valores y vectores

OBJETIVOS.

General.

Obtención de valores propios para luego obtener los vectores propios tanto en el campo Real como Complejo y aplicaciones de una forma correcta.

Específicos.

Obtener valores propios reales y complejos para su correcta utilización en vectores propios.

Estructurar la matriz P para calcula la potencia n-ésima de una matriz

Concepto de matriz unitaria y hermitiana.

Diagonalizar las matrices.

ÍndiceOBJETIVOS..........................................................................................................................................0

General...........................................................................................................................................0

Específicos......................................................................................................................................0

1. VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS..................................................................................2

1.1. Valores propios y vectores propios....................................................................................2

Definición:..................................................................................................................................2

Determinación de los valores y vectores característicos............................................................2

Pasos para determinar los valores y vectores característicos....................................................3

Ejemplos:....................................................................................................................................4

Valores propios complejos.........................................................................................................7

Ejemplos.....................................................................................................................................7

Espacios característicos..............................................................................................................8

Valores característicos para matrices triangulares...................................................................10

1.2. Diagonalización de matrices.............................................................................................10

Pasos para la Diagonalizacion de matrices...............................................................................11

Matrices cuyos valores propios no son distintos......................................................................12

1.3. Matrices simétricas y diagonalización ortogonal..............................................................12

Propiedad de las matrices simétricas.......................................................................................12

Propiedad de las matrices ortogonales....................................................................................13

Diagonalización Ortogonal.......................................................................................................13

Pasos para diagonalizar ortogonalmente una matriz simetrica................................................14

1.4. Potencias de matrices. Ecuaciones en diferencias............................................................14

1.5. Matrices unitarias y matrices hermitianas........................................................................14

Matrices unitarias.....................................................................................................................14

Matrices hermitiana.................................................................................................................15

Los valores característicos de una matriz de Hermite..............................................................15

Matrices diagonalizables Unitariamente..................................................................................16

Vectores característicos de una matriz hermitiana..................................................................16

1.6. Aplicaciones: Crecimiento de una población....................................................................17

1.7. Aplicaciones. Formas cuadráticas.....................................................................................17

Valores y Vectores CaracterísticosPágina 1

1. VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS

1.1. Valores propios y vectores propios

Los términos valor característico y vector característico corresponden a los términos eigenvalor y eigenvector, derivados del termino alemán Eigenwert curo significado es “valor propio”.

A x = λ x

Definición:Un vector propio de una matriz A de n x n es un vector diferente de cero tal que Ax = x para λalgún escalar . Un escalar se llama valor propio si existe una solución no trivial x de Ax = λ λ

x; una x como esta se denomina λ vector propio correspondiente.1

Determinación de los valores y vectores característicos.

Para determinar los valores y vectores característicos de una matriz A, n x n sea I la matriz identidad n x n. Al escribir la ecuación Ax = λx en la forma λIx = Ax se obtiene:

( λI−A ) x=0

1 Observe que, por definición un vector propio dese ser distinto de cero, pero un valor propio si puede ser cero.


Este sistema homogéneo de ecuaciones tiene soluciones diferentes de cero sí y sólo si la matriz de coeficientes ( λI−A ) no es invertible; es decir, sí y sólo si el determinante de ( λI−A ) es cero. Por tanto, se puede establecer el siguiente teorema.

La ecuación det( λI−A )=0 se llama ecuación característica de A. además, cuando se desarrolla en forma de polinomio, este

( λI−A )=λn+cn−1 λn−1+⋯ c1 λ+c0

Se llama polinomio característico de A. Esta definición establece que los valores característicos de una matriz A n x n corresponden a las raíces del polinomio característico de A. Debido a que el grado del polinomio característico de A es igual a n, entonces A de tener cuando mucho a valores característicos distintos.

Veamos explícitamente el polinomio característico para matrices de orden 2 y 3:

Si n= 2, entonces:

∆ A ( λ )=λ2−(a11+a22 ) λ+|a11 a12a21 a22|

Mientras que si n=3 entonces:

∆ A ( λ )=λ3−(a11+a22+a33) λ2+ (M 11+M 22+M 33 ) λ−|a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

|Pasos para determinar los valores y vectores característicos.Sea A una matriz de n x n:

1. Forme la ecuación característica de A es un escalar tal que detλ ( λI−A )=0. Será una

ecuación polinomial de grado n en la variable λ.


