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Quando dobbiamofare una sceltapossiamo usare ilcuore o la testa.Quando usiamo latesta, cerchiamodi valutare i van-

taggi e i costi delle diverse opzioni edi prevedere le loro conseguenze.Usare numeri e modelli matematiciper valutare e prevedere sembra unabuona strategia per garantire l’og-gettività delle scelte e massimizzarela probabilità di fare la scelta miglio-re, ma in realtà questa fiducia nei nu-meri e nei modelli matematici non èsempre ben riposta e la speranza divalutare oggettivamente è spessopriva di fondamento. Questo non si-gnifica che la Matematica non siauno strumento fondamentale al finedi operare scelte razionali ma ugual-mente bisogna essere consci dellesue limitazioni e del rischio che ven-ga utilizzata per mascherare respon-sabilità o interessi di chi è coinvoltoin tali scelte, invece che per aiutare achiarire in maniera razionale i termi-ni del problema.

Numeri per valutareLe nostre scelte dipendono spessodai numeri. Per esempio: se il pesocresce, comincio una dieta; se si pre-vede che la temperatura scenda, in-dosso vestiti pesanti; se il punteggioai test di orientamento sono bassi inalcune materie, evito la scelta di certicorsi di laurea; se il differenziale direndimento (spread) tra i BTP e i tito-li di stato tedeschi sale, il governo va-ra misure economiche straordinarie.È naturale cercare criteri sempliciche ci aiutino a compiere una scelta eun criterio numerico sembra essere ilpiù semplice e oggettivo possibile,ma non è sempre così. Una misura,come il peso o la temperatura, forni-sce un’informazione oggettiva ri-guardo ad una proprietà ben determi-nata di un oggetto, ma la situazione sifa più oscura quando i numeri non so-no il risultato di una misura oppurequando le misure sono molto impreci-se o così indirette che non si riescebene a capire cosa si stia misurando.Il numero trecento è uguale per tuttima, mentre 300 Kg è una misura og-gettiva di peso, un differenziale di

VALUTARE E SCEGLIERE:IL RUOLODELLA MATEMATICA

di Enrico Rogora

Enrico Rogora

Insegna Matematichecomplementari presso il Di-partimento di Matematicadell’Università “La Sapienza”di Roma. Si è occupato diGeometria algebrica e Teo-ria degli invarianti. I suoi at-tuali interessi di ricerca sonorivolti alla Storia della Ma-tematica italiana tra il Ri-sorgimento e la secondaguerra mondiale e alla cri-tica dei metodi di misura-zione psicometrici. Parteci-pa attivamente a program-mi di cooperazione scienti-fica con il Kenya e il Perù.È membro della CIIM.

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rendimento di 300 punti base tra iBTP a dieci anni e gli analoghi titoli distato tedeschi non è una misura diniente (si veda il box Finanza da le-gare. Manifesto degli economistisgomenti). Accade spesso di confon-dere numeri e misure e di non ren-dersi conto che misurare è un proce-dimento assai più complesso che as-segnare un numero.Quando utilizziamo un indice nume-rico come se fosse una misura com-piamo errori grossolani. Per esempio,dovrebbe risultare ormai chiaro a tut-ti come lo spread non sia in grado dimisurare compiutamente lo stato disalute di un’economia e che l’ideastessa di misurare lo stato dell’eco-nomia con un numero sia una perico-losa forzatura. Ancora, se diciamoche gli studenti che hanno sostenutoi test di ingresso a Medicina del 2012sono più bravi di quelli del 2013 per-ché la media del numero di risposteesatte è più elevata, non teniamoconto che la ragione potrebbe essereche le domande erano più facili einoltre: esiste davvero una abilità chesi possa pesare adeguatamente?

