valor esperado de una v. a

Introducción a la Probabilidad, los Procesos Estocásticos y la Estadística en Ingeniería

Rafael Díaz Página 4-1 20/10/03

CAPÍTULO 4Valor Esperado de una Variable Aleatoria

Contenido del Capítulo

4.1) INTRODUCCIÓN.

4.2) VALOR ESPERADO.4.2.1) Definición.4.2.2) Propiedades.4.2.3) Ejemplos.

4.3) VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR.4.2.1) Definiciones.4.2.2) Propiedades.4.2.3) Ejemplos.

4.4) VALOR ESPERADO CONDICIONAL.

4.5) MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA.

4.6) FUNCIÓN GENERADORA DE MOMENTOS.

4.7) FUNCIÓN CARACTERÍSTICA.

4.8) FUNCIÓN GENERADORA DE PROBABILIDADES.

4.9) INECUACIÓN DE CHEVYSHEV.

4.10) PROBLEMAS PROPUESTOS.



4.1) INTRODUCCIÓN.

Las funciones de distribución y de densidad de una variable aleatoria permiten elcálculo de probabilidades asociadas a eventos descritos en términos de intervalos denúmeros reales. Estas funciones encierran otras informaciones de mucho interéspara entender aún más el significado de la relación establecida entre el espaciomuestral del experimento y la correspondiente variable aleatoria y, en definitiva,explicar el carácter estocástico de los experimentos aleatorios.

La base de estas nuevas informaciones es el concepto de valor esperado.

4.2) VALOR ESPERADO.

Cuando se realiza un experimento determinista el resultado del experimento esúnico en contraposición con un experimento aleatorio en el cual existen un intervalode valores, según la variable aleatoria definida, donde es posible que ocurracualquier resultado. En ocasiones, por simplicidad, se aproxima la forma de explicarun experimento aleatorio en términos de un experimento determinista pero con ladificultad de no tener argumentos suficientes para escoger el resultado único que seasociaría al experimento determinista. El conocimiento del concepto de valoresperado ayuda a eliminar la dificultad planteada.

4.2.1) Definición.

Definición 4.1: El valor esperado de una variable aleatoria es su valor medio.♦♦

Notas: - El valor esperado de una variable aleatoria se denotará por E(X).Se colocará entre paréntesis el nombre de la variable aleatoria alque se le está calculando el valor esperado.

- El valor esperado es un número. Ese número pertenece alconjunto cuyos extremos son el mínimo valor y el máximo valorque toma la variable aleatoria.

- El valor esperado de una variable aleatoria se calcula utilizandola Ecuación 4.1.

- En el caso particular de una variable aleatoria discreta laEcuación 4.1 se simplifica como lo indica la Ecuación 4.2.

- La Ecuación 4.2 indica que el valor esperado de una variablediscreta es el promedio ponderado de sus valores.

∫∞

∞−

= dxxxfXE X )()( (ec. 4.1)

∑∫ ∑∫=

∞

∞− =

∞

∞−

==

−===

n

iii

n

iiiX xXPxdxxxxXPxdxxxfXE

11

}{)(}{)()( δ (ec. 4.2)



La estructura de la Ecuación 4.1 se presenta en otros contextos, como por ejemploen Mecánica, donde la función de densidad de probabilidades tiene el sentido de ladistribución de la masa a lo largo de un eje y el valor esperado se corresponde con elcentro de esa masa.

En el contexto de la teoría de probabilidades una variable aleatoria estará definidaen un cierto intervalo cuyo “centro” es su valor esperado. En este sentido, se podríadecir que el experimento aleatorio está definido alrededor del valor esperado y laponderación de cada uno de los posibles resultados viene dada en términos del valorde la función de densidad correspondiente en cada punto. El concepto del valoresperado permite aglutinar en un número los aportes ponderados de cada uno de losposibles resultados del experimento.

Ejemplo 4.1: Sea el experimento de lanzar una moneda para el cual se define lavariable aleatoria Y dada por { }1)(,0)(/: ==→ caraYselloYRSY . La asignaciónde probabilidades, en general, será P{Y = 1} = p, P{Y = 0} = 1 – p. Hallar el valoresperado de Y.

Según la Ecuación 4.2 se tiene que E(Y) = 0xP{Y = 0}+1xP{Y = 1} = p.

Note que el resultado no coincide con ninguno de los valores que puede tomar lavariable Y, pero es un valor en el intervalo (0,1).

♦♦

Ejemplo 4.2: Sea una variable aleatoria T cuya función de densidad deprobabilidades viene dada por el resultado del Ejemplo 3.15. Hallar el valoresperado de T.

Del Ejemplo 3.15 se concluyó que

>

≤≤

<

==

max

maxmax

TT

Tt

TtT

t

tFdt

dtf

si ,0

0 si ,1

0 si 0,

)()(

Según la Ecuación 4.1 se tiene que

22)()(

0

2

0

max

T

max

T

maxT

T

T

tdt

T

tdtttfTE

maxmax

==== ∫∫∞

∞−

.

Note que el resultado es un valor en el intervalo (0, Tmax).♦♦



Definición 4.2: El valor esperado de una función g(x) de la variable aleatoria Xes el valor medio de g(x).

♦♦

Notas: - El valor esperado de una función g(x) de la variable aleatoria Xse denotará por E(g(X)). Se colocará entre paréntesis el nombrede la función a la que se le está calculando el valor esperado.

- El valor esperado de una función es un número. Ese númeropertenece al conjunto cuyos extremos son el mínimo valor y elmáximo valor que toma esa función de la variable aleatoria.

- El valor esperado de una función g(x) de la variable aleatoria Xse calcula utilizando la Ecuación 4.3.

∫∞

∞−

= dxxfxgXgE X )()())(( (ec. 4.3)

4.2.2) Propiedades.

