostra retirada,
aleatoriamente, de um lote;– número de defeitos em um azulejo que sai da linha de produção;– número de pessoas que visitam um determinado site, num certo
período de tempo;
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 20043
Variável aleatóriaVariável aleatória
• Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios.
• Exemplos:– volume de água perdido por dia, num sistema de abastecimento;– resistência ao desgaste de um certo tipo de aço, num teste
padrão;– tempo de resposta de um sistema computacional;– grau de empeno em um azulejo que sai da linha de produção.
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 20044
Variável aleatóriaVariável aleatória
• Formalmente, uma variável aleatória é uma função que associa elementos do espaço amostral ao conjunto de números reais.
X = número de coroas obtido no lançamento de 2 moedas
0 1 2 x
Ω = (cara, cara), (cara, coroa), coroa, cara), (coroa, coroa)
X:
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 20045
Variável aleatóriaVariável aleatória
variável aleatória
contínua
os possíveis resultados abrangem todo um intervalo
de números reais
discreta
os possíveis resultados estão contidos em um conjunto
finito ou enumerável
0 1 2 3 4 ...
número de defeitos em ...
Ex.
0
Ex.
tempo de resposta de ...
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 20046
Variável aleatória discreta: função de Variável aleatória discreta: função de probabilidadeprobabilidade
)()( ii xXPxp ==
0)( ≥ixp
satisfazendo:
∑ =i
ixp 1)(
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 20047
Variável aleatória discreta: função de Variável aleatória discreta: função de probabilidadeprobabilidade
• X = número obtido no lançamento de um dado comum.
x
p(x)
1 2 3 4 5 6 x
f(x)
1 2 3 4 5 6
área total = 1
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 20048
Variável aleatória discreta: Função de Variável aleatória discreta: Função de distribuição acumuladadistribuição acumulada
ℜ∈∀≤= xxXPxF ),()(
x
até x
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 20049
Variável aleatória discreta: Função de Variável aleatória discreta: Função de distribuição acumuladadistribuição acumulada
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥<≤
<≤
<≤
<≤
<≤<
=
6 se16 5 se6
55 4 se6
44 3 se6
33 2 se6
22 1 se6
11 se0
)(
xx
x
x
x
xx
xF
x
F(x)
1 2 3 4 5 6
• X = número obtido no lançamento de um dado comum.
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 200410
Variáveis aleatórias contínuasVariáveis aleatórias contínuas– tempo de resposta de um sistema computacional;
– rendimento de um processo químico;
– tempo de vida de um componente eletrônico;
– resistência de um material; etc.
• Variáveis aleatórias discretas com grande número de possíveis resultados (podem ser aproximadas para contínuas):– número de transações por segundo de uma CPU;
– número de defeitos numa amostra de 5.000 itens; etc.
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 200411
Variável aleatória: discreta x contínuaVariável aleatória: discreta x contínuaDiscretaDiscreta
1
2x
p(x)
1 2
½
x
f(x)
1 2
½área total = 1
81
x
f(x)
1 2 3 4 5 6 7 8
1
23
4
5
6 7
8
8 setores
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 200412
00
00
2700
1800
900
IIIIII
II Ix
3601
x3600
f(x)área total = 1
Variável aleatória: discreta x contínuaVariável aleatória: discreta x contínuaContínuaContínua
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 200413
Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua
00
00
2700
1800
900
IIIIII
II Ix
x3600
f(x)área total = 1
3601 x360
evento 0 ≤ X < 90
900
área = P( 0 ≤ X < 90)f(x)
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 200414
Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua• As probabilidades de eventos associados a uma variável aleatória
contínua X podem ser calculadas através de uma função densidade de probabilidade f, que deve satisfazer:
exxf ℜ∈∀≥ ,0)(
x
f(x)
a b
1)()( =∫+∞
∞−xdxf
Se A = [a, b], então
∫=b
axdxfAP )()()(
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 200415
Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua• Exemplo 6.3
⎩⎨⎧
<≥
=−
0 para,00 para,2)(
2
ttetf
t
t
f(t)2
3
6)3(2
3
2
3
2
30
2122)()3( −−
+∞−∞+ −∞+
=+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−===> ∫∫ eeedtedttfTP tt
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 200416
Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua• Função de distribuição acumulada
ℜ∈∀=≤= ∫ ∞−xdssfxXPxF
x,)()()(
⎩⎨⎧
<≥−
=−
0 para,00 para,1)(
2
ttetF
t F(t)1
t
• Exemplo 6.3
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 200417
Variável aleatória discreta: Valor esperadoVariável aleatória discreta: Valor esperado
∑=
==k
jjj pxXE
1)(µ
1Total
p1
p2
p3
...pk
x1
x2
x3
...xk
Probabi-lidades
Valores possíveis
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 200418
Variável aleatória discreta: VariânciaVariável aleatória discreta: Variância
1Total
p1
p2
p3
...pk
x1
x2
x3
...xk
Probabi-lidades
Valores possíveis
∑=
−==k
jjj pxXV
1
22 )()( µσ
22 )()( µ−= XEXVOu:
∑=
=k
jjj pxXE
1
22 )(onde:
)()( XVarXDP ==σ
Desvio padrão:
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 200419
Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua• Valor esperado e variância
∫+∞
∞−== dxxxfXE )()(µ
∫+∞
∞−−== dxxfxXV )()()( 22 µσ
∫+∞
∞−= dxxfxXE )()( 22onde:
22 )()( µ−= XEXVou
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 200420
Propriedades do valor esperado e variânciaPropriedades do valor esperado e variância
a)V(c) = 0b)V(X + c) = V(X)c) V(cX) = c2V(X)d)DP(cX) = |c|DP(X)
a)E(c) = cb)E(X + c) = E(X) + cc) E(cX) = cE(X)d)E(X + Y) = E(X) + E(Y)e) E(X – Y) = E(X) – E(Y)
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 200421
Propriedades do valor esperado e variânciaPropriedades do valor esperado e variância
x
p(x) Distribuição de X
y
p(y)Distribuição de Y = X + c
z
p(z)Distribuição de Z = cX
E(X)
E(X) + c cE(X)
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 200422
Variáveis aleatórias independentesVariáveis aleatórias independentes
• X1, X2, ..., Xn podem ser consideradas variáveis aleatórias independentes se o conhecimento de uma não altera as distribuições de probabilidades das demais.
• Vale para variáveis aleatórias independentes:
V(X + Y) = V(X) + V(Y)
V(X – Y) = V(X) + V(Y)