Nelle scienze sociali e nell’Economianon si possono definire misure direttecome peso e lunghezza e di conse-guenza neppure misure derivate co-me la temperatura. In questi ambiti sipossono al più definire, e con grandecautela, solo misure indirette che ven-gono stimate a partire dai dati utiliz-

zando modelli matematici che ipotiz-zano un legame tra le misure e i datiosservati (si veda a questo proposito ilbox Sui modelli statistici per l’analisidei test). È sempre necessario, quan-do si introducono misure indirette,verificare che i modelli utilizzati sianoin buon accordo con i dati e che le ipo-tesi del modello siano almeno appros-simativamente verificate. Altrimentile misure stimate perdono ogni signi-ficato. Questo costituisce un grave ri-schio per la trasparenza delle misureindirette, per esempio nelle valutazio-ni, perchè il controllo della loro qualitàe della loro significatività è delegata

nella migliore delle ipotesi a un grup-po di esperti e nella peggiore alla fidu-cia cieca in procedure automatiche.Un indice numerico può sempre es-sere utilizzato per formare delle gra-duatorie. Il punto è che le graduatorienon sono oggettive solo perché si ba-sano su indicatori numerici.Avere cieca fiducia nei numeri non èun atteggiamento razionale. È neces-sario un approccio critico che si in-terroghi sul significato e sulle pro-prietà degli indici numerici e sulla fi-ducia che diamo ai modelli matema-tici e alle misure indirette che da es-si vengono tratte.

Discutiamone

Accade spessodi confondere numerie misure e di non rendersiconto che misurareè un procedimentoassai più complessoche assegnare un numero.Quando utilizziamoun indice numerico comese fosse una misuracompiamo errorigrossolani.

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Finanza da legare.Manifesto degli economisti sgomenti(http://www.atterres.org/page/manifeste-déconomistes-atterrés)

Secondo i sostenitori della teoria dei mercati finanziari efficienti, gli operatorianalizzano oggettivamente la condizione delle finanze pubbliche al fine di va-lutare il rischio dell’acquisto di titoli di stato. Prendiamo il caso del debito gre-co: gli operatori finanziari e i governanti si basano esclusivamente su valuta-zioni di tipo finanziario per giudicare il rischio dei titoli di stato. Così, quandoil tasso di interesse richiesto per il debito greco è aumentato sino a più del 10%,ognuno ha concluso che il rischio di default (insolvenza) fosse alto: se gli in-vestitori stavano chiedendo un premio per il rischio così elevato, allora il peri-colo doveva essere estremo.Tuttavia, questo è un grave errore se consideriamo la natura effettiva delle va-lutazioni del mercato finanziario. Non essendo efficiente, quest’ultimo deter-mina molto spesso prezzi completamente disconnessi dai valori fondamentali.In queste circostanze, è irragionevole fare affidamento solo sulle stime del mer-cato finanziario per valutare la situazione. Stimare il valore di un titolo finan-ziario non è infatti una operazione paragonabile a quella di misurare una gran-dezza oggettiva come, per esempio, il peso di un oggetto. Un titolo finanzia-rio è un diritto ai rendimenti futuri di quello stesso titolo: al fine di darne una va-lutazione, è necessario prevedere tali rendimenti. Si tratta di una valutazionesoggettiva, non di una misura oggettiva, poiché nell’istante t, il futuro non è pre-determinato in alcun modo. La valutazione si basa su ciò che gli operatori fi-nanziari si attendono per quel futuro. Il prezzo di un titolo è il risultato di unaprevisione, una convinzione, una scommessa: non c’è garanzia che il giudi-zio del mercato sia in alcun modo migliore di altre forme di giudizio.In particolare, la valutazione finanziaria non è neutrale; essa incide sull’og-getto che dovrebbe misurare, contribuendo a creare il futuro che ha immagi-nato. Così, le agenzie di valutazione dei rischi finanziari contribuiscono in lar-ga parte a determinare i tassi d’interesse sul mercato dei titoli assegnando va-lutazioni fortemente soggettive, spinte dal desiderio di alimentare l’instabilità,fonte di profitti speculativi. Quando le agenzie abbassano il rating di uno Sta-to, aumentano il tasso di interesse richiesto dagli investitori per acquistare i suoititoli del debito pubblico e aumentano così il rischio di bancarotta che essestesse avevano dichiarato.

