3.6. RIZIKOVANA VREDNOST- VaR1

U finansijskom poslovanju se ranije retko pridavala važnost ekstremnim gubicima, pošto se one retko javljaju, a kao odgovor na ovaj problem, razvijen je metod rizikovane vrednosti početkom 1990-ih godina u cilju merenja tržišnog rizika derivatnih instrumenata. Međutim, ovaj pristup je dalje razvijan i njegova upotreba je proširivana, tako da se sada može smatrati opštim metodom aktivne kontrole rizika i upravljanja i drugim tipovima rizika, kao što su npr. kreditni i operativni. Prednost pokazatelja rizikovane vrednosti u odnosu na druge mere je njegova kompaktnost, naime, jednim agregatnim numeričkim pokazateljem (koji uključuje u sebe i leveridž efekat2, korelacije i trenutnu poziciju portfolija), pokazuje najveći mogući gubitak kompanije u datom vremenskom periodu uz datu verovatnoću, pod normalnim tržišnim okolnostima3. Upotrebe pokazatelja rizikovane vrednosti su raznovrsne4, a mogu se klasifikovati na sledeće: pasivna (za izveštavanje o riziku u tekućim prometnim i investicionim aktivnostima sredstvima), odbrambena (za kontrolu rizika, pri čemu se formira zajednički pokazatelj kojima se upoređuju tekuće rizične aktivnosti na finansijskom tržištu) i aktivna (za upravljanje rizikom, pružajući podršku investitorima pri odlučivanju o trgovini finansijskim sredstvima, odnosno pri alokaciji kapitala, tako da se stvori bolji kvocijent prinosa prema riziku kompanije).

Guverneri centralnih banaka deset zemalja su na svom sastanku krajem 1974. godine osnovale Bazelski komitet s ciljem formulisanja uputstava za rad i standarda za kontrolu rada pojedinih nacionalnih bankarskih sistema, čime se postiže konvergencija ka zajedničkoj metodologiji. Kako bi bile podstaknute da vode računa i o ekstremnim rizicima, na sastanku guvernera centralnih banaka održanom u Bazelu, bankama je naloženo da prate mogućnost pojave ekstremnog rizika putem izračunavanja rizikovane vrednosti, tj VaR, kao i da formiraju odgovarajući rezervni kapital5.Metodologija rizikovane vrednosti je prihvaćena od strane nejvećeg broja organizacija u svetu, kao što su finansijske i regulatorske institucije6, nefinansijske korporacije i institucionalni investitori.Generalno posmatrano rizici finansijskog poslovanja se mogu svrstati u sledeće kategorije:- tržišni rizik- kreditni rizik (rizik nemogućnosti otplate kredita, tj. difoltni rizik)- rizik likvidnosti- rizik funkcionisanja, tu pripadaju rizik realizacije, rizik prevare, tehnološki rizik, rizik modeliranja

1 VaR: Value-at-Risk2 Leveridž (leverage) ili finansijska poluga je odnos tuđeg i sopstvenog kapitala. Leveridž efekat kod derivata znači odnos između najveće stope prinosa jedne akcije prema stopi prinosa hartije od vrednosti koja je predmet ugovora.3 B. Schahter (An Irreverent Guide to Value at Risk, Financial Engineering News, vol. 1, No 1, August 1997) nudi tri ekvivalentne definicije VaR: (1) ocena datog percentila, obično na donjem kraju distribucije prinosa portfolija u nekom period, (2) ocena nivoa gubitka portfolija koji može biti ostvaren ili premašen s datom malom verovatnoćom i (3) broj koji su osmislili isporučioci čudotvornih sredstava protiv finansijskog rizika, da bi ubedili viši menadžment i regulatorna tela u laž, kako se tržišni rizik može adekvatno razumeti i kontrolisati.4 Na osnovu: P. Jorion, Value at Risk, McGraw-Hill, 19975 Required capital , RC6 Npr. Bazelski Komitet za kontrolu bankarskog poslovanja, regulatorske institucije Evropske Unije, Federalna rezervna banka SAD, Komisija za hartije od vrednosti i berze SAD itd.

- pravni rizici.Bazelski komitet preporučuje primenu VaR za obuhvatanje sledećih vrsti rizika:- VaR za tržišni rizik portfolija sa osnovnim likvidnim sredstvima (akcije, državne obveznice, devize)- VaR za tržišni rizik portfolija sa likvidnim derivatima (opcije na kamatne stope, na devize i na tržišne indekse)- VaR za difoltni rizik za portfolija sa kreditima (tzv. CreditVaR)- testiranje specifikacije modela i predviđanje uz ekstremne događaje (Back testing i Stress testing).

