Variable de estado por RealimentacinLa realimentacin de variables de estado a travs de ganancias constantes es otra tcnica utilizada para el diseo de control de sistemas, en lugar de disear controladores con configuracin fija. Si el sistema considerado tiene estado completo controlable, los polos del sistema de lazo cerrado, se pueden ubicar en cualquier lugar, por medio de la retroalimentacin de estado, a travs de una matriz de ganancia de retroalimentacin del estado adecuada.Considerando que el sistema de control de lazo abierto (el estado x no se realimenta a la seal de control u) se encuentra descrito por la ecuacin:

= Ax + Bu (Ecuacin 1)

Dnde: x = vector de estado (de dimensin n) u = seal de control (escalar)A = matriz constante n x nB = vector constante n x 1

Figura 1: Sistema de control de lazo abierto

El control mediante la realimentacin del estado es:

u = Kx (Ecuacin 2)

donde K = matriz de realimentacin de estado de 1 x n con elementos de ganancia constante

Sustituyendo la ecuacin (2) en la (1), se tiene: = (A BK)x(t) (Ecuacin 3)

La estabilidad y las caractersticas de respuesta transitoria se determinan a partir de los valores propios (o polos reguladores) de la matriz A BK.

Donde K es una matriz de 1 x n de ganancia de retroalimentacin del estado y el sistema se convierte en un sistema de control de lazo cerrado.

Figura 2: Sistema de control de lazo cerrado con u = -K x.

Este es un sistema de lazo cerrado porque el estado x est realimentando a la seal de control u.

Condicin necesaria y suficiente para la ubicacin arbitraria de polos.La ubicacin arbitraria de los polos para un determinado sistema, es posible si y solo si, el sistema tiene estado completo controlable, es decir, la matriz M tiene inversa. Los valores propios de la matriz A BK (que se designan 1, 2,n) son los polos de lazo cerrado deseados. Si un sistema es por completo controlable, siempre se puede representar la ecuacin de estado (1) en forma cannica controlable

Se define la matriz de transformacin T como:

T = MW(Ecuacin 4)

donde M es la matriz de controlabilidad

M = [B AB . B](Ecuacin 5)

donde las son los coeficientes caractersticos

|I-A| = + + + + (Ecuacin 6)

Se define x como un nuevo vector de estado

x = Tx

Si el rango de M es n (lo que significa que el sistema tiene estado completo controlable) la matriz T tiene inversa. Utilizando la matriz T se puede transformar (1) a la forma cannica controlable:

x = ATx + Bu

Donde

Para encontrar la ecuacin caracterstica de realimentacin de estado del sistema

= Ax + Bu = (A BK)x

se desarrolla:

|-(A-BK)| = |(I (A-BK))T| = |I-AT + BKT| = 0 (Ecuacin 7)

donde KT = es la matriz de coeficientes:

KT= [ (Ecuacin 8)

Sustituyendo 7 en 8 se tiene:

(Ecuacin 9)

Ecuacin caracterstica de realimentacin de estado

Igualando los coeficientes del polinomio caracterstico obtenido de los valores propios de la matriz (A BK), que se haban designado como 1, 2, n, que son los polos de lazo cerrado deseados, con los coeficientes de potencias iguales de de (9) se tiene:

Con el resultado anterior se obtienen los valores de la matriz K que se expresan como:

As se ha comprobado que para que los polos se puedan ubicar en forma arbitraria, es condicin necesaria y suficiente que el sistema tenga estado completo controlable.

Pasos para el diseo de la ubicacin de los polosConsiderando el sistema descrito por (1) con la seal de control dada por (2).Se puede determinar la matriz de ganancia de realimentacin K que hace que los valores propios de A sean los valores deseados 1, 2, n , por medio de los pasos siguientes:

Paso 1.Verifique la condicin de controlabilidad del sistema.

Paso 2.A partir del polinomio caracterstico de la matriz A,

determine los valores de a0, a1 , a2 , , an-1 .

Paso 3.Determine la matriz de transformacin T que transforma la ecuacin de estado del sistema a la forma cannica controlable (si la ecuacin del sistema ya est en dicha forma, entonces T = I).

Paso 4.Utilizando los valores propios deseados (los polos de lazo cerrado buscados), halle el polinomio caracterstico deseado:

determine los valores de 0, 1 , 2 , , n-1Paso 5.Determinar la matriz K de ganancia de realimentacin de estado, descrita como:

Como el rango de la matriz M es 2 es posible la ubicacin arbitraria de polos.

El problema planteado se resolver por dos mtodos.Mtodo 1Como la ecuacin de estado est en la forma cannica controlable, la matriz de transformacin T es la matriz unidad, o sea, T = I

De la ecuacin original se tiene:a1 = 0, a0 = -20.6

La ecuacin caracterstica deseada es:

(-1) (-2) = ( + 1.8 - j2.4) ( + 1.8 + j2.4) = 2 + 3.6 + 91 = 3.6 , 0 = 9

por lo tanto

Mtodo 2El segundo mtodo consiste en la sustitucin directa de la matriz: K = [ k1 k2 ] en el polinomio caracterstico deseado. El polinomio es:

El polinomio caracterstico debe ser igual a:

(-1) (-2) = ( + 1.8 - j2.4) ( + 1.8 + j2.4) = 2 + 3.6 + 9

igualando los coeficientes de los trminos de la misma potencia en se obtiene

k1 = 29.6, k2 = 3.6

o bien,

K = [ 29.6 3.6 ]