Las propiedades del valor esperado se desprenden de su definición como unaintegral y de las características particulares que tenga la función de densidad deprobabilidades.

Propiedad 4.2.2.1: El valor esperado de una variable aleatoria cuya función dedensidad sea una función par vale cero.

Si la función de densidad es una función par se debe cumplir que fX(x) = fX(-x),luego, a partir de la Ecuación 4.1 se puede escribir

( ) ( )

0)()()(

depar función de propiedad la ahora utilizando

)()()(

queda integral primera laen x - x variablede cambio el realiza se si

)()()()(

00

0

0

0

0

=+−=

+−−−=

=

+==

∫∫

∫∫

∫∫∫

∞∞

∞

∞

∞

∞−

∞

∞−

dxxxfdxxxfXE

(x)f

dxxxfdxxfxXE

dxxxfdxxxfdxxxfXE

XX

X

XX

XXX

♦♦



Propiedad 4.2.2.2: El valor esperado de una variable aleatoria cuya función dedensidad es simétrica respecto a un valor m es igual a ese valor.

Si la función de densidad es simétrica respecto a un valor m se debe cumplir quefX(m+x) = fX(m-x), luego, a partir de la Ecuación 4.1 se puede escribir

( ) ( ) ( )

mdxxmxfdxxmxfdxxmfXE

(x)f

dxxmfxmdxxmfxmXE

m

m

dxxxfdxxxfdxxxfXE

XXX

X

XX

m

X

m

XX

=+++−=

+++−−−=

+==

+==

∫∫∫

∫∫

∫∫∫

∞∞∞

∞−

∞

∞

∞

∞−

∞

∞−

00

0

0

)()()()(

integrales en varias separandoy de simetría de propiedad la ahora utilizando

)()()(

queda integral segunda laen x x

y integral primera laen x - x variablede cambio el realiza se si

)()()()(

♦♦

Propiedad 4.2.2.3: El valor esperado de una constante a es igual a esa constante.

Sea la función g(x) = a, luego, a partir de la Ecuación 4.3 se puede escribir

adxxfadxxafaE XX === ∫∫∞

∞−

∞

∞−

)()()(

♦♦

Propiedad 4.2.2.4: El valor esperado de la función g(x) = bx donde b es unaconstante es igual a esa constante por el valor esperado de X.

Sea la función g(x) = bx, luego, a partir de la Ecuación 4.3 se puede escribir

)()()()( XbEdxxxfbdxxbxfbXE XX === ∫∫∞

∞−

∞

∞−

♦♦



Propiedad 4.2.2.5: El valor esperado de la función g(x) = a + bx, donde a y b sonconstantes, es igual a (a + bE(X)).

Sea la función g(x) = a + bx, luego, a partir de la Ecuación 4.3 y de las Propiedades4.2.2.3 y 4.2.2.4, se puede escribir

( ) )()()()()( XbEadxxxfbdxxfadxxfbxabXaE XXX +=+=+=+ ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

♦♦

Propiedad 4.2.2.6: El valor esperado de una variable aleatoria definida en unintervalo (a,b) puede expresarse en términos de la función de distribución

acumulativa de probabilidades como

− ∫b

a

X dxxFb )( .

A partir de la Ecuación 4.1 e integrando por partes, se puede escribir

∫

∫∫∫

−=

==

−−=−==

b

a

X

XX

b

a

XXX

b

a

X

b

aX

b

a

X

dxxFbXE

aFbFa,b

dxxFaaFbbFdxxFxxFdxxxfXE

)()(

luego ,0)(y 1)( entonces )(en definida está X si

)()()()()()()(

♦♦

4.2.3) Ejemplos.

Ejemplo 4.3: Considere la variable aleatoria Z cuya función de densidad deprobabilidades se calculó en el Ejemplo 3.14. Hallar el valor esperado de Z.

Del resultado obtenido en el Ejemplo 3.14 se tiene que ∑=

−=6

1

)(6

1)(

iZ izzf δ , luego

5.32

)1(

6

1

6

1

6

1)(

6

6

1

6

1

=

+===

===∑∑

nii

nniiZE

Note que el resultado no coincide con ninguno de los valores que puede tomar lavariable Z, pero es un valor en el intervalo (1,6).

♦♦



Ejemplo 4.4: Considere la variable aleatoria Y cuya función de densidad deprobabilidades se calculó en el Ejemplo 3.16. Hallar el valor esperado de Y.

Del resultado obtenido en el Ejemplo 3.16 se tiene que

λλλ

λ

λλ

λ

1)(

será esperado valor el entonces,

0 si ,

0 si ,0 )(

00

===

≥

<=

∫∫∞

−∞

−

−

dyyedyeyYE

ye

yyf

yy

yY

♦♦

Ejemplo 4.5: Considere la variable aleatoria Y cuya función de densidad deprobabilidades se calculó en el Ejemplo 3.17. Hallar el valor esperado de Y.

Del resultado obtenido en el Ejemplo 3.17 se tiene que

>−

=−

<≤

<

=

−−−

−

−

Tyep

TyTtpe

Tye

y

yf

TyT

T

y

Y

si ,)1(

si ),(

0 si ,

0 si ,0

)(

)(µλ

λ

λ

µ

δ

λ

lo cual hace ver que Y es una variable aleatoria mixta y el cálculo de su valoresperado combina las características que se han destacado por separado en lasEcuaciones 4.1 y 4.2. El valor esperado será

−−−=

+−++

+−=

−+=+==

−

−−−

∞−−−−

∞

∞−∫∫∫+

−

µλλ

µλλ

µλ

λ

λλλ

µλλ

peYE

TeppTeTeYE

dyepyTYTPdyeydyyyfYE

T

TTT

T

TyTT

yY

111)(

1)1(

11)(

)1(}{)()( )(

0

♦♦



Ejemplo 4.6: Considere la variable aleatoria X cuya función de densidad deprobabilidades se muestra en el Ejemplo 3.18. Hallar el valor esperado de X.