Neka investitor u vremenskoj jedinici t raspolaže novčanim sredstvima koji su dovoljni za kupovinu a1, a2, ..., an komada sredstava po cenama pt1, pt2,...,ptn tako da je vrednost portfolija

, a pored toga investitor raspolaže i sredstvima rezerve za pokriće gubitka u iznosu Rt. Rezerva se ne sme potrošiti za druge namene, tako da vrednost sredstava zajedno sa rezervom prelazi u negativnu vrednost samo sa malom verovatnoćom u vremenskoj jedinici t+h. U ovom slučaju je verovatnoća gubitka (nivo zaštite ili nivo rizika). Verovatnoća negativne vrednosti (uslovni raspored budućih cena uz date informacije je):

tako da je vrednost jednak kvantilu na nivou (%) uslovne distribucije buduće vrednosti

portfolija koja se zove funkcija profita i gubitaka (Profit and Loss Function, P&L).

Ukupan potreban kapital je jednak rizikovanoj vrednosti:

koja je jednaka funkciji informacija, sredstava, vremnskog intervala i stepena rizika.

Bazelski komitet je bankama preporučio korigovanu formulu za potreban kapital, koja uzima u obzir istorijske podatke o rizikovanoj vrednost unazad za 60 radnih dana:

Izračunavanje rizikovane vrednosti se može bazirati na različitim postupcima, koji se mogu grupisati u parametarske metode, metode istorijske simulacije i Monte Carlo metode.

3.6.1. PARAMETARSKI METODI IZRAČUNAVANJA VaR

Parametarskim metodima pripada delta normal VaR, pri čemu se pretpostavlja normalni raspored, kojim se može aproksimirati veliki broj empirijskih rasporeda dobro diverzikovanimh portfolija (s druge strane ovo nije slučaj sa portfolijima koji sadrže veliki broj opcija sa malim finansijskim rizicima). Ovaj metod nije zasnovan na podacima, međutim, ipak, istorijski podaci služe kao pomoćno sredstvo za određivanje volatiliteta. Ako se može zaključiti da podacima odgovara neki drugi tip rasporeda sa definisanom formulom, takođe se može primeniti ovaj postupak, pri čemu se dobijaju drugačiji rezultati.

38

Slika 8. Površina ispod standardizovane normalne krive prosek=0, standardna devijacija=1

Određivanje VaR je ekvivalento iznalaženju takve vrednosti za koju važi da je površina ispod krive normalnog rasporeda levo od te vrednosti jednaka sa 1-c. Vrednost c je verovatnoća veće vrednosti od VaR a vrednost p=1-c je nivo signifikantnosti, tj. verovatnoća manje ili jednake vrednosti VaR. U praksi se za nivo signifikantnosti bira p=1% (što znači verovatnoću c=99%) ili p=5% (c=95%). U slučaju normalnog rasporeda ulevo od vrednosti =1,64485 standardnih devijacija ulevo od proseka se nalazi 5% ukupne površine i ulevo od vrednosti =2,32635 standardnih devijacija ulevo od proseka se nalazi 1% ukupne površine ispod normalne krive.

Kritična stopa prinosa je:(27)

gde je prosečna istorijska stopa prinosa (očekivana vrednost), a devijacija. VaR stope prinosa se može računati u odnosu na prosek, i tada je:

(28)ili u odnosu na nulu, izostavljajući očekivanu vrednost, i tada se VaR odnosi na apsolutni gubitak izražen stopom prinosa (R* je obično negativan):

(29)U relacijama (28) i (29) VaR predstavlja negativnu stopu prinosa (stopu gubitka) koja se može očekivati sa nivoom signifikantnosti p u datom vremenskom intervalu.

U praksi se rizikovana vrednost računa za jedan dan, dve nedelje (deset radnih dana), jedno tromesečje (63 radna dana). Tako npr. Bezelski Komitet preporučuje VaR za 10 radnih dana sa signifikantnošću 1%, a softverska firma RiskMetrics za 1 radni dan sa 5% signifikantnosti.

Dobijena dnevna rizikovana vrednost se može preračunati na druge vremenske periode, tako da je broj radnih dana u periodu na koje se vrši preračunavanje:

39

(30)

a dobijeni rezultat se interpretira kao maksimalni kumulisani ukupni gubitak u datom vremenu sa datom verovatnoćom.