Teorema. Valores característicos y vectores característicos de una matriz

Sea A una matriz de n x n:

1. Un valor característico de A es un escalar tal que detλ ( λI−A )=02. Los vectores característicos de A correspondiente a , son las soluciones diferentes λ

de cero de ( λI−A ) x=0

2. Determine las raíces reales de la ecuación característica. Estas son los valores característicos de A.

3. Para todo valor característico , determine los valores característicosλ

correspondientes a , al resolver el sistema homogéneo λ ( I λi−A )x=0. Para llevar a

cabo lo anterior se requiere reducir por renglones una matriz n x n. La forma resultante escalonada reducida debe contener por lo menos un renglón de ceros.

Ejemplos: números reales.

1. A=[4 1 −12 5 −21 1 2 ]

1. Ecuación característica:

∆ A ( λ )=λ3−(4+5+2 ) λ2+(12+9+18 ) λ−|4 1 −12 5 −21 1 2 |

∆ A ( λ )=λ3−11 λ2+39 λ−45

2. Obtención de los valores propios:

( λ−3 ) (λ2−8 λ+15 )( λ−3 ) ( λ−3 ) ( λ−5 )=( λ−3 )2 ( λ−5 )

3. Obtención de vectores propios:

Con λ= 3

A=[1 1 −12 2 −21 1 −1][

xyz ]=[ t−r

rt ]

de donde :r [−110 ] t [101]Con λ= 5


A=[−1 1 −12 0 −21 1 −3] [

xyz ]=[ t2tt ]

de donde : t [121]Vectores propios: v⃗1=(−1,1,0 ) , v⃗2=(1,0,1 ) , v⃗3=(1,2,1 )

2. A=[1 25 4 ]


∆ A ( λ )=λ2−(1+4 ) λ+|1 25 4|

∆ A ( λ )=λ2−5 λ−6


( λ−6 ) ( λ+1 )


Con λ= 6

A=[−5 25 −2][ xy ]=[ 25t t ]

de donde :25t [152 ]

Con λ= −1


A=[2 25 5 ][ xy ]=[−t

t ]de donde : t [−11 ]Vectores propios: v⃗1=(1 , 52 ) , v⃗2=(−1,1 , )

3. A=[2 −121 −5 ]


∆ A ( λ )=λ2−(2−5 ) λ+|2 −121 −5 |

∆ A ( λ )=λ2+3 λ+2


( λ+2 ) ( λ+1 )


Con λ= −2

A=[4 −121 −1 ] [ xy ]=[00]

donde queda :[00]Valores y Vectores Característicos

Página 6

Con λ= −1

A=[3 −121 −4 ][ xy ]=[4 tt ]

de donde : t [41 ]Vectores propios: v⃗1=(0,0 ) v⃗2=(4,1 )

Valores propios complejos

La teoría de valor propio –vector propio ya desarrollada para Rn se aplica igualmente bien a

Cn. De manera que un escalar complejo satisface det λ ( λI−A )=0 sí, y sólo si, hay un vector x

diferente de cero en Cntal que Ax=λxAλ se le denomina valor propio complejo y a x vector propio complejo correspondiente a .λ

Ejemplos. Números complejos

4. A=[0 −11 0 ]


∆ A ( λ )=λ2−(+0 ) λ+|0 −11 0 |

∆ A ( λ )=λ2+1


( λ+ i) ( λ−i )



Con λ= i

A=[−i −11 −i ] [ xy]=[¿t ]

de donde : t [ i1]=i [ 1−i ]Con λ= −i

A=[ i −11 i ] [ xy ]=[−¿

t ]

de donde : t [−i1 ]=−i [1i ]

Vectores propios: v⃗1=(1 ,−i ) v⃗2=(1 ,i )

5. ¿ [5 −13 1 ]


∆ A ( λ )=λ2−(5+1 ) λ+|5 −13 1 |

∆ A ( λ )=λ2+2λ+8


( λ+1−7 i )¿


Con λ=−1+7 i


A=[6−7 i −13 2−7 i ] [ xy ]=[¿t ]

de donde : t [ i1]=i [ 1−i ]Con λ= −i

A=[ i −11 i ] [ xy ]=[−¿

t ]

de donde : t [−i1 ]=−i [1i ]

Vectores propios: v⃗1=(1 ,−i ) v⃗2=(1 ,i )

Espacios característicos.