En el Ejemplo 3.18 se tiene que

≤≤

=casos otrosen ,0

40 si ,8)(

xx

xf X

El valor esperado será

3

8

24

4

248)(

34

0

34

0

==== ∫x

dxxxXE

De forma alterna, se puede utilizar la Propiedad 4.2.2.6 ya que la variable aleatoriacumple con los postulados de esa propiedad y la función de distribución se calculóen el Ejemplo 3.18 consiguiendo

>

≤≤

≤

=

4 si ,1

40 si ,16

0 si ,0

)(2

x

xx

x

xFX

Entonces, el valor esperado será

3

8

48

44

484

164)()(

34

0

34

0

2

=−=−=−=

−= ∫∫

xdx

xdxxFbXE

b

a

X

♦♦



4.3) VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR.

En la sección anterior se analizó la definición de valor esperado tanto desde el puntode vista matemático como desde el punto de vista del fenómeno aleatorioinvolucrado. Este valor permite ubicar rápidamente la región donde está definida lavariable como aquella región que se encuentra alrededor del valor esperado. Pero noproporciona información acerca del tamaño de esa región. Una medida de ladispersión o de la concentración de la variable alrededor de su valor esperado loproporciona la varianza.

4.3.1) Definiciones.

Definición 4.3: La varianza de una variable aleatoria es el valor esperado de lasdistancias de la variable a su valor esperado, medidas en forma cuadrática.

♦♦

Notas: - La varianza de la variable aleatoria X se denotará por V(X). Secolocará entre paréntesis el nombre de la variable a la que se leestá calculando la varianza.

- La varianza es un número. Ese número pertenece al conjunto delos reales positivos.

- La unidad de medida de la varianza es igual a la unidad demedida de la variable elevada al cuadrado. Como ejemplo, si lavariable se mide en metros su varianza se mide en metros alcuadrado.

- Mientras menor sea el valor de la varianza, más cerca estarán losvalores de la variable de su valor esperado.

- Mientras mayor sea el valor de la varianza, más alejados estaránlos valores de la variable de su valor esperado..

- La varianza de la variable aleatoria X se calcula utilizando laEcuación 4.4.

( )[ ]2)()( XEXEXV −= (ec. 4.4)

Definición 4.4: La desviación estándar de una variable aleatoria es la raízcuadrada positiva de su varianza.

♦♦

Notas: - La desviación estándar de la variable aleatoria X se denotará porσX. Se colocará como subíndice el nombre de la variablealeatoria a la que se le está calculando la desviación estándar.

- La desviación estándar es un número real positivo.- La unidad de medida de la desviación estándar es igual a la

unidad de medida de la variable. Como ejemplo, si la variable semide en metros su desviación estándar se mide en metros. Estehecho garantiza la posibilidad de poder realizar operaciones de



suma y resta entre el valor esperado y la desviación estándar quetendrán un significado importante en la teoría de probabilidades.

- La propiedad de medir la dispersión (o la concentración) de lavariable alrededor del valor esperado que tiene la varianza, setraslada a la desviación estándar.

- La desviación estándar de la variable aleatoria X se calculautilizando la Ecuación 4.5.

)(XVX +=σ (ec. 4.5)

4.3.2) Propiedades.

Las propiedades de la varianza y de la desviación estándar se desprenden de susdefiniciones en términos del concepto de valor esperado y de las característicasparticulares que tenga la función de densidad de probabilidades.

Propiedad 4.3.2.1: La varianza de una variable X se puede calcular como ladiferencia entre el valor esperado de X2 y el valor esperado de X elevado alcuadrado.

A partir de la Ecuación 4.4 se puede escribir

( )[ ] ( )[ ]( ) [ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222

22

222

)()()(2)(

tienese 4.2.2.5y .4 4.2.2 4.2.2.3, spropiedade las aplicando

)()(2)(

)()(2)()(

XEXEXEXEXEXEXV

XEEXXEEXEXV

XEXXEXEXEXEXV

−=+−=

+−=

+−=−=

♦♦

Propiedad 4.3.2.2: La varianza de una constante a es cero.


( )[ ] ( )[ ] 0)0()()( 22 ==−=−= EaaEaEaEaV

♦♦

Propiedad 4.3.2.3: La varianza de la función g(x) = bx donde b es una constante esigual a b2 por la varianza de X.




( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]

)()(

luego

)()(

)()()(

2

2222

22

XVbbXV

XEXEbXEXbE

XbEbXEbXEbXEbXV

=

−=−

=−=−=

♦♦

Propiedad 4.3.2.4: La varianza de la función g(x) = a + bx donde a y b sonconstantes es igual a b2 por la varianza de X.

A partir de la Ecuación 4.4 y de las Propiedades 4.3.2.2 y 4.3.2.3 se puede escribir

( )( )[ ] ( )[ ] ( )( )[ ] ( )( )

( )( ) ( )

)()(

luego

)()()()(2)()(2

2

)()(

2

2222222222

2222

222

XVbbXaV

XEbXEbXEbXabEaXEbXabEa

XbEaXbabXaE

bXaEbXaEbXaEbXaEbXaV

=+

−=++−++

=+−++

+−+=+−+=+

♦♦

4.3.3) Ejemplos.

Ejemplo 4.7: Considere la variable aleatoria Z cuya función de densidad de

probabilidades está dada por ∑=

−=6

1

)(6

1)(

iZ izzf δ . Hallar la varianza y la

desviación estándar de Z.

Del resultado obtenido en el Ejemplo 4.3 se tiene que 2

7)( =ZE , luego

( )[ ] ( )[ ]

708.112

35

seráestándar desviación la

12

35

4

49

6

1

4

49}{

2

7)(5.3)()(

Z

6

1

26

1

2

2222

≅=

=−=−=

=

−=−=−=

∑∑==

σ

ii

iiZPi

ZEZEZEZEZV

♦♦



Ejemplo 4.8: Sea una variable aleatoria T cuya función de densidad deprobabilidades viene dada por el resultado del Ejemplo 3.15. Hallar la varianza y ladesviación estándar de T.