Neka je sa označena vrednost ulaganja u portfolio na početku perioda. Tada je rizikovana vrednost

ulaganja u odnosu na prosek:

(31)

a rizikovana vrednost kao apsolutni gubitak je:

(32)

a za vremenske periode dužine t važi:

(33)

PRIMER 3.14.U sledećoj tabeli su date vrednosti na zatvaranju akcija tri kompanije kotirane na Njujorškoj berzi (New York Stock Exchange) za 252 radna dana 2011. godine, kao i podatak za poslednji dan 2010. godine. Takođe, prikazane su i kontinuelne stope prinosa R. radi jednostavnosti, dati su podaci za prvih pet i poslednjih pet radnih dana, a celokupna tabela je data u Prilozima.

Tabela 9.

t DatumGeneral Electric Company

Siemens Ag

Koninklijke Philips Electronics NV

Kontinuelne stope rasta

GE SI PHG R(GE) R(SI) R(PHG)0 31-Dec-10 18.29 124.25 30.701 3-Jan-11 18.28 125.13 31.35 -0.000547 0.007058 0.0209522 4-Jan-11 18.61 123.11 31.00 0.017892 -0.016275 -0.0112273 5-Jan-11 18.64 119.78 30.76 0.001611 -0.027422 -0.0077724 6-Jan-11 18.56 117.35 29.81 -0.004301 -0.020496 -0.0313715 7-Jan-11 18.43 116.26 30.98 -0.007029 -0.009332 0.038498

…248 23-Dec-11 18.23 95.18 20.47 0.009923 0.004634 0.003425249 27-Dec-11 18.01 95.80 20.72 -0.012141 0.006493 0.012139250 28-Dec-11 17.83 93.68 20.30 -0.010045 -0.022378 -0.020479251 29-Dec-11 18.07 95.34 20.92 0.013371 0.017565 0.030085252 30-Dec-11 17.91 95.61 20.95 -0.008894 0.002828 0.001433

Suma -0.020995 -0.262018 -0.382124Prosek = E(R) = Suma/252 -0.000083 -0.001040 -0.001516

U sledećoj tabeli je prikazan obračun kvadrata odstupanja od proseka za sve tri serije stopa rasta, kao i obračun devijacije (volatiliteta):

r(GE)^2=

40

r(SI)^2=

r(PHG)^2=

Tabela 10.t r(GE)^2 r(SI)^2 r(PHG)^2

1 2.14908E-07 6.55661E-05 0.000504812 0.000323094 0.000232111 9.4298E-053 2.86982E-06 0.000695998 3.9134E-054 1.77896E-05 0.000378538 0.000891315 4.82419E-05 6.8759E-05 0.00160114

…248 0.000100124 3.21863E-05 2.4422E-05249 0.000145398 5.67401E-05 0.00018647250 9.92297E-05 0.000455319 0.00035956251 0.00018101 0.000346127 0.00099863252 7.76262E-05 1.49593E-05 8.6988E-06

Suma 0.091009 0.158665 0.195143Varijansa=Suma/251 0.000362584 0.000632131 0.00077746Devijacija=Varijansa 0.01904165 0.025142222 0.02788301

Prosečne stope prinosa, devijacije i kritične stope prinosa za tri kompanije su date u sledećoj tabeli:

Tabela 11.GE SI PHG

1 Prosečna stopa prinosa -0,0083% -0,1040% -0,1516%2 Devijacija 1,9042% 2,5142% 2,7883%

Za p=5%, = 1,644853 Kritična stopa prinosa -3,1404% -4,2395% -4,7379%4 VaR stope prinosa u odnosu na prosek -3,1321% -4,1355% -4,5863%5 VaR kao apsolutna stopa gubitka 3,1404% 4,2395% 4,7379%

Za p=1%, = 2,326356 Kritična stopa prinosa -4,4381% -5,9529% -6,6382%7 VaR stope prinosa u odnosu na prosek -4,4298% -5,8490% -6,4866%8 VaR kao apsolutna stopa gubitka 4,4381% 5,9529% 6,6382%

U gornjoj tabeli su dobijene dnevne rizikovane vrednosti. Npr. sa verovatnoćom od 95% možemo očekivati da gubitak na akcijama General Electric Company neće biti ispod 3,1404% bilo kojeg dana, odnosno 5%252 radna dana= 12,6 dana, što znači da u roku od godinu dana 12 ili 13 radnih dana možemo očekivati gubitak koji će biti ispod 3,1404%. Slično tome, sa verovatnoćom od 99% možemo očekivati da gubitak na akcijama General Electric Company neće biti ispod 4,4381% bilo kojeg dana, odnosno 1%252 radna dana= 2,52 dana, što znači da u roku od godinu dana 2 ili 3 radna dana

41

možemo očekivati gubitak koji će biti ispod 4,4381%. Ako se pregleda originalna serija podataka, može se primetiti da je negativna stopa manja od -3,1404% bila tokom 15 dana, a stopa manja od -4,4381% tokom 4 dana. Dakle, dobijeni rezultati su aproksimativni, predstavljaju očekivanja za naredni period, a odstupanja su, među ostalima posledica i toga što empirijski raspored ne prati u potpunosti primenjeni teorijski raspored. Ukupni očekivani gubitak na akcijama General Electric Company u roku od dve nedelje (t=10), uz signifikantnost 5% bi bio:

.