De hecho si A es una matriz de n x n con un valor característico , entonces su suma también λes un vector característico correspondiente a , porque:λ

A (cx )=c ( Ax )=c ( λx )=λ (cx )

También es cierto que si x1 y x2 son vectores característicos correspondientes al mismo valor

característico , entonces su suma también es u vector característico correspondiente a , λ λporque:

A ¿

En otras palabras, el conjunto de todos los vectores característicos de un valor característico λ dado, junto con el vector cero, es un subespacio de Rn. Este subespacio especial de Rn se llama espacio característico de .λ


Teorema. Los Vectores característicos de forman un espacioλ

Si A es una matriz de n x n con un valor característico , entonces el conjunto de todos losλ vectores característicos de , junto con el vector cero,λ

(0 )∪ ( x : x esun vector característico de λ )

Es un subespacio de Rn. Este subespacio se llama espacio característico de λ

Teorema. Sv1 ,⋯ vn ,i son vectores propios que corresponden a distintos valores

propios λ1 ,⋯ λn , de una matriz A de n x n, entonces el conjunto {v1 ,⋯ vn }, es

linealmente independiente

Demostración:

Suponga que {v1 ,⋯ vr }es linealmente dependiente. Como v1 es distinto de cero, el teorema

establece que uno de los vectores presente en el conjunto es una combinación lineal delos

vectores precedentes. Sea p el índice del mínimo tal que v p+1 es una combinación lineal de los

vectores precedentes (linealmente independientes. Entonces existen escalares c1 ,⋯ cn ,tales

que:

c1 v1+⋯+c p v p=v p+1 (5 )

Si se multiplican ambos lados de (5) por A y se usa el hecho de que aA vk= λk vk para cada k, se

obtiene

c1 A v1+⋯+c p A v p=Av p+1

c1 λ1 v1+⋯+c p λp v p= λp+1 vp+1 (6 )

Si se multiplican ambos lados de (5) por λ p+1 y se resta el resultado a (6), se tiene

c1 ( λ1− λp+1 ) v1+⋯+cp (λ p−λ p+1 )v p=0 (7 )

Como {v1 ,⋯ v p } es linealmente independiente, los pesos en (7) son todos iguales a cero. Pero

ninguno de los factores (λ i−λ p+1 ), es cero, porque los valores propios son distintos. De aquí

que c i=0 para i=0 ,⋯ , p .Pero entonces (5) proclama v p+1=0, lo cual es imposible. Por lo

tanto {v1 ,⋯ v p } no puede ser linealmente dependiente y, por lo tanto, debe ser linealmente

independiente.

Valores característicos para matrices triangulares

Si A es una matriz triangular n x n, entonces sus valores característicos son sus elementos de la diagonal principal.


Ejemplo.

A=[ 2 0 0−1 1 05 3 −3]

Los valores propios:

A=[2− λ 0 0−1 1−λ 05 3 −3− λ]

Entonces los valores propios serían los mismos elementos de la diagonal principal.

1.2. Diagonalización de matrices.

Se dice que una matriz cuadrada A es diagonalizable, si A es semejante a una matriz diagonal, eso es, si A=PDP−1 para alguna matriz P invertible y alguna matriz diagonal D.

En otras palabras, a es diagonalizable sí y sólo si, hay suficientes vectores propios para formar una base de Rn. A una base de este tipo se le denomina base de vectores propios

Demostración.Primero, observe que si P es cualquier matriz de n x n con columnas v1 ,⋯ vn , y si D es

cualquier matriz diagonal con entradas diagonales λ1 ,⋯ λn , entoces:

AP=[ v1 v2⋯ vn ]=[ Av1 Av2⋯ Avn ] (1 )

Mientras que


Teorema de la diagonalización

Una matriz A de n x n sí y sólo si, A tienen n vectores propios linealmente independientes.

De hecho, A=PDP−1 con D como una matriz diagonal, sí y sólo si las columnas de P son n vectores propios de A linealmente independientes. En este caso, las entradas diagonales de D son valores propios de A que corresponden, respectivamente a los vectores propios de P.

