vapaan hiukkasen schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
DESCRIPTION
Luento 8. Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen) Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x) = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p 2 /2m. Koska hiukkasella on määrätty energia, se on stationäärisessä tilassa. Mikä on sen aaltofunktio? - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x) = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p2/2m.Koska hiukkasella on määrätty energia, se on stationäärisessä tilassa. Mikä on sen aaltofunktio?
Määritellään ”kulmataajuus” ja ”aaltoluku” k mekaniikan aaltoliikkeen tapaan:
Luento 8
.
,
E
hfh
f
ph
hk
22
22
Mekaniikassa liikkuvaa aaltoa kuvataan funktiolla
., txkBtxkAtx sin cos
Tämä on itse asiassa myös vapaan hiukkasen aaltofunktio kvanttimekaniikassa, kun vakiot A ja B valitaan sopivasti, nimittäin B = iA. Tällöin voimme näet kirjoittaa*
.
,
)( tiikxtkxi eAeAe
txkitxkA
txkiAtxkAtx
sincos
sincos
sinx.cos sinx,cos ixeixe ixix
Eulerin kaavat:
2
Aikaisemmin todettiin, että stationäärisen tilan aaltofunktio on muotoa (x)e-iEt/ = (x)e-it . Edellä oleva aaltofunktio on tätä samaa muotoa; siinä ajasta riippumaton osa on
.)( ikxAex
Sijoitetaan tämä Schrödingerin yhtälön
).()()()(
xExxUdx
xd
m
2
22
2
vasemmalle puolelle ja otetaan huomioon, että vapaan hiukkasen tapauksessa potentiaalienergia on U(x) = 0:
).(
)()()(
xm
p
Aem
kAeik
mAe
dx
Aed
mikxikxikx
ikx
2
220
22
222
2
2
22
Koska vapaan hiukkasen energia on E = p2/2m, voimme todeta, että aaltofunktio (x) = Aeikx toteuttaa vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälön.
Kun aaltoluku k = p/ on positiivinen, aaltofunktio (x) = Aeikx esittää positiivisen x-akselin suuntaan liikkuvaa vapaata hiukkasta, kun k on negatiivinen se esittää negatiivisen x-akselin suuntaan liikkuvaa vapaata hiukkasta. Schrödingerin yhtälö toteutuu on liikemäärä p mitä tahansa, joten vapaan hiukkasen energia ei ole kvantittunut vaan se voi saada kaikki arvot. Myöhemmin nähdään, että jos hiukkanen ei ole vapaa eli vuorovaikutukseen liittyvä potentiaali-energia U(x) ei häviä, vain tietyt kvantittuneet energiat ovat mahdollisia. Schrödingerin yhtälö antaa mahdolliset energian arvot ja niitä vastaavat aaltofunktiot.
3
Esimerkki
On helppo nähdä, että myös funktio
ikxAex )(
toteuttaa Schrödingerin yhtälön ja myös siihen liittyy energia E=p2/2m. Silloin tietenkin myös kaikki seuraavaa muotoa olevat aaltofunktiot toteuttavat saman Schrödingerin yhtälön:
,)( ikxikx eAeAx 21
jossa A1 ja A2 ovat mielivaltaisia kompleksilukuvakioita. Ensimmäinen termi kuvaa x-akselin positiiviseen suuntaan (liikemäärä p > 0) ja toinen termi negatiiviseen suuntaan (liikemäärä –p < 0) etenevää hiukkasta. Aaltofunktion kuvaamalla hiukkasella ei ole hyvin määriteltyä liikemäärää. Sillä on kuitenkin hyvin määritelty energia, E=p2/2m. Aaltofunktio on kahden eri liikemäärään liittyvän aaltofunktion superpositio, ja se kuvaa seisovaa aineaaltoa.
Jos vapaalla hiukkasella on määrätty liikemäärä, on liikemäärän epämääräisyys p = 0. Epämääräisyysperiaatteen mukaan hiukkasen paikka on silloin täysin tuntematon, x . Paikan tn-tiheys on
vakio.222 AAex ikx)(
Hiukkanen voi olla samalla todennäköisyydellä kaikkialla avaruudessa.
4
.
2222AAA (x) dxdxdx
Huomaa, että
Tuloksen pitäisi olla = 1, mutta se ei tässä ääritapauksessa toteudu.
Käytännössä tarkasteltavien hiukkasten paikka tunnetaan jollakin tarkkuudella eli hiukkanen on lokalisoitunut. Silloin eo. integraalissa on äärelliset integroimisrajat ja kokonaistodennäköisyydeksi saadaan 1, kun aaltofunktio normitetaan sopivasti eli valitaan A:lle sopiva arvo.
Tässä tapauksessa liikemäärä ei ole tarkasti tunnettu vaan p 0. Aaltofunktio on silloin usean tietyyn liikemäärätilaan liittyvän aaltofunktion (osa-aallon) yhdistelmä eli superpositio. Painottamalla eri osa-aaltoja sopivasti, saadaan aikaan aaltopaketti:
Se kuvaa johonkin avaruuden osaan tai osiin paikallistunutta eli lokalisoitunutta hiukkasta.
.)()( ikxekAdkx
Kahdesta osa-aallosta muodostunut superpositio, jossa aaltoluvut poikkeavat hieman toisistaan.
5
Usean vapaata hiukkasta kuvaavan aaltofunktion eräs superpositio. Mukana on suuri määrä eli aaltolukuja (liikemääriä), ja tuloksena on xlevyiselle alueelle keskittynyt aaltopaketti, jossa aallonpituus on eräänlainen keskiarvo osa-aaltojen aaltoluvuista. Aaltopaketilla on sekä hiukkasmainen (lokalisoituminen) että aaltomainen luonne.