Neka je vrednost ulaganja u akcije pojedinih kompanija redom: 100.000 USD, 250.000 USD i 200.000 USD. Rizikovane vrednosti u odnosu na prosek sa verovatnoćom 95%, na osnovu relacije (31) će biti:

USD

USD

USDNa portfoliju koji se sastoji od navedenih iznosa ukupni VaR iznosi zbir dobijenih vrednosti 22.627,05 USD, što znači da se sa verovatnoćom od 95% može očekivati gubitak od najviše 22.627,05 USD na portfoliju, a gubitak veći od ovoga se može desiti u 5% posmatranog perioda.Ukupni gubitak na portfoliju u roku od deset radnih dana uz verovatnoću 95% iznosi najviše:

USD

3.6.2. ISTORIJSKA SIMULACIJA VaR

Pretpostavlja se proizvoljni raspored stopa prinosa, koji može biti kontinuelan ili diskretan, normalne spljoštenosti, spljošteniji ili izdužen, simetričan ili asimetričan. Neka je R* rizikovana vrednost stope prinosa, koja se određuje kao kvantil datog uzorka istorijskih podataka stopa prinosa, tako da je verovatnoća pojavljivanja vrednosti manjih od R* jednaka sa p:

(34)

Kada se radi sa nivoom signifikantnosti 5%, odgovarajući kvantil predstavlja vrednost od koje je 5% svih stopa prinosa manje ili jednako, a 95% svih osmatranja u uzorku je veće vrednosti. Za nivo signifikantnosti 1%, uzima se kvantil kao vrednost od koje je 1% svih osmatranja manje ili jednako. Kada se u uzorku ne nalazi tačno ona vrednost koja je jednaka kvantilu, ona se određuje linearnom interpolacijom.

PRIMER 3.15.Poređajmo prvo osmatranja stopa prinosa po rastućem redosledu, kako je prikazano u sledećoj tabeli. Potpuna tabela se nalazi u prilozima.

Tabela 12.Rang R(GE) R(SI) R(PHG)

42

1 -0,067653 -0,093386 -0,1089932 -0,058945 -0,086895 -0,0985813 -0,056398 -0,083856 -0,0925724 -0,056053 -0,071524 -0,0923425 -0,043213 -0,063464 -0,080470

…248 0,038354 0,050484 0,061179249 0,040461 0,050682 0,061363250 0,051844 0,051518 0,064042251 0,064245 0,056596 0,066660252 0,068667 0,080343 0,067323

Svrstajmo stope u grupne intervale, sa širinom intervala npr. 0,003.Širina intervala je proizvoljna, u ovom primeru je izabrano da u jedan interval u proseku pripada oko 5 osmatranja. Pošto ima 252 osmatranja, treba odrediti najviše 252/5~51 interval. Kod GE razlika najveće i najmanje stope prinosa je 0,068667-(-0,67653)=0,136320, podeljeno sa 51 dobija se 0,002673, zaokrugljivanjem se dobija 0,003=0,3%. Donja granica najniže grupe treba da bude deljiva sa širinom intervala i da bude manja od najmanje vrednosti u seriji podataka, tako je dobijena vrednost

-0,069=-6,9%. Nakon toga je izbrojano od serije podataka koliko elemenata pripada pojedinim grupnim intervalima od -0,069 do -0,066, od -0,066 do -0,063 pa sve do 0,066 do 0,069. Neka je širina grupnog intervala takođe 0,003 i za preostale kompanije. Prebrojavanjem broja elemenata (stopa prinosa) koji pripadaju intervalima dobijen je raspored elemenata, odgovarajuće tabele se nalaze u prilogu. Sledeći dijagrami prikazuju raspored dnevnih stopa prinosa. Horizontalna osa sadrži sredine grupnih intervala, a vertikalna osa pokazuje broj dana koliko je bilo slučajeva da se stopa prinosa nalazila u datom intervalu.