PD=P[ λ1 0⋯ 00 λ2⋯ 0⋮ ⋮ ⋮0 0⋯ λn

]=[ λ1 v1 λ2 v2⋯ λn vn ] (2 )

Ahora suponga que A es diagonalizable e igual a PDP−1. Entonces al multiplicar por la derecha esta relación por P se tendrá AP = Pd. En este caso (1) y (2) implican que

[ Av1 Av2⋯ Avn ]=[ λ1 v1 λ2 v2⋯ λn v n ] (3 )

Igualando columnas, se encuentran que

[ Av1=λ1 v1 Av2=λ2 v2⋯ Avn=λn vn ] (4 )

Como P es invertible, sus columnas v1 ,⋯ vn ,deben ser linealmente independientes. También,

como estas columnas son diferentes de cero (4) muestra que λ1 ,⋯ λn , son valores propios y

que v1 ,⋯ vn ,son los vectores propios correspondientes. Este argumento demuestra las partes

“sólo si” del primero, segundo y tercer enunciado del teorema.

Pasos para la Diagonalizacion de matrices.

1. Encontrar los valores propios de la matriz A n x n.2. Encontrar los vectores propios de A linealmente independientes.3. Estructurar P a partir de los vectores del paso 2.4. Estructurar D a partir de los valores propios correspondientes.

Condición suficiente para que una matriz sea diagonalizable.

Demostración. Sea v1 ,⋯ vn , los vectores propios correspondientes a los n valores propios distintos de una

matriz A. entonces {v1 ,⋯ vn } es linealmente independiente.

Para ser diagonalizable, no es necesario que una matriz n x n tenga valores propios distintos.

Matrices cuyos valores propios no son distintos

Si una matriz S de n x n tiene n valores distintos, con vectores propios correspondientes

{v1 ,⋯ vn } y si P = {v1 ,⋯ vn }, entonces P es automáticamente invertible porque sus columnas


Teorema: Una matriz de orden n x n con n valores propios distintos es diagonalizable

son linealmente independientes,}. Cuando A es diagonalizable, pero tiene menos de n valores propios distintos, aún es posible estructurar a P de alguna forma que la vuelva automáticamente invertible.

1.3. Matrices simétricas y diagonalización ortogonal.

Propiedad de las matrices simétricas

Sea A una matriz simétrica2 n x n λ1 y λ2 son valores característicos distintos de A entonces sus

vectores característicos correspondientes x1 y x2 son ortogonales.

Demostración.

Sean λ1 y λ2 valores característicos distintos de A con vectores característicos

correspondientes a x1 y x2. Así A x1=λ1 x1 y A x2=λ2 x2.

x1 . x2=[ x11 x12⋯ x1n ] [ x21x22⋮x2n

]=x1´ x2

Ahora se puede escribir

λ1 (x1+x2)=(λ1 x1 ) . x2

2 Entonces 0 es un valor propio de A, sí y sólo si A no es invertible (C.Lay, 2007).


Teorema. Sea A una matriz de n x n cuyos valores propios distintos son λ1 ,⋯ λp .

a. Para 1≤k≤ p , la dimensión del espacio propio para λk es menor o igual que la multiplicidad

de valorλk .

b. La matriz A es diagonalizable si, y sólo si la suma delas dimensiones de los distintos espacios propis es igual a n, y esto sucede si, y sólo si, la dimensión del espacio propio para cada λk es

igual a la multiplicidad de λk.

c. Si A es diagonalizable y Bk es una base para el espacio correspondiente a λk para cada k,

entonces la colección total de vectores en los conjuntos B1 ,⋯B p .forma una base de vectores

propios para Rn

¿ ( A x1 ) . x2

¿ ( A x1 )´ x2

¿ (x1´ A ´ ) x2

¿ (x1´ A ) x2

¿ x1´ ( A x2 )

¿ x1´ ( λ2 x2 )

¿ x1 . (λ2 x2 )=λ2 (x1 . x2 ) .

Esto implica que (λ1−λ2 ) (x1 . x2 )=0 y λ1≠ λ2 se concluye que x1 . x2=0.Por tanto consiguiente

x1 y x2 son ortogonales.

Propiedad de las matrices ortogonales

Una matriz P n x n es si y sólo si, sus vectores columnas forman un conjunto ortonormal.

Diagonalización Ortogonal

Una matriz es diagonalizable ortogonalmente si existe una matriz ortogonal P tal que

P−1 AP=D es diagonal. El siguiente teorema que el conjunto de matrices diagonalizables

ortogonalmente es precisamente el conjunto de matrices simétricas.