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Usi e abusi dei modelli matematiciDalle previsioni del tempo ai sistemidi controllo per il volo automatico,dalla valutazione dei rischi degli in-vestimenti finanziari alla progetta-zione delle piattaforme petrolifere,dai sistemi per il riconoscimento del-la voce alle indagini dei RIS, sono in-numerevoli gli esempi di applicazio-ni di modelli matematici che hannoprofonde implicazioni nella vita quo-tidiana. Interrogarsi su usi e abusidei modelli matematici e sulla fiduciache poniamo nelle loro previsioni èimportante per avere una maggioreconsapevolezza su molte questionifondamentali da cui dipende il nostro

futuro: le politiche o l’assenza di poli-tiche economiche e finanziarie, le po-litiche o l’assenza di politiche am-bientali ed energetiche ecc.Le modalità d’impiego dei modelli ma-tematici sono molteplici. La più fami-liareèquelladisimulare l’evoluzionedialcune grandezze al fine di progettare(ponti, aeroplani,piattaformepetrolife-re ecc.) o di prevedere (il tempo atmo-sferico, l’andamentodeimercati finan-ziari, il fabbisogno energetico ecc.).Sono importanti anche le applicazionialla stima di variabili nascoste di cuiabbiamo accennato nel paragrafo pre-cedente, per esempio con l’uso di mo-delli per stimare misure indirette.

Al crescere della complessità dellarealtà da modellare, un modello è ingrado di offrire descrizioni sempremeno dettagliate ma non per questomeno utili. Bisogna rinunciare allaprevedibilità dei dettagli minuti di unfenomeno e limitarsi ad utilizzare ilmodello per prevedere solo alcunitratti salienti che, in un buon model-lo, sono quelli che interessano perpianificare un intervento o prenderedelle decisioni. È chiaro inoltre chel’affidabilità delle previsioni sarà tan-to minore quanto più si cerca di guar-dare in là nel futuro. Previsioni basa-te su modelli matematici stannosempre più condizionando la nostravita quotidiana. Quale affidabilitàhanno queste previsioni e fino a chepunto è saggio tenerne conto? Giànell’ambito delle previsioni meteoro-logiche sappiamo che si possono ve-rificare situazioni in cui la discrepan-za tra le previsioni del modello e la re-altà porta a conseguenze rilevanti.Per esempio, la previsione di un pe-riodo di brutto tempo in certe aree haportato al crollo delle prenotazioni tu-ristiche, con rilevanti danni econo-mici non sempre giustificati dalle ef-fettive condizioni atmosferiche chesi sono poi manifestate. Esempi an-cora più macroscopici del costo diprevisioni sbagliate si hanno in am-bito economico, dove le risposte deimercati alle previsioni del modellohanno enormi ripercussioni sulla re-altà economica (si veda ancora il boxFinanza da legare. Manifesto deglieconomisti sgomenti).

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Sui modelli statistici per l’analisi dei test

L’uso dei test a risposta multipla è ormai diffuso anche in Italia: per l’ammis-sione all’Università, per la verifica delle competenze nella scuola, per l’am-missione al Tirocinio Formativo Attivo (TFA) ecc. Essi vengono spesso presen-tati come strumenti efficaci per misurare la preparazione degli studenti.La parola misura evoca l’oggettività delle misure della Fisica come il peso o l’al-tezza. Per definire misure fondamentali come queste, è necessario poter conca-tenare gli oggetti misurabili in maniera tale che la misura della concatenazionedi A con B sia la somma della misura di A con la misura di B. Tutte le misure del-la Fisica si possono derivare da un piccolo numero di misure fondamentali.Nelle scienze sociali e nelle scienze dell’educazione non possono esistere mi-sure fondamentali e quindi neppure misure derivate, perché non esistono ma-niere sensate per definire l’operazione di concatenazione. La teoria modernadella misurazione ammette però la possibilità di definire delle misure impliciteattraverso l’uso di modelli probabilistici.In un test a risposta multipla per esempio, se vogliamo misurare la difficoltà del-le domande, non basta contare il numero degli studenti che rispondono cor-rettamente alle domande che vengono poste in quanto questo numero dipen-de anche dalla abilità degli studenti e bisogna trovare un modo per separarela difficoltà dall’abilità. Ciò è possibile ipotizzando un modello probabilisticoche leghi il dato grezzo delle risposte esatte alla difficoltà di delle domande eall’abilità bj degli studenti. Il più semplice di tali modelli, il modello di Rasch,ipotizza che la probabilità che uno studente di abilità bj risponda correttamentead una domanda di difficoltà di sia:

p=e(bj-di)/(1+ e(bj-di)).