Izračunajmo VaR prvo za nivo signifikantnosti 5%. Treba odrediti takvu vrednost R* od koje je 5% svih osmatranja manja. Pošto je broj osmatranja 252 sledi . Prebrojavanjem po grafikonu nalazimo da kod GE levo od vrednosti -3,15% ima 11 dana a levo od vrednosti -2,85% ima 15 dana. Odredimo linearnom interpolacijom približnu vrednost VaR:

x: -3,15% 11 -3,15% 11y: -2,85% 15 VaR 12,6

y-x 0,3% 4 R*+3,15% 1,6

Dobija se proporcija:

iz koje sledi:

Dakle, rizikovana vrednost stope prinosa na dnevnom nivou za akcije GE u apsolutnom iznosu je gubitak od 3,03%. U odnosu na prosek VaR će biti: gubitka.

43

Na sličan način se dobija za SI apsolutni VaR gubitak od 3,954%, a u odnosu na prosek 3,850%. Za PHG je apsolutni VaR gubitak 4,47% a u odnosu na prosek je gubitak od 4,318%.

Slika 9. Distribucija stopa prinosa za akcije GE (histogrami) i normalna distribucija (kriva koja odgovara parametrima rasporeda po grupnim sredinama: prosek –0,000179, devijacija 0,018930).

Empirijska distribucija je karakteristična za seriju stopa prinosa finansijskih sredstava: izdužen raspored sa debelim krajevima.

Slika 10. Distribucija stopa prinosa za akcije SI

44

Slika 11. Distribucija stopa prinosa za akcije PHG

Odredimo sada VaR za prinose i gubitke ostvarene na ulaganja u pojedine akcije. Kako je navedeno u primeru uloženo je redom 100.000 USD, 250.00 USD i 200.000 USD. Množenjem početnog ulaganja s iznosima stopa prinosa dobijaju se aktuelne vrednosti prihoda i gubitaka na akcijama. Deo tabele je dole prikazan, a potpuna tabela je u prilogu.

Tabela 13.Ulaganje 100000 250000 200000

Prihod ili gubitakt GE SI PHG

1 -54.69 1764.38 4190.322 1789.15 -4068.73 -2245.413 161.07 -6855.38 -1554.414 -430.11 -5123.95 -6274.255 -702.90 -2332.97 7699.59

…248 992.29 1158.38 685.10249 -1214.14 1623.21 2427.80250 -1004.47 -5594.49 -4095.71251 1337.07 4391.18 6016.95252 -889.39 706.99 286.60

45

Ove vrednosti se takođe grupišu u grupne intervale, po postupku prikazanom kod stopa prinosa. Grupisane vrednosti sa prikazom koliko komada vrednosti se nalazi u nekom intervalu su prikazane na sledećim dijagramima.

Slika 12. Distribucija prihoda i gubitaka za akcije GE. Prosek je -8,33 USD

Slika 13. Distribucija prihoda i gubitaka za akcije SI. Prosek je -259,94 USD

46

Slika 14. Distribucija prihoda i gubitaka za akcije PHG. Prosek je -303,27 USD

Prebrojavanjem i interpolacijom za GE je dobijena vrednost W*=-3.300 USD, dakle apsolutna vrednost VaR je 3.300 USD, a u odnosu na prosek:

USD.Za SI je dobijeno 10.062 USD i 9802,06 USD, a za PHG 9.030 USD i 8.726,73 USD.

Umesto izračunavanja dnevnih vrednosti prihoda i gubitaka, do sličnog rezultata ćemo doći i ako vrednost ulaganja pomnožimo sa VaR stope prinosa, a do manjeg ili većeg odstupanja dolazi zbog načina formiranja grupnih intervala, međutim ta odstupanja nisu bitna, naime u iskazivanju rezultata u praksi se vrši njihovo grubo zaokrugljivanje. Tako za GE imamo VaR za stopu prinosa 3,03% pomnoženo sa ulaganjem 100.000 USD sledi VaR 3.030 USD, odnosno u odnosu na prosek 3,022% pomnoženo sa 100.000 USD daje 3.022 USD, što odgovara rezultatu dobijenom na osnovu prihoda i gubitaka.Za SI imamo veće odstupanje: 3,954%250.000=9.885 USD (umesto 10.062) i 3,850%250.000=9.625 USD (umesto 9802,06)Kod PHG je 4,47%200.000=8.940 USD (umesto 9.030) i 4,318%200.000=8.636 USD (umesto 8.726,73).

Postoji još jedan, jednostavniji metod određivanja VaR, na osnovu percentila. Percentili se mogu računati po više alternativnih pristupa, jedna od njih je sledeći:

- određuje se rang: , gde je p percentil koji se računa, N ukupan broj podataka u

seriji sortiranoj po rastućem redosledu- dobijeni rang n se deli na celobrojni deo k i razlomljeni deo d- nalazi vrednost k-tog elementa: vk i narednog elementa u nizu vk+1

47

- vrednost p-tog percentila se dobija po obrascu (35)

U našem primeru je , sledi da je k=13 i d=0,55.