Demostración.Se supone que A es diagonalizable ortogonalmente, entonces existe una matriz ortogonal P tal que

D=P−1 APes diagonal. Además como P−1=P t, se tiene

A=PDP−1=PDP t


Teorema. Fundamental de las matrices simétricas.

Sea A una matriz de n x n es diagonalizable ortogonalmente y tiene valores característicos reales sí y sólo si, A es simétrica

Lo cual implica que

At=(P DPt )t=((P t )tDt )Pt=PDPt=A

Por consiguiente, A es simétrica.

Pasos para diagonalizar ortogonalmente una matriz simetrica.

Sea A una matriz simétrica n x n.

1. Determine todos los valores característicos de A y la multiplicidad de cada uno.2. Par cada valor característico de multiplicidad 1, elija un vector característico unitario.

(Elija cualquier vector característico y después normalícelo)3. Para cada valor característico de multiplicidad k ≥2, encuentre un conjunto de k

vectores característicos linealmente independientes. Si este conjunto no es ortonormal, aplique el método de ortonormalización de Gram-Schmich.

4. La composición de los pasos 2 y 3 da un conjunto ortnormal de n vectores característicos. Use estos vectores característicos para formar las columnas de P. La matriz P−1 AP=Pt AP=Dsera diagonal. (Los elementos en la diagonal principal de D son los vectores característicos de A).

1.4. Potencias de matrices. Ecuaciones en diferencias.

1.5. Matrices unitarias y matrices hermitianas.

Matrices unitarias

Una matriz real A es ortogonal si y solo A−1=A t. Enel sistema complejo las matrices que

tienen la pripiedad de A−1=A¿ son mas utiles y se denomina matrices unitarias

Definicion.Una matriz compleja A se denomina unitaria si:

A−1=A¿


Teorema. Matrices unitarias

Una matriz compleja A n x n es unitaria sí y solo si sus vectores renglón(o columna)forman un conjunto ortonormal en Cn

Matrices hermitiana

Una matriz real se denomina simétrica si es igual a su propia transpuesta. En el sistema complejo, el tipo más útil de matriz es aquel que es igual a su propia transpuesta conjugada.

Definición.

Se dice que una matriz a es hermitiana si

A=A¿

Los valores característicos de una matriz de Hermite

Si A es una matriz Hermite, entonces sus valores característicos son números reales.

Demostración.Si es un valor característico de A yλ

v=(a1+b1i , a2+b2 i⋯ an+bn i)

Es un vector característico correspondiente, entonces

Av=λv

Al multiplicar ambos lados de esta ecuación por v¿ se tiene

v¿Av=v¿ ( λv )=λ ( v¿v )=λ (a12+b12+a22+b22⋯ an2+bn

2 )

Número real

Luego, como

( v¿Av )¿=v¿ A¿ (v¿ )¿=v¿Av

Se concluye que v¿Aves una. Matriz hermitiana de 1 x 1, v¿Aves un número entonces es posible concluir que λ es real.

Matrices diagonalizables Unitariamente


Si A es una matriz hermitiana n x n, entonces

1. A es diagonalizable unitariamente y2. A tiene un conjunto de N vectores característicos ortonormales.

Vectores característicos de una matriz hermitiana

Si A e suma matriz hermitiana con vectores característicos v1 y v2correspondientes a distintos

valores característicos λ1 y λ2, entonces v1 y v2 son ortogonales. Es decir,

v1 . v2=0

1.6. Aplicaciones: Crecimiento de una población.La matriz L sellamamatriz de Leslie. En genral, si se tiene una polacion con calsesetareas de igual duración, L será una matriz de n x n con la siguiente estructura


Comparación de las matrices hermitianas y las matrices Unitarias

A es una matriz simétrica real

1. Los valores característicos de A son reales

2. Los vectores característicos correspondientes a valores correspondientes distintitos son ortogonales.

3. Existe una matriz unitaria tal que

Pt APEs diagonal

A es una matriz hermitiana compleja

1. Los valores característicos de A son reales.

2. Los vectores característicos correspondientes a valores correspondientes distintitos son ortogonales

3. Existe una matriz unitaria tal que

P¿ APEs diagonal.

1.7. Aplicaciones. Formas cuadráticas.


valores y vectores

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