MEDIDAS DE RIESGOExisten diferentes formas para medir el riesgo de mercado de un activo o portafolio, de las cuales se analizará el Valor en riesgo (VaR) y Déficit Esperado (ES).

Valor en Riesgo

Definición 1 Sea ς :Cv→R, una medida de riesgo, se dice que esta medida es coherente, si para V [t 1] ,V

¿[ t1] ∈Cv y a∈ R, se cumple lo siguiente:

i. (Monotonía no creciente) Indica que si se tiene un portafolio, el cambio en su valor V [t1 ] es menor que el de V ¿

[ t1] , entonces, por la pérdida de valor de V [t1 ] , el riesgo de V [t1 ]deberá ser mayor que el de V ¿

[ t1].ii. (Subaditividad) Expresa que la fusión de portafolios no crea riesgo

adicional. En el contexto de portafolios de inversión esta propiedad indica que la diversificación reduce el riesgo, y de esta forma el cumplimiento de la subaditividad permite prácticas de administración de riesgos más eficientes.

iii. (Homogeneidad positiva) Establece que el tamaño del portafolio influye directamente en el riesgo. Esto es, no es lo mismo invertir una unidad monetaria en activos financieros que invertir un millón en los mismos activos. En el segundo caso es un millón de veces más riesgoso. Observe, por último que la subaditividad implica que ς (aV [t 1])≤aς (V [t 1]) , para toda a ∈ N.

iv. (Invariancia bajo traslaciones) Indica que si existe un sistema bancario en el que los agentes pueden prestar y pedir prestado a una tasa de interés

libre de riesgo r, y si ς (V [t 1]+a)=ς (V [t 1]+arr ), donde a se interpreta como el

interés libre de riesgo, que paga un depósito bancario sobre una inversión inicial a /r

El VaR se define como la máxima pérdida posible de un portafolio de inversión durante cierto periodo de tiempo y una probabilidad dada, bajo condiciones normales de mercado. Contar con estimaciones del VaR precisas es de crucial importancia para mantener la estabilidad del sistema financiero sin perjudicar la rentabilidad de estas instituciones. Si el VaR no es medido adecuadamente se puede presentar deterioro en la rentabilidad de las instituciones o inestabilidad financiera en las mismas. Es decir, el VaR representa el peor escenario posible para un activo o portafolio, dadas condiciones normales de mercado, un horizonte de tiempo determinado y un nivel de confianza determinado.

Formalmente, el VaR para el siguiente período de negociaciones (t+1), dada la información disponible en el periodo actual (t) (VaRt+1∨t ¿ está definido por:

P=(R t+1<Va Rt+1∨t )=γ

Donde Rt+1 representa el rendimiento (en pesos) futuro del valor del portafolio para el siguiente período y γ es uno menos el nivel de confianza del VaR.

Por tanto, el cálculo del VaR depende de los supuestos sobre la función de distribución de las posibles pérdidas o ganancias (rendimiento absoluto) del portafolio Rt+1.

Es fácil notar que si Rt+1sigue una distribución cuyos dos primeros momentos son finitos (como la distribución normal o la t), entonces el valor en riesgo será:

Va Rt+1∨t=F (γ )∙ σ t+1∨t

Donde σ t+1∨t representa el valor esperado de la desviación estándar de la distribución de Rt+1 para el período t y F (γ ) es el percentil γ de la correspondiente distribución (estandarizada).

Así, el cálculo del VaR depende crucialmente de dos supuestos respecto al comportamiento de la distribución de zt+1: su volatilidad (desviación estándar σ t+1∨t ) y su distribución F(·).

La ilustración siguiente muestra el VaR

Expected shortfall (Déficit Esperado)

El ES puede ser definido como el valor esperado de la pérdida, dado que esta exceda el valor de un determinado umbral (comúnmente este umbral corresponde al VaR). Por lo tanto:

ES γ=E (R∨R>VaRγ)

Donde R es el rendimiento en pesos. El ES, es por lo tanto un promedio de los peores 100(1−γ) % casos que excedan el umbral con un nivel de confianza de γ.Suponiendo una variable aleatoria (H) que denote la ganancia o pérdida de un portafolio, el Déficit Esperado está dado por:

ESγ (H )= e−q2γ2

γ √2πσ H

Donde σ :Volatilidad de Hqγ :100 γ percentil de ladistribucionnormal estandar .

El déficit esperado también tiene propiedades estadísticas. Es un subaditivo, que significa que una cartera de dos instrumentos tiene un nivel de riesgo menor o igual a la suma de los riesgos individuales de esos instrumentos. Esto asegura su coherencia como medida de riesgo, lo que no ocurre con el VaR.

La demostración matemática de déficit esperado se detalla en el anexo I

Metodologías desarrolladas para calcular el valor en riesgo

Existen varias aproximaciones metodológicas para la estimación del VaR que se pueden clasificar en tres grandes grupos:

Simulación histórica o aproximación no-paramétrica Supone una distribución o necesidad de estimar parámetros.

Simulación Monte Carlo o aproximación paramétricaImplica suponer una distribución y estimar unos parámetros.

Aproximación semiparamétrica Incluye, entre otras, la aproximación por medio de la teoría del valor extremo y la simulación histórica filtrada.