Del Ejemplo 3.15 se concluyó que

>

≤≤

<

==

max

maxmax

TT

Tt

TtT

t

tFdt

dtf

si ,0

0 si ,1

0 si 0,

)()(

y del Ejemplo 4.2 se concluyó que 2

)( maxTTE = , entonces a partir de la Ecuación

4.4 y de la Propiedad 4.3.2.1 se puede escribir

( )

3212

seráestándar desviación lay 1243

)(

43

1

4)()()(

2

T

222

2

0

32

0

222

maxmax

maxmaxmax

max

T

max

maxT

max

TT

TTTTV

Tt

T

Tdt

T

tTETETV

maxmax

==

=−=

−

=−=−= ∫

σ

♦♦

Ejemplo 4.9: Sea una variable aleatoria X cuya función de densidad de

probabilidades viene dada por 2

2

2

1)(

x

X exf−

=π

, para todo valor de x real. Hallar

el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de X.

A partir de la Propiedad 4.2.2.1 se tiene que E(X) = 0, ya que la función de densidades par. Luego, de la Ecuación 4.4 y de la Propiedad 4.3.2.1 se puede escribir

uno a igual seráambién estándar t desviación lay

12

1

2

1

partespor integrando

2

1

2)()(

222

2222

2

222

22

==

+

−

===

∫∫

∫∫

∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

−

∞

∞−

−∞

∞−

−

dxedxexe

dxexdxex

XEXV

xxx

xx

ππ

ππ

♦♦



Ejemplo 4.10:Sea una variable aleatoria Y cuya función de densidad de

probabilidades viene dada por

2

2

1

2

1)(

−

−= σ

µ

πσ

y

Y eyf , para todo valor de y real; µ

es una constante real y σ es una constante real positiva. Hallar el valor esperado, lavarianza y la desviación estándar de Y.

A partir de la Propiedad 4.2.2.2 se tiene que E(Y) = µ, ya que la función dedensidad es simétrica respecto al valor µ. Luego, de la Ecuación 4.4 se puedeescribir

( ) ( )

σσ

σπ

σ

σµ

πσµ σ

µ

=

==

−=

−=−=

∫

∫

∞

∞−

−

∞

∞−

−

−

Y

x

y

dxeYV

yx

dyey

YEYEYV

seráestándar desviación lay

2)(

quedaanterior integral la , variablede cambioun haciendo

2))(()(

222

2

122

2

2

♦♦

Ejemplo 4.11:Considere la variable aleatoria Y del Ejemplo 4.10 cuya función de

densidad de probabilidades viene dada por

2

2

1

2

1)(

−

−= σ

µ

πσ

y

Y eyf , para todo valor

de y real; donde µ es su valor esperado y σ2 es su varianza. Realizar la gráfica deesta función de densidad para un valor fijo de σ y distintos valores de µ. Repita lagráfica pero considerando un valor fijo de µ y distintos valores de σ.

Las Figuras 4.1 y 4.2 muestran las gráficas solicitadas. La Figura 4.1 hace ver que elconocimiento del valor esperado permite ubicar la función de densidad alrededor deese valor; el sentido de la flecha indica el sentido en que aumenta el valor de µ. Porotro lado, la Figura 4.2 permite observar el significado de la varianza: a mayor valorde la varianza, mayor dispersión de la variable alrededor de su valor esperado, otambién a menor valor de la varianza mayor es la concentración de la variablealrededor de su valor esperado; el sentido de la flecha indica el sentido en queaumenta el valor de σ.



♦♦

Figura 4.1: fY(y) del Ejemplo 4.11 para distintos valores de µ.

Figura 4.2: fY(y) del Ejemplo 4.11 para distintos valores de σ.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-6 -4 -2 0 2 4 6



4.4) VALOR ESPERADO CONDICIONAL.

Definición 4.5: El valor esperado condicional de una variable aleatoria es elvalor esperado considerando que la función de densidad de probabilidades es lacondicional.

♦♦

Notas: - El valor esperado condicional de una variable aleatoria sedenotará por E(X/A). Se colocará entre paréntesis el nombre dela variable aleatoria a la que se le está calculando el valoresperado y el evento A que condiciona su ocurrencia.

- El valor esperado condicional es un número. Ese númeropertenece al conjunto cuyos extremos son el mínimo valor y elmáximo valor que toma la variable aleatoria una vez que sudominio ha sido restringido por el evento A.

- El valor esperado condicional de una variable aleatoria secalcula utilizando la Ecuación 4.6.

∫∞

∞−

= dxAxxfAXE X )/()/( (ec. 4.6)

Definición 4.6: La varianza condicional de una variable aleatoria es la varianzaconsiderando que la función de densidad de probabilidades es la condicional.

♦♦

Notas: - La varianza condicional de la variable aleatoria X se denotarápor V(X/A). Se colocará entre paréntesis el nombre de lavariable a la que se le está calculando la varianza y el evento Aque condiciona su ocurrencia.

- La varianza condicional de la variable aleatoria X se calculautilizando la Ecuación 4.7.

( ) ( )[ ]22 //)/( AXEAXEAXV −= (ec. 4.7)



Definición 4.7: El valor esperado de una variable aleatoria se puede calcularcomo una combinación lineal de los valores esperados condicionales siempre quelos eventos condicionantes conformen una partición del espacio muestral.

♦♦

Notas: - Esta definición se basa en el concepto de una partición delespacio muestral (Definición 2.1.13 del Apéndice 2.1), en laDefinición 2.23 y en la Definición 3.12.