U sledećoj tabeli su prikazane vrednosti prihoda i gubitaka akcija tri kompanije po rastućem redosledu, za prvih 16 osmatranja (potpuna tabela je u prilogu)

Tabela 14.t GE SI PHG GE+SI+PHG

1 -6765.26 -23346.62 -21798.52 -49828.052 -5894.46 -21723.83 -19716.17 -45083.673 -5639.76 -20964.01 -18514.32 -43712.294 -5605.33 -17880.90 -18468.48 -40247.185 -4321.31 -15866.06 -16093.99 -35622.266 -4216.94 -13650.76 -15669.39 -31580.667 -4201.76 -13400.20 -14116.44 -29512.028 -4118.99 -12966.67 -12426.36 -29069.569 -3897.80 -12621.72 -12159.06 -26938.23

10 -3544.34 -10953.65 -11066.13 -26863.3211 -3423.57 -10829.47 -10282.64 -22054.1612 -3289.56 -10485.41 -10006.12 -21130.8213 -3259.74 -10365.35 -9350.29 -21077.3514 -3255.08 -10361.87 -8967.29 -20353.4415 -3180.48 -10340.68 -8750.47 -20316.9116 -2934.43 -10134.11 -8507.76 -20294.53

Na osnovu (35) imamo:

USD

VaR=3257,18 USD

USD

VaR=10363,44 USD

USD

VaR=9139,64 USD

U ovom primeru do sada smo određivali VaR po pojedinim sredstvima. Ispitajmo sada, koja je rizikovana vrednost portfolija formiranog od ova tri sredstva sa datim početnim ulaganjima. U tabeli 13. u prilogu se nalazi kolona GE+SI+PHG koja sadrži zbir prihoda i gubitaka po ovim akcijama u neto iznosu. Ove vrednosti treba poređati po rastućem redosledu, a prikazane u zadnjoj koloni tabele 14. Obratite pažnju da dobijene vrednosti nisu jednake prostom zbiru prve tri kolone nego su manjih vrednosti (nekada se može desiti da su jednake), naime, formiranjem portfolija je umanjen ukupni rizik, jer pojedinih dana neke akcije imaju gubitak, a druge u portfoliju ostvaruju prihod. Na osnovu 5-og percentila VaR za portfolio sledi:

USD = VaR

48

Dakle, rizikovana vrednost portfolija je manja od prostog zbira VaR pojedinačnih sredstava: USD.

Naravno, rizikovana vrednost portfolija se takođe može odrediti i putem grupisanja i prebrojavanja.

3.6.3. MONTE CARLO SIMULACIJA ZA IZRAČUNAVANJE VaR

Kada ne postoji zadovoljavajući postupak determinističkog izračunavanja neke veličine, može se primeniti Monte Carlo simulacija (metod ili eksperiment)7. Ovaj metod predstavlja računski algoritam zasnovan na ponovljenom generisanju slučajnih brojeva koji služe za izračunavanje rezultata po nekoj formuli. Generisanjem velikog broja slučajnih brojeva (od nekoliko stotina pa do nekoliko miliona) može se izvesti zaključak o ponašanju pojave, a za izračunavanje VaR standard je bar 10.000 simulacija.

Postupak Monte carlo simulacije za izračunavnje rizikovane vrednosti ćemo objasniti preko primera.

Koraci simulacije su sledeći:

1. Prikupimo istorijske podatke o cenama nekog finansijskog instrumenta, recimo za godinu dana, tj. za 252 radna dana i za kontinuelne stope prinosa izračunajmo prosek i istorijsku volatilnost kao devijaciju . Uzmimo podatke za cene akcija General Electric Company (podaci od 3. januara do 30. decembra 2011) iz primera 3.14, tabela 9, označimo ih sa Yi, i=1,2,...,252, izračunajmo kontinuelne stope rasta, njihov prosek i devijaciju, što je dato u tabeli 10.