Partendo da un modello come questo, possiamo stimare la difficoltà delle do-mande e l’abilità degli studenti. Se il modello ipotizzato è in buon accordo coni dati, le quantità stimate possono rappresentare misure significative; altrimentisono prive di senso. Inoltre, anche se il modello è in buon accordo con i dati,le misure sono stimate con un’incertezza che è in generale ben più grande diquella che siamo abituati a considerare nelle misurazioni dirette della Fisica.Infine, le misure implicite riguardano sempre variabili nascoste e quindi, per lo-ro natura, non ben definite.

Le modalità d’impiegodei modelli matematicisono molteplici. La piùfamiliare è quelladi simulare l’evoluzionedi alcune grandezzeal fine di progettare(ponti, aeroplani,piattaforme petrolifereecc.) o di prevedere(il tempo atmosferico,l’andamento dei mercatifinanziari, il fabbisognoenergetico ecc.).

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È vero che Daniel Bernoulli nel 1760scriveva (come introduzione ad unsuo modello matematico sulla diffu-sione del vaiolo) che, “quando si de-vono prendere decisioni che hanno ache fare con il benessere dell’uomo,nessuna decisione dovrebbe esserepresa senza la conoscenza che l’ana-lisi e il calcolo possono fornire”. Ber-noulli non suggerisce però di usare laMatematica per eliminare la respon-sabilità delle scelte ma semplice-mente di non trascurare, ogni voltache sia possibile, gli elementi cheemergono dall’analisi di un modellomatematico per poter compiere scel-te più responsabili.In molti contesti affidarsi alle previ-sioni di un modello può comportarecosti elevati per fronteggiare feno-meni trascurabili, come è successocon le previsioni sulla diffusione

della SARS nei Paesi occidentali percui sono state spese ingenti risorseper l’acquisto di vaccini inutilizzati.Questi “falsi allarmi” (e forse, talvol-ta, “procurati allarmi”) hanno la con-seguenza di giustificare la sottova-

lutazione dei segnali allarmanti pre-visti da altri modelli come quelli

sull’esaurimento delle risorseplanetarie o sulla non sosteni-

bilità delle nostre economie.Ma, allora, alle previsioni diquali modelli dobbiamocredere o addirittura chesenso ha prestare fede al-le previsioni di un mo-dello matematico?Le previsioni di un mo-dello matematico nonsono oggettive ma opi-nabili e dovrebbero es-sere considerate e di-scusse come opinioni:razionali, trasparenti, lo-

giche, almeno per chi co-nosce a grandi linee come

funziona il modello, masempre opinioni e non verità

assolute. Le previsioni di unmodello matematico possono

essere di grande aiuto per chiarirei termini delle problematiche che sidevono affrontare, per rendere piùrazionale la discussione e più condi-vise le scelte ma non possono e nondevono sostituire chi deve assume-re la responsabilità di una decisio-ne. Si deve sempre tener presenteche l’impiego di un modello mate-matico può rendere più trasparenteuna scelta se il significato generaledel modello e delle sue limitazioni so-no ben compresi; altrimenti, diven-tano facilmente strumenti nelle ma-ni di chi vuole condizionare tali scel-te. È dovere dei matematici e degliscienziati denunciare l’irresponsabi-lità che spesso si osserva nell’uso deinumeri, dei modelli matematici, del-la statistica ecc. in nome di un idea-le di oggettività che è profondamen-te antiscientifico. Le scelte non pos-sono e non devono essere oggettive,ma responsabili e trasparenti. Nelnostro Paese le scelte sono spessopoco trasparenti e strumentalizzate,ma l’alternativa di renderle automa-tiche basandole su indici numerici oprevisioni di modelli mal conosciutie mal adattati può rivelarsi una curapeggiore del male.

Discutiamone

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Le previsioni diun modello matematiconon sono oggettive maopinabili e dovrebberoessere considerate ediscusse come opinioni:razionali, trasparenti,logiche, almeno per chiconosce a grandi lineecome funziona il modello,ma sempre opinioni enon verità assolute.

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