- El valor esperado de una variable aleatoria, a partir de losvalores esperados condicionales, se calcula utilizando laEcuación 4.8.

}{)/()(1

i

n

ii APAXEXE ∑

=

= (ec. 4.8)

Ejemplo 4.12:Considere la variable aleatoria T del Ejemplo 3.15 cuya función dedensidad de probabilidades viene dada por

>

≤≤

<

=

max

maxmax

T

Tt

TtT

t

tf

si ,0

0 si ,1

0 si 0,

)(

Hallar el valor esperado condicionado por el evento A = {Tmax/4 < T < Tmax/2}

Del resultado del Ejemplo 3.25 se puede escribir

>

≤≤

≤

=

2 si ,0

24 si ,

14

si 0,

)/(

max

maxmax

max

max

T

Tt

Tt

T

pT

Tt

Atf

Donde 25.012

4

== ∫max

max

T

T max

dtT

p , entonces, a partir de la Ecuación 4.6 se tiene que

( ) max

T

Tmax

T

T max

TT

tdt

T

tATE

max

max

max

max8

324/

2

4

22

4

=== ∫

♦♦



Ejemplo 4.13:Sea una variable aleatoria X cuya función de densidad de

probabilidades viene dada por 2

2

2

1)(

x

X exf−

=π

, para todo valor de x real. Hallar

el valor esperado condicional y la varianza condicional cuando el eventocondicionante es B = {X > 0}.

Del resultado del Ejemplo 3.23 se puede escribir

>

≤

=0 si ,e

2

1

0 si ,0

)/(2

x-

2

xp

x

Bxf X

π

Donde 5.02

1

0

2

2

== ∫∞

−dxep

x

π, entonces, a partir de la Ecuación 4.6 se tiene que

( )ππ2

2

2/

0

2

2

== ∫∞

−dxe

xBXE

x

Para el cálculo de la varianza condicional se recurre a la Ecuación 4.7

( ) ( )[ ]πππ2

122

//)/(0

2222

2

−=−=−= ∫∞

−dxexBXEBXEBXV

x

♦♦



4.5) MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA.

Existen varias definiciones asociadas al concepto de momento que tienen algúnsentido para ciertas aplicaciones de probabilidades. Estas definiciones se presentan acontinuación.

Definición 4.8: El momento n-ésimo de una variable aleatoria es el valoresperado de la función g(x) = xn, con n ∈ N.

♦♦

Notas: - El momento n-ésimo de la variable aleatoria X se denotará pormn.

- El momento cero de una variable aleatoria es igual a uno.- El primer momento de una variable aleatoria es su valor

esperado.- Si la función de densidad de una variable aleatoria es una

función par entonces el segundo momento coincide con lavarianza.

- El momento n-ésimo de una variable aleatoria se calculautilizando la Ecuación 4.9.

- En general, a partir de la Propiedad 4.3.2.1, la varianza de unavariable aleatoria, en términos de los momentos, se calculautilizando la Ecuación 4.10.

( ) ∫∞

∞−

== dxxfxXEm Xnn

n )( (ec. 4.9)

212)( mmXV −= (ec. 4.10)

Definición 4.9: El momento central n-ésimo con respecto al valor esperado deuna variable aleatoria es el valor esperado de la función g(x) = (X-E(X))n, paravalores de n en los números naturales.

♦♦

Notas: - El momento central n-ésimo con respecto al valor esperado de lavariable aleatoria X se denotará por µn.

- µ0 es igual a uno.- µ1 es igual a cero.- µ2 es igual a la varianza.- El momento central n-ésimo con respecto al valor esperado de

una variable aleatoria se calcula utilizando la Ecuación 4.11.

( )( ) ( )∫∞

∞−

−=−= dxxfXExXEXE Xnn

n )()()(µ (ec. 4.11)



Definición 4.10: El momento factorial n-ésimo de una variable aleatoria es el

valor esperado de la función g(x) = ( )∏=

+−n

i

ix1

1 , para valores de n en los números

naturales.♦♦

Notas: - El momento factorial n-ésimo de la variable aleatoria X sedenotará por cn.

- c1 es igual al primer momento.- c2 es igual al segundo momento menos el primer momento.- El momento factorial n-ésimo de una variable aleatoria se

calcula utilizando la Ecuación 4.12.

( ) ( )∫∏∏∞

∞− ==

+−=

+−= dxxfiXiXEc X

n

i

n

in )(11

11

(ec. 4.12)

Ejemplo 4.14:Establezca una relación entre los momentos y los momentoscentrales.


( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

∑

∑∑

∑

=

−

=

−

=

−

=

−

=

=−

=

−

=+−==

n

kk

knn

n

kk

knn

k

kknn

n

k

knknnn

mk

nm

XEk

nXEXEXE

k

nm

XEXEXk

nEXEXEXEXEm

01

00

0

)()()(

)()()()(

µ

µ


( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )∑

∑∑

=

−−

=

−−

=

−

−

=

−

=

−

=−=

n

k

knk

knn

n

k

knknkn

k

knknn

mmk

n

XEXEk

nXEX

k

nEXEXE

01

00

1

1)()()(

µ

µ

♦♦



4.6) FUNCIÓN GENERADORA DE MOMENTOS.

En esta sección y en las dos siguientes se van a presentar unos valores esperados dela variable aleatoria que tienen la propiedad de no ser números sino que quedanexpresados como funciones de una variable determinista.

Definición 4.11: La función generadora de momentos de una variable aleatoria esel valor esperado de la función g(x) = etx, donde t es un parámetro real.

♦♦

Notas: - La función generadora de momentos de la variable aleatoria Xse denotará por mX(t). Se colocará como subíndice el nombre dela variable aleatoria y entre paréntesis la variable deterministareal t.

- La función generadora de momentos de una variable aleatoria secalcula utilizando la Ecuación 4.13.