2. Odredimo vremenski horizont za koji želimo odrediti VaR, u našem primeru neka je to dve nedelje, tj. =10 radnih dana (mogući su i drugi horizonti, npr. mesec dana, tj. 22 radna dana itd.) i vremenski horizont podelimo na vremenske podintervale t, što u ovom slučaju može bit npr. jedan dan, te odredimo broj vremenskih podintervala N u vremenskom horizontu. U našem primeru je dakle

N=10 i . Postupak deobe vremenskog horizonta na podintervale se naziva

diskretizacija, što znači da kontunelni proces aproksimiramo velikom brojem diskretnih intervala.Što je broj N veći tim je simulacija pouzdanija. Prozilazi da ako želimo primeniti postupak npr. za jednodnevni VaR, trebalo bi raspolagati podacima o cenama akcija za kraće intervale, npr. za svaki sat ili svaki minut. U ovom primeru sledećih deset radnih dana su 3,4,5,6, 9,10,11,12,13. i 17. januar 2012. godine.

3. Generišimo slučajne brojeve! Slučajni brojevi se mogu generisati fizičkim sredstvima, ili pomoću računskog algoritma, koji polaze od neke početne vrednosti; računski dobijeni su pseudoslučajni brojevi. Veliki broj računarskih programa omogućuje dobijanje pseudoslučajnih brojeva, i to

7 Monte Carlo metodom je prvi eksperimentisao američki fizičar Enrico Fermo tokom 1930-ih godina, ali nije objavio svoje rezultate. Metod su razradili fizičari Los Alamos Scientific Laboratory, Stanislav Ulam i John von Neumann, 1946. godine. Naziv je odabran po kasinu u Monte Carlu, gde je Ulm-ov ujak redovno gubio svoj novac u igrama na sreću.

49

uniformno raspoređenih u intervalu [0,1], međutim, ovi brojevi nemaju najbolje statističke osobine, pa se predlažu posebni generatori, kao npr. Mersenne Twister ili CryptGenRandom for Microsoft Windows. Nakon dobijanja uniformno raspoređenih pseudoslučajnih brojeva, za potrebe izračunavanja VaR, neophodna je njihova konverzija tako da pripadaju normalnom rasporedu. Ovo se postiže primenom pravila da ako je neki slučajni broj uniformno raspoređen, tada će slučajni broj biti normalno raspoređen ako je , gde je kumulativna funkcija normalne distribucije. Radi ilustracije, u našem primeru ćemo generisati u jednoj simulaciji 10 uniformno raspoređenih slučajnih brojeva (za deset radnih dana) u Microsoft Excel-u komandom “=rand()”, i njih

transformisati u pseudoslučajne brojeve iz normalne distribucije komandom „=normsinv(xi)“.

4. Neka je simulirana stopa prinosa za narednih deset radnih dana određena standardnom formulom:

, (36)

gde je , , pa je i , a je slučajni broj.

5. Definišimo vrednost akcije za svaki dan u simulacionom periodu: , tako da se

vrednost svakog narednog dana dobija kao proizvod cene tekućeg dana i koeficijenta razvoja pojave (stepen prirodnog broja sa eksponentom pozitivne ili negativne simulirane stope prinosa R), pri tome je početna vrednost jednaka ceni akcije poslednjeg dana iz istorijske serije, tj. 30. decembra 2011,

. Ovim smo izvršili jednu simulaciju:

(37)

6. Ponavljajmo korake 3,4. i 5 veliki broj puta. Već je napomenuto da broj simulacija treba da bude veoma velik (bar 10.000), a u ovom ilustrativnom primeru ćemo uzeti samo 100 simulacija. U sledećoj tabeli su prikazane prve dve simulacije za po deset dana:

Tabela 15.Simulacija

Datum i1 2

xi si Ri Yi xi si Ri Yi

30.12.2011. 0 17.9100 17.9100

03.01.2012. 1 0.855563 1.060594 0.020112 18.2739 0.976521 1.98668 0.037747 18.5990

04.01.2012. 2 0.425939 -0.186724 -0.003639 18.2075 0.287750 -0.55997 -0.010746 18.4002

05.01.2012. 3 0.997144 2.763816 0.052545 19.1898 0.449010 -0.12816 -0.002523 18.3538

50

06.01.2012. 4 0.577029 0.194300 0.003617 19.2593 0.542360 0.10638 0.001943 18.3895

09.01.2012 5 0.520599 0.051658 0.000901 19.2767 0.488157 -0.02969 -0.000648 18.3776

10.01.2012. 6 0.477396 -0.05669 -0.001162 19.2543 0.316087 -0.47867 -0.009198 18.2093

11.01.2012. 7 0.593383 0.236255 0.004416 19.3395 0.498138 -0.00467 -0.000172 18.2062

12.01.2012. 8 0.540731 0.102275 0.001864 19.3756 0.341023 -0.40967 -0.007884 18.0632

13.01.2012. 9 0.972504 1.918939 0.036457 20.0950 0.255501 -0.65728 -0.012599 17.8371