Mitä kapeammalta aaltolukualueelta osa-aallot ovat, sitä leveämpi paketti. Jos aaltopaketissa on osa-aaltoja laajalta aaltolukualueelta, paketti on vastaavasti tarkemmin lokalisoitunut.
6
4. Kvanttimekaniikka
• Hiukkanen laatikossa
• Aaltofunktioiden muodostaminen ja normitus
• Potentiaalikuoppa
• Potentiaalivalli, tunneloituminen
• Harmoninen oskillaattori, molekyylien värähtely
• Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa
7
Hiukkanen laatikossa
Tässä luvussa tarkastellaan sidottujen tilojen kvanttimekaniikkaa. Tarkastellaan hiukkasia, jotka ovat vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa. Kappaleeseen vaikuttaa voima, ja voima ilmenee potentiaalienergiana U(x) Schrödingerin yhtälössä. Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen eli aaltofunktioiden ja energioiden selville saaminen ei ole niin suoraviivaista kuin vapaan hiukkasen tapauksessa, mutta kuitenkin mahdollista useiden potentiaalien tapauksessa. Tarkastelemme pääasiassa yksiulotteisia tilanteita.
Laatikkopotentiaalilla tarkoitetaan tilannetta, jossa hiukkanen on pakotettu liikkumaan tietyllä äärellisellä osalla x-akselia, jossa siihen ei vaikuta voimia eli U(x) = 0. Alueen ulkopuolella U(x) = .
Laatikon ulkopuolella eli kun x < 0 tai x > L Schrödingerin yhtälöllä on vain ratkaisu (x) = 0. Todennäköisyys löytää hiukkanen sieltä on 0, koska todennäköisyystiheys | (x) |2 = 0.
8
Laatikon sisällä eli kun 0 x L hiukkasen Schrödingerin yhtälö on
).()(
xEdx
xd
m
2
22
2
Tämä on vapaan hiukkasen yhtälö, mutta nyt tilanne poikkeaa aikaisemmasta reunaehtojen takia.
Jotta aaltofunktion itseisarvon neliö | (x) |2 voidaan tulkita todennäköisyysteheydeksi, aaltofunktion tulee täyttää seuraavat reunaehdot
• (x) on jatkuva funktio.• (x) = 0 alueilla, joissa hiukkanen ei voi liikkua.• (x) 0, kun x + ja x -.• (x) on normalisoituva funktio.
Jatkuvuusehto merkitsee laatikkopotentiaalin tapauksessa, että
ja 0kun 0 .,)( Lxxx
Selvästi vapaan hiukkasenratkaisut eikx ja e-ikx eivät toteuta tätä ehtoa. Entä niiden superpositio?
.)( ikxikx eAeAx 21
Eulerin kaavojen avulla tämä voidaan esittää muodossa
.sin cos
sincossincos
21 21
2 1
kxAAikxAA
kxikxAkxikxAx
)(
9
Reunaehdot alueiden rajoilla toteutuvat, kun kertoimetA1 ja A2 valitaan sopivasti. Pisteessä x = 0 saadaan
.2221 eli 00 AAAA
Tästä seuraa, että aaltofunktio on
,kxCkxiAx 1 sin sin 2
jossa tuntematon kompleksiluku 2iA1 on korvattu lyhyyden vuoksi kompleksiluvulla C.
Pisteessä x = L reunaehto on
.0sin kLCL
Tämä toteutuu silloin, kun sini sattuu olemaan 0 (C = 0 ei käy, sillä silloin aaltofunktio häviäisi kaikkialla). Sini häviää silloin, kun sen argumentti on jokin :n monikerta:
,...,,, 321 nnkL
Laatikkopotentiaalissa liikkuvan hiukkasen aaltoluku ja aineaallon aallonpituus voivat siis olla vain
,...,, 321 22
ja nn
L
kL
nk
Mahdollisia liikemääriä ovat siis
,...,, 321 2
nL
nhhp
nn
10
Laatikkopotentiaalissa hiukkasella voi olla seuraavat energiat:
,...,, 321 282 2
222
2
222
nmL
n
mL
hn
m
pE nn
Energiatasot laatikkopoten-tiaalissa
Näitä energiatasoja vastaavat aaltofunktiot ovat
,...,,, 321 L
sinsin
nxn
CkxCx
Kuvassa vasemmalla ovat viiden ensimmäisen tilan aaltofunktiot (ne piirretty selvyyden vuoksi päällekkäin; katkoviivat tarkoittavat aaltofunktion arvoa 0). Oikealla ovat näitä tiloja vastaavat energiatasot. Huomaa, että
.12EnEn
11
Aaltofuntioiden normittaminen
Aaltofunktioissa esiintyy kompleksinen vakio C. Se pitää valita niin, että todennäköisyystulkinnan asettama ehto
Normitusehto1(x) 2
dx
toteutuu. Tätä kutsutaan aaltofunktion normittamiseksi.
,12
))cos(21( 2
1
0sin C 0(x)
2
0
2
0
202
LC
L
xnCdx
dxL
xndxdxdx
L
L
L
josta seuraa C = (2/L)1/2. Voimme valita C:n reaaliseksi, jolloin normitetuiksi aaltofunktioiksi laatikon alueella 0 < x < L saadaan
,...,,, 321 L
sin2
nxn
Lx
Laatikkopotentiaalissa olevan hiukkasen aaltofunktio.
Laatikon ulkopuolella (x) = 0. Hiukkasen paikan todennäköisyysjakautuma saadaan laskemalla ||2.
Kuvassa on paikan tn-jakautuma laatikkopotentiaalin kolmen alimman energiatilan tapauksessa. Huomaa, että alinta tilaa lukuunottamatta laatikossa on kohtia, joissa hiukkanen ei ole koskaan.