- La Ecuación 4.13 es la Transformada Bilateral de Laplace de lafunción de densidad de probabilidades, evaluada en s = -t.

( ) ∫∞

∞−

== dxxfeeEtm XtxtX

X )()( (ec. 4.13)

Definición 4.12: La función generadora de momentos de una variable aleatoria,como su nombre lo indica, permite conocer los momentos de esa variable.

♦♦

Notas: - Los momentos de una variable aleatoria, en términos de sufunción generadora de momentos se calculan utilizando laEcuación 4.14.

0

)(=

=t

Xn

n

n tmdt

dm (ec. 4.14)

Ejemplo 4.14:Deducir la Ecuación 4.14.


( ) ( ) ( ) ( )

....!3!2

)(

serie la de términosalgunos ndodesarrolla

!!!!)(

3

3

2

2

10

0000

++++=

===

== ∑∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

mt

mt

tmmtm

mk

txE

k

t

k

xtE

k

txEeEtm

X

kk

k

k

kk

k

kk

k

ktX

X



n

t

Xn

n

tX

X

X

mtmdt

d

mtmdt

d

mt

tmmtmdt

d

tm)(m

=

==

+++=

===

=

=

0

10

3

2

21

0

)(

obtiene se resultado el ndogeneraliza

)( queda 0en t derivada esta evaluando

....!3

3)(

a respecto derivada primera la tomar al,10 queda 0en tevaluar al

♦♦

Ejemplo 4.15:La variable aleatoria Y tiene una función de densidad de

probabilidades dada por

≥

<=

− 0 si ,

0 si ,0 )(

ye

yyf

yY λλ. Hallar su función generadora

de momentos y, a partir de ella, el valor esperado y la varianza de Y.


( )( )

( )

( )

( ) ( )

222

21

2

2

0

3

0

2

22

0

20

1

00

112)(

22)(

1)(

4.14Ecuación la a recurre se Y de varianzalay esperado valor elconocer para

de valorespara )(

λλλ

λλλ

λλ

λλλ

λλ

λλλ

λλλ

λλ

=−=−=

=

−=

−==

=

−=

−==

<−

=

−−===

==

==

∞−−∞−∫

mmYV

ttdt

dYEm

ttdt

dYEm

ttt

edyeeeEtm

tt

tt

tyytytY

Y

♦♦

Ejemplo 4.16:La variable aleatoria X tiene una función de densidad de

probabilidades dada por ∑=

− −−

=

n

k

knkX kxpp

k

nxf

0

)()1()( δ . Hallar su función

generadora de momentos y, a partir de ella, el valor esperado y la varianza de X.




( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]( )

( )[ ][ ])1()1()(

)1(1)(

11

4.14Ecuación la a recurre se X de varianzalay esperado valor elconocer para

1)1()1()()(

222212

2

0

122

0

1

0

1

00

pnppnpnnnpmmXV

pnnnpppenpedt

dXEm

npppenpeppedt

dE(X)m

ppeppek

nepp

k

neEtm

t

ntt

t

ntt

t

nt

ntn

k

knktn

k

tkknktXX

−=−−+=−=

−+=

−+==

=−+=

−+==

−+=−

=−

==

=

−

=

−

=

=

−

=

− ∑∑

♦♦

Ejemplo 4.17:La variable aleatoria Z tiene una función de densidad de


<<

−=casos otrosen ,0

si ,1

)(bza

abzfZ . Hallar su función

generadora de momentos y, a partir de ella, el valor esperado y la varianza de Z.


( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

12

)(

2)(3)(

)(3

)1()1()(

2

)1()1()(

que talcero, a t tiendecuando límite el considerar debe se

que lopor ación indetermin una consigue se 0en tevaluar al

)1()1()(

4.14Ecuación la a recurre se Zde varianzalay esperado valor elconocer para

11)(

2233212

33

0

2

22

201

0

2

0

1

abba

ab

abmmZV

ab

ab

tab

atebte

dt

dZEm

ba

tab

atebtelimZEm

tab

atebte

tab

ee

dt

dZEm

tab

ee

t

e

abdzab

eeEtm

t

atbt

atbt

t

t

atbt

t

tatb

tatbb

a

tzb

a

tztZZ

−=

+

−−−

=−=

−−

=

−

−−−==

+=

−−−−

==

=

−

−−−=

−−

==

−−

=

−=

−==

=

→

==

∫

♦♦



4.7) FUNCIÓN CARACTERÍSTICA.

Definición 4.13: La función característica de una variable aleatoria es el valoresperado de la función compleja g(x) = ejwx, donde w es un parámetro real.

♦♦

Notas: - La función característica de la variable aleatoria X se denotarápor ΦX(w). Se colocará como subíndice el nombre de la variablealeatoria y entre paréntesis la variable determinista real w.

- La función característica es una función compleja.- La función característica de una variable aleatoria se calcula

utilizando la Ecuación 4.15.- La Ecuación 4.15 es la Transformada de Fourier de la función

de densidad de probabilidades, evaluada en -w.

( ) ∫∞

∞−

==Φ dxxfeeEw XjwxjwX

X )()( (ec. 4.15)

Definición 4.14: La función característica de una variable aleatoria permite conocerlos momentos de esa variable.

♦♦

Notas: - Los momentos de una variable aleatoria, en términos de sufunción característica se calculan utilizando la Ecuación 4.16.

Φ=

=0

)(1

w

Xn

n

nn wdw

d

jm (ec. 4.16)



2

2

1

2

1)(

−

−= σ

µ

πσ

x

X exf , para todo valor de x real. Hallar

su función característica y, a partir de ella, el valor esperado y la varianza de X.