Método no paramétrico o simulación histórica.El método consiste en utilizar una serie histórica de precios de la posición de riesgo del portafolio para construir una serie de tiempo de precios y/ o rendimientos simulados, con el supuesto de que se ha conservado el portafolio durante el periodo de tiempo de la serie histórica.El VaR se obtiene entonces a partir de la distribución completa de los rendimientos simulados.La forma correcta de calcular el VaR por el método histórico es utilizando la historia de los cambios porcentuales del precio y aplicarlo al portafolio que se analiza siguiendo los siguientes pasos:

1. Obtener la serie histórica de cambios de precio para todos los instrumentos y factores de riesgo del portafolio.

2. Aplicar los cambios de precios al portafolio para generar una serie histórica de cambios en el valor del portafolio.

3. Ordenar los cambios en el valor del portafolio resultante, de mayor a menor y obtener los percentiles de la distribución.

4. Obtener el VaR del portafolio usando los percentiles correspondientes.

Método paramétrico o simulación Monte CarloEste método se utiliza cuando no se tienen los datos completos del precio de los instrumentos que componen un portafolio de inversión.Este método consiste en la generación de números aleatorios para calcular la integral de una función y se puede utilizar para calcular el valor de riesgo de un portafolio, el método genera escenarios y a partir de las observaciones infiere el resultado.Para medir el VaR se considera cada cambio en los factores de riesgo que influyen en el precio de los instrumentos como un evento aleatorio, lo cual permite generar un gran número de eventos que determinarán la distribución de probabilidad de la variable aleatoria en observación, que representa el

comportamiento de la función de pérdidas y ganancias de donde se determina el riesgo.El modelo de riesgo representa las relaciones estocásticas de las variables de análisis, el método consiste en generar el valor aleatorio de cada variable estocástica en un instante y es conocido como intento, paso, escenario, o realización, proporciona un valor posible para el rendimiento del portafolio de inversión en el horizonte establecido, con esta información se determina la pérdidao ganancia de la posición del portafolio de inversión y se calcula el VaR. El propósito del método es generar una cantidad grande de escenarios, de tal manera que la distribución de los valores simulados del rendimiento del activo o portafolio converja hacia su distribución de probabilidad normal al asumir el teorema del límite central.Los principales pasos a seguir para emplear el método de simulación Monte Carlo son los siguientes:

1. Se identifican las variables que se van a utilizar.2. Se determina o se asume una distribución específica para los cambios de

las variables de mercado.3. Se selecciona un proceso generador aleatorio para calcular N valoraciones4. Simulada en los factores de mercado. Posteriormente se utilizan estos

datos para calcular el nuevo valor a mercado del portafolio que se le restan al valor actual para obtener las pérdidas o ganancias del ejercicio esto se repite día a día.

5. Se ordenan los resultados en forma descendente.6. Se determina el VaR seleccionando la pérdida que es igual o mayor al nivel

de confianza seleccionado.

Método semiparamétrico En este método se modela la cola inferior de la distribución de los rendimientos con una distribución generalizada de Pareto.

La metodología simulación histórica para el cálculo del VaR y Es desolladas en el software R se muestran en los anexos

Anexo I

Demostración del Déficit Esperado

ES γ(H )=E [−H∨−H ≥VaR γ(H )]

ES γ(H )=E[−H ∙ I {H ≤VaRγ (H )}]

γ

ES γ (H )= −1γ σH √2π ∫

−∞

−VaRγ (H )

t ∙e−t2

2σ H2

∙ dt

ES γ (H )= −1γ σH √2π

=[−σH2 e

−t2

2σ H2 ]−∞

−VaRγ(H)

ES γ (H )=σH

γ √2πe

−VaRγ(H )2

2σH2

ES γ (H )=σH

γ √2πe

−qγ2σH

2

2σH2

ES γ (H )= e−qγ

2

2

γ √2πσ H

Donde:I {L }:Tomavalor de 1cuando se cumple L y 0encaso contrarioqγ :100 γ percentil de ladistribucionnormal estandar

Anexo IIPrograma el R para el cálculo del VaR y el Es por simulación histórica # 1.- Importar la base de datos.# 2.- Leer la base de datos.serie <- read.csv("NOMBRE DE BASE DE DATOS.csv")# 3.- Activar la base de datos.attach(NOMBRE DE LA BASE DE DATOS)# 4.- Declarar la serie temporal.precio<-ts(precio)# 5. Graficar serie.ts.plot(precio)# 6. Diferenciar la serie.dprecio <- diff(precio)# 7.-Graficar la serie diferenciada o serie de rendimientosts.plot(dprecio)#8.-Realizamos el histograma del comportamiento de los rendimientoshist(dprecio, nclass = 100 ,freq = FALSE, main = "Histograma de los rendimientos de los precios")#9.-Sobreponemos una curva normal para visualizar la distribución siguen los rendimiento curve(dnorm(x, mean=mean(dprecio), sd=sqrt(var(dprecio))), to=max(dprecio), col ="blue",lwd = 2, add = TRUE)alpha <- 0.99#10.-Cálculo del cuantilq <- quantile(dprecio, probs=1-alpha);q names(q) <- NULLabline(v=q, col=2)#11.-VaR simulación histórica (cuantil*activo neto)q * (-VALOR DE LA CARTERA)#12.-ES simulación Monte Carlomean(SERIE DE DATOS [SERIE DE DATOS < q]) * (-20000)

Gráficamente podemos observar lo que sucede…