17.01.2012. 10 0.411233 -0.224375 -0.004355 20.0076 0.056847 -1.58181 -0.030203 17.3064

7. Poređajmo sada po rastućoj veličini dobijene vrednosti (za poslednji dan simulacije). Podaci po

redu simulacija su prikazani u sledećoj tabeli tabela 16), a nakon toga su dati podaci o simuliranim cenama poređanih po rastućoj veličini (tabela 17). Izračunajmo VaR uz verovatnoću 95%. Od 100 simulacija 5% znači 5. najmanju vrednost, koja iznosi 15,7576 USD. Znači, verovatnoća da će cena akcije biti ispod 15,7576 USD u narednih 10 dana je 5% Pošto je početna cena akcije bila 17,9100 USD, sledi da je VaR = 17,9100 – 15,7576 = 2,1524 USD, odnosno za narednih deset dana počev od 30. decembra 2011. gubitak veći od 2,1524 USD ćemo imati sa verovatnoćom 5%.

Tabela 16R.br. simulacije

Simulirana cena

R.br. simulacije

Simulirana cena

R.br. simulacije

Simulirana cena

R.br. simulacije

Simulirana cena

1 20,0076 26 17,2657 51 18,9784 76 19,69182 17,3064 27 16,0458 52 16,9149 77 19,12543 19,3893 28 17,9491 53 17,9488 78 16,74704 15,3625 29 18,4315 54 19,1191 79 17,65235 19,3285 30 18,0925 55 18,3679 80 18,56566 18,3926 31 18,3043 56 17,3302 81 17,84177 15,7514 32 16,1096 57 19,5279 82 17,83888 17,5176 33 17,8505 58 17,6832 83 18,09289 15,7576 34 17,4437 59 16,9703 84 17,6999

10 18,2831 35 16,6072 60 18,8951 85 19,419511 16,1499 36 18,2596 61 17,6816 86 18,030712 17,8860 37 20,1950 62 17,7813 87 20,239813 17,2691 38 17,7901 63 17,7255 88 17,602014 18,8802 39 17,3237 64 18,2429 89 17,218415 17,6754 40 18,0069 65 17,8728 90 18,888716 18,2853 41 18,6180 66 16,6815 91 20,666917 18,3973 42 18,2722 67 17,5680 92 16,755718 19,9264 43 14,9159 68 18,4225 93 16,947919 16,1501 44 17,3274 69 18,3622 94 17,436520 18,0845 45 19,3919 70 17,9096 95 16,042821 17,4773 46 17,0834 71 17,5163 96 15,309322 19,7486 47 18,9015 72 17,7456 97 17,091223 17,5777 48 17,1306 73 18,2370 98 17,3349

51

24 17,1688 49 18,1876 74 17,9961 99 17,598525 19,1585 50 18,6722 75 17,5530 100 18,6959

Tabela 17R.br. simulacije

Simulirana cena

R.br. simulacije

Simulirana cena

R.br. simulacije

Simulirana cena

R.br. simulacije

Simulirana cena

43 14,9159 39 17,3237 33 17,8505 29 18,431596 15,3093 44 17,3274 65 17,8728 80 18,56564 15,3625 56 17,3302 12 17,8860 41 18,61807 15,7514 98 17,3349 70 17,9096 50 18,67229 15,7576 94 17,4365 53 17,9488 100 18,6959

95 16,0428 34 17,4437 28 17,9491 14 18,880227 16,0458 21 17,4773 74 17,9961 90 18,888732 16,1096 71 17,5163 40 18,0069 60 18,895111 16,1499 8 17,5176 86 18,0307 47 18,901519 16,1501 75 17,5530 20 18,0845 51 18,978435 16,6072 67 17,5680 30 18,0925 54 19,119166 16,6815 23 17,5777 83 18,0928 77 19,125478 16,7470 99 17,5985 49 18,1876 25 19,158592 16,7557 88 17,6020 73 18,2370 5 19,328552 16,9149 79 17,6523 64 18,2429 3 19,389393 16,9479 15 17,6754 36 18,2596 45 19,391959 16,9703 61 17,6816 42 18,2722 85 19,419546 17,0834 58 17,6832 10 18,2831 57 19,527997 17.0912 84 17.6999 16 18.2853 76 19.691848 17.1306 63 17.7255 31 18.3043 22 19.748624 17.1688 72 17.7456 69 18.3622 18 19.926489 17.2184 62 17.7813 55 18.3679 1 20.007626 17.2657 38 17.7901 6 18.3926 37 20.195013 17.2691 82 17.8388 17 18.3973 87 20.23982 17.3064 81 17.8417 68 18.4225 91 20.6669

52