( )

( ) ( )

( )2

)()(22

1

22

1

2

1

2

1

22222

22

2

2

1)(

queda integrando del exponente elen cuadrados ocompletand

2

1

2

1)(

variablede cambio al recurre se integral estaresolver para

2

1)(

σµσσσµ

σµσµ

σµ

π

ππ

σµ

πσ

wjwjwjwyjwy

jwX

yjwyjw

yyjw

X

x

jwxjwXX

edyeew

dyeedyeew

xy

dxeeeEw

−∞

∞−

−+−−

∞

∞−

−−∞

∞−

−+

∞

∞−

−

−

==Φ

==Φ

−=

==Φ

∫

∫∫

∫

2222212

22

0

22

2

22

0

22

0

21

)(

)(1

)(

)(11

)(

4.16Ecuación la a recurre se X de varianzalay esperado valor elconocer para

22

2222

σµµσ

µσσµ

µσµ

σµ

σµ

σµ

=−+=−=

+=

−==

=

−=

==

=

−

=

−

=

−

mmXV

ewjdw

d

jXEm

ewjj

edw

d

jXEm

w

wjw

w

wjw

w

wjw

♦♦

Ejemplo 4.19:La variable aleatoria R tiene una función de densidad de

probabilidades dada por ∑∞

=

− −=0

)(!

)(k

mk

R krek

mrf δ . Hallar su función característica

y, a partir de ella, el valor esperado y la varianza de R.


( )

( ) )1(

0

00

!)(

!)(

!)(

−−∞

=

−

∞

=

−∞

∞−

∞

=

−

===Φ

=−==Φ

∑

∑∫ ∑

jwjw emmem

k

kjwm

R

k

jwkmk

k

mk

jwrjwRR

eeek

meew

eek

mdrkre

k

meeEw δ

( ) ( )

( )

mmmmmmRV

mmemjedw

d

jREm

memjej

edw

d

jREm

w

jwjw

w

emjw

w

em jwjw

=−+=−=

+=

−==

==

==

=

=

−

=

−

2212

02

22

0

)1(

0

)1(1

)1()(

)1()1(1

)(

)(11

)(

4.16Ecuación la a recurre se R de varianzalay esperado valor elconocer para

♦♦



4.8) FUNCIÓN GENERADORA DE PROBABILIDADES.

Definición 4.15: La función generadora de probabilidades de una variablealeatoria es el valor esperado de la función g(x) = zx, donde z es complejo.

♦♦

Notas: - La función generadora de probabilidades de la variable aleatoriaX se denotará por ΗX(z). Se colocará como subíndice el nombrede la variable aleatoria y entre paréntesis la variable deterministacompleja z.

- La función generadora de probabilidades se defineexclusivamente para variables aleatorias discretas.

- La función generadora de probabilidades de una variablealeatoria se calcula utilizando la Ecuación 4.17.

- La Ecuación 4.17 es la Transformada Z de la función dedensidad de probabilidades, evaluada en z en lugar de z-1.

( ) ∑∫ ∑∞

=

∞

∞−

∞

=

==−===Η00

}{)(}{)(k

k

k

xXX kXPzdxkxkXPzzEz δ (ec. 4.17)

Definición 4.16: La función generadora de probabilidades de una variable aleatoria,como su nombre lo indica, permite conocer las probabilidades de eventos del tipo{X = k} de esa variable.

♦♦

Notas: - Las probabilidades de eventos del tipo {X = k} de una variablealeatoria, en términos de su función generadora deprobabilidades se calculan utilizando la Ecuación 4.18.

Η==

=0

)(!

1}{

z

Xk

k

zdz

d

kkXP (ec. 4.18)





00

0

2

2

0

2

2

2

2

2

0

1

2

0

)(!

1}{}{!)(

obtiene se 0zen expresión esta evaluando

...}{12)...2)(1()(

)( de derivada ésima-k la tomar al proceso, el ndogeneraliza

)(2

1}2{}2{2)(


...}{)1(...}2{2)(

)( de derivada segunda la tomar al

}1{)(


...}{...}2{2}1{)(

)( de derivada primera la tomar al

}0{)0(


...}{...}2{}1{}0{}{)(

==

==

−

=

−

∞

=

Η==⇒==Η

=

+=−−=Η

Η

Η==⇒==Η

=

+=−++==Η

Η

==Η

=

+=++=+==Η

Η==Η

=

+=++=+=+====Η ∑

z

Xk

k

z

Xk

k

xXk

k

X

z

X

z

X

kX

X

zX

kX

X

X

k

k

kX

zdz

d

kkXPkXPkz

dz

d

kXPkkkzdz

d

z

zdz

dXPXPz

dz

d

kXPzkkXPzdz

d

z

XPzdz

d

kXPkzXzPXPzdz

d

z

XP

kXPzXPzXzPXPkXPzz

♦♦

Definición 4.17: La función generadora de probabilidades de una variable aleatoria,como su nombre lo indica, permite conocer los momentos factoriales de esavariable.

♦♦

Notas: - Los momentos factoriales de una variable aleatoria, en términosde su función generadora de probabilidades se calculanutilizando la Ecuación 4.19.

1

)(=

Η=z

Xn

n

n zdz

dc (ec. 4.19)





nkz

Xn

n

k

nkXn

n

X

kkkz

X

k

k

k

kX

X

kzX

k

k

k

kX

X

X

k

kX

ckXPnkkkkzdz

d

kXPznkkkkzdz

d

z

mmckXkPkXPkkXPkkzdz

d

kXPzkkkXPkzdz

dz

dz

d

z

XEmckXkPzdz

d

kXPkzkXPzdz

dz

dz

d

z

kXPzz

==+−−−=Η

=

=+−−−=Η

Η

−===−===−=Η

=

=−=

==Η

Η

=====Η

=

==

==Η

Η=Η

=

==Η

∑

∑

∑∑∑

∑∑

∑

∑∑

∑

∞

==

∞

=

−

∞

=

∞

=

∞

==

∞

=

−∞

=

−

∞

==

∞

=

−∞

=

∞

=

01

0

12200

2

01

2

2

0

2

0

1

2

2

1101

0

1

0

0

}{)1)...(2)(1()(


}{)1)...(2)(1()(

)( de derivada ésima-n la tomar al proceso, el ndogeneraliza

}{}{}{)1()(


}{)1(}{)(

)( de derivada segunda la tomar al

)(}{)(


}{}{)(

)( de derivada primera la tomar al

1)1(


}{)(

♦♦


probabilidades dada por ∑=

− −−

=

n

k

knkX kxpp

k

nxf

0

)()1()( δ . Hallar su función

generadora de probabilidades y, a partir de ella, el valor esperado y la varianza de X.




( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

)1()1()(

será X de varianzala

)1(

)1(


1)1(1)(

)( de derivada segunda la tomando

)(


11)(

)( de derivada primera la tomar quehay X de esperado valor elconocer para

1)1()(

)1(}{)(

222212

2122

122

2

221

2

2

11

1

0

00

pnppnnppnnmmXV

nppnnmcm

mmpnnc

ppzpnnppznpdz

dz

dz

d

z

npXEmc

ppznpppzdz

dz

dz

d

z

ppzppzk

nz

ppk

nzkXPzz

nnX

X

nnX

X

nn

k

knkX

n

k

knkkn

k

kX

−=−+−=−=

+−=+=

−=−=

=

−+−=−+=Η

Η====

−+=−+=Η

Η

−+=−

=Η

−

===Η

−−

−

=

−

=

−

=

∑

∑∑

♦♦



4.9) INECUACIÓN DE CHEVYSHEV.

La definición de variable aleatoria y de las funciones de distribución y de densidadrefleja el comportamiento del experimento aleatorio que se está analizando. Se haverificado en diversas oportunidades que la forma de las funciones de distribución yde densidad debe seguir un cierto patrón que obliga a que no todo tipo de funciónpuede ser considerada para este tipo de representación. En este orden de ideas, elconocimiento del valor esperado y la varianza proporciona información adicionalacerca de la forma de estas funciones y, en consecuencia, de las probabilidadesasignadas a diversos tipos de eventos. Este tipo de información llega hasta elextremo de indicar topes en el valor de la probabilidad de ocurrencia de ciertoseventos para cualquier tipo de variable aleatoria.

La inecuación de Chevyschev permite conocer un límite al valor que puede tener laprobabilidad de un cierto tipo de evento independientemente de la forma de sufunción de densidad de probabilidades.

Definición 4.18: Sea una variable aleatoria X de la cual sólo conocemos su valoresperado E(X) y su varianza V(X). Sea un evento del tipo {|X-E(X)| ≤ kσX},entonces la probabilidad de ocurrencia de este evento tiene un valor mínimo que esuna función del valor real positivo k y no depende de la forma de la función dedensidad de probabilidades de X.

♦♦

Notas: - El valor mínimo de la probabilidad del evento mencionado secalcula utilizando el lado derecho de la Ecuación 4.20.

- La expresión 4.20 se conoce como la inecuación de Chevyschev.

2

11}|)({|k

kXEXP X −≥≤− σ (ec. 4.20)



Ejemplo 4.24:Demostrar la inecuación de Chevyschev.

A partir de la Definición 4.3 se puede escribir

[ ]

( )

2

2

)(

)(

2

)(

)(2

)(

2)(

2

)(

)(

2

)(

2)(

)(

2)(

2

22

1-1}{

obteniendo deseada, adprobabilid la despeja se aqui de

}{1)()(

luego deseada, adprobabilid la es paréntesis elen integral la

)(1)()()()(

)())(()())((V(X)

escribir puede se 0)())(( que de en vista

)())(()())(()())(()(

comoescribir puede seanterior integral la 4.3 Figura la departir a

)())(())(()(

kk|X-E(X)|P

k|X-E(X)|PXVkXV

dxxfXVkdxxfdxxfXVk

dxxfXExdxxfXEx

dxxfXEx

dxxfXExdxxfXExdxxfXExXV

dxxfXExXEXEXV

X

X

kXE

kXE

X

kXE

X

kXE

X

kXE

X

kXE

X

kXE

kXE

X

kXE

X

kXE

kXE

X

kXE

X

X

X

XX

X

X

X

X

X

X

X

X

X

≥≤

≤−≥

−=

+

≥−+−≥

≥−

−+−+−=

−=−=

∫∫∫

∫∫

∫

∫∫∫

∫

+

−

∞

+

−

∞−

∞

+

−

∞−

+

−

∞

+

+

−

−

∞−

∞

∞−

σ

σ

σ

σσ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

♦♦

fX(x)

E(X)-kσX E(X) E(X)+kσX

Figura 4.3: Intervalos para evaluar la varianza del Ejemplo 4.24



Ejemplo 4.25:Hallar la probabilidad de ocurrencia del evento {|X-E(X)| ≤ 2σX}para distintas variables aleatorias y comparar con el valor mínimo que se obtiene alutilizar la inecuación de Chevyschev.

Según la inecuación de Chevyschev (para k = 2), el valor mínimo de la probabilidaddel evento bajo estudio es 3/4.

Se van a considerar tres variables cuyas funciones de densidad, valores esperados yvarianzas se muestran en la Tabla 4.1.

Función de Densidad Valor Esperado Varianza P{|X-E(X)| ≤ 2σX }

>

≤≤

<

=

max

max

max

T

Tt

TtT

t

tf

si ,0

0 si ,1

0 si 0,

)(2maxT

12

2maxT 1

≥

<=

− 0 si ,

0 si ,0 )(

ye

yyf

yY λλ λ1

2

1

λ 0.952

2

1

2

1)(

−

−

= σµ

πσ

x

X exf µ σ2 0.9545

Tabla 4.1: Comparación de probabilidades del Ejemplo 4.25♦♦

4.10) PROBLEMAS PROPUESTOS.

valor esperado de una v. a

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